3.fejezet STABILITÁS 3.1 Bevezetés A stabilitás az egyik legfontosabb probléma a fémszerkezetek tervezésében, mert az instabilitás sok esetben okoz meghibásodást vagy tönkremenetelt. Számos konferenciasorozat eredményeként a tudósok egy nemzetközi csoportja kidolgozta az acélszerkezetek stabilitás-számításának világ-áttekintését (Stability 1991). E könyvben az Ausztráliában, Kínában, Kelet- és Nyugateurópában, Japánban és Északamerikában kapott eredményeket a következő 12 fejezetben foglalták össze: nyomott rudak, osztott szelvényű rudak, hengerelt szelvényű tartók, hegesztett I- és szekrényszelvényű tartók, hajlított és nyomott rudak, keretek, ívek, rácsos tartók, csőszerkezetek, héjak, hidegen alakított szelvényű rudak, kompozit (együttdolgozó acél+vasbeton) tartók. A szerkezet-stabilitással foglalkozó sok könyv közül az alábbiakat lehet kiemelni: KollárDulácska (1984) a héjak stabilitásáról, Petersen (1980) sok számpéldával, a részletes japán stabilitási kézikönyv Handbook (1970), Chen és Lui (1991) a keretek stabilitásáról, Rondal et al (1992) a csőszelvényű szerkezetek stabilitásáról, Waszczyszyn et al. (1994) véges elemes módszerrel tárgyalja a stabilitást. 3.2 A keresztmetszetek osztályai Vizsgáljunk egy kéttámaszú, hajlításra és nyírásra igénybevett tartót (3.1a ábra). A képlékeny méretezés feltételezi, hogy képlékeny csukló jön létre, ha a maximális hajlító nyomaték helyén a keresztmetszet megfelelő szögelfordulást tud végezni. A 3.1b ábra az M − θ összefüggést és a hegesztett I-tartóban keletkező feszültségeloszlásokat mutatja, amelyek megfelelnek az EC3 által definiált 4 keresztmetszet-osztály esetén fellépő határállapotoknak, az alábbiak szerint: 1. osztály: a megfelelő szögelfordulás-kapacitás lehetővé teszi képlékeny csukló kialakulását helyi horpadások nélkül; 2. osztály: az Mp képlékeny nyomaték ki tud alakulni, de a szögelfordulási kapacitást korlátozza a helyi horpadás; 3. osztály: a feszültség a szélső szálakban eléri az fy folyáshatárt helyi horpadás nélkül; 4. osztály: a feszültségek helyi horpadás nélkül nem tudják elérni a folyáshatárt és együttdolgozó lemezszélességek számítása szükséges.
1
3.1 ábra. A szelvények osztályba sorolása az EC3 szerint: a) Képlékeny csukló a hajlított kéttámaszú tartóban; b) a hajlító nyomaték az elfordulási szög függvényében, a képlékeny csuklónál lévő szelvény határállapotai a helyi horpadástól függően
3.3 Nyomott rudak 2
3.3.1 Síkbeli kihajlás A nyomott rudak kihajlás-számításának fejlődése jól mutatja, hogyan finomodott a modell a gyártási szempontok figyelembe vételével. Az első fázisban Euler (1778) egyenes rúdra oldotta meg a differenciálegyenletet és 2 meghatározta a kritikus erőt: FE = π 2 EI x / ( KL) vagy a feszültséget
σ E = π 2 E / λ2 ; λ = KL / r
(3.1)
