SOLUSI UJIAN PAI A70
UJIAN A70 PERIODE JUNI 2014 A70-Pemodelan dan Teori Risiko 9/14/2014
Berikut merupakan solusi ujian PAI yang saya buat secara khusus untuk teman-teman PT Padma Radya Aktuaria, dan secara umum untuk teman-teman yang mau mengambil ujian PAI A70. Semoga bermanfaat.
1 ) ( ) ( ) 1) Diketahui ( ( ) . Akan dicari nilai dari ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫
(
( )
∫
) *
(
)
Jawabannya .
(
(
( (
)
( )
( ) ( ) ( ) ( Karena ( )
dan
3) Diketahui
)
bedistribusi gamma , dan ) ]
[(
) ) ( ) ( ∫
( ∫ ( )
( )
), maka
[( ) ] ( ) ( ) ( )( )
dengan
(
)
)
) ( )
( ∫(
( (
)
⁄
) ⁄
) ⁄
(
⁄
( )) ( )
Karena dan Sehingga didapat nilai Jawabannya .
( ) Jawabannya . 2) Diketahui berdistribusi lognormal dengan
4) Diketahui ( )
(
)
.
(
(
)
(
)
⁄
∫
( )
⁄
( )
( )
⁄
dan ( ) ( ) (
( ) )
Jawabannya . Catatan: seharusnya pilihan jawabannya dalam variable bukan variable .
Akan dicari nilai dari
(
).
Berdasarkan persamaan
dan
didapat Karena (
)
.
⁄
( ) ⁄
( )
, maka
)
( )
( (
.
5) Diketahui ( )
( ) (
)
(
) dan
(
)
.
⁄
), maka (
) Karena
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
( )
) ⁄
∫ , maka
( )
⁄
.
2 Jawabannya . 6) Diketahui ( ⁄ )
( ⁄ )
( )
dan . Akan dicari nilai dari ). ) ( ⁄ )
( ) (
( ) dengan pdf
dan variable acak
( ⁄ )
( )
8) Diketahui ( ) ((
(
) (
⁄ )
⁄ )
⁄ (
( ) Akan dicari fungsi ( ). Karena ( ) menyatakan variabel acak merupakan fungsi dari variabel acak , maka haruslah ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )⁄
(
⁄ ) ⁄√ ⁄√ )
Karena ( ⁄ ⁄√
( √ (
, maka (
⁄
)
)
)
( ⁄ )
( ⁄ )
( )
⁄ )
Jawabannya . ( )⁄
( )⁄
( )
⁄
( )
⁄
( )⁄
(
)
⁄
(
( )⁄
( ) 9) Diketahui ( ) ( ( ) ⁄ ( ) . Akan dicari nilai ( ). ( ) ( ) ( )
)
⁄
( ) Jawabannya . 7) Diketahui (
)
Akan dicari nilai (
)
( )
Karena ( ) (
∫
( )
)
(
)
Karena ( )
( )
∫ ∫
)
(
. )
(
10) Misalkan =deductible tahun ini dan =deductible tahun depan. ⁄
( )
dan )
∫
(
), didapat
( ⁄ ) ( ) Jawabannya .
Diketahui
maka (
∫(
) dengan
dengan (
,
.
) ( ) ⁄
∫ Jawabannya .
⁄ ⁄
Akan dicari nilai
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
(
) ( )
3 (
)
⁄
∫(
( ) ⁄
⁄
(
)
(
⁄
( ) Jawabannya . 11) Diketahui
*
⁄
* (
*
(
*
⁄
( )
dan
deductible
.
(
∫
)
( ) Dengan menggunakan persamaan ( ) dan ( diperoleh nilai sebagai berikut
⁄
( ) ⁄
( Akan dicari nilai yang membuat dua kali lipat. ( ) ( ) ( ) ⁄ ( )
menjadi
) bisa
* (
( (
(
) (
)
* )
* (
)
(
)
⁄
⁄
Sehingga diperoleh dan Selanjutnya akan dicari nilai ( ) ⁄ ( ). ( ) ( ) ( ) ( )
Jawabannya . 12) Diketahui fungsi survival pareto (
) , (
)
( | ) ( | ) Sehingga didapat (
( )
dan (
(
∫
. Padahal ) ( ).
( )
)
)
(
)
atau
. Diketahui juga (
.
(
)
Jawabannya .
) ( )
13) Diketahui ( )
( ( ( )
( )
⁄
( )
) |
, dan ( (
)
| )
). Padahal ( ), maka
. ( )
( Karena ( maka ( ) ( )
⁄
) )
( )
(
⁄
) Akan dicari nilai ( ) Jawabannya .
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
( (
(
| ⁄
)
) ) (
( )
).
4
14) Diketahui
( )
) dan ( )
(
( )
( )
( ) ( )
( )
∫ (
)
. Akan dicari nilai dari ( )⁄ ( ) jika variable acak adalah 120% kali variable acak . ( ) ( ) ( ) (
)
(
Karena ( ) (
(
)
, maka ( )
(
∫ [
( )]
)
)
.
(
⁄
∫ (
[ )
⁄
] . Akan di
)
( )
17) Diketahui ( | dicari nilai (
(
)
)
(
)(
Karena syarat syarat adalah Jawabannya .
