1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A − B) · (A − C) = A · (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! 2. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x) =
c x5
0
ha 1 < x . különben
(a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) (c) Sorolja fel a sűrűségfüggvény főbb tulajdonságait! 3. Az egy évben bekövetkező erős földrengések száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Annak valószínűsége, hogy egy évben nem történik erős földrengés, 0.3. (a) Átlagosan hány földrengés várható a Földön fél év alatt? (0.6020) (b) Mi a valószínűsége, hogy a következő fél évben legalább két földrengés lesz? (0.1226) (c) Megegyezhet-e egy Poisson-eloszlású valószínűségiváltozó várható értéke és szórása? Ha igen, mikor? 4. A ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása azonos, mindkettő 40. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy a a várható értéktől legalább a szórás kétsze- resével tér el, ha ξ eloszlása (a) ismeretlen? (legjeljebb 0.25) (b) exponenciális? (0.0498) (c) normális? (0.0456) 5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. (a) Határozza meg a dobott számok összegének várható értékét! (14.5) (b) Határozza meg a dobott számok összegének szórását! (4.4814) 6. Egy gyermek biztonsági ülés terhelhetőségére elvégzett próbatesztek a következő mérési eredményre vezettek (kg): 40 42 35 41 38 40 37 (a) Feltéve, hogy a terhelhetőség normális eloszlásu?, 95%-osmegbízhatósági szinten elfogadhatóe, hogy a várható értéke kevesebb, mint 40 kg? (b) Hipotézis-vizsgálatnál mit nevezünk első-, illetve másodfajú hibának?
1
2. feladatsor 1. Egy szabályos dobókockát 10-szer egymás után feldobunk. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott hatosok száma nagyobb lesz a várható értékénél? Milyen eloszlású a dobott hatosok száma? (b) Feltéve, hogy a dobások között nincs hatos, mi a valószínűsége, hogy minden dobás páros? (c) Mikor nevezünk egy valószínűségi változót diszkrétnek? 1 − x814 ha 3 < x 2. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F (x) = . 0 különben (a) P(ξ >6|ξ >4)=? (b) M(ξ)=? (c) Sorolja fel az eloszlásfüggvény tulajdonságait! 3. Egy gyárban olyan mosógépet gyártanak, mely élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó. A terméket úgy tervezik, hogy élettartama 0.78 valószínűséggel elérje a 3 évet. (a) Az ilyen típusú mosógépek hány százaléka megy tönkre 8 éven belül? (b) Ha már négy éve használok egy ilyen mosógépet, mi a valószínűsége, hogy még legalább 6 évig nem romlik el? (c) Mit jelent az örökifjú tulajdonság? 4. Egy bizottság üléseinek hossza normális eloszlást követ, 15 perc szórással. Annak a valószínűsége, hogy egy ilyen ülés hossza 90 percnél rövidebb, 0.15. (a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy ülés hossza 60 és 120 perc közé esik? (b) 0.9 valószínűséggel legfeljebb milyen hosszú lesz egy ülés? 5. Egy egyetemi előadásra 300 hallgató jelentkezik, de csak 250 férőhelyes termet rendelnek hozzá. A korábbi évek tapasztalata alapján tudjuk, hogy a hallgatók egymástól függetlenül 0.85 valószínűséggel járnak be az előadásra. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy az első előadáson lesz olyan hallgató, akinek nem jut ülőhely? (Számolásának eredményét 4-tizedesre kerekítve adja meg!) (b) Melyik tételt alkalmazta? Mit jelent az alkalmazott tétel? 6. Egy automata által kiadott ital mennyisége normális eloszlást követ, 5 ml szórással. Egy 12 elemű mintát vizsgálva a kiadott ital mennyiségére az alábbi értékeket kaptuk (ml): 143 154 144 148 151 160 142 144 154 150 146
148
(a) 95 %-os szignfikanci-szinten elfogadható-e, hogy a kiadott ital mennyiségének várható értéke 150 ml? (b) Adja meg a próbastatisztika eloszlását (H0 fennállása esetén)!
