3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN A méretezés, ellenőrzés célkitűzése: Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt biztonsággal elviselje az adott terhelést anélkül, hogy benne károsodás lépne fel. Statikus terhelés: a terhelés időben nem változik. Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél: - Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra). - Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra).

3.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra Feszültségcsúcsra történő méretezés, ellenőrzés esetén a szerkezet veszélyes pontjában kiszámított, a tönkremenetelre jellemző redukált feszültséget hasonlítjuk össze azzal a megengedett feszültséggel, amelynél már károsodás lép fel. Károsodás:

Anyagszilárdsági jellemző:

-maradó (képlékeny) alakváltozás,

R p 0,2 - folyáshatár,

- törés, szakadás.

Rm

- szakítószilárdság.

Ezek az anyagszilárdsági jellemzők szakító kísérletekkel határozhatóak meg. a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot. A méretezés, ellenőrzés a következő egyenlőtlenség alapján történik:

 z   meg =  jell

 jell

, ahol n a biztonsági tényező, n a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző.

Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla:  z  0 . A szilárdsági jellemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre. Például: Húzás:

A feszültségi állapot:

y

F

F z

0 0 0   F   0 0 0  .   0 0  z 

y

Hajlítás: z

M hx

M hx

0 0 0   F   0 0 0  .   0 0  z 

b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot.  x  xy  xz     F    yx  y  yz   zx  zy  z   

40

Probléma: nem tudjuk, hogy melyik feszültség koordinátát hasonlítsuk össze a  meg -tel!

Redukált feszültség / egyenértékű feszültség / összehasonlító feszültség Definíció: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültségi állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen jellemzi. A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültségi állapotot egytengelyű feszültségi állapotra vezetjük vissza. A redukált feszültség kiszámítására különböző elméletek vannak. A redukált feszültség meghatározására több elméletet is kidolgoztak. Az elméletek nem általános érvényűek, vannak olyanok, amelyek rideg anyagok és vannak olyanok, amelyek alakítható anyagok esetén alkalmazhatók előnyösebben, azaz írják le a valósághoz közelállóbban a tönkremenetelt.

  Rideg anyagok:  Rm

Rideg anyag: nem képes képlékeny alakváltozásra. A rugalmas alakváltozás után hirtelen (képlékeny alakváltozás nélkül) törik/szakad el. Például az öntött vas, kerámia, üveg, stb. R m   B az anyag szakítószilárdsága.



Coulomb1- elmélet: egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag szakítószilárdságánál. Főfeszültségek jelölése: 1  2  3 . A pontban fellépő legnagyobb normálfeszültség:  max  max  1 ,  3  . A Coulomb-féle redukált feszültség:  red  Coulomb    max  max  1 ,  3 . Méretezés, ellenőrzés:

 red (Coulomb)   m eg 

Rm , n

ahol n az előírt biztonsági tényező.

  Alakítható anyagok

 Rm R p 0,2

Alakítható anyag: képlékeny alakváltozásra képes. A törés csak a képlékeny alakváltozás után következik be. Például a fémek, acél, alumínium, stb.



R

p 0,2 

 F az anyag folyáshatára.

Mohr2- elmélet: egy pontbeli feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője kisebb, mint a megengedett feszültség.

1

Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) francia fizikus és hadmérnök.

2

Christian Otto Mohr (1835-1918) német mérnök.

41

A Mohr-féle redukált feszültség:  red  Mohr   1  3 . Méretezés, ellenőrzés:  red ( Mohr )   m eg  ahol  jell

 jell

, n az anyag tönkremenetelét jellemző szilárdsági érték.

Itt általában  jell  Rp 0,2 , vagy  jell  Rm és n az előírt biztonsági tényező. Huber3- Mises4- Hencky5- elmélet: Két feszültségi állapot a károsodás szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik: uT1  uT2 .

A Huber-Mises-Hencky-féle elmélet szerinti redukált feszültség arányos az uT torzulási energiával. 1 2 2 2  red ( HMH )  6 G uT  1   2    2   3    3  1   ,  2

 red ( HMH )  Méretezés, ellenőrzés:



1  x  y 2 

   2

y

 z

   2

 red ( HMH )   m eg 

z

 jell n





2 2 2   x   6  xy   yz   xz2  . 

.

Itt  jell  Rp 0,2 , vagy  jell  Rm és n az előírt biztonsági tényező. A Mohr és a HMH szerint redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól. Általában:  red  HMH  <  red  Mohr  . c) Méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén: - A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének megkeresése, meghatározása. A veszélyes keresztmetszet az, ahol legnagyobbak az igénybevételek. - A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése, meghatározása. A veszélyes pontok azok, ahol legnagyobb a  red redukált feszültség. - A veszélyes pontokban a méretezés, ellenőrzés elvégzése:  red max  meg .

3.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján A szerkezeti jellemzőre történő méretezés, ellenőrzés esetén nem egy pontbeli érték, hanem a szerkezet egészére jellemző mennyiség figyelembevételével döntjük el, hogy a szerkezetet mechanikai, szilárdságtani szempontból megfelelőnek tekintjük, vagy nem. a) Méretezés, ellenőrzés teherbírásra: 3

Makszimillian Titus Huber (1872-1950) lengyel mérnök.

4

Richard Edler von Mises (1883-1953) osztrák mérnök.

5

Heinrich Hencky (1885-1951) német mérnök.

42

A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés esetén azt az állapotot tekintjük tönkremenetelnek, amikor a szerkezet minden pontjában eléri a feszültség a folyáshatár értékét.

 R p 0,2



A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés kiinduló feltételezése, hogy: - az anyag jól alakítható, - az anyag lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny. Az ábrán egy ilyen idealizált anyagmodell, a lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny anyag szakító diagramja látható.

R p 0,2

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra húzás-nyomás esetén: Ha húzás-nyomás esetén az N húzó/nyomó erőt folyamatosan növeljük, akkor a rúdkeresztmetszet minden pontjában egyszerre lép fel R p 0,2 nagyságú feszültség. Ehhez az állapothoz tartózó húzó/nyomó igénybevételt N K határerőnek nevezzük. Tönkremenetel az N K határerőnél lép fel.

y

y

y

z

z

x

R p 0,2

S

N növelése   N  z A ,

Méretezés, ellenőrzés: N max  N meg 

tönkremenetel .

N K  Rp 0,2 A . ( N K határerő)

NK , N max - a rúdban fellépő legnagyobb rúderő, nK nK - előírt biztonsági tényező.

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra egyenes hajlítás esetén: Ha tiszta egyenes hajlítás esetén az M hx hajlító nyomatékot folyamatosan növeljük, akkor a rúdkeresztmetszet szélső pontjaiban lép fel először R p 0,2 nagyságú feszültség. Az M hx hajlító nyomatékot tovább növelve a keresztmetszet egyre nagyobb részén fogja elérni a  z feszültség az R p 0,2 értéket. Az M hx hajlító nyomatékot tovább növelve végül olyan állapot alakul ki, hogy a keresztmetszet x tengely fölötti részén minden pontban R p 0,2 , a keresztmetszet x tengely alatti részén pedig minden pontban - R p 0,2 feszültség fog fellépni. Ehhez az állapothoz tartózó hajlító igénybevételt M K határnyomatéknak nevezzük és azt mondjuk, hogy tönkremenetel az M K határnyomatéknál lép fel. 43

y

y

y

y

R p0,2

R p0,2

A S

z

x

z

z

M hx

A  R p0,2

R p0,2

M hx növelése  

Hajlító nyomaték:

M hx 



 A

tönkremenetel .

y  z dA .

A tönkremenetelhez tartozó határ hajlító nyomaték: MK 



 A

y  z dA  R p 0,2



 A



y dA   R p 0,2

 

 A Sx  A

Sx  A  

y dA .







M K  Rp 0,2  S x  A   S x  A  .

