Zkouška ze Aplikované matematiky pro arboristy, LDF, 9.1.2015, 60 minut
1
2
3
4
5
6
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Body
1. [12 bodů]
Známka
Prostá a inverzní funkce
a) Definujte pojmy prostá funkce a inverzní funkce. 4. [6 bodů]
Lokální extrémy – výpočet. Je dána 1−x x a její derivace y 0 = 2 . funkce y = 3 (x + 2) (x + 2)4 Určete lokální extrémy této funkce a intervaly, kde funkce roste a kde klesá.
b) Uvažujme rovnici f (x) = f (a), kde f je prostá funkce, x neznámá, a parametr. Co je možno říci o existenci a jednoznačnosti řešení této rovnice? c) Vyřešte rovnici 2 ln(x − 1) = 3 a zarámečkujte krok výpočtu, ve kterém používáte definici inverzní funkce.
5. [8 bodů]
2. [6 bodů] Výpočet derivace. Vypočtěte derivace následujících funkcí √ a) y = 3x2 − x
a) Napište vzorec pro střední hodnotu funkce y = f (x) na intervalu [a, b] b) Vypočtěte střední hodnotu funkce x2 − 1 na intervalu [0, 2].
b) y = x4 ex − 1 3. [10 bodů]
Určitý integrál.
Aproximace funkce.
a) Jaké informace potřebujeme mít o funkci y = f (x) abychom mohli najít aproximaci této funkce v okolí bodu x = −2 polynomem stupně 4? 6. [8 bodů] b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě x = x0
Neurčitý integrál
a) Z derivace součinu odvoďte vzorec pro integrál metodou per-partés. Z b) Vypočtěte metodou per-partés x3 ln xdx
c) Rovnice tečny se použivá v Newtonově metodě (někdy nazývané Newtonova–Raphsonova metoda). Několika málo slovy napište, k řešení jakých úloh se tato metoda používá a odvoďte iterační vzorec pro tuto metodu.
• Požadavek: alespoň 18 bodů z 50 možných. Z √ Z
1 A2
x2
= arcsin
x A
− 1 1 x dx = arctan x2 + A 2 A A
Z
p 1 √ = ln x + x2 ± B 2 x ±B Z 1 1 x−A dx = ln A 2 − x2 2A x+A
Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy, 23.1.2015 60 minut
1
2
3
4
5
6
7
Jméno:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. [8 bodů] Napište definici inverzní funkce. Co musí funkce f splňovat, aby bylo možno k ní definovat funkci inverzní? Vyřešte rovnici ln(2x − 3) + 7 = 0
Body
Známka
4. [6 bodů] funkcí
Vypočtěte derivace následujících
a) y = x4 +
a zarámujte krok, ve kterém se použije inverzní funkce.
√
x
b) y = 3 sin(2x)
2. [10 bodů] a) Definujte pojmy rostoucí funkce a lokální maximum funkce 5. [8 bodů] Zformulujte Bolzanovu větu a popište, jak je možné pomocí této věty vyřešit rovnici (x − 1)x > 0. (x + 3)
b) Jak souvisí výše uvedené pojmy s derivací? Napište pro každý pojem samostatnou odpověď 3.
Pro funkci dvou proměnných ∂f z = f (x, y) platí f (2, −1) = 5, (2, −1) = 1, ∂x ∂f (2, −1) = 3. Jsou tyto informace dostatečné ∂y k nalezení lineární aproximace funkce v okolí bodu (2, −1)? Pokud ano, napište tuto aproximaci. Pokud ne, napište, jaké další informace potřebujeme. [8 bodů]
6. [10 bodů] Definujte pojem střední hodnota funkce f (x) na intervalu [a, b]. Vypočtěte střední hodnotu funkce y = 1 + x3 na intervalu [0, 1].
• Požadavek: alespoň 18 bodů z 50 možných. • Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. • Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. Z √ Z
1 A2
x2
= arcsin
x A
− 1 1 x dx = arctan x2 + A 2 A A
Z
p 1 √ = ln x + x2 ± B 2 x ±B Z 1 1 x−A dx = ln A 2 − x2 2A x+A
Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy LDF, 30.01.2015 60 minut
1
2
3
4
5
6
Jméno:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Body
Známka
1. [12 bodů] 4. [10 bodů] Máme oplotit pozemek tvaru obdélníka, jehož jedna strana leží podél dlouhé zdi a zbývající tři strany jsou tvořeny plotem. Celková délka plotu je 100 m. Je-li délka kratší strany x, je celkový obsah oploceného pozemku dán vzorcem
a) Definujte pojem rostoucí funkce. b) Napište několik nejčastějších využití derivace v matematice a v aplikacích matematiky. (Heslovitě, co nejvíce položek v seznamu.) c) Jaké informace potřebujeme mít o funkci y = f (x) abychom mohli najít lineární aproximaci této funkce v okolí bodu x = 2? Napište také celý vzorec pro tuto aproximaci.
