MUATAN INTI
EFEKTI F DALAM PERHI TUNGAN PROFI L COMPTON
ELEKTRON 2s 2 DAN 2p"
DALAM ATOM Al
SECARA PENDEKATAN I MPULS
A. Pramudit.a Pus at. Penelit.ian Nuklir Yogyakart.a ABSTRAK
Muat.an int.i efekt.if dihit.ung unt.uk elekt.ron 2s2 dan 2p6 dalam mencari
at.om Al.
Perhit.ungan
harga muat.an int.i yang
memperhat.ikan
int.eraksi
dilakukan
dengan
t.enaga
minimum
memberikan
secara t.erpisah unt.uk masing-masing
subkelopak
subkelopak,
dengan hanya dengan ant.ara elekt.ron
Coulomb
muat.an int.i, elekt.ron denganelekt.ron
dalam subkelopak
sarna, dan sifat. ket.akset.angkupan f'ungsigelombang
yang
elekt.ron.
Unt.uk subkelopak 2s2 diperoleh muat.an int.i efekt.if' sebesar 6 ell - 77/266)e ~ 10,7e dan unt.uk subkelopak 2p sebesar
e9 -
447/266)e
diperoleh
~ 7,259. Dengan muat.an int.i efekt.if
profil Compt.on 2sz 2p6
secara
unt.uk Al yang lebih sesuai dengan hasil
t.ersebut.
pendekat.an eksperimen
impuls daripada
jika t.idak dipakai muat.an int.i efekt.i:f.
ABSTRACT
The ef'fect.ivenuclear charges and 2p6 subshell
are
calculat.ed lor 252 elect.rons in Al at.om. The calculat.ion is
done by det.ermining t.he effect.ive nuclear charges t.hat.give t.he mi ni mum energy for each subshell separat.ely, by t.he considering only t.he Coulomb int.eract.ion bet.ween elect.rons and t.he nuclear t.he same subshell.
charge.
and t.he ant.isymet.rical propert.ies of
elect.rons wave funct.ions. For nuclear
2s2
subshell
charge calculat.ed is ell - 77/266)e
2p6 subshell values
bet.ween t.he elect.rons
it. is
e9 -
t.he calculat.ed
447/266)e 2s2 2p6
~ 7.25e.
Compt.on
t.he
using
prof'ile
t.he
effe~t.ive
~ 10,7e and By
of
in
for t.hose
impuls
approY~mat.ion is in agreement. wit.h experiment.al dat.a, bet.t.er t.han il t.he effect.ive nuclear charges are not. used.
10
11
I.
PENDAHULUAN
Dalam
(j,)
makalah
perhit.ungan
t.erdahulu
disampaikan
bahwa
proril Compt.on dengan met.ode pendekat.an
impuls
dan rungsi gelombang dengan
dat.a
hidrogen. dan
hidrogenik
eksperimen
(2)
diperoleh
(ls~
memberikan
unt.uk
lit.ium. dan karbon.
karbon
t.elah
elekt.ron
t.eras
Unt.uk elekt.ron
kesesuaian
jika dimasukkan
hasil yang sesuai
dengan
koreksi
ls
t.eras lit.ium
eksperimen
muat.an
at.om
t.erut.ama.
int.i yang berasal
dari pent.abiran (screening) akibat. int.eraksi ant.ara 2 elekt.ron dalam subkelopak ls. Dengan met.ode variasi biasa
dibahas (3)
kuant.um kelopak
dalam
banyak
besar koreksi
buku
t.erhadap
2s
2p
C5
koreksi
muat.an
int.i
pada
pada Al. t.ernyat.apenggunaan unt.uk subkelopak
2s
Z
unt.uk elekt.ron
(lle) dan 2p
C5
CQe) juga
hasil yang sesuai dengan eksperimen. muat.an int.i (erekt.ir)
yangsedikit.