Tiszta hajlítás



a feszültségeloszlásból nem származhat eredő erő 

y

Például:

y

A

z

M hx x S

A  A S x ( A)  S x ( A)

A Kétszeres szimmetrikus keresztmetszet: A keresztmetszetnek két egymásra merőleges szimmetria tengelye van.

y

Sx  dA

S

44

 y dA ,

A  A 

 A

A

A

A  A .

dA

      

y

      

-y

x

S x  A   S x  A .  A M K  R p 0,2 S x   . 2

A , 2

Méretezés, ellenőrzés: M hx max  M h m eg 

MK , nK

M hx max - a rúdszerkezetben fellépő legnagyobb hajlító nyomaték, nK - az előírt biztonsági tényező.

- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra csavarás (kör, körgyűrű) esetén:

y

z

Határnyomaték:

F

M cK 

R



 A

R  F dA  F

x S



R dA ,

 A Sp

S p  poláris statikai nyomaték.

Mc

M cK  F S p . M cK , nK - a rúdban fellépő legnagyobb csavaró nyomaték,

Méretezés, ellenőrzés: M c max  M c m eg  - M c max

- nK - előírt biztonsági tényező. b) Méretezés, ellenőrzés alakváltozásra Alakváltozásra történő méretezés esetén a vizsgált szerkezetet akkor tekintjük normál üzemszerű működésre alkalmatlannak, ha a szerkezet alakváltozása egy előírt mértéket túllép. Például, ha egy megmunkáló gép állványában a megmunkálás során túl nagy deformációk lépnek fel ,akkor a gép pontos megmunkálásra alkalmatlan lesz. y Például húzás – nyomás esetén:

max 

N l , max  meg . AE

N x

Alakváltozásra kell méretezni például: megmunkáló gépeket, hidakat, zsilipeket, nagyméretű csőelzárókat, stb.

l

max

3.3. Gyakorló feladatok méretezésre, ellenőrzésre statikus terhelés esetén 3.3.1. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra y 2a S a

y

x

A

9 kN

2 kN m 4m

C

B 2m

z

Adott: A tartó méretei, téglalap keresztmetszetének oldalaránya és terhelése, valamint:

 F  Rp 0,2  330 MPa, nF  2 .

45

Feladat: a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása. b) A tartó méretezése teherbírásra. c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra. Kidolgozás: a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása: 8 kN

y

2 kN m

A

C

2m

M a  8  2  9  4  4  5  FBy 6  0 ,

z

B

4m

9 kN

Támasztó erőrendszer meghatározása:

4 kN

9 kN

FBy 12 kN .

12 kN

M b  FAy 6  8  4  9  2  4 1=0 ,

 kN 

Ty

FAy  9 kN .

9

z

1 8

 kNm

M hx

Az igénybevételi ábrák megrajzolása a szokásos módon történik.

12 z

Veszélyes keresztmetszet: C M hx max  20 kNm.

11 14

20

b) A tartó méretezése teherbírásra:

y

M hx

F

y

Határnyomaték:

z

x

MK 2



 A / 2

 F y dA

S

 A / 2

y dA  2 F S x ( A / 2)



 A / 2

y dA  a 2

S x - a fél keresztmetszet x tengelyre számított statikai nyomatéka.

a a3 .  2 2

Hajlítási határnyomaték: M K  2



 A / 2

46



Sx

F Sx  A / 2 

 2 F

 F y dA

 2 F S x  A / 2    F a 3 .

A tartó megfelel, ha az M hx max  a 3

nF M hx max

F

3

 a3 MK , azaz M hx max  F feltétel teljesül. nF nF

12  20 106  49, 49 mm . 330

c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra: A tartó megfelel, ha a  z max 

 z max  a 3

M hx max Kx

6 nF M hx max 4 F

Kx 

, 3

F nF

a  2a  6

egyenlőtlenség teljesül: 2

4  a3 6



6 M hx max 4a

3



F nF

.

6  2  20 106  56,65 mm . 4  330

3.3.2. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra Adott: A kör keresztmetszetű ABCD tartószerkezet, melynek jellemző méretei c  0,5m , a  h  0,2m , b  0,4m , e  0,3m és nF  2 ,  F 160MPa .

x

60 kN b a

A y

a

B

c

40 kN h

C

e

D

Feladat: a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meghatározása. b) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírásra.

z e

60 kN 40 kN

c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra. Kidolgozás: a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meghatározása. A B pontba redukált nyomaték: M B   60  0,4  ez   24 ez  kNm . A D pontba redukált nyomaték: M D   40  0,6  ez   24 ez  kNm . Az ABCD rúdszakasz tisztán csavarva van! Veszélyes keresztmetszetek: a B-D rúdszakasz valamennyi keresztmetszete. M c max  24kNm .

x

B

A

Mc

C

D

z

 kNm  24

24 z

a) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírásra:

47

y

z

Feszültségeloszlás határállapotban.

F R x

d /2 2

r dA 

 A



 A

R dA  F S P .

S P - a keresztmetszet S pontra számított poláris statikai nyomatéka.

 

d /2

 r3  d 3 . r 2 dr  2    3 12   r 0 r 0 d /2

r r d dr  2

r 0  0



Csavarási határnyomaték: M cK  F S P   F A tartó megfelel, ha az M c max  d3

 A

R  F dA  F

SP

d





S

Mc

SP 

Határnyomaték: M cK 

12 nF M c max

F

3

d 3 . 12

M cK  d 3 , azaz, ha az M c max  F feltétel teljesül. 12 nF nF

12  2  24 106  104,6mm .  160

c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra:

y

z

R x Mc

S

 max 

d

d3

16 nF M c max

F

Feszültségeloszlás rugalmas alakváltozás esetén.  A tartó megfelel, ha a  max  F egyenlőtlenség teljesül: nF

Kp  3

M c max Kp d 3 16

, 

16 M c max

16  2  24 106  115, 2 mm .  160

3.3.3. feladat: Csőtengely méretezése feszültségcsúcsra

48

d

3



F nF

.

Adott: egy körgyűrű keresztmetszetű tartó veszélyes keresztmetszetének igénybevétele:

y eR

e

M hx

d

P

M S  (600ex  800ez ) Nm ,  meg  80 MPa , D  2 d . x

Feladat: a) Feszültségeloszlás rajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, a veszélyes pont(ok) meghatározása. b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint. c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint.

Mc

D

Kidolgozás: a) Feszültségeloszlás megrajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, a veszélyes pont(ok) meghatározása: y

y

y

A

x

S

B

z  yz

 xz

z

Veszélyes pontok: - hajlításból az A és B pont, - csavarásból a palást minden pontja, - hajlításból és csavarásból együttesen az A és B pont. A keresztmetszet méretezését az A, vagy B pontbeli redukált feszültség figyelembevételével kell elvégezni.

x

x

b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint: 0 0 0    F   0 0   z  . R , , z 0  z  z   

z 

M M hx y ,  z    z  c  , ahol I p  2 I x . Ip Ix

 z max 

M D Mc M hx D M hx  ,   z max  c , K p  2 Kx .  Ip 2 Kp Ix 2 Kx

A redukált feszültség Coulomb szerint:

49

 red (Coulomb)  1 ,

n   z

Z

n

R 2 R

3

1 

z

3 

1

z

    z    2z , 2  2  2

z

2

    z    2z . 2  2 

2

 1max

M  M  M  hx   hx    c    2K x  2K x   K p 

 1max

M  M  M M 1  hx   hx    c   M hx  M hx2  M c2  red .   2K x 2K x Kp  2K x   K p 

2

2

2





A redukált feszültség Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint:    red ( Mohr )   1   3  2  z    2z   z2  4  2z .  2  2

 red ( HMH ) 

1 1 2 2 2 2 1   2    2   3    3  1    1   3   12   32   2 2

Behelyettesítés és átalakítás után:  red  HMH    z2  3  2z Összefoglalva:

 red   z2    2z , Mohr :   4 , HMH :   3 .

 red max   red  A   red  B    z2max    2z max , M M    hx     c  Kp  Kx   2

 red max

2

   

M hx2 

Mohr szerint:   4 : M red  M hx2 

 4

M c2

Kx

 4

M c2 

     

M red . Kx

62 

Huber-Mises-Hencky szerint:   3 : M red  M hx2 

 4

M c2 

    

62 

3 2  4 8  10  916 5 Nm . 4 

c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint:

50

4 2  4 8  10  1000 Nm . 4 

A tartó megfelel, ha  red max   meg , Mivel D  2 d , ezért K x 



M red   meg Kx

Kx 



M red

 meg

.