ahol r = Ix / A az inercia-sugár, K a kihajlási hossz-tényező, A a keresztmetszet-terület, E a rugalmassági modulus, L a rúdhossz, Ix a másodrendű nyomaték. A 3.2 ábra mutatja, hogy az Euler-hiperbola csak a rugalmas szakaszon érvényes, ha σ ≤ σ 0 ahol σ 0 a rugalmas határ. Később több szerző leírta a képlékeny kihajlást. A második fázisban Ayrton és Perry (1886) figyelembe vette a kezdeti rúdgörbeséget, mivel ezt a gyártás során nem lehet teljesen kiküszöbölni. Célszerű tárgyalni ezt a modellt, mert ez az alapja az EC3 kihajlási képletének. A csuklós végű, a = a 0 sin(πz / L) (3.2) kezdeti sinus-alakú görbeségű nyomott rúd (3.3 ábra) differenciálegyenlete d2y M N (a + y ) =− =− (3.3) 2 EI x EI x dz
3.2 ábra. Az Euler-hiperbola és érvényessége: rugalmas és képlékeny kihajlás N a nyomóerő. A megoldást y = y 0 sin(πz / L) alakban keresve
(3.4)
3
a0 (3.5) FE / N − 1 adódik. A kihajlás képletét a külpontos nyomásra vonatkozó alábbi feszültségi feltételből N N (a 0 + y 0 ) lehet levezetni: + ≤ fy (3.6) A Wx y0 =
3.3 ábra. Az Ayrton-Perry modell kezdetben görbült rúdra és a rúd másodrendű rugalmas alakváltozása A harmadik fázisban a hegesztésből visszamaradó feszültségek hatását vették figyelembe. Az európai kihajlási görbéket különböző hegesztett szelvényekre nagy kisérletsorozatok statisztikai értékelése alapján állapították meg (Beer és Schulz 1970).
4
A kísérletek azt mutatták, hogy a maradó (gyártási) feszültségek jelentősen befolyásokják a kihajlási szilárdságot, főleg a hegesztett szelvényű rudak y-tengely körüli kihajlása esetén, mert ezek öveinek szélén nyomófeszültségek maradnak vissza. Az EC3 a Maquoi és Rondal (1978) által javasolt képletet alkalmazza. Ez a (3.6)-ból vezethető le, bevezetve egy paramétert, amely figyelembe veszi a kezdeti görbeség és a maradó feszültségek hatását. Bevezetjük az alábbi jelöléseket: σ = N / A; σ E = FE / A; η b = a 0 A / Wx A (3.6) az alábbi alakban irható: ( f y − σ )(σ E − σ ) = η bσσ E (3.7) Ezt az egyenletet az alábbi összefüggések bevezetésével alakítjuk át: σ / f y = χ ; σ E / f y = π 2 E / f y λ2 = 1 / λ2
(
)
(3.8)
λ = λ / λ E ;λ E = π E / f y Ezzel a ⎞ χη − χ⎟ = 2b ⎠ λ λ egyenletet kapjuk, amely másodfokú egyenletre vezet 1⎞ 1 ⎛ η χ 2 − ⎜ 1 + 2b + 2 ⎟ χ + 2 = 0 ⎝ λ λ ⎠ λ Ennek megoldása
(1 − χ )⎛⎜⎝
1
(3.9)
2
(3.10)
φ − φ 2 − λ2 1 χ= = 2 λ φ + φ 2 − λ2 ahol
(
φ = 0.5 1 + η b + λ2
)
és
(3.11)
(
η b = α λ − 0.2
)
λ ≤ 0.2 esetre χ = 1. α a kezdeti alakpontatlansági tényező, ennek értékeit a különböző kihajlási görbékre a 3.1 táblázat adja meg. 3.1 táblázat. Alakpontatlansági tényezők Kihajlási görbe a b Alakpontatlansági 0.21 0.34 tényező
c 0.49
d 0.76
Az EC3 szerint a kihajlási görbék az alábbi szelvényekre érvényesek: a - melegen alakitott üreges szelvények,
5
