2014

Tomáš Karel LS 2013/2014



Vypočítejte:

8    ?  3 10     ? 9

1.12.2014

Tomáš Karel - 4ST201

2

n n! 8! 8  7  6  5  4  3  2 1 40320      56    k  (n  k)! k! (8  3)! 3! (5  4  3  2 1)  3  2 1 120  6

n n! 10! 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1     10     k  (n  k)! k! (10  9)! 9! (1)  (9  8  7  6  5  4  3  2 1)


1.12.2014

3

Statistické znaky

kvantitativní

ordinální (pořadové)

1.12.2014

měřitelné

kvalitativní

alternativní (binomické)


množné

4

Pomocí metody dotazování získáme údaje o 10 studentech v této třídě: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

1.12.2014

pohlaví studenta (x1) věk studenta (x2) studovaná fakulta (x3) semestr (x4) založení facebook účtu (x5) počet přátel na facebooku (x6)


5

Získaná data uspořádáme do přehledné tabulky tzv. datové matice (viz soubor cviceni_1.xlsx) číslo

pohlaví x1

věk x2

fakulta x3

semestr facebook x4 x5

Fb přátelé x6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.12.2014


6

1)

Určete typy proměnných x1 – x6

dle výše uvedeného schématu na jednom z předchozích slidů

x1…pohlaví studenta x2…věk studenta x3…studovaná fakulta x4…semestr ve kterém jste si zapsali tento předmět x5…založení facebooku x6…počet „přátel“ na Vašem facebooku

2)

1.12.2014

Pro proměnnou x2 – věk studenta sestrojte tabulku rozdělení četností (absolutních, relativních, kumulativních absolutních a kumulativních relativních)


7



absolutní četnosti

ni , i  1,2,..., k



relativní četnosti

pi 



kumulativní absolutní četnosti  platí:

k

n i 1



k

p i 1

i

n1 n2  ...

n

kumulativní relativní četnosti  platí:

1.12.2014

i

ni n

p1 p2  ...

1


8

3) Sestrojte tabulku rozdělení četností pro proměnnou x6 – počet facebookových „přátel“ ◦ proměnná x4 nabývá mnoha obměn (tabulka četností i graf by nevypadaly dobře)  vhodnější je intervalové rozdělení četností ◦ musíme zvolit vhodný počet a šířku intervalu

1.12.2014


9

 Sturgesovo pravidlo pro počet intervalů

šířka jednoho intervalu:  variační rozpětí:

R  xmax  xmin

1.12.2014


10



průměr (aritmetický, geometrický, harmonický, kvadratický)



modus = hodnota s nejvyšší četností





a%-ní kvantil = dělí soubor uspořádaný podle velikosti (od nejnižších hodnot po nejvyšší) na prvních a% hodnot a zbývajících (100-a)% medián = prostřední hodnota v souboru uspořádaném podle velikosti = 50% kvantil



dolní kvartil = 25% kvantil



horní kvartil = 75% kvantil

1.12.2014


11

1.12.2014


12

Jaký je průměrný počet věk vybraných spolužáků? (vypočtěte dvojím způsobem - nejdříve ze základní tabulky a poté z tabulky rozdělení četností) n



ze základní tabulky

x

(prostý aritmetický průměr)

x i 1

i

n k



z tabulky rozdělení četností

(vážený aritmetický průměr)

x

xn i 1 k

i

n i 1

1.12.2014

i


i

13

Závodní okruh Sosnová má délku základní trasy 1,075 km. Testovací závodník projel tento okruh celkem třikrát. V prvním kole byla jeho průměrná rychlost 60 km/h, v druhém kole už 72 km/h a ve třetím kole dosáhl průměrné rychlosti 80 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost jezdce za celou dobu jízdy, definovanou jako podíl celkové dráhy za celkový čas  www.autodrom.cz 



s = 1,075 km 1.12.2014


14

Celkový čas celé jízdy tcelk. se skládá ze součtu času prvního okruhu t1, času druhého okruhu t2 a času třetího okruhu t3. Délka prvního okruhu (v km)

t1 

s1 1, 075   0, 0179h v1 60

Průměrná rychlost v prvním okruhu Čas v prvním okruhu

t2 

s 2 1, 075   0, 0143h v2 75

t3 

s3 1, 075   0, 0134h v3 80

Průměrná rychlost za celou jízdu (km/h) Celková ujetá vzdálenost (v km)

vp 

scelk. 3 s 3 1, 075    70,588 t celk. t1  t 2  t 3 0, 0179  0, 0143  0, 0134 Celkový čas celé jízdy (hod)

Průměrná rychlost cyklisty za celou jízdu je dána prostým harmonickým průměrem průměrných rychlostí za jednotlivé okruhy. Tomáš Karel - 4ST201