( D 4  d 4 )  2 (16  1) d 4  15 3  d .  64 D 64 d 64

A méretezési egyenlőtlenségből: d  3

64 M red  15   meg

3

64 106  25 7 mm , 15  80

Szabványos külső átmérőt választva (MSz 4337-64): D  60 mm és d  30 mm. 3.3.4. feladat: Tengely méretezése, ellenőrzése feszültségcsúcsra Adott: F  800 N , l 100 mm ,

y

y

x D B

D150 mm ,  meg 125 MPa .

A z

Feladat: A tengely méretezése feszültségcsúcsra.

d

F

F l

Kidolgozás: Az igénybevételi ábrák megrajzolása: Ty

 N

800

M hx

z 800

 Nm  Nm 

y M1

z

60

A

B

80

z

Mc

A terhelés redukciója a tengely középvonalába.

z

l

F

Csavaró nyomaték: M1  F

D  800  0,075  60 Nm . 2

Veszélyes keresztmetszet: A. Feszültségeloszlás az A keresztmetszetben:

51

y

y P Ty

y

 yz    xz

 yz

M hx

z

nyírás

Ixa  y 

4Ty 3A

,

,

z 

M hx M y ,  z max  hx , Ix Kx

z 

Mc M  ,   z max  c , Ip Kp

Q

x

 yz

Ty S x ( y )

 yz max 

x

S Mc

 yz

y

I p  2 I x , K p  2K x . csavarás

x

z

A veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjai a P és Q pontok.

x

Méretezés a P és Q pontokban Mohr szerint: A redukált feszültség:  red   z2    xz2 , Mohr :   4 .

 red max   red  P    red  Q    z2max    xz2 max , M M    hx     c  Kp  Kx   2

 red max

2

   

M hx2 

 4

 4

M c2 

A tartó megfelel, ha  red max   meg M red

 meg



Mivel K x 



Kx

Mohr szerint   4 : M red  M hx2 

Kx 

M c2



   

M red . Kx

8 10    6 10  4 2

 1000 Nm .

M red   meg , Kx

1000 103  800 mm3 . 125

d 3 32



d3

32 K x



3

32 800



 3 8150  20,124 mm

Ellenőrzés az S pontban Mohr szerint: 4T d 2 20,1242   red max  S   y 4   meg , A    318 mm2 . 3 A 4 4 4T 4 800  red max  S   y 4  2  6,71 MPa   meg  125MPa . 3 A 3 318 A tengely szilárdságtani szempontból megfelel! 52

4 2   

4. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK Célkitűzés: Olyan rugalmas szerkezeti elemeket, alkatrészeket (azaz a mechanikai szóhasználat szerint testeket) akarunk megvizsgálni szilárdságtani szempontból, méretezni, ellenőrizni, amelyek nem kezelhetők az eddig használt rúdmodellel. A méretezéshez, ellenőrzéshez ismernünk kell a rugalmas test szilárdsági állapotát jellemző mennyiségeket. Rugalmas test állapotának jellemzői: - u  u ( x, y, z ) elmozdulási vektormező, -

A  A( x, y, z ) alakváltozási tenzormező,

-

F  F ( x, y, z ) feszültségi tenzormező,

-

u  u( x, y, z )

fajlagos alakváltozási energiamező.

Kérdés: milyen általános összefüggések állnak fent ezen állapotjellemzők között? Válasz: A rugalmasságtani egyenletek. A rugalmasságtani feladat megfogalmazása: Adott: - a test alakja és méretei, - a test anyagi viselkedését jellemző mennyiségek, - a terhelés és a megtámasztás. Keresett: u , F , A , u. Feladat: a rugalmasságtani egyenletek megoldása.

4.1. Egyensúlyi egyenletek – feszültségi állapot

z

dA n dF  F  dA

A V

r x

dA dV

A testből kiragadunk egy olyan V térfogatot, mely teljes egészében a test belsejében van.

dF  qdV

O

y

A V térfogat környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe: - a térfogaton megoszló elemi erő: dF  q dV , - a felületen megoszló elemi erő: dF   dA  F  n dA . dA

A V testrész egyensúlyban van.

Az egyensúly feltétele: a) F  0 b) M 0  0 . 53

a) Egyensúlyi egyenletek: Az első vektoregyenlet:

F 0

 q dV   F  n dA.  A

V 

 F  n dA  

Gauss6-Osztrogradszkij7-féle integrál átalakítási tétel:

 A

F   dV .

V 

A Hamilton -féle (vagy nábla) differenciál operátor: 8

- derékszögű descartesi koordináta-rendszerben (DDKR-ben):   - henger koordináta-rendszerben (HKR-ben):   Alkalmazva a Gauss-Osztrogradszkij tételt:

   ex  ey  ez , x y z

 1   eR  e  ez . R R  z

F 0

  q  F    dV .

V  Az integrálnak bármely V választás esetén el kell tünnie Egyensúlyi egyenlet(ek):

F  q 0 .



az integrandusz zérus.

(1 vektor egyenlet  3 darab skalár egyenlet)

Az egyensúlyi egyenletben szereplő mennyiségek: A feszültségi tenzor (diadikus alakja):

F   x ex   y ey   z ez .

A térfogaton megoszló terhelés sűrűségvektora:

q  qx ex  q y ey  qz ez .

A skalár egyensúlyi egyenletek előállítása a DDKR-ben:



x

     ex   y ey   z ez   ex  ey  ez   q  0 , y z   x



 x  y  z    q  0. x y z

 x  xy  xz    qx  0 x y z  yx  y  yz    qy  0 x y z  zx  zy  z    qz  0 x y z

     az egyensúlyi egyenletek skaláris alakja.    

b) A feszültségi tenzor szimmetriája:

6

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus.

7

Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1862) orosz matematikus.

8

William Rowan Hamilton (1805-1865) ír matematikus, fizikus és csillagász.

54

A második vektoregyenlet:

M0 0

 r  q dV   r F  n dA .  A

V 

Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij féle integrál átalakítási tétellel: 0

    r  q  r  F    dV .  V  



Az r  F kifejezés fölötti  nyíl arra utal, hogy a nábla operátor erre a szorzatra hat. Az integrálnak bármely V választása esetén el kell tünnie



az integrandusz zérus.

    A szorzat differenciálását elvégezve: 0  r   q  F     r  F   .  

0

A második tag részletezése:   r   r   r  r  F      F   ex    F   ey    F   ez  ex   x  e y   y  ez   z  0 .  x  y  z      

A feszültségi tenzor vektorinvariánsa:

Fx  





1  x  ex   y  ey   z  ez . 2

Invariáns: koordináta-rendszertől független (koordináta transzformációval szemben változatlan, állandó). Például az Fx vektor x irányú koordinátája:





1 0   Fx  ex    x  ex   ex   y  e y  ex    z  ez   ex  2  0 vegyes szorzat

0   y  ez   z  ey 0   zy   yz



 zy   yz .

Ugyanezzel a gondolatmenettel elő lehet állítani az Fx többi koordinátáját is:

 xz   zx ,  xy   yx . Ezzel bizonyítottuk, hogy az F feszültségi tenzor szimmetrikus. Tétel: Minden szimmetrikus tenzor vektorinvariánsa zérus. c) Az eredmények összefoglalása: F 0



M0  0 

F   q 0

 egyensúlyi egyenlet.

F F

 a feszültségi tenzor szimmetrikus.

T

Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer között.

55

4.2. Kinematikai /geometriai/ kompatibilitási egyenletek 4.2.1. Az elmozdulásmező derivált tenzora Q

A test egy tetszőleges P pontjának elemi környezetét vizsgáljuk meg.

uQ  u

u

dr

A Q a P pont elemi környezetében helyezkedik el.