3.4 ábra. Kihajlási görbék a) EC3; b) JRA; c)API; d) AISC szerint b – hidegen alakított üreges szelvények, hegesztett szekrényszelvények, hegesztett Iszelvények x-tengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság kisebb mint 40 mm, c – hegesztett I-szelvények y-tengely (a gerinclemezzel párhuzamos tengely) körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság kisebb mint 40 mm, hegesztett I-szelvények xtengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság nagyobb mint 40 mm, továbbá U-,L és T- valamint tömör szelvényekre,
6
d – hegesztett I-szelvények y-tengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság nagyobb mint 40 mm. A nyomott rudak ellenőrzési képlete N ≤ χAf y / γ M 1 (3.12) ahol γ M 1 = 11 . a kihajlásra vonatkozó biztonsági tényező. Az EC3 képlet túl összetett a kézi optimáláshoz, ezért e célból más, egyszerűbb képleteket célszerű használni. A 3.4 ábra más kihajlási görbéket mutat az EC3 “b” jelű görbéjéhez hasonlítva. Látható, hogy a Japán Közúti Hidszabályzat (JRA) görbéje az EC3 görbéhez közeli értékeket ad. Ennek képletei χ =1 ha λ ≤ 0.2
χ = 1109 . − 0.545λ
ha
χ = 1 / 0.773 + λ2
ha
(
)
0.2 ≤ λ ≤ 1
(3.13)
λ ≥1
Az American Petroleum Institute (API) kihajlási görbéjének képletei χ = 1 − 0.25λ2 ha 0 ≤ λ ≤ 1.41
(3.14)
χ = 1 / λ2
ha λ ≥ 141 . Az Amerikai Acélszerkezeti Intézet (American Institute of Steel Construction AISC) főként körcsövekre használt görbéjének képletei λ ≤ 141 . χ = 1 − 0.091λ − 0.22λ2 ha (3.15a)
χ = 0.015 + 0.834 / λ2
λ ≥ 141 .
ha
(3.15b)
A negyedik fázisban a Liège-I Egyetemen vékonyfalú derékszögű négyszögű üreges szelvényekkel végeztek kísérleteket a kihajlás és lemezhorpadás kölcsönhatásának tanulmányozására. Ha a szelvény legjobban igénybevett lemezrésze behorpad, a kihajlási szilárdság csökken. Braham et al (1980) erre az esetre csökkentő tényezőt javasolt, amelyet az EC3 is tartalmaz. A .(3.12) az alábbiak szerint módosul: N ≤ β A χAf y / γ M 1 és λ = λ βA / λE (3.16) ahol
βA =1
az 1, 2 és 3 osztályú szelvényekre,
β A = Aeff / A
a 4. osztályú
szelvényekre. Az együttdolgozó szelvény-terület a nyomott lemezelemek együttdolgozó szélességeivel számitható a 3.6 pont szerint. Az alumínium-ötvözetű nyomott rudak kihajlás-számítására a BS 8118 (1991) angol szabvány használható, amely az EC3 –mal azonos képleteket ad meg. A kezdeti alakpontatlansági tényezők az alábbiak: nem hegesztett szimmetrikus szelvényekre α = 0.2 , a hegesztettekre 0.45. Összefoglalva megállapítható, hogy a nyomott rudak kihajlás-számítása az Euler-féle differeciálegyenlettől indulva az EC3 módszeréhez vezetett, amely figyelembe veszi a kezdeti alakpontatlanságot, a maradó feszültségeket és a két instabilitási jelenség kölcsönhatását. Megjegyezzük, hogy a két instabilitási jelenség kölcsönhatása fontos szerepet játszik az optimális méretezésben is.