diperoleh
kesesuaian
baikct.).At.as
yang ~ebih
dalam
rungsi
gelombang 2
t.eras Al pada subkelopak Perhit.ungan hingga diperoleh
2s
dilakukan
belum
t.et.apijika lebih
kecil
dasar
makalah ini dihit.ung muat.an in1;.i erekt.ir
dipergunakan
inilah
yang
hi drogenik
harus
elekt.ron
C5
dan 2p . dengan
variasi muat.an int.i se-
muat.an int.i erekt.ir yang memberikan
Unt.uk kemudahan.
pisah unt.uk masing-masing hat.ikan int.eraksi
Coulomb
t.eras
muat.an int.i t.ak t.er-
digunakan
minimum.
sub-
ini adalah (5/16)e.
memberikan
d~am
yang
t.eks t.ent.angmekanika
Jika perhit.ungan serupa dikenakan 2
kedua
perhit.ungan dilakukan subkelopak~ ant.ara
dengan
elekt.ron
t.enaga
secara
hanya
t.er-
memper-
dengan
muat.an
int.i. int.eraksi Coulomb ant.ara elekt.ron dengan elekt.ron yang lain dalam subkelopak
yang sama. dan sirat. ket.akset.angkupan
(ant.isymet.rical propert.ies) rungsi gelombang II.
FUNGSI
elekt.ron.
GELOMBANG DAN TENAGA ATOM DENGAN BANY~
Persamaan
gelombang
Schodinger
dalam at.om dapat. dit.uliskan sebagai
unt.uk k
buah
ELEKTRON
elekt.ron
12
(1)
~~ + (E-V)] ~ = 0 dengan k
k
v
=
.~ ~=1
~ (e2/r ~..J ).
(Ze2/r.)~ +
(2)
j
i. >
Persamaan (1) jarang dapa~ diselesaikan secara eksak. ~e~api secara sederhana dapa~ dideka~i dengan memisalkan dapa~ disusunnya po~ensial k V = - ~ (Z' \.=1
e2/r.).
(3)
~
yang merupakan pendeka~an fungsi po~ensial V dalam persamaan (1). Ini se~ara dengan menganggap bahwa po~ensial yang ~olak-menolak an~ara elek~ron dengan elek~ron yang lain direra~akan sedemikian sehingga se~iap elek~ron bergerak dalam medan Coulomb yang bebas 'dari posisi elek~ron yang lAin. 2'e adalah mua~an in~i efek~if yang harus dicari un~uk ~iap kelompok elek~ron (subkelopak). Dengan po~ensial (3) persamaan (1) menjadi k
l
)c
r(fi2/2Jn). ~=1 ~
T
+ E +.~=1 ~ (Z'e2/ri.)]
yang dapa~ diselesaikan
dengan
(4)
~ = 0
pemisahan
variabel.
yai~u
merupakan hasil kali k ~uah fungsi gelombang. ~i.C~i.)' yang masing-masing hanya merupakan fungsi koordina~ sa~u elek~ron saja dan merupakan penyelesaian persamaan E.~
= O.
1•...• k.
Dari persamaan (ED maka ~.Cf.) ~idak lain adalah ~ ~ gelombang hidrogenik dengan mua~an in~i Z'e dan ~
=
........ ~ Cr
(r) So So
'II'
2
2
)
merupakan penyelesaian persamaan (4) dengan ~enaga
(ED
f'ungsi
I
13
E = E
~
+ E
2
+
+ EIe .
Karena masing-masing
elek~ron
dapa~
mempunyai
salah
sa~u dari dua fungsi gelombang spin X~CG? a~au X~CGi)' maka secara lengkap fungsi galombang elek~ron ke i dapa~ di~uliskan sebagai Cf5)
dan persamaan
(4) mempunyai
penyelesaian
dan se~erusnya ada k ! kombinasi dengan ~enaga E yang •• q. menya~akan koordina~ ruang dan spin Cr.• G.). \. \. \.
sarna.
