° TNÝ DU ° CHOD 3.2. JEDNODUCHÝ POLHU
3.2
45
Jednoduchý polh°utný d°uchod
3.2.1
Budoucí hodnota
Vztahy: Pro budoucí hodnotu j-té platby R platí vztah pro sloµzený úrok za n Rj = R (1 + i)n
j období
j
Pro budoucí hodnotu všech n plateb platí Pn = R((1 + i)n
1
+
+ (1 + i)2 + (1 + i)1 + 1)
Budoucí hodnota poslední platby na konci n-tého období a zároveµn na konci d°uchodu je shodná s velikostí platby. V uvedeném vztahu lze pouµzít vzorec pro souµcet koneµcné geometrické µrady s koe…cientem q = 1 + i.
Pn = R
(1 + i)n (1 + i)
(1 + i)n 1 =R 1 i
1
Budoucí hodnotu jednotkové platby oznaµcujeme následujícím zp°usobem:
snji =
(1 + i)n i
1
S tímto znaµcením vyjádµríme pouµzívaný vztah pro budoucí hodnotu jednoduchého d°uchodu polh°utného. Pn = R snji
(3.1)
Uvedený výraz snji se také oznaµcuje jako akumulaµcní faktor pro n plateb. Z uvedeného vyjádµríme i hodnotu platby v závislosti na budoucí hodnotµe.
R=
Pn i = Pn snji (1 + i)n
1
(3.2)
Pµríklady 3.1. Urµcete budoucí hodnotu jednoduchého polh°utného d°uchodu s platbou $2000 roµcnµe po dobu 5 let, jestliµze roµcní úroková sazba je (a) i1 = 9%, (b) 12 12 % úroµcené roµcnµe. µ ení Reš (a) R = 2000, i = 0:09, n = 5
46
OBSAH
P5 = 2000s5j:09 = 2000
(1:09)5 0:09
1
= 11969:42
(b) R = 2000, i = 0:125, n = 5
P5 = 2000s5j:125 = 2000
(1:125)5 0:125
1
= 12832:52
3.2. Obchodník chce splácet p°ujµcku pravidelnými mµesíµcními splátkami $250. Jestliµze nezaplatí své splátky za µcervenec, srpen, záµrí a µríjen, jak velkou splátku musí zaplatit v listopadu, aby mohl dále splácet podle kalendáµre ? Uvaµzujeme úrokovou sazbu i12 = 14:4% µ ení Reš Obchodník musí zaplatit budoucí hodnotu 4 splátek plus splátku za listopad.
P5 = 250s5j:012 = 250
(1:012)5 0:012
1
= 1280:36
Obchodník musí zaplatit najednou $1280.36.
3.3. Jana ukládá 300 Kµc kaµzdé 3 mµesíce na spoµrící úµcet úroµcený i4 = 8%. Jak velká µcástka bude na tomto úµctu po platbµe 1.bµrezna 1997, jestliµze první platba byla provedena 1.bµrezna 1993 ? µ ení Reš Poµcítáme s jednoduchým polh°utným d°uchodem tzn. první období zaµcíná 3 mµesíce pµred 1.bµreznem 1993 tj. 1.prosince 1992 a konµcí 1. bµrezna 1997. Hledáme tedy budoucí hodnotu po 17 obdobích (4 roky = 48 mµesíc°u tj. 16 tµrímµesíµcních období + 1).
P17 = 300s17j:02 = 300
(1:02)17 0:02
1
= 6003:62
1.bµrezna 1997 bude na úµctu 6003.62 Kµc.