7
3.5 ábra. A kihajlási hossz-tényező (K) értékei A K kihajlási hossz-tényező a rúdvégek megfogási módjának hatását fejezi ki. Néhány egyszerű esetre értékeit a 3.5 ábra adja meg. Ezektől eltérő értékek használatosak a rácsos tartók és keretek rúdjainál. Ha a rúd váltakozó húzó-nyomó erővel van terhelve, kapcsolatait fáradásra kell méretezni. 3.3.2 Elcsavarodó kihajlás Hajlításra, nyomásra és csavarásra terhelt rúd differenciál-egyenlet-rendszerét (3.6 ábra) Vol’mir (1967) vezette le. Kettősen szimmetrikus szelvényekre (jelölések a 2. fejezet szerint) EI x v ''''+ Nv ''− M y ϕ '' = p y
EI y u' ' ' '+ Nu' '− M x ϕ ' ' = p x
(3.17)
⎞ ⎛ NI p EI ω ϕ ' ' ' '+⎜ − GI t ⎟ ϕ ' '− M y v ' '− M x u' ' = M t ' ⎠ ⎝ A A (‘) jelölés a z-szerinti deriválást jelenti. Központosan nyomott rúd elcsavarodására az alábbi egyenlet adódik ⎞ 1 ⎛ NI p ϕ ' ' ' '+ − GI t ⎟ ϕ ' ' = 0 ⎜ EI ω ⎝ A ⎠ Mivel Bω = EI ω ϕ ' ' , a (3.18) alakja
(3.18)
⎞ 1 ⎛ NI p − GI t ⎟ (3.19) ⎜ EI ω ⎝ A ⎠ Villás rúdvégekre vonatkozó kerületi feltételek: z=0, z=L Bω = 0 a megoldás Bω = C sin αz . Mivel C ≠ 0 , a sin αz = 0 -ból αL = mπ adódik. A legkisebb érték az m = 1-hez tartozik, tehát
Bω ''+α 2 Bω = 0
σ ωcr =
π 2 EI ω L2 I p
+
α2 =
GI t Ip
(3.20)
8
3.6. ábra. Az elcsavarodó kihajlás számításához
3.4 Hajlított tartók kifordulása Kifordulási instabilitás léphet fel, ha a kis csavarási merevségű nyitott szelvényű tartókat hajlításra terheljük az elcsavarodás elleni megtámasztások nélkül. A 3.7 ábra villás támaszú, végein hajlító nyomatékokkal terhelt I-tartó esetére mutatja, hogy a másodrendű csavaró nyomaték-komponensből származó járulékos csavarás hatására a felső nyomott övlemez a vízszintes síkban kihajolhat.
3.7 ábra. Villás támaszú kéttámaszú I-tartó kifordulása
9
A z távolságra lévő keresztmetszet M b = M cos α hajlító nyomatékkal és M t = M sin α csavaró nyomatékkal van terhelve. Mivel az alakváltozások kicsik, közelítőleg M x = M b cosϕ ≈ M (3.21a) M y = M b sin ϕ ≈ Mϕ (3.21b) Az y tengely körüli hajlítás differenciálegyenlete M u'' = ϕ EI y A csavarás differenciálegyenlete (l.a 2. fejezetet) GI t ϕ ' '− EI x ϕ ' ' ' ' = M t ' = − Mu'' A (3.22)-t a (3.23)-ba helyettesítve GI t M2 α= ;β = 2 ϕ ' ' ' '−2αϕ ' '− βϕ = 0 2 EI ω E I y Iω A kerületi feltételek: z=0 és z=L megoldás ϕ = C sin mz A (3.25)-t a (3.24)-be helyettesítve
helyen
(3.22) (3.23) (3.24)
ϕ = ϕ '' = 0. A kerületi feltételek kielégítő (3.25)
m = −α + α 2 + β
(3.26)
Mivel C ≠ 0 a z=L , ϕ = 0 feltételből sinmL =0. Az m legkisebb értéke π , tehát m = π / L. Ide a (3.26)-t helyettesítve megkapjuk a kritikus kifordulási hajlító nyomatékot
⎛ π 2 EI ω ⎞ M cr = EI y GI t ⎜ 1 + 2 (3.27) ⎟ L L GI t ⎠ ⎝ Az EC3 kettősen szimmetrikus szelvényű, illas támaszú tartó, zérus rúdvég-nyomatékok és a nyírási középpontban működő merőleges terhelésekre az alábbi képleteket adja meg: π 2 EI y I ω L2 GI t M cr = C1 + (3.28) I y π 2 EI y L2