1.12.2014

15

Pro proměnnou x2 - věk určete následující kvantily: a) medián x0,5 b) horní kvartil x0,25 c) dolní kvartil x0,75

1.12.2014


16

 



hodnoty uspořádáme podle velikosti každá hodnota se musí vyskytovat tolikrát, kolik je její absolutní četnost p p výpočet kvantilů:

n

100

 zp  n

100

1

x (1) ; x (2) ; x (3) ; x (4) ; x (5) ; x (6) ; x (7) ; x (8) ; x (9) ; x (10)

1.12.2014



dolní kvartil



medián



horní kvartil

p 25 x (2)  x (3) x 0,25  n   10   100 100 2 p 50 x (5)  x (6) x 0,5  n   10   100 100 2 p 75 x (7)  x (8) x 0,75  n   10   100 100 2 Tomáš Karel - 4ST201

17



Kombinační čísla



Četnosti ◦ Absolutní

n n!     k  (n  k )!k!  

ni , i  1,2,..., k pi 

◦ Relativní ◦ Kumulativní

n1 n2  ... -absolutní



k

n i 1

Charakteristiky úrovně ◦ Průměr  

Prostý aritmetický

i

n

k

p i 1

i

1

n

x

x

 Harmonický/vážený harmonický x 

◦ Kvartily

p1 p2  ... -relativní

i

i 1

k

n x

Vážený aritmetický

◦ Medián

ni n

n n

i 1 k

i

i

n i 1

1

x i 1

xn i

medián

i

21; 21; 22; 22; 22; 23; 24

1. kvartil

2.kvartil

n





Prostý aritmetický průměr

i

i 1

n

Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 5-ti tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval údaje o deseti statistických jednotkách (respondentech - těch, kteří odpověděli). soubor

1.

2.

3.

4.

5.

Počet respondentů

10

10

10

10

10

18,5

21,2

24,2

19

26,2

Průměr v souboru (tis. Kč)



x

x

Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu ze všech získaných dat.

soubor

1.

2.

3.

4.

5.

Počet respondentů

10

10

10

10

10


18,5

21,2

24,2

19

26,2

Prostý aritmetický průměr n

x

x i 1

n

i



18,5  21, 2  24, 2  19  26, 2 109,1   21,82 5 5

k



Vážený aritmetický průměr

x

xn i 1 k



i

n i 1



i

i

Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 5-ti tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný počet údajů o statistických jednotkách (respondentech - těch, kteří odpověděli). soubor

1.

2.

3.

4.

5.

Počet respondentů

10

13

15

7

5


18,5

21,2

24,2

19

26,2

Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu ze všech získaných dat.

soubor

1.

2.

3.

4.

5.

Počet respondentů - ni

10

13

15

7

5

Průměr v souboru – xi (tis. Kč)

18,5

21,2

24,2

19

26,2

Vážený aritmetický průměr k

x

x n i 1 k

i

n i 1

i

i



18,5 10  21, 2 13  24, 2 15  19  7  26, 2  5 1079,9   21, 75 11  13  15  7  4 50

Jak je možné, že průměrná mzda v České republice je 24,5 tis Kč a více jak 60 % obyvatel ČR má plat nižší ??? Datový soubor od prvního tazatele: respondent

1.

2.

3.

příjem

10,5

11

9,5

4.

5.

6.

11,5 15,5 16,5

7.

8.

9.

16

15 16,5

10

průměr

63

18,5

n

x

x i 1

n

i



10,5  11  9,5  11,5  15,5  16,5  16  15  16,5  63  18,5 10 Odkaz 1

Odkaz2

1) Seřadit podle velikosti respondent

1.

3.

příjem

9,5 10,5

2.

4.

11

11,5

8.

5.

7.

15 15,5

medián

•

• •

•

6.

16

9.

16,5 16,5

10

průměr

63

18,5

průměr

• • • •

•

•

90% hodnot menších než průměr !!!

63,0

15  15,5  15, 25 2

...

23,0

22,5

22,0

21,5

21,0

20,5

2



20,0

x (5)  x (6)

19,5

19,0

18,5

18,0

x 0,5  x 

17,5

17,0

16,5

16,0

15,5

15,0

14,5

14,0

13,5

13,0

12,5

12,0

11,5

11,0

10,5

10,0

9,5

9,0

2) Určit prostřední hodnotu

1) Seřadit podle velikosti respondent

1.

3.

9,5 10,5

příjem

2.

4.

11

11,5

8.

5.

15 15,5

medián

•

• •

•

•

6.

16

9.

10

průměr 18,5

16,5 16,5 63,1

průměr

• • • •

•

 x 0,25  x (3)  11  x 0,75  x (8)  16,5

90% hodnot menších než průměr !!!

