2011. Mandelbrot halmaz
Nagy Krisztián ETR azonosító: NAKSABI.ELTE Eötvös Lóránd Tudományegyetem Informatikai Kar
2
Mandelbrot halmaz
Tartalomjegyzék Bevezető...................................................................................................................................................3 A komplex számok ...................................................................................................................................4 A komplex számok algebrai alakja ........................................................................................................4 A komplex számsík, mint leíró eszköz ..................................................................................................6 Mandelbrot-halmazról általánosan ........................................................................................................7 Az iteráció szerepe és a halmazba eső pontok megrajzolása ................................................................8 Geometriai és topológiai tulajdonságok .................................................................................................9 Fraktálszerű tulajdonságok .....................................................................................................................9 Kapcsolat a Júlia-halmazokkal ............................................................................................................. 10 Viselkedés és struktúra ........................................................................................................................ 11 Grafikus ábrázolás ................................................................................................................................ 14 Buddhabrot és általánosítások ............................................................................................................ 16
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
3
Mandelbrot halmaz
Bevezető Benoît B. Mandelbrot (Varsó, 1924. november 20. – Cambridge, Massachusetts, 2010. október 14.) lengyel származású francia-amerikai matematikus. A fraktálgeometria felfedezője, az általa elsőnek leírt Mandelbrot-halmazt róla nevezték el. Erről a halmazról a későbbiekben szó lesz. Mandelbrot Varsóban született egy Litvániából származó zsidó családban. Előre látva a lengyel politika alakulását családja 1936-ban, az akkor 11 éves Benoît-val Franciaországba menekült. A második világháború alatt a család Franciaországban élt. Mandelbrot 1944-től a lyoni Lycée du Parc, majd a párizsi Ecole Polytechnique tanulója. 1947-1949 között a Kaliforniai Műszaki Egyetem, majd 1953-1954ben a Princetoni Egyetem hallgatója, ahol Neumann Jánosnak volt a posztdoktori kutatója. 1955-ben feleségül vette Aliette Kagant. 1958ban az Egyesült Államokba költözött és belépett az IBM-hez, mint kutató-munkatárs. 1975-ben alkotta meg és használta először a fraktál kifejezést a Les objets fractals, forme, hasard et dimension című dolgozatában. 1982-ben kibővítette és frissítette a fraktálokról szóló gondolatait a The Fractal Geometry of Nature című munkájában. 1987-ben nyugdíjba ment, és a Yale Egyetem matematika tanszékén folytatta kutatásait, ahonnan 2005-ben vonult vissza 2003-ban Magyarországra látogatott és részt vett a VIII. Országos (centenáriumi) Neumann Kongresszuson. 2010ben hasnyálmirigyrákban hunyt el egy cambridge-i hospice házban.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
4
Mandelbrot halmaz
A komplex számok A valós számokból álló rendezett számpárok halmazát, ha abban a műveleteket az alábbi módon értelmezzük, komplex számoknak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük: tetszőleges (a; b); (c; d) ϵ esetén legyen (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) és (a; b)∙(c; d) = (ac - bd; ad + bc): Az (a; b) és a (c; d) komplex szám tehát pontosan akkor egyenlő, ha a = c és b = d. Algebrai alak. A z komplex szám algebrai alakja z = a + bi; ahol a; b ϵ R és i a (0; 1) komplex számot jelöli. z valós része Re(z) = a; z képzetes (imaginárius) része Im(z) = b: Két komplex szám egyenlő, ha valós és képzetes részük is egyenlő. Algebrai alakban írva a műveletek definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) ∙ (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i A szorzási szabályt alkalmazva azt kapjuk, hogy i2 = -1: Gauss-féle számsík. A komplex számok geometriai realizációja az úgynevezett Gauss-féle számsík. Ha a síkon derékszögű koordinátarendszert vezetünk be, akkor a komplex számok e sík pontjaiként ábrázolhatók: a z = a + bi komplex szám képe az a abszcisszájú, b ordinátájú pont (1.1. ábra).