π
ahol a C1 állandók értékei a támaszköz közepén működő koncentrált erő esetén C1 = 1.365, egyenletesen megoszló teher esetén C1 = 1.132. Az EC3 szerint a kifordulásra való ellenőrzés a kihajlási ellenőrzéshez hasonlóan történik:
M ≤ M b = χ LT β wWpl . y f y / γ ahol
(3.29)
M1
β w = 1 az 1 és 2 osztályú szelvényekre, β w = Wel . y / Wpl . y a 3. osztályúakra,
β w = Weff . y / Wpl . y a 4. osztályúakra. χ LT =
1
φ LT + φ 2 − λ2LT
[
(
χ LT ≤ 1
de
)
φ LT = 0.5 1 + α LT λ LT − 0.2 + λ2LT α LT = 0.21 hengerelt szelvényekre,
]
ha
λ LT ≤ 0.2
χ LT = 1:
α LT = 0.49 hegesztett szelvényekre,
10
λ LT = β wWpl . y f y / M cr = λ LT β w / λ E ;
λLT = π 2 EWpl . y / M cr
Wel.y ill. Wpl.y a z-tengely körüli hajlításra vonatkozó rugalmas ill. képlékeny keresztmetszeti tényező, Weff.y az együttdolgozó keresztmetszetre vonatkozó tényező, amelyet az együttdolgozó lemezszélességekkel számolunk. 3.5 Hajlított és nyomott rudak A hajlításra és nyomásra igénybevett rudak tervezésénél a másodrendű rugalmas alakváltozás hatását is figyelembe kell venni. Ez függ a hajlító nyomatéki ábrától és a szelvény osztályától. A tervezési szabványok közelítő képleteket adnak meg a pontos megoldás (l.pl. Chen és Atsuta 1977, Trahair 1993) helyett. Itt csak az EC3 3. osztályú szelvényekre vonatkozó képleteit adjuk meg, továbbá a DuanChen képleteket (Duan and Chen 1989, Duan 1990) amelyeket körcsőszelvényekre javasoltak. Ezek a másodrendű hatást a hajlító nyomaték növelő tényezővel való szorzásával veszik figyelembe. Az EC3 képletei az üreges szelvényű rudakra, amelyeknél kifordulás nem lép fel, az alábiak: ky My k M N + x x + ≤1 (3.30) χ min Af y1 Wel .x f y1 Wel . y f y1 ahol f y1 = f y / γ M 1 ; γ M 1 = 11 ., a hajlító nyomatékok szorzói az x ill. y tengelyre vonatkozóan 1.9 0.7955 ψe = − 2 de k x ≤ 15 .
λp
ky = 1−
λp
μyN χ y Af y
μ x = λ x (2 β Mx − 4) μ y = λ y (2 β My − 4)
de
k y ≤ 15 .
de
μ x ≤ 0.90 μ y ≤ 0.90
de
a β Mx , y tényezők veszik figyelembe a hajlító nyomaték változását a rúd mentén. Ha a rúd egyik végén M1 maximális nyomaték működik, a másik végen pedig ψM 1 , és a két vég között a nyomaték lineárisan változik, ( −1 ≤ ψ ≤ 1 ) β M = 1.8 − 0.7ψ (3.31) A 3.8 ábra mutatja a két szélső esetet.
11
3.8 ábra. A rúdvég-nyomatékok határesetei hajlított és nyomott rúdnál . , kéttámaszú tartóra Kéttámaszú tartó közepén működő koncentrált erő esetén β M = 14 ható egyenletesen megoszló terhelésre β M = 13 . . Az EC3 más esetekre is ad meg tényezőket. Nyitott szelvényű, kifordulásra hajlamos rudakra az EC3 képletei az alábbiak: ky My k LT M x N + + ≤1 (3.32) χ y Af y1 χ LT Wel .x f y1 Wel . y f y1 ahol μ N k LT = 1 − LT de k LT ≤ 1 χ y Af y
μ LT = 015 . λ y β My − 015 .