63,0

...

23,0

22,5

22,0

21,5

21,0

20,5

20,0

p p  zp  n  1 100 100 p p n  zp  n  1 100 100 n

19,5

19,0

18,5

18,0

17,5

17,0

16,5

16,0

15,5

15,0

3) Určit 3. kvartil x0,75

14,5

14,0

13,5

13,0

12,5

12,0

11,5

11,0

10,5

10,0

9,5

9,0

2) Určit 1. kvartil x0,25

7.



Modus (modální hodnota) je taková hodnota, která je v souboru nejčastěji zastoupena (má největší četnost)

modus medián •

• •

•

•

průměr • • • •

•

18,5 tis Kč

„průměrná hodnota“

• Modus

16,5 tis Kč

„nejčastěji zastoupená hodnota“

• Medián

15,25 tis Kč

„prostřední hodnota“

63,0

...

23,0

22,5

22,0

21,5

21,0

20,5

20,0

19,5

19,0

18,5

18,0

17,5

17,0

16,5

16,0

15,5

15,0

14,5

14,0

13,5

13,0

12,5

12,0

11,5

11,0

10,5

10,0

9,5

9,0

• Průměr



Rozptyl ◦ směrodatná odchylka ◦ variační koeficient ◦ variační rozpětí



Rozklad rozptylu ◦ vnitroskupinový rozptyl ◦ meziskupinový rozptyl



Vlastnosti rozptylu

Sociální nůžky Představme si dvě městečka v Jihočeském kraji* Levicov a Pravicov V obou městech bylo provedeno šetření o průměrném měsíčním příjmu obyvatel. Z výzkumu vyšlo, že v obou městech je průměrný měsíční příjem stejný a to 20 tis. Kč. Zdá se, že se v průměru se daří obyvatelům obou měst stejně. Pokud se však podíváme na bodový graf podrobněji v něčem se tato města liší. Přestože průměrný příjem jejich obyvatel je stejný. Jak to ale číselně vyjádřit?

• •• •

•• •••• 9 10 11 12 13 14 15

x  20 tis Kč

průměr 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32

33 34

35

36

37

38

39

40

Pravicov

• •• •••• •• • 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31

32 33 34 35 36 37 38

39

Levicov průměr

x  20 tis Kč

40













Na minulém cvičení jsme se zabývali měrami polohy (průměry, medián, modus), které charakterizovaly hodnotovou úroveň souboru, typickou hodnotu v souboru apod. Často je však zapotřebí kromě typické hodnotové úrovně poznat i to, jak moc se jednotlivé hodnoty souboru od sebe odlišují (tzv. variabilitu souboru – Levicov vs. Pravicov). K tomuto účelu slouží právě míry variability. Abychom zachytili vzájemnou odlišnost hodnot souboru, můžeme studovat například to, jak se jednotlivé hodnoty liší od průměru. Abychom dokázali kvantifikovat (číselně vajádřit) tuto vlastnost (tj. odlišnost hodnot souboru od průměru) můžeme zvolit několik různých přístupů.

Můžeme např. studovat průměrnou absolutní odchylku hodnot souboru od průměru, nebo průměrnou kvadratickou odchylku hodnot souboru od průměru apod. Právě průměrná kvadratická odchylka hodnot souboru od průměru je základem definice rozptylu jako jedné z nejvýznamnějších měr variability souboru. Existují však samozřejmě i jiné míry variability



Absolutní

◦ Rozptyl – kvadratická odchylka od průměru  (Klasický) rozptyl – známe všechny hodnoty všech jednotek

(v každém městě je pouze 10 obyvatel)

n

1 s   (x i  x) 2 n i 1 2 x

 Výběrový rozptyl –

známe pouze některé hodnoty ze souboru

1 n 2 s´x  (x i  x) 2  n  1 i 1

(v každém městě je víc jak 10 obyvatel)

◦ Směrodatná odchylka – je druhá odmocnina z rozptylu s x nebo s´x ◦ Variační rozpětí 

- nejvyšší hodnota mínus nejnižší

R  x max  x min

Relativní

◦ Variační koeficient –

směrodatná odchylka dělená průměrem

Vx 

sx s´ ,nebo V´x  x x x

• •• •

•• •••• 9 10 11 12 13 14 15

16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32

33 34

35

36

37

38

39

40

1 n 1 Pravicov (9000  20000)2  (9000  20000)2  ... (x i  x) 2   n  1 i 1 10  1 1 ...  (36000  20000)2  (37000  20000)2    ( 11000)2  (11000) 2  ...  140002  130002 )  190  106 9 Směrodatná odchylka: Variační koeficient: Variační rozpětí: s´ 13784