S = 2x(50 − x) Nakreslete k příkladu obrázek, ukažte jak z něj vyplývá výše uvedený vzorec pro obsah a určete, pro které x je obsah největší.
d) Jaké dodatečné informace potřebujeme znát o funkci z předchozího bodu, abychom mohli najít její aproximaci polynomem druhého stupně v okolí x = 2. 2. [6 bodů] funkcí
5. [8 bodů] Odvoďte vzorec pro metodu perpartés. Vypočtěte pomocí této metody integrál Z x3 ln x dx.
Vypočtěte derivace následujících
√ a) y = 2x3 − 3 x
6. [8 bodů]
b) y = 3x sin(x)
• Napište vzorec pro výpočet určitého integrálu pomocí neurčitého.
3. [6 bodů] Sněhová koule o poloměru 0,6 metru se valí ze svahu, nabaluje na sebe další sníh a její poloměr roste rychlostí 0,1 metru za minutu. Jak rychle roste její objem? (Objem koule o poloměru 4 r je V = πr3 .) 3
• Vypočtěte střední hodnotu funkce x2 + 2x na intervalu [0, 1].
• Požadavek: alespoň 18 bodů z 50 možných. Z Z
√
1 A2
x2
= arcsin
x A
− 1 x 1 dx = arctan x2 + A 2 A A
Z
p 1 √ = ln x + x2 ± B 2 x ±B Z 1 1 x−A dx = ln A 2 − x2 2A x+A
Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy LDF, 6.2.2015 60 minut
1
2
3
4
5
6
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Známka
Body 1. [12 bodů]
Derivace, lokální extrémy, spojitost
a) Definujte pojmy lokální maximum a lokální minimum. Kdy řekneme, že funkce y = f (x) má v bodě x = a lokální maximum/minimum?
Lokální extrémy – výpočet. Je dána x(x − 2) x2 a její derivace y ′ = . Určete funkce y = x−1 (x − 1)2 lokální extrémy této funkce a intervaly, kde funkce roste a kde klesá. 4. [6 bodů]
b) Jak souvisí derivace funkce s lokálními extrémy? (Zformulujte Fermatovy větu.) c) Funkce f (x) má v bodě x = 0 derivaci. Je možné něco říct o spojitosti v tomto bodě? Co? Pokud existuje více možností, vypište všechny.
5. [8 bodů] Souvislost určitého a neurčitého integrálu. Napište vzorce umožňující:
d) Funkce f (x) je v bodě x = 0 spojitá. Je možné něco říct o existenci, nulovosti nebo znaménku derivace v tomto bodě? Co? Pokud existuje více možností, vypište všechny.
a) výpočet určitého integrálu pomocí neurčitého (Newtonova–Leibnizova věta). Ukažte použití na Z
2. [6 bodů] Výpočet derivace. Vypočtěte derivace následujících funkcí √ a) y = 2x2 − x
xdx
1
b) výpočet neurčitého integrálu pomocí určitého (integrál jako funkce horní meze). Ukažte použití na Z sin x dx x
b) y = sin(x) − 3x cos(x) 3. [10 bodů]
4√
Aproximace funkce.
a) Jaké informace potřebujeme mít o funkci y = f (x) abychom mohli najít aproximaci této funkce v okolí bodu x = 2 polynomem stupně 3? Napište i příslušný vzorec.
6. [8 bodů]
b) Lineární aproximace funkce se použivá v Newtonově metodě (někdy nazývané Newtonova– Raphsonova metoda). Několika málo slovy napište, k řešení jakých úloh se tato metoda používá. Co je vstupem metody, co je výstupem?
Integrální střední hodnota
a) Definujte pojem střední hodnota funkce, tj. napište vzorec pro výpočet střední hodnoty funkce y = f (x) na intervalu [a, b]. b) Vypočtěte střední hodnotu funkce x2 + 2 na intervalu [0, 1].
c) Jaké problémy nás mohou potkat při použití Newtonovy metody? Uveďte alternativní metodu pro řešení úloh stejného typu.
• Požadavek: alespoň 18 bodů z 50 možných. Literatura je povolena. Z Z
√
1 A2
x2
= arcsin
x A
− 1 x 1 dx = arctan x2 + A 2 A A
Z
p 1 √ = ln x + x2 ± B 2 x ±B Z 1 1 x−A dx = ln A 2 − x2 2A x+A