3.4. Klient ukládal $1000 na konci kaµzdého roku po dobu posledních 10 let. Uloµzené peníze byly úroµceny i1 = 8% první 3 roky, i1 = 10:25% další 4 roky a i1 = 9% poslední 3 roky. (a) Jaká je aktuální hodnota uloµzených penµez ? (b) Jaký je celkový úrok za 10 let ? µ ení Reš (a) Budoucí hodnota se skládá z budoucích hodnot plateb za kaµzdé z uvedených období, které jsou úroµceny po zbytek celého období odpovídající sazbou
° TNÝ DU ° CHOD 3.2. JEDNODUCHÝ POLHU
47
P10 = 1000s3j:08 (1:1025)4 (1:09)3 + 1000s4j:1025 (1:09)3 + 1000s3j:09 = 15521:97 Aktuální hodnota uloµzených penµez je $15521.97. (b) Celkový úrok lze urµcit jako rozdíl 15521.97-10000=5521.97
3.5. Karel si otevµre spoµrící úµcet s poµcáteµcním vkladem $2000 1.února 1993 a mµesíµcnµe ukládá $200 po dobu 5 let, poµcínaje 1.bµrezna 1993. Od 1.bµrezna 1998 vybírá mµesíµcnµe $400 po dobu 3 let. Urµcete výši tohoto konta po posledním výbµeru (1.února 2001), jestliµze uvaµzujeme úrokovou sazbu i12 = 6% µ ení Reš Urµcíme poµcet období - pro úroµcení poµcáteµcních $2000 (1.2.1993-1.2.2001)=96 - pro ukládání $200 (1.2.1993-1.2.1998)=60 - pro výbµer $400 (1.2.1998-1.2.2001)=36 Výši konta urµcíme jako budoucí hodnotu uvaµzovaných 3 proces°u
P96 = 2000(1:005)96 + 200s60j:005 (1:005)36
400s36j:005 = 4192:34
1.února 2001 bude na kontµe $4192.34.
3.6. Stroj musí být nahrazen za 10 let. Jeho cena bude $80000. Kolik musí spoleµcnost ukládat roµcnµe pµri úrokové sazbµe i1 = 8%, aby tento stroj mohla po uvedené dobµe poµrídit ? µ ení Reš P10 = 80000, i = 0:08, n = 10
R=
80000 0:08 = 80000 s10j:08 (1:08)10
1
= 5522:36
Spoleµcnost musí roµcnµe uloµzit $5522.36.
3.7. Poµcínaje 1.µcervnem 1995 do 1.prosince 2000 spoleµcnost potµrebuje $250000 kaµzdého p°ulroku, aby mohla vyplatit obligace. Jak velkou µcástku musí spoleµcnost ukládat kaµzdého p°ulroku do rezervního fondu s úrokovou sazbou i2 = 10% od 1.µcervna 1990 do 1.prosince 2000, aby mohla vyplatit všechny uvedené obligace µ ení Reš
48
OBSAH Hledáme µcástku, kterou budeme ukládat kaµzdého p°ulroku v období 1.12.1989-1.12.2000 tj. 22 p°ulroku a z takto akumulovaného kapitálu musí být vyplaceno kaµzdého p°ulroku $250000 v období 1.12.1994-1.12.2000 tj. 12 p°ulroku. Tato úvaha vede k následující rovnici.
Rs22j:05 = 250000s12j:05
R = 250000
s12j:05 = 103343:97 s22j:05
Spoleµcnost musí v uvedeném období ukládat kaµzdý p°ulrok µcástku $103343.97
3.2.2
Souµcasná hodnota
Vztahy: Souµcasná hodnota budoucích plateb je sumou souµcasných hodnot tµechto plateb. Stejnµe jako u budoucí hodnoty je souµctem koneµcné geometrické µrady s koe…cientem (1 + i) 1
P0 = R(
P0 = R
anji =
1 + (1 + i)
+
1 (1 + i) (1 + i) (1 + i)
1
(1 + i) i
1 ) (1 + i)n
n 1
1 1 =R 1
(1 + i) i
n
n
(3.3)
P0 = Ranji
Uvedený výraz anji se také oznaµcuje jako diskontní faktor pro n plateb. Stejný vztah 3.3 m°uµzeme odvodit následující úvahou. Souµcasnou hodnotu lze odvodit diskontováním budoucí hodnoty dle následujícího vztahu.