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
5
Mandelbrot halmaz
A vízszintes tengelyt valós tengelynek, a függőlegeset képzetes vagy imaginárius tengelynek nevezzük. A z = a+bi komplex szám felfogható az origóból a P pontba mutató vektorként is. Komplex számok összegének megfelelő vektor a tagoknak megfelelő vektorok összege. Trigonometrikus alak. A számsíkon a P pontnak megfelelő komplex szám nem csupán a és b koordinátáival azonosítható, hanem megadható az OP vektor r hosszával és a vektor valós tengellyel bezárt α szögével is (1.2. ábra). (Az óramutató járásával ellentétes irányítású szöget pozitív szögként értelmezzük.)
r a komplex szám abszolút értéke vagy modulusa (|z|-kel is jelöljük), ξ a szöge (arcusa illetve argumentuma). Nyilván r ≥ 0 minden z ϵ esetén. Amint az 1.2. ábráról leolvasható: a = r cos ξ és b = r sin ξ; és így z = r(cos α + i sin α), ami a z komplex szám trigonometrikus alakja. A 0 komplex szám esetén r = 0; ξ pedig tetszőleges. A trigonometrikus alak a z ≠ 0 esetben sem egyértelmű, hiszen az egymástól 2π egész számú többszörösével eltérő argumentumok ugyanazt a P pontot azonosítják, s így ugyanazt a komplex számot jelentik. Két komplex szám, z = r(cos ξ + i sin ξ) és z1 = r1(cos ξ 1 + i sin ξ 1) r ≠ 0 esetén akkor és csak akkor egyenlő, ha r = r1 és ξ - ξ 1 = 2kπ (k ϵ ): z fő argumentuma ξ, ha 0 ≤ ξ < 2π; illetve 0 ≤ ξ < 360◦: (További kiegészítés a Komplex-számokhoz: Brunder Györgyi és Láng Csabáné: Komplex számok [Példák és feladatok] című könyvében)
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
6
Mandelbrot halmaz
A komplex számsík, mint leíró eszköz A Mandelbrot-halmaz egy síkbeli alakzat, amelyet egy alapvetően nagyon egyszerű algebrai összefüggés bonyolultabb (végtelennel kapcsolatos,analitikus fogalmakat, határértékszámítást ig énylő) elemzése ad meg, rajzol ki. Ezeknek az összefüggéseknek a még legegyszerűbb (bár nem az egyetlen lehetséges) megközelítési módja a komplex számok felhasználásával történhet. A Mandelbrothalmaz a komplex számsíkon ábrázolható alakzat, amely számsík geometriailag semmiben sem különbözik a jól ismert („euklideszi”) síktól, csak a pontok számokkal való leírása más. Az euklideszi sík minden pontja megadható egy valós számokból álló számpárral, a derékszögű v. Descartes-koordinátáikkal: az (a,b) számpár egy pontot ír le a síkon. Ugyanez a pont leírható (egyértelműen megadható) az a+bi komplex számmal is, ahol a és b továbbra is a pont derékszögű koordinátái, az i nem valós szám viszont úgy van definiálva, miszerint i·i = i2 = -1, vagyis a -1 négyzetgyöke. Geometriailag az a valós szám a pontnak a vízszintes (v. valós) tengelyen mért koordinátája, a b a függőlegesen felmért (vagy képzetes) koordináta, az i szám pedig a függőlegesen felmért pozitív irányba mutató, vagyis iránnyal is rendelkező - hosszegység (egységvektor). Az összeadás és szorzás a valós számoknál megszokott szabályok figyelembevételével történik, az egyetlen újdonság, hogy az i négyzete mindig -1. Geometriailag - amint az meglehetősen elemi eszközökkel bizonyítható - az összeadás vektorösszeadás, a szorzás pedig forgatva nyújtás (a pontok origótól való távolságai összeszorzódnak, a vízszintes tengellyel bezárt irányszögek pedig összeadódnak). Az a+bi nagysága (abszolút értéke) egyenlő az a2+b2 négyzetgyökével, geometriailag az origó és a komplex számmal ábrázolt pont távolsága.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