2
3. feladatsor 1. Egy dobozban alkatrészek vannak, közülük 2% selejt. Feldobunk egy szabályos dobókockát. A dobozból egyszer húzunk, ha a a dobott szám páratlan, kétszer, ha néggyel osztható és háromszor különben. (a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy pontosan egy selejtet húzunk? (b) Feltéve, hogy egy selejtet húzunk, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kockával páratlan számot dobtunk? (c) Mit nevezünk teljes eseményrendszernek? Adjon rá példát a feladatból! 2x ha 0 ≤ x < 3 9 2. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x) = . 0 különben (a) D(ξ)=? (b) P(ξ >1|ξ <2))=? (c) Mit jelent, hogy egy valószínűségi változó folytonos eloszlású? 3. Egy ablaktalan folyosóra öt, egymástól függetlenül működő új fénycsövet szerelnek fel, amelyek élettartama rendre exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 8000 óra várható értékkel. Mi a valószínűsége annak, hogy a folyosón 6000 óra múlva teljesen sötét lesz, ha a fénycsöveket (a) párhuzamosan kötötték be? (b) sorosan kötötték be? 4. Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, 20 várható értékkel és 15 szórással. (a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy ξ értéke 10-nél kisebb? (b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy ξ értéke 10-nél kisebb, ha tudjuk, hogy pozitív? 5. Egy telefonos ügyfélszolgálatnál két kapcsolás között eltelt idő exponenciális eloszlást követ, 2 perc várható értékkel. (a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy a századik kapcsolásig legalább 3 óra telik el? (b) Melyik tételt alkalmazta? Mely feltételeknek kell teljesülni a tétel alkalmazásához? 6. Az alábbi minta 7 autó fogyasztási adatait tartalmazza (l/100km). Az első sorban a szerviz előtt, a második sorban a szerviz után mért értékek találhatók. 7.9 8.1 8.8 7.5 7.5 8.1
7.2 6.0 7.4 7.6 5.7 7.5
8.0 7.8
(a) 95 %-os szignifikancia szinten igaz-e, hogy a szerviz csökkentette a fogyasztást? (b) Hogyan csökkenthető a másodfajú hiba valószínűsége?
3
4. feladatsor 1. Egy kikötőbe egy adott napon (24 óra) két teherhajó érkezik. Az érkezés időpontja a nap folyamán mindkét hajó esetében véletlenszerű. Mindkét teherhajó 6-6 órát tölt a kikötőben. (a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kikötőben találkoznak? (b) Milyen eloszlással írható le az egyik hajó érkezési ideje? c · x2 ha −2 < x < 2 2. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x) = . 0 különben (a) c=? (b) D(ξ)=? (c) Milyen kapcsolat van a sűrűség- és az eloszlásfüggvény között? 3. Megfigyelések szerint annak a valószínűsége, hogy egy telefonos ügyfélszolgálatnál egy óra alatt érkezik bejövő hívás, 0.9998. (A bejövő hívások száma Poisson-eloszlást követ.) (a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy két óra alatt pontosan 4 hívás érkezik? (b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy fél óra alatt legalább 4 hívás érkezik? (c) Mekkora lehet egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó paraméterének értéke? 4. A ξ normális eloszlású valószínűségi változó 0.25 valószínűséggel vesz fel 20-nál kisebb, 0.3 valószínűséggel 30-nál nagyobb értéket . (a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy ξ értéke legalább 25! (b) Rajzolja fel ξ sűrűségfüggvényének grafikonját és jelölje rajta a fenti valószínűségnek megfelelő területet! 5. Egy irodában munkaidőben 400 személyi számítógép mindegyike egymástól függetlenül 0.7 valószínűséggel kapcsolódik az internetre. Ha egyszerre 300-nál több gép kapcsolódik az internetre, a rendszer túlterhelődik. (a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy túlterheltség lesz? (Számolásának eredményét 4-tizedesre kerekítve adja meg!) (b) Mikor közelíthetünk egy binomiális eloszlású valószínűségi változót Poisson-eloszlásúval? Hogyan számolható ki ekkor a megfelelő Poisson-eloszlás paramétere? 6. Egy adott autótípus fogyasztási adatait vizsgálták. 40 autó alapján az átlagfogyasztás 7,12 liter/100 km, a korrigált tapasztalati szórás 0.28 liter/100 km. (a) Elfogadható-e 95%-os szignifikancia szinten, hogy a fogyasztás várható értéke több, mint 7 liter/100 km? (b) Milyen kapcsolat van a tapasztalati és a korrigált tapasztalati szórás között?