P0 = Pn (1 + i)
n
=R
(1 + i)n i
1
(1 + i)
n
=R
1
(1 + i) i
n
Z uvedeného vyplývá vztah pro urµcení velikosti platby
R=
P0 = P0 anji 1
Pµríklady
i (1 + i)
n
(3.4)
° TNÝ DU ° CHOD 3.2. JEDNODUCHÝ POLHU
49
3.8. Urµci souµcasnou hodnotu d°uchodu s platbou $380 na konci kaµzdého mµesíce po dobu 3 let, pµri úrokové sazbµe (a) i12 = 12%, (b) i12 = 10:38%. µ ení Reš (a) R=380, i=0.01, n=36 Pouµzijeme vztah 3.3
P0 = 380a36j:01 = 380
1
(1:01) 0:01
36
= 11440:85
µ ení Reš (b) R=380, i=0.1038/12=0.00865, n=36 Pouµzijeme vztah 3.3
P0 = 380a36j:00865 = 380
1
(1:00865) 0:00865
36
= 11711:81
3.9. Pµri koupi auta zaplatil zákazník $1500 hned a $182.50 mµesíµcnµe po dobu 3 let. (a) Jaká byla cena auta, jestliµze poµcítáme s úrokovou sazbou p°ujµcky i12 = 18% ? (b) Jaký je celkový úrok z p°ujµcky ? µ ení Reš (a) Cena auta je rovna souµctu hned zaplacených $1500 a souµcasných hodnot budoucích splátek.
P0 = 1500 + 182:50a36j:015 = 1500 + 182:50
1
(1:015) 0:015
36
= $6548:07
Cena auta je $6548.07. (b) Úrok získáme jako rozdíl celkové platby a velikosti p°ujµcky, kterou získáme jako cenu auta bez poµcáteµcních $1500.
u = 36 182:50
(6548:07
1500) = 1521:93
Celkový úrok z p°ujµcky bude $1521.93.
50
OBSAH
3.10. Obchodník podepsal kontrakt, kterým se získal $2000 hned a $250 mµesíµcnµe po dobu 5 let. Peníze jsou úroµceny i12 = 12%. (a) Jaká je hodnota kontraktu ? (b) Jestliµze kontraktor nezaplatil prvních 6 splátek, kolik musí zaplatit v 7.mµesíci, aby zaplatil celý kontrakt ? (c) Jestliµze na poµcátku 3.roku (po 24 realizovaných platbách) je kontrakt prodán pµri úrokové sazbµe i12 = 15%, jakou cenu zaplatí kupující. µ ení Reš (a) Souµcasnou hodnotu kontraktu urµcíme následujícím vztahem
P0 = 2000 + 250a60j:01 = 2000 + 250
1
(1:01) 0:01
60
= 13238:76
Souµcasná hodnota kontraktu je $13238.76. (b) Hledáme budoucí hodnotu po 7 mµesících spolu s diskontovanou hodnotou za zbývaící 53 mµesíc°u.
P = 250s7j:01 + 250a53j:01 = 250
(1:01)7 0:01
1
+ 250
1
(1:01) 0:01
53
= 12049:47
Kontraktor musí zaplatit $12049.47. Podobnµe jsme mohli urµcit souµcasnou hodnotu 60 plateb a úroµcit ji za 7 mµesíc°u.
P = 250a60j:01 (1:01)7 = 12049:47
(c) Cena, kterou je tµreba zaplatit je diskontovanou hodnotou 36 zbývajících plateb s úrokovou sazbou i12 = 15%.
P = 250a36j:0125 = 7211:82 Kupující zaplatí za kontrakt $7211.82.
3.11. Dluh s úrokovou sazbou 12% úroµcených p°ulroµcnµe má být splacen 15 splátkami $400 na konci kaµzdého p°ulroku a koneµcnou platbou $292.39 o 6 mµesíc°u pozdµeji. Jak velký je dluh ? µ ení Reš Hledáme souµcasnou hodnotu 15 budoucích plateb spolu se souµcasnou hodnotou koneµcné platby po 16 obdobích.