Rozptyl: s´2x 

s´x  s´2x  190 106  13784

R  x max  x min  37000  9000  28000

V´x 

x

x



20000

 0, 689

• •• •••• •• • 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31

32 33 34 35 36 37 38

39

40

1 1 Levicov (18000  20000)2  (19000  20000)2  ... (x i  x) 2   n  1 i 1 10  1 1 ...  (21000  20000)2  (22000  20000)2    ( 2000)2  (1000)2  ...  10002  20002 )  1,333  106 9 Směrodatná odchylka: Variační koeficient:

Rozptyl: s´2x 

n

s´x  s´2x  1,333 106  1154

Variační rozpětí:

R  x max  x min  22000  18000  4000

V´x 

s´x 1154   0, 058 x 20000

Míra variability

Pravicov

Levicov

Výběrový rozptyl

190x106

1,333x106

Výběrová směrodatná odchylka

13 784

1 154

Variační rozpětí

28 000

4 000

0,689

0,058

Míra úrovně (polohy)

Pravicov

Levicov

Průměr

20 000

20 000

Medián

10 000

20 000

Modus

9 000

20 000

Variační koeficient



Co by se stalo s mírami variability v jednotlivých městech, pokud by Česká republika vstoupila do měnové unie se směným kurzem 26 Kč/EUR?

Pravicov (CZK)

Levicov (CZK)

Pravicov (EUR)

Levicov (EUR)

Výběrový rozptyl

190x106

1,333x106

281 065

1 972

Výběrová směrodatná odchylka

13 784

1 154

530

44

Variační rozpětí

28 000

4 000

1 077

154

0,689

0,058

0,689

0,058

Míra úrovně (polohy)

Pravicov (CZK)

Levicov (CZK)

Pravicov (EUR)

Levicov (EUR)

Průměr

20 000

20 000

769

769

Medián

10 000

20 000

385

769

Modus

9 000

20 000

346

769

absolutní

Míra variability

relativní

Variační koeficient

Vypočítejte míry variability (rozptyl, směrodatnou odchylku), jestliže jsou údaje z předešlého příkladu zadány v relativních četnostech a známy pro celé město (=základní rozptyl).

Levicov 1/10 obyvatel má příjem 2/10 obyvatel má příjem 4/10 obyvatel má příjem 2/10 obyvatel má příjem zbytek obyvatel má příjem

18 000 Kč 19 000 Kč 20 000 Kč 21 000 Kč 22 000 Kč

1 2 4 2 1     10 10 10 10 10



Příjem 22 000 Kč má: 1 



Průměr z relativních četností n

x   x i  pi  18000  i 1

1 2 4 2 1  19000   20000   21000   22000   20000 10 10 10 10 10 2

  k 2 2 2 2  Rozptyl z relativních četností s x  x  x   x i  pi    x i  pi   i 1  i 1  1 2 4 2 1 2   180002   190002   200002   210002   220002     20000   1, 2 106 10 10 10 10 10   k



Směrodatná odchylka

s x  s2x  1, 2 106  1095

Náhodný pokus pokus, jehož výsledek se i při dodržení podmínek mění, tj. jehož výsledek závisí na náhodě (např. hod kostkou). Náhodný jev výsledek náhodného pokusu (např. na kostce padla šestka). Náhodný jev budeme značit většinou velkými písmeny, např. A, B atd. Pravděpodobnost náhodného jevu A budeme označovat jako P(A). Jev jistý (označíme např. jako nebo E) Jev, jež nastane vždy, tj. při každém opakování náhod. pokusu (např. na kostce padne nějaké číslo z 1, 2, 3, 4, 5, 6), P() =1 Jev nemožný (označíme jako Ø) Jev, jež nikdy nenastane (např. na kostce padne číslo 7), P(Ø ) = 0

Elementární jev nelze vyjádřit jako sjednocení (viz. další slide) dvou jevů, jež jsou různé od tohoto jevu. Doplňkový (opačný) jev k jevu A (označíme A) Jev jež nastane právě, když nenastane jev A, P( A ) = 1 - P( A )

Jednou hodíme klasickou hrací kostkou. Znázorněte pomocí Vennových diagramů následující jevy: a)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček

b)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi

c)

jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček

d)

jev D spočívající v padnutí více než šesti teček (jev jistý značíme E a jev nemožný Ø)

a)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček

b)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi

c)

jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček

d)

jev D spočívající v padnutí více než šesti teček



KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI ◦ říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je rovna podílu počtu výsledků, jež jsou danému jevu příznivé, ku celkovému (konečnému) počtu výsledků, jež jsou apriori stejně pravděpodobné.



STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI ◦ říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je relativní četností výskytu tohoto jevu v souboru o velké velikosti (v limitě blížící se k nekonečnu).

