3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

A

E3

►





Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

B

E2

3.1.Kartézský souřadnicový systém O…počátek i,j,k …ortonormální vektory Společná velikost vektorů j

(x,y)…souřadnicová rovina (y,z)…souřadnicová rovina (x,z)…souřadnicová rovina x,y,z…osy

►

V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém

3.1.Kartézský souřadnicový systém p...půdorysna n...nárysna

m...bokorysna x...základnice x=pn y=pm z=nm

B2...nárys bodu B B1...půdorys bodu B

B3...bokorys bodu B

►

Poloha bodu B v prostoru je určena trojicí čísel x,y,z. Jsou to orientované vzdálenosti bodu B od souřadnicových rovin. Trojici (x,y,z) říkáme kartézské souřadnice

3.2 Základní pojmy Mongeova promítání p...půdorysna

n...nárysna x...základnice xpn

B2...nárys bodu B B1...půdorys bodu B B2 B1...ordinála

► ►

Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B1,B2, (B1B2), je kolmá k základnici.

Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné BB1,B2

3.2 Základní pojmy Mongeova promítání p...půdorysna

n...nárysna x...základnice xpn

B2...nárys bodu B B1...půdorys bodu B B2 B1...ordinála

► ►

Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B1,B2, (B1B2), je kolmá k základnici.

Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné BB1,B2

3.4 Průměty základních útvarů Přímka a v obecné poloze

N = a  n ...nárysný stopník přímky a

P = a  p ...půdorysný stopník přímky a a2...nárys přímky a a1...půdorys přímky a

b...nárysně promítací rovina přímky a

a...půdorysně promítací rovina přímky a

► ►

Sdružené průměty a1 ,a2 určují přímku a v prostoru jednoznačně. Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A

3.4 Průměty základních útvarů Přímka a v obecné poloze

N2...nárysný průmět nárysného stopníku přímky a N1...půdorysný průmět nárysného stopníku přímky a

P2... nárysný průmět půdorysného stopníku přímky a P1... půdorysný průmět půdorysného stopníku přímky a a2...nárys přímky a

a1...půdorys přímky a

► ►

Sdružené průměty a1 ,a2 určují přímku a v prostoru jednoznačně. Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A

3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy přímky, hn, fp, cx12

h2...nárys přímky h jako bod h1...půdorys přímky h kolmice na základnici N  h  n ...nárysný stopník přímky P  h  p ...půdorysný stopník přímkynevlastní bod

3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy přímky, hn, fp, cx12

h2...nárys přímky h jako bod h1...půdorys přímky h kolmice na základnici N  h  n ...nárysný stopník přímky P  h  p ...půdorysný stopník přímkynevlastní bod

3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka horizontální h||p,

h2...nárys přímky h h2 x12

h1...půdorys přímky h N  h  n ...nárysný stopník přímky

P  h  p ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod

N1…půdorysný průmět nárysného stopníku

N2…nárysný průmět nárysného stopníku

3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka horizontální h||p,

h2...nárys přímky h h2 x12

h1...půdorys přímky h N  h  n ...nárysný stopník přímky

P  h  p ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod

N1…půdorysný

průmět nárysného stopníku

N2…nárysný průmět nárysného stopníku

3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka frontální, f||n,

f2...nárys přímky f f1...půdorys přímky ff1 x12 N  f  n ...nárysný stopník přímky nevlastní bod P  f  p ...půdorysný stopník přímky

P1…půdorysný

průmět půdorysného stopníku

P2…nárysný průmět

půdorysného stopníku

3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka frontální, f||n,

f2...nárys přímky f f1...půdorys přímky ff1 x12 N  f  n ...nárysný stopník přímky nevlastní bod P  f  p ...půdorysný stopník přímky

P1…půdorysný

průmět půdorysného stopníku

P2…nárysný průmět

půdorysného stopníku

3.4 Průměty základních útvarů

a) třemi body

Určení roviny:

C2

B2

A2 x12

B1

A1

b) dvěma různoběžkami

C1 u2

B2 v2

x12 u1 B1 v1

c) dvěma rovnoběžkami a2

b2

x1 2

a1

b1

d) přímkou a bodem Mp p2

M2

x1 2

p1

►

M1

V Mongeově promítáni budeme rovinu která není kolmá k průmětně, zadávat pomocí sdružených průmětů určujících prvků.

3.4 Průměty základních útvarů Určení roviny třemi body

Rovina může být určena rovnou stopami. na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny

n2

x12 p1

n2 …nárysný průmět nárysné stopy roviny  p1 …půdorysný průmět půdorysné stopy roviny 

►

Pří hledání stop roviny využijeme faktu že stopníky přímek ležících v rovině nutně leží na stopách roviny.