7
Mandelbrot halmaz
Mandelbrot-halmazról általánosan A matematikában a Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból áll (a „komplex számsík” azon pontjainak mértani helye, halmaza), melyekre az alábbi (komplex szám értékű) xn rekurzív sorozat: x1 := c xn+1 := ( xn )2 + c nem tart a végtelenbe. A Mandelbrot-halmazt a komplex számsíkon ábrázolva, egy nevezetes (és hasonnevű) fraktálalakzat adódik. Tehát, az M Mandelbrot-halmaz a komplex számoknak az az részhalmaza melyre M = { c ϵ C | xn ↛ ∞ } A halmaz definíciója ekvivalens a következővel: M azon komplex számok halmaza, melyekre az fc :
→ ; z ↦ z2 + c
c-vel paraméterezett függvényrendszer elemeihez tartozó Julia-halmaz összefüggő. A Mandelbrot-halmaz grafikus megjelenítése úgy történik, hogy az ilyen tulajdonságú c pontokat a komplex számsíkon ábrázolják.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
8
Mandelbrot halmaz
Az iteráció szerepe és a halmazba eső pontok megrajzolása Az alapképletben (z ↦ z2 + c) a z és c komplex számok. Ez nem az alakzat algebrai egyenlete, hanem iterációval (az eredménynek a képlet változójába való, a végtelenségig ismételt behelyettesítésével) alkot Mandelbrot-halmazt, amikor a z2 tagot mindig az előző művelet eredményeként kapott z értékével számítjuk újra. Ezáltal minden adott kezdeti c érték esetén a lépésenként kapott z1, z2, z3, ... stb. értékek (c; c2+c, (c2+c)2+c, [(c2+c)2+c]2+c ... stb. ) a komplex síkon egymástól mindig kissé eltérő helyet foglalnak el, egy pontsorozatot alkotnak. Ez még mindig nem a Mandelbrot-halmaz. Viszont minden egyes kiinduló c esetében megnézhető, hogy a pontsorozat hogyan viselkedik. (Az iterációval kapott számsorozatok többféleképpen viselkedhetnek: 1). Egy adott értékhez tartanak (konvergencia); 2). Két, vagy több érték között ingadoznak határértékben (határciklus); 3). Korlátosak maradnak, de elemeik soha nem ismétlődnek (kaotikus dinamikai rendszer); 4). Végtelenbe tartanak Azok a c komplex számok, amik az első három kategória valamelyikébe tartoznak, a Mandelbrot-halmaz pontjai. Ha azt tapasztaljuk, hogy a pontok origótól való távolsága minden határon túl növelhető (az n iteráció szám növekedtével a pontsorozat „igyekszik lemászni a térképről”), akkor azt mondjuk, a pontsorozat a végtelenbe tart (pontatlanul fogalmazva, néha azt is mondják, hogy a c pont tart a végtelenbe). Ez esetben az eredeti kiindulópontot (c) fehérre, vagy egy előre megadott színre színezzük, ami annak elismerését jelenti, hogy nem tartozik a Mandelbrot-halmazhoz. Minden más esetben (ld. lentebb) feketére, vagy egy másik megadott színre színezzük, ami azt jelenti, a Mandelbrot-halmazhoz tartozik. Látható, hogy a Mandelbrot-halmaz egy meglehetősen bonyolultan definiált mértani hely. Azon pontok tartoznak hozzá, melyek teljesítenek egy legkönnyebben komplex számokkal megfogalmazható bonyolult határérték-számítási feltételt vagy tulajdonságot.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
9
Mandelbrot halmaz