P( A  B)  P( A)  P( B) Příklad nezávislých jevů při hodu dvěma kostkami:



A = na první kostce padne 1, B = na druhé kostce padne 1.

1 1 1 P( A  B)  P( A)  P( B)    6 6 36 

Příklad závislých jevů při hodu dvěma kostkami:

A = na první kostce padne 1, B = součet na obou kostkách bude 10. Jev je jevem nemožným (nemůže na první kostce padnou 1 a zároveň být součet 10), proto:

1 3 0  P( A  B)  P( A)  P( B)   6 36

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 



plocha průniku je při součtu P(A)+P(B) započítána 2x, proto jí musíme 1x odečíst pokud jevy A a B nemají průnik, nazýváme je neslučitelné (disjunktní)

pokud jevy A a B jsou neslučitelné, přechází pravidlo o sčítání PP. na:

P( A  B)  P( A)  P( B)



Příklad neslučitelných jevů při hodu jednou kostkou: A = padne liché číslo B = padne sudé číslo



P(A  B)  P(A)  P(B) 

3 3  1 6 6

Příklad jevů, které nejsou neslučitelné při hodu jednou kostkou: A = padne některé z čísel 1, 2, 3 nebo 4 B = padne 4, 5 nebo 6

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) 

4 3 1   1 6 6 6

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne: a) b)

c) d)

e)

na obou kostkách šestka alespoň jedna šestka právě jedna šestka žádná šestka na obou kostkách sudé číslo Jev Jev Jev Jev

A . . . padla šestka na první kostce B . . . padla šestka na druhé kostce C . . . padlo sudé číslo na první kostce D . . . padlo sudé číslo na druhé kostce



Z publikací Českého statistického úřadu byl převzat počet narozených chlapců a děvčat v letech 1990 – 1997. Vypočítejte přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude chlapec a přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude děvče. Absolutní četnosti Rok

Chlapci

Děvčata

Celkem

1990

67 234

63 860

131 094

1991

66 895

62 955

129 850

1992

62 946

59 196

122 142

1993

62 362

59 108

121 470

1994

54 887

52 028

106 915

1995

49 570

46 827

96 397

1996

46 605

44 158

90 763

1997

46 705

44 225

90 930

Celkem

457 204

432 357

889 561

P(chlapec) 457 204 P(chlapec)    0,514 P(celkem) 889 561 P(dívka) 432 357 P(dívka)    0, 486 P(celkem) 889 561

- proměnná, která v závislosti na náhodě nabývá různých hodnot - její hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu, před provedením náhodného pokusu nelze určit její konkrétní hodnotu - podle typu dělíme náhodné veličiny na

DISKRÉTNÍ náhodné veličiny

SPOJITÉ náhodné veličiny

!!! Prosím rozlišujte mezi velkým X pro označení náhodné veličiny a malým x pro označení hodnoty, které veličina X nabyla !!! X = počet koupených piv „v El Magicu„ náhodně vybraným studentem za dnešní večer (středa) (program) x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . . ; diskrétní náhodná veličina X = počet pivních tácků ve stojánku, x = 2, 3, 4, . . diskrétní náhodná veličina X = počet hostů v plackárně na Blanici, x = 1, 2, 3, . . . ; diskrétní náhodná veličina X = počet SMS obdržených v průběhu téhle hodiny statistiky, x = 0, 1, 2, 3, . . . ; diskrétní náhodná veličina

Je pravidlo, které každé hodnotě nebo množině hodnot z každého intervalu přiřazuje pravděpodobnost, že NV nabude této hodnoty nebo hodnoty z určitého intervalu

Distribuční funkce F(x) • Udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné hodnotě x

F ( x)  P( X  x)

Pravděpodobnostní funkce P(x) • Udává pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty x.

P( x)  P( X  x)

Podávají souhrnnou informaci o náhodné veličině 

Střední hodnota



Rozptyl

E ( X )   x  P ( x) x

D(X)  E  X  E(X) 

2

    x 2 P(x)    xP(x)  x  x 

2

příslušné vztahy pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny též ve vzorcích z webu porovnejte s výpočtem rozptylu a průměru ze souboru dat za pomoci relativních četností 

Průměr

x   xi pi i



Rozptyl

  s x2   xi2 pi   xi pi  i  i 

2

Nejmenovaný klub umístěný pod studentskou kolejí Vltava očekává v příštím roce čtyři možné zisky (před zdaněním) s následujícími pravděpodobnostmi:     a)

-1 mil. Kč s pravděpodobností 1 mil. Kč s pravděpodobností 2 mil. Kč s pravděpodobností 3 mil. Kč s pravděpodobností

0,1 0,4 0,3 0,2

Sestrojte pravděpodobnostní a distribuční funkci pro náhodnou veličinu zisk.

b)

Sestavte graf distribuční funkce.

c)

Jaká je střední hodnota zisku podniku? Co tato hodnota představuje?

d)

Jak byste ohodnotili nejistotu, že tento očekávaný zisk bude realizován?