3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy roviny

a) půdorysně promítací

b) nárysně promítací c) kolmá k základnici d) rovnoběžná s některou z průměten

Polohu roviny považujeme za zvláštní když je kolmá k některé z průměten, případně k oběma. ► Půdorysem roviny s (sp) je přímka, kterou označíme s1, nárysem je celá průmětna. ►

3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy roviny a)

►

půdorysně promítací

b) nárysně promítací

c)kolmá k základnici d)rovnoběžná s některou z průměten

Je-li rovina v obecné poloze, můžeme z jednoho průmětu bodu roviny, podobně jako u přímky, určit zbývající průmět. U zvláštních poloh roviny tomu tak vždy není.

3.4 Průměty základních útvarů Půdorysně promítací rovina

►

Je-li rovina v obecné poloze, můžeme z jednoho průmětu bodu roviny, podobně jako u přímky, určit zbývající průmět. U zvláštních poloh roviny tomu tak vždy není.

3.5 Polohové úlohy Vzájemná poloha přímek a) různoběžné

b) rovnoběžné

c)mimoběžné

Zkoumáme-li vzájemnou polohu základních útvarů, tj. bodů, přímek a rovin, vycházíme z toho , že rovnoběžné promítaní zachovává incidenci. Takže platí Am  A1m1, A2m2 ► Snadno nahlédneme, že sdružené průměty různoběžných přímek (v obecné poloze) jsou dvojice různoběžných přímek, jejichž průsečíky leží na kolmici k základnici. R a b  R1 a1 b1, R2a2 b2, R1R2  x1,2 ► Pro sdružené průměty přímek a||b v obecné poloze platí: a1||a2, a2||b2.

►

3.5.1 Úloha ►

Je dán půdorysný průmět bodu A1. Najdi A2 tak aby bod ležel v rovině určené různoběžkami b, c.

3.5.2 Hlavní přímky roviny

3.5.2 Úloha Sestrojte hlavní přímky v rovině s, která je dána třemi body A, B, C .

Dáno: s = (A,B,C ) Hledáme: h horizontální hlavní přímku h || p, h  s

►

Řeš obdobnou úlohu. Hledáme: f frontální hlavní přímku f || n, f  s

3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s

Dáno: s = (A,B,C ), m. Hledáme: M  m  s

►

Této metodě se říká také metoda krycí přímky

3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s

Dáno: s = (A,B,C ), m. Hledáme: M  m  s

►

Této metodě se říká také metoda krycí přímky

3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s

►

Této metodě se říká také metoda krycí přímky

3.6 Metrické úlohy Úlohy při nichž řešíme velikosti úseček a úhlů Definice. Úhel dvou mimoběžných přímek je definován jako úhel dvou s nimi rovnoběžných různoběžek Definice. Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá ke všem přímkám roviny Věta. Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá alespoň ke dvěma různoběžným přímkám roviny Poznámka. Rovina je kolmá k rovině jestliže obsahuje alespoň jednu přímku k ní kolmou

3.6.1 Sklápění promítací roviny do průmětny

3.6.2 Úloha Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB.

Jiné řešení úlohy: sklápěj úsečku AB do hlavní roviny p‘ || p procházející bodem A ► použij pro sklápění nárysně promítací roviny ►

3.6.3 Úloha Zobrazte rovnostranný trojúhelník DABC ležíci v rovině s,(sn), je-li dána jeho strana

AB.

►

Zobrazíme jedno ze dvou řešení.

3.6.4 Úloha Zobrazte kružnici k=(S,r) ležíci v rovině s,(sn).

►

Snadno nahlédneme, že sdružené průměty kružnice ležící v promítací rovině můžeme sestrojit přímo bez sklopení kružnice.

3.6.5 Přímka kolmá k rovině Poznámka. Kolmice m k rovině s je kolmá ke všem přímkám roviny s, tedy i k hlavním přímkám (stopám) této roviny. Věta. Pravý úhel mezi přímkami a,b se pravoúhlým promítáním zachová, je-li alespoň jedno jeho rameno rovnoběžné s průmětnou p nebo v ní leží.

3.6.6 Úloha Daným bodem M sestrojte přímku m kolmou k rovině s

3.6.6 Úloha Daným bodem M sestrojte přímku m kolmou k rovině s

►

V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme průsečík s rovinou s

3.6.7 Úloha Daným bodem M sestrojte rovinu  kolmou k dané přímce m.

3.6.7 Úloha Daným bodem M sestrojte rovinu  kolmou k dané přímce m.

►

V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme průsečík s rovinou s

To je konec