P

dr  dxex  dy ey  dz ez .

uP Az elmozdulásmező:

u  u  x, y, z   u  x, y, z  ex  v  x, y, z  ey  w  x, y, z  ez .

u  uQ  uP  u  uP .

magasabb rendű tagok

lineáris rész

u  uP 

Sorfejtés:

u x

dx  P

u y

dy  P

uy

ux

u z

dz  ((..................................)) P

uz

Lineáris közelítés esetén a sorfejtésben a magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk: Ha dy  dz  0



u  ux dx ,

Ha dx  dz  0



u  u y dy ,

Ha dx  dy  0



u  uz dz .

u u v w  ex  ey  ez , x x x x u u v w u y   ex  ey  ez , y y y y

Relatív elmozdulás vektorok:

ux 

uz 

u u v w  ex  ey  ez . z z z z

Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása lineáris közelítés esetén:

u  du 

u u u dx  dy  dz x P y P z P ex  dr

u  x 

e y  dr

ez  dr

ex dr   u y ey dr   uz ez dr     

 u  u u du  ux ex  u y ey  u z ez  dr   ex  ey  ez   dr  D  dr , y z  x 



du  D  dr .

56



u  du.

Az elmozdulásmező derivált tenzora:





D  ux ex  u y ey  uz ez ,

D

u u u ex  ey  ez . x y z

D  u . Nem szimmetrikus tenzor!

A derivált tenzor mátrixa az xyz koordináta-rendszerben: Az elmozdulásmező skaláris koordinátái:

 u u u   x y z     v v v   D      x y z   w w w     x y z   ux

uy

u  u  x, y , z  , v  v  x, y , z  , w  w  x, y , z  .

uz

A derivált tenzor felbontása: D 









1 1 T T DD  DD . 2 2 szimmetrikus ferdeszimmetrikus rész rész

4.2.2. Az alakváltozási tenzor Az alakváltozási tenzor a derivált tenzor szimmetrikus része: A





1 1 T D  D  u    u . 2 2

Kis alakváltozások esetén ez a tenzoregyenlet a kinematikai/geometriai egyenlet. Ez az egyenlet az u elmozdulásmező és az A alakváltozási (tenzor) mező kapcsolatát adja meg. Az alakváltozási tenzor elemeinek jelölése: 1 1    xy  xz  x 2 2    1 1    A   yx y  yz 2 2     1  zx 1  zy z   2  2 

x

y

 xy   yx , Szimmetrikus tenzor:  yz   zy ,

 xz   zx .

z

Az alakváltozási tenzor koordinátái az értelmezés (a derivált tenzor koordinátái) felhasználásával:

57

 u  x   1  u v   A       2  y x    1  u  w   2  z x  

1  w u      2  x z   1  w v     .  2  y z    w   z 

1  v u     2  x y  v y 1  v w     2  z y 

A kinematikai/geometriai egyenletek skaláris alakja:

x 

u , x

 xy   yx 

u v  , y x

y 

v , y

 yz   zy 

v w  , z y

z 

w , z

 xz   zx 

u w  . z x

4.2.3. A forgató tenzor A forgató tenzor a derivált tenzor ferdeszimmetrikus része: 

A forgató tenzor mátrixa:





1 1 T D  D  u    u  . 2 2

 0    1  v u           2  x y    1  w  u   2  x z  

1  u v     2  y x  0 1  w v     2  y z 

1  u w      2  z x   1  v w      . 2  z y     0  

A forgató tenzor az elemi környezet merevtestszerű szögelfordulását jellemzi. A forgató tenzornak a szilárdságtanban/rugalmasságtanban nincs további szerepe, nem használjuk.

4.3. Anyagegyenletek – lineárisan rugalmas anyag Anyagegyenlet: összefüggés az alakváltozási és a feszültségi állapot között. 4.3.1. Az általános Hooke9-törvény izotróp anyagra

 FI  1  E F  2G  1   ,  AI    ) F  2G  A  E 1  2  

 ) A

9

ahol

G  csúsztató rugalmassági modulus   anyagjellemzők.   Poisson tényező 

Robert Hooke (1635-1703) angol természettudós.

58

A feszültségi/alakváltozási tenzor első skalár invariánsai: FI  x   y   z 1   2   3 ,

AI   x   y   z  1   2   3 .

Invariáns egy mennyiség, ha a koordináta-transzformációval szemben változatlan, állandó. Az  ) alak skaláris egyenletei:

A  ) alak skaláris egyenletei:

x 

1   x   x   y   z  ,  2G  1 

 xy 

y 

1   y   x   y   z  , 2G  1 

 yz 

z 

1    z   x   y   z  ,   2G  1  

 xz 

    x   y   z  ,  1  2       y  2G  y   x   y   z  ,  1  2       z  2G  z   x   y   z  ,  1  2     x  2G  x 

 yx G

 yz G

 xz G

, , .

 xy  G  xy ,  yz  G  yz ,  xz  G  xz .

Más anyagállandók bevezetése: a) Egyszerű Hooke- törvény – egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás/hajlítás): 0 0 0  F  0 0 0  , 0 0  z 

 x A   0  0

0

y 0

0 0  , ahol  x   y    z .  z  y

y

N

z

N z húzás-nyomás

M hx

hajlítás

M hx

Egyszerű Hooke-törvény:  z  E  z . Általános Hooke-törvény:

   x  y  z  1  2      2G  z    z  z   z   2G  z   z   2G 1    z . 1  2   

 z  2G  z 

A két alakot összevetve:

10





E , vagy E  2G 1   , 1  ahol E a Young10-féle rugalmassági modulus. 2G 

Thomas Young (1773-1829) angol természettudós.

59

b) Összefüggés az első skalár invariánsok között:

AI   x   y   z 

1    x  y z  3 FI   2G  1   FI



AI 

1 1  2 1 FI  FI . 2G 1   3K

K  térfogati rugalmassági modulus (nem független anyagállandó). 1  E . 3K  2G  1  2 1  2 c) Fajlagos térfogatváltozás:





dV 1   x  1   y 1   z   1 1 1    x   y   z  AI . V 1 1 1 (  jelentése: lineáris közelítés esetén) Lineárisan rugalmas, izotróp anyag anyagállandói: E, , G, K  ezek közül kettő független.

Megjegyzés: AdI  0, FdI  0, mert a deviátor tenzorok a test tiszta torzulását jellemzik. Az izotróp anyagra vonatkozó általános Hooke-törvény felírása mátrix alakban: 1 1  1    Kiindulva a Hooke-törvény A  F FI E  alakjából és felhasználva az   2G  1  2G E  összefüggést:

x 

1  E

y 

1  E

z 

1  E

     1  x  1    x   y   z    E  x  E  y  E  z ,        1  y  1    x   y   z    E  y  E  x  E  z ,        1  z  1    x   y   z    E  z  E  x  E  y ,  

1 G 1   yz , G 1   xz . G

 xy   xy ,  yz  xz

Az alakváltozási és a feszültségi tenzor független koordinátáit oszlopmátrixba rendezve kapjuk a törvény mátrixos alakját.    1   Az általános Hooke-törvény   x x   E E E mátrixos alakban:   1    y    0  E  x E E     1     z  E  y E E   1    xy 0 0  xy G     1 0 0 0   yz  yz  G    1  0 0  xz   xz G  60

Tömören:   C  , ahol C az anyagjellemzők/anyagállandók mátrixa. 4.3.2. Az általános Hooke-törvény ortotróp anyagra Anizotróp anyag: az anyagi tulajdonságok (viselkedés) iránytól függő. Pl.: faanyag, hosszú szálazással erősített műanyag, stb. Ortotróp anyag: az anizotróp anyag speciális esete, az anyagi viselkedés egymásra merőleges irányokban vett anyagjellemzőkkel leírható. Pl.: egy irányban futó, párhuzamos hosszú szálakkal erősített műanyag. Azért foglalkozunk ezzel az esettel, mert a gyakorlatban elterjedt szálerősítésű műanyag kompozitok közül sok ezzel az anyagmodellel leírható. Kompozit anyag: többféle, eltérő tulajdonságú anyagból összetett anyag. Részei: - erősítés (üvegszál, szénszál, aramid szál, stb.), - mátrix (ágyazó anyag: epoxi, poliészter, poliamid, stb.) Tapasztalat: a kompozit anyag sok esetben jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkezik, mint az alkotórészei. Fő előnyök: nagy szilárdság, kis tömegsűrűség (önsúly), korrózió állóság, stb.