Náhodnou veličinu zisk podniku v následujícím roce označme jako X Pravděpodobnostní funkce (zadaná tabulkou) x

-1

1

2

3

P(x)

0,1

0,4

0,3

0,2

0,5

0,8

1

F(x) 0,1 Distribuční funkce

F(x)  0 x  1 F(x)  0,1  1  x  1 F(x)  0,5 1  x  2 F(x)  0,8 2  x  3 F(x)  1, 0 x 3



Distribuční funkce: ◦ Spojitá zprava ◦ Neklesající ◦ F(X) nabývá hodnot z intervalu <0;1>



Střední (očekávaná) hodnota zisku podniku

E(X)   x  P(x)  (1)  0,1  1 0, 4  2  0,3  3  0, 2  1,5 x





Pokud by pravděpodobnosti jednotlivých zisků v zadání platily pro každý rok, a pokud bychom každý rok po mnoho let zaznamenávali zisky podniku, pak by se průměrný zisk za jeden rok „blížil“ k hodnotě 1,5 mil. CZK. Neformálně řečeno: „podnik je v průměru ziskový, v průměru očekáváme v dlouhodobém horizontu zisk 1,5 milion CZK za rok“.



Nejistotu (riziko) spojené s podnikáním můžeme charakterizovat charakteristikami variability např. rozptylem D(X) náhodné veličiny X směrodatnou odchylkou s(X) náhodné veličiny X.



Rozptyl D(X) můžeme počítat dvěma ekvivalentními tvary:







Po dosazení do druhého výpočetního tvaru získáváme 2

2   D(X)  E(X 2 )   E(X)    x 2 P(x)    xP(x)   x  x 

 (1) 2 .0,1  (1) 2 .0, 4  (2) 2 .0,3  (3) 2 .0, 2   1,5  3,5  2, 25  1, 25 2

D(X)  1, 25  1,12 Pokud by pravděpodobnosti jednotlivých zisků v zadání platily pro každý rok, a pokud bychom každý rok po mnoho let zaznamenávali zisky podniku, a počítali směrodatnou odchylku těchto zisků, potom by se tato odchylka blížila 1,12 milionům CZK (s velmi velkou pravděpodobností). Řečeno jinak: očekávaná ‘typická’ odchylka zisku od očekávaného zisku 1,5 milion CZK je 1,12 miliony CZK.

Výsledné známek z předmětu statistika byly v minulém semestru 2012/2013 popsány následující tabulkou. Výsledná známka

1

2

3

4

celkem

Počet studentů

264

382

325

182

1 153

Určete přibližně pravděpodobnost, že náhodně vybraný student statistiky z minulého semestru získal výslednou známku: a) jedna b) lepší než tři c) prospěl d) neprospěl

400 300 200 100

264

382

325 182

0 1

2

3

4





   

Tabulka četností: Výsledná známka

1

2

3

4

celkem

Počet studentů

264

382

325

182

1 153

=> Tabulka rozdělení pravděpodobnosti

A) B) C) D)

Výsledná známka

1

2

3

4

celkem

pravděpodobnost

0,23

0,33

0,28

0,16

1

P(1)  P(X  1)  0, 23 P(X  3)  0, 23  0,33  0,56 P(X  3)  0, 23  0,33  0, 28  0,84 P(X  4)  1  P(X  3)  1  0,84  0,16



některé náhodné veličiny mají jistý specifický tvar pravděpodobnostní funkce, resp. pravděpodobnostního rozdělení. Mezi nejznámější „modelová“ pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny patří např.: ◦ diskrétní náhodné veličiny:  Alternativní  Binomické  Poissonovo  Hypergeometrické

Pokus: Házíme jednou kostkou a potřebujeme, aby padla „šestka“. Náš pokus má tedy pouze dva výsledky (v jednom náhodném pokusu může nabýt pouze dvou hodnot) x = 1 jev nastane x = 0 jev nenastane 

Pravděpodobnostní funkce

◦ střední hodnota ◦ rozptyl

P(X=1)=p16 P(X=0)=1-p  56

P( x)  p x (1  p )1 x

E(X)  p  1/ 6

1  1 D(X)  p  (1  p )   1    0,139 6  6

◦ zvláštní případ binomického rozdělení pro n=1 (viz. dále)





Udává pravděpodobnost úspěchu v sérii n nezávislých pokusů, z nichž každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu п (např. jaká je pravděpodobnost, že v deseti hodech kostkou padne 3x šestka) pravděpodobnostní funkce

n 10  3 P(x)    p x (1  p )n  x    1/ 6  (1  1/ 6)103  0,155 x 3  

střední hodnota

E(X)  n  p  10 1/ 6  1,666 

rozptyl

1  1 D(X)  n  p  (1  p )  10   1    1,389 6  6

Příklady, kdy ho použít: • Obecně: výběr s vracením (z malého osudí) nebo výběr bez vracením z „velkého osudí“ • Počet úspěchů v sérii n nezávislých pokusů, z nichž každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu p. • Např. jaká je pravděpodobnost, že z 15 hodů kostkou padne pětkrát trojka. 