Karena rungs! gelombang elek~ron harus tak se~angkup ~erhadap per~ukaran 2 buah elek~ron. maka penyelesaian ~ernormalisasi yang memenuhi syara~ berben~uk de~ermina~ ~ ~
"2 ~
. ...Cq I x¢.Cq) 9\Cq~) (7) ¢ ¢kCqk) ) 2¢ Cq . ) '2 2· ~ ~ ¢~CqJc?¢2Cqk) ¢ Co ) d> Cq ) ...
dan keortonormalan Dari p~rsarnaan(1) dan (2) tenaga sistem banyak elektron diberikan oleh(4)
E =
<
m
I Elm
¢(q.) \.
maka
> k
Ie
+ ~ 2
[ A.~=1. L
L <~A IG IA~> ] A.~=1..
(8)
O'A=O'~
dengan =
f
(9)
14
2.e2/r .•
(10)
\0
•• e2 'P(r.) r .. c \.
J
=
(11)
\oJ
Suku pert.ama persamaan
(8)
mer upak an
elekt.ron akibat. int.eraksi dengan medan
jumlahan
t.enaga
int.i (t.iap ~ dengan
q. yang berbeda:>, suku kedua Can ket.iga \0
merupakan
jumlahan
t.enaga elekt.ron akibat. int.eraksi t.ukar ant.ar elekt.ron memenuhi
III.
sifat. ket.akset.angkupan fungsi gelombang
PERHITUNGANMUAT AN INTI Persamaan
gelombang
yang
~.
EFEKTIF
hidrogenik
(5)
memberikan
t.ingkat.
t.enaga hidrogenik
E
~
=
<
-(fi 2/2m) 'il.2
= _ CZ'e)2 2a.n 2
\0
dengan n = bilangan
a = h2/fne2
kuant.um ut.ama, sehingga
(Z' e)2
2
(12)
+
2an
Dangan persamaan
(10) t.iap elekt.ron dengan bilangan
ut.ama n memberikan =
i.
suku pert.ama dalam persamaan 2
(Z'e)
kuant.um
(8) sebesar
(13)
+
2a.n 2
Fungsi gelombang
hidrogenik
dalam muat.an int.i Z'e
memberi-
~an I~ C~)
(14) sehingga
persamaan
(13) menjadi
(15) Seper
t.i
suku kedua dengan
Z'/a
per samaan (14) < 1/r \oJ .. > da! am per samaan dan
ket.iga
sahingga
persamaan jika
(8)
besarnya
diperhit.ungkan
(11) dan sebanding
unt.uk k
buah
15
elek~ron maka persamaan (8) memberikan
(UD dengan ~ harus dihi~ung dari suku k~dua dan ke~iga persamaan (ID. Jika
~enaga
E
dalam persamaan (16) diminimumkan ~er-
hadap Z·. diperoleh 2
k(Z' - z) + n ~
=
0
a~au
Z'
=
2
Z - n ~/k.
(17:>
yang merupakan mua~an in~i efek~if yang dicari. (n2~/k) merupakan suku koreksi yang harus dihi~ung. Un~uk perhi~ungan diperlukan ekspansi
1 r ~2
1
= 4n -
~
r1>
.m
2 "+1 -c..
(r /r) <
>
l • YL
m
(
Q)~
YL C m
Q2 )
(18)
dengan r < = r ~ dan r > = r 2 jika r2>r~ dan sebaliknya. A. Koreksi muatan inti efektif untuk elektron 252 2
Pada subkelopak as ~erdapa~ k = 2 buah elek~ron dan karena l = 0 maka hanya ~erdapa~ sa~u buah fungsi gelombang dalam koordina~ ruang ~ 200 sehingga kedua elek~ron harus menempa~i keadaan spin yang berbeda yang dinya~akan dengan pengurangan 01 eh suku ke~i ga persamaan (8) yang mempunyai spin sama. Dengan suku dengan
VI
l
200 = [a(Z·/2a) / V4n -]
(2 - Z·r/a)e -:Z'r/a. = 0 dan m = 0 dari persamaan (lS) yang
memberikan hasil nol dalam integrasi kedua elektron. Integrasi memberikan ~ 2e =
77/612.
ke
koordinat
hanya tidak ruang
(19)
16
B. Koreksi muatan inti efektif untuk elektron 2p6
6
Pada subkelopak 2p terdapat k = 6 buah elek~ron dan = 1 maka terdapa~ tiga buah ~ungsi gelombang dalam karena
l
koordinat ruang. yai~u =
V'2S,O
R
2S,
Y
s.o
=
R
2S,
C3/4n)
S,/2
cos
e
dengan
(21) Masing - masing
~ungsi
elektron padakeadaan
gelombang
ditempati
oleh
2
buah
spin yang berbeda.