3

1

mátrixanyag

2 szálanyag

1, 2, 3 a kompozit anyagi főirányai (az anyag természetes/anyagi koordináta-rendszere). Valóság: az anyag nem homogén (a szálak és a mátrix anyaga eltérő tulajdonságú). Mechanikai modell: Egy olyan homogén, ortotróp anyag, amely nem alkalmas a szálakban, vagy a mátrixban fellépő mechanikai jellemzők (alakváltozások, feszültségek) meghatározására, hanem csak a kompozit anyag egy olyan kisebb tartományának átlagos jellemzői határozhatók meg vele, amelyben elegendően sok szál van.

61

Áltános Hooke-törvény ortotróp anyagra:

1 2

3  12  23  13

 1  E  1   12   E1   13  E  1         



 21 E2

1 E2 

 23



 31



 32

E3 0

E3

1 E3

E2

1 G12

0

0

1 G23

0

0

0

          0    0   1   G13 

1 2 3 12  23

13

E1 , E2 , E3  az 1, 2, 3 irányú húzáshoz tartozó rugalmassági modulus , G12 , G23 , G31  a csúsztató rugalmassági modulusok, 12 ,  23 ,  31  a Poisson  tényezők .

Például: 12  az 1 irányú húzáshoz tartozó 2 irányú kontrakció :  2 12 1 .

  C  . Az ortotróp Hooke-törvény mátrixos felírás esetén formailag ugyanolyan alakban írható fel, mint az izotróp Hooke-törvény. Az anyagtörvény izotróp és ortotróp esetre formailag azonos, különbség a C anyagállandó mátrix tartalmában van. Közös tulajdonság: C szimmetrikus mátrix (energetikai okokból következően) . Szimmetria:

 21 12 E2



E1

,

 32  23 E3



E2

,

 31 13 E3



E1

.

A lineárisan rugalmas ortotróp anyag viselkedése 9 független anyagállandóval írható le:

12 , 23 , 13 G12 , G23 , G13 .

E1 , E2 , E3

4.4. Peremfeltételek Dinamikai peremfeltétel: F  n  p0 az Ap  n.

z

n dA

Au

Ap O

x

62

p0

y

Kinematikai peremfeltétel: u  u0 az Au -n. A p0 ismert felületi terhelés. Ap - a test felületének az a része, ahol a felületi terhelés ismert. Az u0 ismert elmozdulás. Au - a test felületének az a része, ahol az elmozdulás ismert.

4.5. A rugalmasságtan egyenletrendszere F   q 0

egyensúlyi egyenlet (3db) .

1  u    u  kompatibilitási egyenlet (6 db) . 2  C  anyagegyenlet (6db) . A

F  n A  p0 dinamikai  (3 db),  p  peremfeltételek (3 db). u A  u0 kinematikai  u 

Ismeretlenek: u ( x, y, z ), A ( x, y, z,), F ( x, y, z ) . Bebizonyítható: a rugalmasságtan egyenletrendszerének adott peremfeltételek mellett egy és csakis egy megoldása létezik (egzisztencia és unicitás). Egzakt megoldás: A keresett u , A , F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek minden egyenletét kielégítik. Közelítő megoldás: A keresett u , A , F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek nem minden egyenletét elégítik ki.

4.6. A kompatibilitási egyenlet más alakjai Az A 

1  u    u  geometriai egyenletből indulunk ki. 2

Átalakítás: szorzás jobbról és balról vektoriálisan  -val  Saint-Venant–féle kompatibilitási egyenlet. 4.6.1. A Saint-Venant – féle kompatibilitási egyenlet   A   0

(tenzor egyenlet).

A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben: a) Az A  kifejezés előállítása: A   x ex   y ey   z ez , és  



   ex  ey  ez . x y z



b  c  azonosságot.

A levezetésnél felhasználjuk az a b  c  a

     A     x ex   y ey   z ez   ex  ey  ez   y z   x



     x ez  x z  y



 y

   e    x  e   y

 

z

 y z

    ex    z ey  z y   x



 ex  . 

A kifejezést átrendezve:

63

 y    y  z      z  x  A      ey   x   ex    ez .  y  z  x   x  z  y

b) Szorzás vektoriálisan balról  -val. A Saint-Venant tenzor-egyenlet bal oldalán álló kifejezés mínusz egyszeresét jelöljük  val.   y  z  Az      A   tenzor mátrixának első oszlopába az   ex       vektor y   z koordinátái kerülnek. Az oszlopmátrix előállítása: 2   2 y  2 z   y  z     y  2 z          ex     zy y 2 y   zx yx   z 

  2 y 1  2 yz    zx 2 yx 

   2 y  2 z    ey   2   e     z yz  z   

  1  2 zy  2 z    ey  ex    e  e     2 zx yx  z x    e ez y





 1  2 xy 1  2 xz    2 zy 2 y 2 

  1  2 zy  2 z   ex  ey     2 zy y 2   ez

  ez  e y    ex

 1  2 xy 1  2 xz    2 z 2 2 yz 

   2 y 1  2 yz   ex  ez    2    z 2 yz  e  y

  e y  ez .   ex













Az átalakítások során felhasználtuk az a  b  b  a azonosságot. A kifejezés tagjainak átcsoportosítása után:   2 y 1  2 yz 1  2 zy  2 z     z 2 2 yz 2 zy y 2 

  ex  

  1  2 zy  2 z 1  2 xy 1  2 xz     ex     2 zx yx 2 z 2 2 yz  

 1  2 xy 1  2 xz  2 y 1  2 yz      2 zy 2 y 2 zx 2 yx 

  ey   

  ez .  

Hasonló számítások eredményeképpen kapjuk az      A   tenzor második és harmadik oszlopát:  1  2 yz 1  2 yx  2 z 1  2 zx   ey       2 xz 2 z 2 yx 2 zy 

   2 1  2 zx 1  2 xz  2 x     ex   2z   ey   2 xz 2 xz z 2   x 

 1  2 xz  2 x 1  2 yz 1  2 yx      2 xy zy 2 x 2 2 xz 

64

  ez ,  

 1  2 yx  2 y 1  2 zx 1  2 zy   1  2 zx 1  2 zy  2 x 1  2 xy    e        2 zy zx 2 y 2  x  2 xy 2 x 2 2  y  x  z  y 2 zx    2 2 2   2 1   xy 1   yx   y    2x    2  ez .  y 2 yx 2 xy x  

  ez  

  ey   

A Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor egyenlet szerint a fenti oszlopok minden koordinátája nullával egyenlő. Ez a kilenc egyenlet a Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor egyenlet skaláris alakja DDKR-ben:  2 y z 2

1   yz 1   zy  2 z    0, 2 yz 2 zy y 2 2



2

1   zy  2 z 1   xy 1  2 xz    0, 2 zx yx 2 z 2 2 yz 2

2

2 2 2 1   xy 1  2 xz   y 1   yz     0, 2 zy 2 y 2 zx 2 yx

1   yz 1   yx  2 z 1  2 zx    0, 2 xz 2 z 2 yx 2 zy 2

2

 2 z 1  2 zx 1  2 xz  2 x    0, x 2 2 xz 2 xz z 2

1  2 xz  2 x 1   yz 1   yx     0, 2 xy zy 2 x 2 2 xz 2

2

2 2 2 1   yx   y 1  2 zx 1   zy    0, 2 zy zx 2 y 2 2 yx

1  2 zx 1   zy  2 x 1   xy    0, 2 xy 2 x 2 zy 2 zx 2

2

2 2 2  2 x 1   xy 1   yx   y    0. y 2 2 yx 2 xy x 2

Az alakváltozási tenzor szimmetriáját figyelembe véve, hat egymástól különböző skalárisegyenlet marad: 2  2 x   y   2 , x y y 2 x

   xy  xz  yz    x  z y x

  2 x , 2  yz

 2 yz

 2 z , y 2

   yz  xy  zx    y  x z y

  y , 2  zx

 2 xz  2 z  2 x   2 , z x x 2 z

   zx  yz  xy    z  y x z

  2 x . 2  xy

 2 xy

y z



 2 y z 2



2

65

Megjegyzés: Ez hat egyenlet megszorításokat jelent az alakváltozási tenzor koordinátáira nézve. Azt jelenti, hogy az alakváltozási tenzor koordinátái nem függetlenek egymástól. 1   u  u   összefüggést, akkor az egyenletek azonosság2 gá alakulnak. Tehát a Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet fizikai tartalma megegyezik a 4.2.2.pontban felírt geometriai/kinematikai egyenletek tartalmával.