P0 = 400a15j:06 + 292:39(1:06) Velikost dluhu je $4000.
16
= 4000
° TNÝ DU ° CHOD 3.2. JEDNODUCHÝ POLHU
51
3.12. D°uchod je vyplácen na konci kaµzdého mµesíce µcástkou $200 po dobu 2 let, poté $300 v dalším roce a $400 v následujících 2 létech. Urµcete souµcasnou hodnotu tµechto plateb pµri úrokové sazbµe i12 = 10%. µ ení Reš Hledáme diskontovanou hodnotu pro jednotlivé platby k poµcátku uvedených období (dnes, 2.rok, 3.rok) a získané hodnoty diskontujeme na souµcasnou hodnotu.
P0 = 200a24j:0083 + 300a12j:0083 (1:0083)
24
+ 400a24j:0083 (1:0083)
36
= 13559:93
Souµcasná hodnota uvedených plateb je $13559.93
3.13. Spoleµcnost uvaµzuje o moµznosti obnovit zaµrízení za $40000. Zbytková hodnota na konci 6 roku je $5000. Náklady na údrµzbu jsou $400 mµesíµcnµe, placené na konci kaµzdého mµesíce. Spoleµcnost by mohla zaµrízení poµrídit na leasing za $1200 mµesíµcnµe, které jsou placeny na konci kaµzdého mµesíce. Uzavµrením leasingové smlouvy se leasingová spoleµcnost zavazuje platit náklady na údrµzbu. Jestliµze spoleµcnost je schopna zhodnotit sv°uj kapitál úrokovou sazbou i12 = 18% doporuµcíte jí zaµrízení koupit nebo poµrídit na leasing. µ ení Reš Pro kaµzdý z uvedených projekt°u (…nanµcních tok°u) urµcíme NPV.
N P Vk = 5000(1:015)
N P Vl =
72
1200a72j:015 =
(40000 + 400a72j:015 ) =
55826:22
52613:60
Uvedené hodnoty jsou náklady spoleµcnosti a proto hledáme menší náklady. Spoleµcnosti doporuµcíme poµrídit zaµrízení na leasing.
3.14. Cena televize je $780. Televizi je moµzné zaplatit $80 ihned a zbytek doplatit v mµesíµcních splátkách po dobu 2 let. Urµcete mµesíµcní splátku, jestliµze prodejce p°ujµcku úroµcí sazbou 15% úroµcených mµesíµcnµe a první splátka je uskuteµcnµena na konci 1. mµesíce. µ ení Reš P0 = 780
R=
80 = 700, i = 0:0125, n=24
700 = 700 a24j:0125 1
Mµesíµcní splátka $33.94.
0:0125 (1:0125)
24
= 33:94
52
OBSAH
3.15. Jan si ukládá jednou za p°ul roku 500 Kµc na spoµrící úµcet po dobu 5 let. Úroková sazba úµctu je i2 = 6 41 %. Jakými p°ulroµcními platbami po dobu dalších 2 let dosáhneme na úµctu 10000 Kµc. µ ení Reš Hledáme budoucí hodnotu plateb pro prvních 5 let (10 období) a tuto úroµcíme po dobu dalších dvou let. Tato budoucí hodnota spolu s budoucí hodnotou hledaných plateb po dobu 2 let (4 období) bude shodná s µcástkou 10000. To je dáno následující rovnicí.
500s10j:003125 (1:003135)4 + Rs4j:003125 = 10000
R=
3479:83 = 830:22 s4j:003125
Výpoµcet lze také provést k datu zmµeny velikosti plateb. To je dáno následující rovnicí.
500s10j:003125 + Ra4j:003125 = 10000(1:003125)
R=
3076:82 = 830:22 a4j:003125
P°ulroµcní platby budou 830.22 Kµc.
4
