1. Fizikai mennyiségek és mérésük Mérések és mértékegységek. Az SI-mértékrendszer, prefixumok. Alapvető mennyiségek mérése. a természet vizsgálata, számszerűsítés igénye modellek létrehozása: egyszerűsített kép a természet tövényeiről a modellek Modell: olyan fizikai vagy szellemi alkotás, amely egy adott jelenség lefolyását vagy egy rendszer viselkedését részben vagy egészben utánozni (szimulálni) képes, és alkalmas arra, hogy a vizsgálatból az eredeti jelenségre vagy rendszerre vonatkozóan új ismereteket szerezzünk. - fizikai modell, matematikai modell a kísérlet a modellalkotás egyik fontos lépése a természet jelenségeinek és összefüggéseinek (törvényeinek) megismerésére irányuló tapasztalati eljárás a mérés a kísérlet során gyakran kell valamely mennyiséget kvantitatívan (mennyiségileg) meghatározni „Lekiabál a gépházba a kapitány: – Meeennyiiii? – Úgy haaarmincöööt… – hallatszik a válasz a mélyből. A kapitány meglepődik: – Mii harmincööt? – kiáltja. – Mii meeennyii? – jön vissza a kérdés.” Fizikai mennyiségek: anyagot, állapotot, változást leíró minőségi és mennyiségi jelentéssel egyaránt bíró fogalmak. igen fontos az összehasonlíthatóság (egyneműség). Van-e értelme a „Hányszor nagyobb?” kérdésnek példák egynemű mennyiségekre: magasság – szélesség – hosszúság; súly – súrlódási erő példák nem egynemű mennyiségekre: hosszúság – tömeg; tömeg – súly Mennyiségek összehasonlítása kereskedelem régi súly, hosszúság és űrmértékek (Süsü: tátsd ki a szád! Három és fél akó.) mértékegység: a fizikai mennyiség megállapodásszerűen rögzített értéke a mérés: a vizsgált dolog mérendő sajátosságának összehasonlítása a sajátosság elismert egységével (az etalonnal) azaz egy mennyiség adott mértékegységhez tartozó mérőszámának meghatározása - közvetlen összehasonlítással (pl. vonalzó) - két rendszer kölcsönhatásán keresztül (pl. higanyos hőmérő) kiegészítő irodalom: Szalma József, Láng Győző, Péter László: Alapvető fizikai kémiai mérések és a kísérleti adatok feldolgozása (Eötvös kiadó, 2007)
a mértékegységek mennyiség=mérőszám*mértékegység dimenzió – mértékegység: nem szinonímák! a mennyiségeknek van valamilyen dimenziója magasság – szélesség – hosszúság : hosszúság dimenziójúak súly – súrlódási erő : erő dimenziójúak ugyanakkor egy adott mennyiségnek többféle mértékegysége is lehet magasság: láb, hüvelyk, centimeter, meter, mérföld régi mértékegységek, angol mértékegységek a mérőszám mellett nagyon fontos a mértékegység lezuhant űrjámű – eltérő mértékegységek használata az SI-mértékegységrendszer előzmények: CGS, MKSA (mertekegysegek_Sulinet.mht alapján)
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
1
alapmennyiségek Alapmennyiségek mértékegység neve
fizikai mennyiségek hosszúság tömeg idő az elektromos áramerősség a termodinamikai hőmérséklet az anyagmennyiség fényerősség
méter kilogram másodperc amper kelvin mól kandela
jele m kg s A K mol cd
származtatott mennyiségek Néhány származtatott SI egység fizikai mennyiség egység neve egység jele egység származtatása 3 térfogat köbméter m sűrűség kg*m-3 erő Newton N kg*m*s-2 2 -2 energia Joule J kg*m *s teljesítmény Watt W kg*m2*s-3 elektromos töltés Coulomb C A*s 2 -3 -1 -1 -1 feszültség Volt V kg*m *s *A = J*A *s 2 -3 -2 elektromos ellenállás Ohm kg*m *s *A = V*A-1 = S-1 Ω –3 anyagmennyiség-koncentráció mol*m –1 molalitás mol*kg nagyon nagy és kis értékek is előfordulnak a nagyságrend sokszor nem szükséges egy mennyiség pontos értékét ismerni, elég körülbelül tudni a nagyságrendjét Milyen magas volt a tolvaj? Úgy kétméteres. Mindegy, hogy 195 cm-es vagy 201 cm-es, de nem 1 méteres, vagy 5 méteres. Mennyi víz marad az öntözőkannában? Körülbelül 5 l. Mindegy, hogy 4,9 l vagy 5,2 l, de nem 1 l vagy 10 l. Azonos nagyságrendben van: körülbelül ugyanannyi, nincs nagy eltérés közöttük Több nagyságrend eltérés van közöttük: az eltérés nagyon jelentős Hogyan tudjuk ezt könnyen megállapítani? Írjuk fel a mennyiséget normál alakban! normál alak: egy számot egy 1-10 közötti tizedestört és 10 valamelyik hatványának szorzataként adunk meg például 12541,53=1,254153*104 0,004214=4,214*10–3 31,04=3,104*101 46,14=4,614*101 Az így felírt számokból könnyen leolvasható a nagyságrendi különbség: A 31,04 és a 46,14 egy nagyságrendben vannak. A 12541,53 7 nagyságrenddel nagyobb, mint a 0,004214 Amiatt, hogy nagyon nagy és kis értékek is előfordulnak célszerű előtagokat (prefixumokat) használni. prefixum: szorzófaktor