Ha figyelembe vesszük az A 

Átalakítás: a Saint-Venant egyenlet + izotróp Hooke-törvény + egyensúlyi egyenletek  Beltrami11- Michell12-féle kompatibilitási egyenlet. 4.6.2. A Beltrami-Michell-féle kompatibilitási egyenlet

F 

1  FI     q  q   q   E  0 1  1 

Laplace13–féle differenciál operátor:     

(tenzor egyenlet).

2 2 2 .   x 2 y 2 z 2

A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:  2 2 2  F   2  2  2  F , y z   x   x             y x     z 

  x      q     qx y     z 

11

 y

qy

q  

 2  2  x    2  z   yx  2    zx

 qx   x  q qz    x  y  qx   z

qx q y qz ,   x y z 2 xy 2 y 2 2 zy

q y x q y y q y z

2   xz  2  , yz   2  z 2 

qz   x  qz  , y  qz   z 



q    q  .

Eugenio Beltrami (1835-1900) olasz matematikus.

12

John Henry Michell (1863-1940) ausztrál matematikus.

13

Pierre-Simon de Laplace (1749-1829) francia matematikus, csillagász és fizikus.

66

T

 qx  x     q y  z   x  qz   x

qx y q y

qx  z    qx   q     y q    q y   . x y y z    qz  qz qz   y z  A skaláregyenleteket a kijelölt differenciálások elvégzésével kapjuk.

A feszültségi tenzor diagonális elemeihez kapcsolódó három skaláregyenlet:  2 x  2 x  2 x q 1  2 FI   qx q y qz     2 x     0, 2 2 2 2 1   x x 1   x y z  x y z

 2 x 2

y



 2

y

y 2



 2

y

z 2



q y 1  2 FI   qx q y qz  2     0, 2 1   y y 1   x y z 

 2 z  2 z  2 z q 1  2 FI   qx q y qz     2 z     0. 2 2 2 2 1   z z 1   x y z  x y z

A feszültségi tenzor főátlón kívüli elemeihez kapcsolódó hat skaláregyenlet valójában csak három különböző egyenlet a feszültségi tenzor szimmetriája miatt:  2 xy x 2



 2 xy y 2



 2 xy z 2



1  2 FI q y qx    0, 1   xy x y

 2 xz  2 xz  2 xz 1  2 FI qz qx      0, 1   xz x z x 2 y 2 z 2  2 x

yz 2



 2 y

yz 2



 2 z

yz 2

1  2 FI q y qz    0. 1   yz z y

4.7. Gyakorló feladatok a rugalmasságtani egyenletekre 4.7.1. feladat: Rugalmas test elmozdulási és alakváltozási állapota Adott: A rugalmas test elmozdulási állapota az u  r   u  x, y, z  függvénnyel, továbbá a test P pontjának rP helyvektora. u  r   u  x, y, z   u ( x, y, z ) ex  v( x, y, z ) e y  w( x, y, z ) ez ,





u   x y / R , v   x 2  y 2  z 2 /  2R  , w  yz / R ,





R  10 m,  =0,25 , rP  4ex  2ey  5ez mm.

Feladat: a) A D  x, y, z  derivált, az A  x, y, z  alakváltozási és a   x, y, z  forgató tenzor mátrixának meghatározása. b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az elemi triéderen. 67

c) Az  n fajlagos nyúlás és a  mn fajlagos szögváltozás meghatározása, ha   3  3  en   0,5ex  ey  és em   ex +0,5ey  . 2    2 

Kidolgozás: a) A D  x, y, z  derivált, az A  x, y, z  alakváltozási és a   x, y, z  forgató tenzor mátrixának meghatározása: Az elmozdulásmező derivált tenzora:





D  ux ex  u y ey  uz ez   u  x   v  D     x  w   x

u y v y w y

u u u ex  ey  ez  u  . x y z

u       y  x 0    z  R R    v   x   y  1 z  - nem szimmetrikus tenzor.   z   R R R    1 1  w   0 z y  R R  z  

A derivált tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének relatív, fajlagos elmozdulási állapotát jellemzi. Az alakváltozási tenzor:

A





1 1 T D  D  u    u  2 2   x  1  A    yx 2   1  zx  2

1  xy 2

y 1  zy 2

  0  R y    A   0  y  R   0 0 

1   xz 2   1   yz  2   z  

(a derivált tenzor szimmetrikus része).  u  x   1  u v       2  y x    1  u  w   2  z x  

1  v u     2  x y  v y 1  v w     2  z y 

1  w u      2  x z   1  w v     ,  2  y z    w   z 

 0   0 .   1  y R 

Az alakváltozási tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének alakváltozását jellemzi. A forgató tenzor:



68





1 1 T D  D  u    u  2 2

(a derivált tenzor ferde szimmetrikus része).

 0    1  v u           2  x y    1  w  u   2  x z  

1  u w         0  2  z x    0  R x   1  1  v w      x 0  z 0     R  2  z y    R    1  0  1  w v  z 0    0   R    2  y z   A forgató tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének merevtestszerű szögelfordulását jellemzi. 1  u v     2  y x 

b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az elemi triéderen:   0,25 x   y    xy   yx  yx  0 ,  0,002  0,5 104 , R

y   z 

 R

10

y

G

0,25  0,002  0,5 104 , 10

1 1 y   0,002   2 104 , R 10

  x   A    1  P   2 yx   1  zx  2

1  xy 2

y 1  zy 2

 yz   zy 

 xz   zx 

1   xz 2  0,5 0 0   1    yz  0 0,5 0  10-4 . 2   0 -2    0 z  

 yz G

 xz G

0,

0 .

2 104 ez P

0,5

0,5

ex e y

c) Az  n fajlagos nyúlás és a  mn fajlagos szögváltozás meghatározása:

 0,25  0,5 0 0   0,5    -4        n   AP  en   0 0,5 0    3 / 210    3 / 410-4 .    0   0 0 -2   0    A fajlagos nyúlás:

 0,25    3   n   n  en  10-4   3 / 4  0,5  3 / 2 0    0,125   10-4  0,5 10-4 . 8   0     0,25    1 A fajlagos szögváltozás:  mn   n  em  10-4   3 / 4   3 / 2 0,5 0   0. 2  0   

69

4.7.2. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – húzott rúd Adott:

z

Az ábrán látható hasáb alakú (mechanikai szempontból rúdnak is tekinthető) rugalmas, önsúlyával terhelt test elmozdulásmezőjének skaláris koordinátái: u   g x z / E , v   g y z / E ,

l

w 

g 2E 





l 2  z 2  x 2  y 2  . 

E - az anyag rugalmassági modulusa,  - Poisson tényező,  - a test anyagának tömegsűrűsége, g - gravitációs gyors.,

x y

b

a, b, l - a test méretei.