4
5. feladatsor 1. A (0, 1) intervallumból véletlenszerűen kiválasztunk két valós számot. (a) Mi annak a valószínűsége, hogy a két szám különbsége kisebb, mint a kisebbik szám kétszerese? (b) Mikor nevezünk két eseményt függetlennek? 2. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F (x) =
0 x2 −4 45
1
ha x ≤ 2 ha 2 < x ≤ 7 . ha 7<x
(a) P(ξ<5 |ξ <9)=? (b) D(ξ)=?
√ (c) Lehet-e egy valószínűségi változónak 2 a várható értéke? Lehet-e egy valószínűségi változó szórása −2? Indokolja válaszát!
3. Egy virágboltba félóránként érkező vásárlók száma megfigyelések szerint Poisson-eloszlást követ. Annak valószínűsége, hogy fél óra alatt érkezik vásárló, 0.8354. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy fél óra alatt 4-nél kevesebb vásárló érkezik? (b) Mi a valószínűsége annak, hogy 10 perc alatt pontosan 3 vásárló érkezik? 4. Egy termék hossza normális eloszlást követ 25 mm várható értékkel és 0.8 mm szórással. Egy termék selejtes, ha hossza a várható értéktől legalább 1.5 mm-rel eltér. (a) A termékek hány százaléka selejtes? (b) Hogyan változtassuk meg a selejthatárt ahhoz, hogy a termékek maximum 2 %-a legyen selejt? 5. Feldobunk 100 dobókockát. (a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy a dobott számok átlaga legalább 3.7? (Számolásának eredményét 4-tizedesre kerekítve adja meg!) (b) Melyik tételt alkalmazta? Írja le saját szavaival, hogy mit jelent a tétel! 6. Egy gyártósornál rendszeresen 5 elemű mintát vesznek a termékekből. Egy hét alatt 400 mintát vettek. A mintákban talált selejtek gyakorisága az alábbi volt: selejtek száma gyakoriság
0 1 2 3 4 5 145 155 80 12 6 2
Modellezhető-e a mintában levő selejtek száma olyan binomiális eloszlással, melynek várható értéke a fentiekből számolt átlag?
5
6. feladatsor 1. Alex meghívja barátnőjét vacsorára egy budapesti étterembe. Ott fognak találkozni péntek este 7 órakor. Három úton is megközelítheti autójával az éttermet, amelyeken péntek este rendre 0.2; 0.4; 0.8 eséllyel kerül dugóba. Arra gondol, hogy egy véletlen kísérlettel dönti el, hogy melyik utat válassza. Feldob egy szabályos dobókockát, és ha 1-t kap eredményül, akkor a harmadik utat választja, ha párosat, akkor az elsőt, ha páratlan prímszámot dob, akkor a másodikat. (a) Tudjuk, hogy elkésett, mekkora a valószínűsége, hogy a második utat választotta? (b) Fogalmazza meg, mit jelent egy A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűsége! 0,05 · e0,05·x ha 0 < x 2. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x) = . 0 különben (a) P(ξ<40 |ξ>20)=? (b) D(ξ)=? 3. Vihar idején két villámcsapás között eltelt idő percekben mérve exponenciális eloszlást követ. Annak valószínűsége, hogy két villámcsapás között kevesebb, mint fél perc telik el, 0.36. (a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy két villámcsapás között legalább két perc telik el? (b) Ha két perce nem észleltünk vilámcsapást, mekkora annak a valószínűsége, hogy a következ? fél percben sem fogunk? Indokolja válaszát! 4. Egy közvéleménykutatónál a telefonos megkérdezések hossza normális eloszlású valószínűségi változó, 10 perc szórással. Annak a valószínűsége, hogy egy hívás 3 percnél rövidebb ideig tart, 0.1. (a) Mekkora az az időtartam, amelynél a hívásoknak mindössze 5 %-a hosszabb? (b) Vázolja fel a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének grafikonját! 5. Egy bizonyos típusú fénycső élettartama exponenciális eloszlást követ, 8000 óra várható értékkel. Veszünk 500 darab fénycsövet. (a) Kb. 0.95 valószínűséggel milyen (várható értékre szimmetrikus) intervallumba esik a fénycsövek élettartamának átlaga? (b) Hogyan változik a fénycsövek átlagélettartamának szórása, ha a fénycsövek számát csökkentjük, illetve növeljük? 6. Egy kutatás során a színvakság és a nem kapcsolatát vizsgálták. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: színvak nő 18 férfi 32
nem színvak 822 778
Elfogadható-e 95%-os szignifikancia szinten az az állítás, hogy a színvakság és a nem között nincs összefüggés? (nem fogadható el)
6