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
2
prefixumok szórzó értéke 1012
A prefixumok (előtagok) prefixum (előtag) a prefixum (előtag) jele teraT
109 106 103 102 101
gigamegakilohektodeka-
G M k h da
10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15
decicentimillimikronanopikofemto-
d c m µ n p f
oda – vissza tudni kell a következő prefixumokat: G, M, k, d, c, m, µ, n nincs kettős prefixum! a lőrinci polgármester esete a prefixumokkal Vannak még ma is használatos nem SI egységek! A higanymilliméter– jele mmHg (esetleg Hgmm) – a pontosan 1 mm magas és 13,5951 g·cm-3 sűrűségű folyadékoszlop által kifejtett nyomás olyan helyen, ahol a nehézségi gyorsulás 9,80665 m× s-2. 1 mmHg = 133,322 Pa A torr – jele Torr, 1 Torr = 101325/760 = 133,322Pa A mmHg eltérése a torrtól kisebb, mint 2*10-7 Torr! A kalória az a hőmennyiség, amely 1 g 14,5 °C hőmérsékletű víznek 1 °C-kal való felmelegítéséhez szükséges. 1 cal = 4,1868 J nem SI egységek fizikai mennyiség egység neve egység jele egység származtatása -10 angström A 10 m hosszúság perc min 60 s idő óra h 60 perc = 3600 s nap d 24 óra = 86400 s 6 kilowattóra kWh 3,6*10 J energia kalória cal 4,184 J 5 bar bar 10 Pa atmoszféra atm 101325 Pa nyomás higanymilliméter mmHg 13,5951 × 9,806 55 Pa = 133,322 Pa torr Torr 101325 Pa / 760 = 133,322 Pa extenzív és intenzív mennyiségek extenzív: értéke függ a rendszer anyagmennyiségétől (például a minta mértetétől) és egy rendszer kettéosztásakor megfeleződik (pl. hossz, tömeg, anyagmennyiség, térfogat) intenzív: értéke független a rendszer anyagmennyiségétől és egy rendszer kettéosztásakor értéke nem változik (pl. hőmérséklet, nyomás, olvadáspont, sűrűség); részrendszerek egyesítésekor kiegyenlítődésre törekszenek alapvető matematikai műveletek a négy alapművelet összeadás, kivonás, szorzás, osztás az összeadás: 3+7= 10, 7+3= 10 (3+7)+4= 14, 3+(7+4)= 14 a kivonás: 3–7= –4, 7–3= 4 (3–7)–4= –8, 3–(7–4)= 0
10/10/2014
felcserélhető csoportosítható nem cserélhető fel nem csoportosítható
tema01_biolf_20140909
3
a szorzás: 3*7= 21, 7*3= 21 (3*7)*4= 84, 3*(7*4)= 84 az osztás: 3/7≈ 0,43, 7/3≈ 2,33 (3/7)/4≈ 0,11 , 3/(7/4) ≈ 1,71
felcserélhető csoportosítható nem cserélhető fel nem csoportosítható
a hatványozás, gyökvonás a logaritmus Több művelet elvégzésének sorrendje: Egyenrangú műveletek esetén balról jobbra haladunk. Egyenrangú műveletek: - összeadás / kivonás - szorzás / osztás - hatványozás / gyökvonás / logaritmus Erősorrend: 1. hatványozás, gyökvonás, logaritmus 2. szorzás, osztás 3. összeadás, kivonás A zárójel: A zárójel erősebb bármelyik műveletnél! A mennyiben a műveleti sorban zárójel található, úgy először a benne szereplő műveletet vagy műveleteket kell elvégezni, és csak ezután a zárójelen kívüli műveleteket. Példa: 4*(log10100-5)2 – (2+4)*(3+2*5)= elsőként a zárójelen belüli műveleteket végezzük el: log10100= 2 2–5= –3 2+4= 6 2*5= 10 3+10= 13 Így: 4*(–3)2 – 6*13 (–3)2 = 9 azaz 4*9 – 6*13 = 36 –78 = –42
Néhány fontosabb matematikai fogalom: Ellentett: Egy számnak és az ellentettjének az összege nulla (0). pl. –4, 4 Pozitív számok: 0-nál nagyobb számok Negatív számok: 0-nál kisebb számok Nemnegatív számok: a 0 és a pozitív számok Előjel: A pozitiv számokat + jellel, A negatív számokat – jellel jelöljük. Ez a szám előjele. A 0-nak nincs előjele. A + előjelet gyakran nem írják ki. pl. +4, 4, –4 Abszolút érték: Azt fejezi ki, hogy egy szám a számegyenesen milyen távol van a nullától. A nem negatív számok abszolút értéke egyenlő a számmal, a negatív számok abszolút értéke egyenlő a számok ellentettjével. pl. |–4| = 4 Tört: Két mennyiség hányadosa, pl. 3/5, (2x+3)/7