Pada perhi~ungan suku kedua persamaan (8), hanya suku = 0 dari persamaan (18) yang tidak memdengan m = 0 dan berikan hasil nol dalam integrasi ke koordinat ruang kedua
l
elektron. Pada suku ke~iga jika m~= mx maka m = 0 dan ~ = 1 dan 2. jika m~ (atau ~) = 0 dan ~ (atau m~) = ± 1 maka m = ± 1 dan = 2, sedang jika m~ C atau ~J = +"1 dan ~ Ca~au m ) = ± 1 maka m ::± 2 dan = 2. Setelah dijumlahkan
l
l
~
untuk semua keadaan elektron Ctermasuk spin) maka
integrasi
menghasilkan ~2P
IV.
=
1341/512
(22)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan n = 2 dan k = 2 maka ko~eksi muatan inti pada 2 2 untuk besarnya en ~ 2e /k:::O,3e sedang subkelopak as 6 dengan n = 2 dan k:: 6 besar koreksi subkelopak 2p 2 en ~ /k::: 1,75e. Jika pada atom Al CZ = 13) elektron pada 2p
2s dianggap menghadapi muatan inti sebesar subkelopak e = Ze - 2e Cmuatan 2 elekt-r-onpada subkelopak Is2 ) = 11e Z2•• dan elektron pada subkelopak 2p dianggap menghadapi muatan inti sebesar Z e = Z e - 2e Cmuatan 2 elektron pada subkelopak 2s~
2p 2p = ge, maka diperoleh muatan in~i e~ekti~
17
C23)
Z'2e e ~ 10,7e; Z' 2p e ~ 7,25e. Mua~an in~i e~ek~i~
2 6
Compt.on 2s 2p
ini jika dipergunakan
dalam
pendeka~an
impuls
dalam rumus pro~il
W
JCq)= Ca e/n)C12B/3~ Ca /n)C12B/p4 p
C24)
- 512/5pO)
dengan 2 2 2 2 , S = 1 + 4a • q , P = 1 + 4a pq , a e = 1/2 2. . a = p 2p
C26)
1/2'
memberikan daripada
11.
Z
2p
hasil yang lebih
Cari hasil yang
hasil eksperimen
1).
diperoleh
di at.as dapat. disimpulkan
bahwa perhit.ungan secara muat.an int.i e~ekt.i~ subkelopak dan 2p
6
koreksi
.
pada Al sudah memberikan dari subkelopak
hasil
elek~ron
yang lain
harus
mua~an
diperhit.ungkan
an~ar subkelopak,
kan semua elekt.ron dalam
yang
at.au persamaan subkelopak
ini sudah
at.om ringan(~, meskipun
meskipun
pernah
belum sampai
sebagai
sub-
int.eraksi
CB) harus meliba~dan 2pG Cjika
kemudian secara
dilakukan
t.enaga E serent.ak.
unt.uk
at.om Al, dengan
set.eli~i me~ode Hart.ree. Unt.uk at.om Al akan dicoba dan disampaikan
int.i dari
ls2, as2,
perlu juga elekt.ron t.erluar, 3s23p~ ·dan unt.uk semua elekt.ron Al diminimumkan Per hi t.ungan semacam
baik
asZ
yang sa~u t.erhadap yang lain mungkin
juga harus diperhit.ungkan. Koreksi kelopak
( z>
muat.an in~i t.ak t.erkoreksi CZ 2e =
jika dipergunakan
= g) CGambar
sesuai dengan
perhit.ungan
dalam makalah yang lain.
at.om-
hasil serupa
18
J (q)
(5,a.)
-1 001 eksperimen
1,5
--, , '"
/
1,0
I
I
I
//
....