V osudí jsou míčky bílé barvy a míčky černé barvy. Pravděpodobnost vytažení míčku bílé barvy je 1/7. Z osudí vytáhneme náhodně jeden míček, zapíšeme si jeho barvu a míček do osudí vrátíme! Poté taháme znovu, zapíšeme si opět barvu vytaženého míčku, a míček opět do osudí vrátíme atd. Celkem takto vytáhneme s vracením 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že a) žádný, b) Jeden c) dva z těchto 4 míčků budou bílé barvy. Poté nalezněte obecný vzorec udávající pravděpodobnost, že při vytažení celkem n míčků s vracením jich x bude bílých, pokud pravděpodobnost vytažení bílého míčku v jednom tahu je p.

a)

c)

b)

d)

Pravděpodobnost, že se narodí chlapec je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 po sobě narozenými dětmi v porodnici budou:

a) b)

první 3 děvčata a další 4 chlapci právě 3 děvčata?



a) první 3 jsou děvčata a další 4 chlapci

P(x)  p x (1  p )n x   0, 485 (1  0, 485)73  0,008 3



b) právě 3 děvčata

n x 7 3 n x P(x)    p (1  p )     0, 485  (1  0, 485)7 3  0, 281 x 3

 



Udává pravděpodobnost výskytu náhodného jevu v určitém časovém intervalu Mají ho například ◦ Veličiny, které představují výskyt x událostí v pevném časovém intervalu, přičemž události musejí nastávat nezávisle od okamžiku poslední události ◦ veličiny, které mají rozdělení binomické a zároveň počet pozorování velký (n>30) a п je malé (п<0,1)



pravděpodobnostní funkce

P( x) 

x x!



střední hodnota

E(X)  



rozptyl

D(X)  

e 

Poissonovo rozdělení mají např. následující 2 typy náhodných veličin: 1.) Veličiny, které mají rozdělení binomické a zároveň parametr n tohoto binomického rozdělení je velký (n>30) a parametr p tohoto binomického rozdělení je malý (p<0,1). Takováto binomická veličina má přibližně také Poissonovo rozdělení, přičemž pro parametr l tohoto Poissonova rozdělení platí = np. 2.) Veličiny, jež představují výskyt x událostí v pevném časovém (případně plošném, prostorovém) intervalu, pokud známe průměrný počet událostí l, které v tomto intervalu nastávají. Navíc události musejí nastávat nezávisle od okamžiku (případně místa výskytu) poslední události.

P( x) 

x x!

e 

E(X)   D(X)  



Při kontrole účetních dokladů v určitém velkém průmyslovém podniku auditor, že zkušenosti ví, že lze předpokládat formální chyby u 2 % účetních dokladů. Jestliže ze souboru účetních dokladů jich auditor vybere 100, jaká je pravděpodobnost, že



a) mezi nimi budou právě 2 chybné? b) ani jeden chybný? c) maximálně dva chybné?



Učebnice (2.6 / str. 102, neřešený)

 









Student ze zkušenosti ví, že v době od 15:00 do 19:00 obdrží v průměru 3 SMSky od svých kamarádů. Dnes měl v době od 16:00 do 18:00 rozbitý mobil. a.) Jaká je pravděpodobnost, že mu kamarádi během těchto dvou hodin neposlali žádnou SMS? b.) Jaká je střední hodnota a rozptyl počtu náhodné veličiny „počet příchozích SMSek v době od 16:00 do 18:00“?

Modifikace příkladu z učebnice (2.7 / str. 103, neřešený)



Na povrchu skla se v průměru vyskytuje 5 kazů na metr čtvereční. Jaká je pravděpodobnost, že na skleněné desce o ploše 2 metry čtvereční bude přesně 7 kazů?