( ( )
∫
) )
(
) )
( ) ( )
( (
) )
)
(
|
)
|
)
)
Jawabannya .
)
∫
∫ ( )
[
, maka yang memenuhi .
|
( )
]dan ) ( | ) . Akan yang dinyatakan dalam bentuk .
( ) | Karena ( , maka ( ) (
)
)
⁄
∫ ( *
| ) 16) Diketahui ( Akan dicari fungsi survival ( ). (
)
∫(
( )
|
(
(
( )
( ) ( ) ( Jawabannya .
Jawabannya . 15) Diketahui ( ) | dan ( cari nilai . ( | ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫
)
)]
( )
( ) ∫
( )
( ) ( ) ( )
)
(
(∫
.
(
) ( )
) (
)
)
18) Diketahui ( ) ( | ) ( ( | ) ( | ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) Maka nilai
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
)
5
( )
( )
( )
( ( )
)
22) Diketahui ( )
[ (
[ ]. ⁄ 19) Diketahui ( ) Akan dicari expected loss prepayment dengan . Jika merupakan variable acak klaim dengan , maka (
(
) (
( )
(
)
)
)
( (
( (
) )
(
(
)*. )*.
⁄
(
) ⁄
(
∫
( )
) . Akan dicari nilai [ (
(
Jawabannya .
dan
) ] ( )
∫
( ) ∫
) ].
( (
) )
Jawabannya . 23) Diketahui data klaim sebagai berikut: 100; 100; 100; 200; 300; 300; 300; 400; 500; 600. Data tersebut kebetulan sudah urut, sehingga bisa langsung digunakan untuk mencari ( ). (
)
)
⁄
Karena ( ) ( ) ( ) Jawabannya .
Jawabannya . 20) Misalkan merupakan variable acak frekuensi klaim dengan ( ) dan merupakan variable acak severity klaim setelah naik 50%. Diketahui bahwa distribusi sebagai berikut: Severity Klaim 60 120 180 300 Maka ( ) ( ) ( dan ( ) . Akan dicari nilai [ ( [ ( ( ) ) ] ( )( ( ) ( ( ) Jawabannya .
Probabilitas 25% 25% 25% 25%
( ), maka .
24) Data dari soal dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut: waktu meninggal
waktu keluar
1 4 5 8
1 3 6 -
)
) ]. ( )) .
21) Diketahui ( ) dan ( ) Akan dicari nilai [ ( ) ]. [ ( ] ( ) ) ( ( ) ∫ ∫
)
Berdasarkan tabel diatas didapat nilai-nilai ( ) sebagai berikut:
. )
waktu meninggal
banyaknya data
urutan ke(dari belakang)
1
1
7
(
)
4
1
4
(
)
5
1
3
(
)
8
1
1
(
)
Jawabannya .
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
( )
6 Mengacu pada table diatas, didapat [ ( )] yaitu: [ ( )] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ∑ (
(
Jawabannya .
)
∑
) ∑
) ∑
25) Diketahui ̅
dan
∑
(
)
(
)
̅ ̅
̅ Jawabannya .
Karena variable acak berdistribusi pareto, maka dengan metode moment didapat
(
)(
(
)
)
(
dan
∑
dicari nilai ( (
̅
( )
persamaan
27) Diketahui (
. Akan
).
|
. Akan dicari
maksimum likelihood estimator untuk . ( )
|
∏
|
∑
( )
|
|
) )(
( )
)
(
)
( ( (
∑ | Jawabannya .
Pada bagian lampiran yang ada pada soal, rumus (
)
(
(
)
*.
Sehingga )
(
∑|
|
|
|
∑|
)
(
∑|
)
)
(
( )
( )
)( ) ) (
(
(
(
(
)( (
( (
)
)( (
) )(
)
)(
)
)
)
)
)
. 26) Diketahui ( ) ( ) . Akan dicari maksimum likelihood estimator untuk . ( )
|
)
∏ (
)
(
)
∑
+
|
28) Diketahui variable acak berdistribusi Compound Poisson dan merupakan variable acak severity yang berdistribusi konstan. Sedangkan ukuran sampel yang diperlukan untuk full kredibilitas adalah . Karena berdistribusi konstan maka ( ) . Jika merupakan variable acak poisson dari Compound Poisson , maka ( ) ( ) . Sementara akan dicari standard untuk full kredibilitas yaitu . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
7 . Jika berdistribusi lognormal dengan ( ) ( ) , akan dicari nilai . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Jawabannya . 29) Diketahui ( | ) Akan dicari nilai ( | ). ( | )
(
)
(
)]
.
( | )
∫
∫
(
)
(
) (
( )
*
Jawabannya . 30) Diketahui ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ( ( )) Akan dicari nilai ( ). ( )
∫
∫
(
)
(
(
)
))
(
)
Karena sudah diketahui fungsi ( ), maka bisa didapat nilai ( ) sebagai berikut: ( )
∫
∫
(
( )
)
( ) ( Jawabannya .
∫
)
(
) (
)
]
Jika ada kesalahan ketik mohon infokan ke email
[email protected]