Ezeket az elmozdulási koordinátákat a rúdelmélet (húzott nyomott prizmatikus rúd) felhasználásával kapjuk.

a

Feladat: A rugalmasságtani egyenletek teljesülésének ellenőrzése. Kidolgozás: a) Az alakváltozási tenzor előállítása:

x 

u w v    g z / E ,  y   g z / E .    g z / E ,  z  x y z  v u     0,  x y 

 xy  

  x  1  A    yx 2   1  zx  2

1  xy 2

y 1  zy 2

 w v     0,  y z 

 yz  

 u

w 

 xz      0.  z x 

1   xz 2     g z / E 0  1    yz  0   g z / E 2    0 0    z 

0  . 0   g z / E 

A geometriai egyenletek teljesülnek, mert ezek felhasználásával állítottuk elő az alakváltozási tenzort. b) Az általános Hooke-törvény alkalmazása, a feszültségi tenzor előállítása: AI   x   y   z  (1  2 )  

 x  2G  x   

 y  2G  y   

 z  2G  z  70



 1  2

x



 1  2

x



 1  2

x

gz E

, E  2G(1  ) .

   y   z   0, 

 xy  G  xy  0,

   y   z   0, 



 yz  G  yz  0,

   y   z    gz , 

 xz  G  xz  0.





 x  xy  xz  0 0    F ( x, y, z )    yx  y  yz   0 0   zx  zy  z  0 0  

A rúdelméletből:  z 

0  0  .  g z 

N  gV  g (abz )     gz .  Az anyagegyenletek teljesülnek. A A ab

c) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: F    q  0 . q  qz ez    g ez

 xy  y  zy  x  xy  xz    qy  0 ,    qx  0 , x y z x y z

 xz  yz  z    qz  0  0   g   g  0 .  Valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesül. x y z

d) A kinematikai peremfeltételek teljesülése: A z=l egyenletű felületen: u  0 . u    g x l / E , v    g y l / E , w 

g 2E

x

2



 y2 ,

Ez a feltétel csak az x  y  0 pontban teljesül. e) Dinamikai peremfeltételek teljesülése: A z  0 felület terheletlen és  xz   yz  0,  z  0 teljesül. b felületek szintén terheletlenek és F    ex     x  0 teljesül. 2 a Az y   felületek is terheletlenek és F    ey     y  0 teljesül. 2

Az x  

4.7.3. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – hajlított, nyírt rúd

z

y p0

xh

h

y l b

Adott: Az ábrán látható hasáb alakú (mechanikai szempontból rúdnak is tekinthető) rugalmas test geometriai méretei és terhelése: h, b, l , p0 . Feladat: Annak ellenőrzése, hogy a rúdelmélettel kapott megoldás kielégíti-e az egyensúlyi egyenletet és a peremfeltételeket.

Kidolgozás: 71

a) A feszültségi állapot meghatározása a rúdelméletből: terhelés: q0  p0 b ,

y

z

q0  p0 b

nyíróerő: Ty  z    q0 d    p0 b z ,



z

0

l



hajlító nyomaték: M hx   Ty dz  M hx 3p y  03 z 2 y , Ix 4h

A feszültségi tenzor:

z 

0 0 0    F ( x, y, z )   0 0  yz  . 0  zy  z   

 yz  

Ty S x  y  Ix b



Sx  y   b  h  y 

Ix 



1 p0 b z 2 . 2

b(2h)3 2bh3 .  12 3



3p0 h2  y 2 z , 4 h3

h y b 2  h  y2 . 2 2





b) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: F    q  0 . =0  x  xy  xz    qx  0  0  0  0  0, x y z

 yx x



 y y



 yz z

 qy  0  0 





3 p0 2 h  y2  0  0 . 3 4h

Ez a skalár egyenlet csak az y  h egyenletű felületeken teljesül.  zx  zy  z 3 p yz 3 p yz    qz  0  0 3  0 3  0  0 . x y z 2h 2h

c) Dinamikai peremfeltételek teljesülésének ellenőrzése: 0 0 0   1 0  b   Az x   felületen F  (ex ) b  0 0  yz   0   0  , - a felületek terheletlen x  2 2 0  zy  z   0  0    volta éppen ezt jelenti. 0 0 0  0  0   0        0 0  yz   0     yz  z  0    0  , - a felület A z  0 felületen F   ez  z 0 0  zy  z   1   z  z  0   0   z 0 terheletlen volta éppen ezt jelenti.

Az y   h felületeken: F  (ey )

72

y  h

0 0 0  0     0 0  yz   1   zy 0  zy  z   0   

y  h

ez  0 .

Ez csak y   h esetén teljesíti a dinamikai peremfeltételt, amennyiben a tartó alsó felülete valóban terheletlen. A felső felület esetén ( y   h ) ugyanis F  ey

y h

  p0ey esetén tel-

jesülne a dinamikai peremfeltétel. Mivel egy skaláris egyensúlyi egyenlet és egy skaláris dinamikai peremfeltételi egyenlet nem teljesül, ezért a rúdelmélet alapján előállított megoldás rugalmasságtani szempontból nem egzakt, hanem közelítő. 4.7.4. feladat: Rugalmasságtani egyenletek Adott: Az ábrán látható keskeny téglalap keresztmetszetű rúd feszültségmezője:

y  

3 p0  z  2 1 2  1   e y  y 3  e3  , 3  3 3  4e  l 

z 

3 p0  2 1 z 3  z  y, 3 l  4e3 

 yz 

3 p0  1 z2  2 2 z    e y , 2 l  4e3 

 x   xy   zx  0 .



y



e

y

x

z

e

a

l

Feladat: a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata q  0 esetén. b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő rendszerének meghatározása a dinamikai peremfeltételekből. c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani feladat egzakt megoldása, ha q  0 . Kidolgozás: a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata q  0 esetén: Ha a térfogati terhelés a rúd minden pontján zérus, akkor az F    q  0 egyensúlyi egyenlet az F    0 alakra egyszerűsödik. A vizsgálandó skaláregyenletek a következők:

 x  xy  xz   0, x y z

 yx x



 y y



 yz z

0 ,

 zx  zy  z   0 . x y z

Az első skaláregyenlet azonnal teljesül, hiszen a benne szereplő feszültségkoordináták azonosan egyenlők nullával. 73

A második skaláregyenlet is teljesül tetszőleges pontban:  yx x



 y y



 yz z

0 

3 p0  z  2 3p  z  1   e  y 2  30 1   e2  y 2  0 . 3  4e  l  4e  l 









Ugyanezt láthatjuk a harmadik skaláregyenlet esetén, ugyanis:  zx  zy  z 3p  z2  3 p  z2     0  2 y 30  z    30 y  2 z    0 . x y z 2l  4e  l  4e  Az egyensúlyi egyenlet tehát a rúd minden pontjában teljesül.

b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő-rendszerének meghatározása a dinamikai peremfeltételekből: Mivel térfogati erő nem hat és a feszültségeloszlás folytonos függvényekkel leírható, a rúdra ható terhelés és a támasztóerő rendszer is felületen megoszló erőként jelentkezik. Ennek számítása a felületi feszültségállapot vizsgálatával lehetséges. Ki kell számítani a rudat határoló hat téglalap felületen a feszültségeket. Az

 ex

normálisú

felületek

terheletlenek,

ugyanis

 x   xy   zx  0 ,

vagyis

 x  F  ex  0 . Az e y normálisú felület (a rúd „felső lapja”) az y  e helyettesítéssel áll elő.

y  

3 p0  z  3 1 3 2 3   z 1   e  e  e    p0 1   3  3 3  4e  l   l

 zy   yz 

3 p0  1 z2  2 2 z    e  e  0 ,  xy  0 2 l  4e3 





 z A negatív normálfeszültség összenyomást jelent, a felületet tehát p   p0 1   ey sűrű l ségű, felületen megoszló erő terheli.

A ey normálisú felület (a rúd „alsó lapja”) az y  e helyettesítéssel áll elő.

y  

3 p0  z  3 1 3 2 3  1   e  e  e   0 3 3  4e3  l 

 zy   yz 

3 p0  1 z2  2 2 z    e  e  0 ,  xy  0 . Ez a felület terheletlen. 2 l  4e3 





Az ez normálisú felület a z  l helyettesítéssel áll elő.

z 

3 p0  2 1 l 3  p0l 2 l  y  y   3 l  4e3  2e3

 yz 

3 p0  1 l 2  2 3 lp0 2 2 2 l  e  y  3 e  y ,  xz  0 . 3  4e  2 l  8e









A ez normálisú felület a z  0 helyettesítéssel áll elő.