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
4
Tört bővítése: Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal szorozzuk. Ekkor a tört értéke nem változik. pl. (7*3)/(7*5)= 3/5, (4*(2x+3))/(4*7)=(2x+3)/7 Tört egyszerűsítése: Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a (nem nulla) számmal osztjuk. Ekkor a tört értéke nem változik. pl. (3/7)/(5/7)= 3/5, ((2x+3)/4)/(7/4)=(2x+3)/7 Reciprok: (= fordított érték) A törtek számlálóját és nevezőjét felcserélve a szám reciprokát kapjuk. A számot a reciprokával szorozva egyet kapunk. Egyenes arányosság: Két mennyiség egyenesen arányos, ha amennyiben az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik szám is ugyanannyiszorosára változik. Egyenlet: olyan nyitott mondat, amelyben az egyenlőség jelével kapcsolunk össze két kifejezést. A két kifejezést az egyenlet bal és jobb oldalának nevezzük. Ezekben a kifejezésekben az ismeretleneket betűkkel, keretekkel jelöljük azokat az ismeretleneket, amelyeket a megoldás során meg kell határoznunk. Egyenlőtlenség: olyan nyitott mondat, amelyben az egyenlőlenség jeleivel kapcsolunk össze két kifejezést. (<; >; ≤; ≥) Legalább: nagyobb vagy egyenlő. pl. legalább 20 azt jelenti, hogy 20 vagy annál nagyobb a szám. Legfeljebb: kisebb vagy egyenlő. pl. legfeljebb 20 azt jelenti, hogy 20 vagy annál kisebb a szám. Arány: két mennyiség egymáshoz viszonyított nagysága. Pl. 100 és 20 aránya 100/20=5 (vagy 5:1 (5 az 1-hez))
Vissza a mértékegységekhez! Az értékes jegyek száma hétköznapi példa: vásárlás Kérek két kiló húst! Mennyit adnak? Lehet, hogy csak 1,8 kg-ot, de a jó kereskedők kicsit többet, mint 2 kg. Tudjuk, hogy 2 kg = 200 dkg, de nem szoktunk 200 dkg húst kérni, mert az a kis különbség nem számít. A kémiában nagyon gyakran számít ilyen kicsi – vagy még sokkal kisebb – különbség is! Ezért nem mindegy, hogy 2 kg-ot vagy 200 dkg-ot mondunk. Mi a kettő között a különbség? A pontosság! 2 kg esetén nagyon durván adtuk meg a mennyiséget, mindössze 1 értékes jegyünk van (a kettes). 200 dkg-nál már három értékes jegyünk van (a kettes és a két darab nulla). Az értékes jegyek száma: balról nézve a szám első nem nulla számjegyétől kezdve a szám végéig található számjegyek száma. pl. 2 -> 1 0.2 -> 1 0.002 -> 1 20 -> 2 0.20 -> 2 0.24 -> 2 0.00200 -> 3 0.00270 -> 3 Mire jó ez az egész? a műveletek elvégzése során könnyen olyan eredményhez jutunk, ami alaptalanul túl pontos. Például: számoljuk ki mekkora az átlagsebességem, ha 3,0 óra alatt 17 km-t gyaloglok. v=17km/3,0óra A számológép kiírja: 5,6666666666666666666666. Akkor most 5,6; 5,66; 5,666, vagy esetleg 5,66666666666? Az értékes jegyek számának vizsgálata segít ezt eldönteni. Alapszabály: osztásnál, szorzásnál az eredményben ne legyen több értékes jegy, mint a kiindulási adatokban! 17 -> 2 3,0 -> 2 Tehát az eredményben csak 2 értékes jegyet hagyunk meg. v = 5,6 km/óra jó? Nem jó, a KEREKÍTÉSre is figyelni kell! Helyesen: v = 5,7 km/óra
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
5
Ha pontosabban adtuk volna meg az adatokat? Számoljuk ki mekkora az átlagsebességem, ha 3,00 óra alatt 17,0 km-t gyaloglok. v = 5,67 km/óra Ennél több értékes jeggyel megadni az eredményt ÉRTELMETLEN. Ha a kiindulási adatok értékes jegyeinek száma eltér, akkor a legpontatlanabbat kell figyelembe venni! Másik példa: Péter hátitáskája 5,63 kg tömegű. Beleteszi még a hegyezőjét, ami 0,017 kg. Mennyi lesz a táskájának tömege ezután? Alapszabály: összeadásnál, kivonásnál az eredményben ne legyen több tizedesjegy, mint a kiindulási adatokban! 5,63 kg + 0,017 kg = 5,647 kg, kerekítve 5.65 kg. Másik példa, módosítva: Péter hátitáskája 5,63kg tömegű. Ráesett egy tollpihe, ami 0,00017 kg. Mennyi lesz a táskájának tömege ezután? 5,63 kg + 0,00017 kg = 5,63017 kg, kerekítve 5.63 kg.