μ LT ≤ 0.90.
de
Körcső-szelvényű rudakra Sohal, Duan és Chen (1989) interakciós képletet javasoltak: α
ahol, a
⎛ N ⎞ M ⎜⎜ ⎟⎟ + B1 max ≤ 1 (3.33) Mp ⎝ χAf y ⎠ δ C = D / t , ϑ = 100 D / L jelöléssel (D a közepes átmérő, t a vastagság)
α = 175 . + 0.01λ m ≥ 13 .;
λ m = − KLψ / r = −100 K 8ψ / ϑ
és a képlékeny hajlító nyomaték M p = f y D2t = f y D3 / δ C A szorzó tényező
B1 =
(3.34)
1 + 0.25( N / FE ) − 0.6( N / FE )
1/ 3
1 − N / FE
12
(1 − ψ ) ≥ 1
(3.35)
ahol FE a (3.1) szerinti. B1 nem lehet kisebb egynél. A (3.33)-t külső hidrosztatikus nyomás esetére is általánosították tengeri olajfúró állomások szerkezeteire vonatkozóan.
3.6 Lemezhorpadás 3.6.1 Klasszikus eredmények Amint azt a 3.3 pontban kifejtettük, a kezdeti alakpontatlanság és maradó hegesztési feszültségek hatását minden instabilitási jelenségnél figyelembe kell vennünk. Tehát a klasszikus lemezhorpadási eredményeket (Timoshenko and Gere 1961) is módosítani kell. Vizsgáljunk egy rugalmas, izotróp, derékszögű négyszög alaprajzú lemezt, kezdeti alakpontatlanság és maradó feszültségek nélkül, melyet a síkjában az Nx, Ny és Nxy fajlagos erők terhelnek (3.9 ábra). A z irányú w elmozdulásokra vonatkozó differenciálegyenlet ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w 1 ⎛ ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2 w⎞ (3.36) + 2 2 2 + 4 + ⎜ Nx + 2 N xy + Ny ⎟ =0 B⎝ ∂x∂y ∂x 4 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂y 2 ⎠ ahol a lemez hajlítási merevsége Et 3 (3.37) B= 12 1 − ν 2
(
)
t a lemezvastagság. Ha Nxy = Ny = 0 , N x = −σt és a lemezkerület csuklósan van megtámasztva (3.9 ábra), a (3.36) megoldását mπx nπy w = ∑ ∑ wmn sin sin , m = 1,2,3…, n =1,2,3… (3.38) a b m n alakban keressük. A (3.38)-t a (3.36)-ba helyettesítve adódik a lemezhorpadás alapképlete
σ cr = k σ
π 2E ⎛ t ⎞ ⎜ ⎟ 12(1 − ν 2 ) ⎝ b ⎠
2
(3.39)
α⎞ ⎛m k σ a lemezhorpadási tényező, amely az alábbi paraméterektől függ: k σ = ⎜ + n 2 ⎟ m⎠ ⎝α
3.9..ábra. Csuklós kerületű, egyirányban egyenletesen nyomott lemez
13
2
- m és n a horpadás alak félhullámszámai x ill. y irányban; - α = a / b a lemezalaprajz méreteinek viszonyszáma; - a lemez síkjában működő terhelések: nyomás, hajlítás, nyírás; - kerületi támaszok: csuklós, befogott, szabad vagy rugalmas támasz; - a lemezalaprajz alakja: derékszögű négyszög, kör, trapéz, stb. A 3.10 ábra a lemezhorpadási tényezőt adja meg a 3.9 ábrán vázolt lemezre és n = 1 esetre. A diagramot a tervezés szempontjából egyszerűsítve kσ = 4 ha (3.40a) α ≥1
Hajlításra
⎛1 ⎞ kσ = ⎜ + α ⎟ ⎝α ⎠ k σ = 23.9.