"
,\
\
'
\
\
~~'
q = proyeksi
pU5a elektron
ke arah pusa transier
-3
-1
-2
Gambar 1. elektron
o
Hasil perhitungan teras Al C2sz2p~
impuls dibandingkan
3
2
1
q
(5.a.)
profil Compton
dengan
pendekatan
---
dengan data eksperimen.
------------dengan muatan~inti
terkoreksi
dengan muatan inti tak terkoreksi.
v.
KESIMPULAN Dengan muatan inti efektif yang
pisah untuk ComPton
subkelopak
Z 6
2s 2p
eksperimen.
2sz dan 2p6 telah
unt.uk Al
daripada
dihit.ung
yang
labih
jika dipakai muatan
secara
diperoleh
sesuai
terprofil
dengan
tak t.erkoreksi.
data
19
UCAPAN TERIMA
KASI H
Penulis mengucapkan ~erima kasih kepada In~erna~ional Cen~er for Theore~ical Physics di Tries~e, I~alia, dan kepada Pemerin~ah Jepang yang ~elah memberikan dana sehingga penulis dapa~ berkunjung sebagai associa~e di mana bagian ~erakhir peneli~ian dan penulisan makalah ini dilakukan. ACUAN
1. Pramudi~a, A. dan Iriyan~o, I., "Perhi~ungan Profil Comp~on dengan Me~ode Pendeka~an Impulsu, disajikan pada Simposium Fisika Nasional XI di Bandung 20-22 Januari 1987 dan Per~emuan dan Presen~asi Ilmiah Ilmu Penge~ahuan dan Teknologi Nuklir di Yogyakar~a 27-29 April 1987. 2. Carra~, R., De Cicco, P.D., dan Weiss, R. J., B4, 4266 (1971)
Phys.
Rev.
3. Sakurai, J.J., "Modern Quan~um Mechanics," edi~ed by S.F. Tuan, The Benjamin/Cummings Pub. Co., Menlo Park (1986) a~au buku-buku ~eks mekanika kuan~um yang lain. 4. Mo~~, N.F. dan
Sneddon, I.N.• uWave
Mechanics
and
I~s
Applica~ions." Dover Pub., New York (1976). 6. Ma~hews, P.M. dan Verkat.esan,K .• uA Text.bookof
Quan~um
Mechanics." McGraw-Hill, Madras (1976). 6. Moorse, P.M.• Young, L.A., dan 948 (1936).
Haurwi~z, E. S., Phys. 48,
20
TANYA
1.
JAWAB
:
KOSI YANTO
a. Apakah cara perhi~ungan mua~an in~i efek~if ini laku un~uk a~om-a~om yang lebih bera~/a~om-a~om lain ? b. Fak~or koreksi apa saja yang~imbul yang lebih bera~. Mengapa yang a~om Al saja?
un~uk
dibahas
beryang
a~om-a~om
disini
hanya
J AWABAN I a. Dalam peneli~iansebelumnya
perhi~ungan
efek~if un~uk profil Comp~on sudah hasil baikun~uk a~om Li dan C.
mua~an
dilakukan
in~i dengan
b. Di sini hanya dibahas a~om Al saja karena perhi~ungan mua~an in~i efek~if yang diperlukan un~uk subkelopak 2
CS
.
as dan 2p belum ada.dalam Ii~era~ur / buku ~eks dan da~a·eksperimen ada un~uk Al. Un~uk a~om yang lebih bera~ dengan lebihbanyak elek~ron kemungkinan pendeka~an dengan mua~anefek~if belum cukup clanlebih dari sa~u parame~er mungkin diperlukan karena fungsi ge lombang sudah akan banyak berubah dari fungsi ge lombang hidrogenik akibat in~eraksi an~ar banyak elek~ron.
z.
WIDI USADA Dalam menghi~ung fak~or koreksi. hasil
in~egrasi di a~as
eksak a~au pendere~an ?
JAWABAN
:
In~egrasi adalah eksak karena fungsi gelombang hidrogenik yang dipakai mudah diin~egralkan secara anali~ik.
Ke Daftar Isi
