5 havo wiskunde A Exponentiële formules
Een exponentiele formule is van de vorm f(x) = b ∙ gx. Hierin is b de beginhoeveelheid en g de groeifactor. De groeifactor geeft aan hoeveel keer zoveel de hoeveelheid wordt in 1 periode. In de formule is f(x) = 3 ∙ 1,5x is de beginhoeveelheid dus 3 en de groeifactor 1,5. Als x in deze formule de tijd in maanden is, dan wordt de hoeveelheid elke maand 1,5 keer zo groot. In 2 maanden tijd wordt de hoeveelheid dan 1,5 1,5 = 1,52 = 2,25 keer zo groot, dus de groeifactor per 2 maanden is 2,25. De groeifactor per jaar is dan 1,512 129,75 (want in een jaar zitten 12 maanden). 1
De groeifactor per week is dan 1,5 4 1,107 (want een week is
1 deel van een 4
maand). Je kan ook een groeipercentage omrekenen naar een andere tijdseenheid. Dat gaat altijd via de groeifactor. Als een hoeveelheid groeit met 1% per maand, dan is de groeifactor per maand 1,01. De groeifactor per jaar is dan 1,0112 1,1268 en dat betekent een groei van zo’n 12,68% per jaar.
1
Rekenen met groeifactoren a Bereken de groeifactor per week als de groeifactor per jaar 1,52 is. b Bereken de groeifactor per uur als de groeifactor per dag 1,58 is. c Bereken de groeifactor per 3 uur als de groeifactor per 8 uur 0,83 is. d Een hoeveelheid groeit met 1,01% per uur. Bereken met hoeveel procent deze hoeveelheid per dag groeit. e Een hoeveelheid neemt exponentieel af met groeifactor 0,70 per dag. Bereken hoeveel procent er per uur af gaat.
2
Bacteriën Een kolonie bacteriën groeit exponentieel. Na 1 uur waren er 2000 bacteriën, na 6 uur waren dat er 10000. Bereken hoeveel bacteriën er na 4 uur waren.
China’s defensie-uitgaven China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur 1 staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft. figuur 1 100 bedrag in miljarden 90 dollars 80 70 60 50 40 30 20 10 0 94 95 96 97 98 99 00 Legenda: hoge schatting werkelijke uitgaven lage schatting werkelijke uitgaven uitgaven volgens China
3p
4p
5p
6
7
8
01
02
03
04
05 tijd
In figuur 1 is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999 (nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan. Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest. Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005. Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%. Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.
lees verder ►►►
Volgens de Chinezen zelf valt het allemaal wel mee. Ze geven toe dat hun defensie-uitgaven jaarlijks stijgen: van 8 miljard dollar in 1994 tot 29 miljard dollar in 2005. Maar zij wijzen erop dat de defensie-uitgaven als percentage van het bruto nationaal product, het bnp, sinds 1994 vrijwel steeds gedaald zijn. Zie figuur 2. figuur 2
Defensie-uitgaven als percentage van het bnp
12 % van bruto nationaal product 11 10 9 8 7 0 94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
04
05 tijd
Dat een stijging van de defensie-uitgaven toch als een daling kan worden gepresenteerd, komt doordat de economie in China razendsnel groeit en het bnp dus ook.
5p
9
Met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 is voor 1994 en 2005 het bnp van China te berekenen. Bereken met hoeveel procent het bnp van China in 2005 gestegen is ten opzichte van 1994.
Vliegen In figuur 1 zie je voor een aantal achtereenvolgende jaren hoeveel passagiers er op luchthaven Schiphol zijn vertrokken of aangekomen. passagiersvervoer Schiphol 1978-1992
figuur 1
25 aantal passagiers in miljoenen 20
18,7 14,7 15,4
15
16,3 16,2
13,4
10 9,2
9,8
9,5
9,7
9,8
9,8
10,6
11,5 11,8
5
0
'78 '79 '80 '81 '82 '83 '84 '85 '86 '87 '88 '89 '90 '91 '92
Rond 1995 besloot de overheid dat Schiphol mocht uitbreiden. Een voorwaarde hiervoor was dat tot en met 2003 het aantal passagiers per jaar ruim onder de 40 miljoen zou blijven. Met behulp van de gegevens uit figuur 1 probeerde men te voorspellen of het haalbaar was om aan deze voorwaarde te voldoen. Men nam aan dat na 1992 het aantal passagiers elk jaar met een vast percentage zou groeien. Een schatting voor dit percentage baseerde men op de groei in de voorafgaande jaren. Men kan bijvoorbeeld de periode 1983-1992 nemen en dan als volgt te werk gaan: • neem het aantal passagiers in het eerste en het laatste jaar van deze periode (dus in 1983 en in 1992); • bereken met deze twee aantallen hoe groot het jaarlijkse groeipercentage zou zijn als in de tussenliggende periode het aantal passagiers elk jaar met hetzelfde percentage zou zijn gegroeid; • neem aan dat voor elk jaar na 1992 dit groeipercentage geldt. 5p
4p
1
2
Bereken op deze wijze of het aantal passagiers per jaar tot en met 2003 onder de grens van 40 miljoen zal blijven. Door niet naar de periode 1983-1992 te kijken, maar naar een andere periode, kon men op een lager jaarlijks groeipercentage uitkomen. Men gebruikte hiervoor niet een periode van 9 jaar, zoals de periode 1983-1992, maar een periode van 12 jaar. Welke periode van 12 jaar moet men in figuur 1 nemen om op een zo laag mogelijk jaarlijks groeipercentage uit te komen? Licht je keuze toe. Bij de hierboven beschreven methode zijn alleen de aantallen in het eerste en laatste jaar van de beschouwde periode van belang. De werkelijke groeipercentages voor elk jaar apart spelen daarbij geen rol. Een journalist meent dat het beter is om deze afzonderlijke groeipercentages wel te berekenen, en daar het gemiddelde van te nemen. Hij neemt als voorbeeld de periode 1981-1989. Hij berekent de jaarlijkse groeipercentages in deze periode (dus van 1982 ten opzichte van 1981 enzovoort). Deze zijn achtereenvolgens: 1,0; 0,0; 8,2; 8,5; 2,6; 13,6; 9,7; 4,8. 1,0 0,0 8,2 8,5 2,6 13,6 9,7 4,8 6,05 . Het gemiddelde hiervan is: 8
4p
3
De journalist meent nu dat je de ontwikkeling tussen 1981 en 1989 goed kunt beschrijven met de aanname dat vanaf 1981 het aantal passagiers 8 jaar lang jaarlijks met 6,05% is toegenomen. Maar als hij met deze aanname, uitgaande van 9,7 miljoen passagiers in 1981, het aantal passagiers in 1989 berekent, komt hij niet precies uit op het werkelijke aantal, zoals vermeld in figuur 1. Bereken hoe groot het verschil is tussen het door de journalist berekende aantal passagiers in 1989 en het werkelijke aantal.