2
ha
α ≤1
(3.40b)
3.10 ábra. A horpadási tényező értékei az α = a / b függvényében a 3.9 ábrán látható esetben
3.11 ábra. Kétirányban nyomott csuklós kerületű lemez
14
3.12 ábra. Hosszirányban nyomott, három oldalon csuklós, egy oldalon szabad lemezsáv Csuklós kerületű lemez nyírására
τ cr
π 2E ⎛ t ⎞ = kτ ⎜ ⎟ 12(1 − ν 2 ) ⎝ b ⎠
2
ahol
k τ = 5.34 + 4 / α 2
α ≥1
ha
(3.41a)
ha (3.41b) k τ = 4 + 5.34 / α 2 α ≤1 Csuklós kerületű négyszöglemezre, ha az kétirányban van nyomva (3.11 ábra) (Vol’mir 1967) 2
⎡⎛ m ⎞ 2 ⎤ 2 ⎢⎜ ⎟ + n ⎥ ⎢⎝ α ⎠ ⎥⎦ kσ = ⎣ (3.42) 2 ⎛ m⎞ 2 ⎜ ⎟ + ϕn ⎝α ⎠ Kinyúló lemezrészre, amelynek három oldala csuklós, negyedik szabad (3.12 ábra) (Vol’mir 1967) k σ = 0.43. 3.6.2 Nyomott lemezek horpadás utáni (posztkritikus) viselkedése Vizsgáljuk a 3.12 ábrán vázolt csuklós kerületű lemezt. Ha σ max ≥ σ cr (3.39), a lemez egy része behorpad, de a többi rész további terhelést tud felvenni, így a feszültségeloszlás nem lesz egyenletes. A lemez kritikuson túli viselkedése a be együttdolgozó lemezszélességgel írható le: beσ max = bσ av (3.43) k σ = 4, ν = 0.3 esetén és feltételezve, hogy a (3.39) a σ max − be értékpárra is érvényes, bevezetve a ϑ S = b / t ,ψ e = be / b jelöléseket,
σ max = 3.6152 E (t / be ) = 3.6152 E / (ϑ S ψ e ) 2
2
(3.44)
amiből
ψ e = 19014 . / λ p;
λ p = ϑ S σ max / E
(3.45) a Kármán-féle képlet és a rugalmas viselkedésre érvényes, vagyis ha
15
(3.45)
σ 0 = r0 f y
3.6152 E / ϑ 2S ≤ σ 0 (3.46) a nyomásra vonatkozó szerkezeti arányossági határ, alapanyagra r0 =0.75-
0.80, hegesztett szerkezeti részekre r0 = 0.5-0.6. A (3.46)-t átalakítva
λ p ≥ λ p 0 = 19014 . σ max / σ 0
(3.47)
Kezdeti alakpontatlanságot és hegesztési maradó feszültségeket tartalmazó lemezekre Faulkner et al.(1973) javasolt empirikus képletet a (3.45) helyett: 2 1 σ (ϑ ) ψe = − 2 − C S (3.48) fy λp λp ahol σ C esetén
a maradó nyomófeszültség. A 3.13 ábrán vázolt maradó feszültség-eloszlás
σC fy
=
2η ϑ S − 2η
(3.49)
η = 3 ill. 4.5 kisebb ill. nagyobb mérvű hegesztés η = 3, σ max = f y = 235, E = 2.1x10 5 MPa, a (3.48) az alábbi alakot ölti ψe =
2
λp
−
1
λ
2 p
−
6 30λ p − 6
esetén.
Ha
(3.50)
Faulkner képletei a képlékeny szakaszra túl bonyolultak, ezért Farkas (1977) egyszerű másodfokú parabolát javasolt 2 σ (ϑ ) 2 1 ψ e = 1 − (1 − ψ e 0 ) λ p / λ p 0 ψ e0 = − 2 − C0 S 0 (3.51) fy λ p0 λ p0
(
)
ahol
ϑ S 0 = 1.9041 E / σ 0
.