74

 z  0 ,  yz  0 ,  xz  0 . A felület terheletlen. c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani feladat egzakt megoldása, ha q  0 : Egzakt megoldás esetén a fentieken kívül teljesülnie kell a Beltrami–Michell-féle kompatibilitási egyenleteknek is. Ezek skaláris alakja q  0 esetén:  2 x  2 x  2 x 1  2 FI    0, x 2 y 2 z 2 1   x 2

 2 xy

 2

 2 xz  2 xz  2 xz 1  2 FI    0, 1   xz x 2 y 2 z 2

y

x 2



 2

y

y 2



 2

y

z 2



x 2

1  2 FI 0, 1   y 2

 2

 2 z  2 z  2 z 1  2 FI     0, x 2 y 2 z 2 1   z 2

x

yz 2





 2 xy y 2

 2 y

yz 2





 2 xy z 2

 2 z

yz 2





1  2 FI 0, 1   xy

1  2 FI 0. 1   yz

A deriválásokat (fenti sorrendben/elrendezésben) elvégezve a következő egyenletekre jutunk: 0  0,

0  0,

6 yp0  z  1 6 yp0  z  1   1    0 , 3  4e  l  1   4e3  l 

0  0,

3 p0  2z  1 3 p0  2z  2  2 0, 3  3  l  1   4e  l  4e 

2

3 p0  z 2  3 p0 2 1 3 p0  e2 2 2   z 2  2 z   e  y   y  2 z          0 . 2l  4e3l 1   4e3  l 3l   l   4e3 





4.7.5. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – elmozdulási, alakváltozási és feszültségi állapot Adott: Egy kör keresztmetszetű rúd geometriai méretei és csúsztató rugalmassági modulusa, a csavarásakor az elmozdulás vektormező az u  r   u  x, y, z  függvénnyel, továb-

y x

P

S

rP S l

R

bá a test P pontjának rP helyvektora.

M0

u  x, y, z   ( z y) ex  ( x z ) ey ,   0,1 rad/m ,

z R  0,01 m , G =80 GPa , l =0,1 m , M 0  M 0 ez , rP   0,01ey  0,1ez  m .

Feladat: a) Az A  x, y, z  alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása. b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása.

75

c) Az rP helyvektorú P pontban a főnyúlások és az e1 , e2 , e3 alakváltozási főirányok meghatározása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése. d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása. Kidolgozás: a) Az A  x, y, z  alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása: A



A kijelölt deriválásokat elvégezve:

A P pontban:



1 1 T D  D  u    u  , 2 2

 0 0  y 1   A   0 0 x  .  2    y x 0 

 0  A    0  P  5  104 

0 5 104   0 0 . 0 0 

b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása: A relatív térfogatváltozás az alakváltozási tenzor determinánsával egyenlő. (Kis alakváltozások esetén közelíthető az AI első skalár invariánssal is.) V  det A  0 , tehát az alakváltozás során nincs térfogatváltozás. V

c) Az rP helyvektorú P pontban a főnyúlások és az e1 , e2 , e3 alakváltozási főirányok meghatározása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése: A sajátérték feladat kitűzése és a karakterisztikus egyenlet:   e 0 5 10-4   ex  0     e 0  ey   0    e3  25 10-8 e  0 .  0  5  10-4 0  e   ez  0   A főnyúlások, vagyis a karakterisztikus egyenlet (harmadfokú algebrai egyenlet) megoldásai: 1  5 104 ,  2  0 ,  3  5 104 .

Az e1 főirány meghatározása: 5e1x  5e1z  0   5 0 5  e1x  0 e1z  e1x 2         e1  10   0 5 0  e1 y   0   5e1 y  0    ex  ez  . e  0 2 1 y  5 0 5  e1z  0 5e1x  5e1z  0  -4

Az e2 főirány meghatározása: e2  ey . Az e3 főirány meghatározása: e3  e1  e2 

76

2 2  ex  ez   ey   ex  ez  . 2 2

Szemléltetés az elemi triéderen:

5

ez ex

104

P e y

5

d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása:

 AI   Az általános Hooke-törvény: F  2G  A  E . 1  2   Ebből a feszültségi tenzor nem zérus koordinátái:

 xz   zx  2G  xz  2  80 109   5 104   80 106  80MPa 1 2

 0 0 80  A feszültségi tenzor:  F    0 0 0  MPa .  80 0 0 

4.7.6. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az alakváltozási tenzor felírása henger koordináta-rendszerben Adott: Az A 

1  u    u  kinematikai egyenlet. 2

1  u    u  kinematikai egyenlet skaláris egyenleteinek levezetése az 2 R z henger koordináta-rendszerben.

Feladat: Az A 

Kidolgozás: A  nabla differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben:  

 1   eR  e  ez . R R  z

Az u elmozdulásmaző henger koordináta-rendszerben u  u eR  ve  wez .   1    A derivált tenzor: D  u    u eR  v e  wez   eR  e  ez  . R  z   R

A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől: eR  eR ( ) , e  e ( ) , ez  állandó .

Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai – szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával: e e eR e ez ez eR e ez        0 , de R  e ,  eR .  R R R  z z z 

A kijelölt diadikus szorzás elvégzésénél ezt figyelembe véve: 77

  1    D   u eR  v e  wez   eR  e  ez   R  z   R



u v w 1 u 1 e 1 v eR eR  e eR  ez eR  eR e  u R e  e e  R R R R  R  R  e 

1 e 1 w u v w v e  ez e  eR ez  e ez  ez ez . R  R  z z z eR

Az azonos diádokat összevonva: D

 1 u v   u 1 v  u v w eR eR  e eR  ez eR     eR e     e e  R R R  R  R   R R  



1 w u v w ez e  eR ez  e ez  ez ez R  z z z

Ebből az elmozdulásmező derivált tenzorának mátrixa:  u   R  v  D     R  w   R

 1 u       R  R   1 v u      R  R  1 w R 

u   z  v   z  w  z 



– nem szimmetrikus tenzor.



1 T D  D , vagyis a derivált tenzor szimmetrikus része: 2  u 1  u v  1  u w   v R        R 2 R   R  2  z R     1  u v  u 1 v 1  v w    A    v R   R   . R  R R  2 R  z     2 R     1  u w  1  v w  w    R        2  z R  2 R  z   z

Az alakváltozási tenzor: A 

4.7.7. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az egyensúlyi egyenletek felírása henger koordináta-rendszerben Adott: Az F    q  0 egyensúlyi egyenlet. Feladat: Az F    q  0 egyensúlyi egyenlet skaláris egyenleteinek meghatározása az R z henger-koordinátarendszerben.

78

Kidolgozás: A  differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben:  

 1   eR  e  ez , R R  z

A F feszültségi tenzor henger-koordinátarendszerben: F  R eR   e   z ez . A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől: eR  eR ( ) , e  e ( ) , ez  állandó .

Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai – szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával: e e eR e ez ez eR e ez        0 , de R  e ,  eR .  R R R  z z z  Az F   skaláris szorzás elvégzése:   1    F      R eR   e   z ez    eR  e  ez   R  z   R

  R  eR  eR  e  eR  z ez  eR  R R R 1 0 0 e eR  1  R 1 1  1  eR  e   R  e  e  e    e  z ez  e  R  R  R  R   0 1 0  e  eR



0

1

  R  eR  ez  e  ez  z ez  ez . z z z 0 1 0 A diadikus és a skaláris szorzás asszociativitását és a bázisvektorok merőlegességét figyelembe véve:  1 1   z F    R  R    R R R  z 



  R  R  1 1 1 eR  e  zR ez   R eR    R e   zR ez  R R R R R R e e 1  R 1 1   1 1  z  eR   R R  e     ez  R  R  R  R  R   e  eR 

  z  Rz  eR  e  z ez . z z z

eR

e

 ez

A bázisvektorokkal való skaláris szorzás eredményeképpen, a q térfogati erősűrűség megfelelő skaláris koordinátájának figyelembe vételével a következő skaláris egyenleteket kapjuk:

79

 R    R 1    R       Rz  qR  0 , R R    z   R R



     z 1  q  0 ,    R   R   R   z

 z   z  zR 1    zR   qz  0 .  R R    z

80