Syntetická geometrie
2.cvičení 1. • Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. • Úsečka: průnik dvou polopřímek 7→ AB , 7→ BA. • Polorovina: přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny. • Úhel: průnik polorovin (pozor na speciální případy). str. 56-57 • Pás: průnik polorovin jejichž hraniční přímky jsou rovnoběžné a mají neprázdný průnik. • Trojúhelník: průnik tří polorovin. 2. Pravý úhel: shodný se svým úhlem vedlejším. 3. Úhly vedlejší - η, δ ; vrcholové - α, β ; souhlasné - α, γ ; střídavé - α, δ .
1
Syntetická geometrie
4. Dva ostré úhly s rameny k sobě kolmými jsou shodné.
5. - Odchylka přímek v rovině: Odchylkou dvou přímek a, b nazýváme velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který má libovolně zvolený vrchol V a ramena na přímkách procházejících bodem V rovnoběžně s přímkami a, b (budeme značit |6 a, b|). Z uvedené definice je patrné, že odchylka dvou rovnoběžek je 0◦. 6. - Klasifikace trojúhelníků Trojúhelníky dělíme podle velikostí stran na: různostranné rovnoramenné rovnostranné (a 6= b 6= c 6= a); (a = b 6= c); (a = b = c). C
C γ b α A
a β c
C
γ
B
A
α
a
a
a
α
α
α
c
B
A
a α a
B
2
Syntetická geometrie
Podle úhlů dělíme trojúhelníky na: pravoúhlé ostroúhlé (α, β < 90◦, ◦ (α, β, γ < 90 ); γ = 90◦); C C
γ b α A
a
a
β
b
β c
tupoúhlé (α, β < 90◦, γ > 90◦).
α
B
c
A B
α
b
γ
C a
c
A
β
B
7. - Věty o stranách a úhlech obecného trojúhelníka sinova věta, cosinova věta atd. 8. Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídající si úhly jsou shodné. Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se a) ve všech třech stranách (věta sss); b) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus); c) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu); d) v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých (věta usu).
3
Syntetická geometrie
9. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si úhly jsou shodné. Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se a) v poměrech délek všech tří odpovídajících si stran (věta sss); b) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu jimi sevřeném (věta sus); c) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu); d) ve dvou úhlech (věta uu). 10. - Eukleidova věta o výšce: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou (v 2 = ca · cb). C b
β α vc
β
α A
a
C0
B
Podobné trojúhelníky AC0C a CC0B , tj platí: cb 2 vc b a = ca = vc ⇒ v = ca · cb
4
Syntetická geometrie
Eukleidova věta o odvěsně: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je přepona a druhá strana je shodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně (a2 = c · ca, resp. b2 = c · cb) C b
β α vc
β
α A
a
C0
B
Podobné trojúhelníky AC0C a ACB , tj platí: cb 2 vc b b = a = c ⇒ b = cb · c Pythagorova věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami. (c2 = a2 + b2). a2 = c · ca a b2 = c · cb a2 + b2 = c · ca + c · cb = c(ca + cb) = c2
5
Syntetická geometrie
11. Dokažte věty: • Osy stran trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice opsané trojúhelníku.
oc = {X ∈ E2; |AX| = |BX|} oa = {X ∈ E2; |BX| = |CX|} ob = {X ∈ E2; |AX| = |CX|} oa ∩ oc = {S} |AS| = |BS| a |BS| = |CS| ⇒ |AS| = |CS| ⇒ S ∈ ob
• Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice vepsané trojúhelníku. - analogicky
6
Syntetická geometrie
• Výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě.
K trojúhelníku ABC sestrojíme trojúhelník A0B 0C 0 takto: A0B 0||AB a C ∈ A0B 0, A0C 0||AC a B ∈ A0C 0, C 0B 0||CB a A ∈ C 0B 0 osy stran trojúhelníka A0B 0C 0 jsou zároveň výšky trojúhelníka ABC tj. výšky se protnou v jednom bodě.
7
Syntetická geometrie
12. Dokažte větu (matematická indukce): Součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku je (n − 2) · 2R.
V (3) : (3 − 2) · 2R = 180◦ - věta součet úhlů v trojúhelníku je 180◦ V (n) ⇒ V (n + 1): Pro n-úhelník platí; dokážeme, že platí pro n+1-úhelník. K n-úhelníku přidáme trojúhelník XY Z : (n − 2) · 2R + 2R = (n + 1 − 2) · 2R 13. Dokažte, že žádné tři kolineární body neleží na téže kružnici.
8
Syntetická geometrie
14. Vzájemná poloha přímky a kružnice
Vzájemná poloha dvou kružnic
Úsečka spojující středy nesoustředných kružnic se nazývá středná.Označme s velikost středné dvou kružnic. • Je-li s > r1 + r2, potom kružnice nemají žádný společný bod a leží vně sebe (kružnice a, b). • Je-li s = r1 + r2, potom kružnice mají jediný společný bod (bod dotyku) a dotýkají se vně (kružnice g, h). 9
Syntetická geometrie
• Je-li |r1 − r2| < s < r1 + r2, potom kružnice mají společné právě dva body (tzv. průsečíky) (kružnice c, d). • Je-li s = |r1 − r2|, potom kružnice mají jediný společný bod (bod dotyku) a dotýkají se uvnitř (kružnice j, i). • Je-li s < |r1 − r2|, potom kružnice nemají žádný společný bod a jedna leží uvnitř druhé (kružnice e, f ). 15. Úhel přímky a kružnice, dvou kružnic - str.64-65
16. Průměr je nejdelší tětiva
10
Syntetická geometrie
17. Důkaz základní věty o obvodových úhlech Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné mezi sebou i úsekovým úhlem příslušným k témuž oblouku. Každý obvodový úhel je roven polovině příslušného středového úhlu. M
ϕ
k
M k
S ω ϕ
A
A ϕ
ϕ1
ϕ2
ϕ1 S ω1 ϕ2 ω2
B Y
B
Zvolme na kružnici k(S ; r ) tři různé body A, B , M . Úhel 6 AM B se nazývá obvodový úhel a úhel 6 ASB středový úhel, úhel 6 ABY tvořený tečnou kružnice v bodě B a sečnou AB se nazývá úsekový úhel. • Mohou nastat tři případy • Přímka M S rozdělí obvodový úhel ϕ na dva úhly ϕ1 + ϕ2 = ϕ a středový úhel ω na dva úhly ω1 + ω2 = ω . • Trojúhelníky AM S a BM S jsou rovnoramenné — |SA| = |SM | = |SB| = r • 6 M AS ∼ = 6 AM S (a také 6 M BS ∼ = 6 BM S ) • Součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímu vnějšímu úhlu • Sečtením dostaneme ω = ω1 + ω2 = 2ϕ1 + 2ϕ2 = 2(ϕ1 + ϕ2) = 2ϕ. 11
Syntetická geometrie
18. Sestrojte množinu bodů v rovině, z nichž je danou úsečku AB vidět pod úhlem • φ = 30◦ • φ = 120◦
12