Geometriai és topológiai tulajdonságok A Mandelbrot-halmaz tükörszimmetrikus a valós tengelyre. Összefüggő, és telt, vagyis nem tartalmaz szigeteket, vagy lyukakat. Azonban nem ismert, hogy egyszeresen összefüggő, avagy útösszefüggő-e. Önhasonló, de nem pontosan; nincs két részstruktúrája, ami matematikai értelemben is hasonló lenne. Sok perempont környezete azonban határértékben periodikus mintázatot mutat. Mivel a Mandelbrot-halmaz körlapokat és kardioidlapot tartalmaz, fraktáldimenziója kettő. A határvonal végtelen hosszú, és Mitsuhiro Shishikura szerint szintén két dimenziós, ezért a dobozszámlálási dimenziója is kettő. Nem ismert viszont a határvonal területe, mint ahogy a teljes Mandelbrot-halmaz területe sem. Numerikus becslések szerint a Mandelbrot-halmaz területe 1,506 591 77; egyes nem bizonyított meggondolások szerint a pontos terület . Fraktálszerű tulajdonságok A Mandelbrot-halmaz peremén megtalálhatók a Mandelbrot-halmaz hozzávetőleges, kicsinyített másai; ezek az úgynevezett szatelliták. Minden képkivágás, ami egyaránt tartalmaz pontokat a Mandelbrothalmazból és a Mandelbrot-halmazon kívülről, végtelen sok ilyen szatellitát tartalmaz. Mivel minden szatellitát további szatelliták öveznek, ezért mindig van egy hely, ahol tetszőleges struktúrák tetszőleges sorrendben tartalmazzák egymást. Ennek észleléséhez azonban nagyon nagy nagyítás kell.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
10
Mandelbrot halmaz
Kapcsolat a Julia-halmazokkal Amennyiben az alapképletben a z a változó érték, akkor Mandelbrothalmazt kapunk, ha a c, akkor Julia-halmazt. Egy adott Julia-halmaz belső szerkezete a végtelenségig ugyanaz, de a különböző Juliahalmazok nagy sokféleséget vonultatnak fel. A Julia- és Mandelbrot-halmazok összefüggnek egymással. Ha a Mandelbrot-halmaz belsejéből választunk c értéket, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz, ellenkező esetben viszont diffúz halmazt kapunk. Ha a c értéke pontosan a Mandelbrot-halmaz határára esik, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális vonal, aminek területe nulla. Így a Mandelbrot-halmaz az összes Julia-halmaz sokféleségét magában foglalja. A Mandelbrot- és Julia-halmazok határvonala fraktál, melyet bármeddig nagyítunk, sosem érünk el egy maximális nagyítást. Ez alól csak két Julia-halmaz kivétel, mégpedig a c=0 értékhez kör, a c=-2 értékhez egyenes szakasz tartozik. A színes képek úgy állíthatók elő, ha különböző színekkel jelöljük, hogy hányadik iterációval éri el a számítás az előre megadott abszolútértéket.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
11
Mandelbrot halmaz
Viselkedés és struktúra A konvergencia éppen a kardioid lap belső pontjaira, és annak megszámlálható sok határpontjára teljesül. A periodikus határciklus a kör alakú struktúrák, és a szatelliták kardioidjainak belső pontjaira, és azok megszámlálható sok határpontjára igaz. Egy fontos sejtés szerint a Mandelbrot-halmaz minden belső pontjának van határciklusa. A sorozatok csak a megszámlálható sok Misiurewicz-Thurston-pontban periodikusak. Ilyenek például a hosszú vonalas képződmények (antennák) csúcsai, és az elágazási pontok. A Mandelbrot-halmaz többi nem megszámlálható pontjából képzett sorozatok többféleképpen viselkedhetnek, különféle kaotikus dinamikai rendszereket alkothatnak. Épp ezért élénk kutatás tárgyai.