Pravděpodobnost, že na 2 m2 bude přesně 7 kazů je 0,09.



máme-li soubor N jednotek, z nichž M má určitou vlastnost a ze souboru vybíráme bez vracení n jednotek ( x výběr s vracením  binomické rozdělení)







pravděpodobnostní funkce

střední hodnota

rozptyl

 M  N  M     x nx  P( x)    N   n 

E(X)  n 

M N

M  M Nn D(X)  n   1    N  N  N 1

V osudí je 30 míčků modrých a 20 červených. Náhodně vybereme 10 míčků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými míčky bude právě 6 červených, jestliže: a)

b)

vybíráme s vracením vybíráme bez vracení?

a)

vybíráme s vracením (-> binomické rozdělení) 6 10  6 10 n x   2  2 P(x)    p (1  p ) n  x     1    0,111 x 6  5   5 

b)

vybíráme bez vracení? (-> hypergeometrické rozdělení)

Výběr bez vracení z malého (!!) osudí. V „osudí“ je M prvků s danou vlastností a N – M prvků bez této vlastnosti. Vybíráme celkem n objektů a ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že prvků s danou vlastností jsme vybrali právě x.

n = 10;

N = 50;

M = 20;

x=6

 M  N  M   20  50  20        x n  x 6 10  6       0,103 P(x)     N  50      n  10 





Určitý typ součástek je dodáván v sériích po 100 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 10 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky je maximálně 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 8 zmetků. Kontrola je přitom prováděna tak, že kontrolovaný výrobek je podroben destrukční zkoušce. Jedná se o příklad typu „výběr bez vracení z malého osudí“ => hypergeometrické rozdělení

Příklady spojitých náhodných veličin: • X = výška náhodně vybraného studenta, 100 cm < x < 220 cm; • X = čas, který náhodně vybraný student stráví denně na facebooku, 0 ≤ x ≤ 24 hodin; • X = doba, kterou musíme čekat na obsluhu u baru v El magicu • X = maximální rychlost automobilu, kterou automobil dosáhne na dálnici Jednotlivé náhodné veličiny mají různá pravděpodobnostní rozdělení

Jak popsat rozdělení pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu?



Distribuční funkce F(x)



Distribuční funkce F(x) udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné hodnotě x



Hustota pravděpodobnosti f(x) b

 f (x)dx  P(a  X  b)  F(b)  F(a) a 

Hustota pravděpodobnosti f(x) je taková funkce, že pro

libovolné a < b platí:

“Sumace byla u spojité NV zaměněna za integraci, pravděpodobnostní funkce za hustotu pravděpodobnosti” 

Střední hodnota



Rozptyl



Kvantily

(pouze pro spojité NV) 100p% kvantil pravd. rozdělení spojité NV je takové číslo xp pro které platí: xp

P(X  x p ) 

 f (x)dx  F(x



p

)p

  

  

Normální rozdělení Normované normální rozdělení Logaritmicko normální rozdělení Chí-kvadrát Studentovo Fisherovo



významné rozdělení v teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky,



mnohé NV v ekonomii, technice a přírodních vědách mají přibližně normální rozdělení (zákon chyb)



aproximují (nahrazují) se jím některá nespojitá rozdělení



hustota pravděpodobnosti:



střední hodnota: E (X )  

f ( x) 



rozptyl:

D( X )   2



kvantily:

xp      u p

1 e  2p

( x   )2  2 2

  x  



Příklady využití: ◦ tělesná výška, teplota, hmotnost ◦ chyby měření ◦ velikost chodidla



Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž bude mít výšku v rozmezí 170 až 185 cm? Předpokládejme přitom, že výška mužů má normální rozdělení s parametry:



μ = 180



σ2=49

2 =>     49  7

Pro výpočet využijeme transformaci na normované normální rozdělení

Takto transformovaná veličina se označuje jako U a má normální rozdělení s parametry μ = 0 a σ2 =1. N(0;1) -> NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ



Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žena bude mít výšku v rozmezí 160 a 175 cm? Předpokládejme přitom, že výška žen má normální rozdělení s parametry μ = 170 a σ2 = 36.



a) b) c) d) e)

f)

Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ = 10 a σ2 = 25. Určete následující pravděpodobnosti a kvantily: P(X < 5) P(8<X<12) P(X >18) P(X = 5) X0,975 X0,05



Bylo zjištěno, že pevnost v tahu určitého druhu výrobku má normální rozdělení se střední hodnotou 200 jednotek a směrodatnou odchylkou 40 jednotek. Každý výrobek je před expedicí testován a ty výrobky, jejichž pevnost v tahu je větší než 220 jednotek, jsou označovány za velmi kvalitní. Jaká je pravděpodobnost vyrobení velmi kvalitního výrobku?



Odchylka rozměru výrobku od požadované hodnoty má normální rozdělení se střední hodnotou 0 mm a se směrodatnou odchylkou 5mm. Jaká musí být šířka intervalu normy (symetrického kolem požadované hodnoty) pro velikost výrobku, aby rozměr výrobku nepřekročil interval s pravděpodobností 0,95?

2014

Recommend Documents