3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan IV Konsep Peluang

Septian Rahardiantoro - STK IPB

1

Populasi Pengambilan contoh dari populasi untuk pendugaan parameter

Parameter 𝜇

Setara dengan

Contoh1

Statistik 𝑥

DIDUGA

KHUSUS

UMUM Pola pikir INDUKSI

Muncul KETIDAKPASTIAN Septian Rahardiantoro - STK IPB

2

KETIDAKPASTIAN

bersifat ACAK • Suatu fenomena dikatakan ACAK jika hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti • Fenomena ACAK sering mengikuti suatu pola tertentu • Keteraturan ACAK dalam jangka panjang dapat didekati secara matematika • Studi matematika mengenai KEACAKAN  TEORI PELUANG – peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebut • dengan ilmu peluang, kita dapat membuat daftar serentetan kemungkinan kejadian yang dapat terjadi


3

Teori Peluang • Ada dua tipe percobaan: Deterministik : Suatu percobaan yang menghasilkan output yang sama

Probabilistik : Hasil dari percobaan bisa sembarang kemungkinan hasil yang ada

We are waiting the bus

Lama menunggu sampai bus datang


4

Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan?  Perlu pengetahuan mengenai RUANG CONTOH dan RUANG KEJADIAN  perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI  dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaan

Ruang Contoh

adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. • Notasi dari ruang contoh: S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil (n bisa terhingga atau tak terhingga)

Ruang Kejadian adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu. • Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).


5

Ilustrasi 1 Kejadian A: Munculnya sisi Gambar Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG}

Percobaan: Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas

Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG}

Kejadian B: Munculnya sisi yang sama Ruang Kejadian: A = {AA, GG}


6

Ilustrasi 2 Percobaan: Pelemparan 2 dadu setimbang yang saling bebas

Kejadian A: Jumlah dadu ganjil dst

Ruang Contoh: S = { 11, 12, …, 65, 66} N(S) = 36

Ruang Kejadian: A = {12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 43, 45, 52, 54, 56, 61, 63, 65} n(A) = 18

Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian?


7

Review Faktorial

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1) n! = n (n-1)! Kasus khusus 0!  0! = 1 Contoh : 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120 6! = 6.5! = 720 10! =……………..

Kaidah Penggandaan Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas. N(S) = n1 × n2 × … × nk Contoh: • Melempar 3 buah mata uang: N(S) = 2 × 2 × 2 = 8 • Melempar 2 buah dadu: N(S) = 6 × 6 = 36 Septian Rahardiantoro - STK IPB

8

Review Permutasi

Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN.

Ilustrasi • Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. • Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara : 5

K

4

WK

3

= 60

Permutasi tingkat 3 dari 5 objek P35 

B

5! 5! 5.4.3.2!    60 (5  3)! 2! 2!

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek

n! n  (n  1)  (n  2)  ...  0! P   (n  r )! (n  r )  (n  r  1)  ...  0! n r


9

Review Kombinasi

Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN

Ilustrasi • Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian. • Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menempati tempat duduk yang tersedia A B C A B C D E

A B D A B E A C D A C E A D E B C D B C E

Kombinasi 3 dari 5  5 5! 5! 5.4.3!       10  3  (5  3)!3! 2!3! 2!3! Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek Crn 

n! n  (n  1)  (n  2)  ...  0!  (n  r )!r ! (n  r )  (n  r  1)  ...  0! r !

B D E C D E Septian Rahardiantoro - STK IPB

10

Contoh 1 • Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk! L

L

L

L

P

P

P

P

Dipilih 2 orang

L

Dipilih 1 orang

Banyak tim yang terbentuk

5 2

4 = 10 × 4 = 40 1 Septian Rahardiantoro - STK IPB

11

Setelah mengetahui tentang konsep dasar dalam penentuan banyaknya kemungkinan dalam suatu kejadian, maka selanjutnya konsep yang penting untuk dipelajari ialah konsep PELUANG

Peluang • Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi relatif. • Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n  N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/N

Hukum Bilangan Besar

P(A)  m/n Jika suatu proses atau percobaan diulang sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jika karakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan mendekati peluang dari A


12

Contoh 2 • Dari ilustrasi 1, percobaan pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas, tentukan peluang kejadian A = Munculnya sisi Gambar • N(S) = 4, n(A) = 3  P(A) = n(A)/N(S) = ¾ • Dari contoh 1, tentukan peluang susunan tim yang mungkin terbentuk dgn kondisi tersebut! 9 • N(S) = = 84, n(A) = 40  P(A) = n(A)/N(S) = 10/21 3 Septian Rahardiantoro - STK IPB

13

Aksioma Peluang Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu: 1. 0  P(xi)  1, untuk i=1,2, …, n 2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1, 𝑃 𝑥𝑖 = 1 3.

P(A1+A2+…+Am) = P(A1)+P(A2)+…+P(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.

Hukum Penjumlahan dalam Peluang Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

A

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

AB

B

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

A


B

14

Hukum Perkalian dalam Peluang Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) Kejadian Saling Bebas • Kejadian saling bebas adalah kejadiankejadian yang tidak saling mempengaruhi. • Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

Catatan: Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, serta P(A) > 0 dan P(B) > 0, maka A dan B adalah dua kejadian yang tidak bebas Karena: P(AB)=0, sedangkan P(A)P(B) > 0


15

Contoh 3 • Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=(0.6)(0.6)=0.36


16

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi. Peluang A jika diketahui B

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃(𝐵)

Jika kejadian A dengan B saling bebas maka

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴𝐵 = = = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵)


17

Contoh 4 • Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (M) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B). Pengambilan 1 M  2/5 diambil 2 bola

B  3/5

Pengambilan 2 M  1/4

B  3/4 M  1/2


B  1/2

𝑃(𝑀 ∩ 𝐵) 𝑃 𝑀𝐵 = 𝑃(𝐵) 1 = 2 18

Teorema Bayes Peluang bersyarat dengan kondisi yang diketahui ialah kejadian kedua, sedangkan yang dicari ialah kejadian pertama Kejadian pertama A tersekat menjadi beberapa bagian A1, A2, …, Ak, dengan kejadian B terjadi setelahnya, maka

𝑃 𝐵 = A1

……….

Ak

𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) B=(BA1) + (BA2) + …. + (BAk) P(B)=P(BA1) + P(BA2) + …. + P(BAk)

Kejadian B

Peluang Ai bersyarat B

𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵) 𝑃 𝐴𝑖 |𝐵 = 𝑃(𝐵) Septian Rahardiantoro - STK IPB

19

Contoh 5 • Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. • Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung?


20

Misalkan : H = Bogor hujan, P = mahasiswa membawa payung P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8 P(P|TH) = 0.4 Ditanya : P(H|P) Jawab : Sesuai hukum perkalian peluang P( H  P) P( H  P) P( H ) P( P | H )   P( P) P( H  P )  P (TH  P ) P ( H ) P ( P | H )  P (TH ) P ( P | TH ) 0.6  0.8 0.48 0.48 P( H | P)    0.6  0.8  0.4  0.4 0.48  0.16 0.64 P( H | P) 


21

Thank you, see you next week 


22

3(2-3)

Recommend Documents