Usami és Fukumoto (1982) egyszerű képletet javasolt
ψ e = 1.426 / λ p
ψ e ≤1
(3.52)
Az EC3 képlet
ψe =
1.9
λp
−
0.7955
(3.53)
λ 2p
16
3.13 ábra. Csuklós kerületű lemez. a) Feszültségeloszlás a kritikuson túli állapotban; b) a lemezszélekre hegesztett varratok zsugorodásának hatására keletkező feszültségek egyszerűsített eloszlása Az EC3 más lemezkarcsúságot használ:
k
LT
≤ 1
A fenti képleteknek megfelelő lemezhorpadási görbék a 3.14 ábrán láthatók.
3.6.3 Határlemezkarcsúságok Célszerű határ-lemezkarcsúságokat definiálni a tervezés szempontjából, mert ezek betartása esetén nem kell együttdolgozó lemezszélességekkel számolni és a szelvények a 3. osztályba sorolhatók. Az optimális méretezés során a helyi horpadási feltételeket a határ-lemezkarcsúságokkal lehet megfogalmazni. A határérték definíciójához a (3.39)-t használjuk:
π 2E ⎛ t ⎞ = kσ ⎜ ⎟ ≥ σ max 12(1 − ν 2 ) ⎝ b ⎠ 2
σ cr
(3.54)
17
3.14 ábra. Lemezhorpadási görbék a) Kármán; b) EC3; c) Faulkner; d) Usami-Fukumoto szerint ahol σ max a méretezési maximális feszültség, általában a folyáshatár, de ha a lehajlási vagy fáradási feltétel aktív, akkor a maximális statikus feszültség. A (3.54)-ból kapjuk a határlemezkarcsúságot kσ π 2 E ⎛b⎞ ⎜ ⎟ = 12(1 − ν 2 )σ max ⎝ t ⎠L
(3.55)
A EC3-ban a 235 MPa feszültséget választották alapul és bevezették az ε = 235/ f y tényezőt. E = 2.1x105 MPa és
⎛ b⎞ ⎜ ⎟ = 28.42ε k σ ⎝t⎠L
ν = 0.3 értékekkel a (3.55) az alábbi alakú fy
(3.56)
σ max
Csuklós kerületű egyenletesen nyomott lemez esetén (pl. szekrényszelvényű tartó nyomott övlemeze) k σ = 4.0 és
(b / t ) L = 56.84ε
f y / σ max
(3.57)
Mivel ez az érték nem tartalmazza a kezdeti alakpontatlanság és maradó feszültségek hatását, az EC3 56.84 helyett csökkentett 42-t ad meg.. Három oldalán csuklós, negyediken szabad nyomott lemez esetén (pl. hegesztett Iszelvény nyomott övlemezének félszélessége) k σ = 0.456 értékkel számolva
(b / 2t ) L = 19.19ε
az EC3-ban
18
14ε
(3.58)
3.15. ábra. Hajlításra és nyomásra igénybevett lemez határ-karcsúsága (tension = húzás, compression = nyomás, or = vagy) Csuklós kerületű, síkjában hajlításra igénybevett lemez esetén (kettősen szimmetrikus hegesztett I-szelvény gerinclemeze) k σ = 23.9 értékkel
(h / t w ) L = 138.94ε
az EC3-ban
124ε
(3.59)
Az EC3 más esetekre és 1. ill. 2. osztályú szelvényekre is ad értékeket. Hajlításra és nyomásra igénybevett tartó gerinclemezére (3.15 ábra) 42ε ⎛ b⎞ ha −1 ≤ ψ b ≤ 1 ⎜ ⎟ = ⎝ t ⎠ L 0.67 + 0.33ψ b ha
ψ b ≤ −1
(b / t ) L = 62ε (1 − ψ b )
Körcső-szelvényekre: 1. osztályú szelvényekre 2. osztályúakra 3. osztályúakra
19
−ψ b
(3.60a) (3.60b)
D / t ≤ 50ε D / t ≤ 70ε 2 D / t ≤ 90ε 2 2
(3.61)