Honnan tudjuk, hogy az emberek általában nem tudnak kerekíteni? A 2008. évi III. törvény az 1 és 2 forintos címletű érmék bevonása következtében szükséges kerekítés szabályairól részletesen leírja a kerekítést, nem csak azt mondja, hogy a legközelebbi 5 forintosra kerekítünk: 2. § A kerekítés szabálya a következő: a) a 0,01 forinttól 2,49 forintig végződő összegeket lefelé, a legközelebbi 0; b) a 2,50 forinttól 4,99 forintig végződő összegeket felfelé, a legközelebbi 5; c) az 5,01 forinttól 7,49 forintig végződő összegeket lefelé, a legközelebbi 5; d) a 7,50 forinttól 9,99 forintig végződő összegeket felfelé, a legközelebbi 0 forintra végződő összegre kell kerekíteni. A kerekítés szabályai: 1. 2. 3. 4.
Ha az elhagyandó legelső jegy kisebb mint 5, egyszerűen elhagyjuk az őt követő jegyekkel együtt. pl. 5.9654725 = 5.965 Ha az elhagyandó legelső jegy legalább 5, akkor elhagyjuk az őt követő jegyekkel együtt és az előző jegyet egyel megnöveljük. pl. 5,9654725 = 5,9655 ; 5,964725 = 6,0 Ha az elhagyandó legelső jegy 5 és nem az utolsó, akkor akkor elhagyjuk az őt követő jegyekkel együtt és az előző jegyet egyel megnöveljük. pl. 5,9654725 = 5,97 Ha az elhagyandó legelső jegy 5 az utolsó helyen, akkor akkor egyszerűen elhagyjuk. pl. 5,9654725 = 5,965472
Mértékegységváltások Csak egynemű mennyiségek válthatók át egymásba! A mértékegységváltás alapja egy egyenlet megoldása. Legyenek B és D egynemű mértékegységek, és a, c egy adott mennyiség ezen mértékegységekben mért mérőszámai. Ekkor a*B=c*D egyenlet igaz. Ebből következik viszont, hogy ha az egyik mérőszám (a) ismert, akkor c kifejezhető: c=a*B/D 1500 g = x kg x=1500g/kg=1500 * g / 1000g = 1,5 tömeg 1500 g = 1,5 kg = 0,0015 t távolság/hosszúság 2500 mm = 250 cm = 25 dm= 2,5 m = 0.0025 km 0,003 cm = 0,03 mm = 30 µm = 30000 nm terület 0,000001425 km2 = 1,425 m2 = 14250 cm2 =1425000 mm2 12410000 mm2 = 0,00001241 km2 = 124100 cm2 =12,41 m2 térfogat 1,425*10–9 km3 = 1,425 m3 = 1425000 cm3 =1,425*109 mm3 113 cm3 = 113 ml idő 192 s = 3,2 perc = 0,0533 óra 0,125 s = 125 ms = 125000 µs
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
6
anyagmennyiség 0,2 mol = 0,0002 kmol = 200 mmol sűrűség 1400 kg/m3 = 1,4 g/cm3 = 1400 g/dm3 = 1,4 kg/dm3 (a tiszta víz sűrűségét vehetjük 1,000 g/cm3-nek!) nyomás 0,4 atm = 40530 Pa = 304 mmHg = 304 torr 0,4 bar = 40000 Pa vérnyomás: egészséges felnőtt:120/80 Hgmm 120 Hgmm = 16000 Pa = 0.158 atm hőmérséklet T / K = T / °C +273,15 DE! ∆T=T2-T1 ∆T / K = ∆T / °C!!! gyakori hiba T = 12,35 °C = 285,50 K ∆T= 12,35 °C = 12,35 K !!!
10/10/2014
tema01_biolf_20140909
7