Periodikus viselkedés Kör alakú struktúrák
A Mandelbrot-halmaz körlapjainak és a szatelliták kardiodlapjainak a határciklusai az adott lapra jellemző hosszúságúak. Ezeknek a lapoknak a helye egyértelműen megadja a határciklusok hosszát. Minden körlap érintkezik egy alaptesttel, egy nagyobb körlappal, vagy kardioiddal. Egy lap határciklusainak hossza megegyezik az ugyanazt az alaptestet érintő két nála nagyobb szomszédos lap határciklusainak hosszának összegével. Ha csak kisebb lapok vannak, akkor az alaptest járul hozzá az összeghez. Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
12
Mandelbrot halmaz
Egyszerű következmények:
Minél kisebb egy lap, annál hosszabbak a határciklusai. Egy alaptesttel érintkező legnagyobb lap határciklusa éppen az alaptest határciklusának kétszerese. Egy szatellita egy lapjának határciklushosszának periódushossza a szatellita kardioidjának és a fő kardioid megfelelő lapjának a határciklusának a szorzata.
Vonzó ciklusok Ha egy sorozatban van egy c elem, amire zn=z0=0, akkor a sorozat az elejétől kezdve ciklikus, és periódushossza n. Mivel zn az iteráció nszeri alkalmazásával adódik, és az iteráció minden lépésében négyzetre emelés történik, azért kifejezhető c egy 2n-1-edfokú polinomjaként. Így ennek a polinomnak a gyökei n hosszú periódust adnak. Megmutatható, hogy ha egy iterált számsorozat egy tagja elég közel van, akkor az a számsorozat ehhez a határciklushoz tart. Egy ilyen határciklust attraktornak is neveznek. Következik, hogy az attraktort reprezentáló c értékek egy környezetében minden számsorozat az attraktorhoz tart, ami éppen egy n hosszú stabil ciklus. Minden kör-, vagy kardioidlap éppen ilyen ciklus. Taszító ciklusok A vonzó ciklusok mellett vannak taszító ciklusok is. Ezek arról nevezetesek, hogy a számsorozatok nem közelednek hozzájuk, hanem távolodnak tőlük. A sorozatokban visszafelé haladva ezek is meghatározhatók. A négyzetre emelések miatt minden zn≠0 pontnak két elődje lehet. Egyes pontokban már a második lépésben látszik olyan pont, ami ilyen instabil ciklus létezésére utal. Ilyenek az antennák végpontjai, vagy a spirál alakú struktúrák érintkezési pontjai. Ezek a Misiurewiczpontok. A Misiurewicz-pontok azáltal is kitűnnek, hogy egy környezetükben a Mandelbrot-halmaz oda eső része nagyon hasonlít a Júlia-halmazra, bár ez a hasonlóság nem áll fenn matematikai értelemben. Minél Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
13
Mandelbrot halmaz
kisebb környezetet tekintünk, annál több egyezést találunk. Ezekben a pontokban mindkét halmaz egy összefüggő fraktális vonal. A Mandelbrot-halmaz minden képkivágása, ami tartalmazza a perem egy részét, végtelen sok Misiurewicz-pontot tartalmaz, ezáltal a vonalszerű Julia-halmazok végtelen gazdagságát is. Egy sorozat viselkedése nagyon bonyolult lehet, ha a sorozat az egyik taszító ciklus közeléből egy másik taszító ciklus közelébe ugrik. Ezek a sorozatok a Mandelbrot-halmaz struktúrákban különösen gazdag részeiből indulnak ki. Ezek a sorozatok ábrázolva is nagy bonyolultságot mutatnak. A taszító ciklusok közelségében való kváziperiodikus viselkedés több karú spirálban jelenik meg, ahol is az egymást követő pontok körültáncolják a középpontot, miközben egyre távolabb kerülnek tőle. A karok száma megegyezik a periódus hosszával. A pontok halmozódása a spirálkarok végén két közeli taszító ciklust jelez. Szatelliták A Mandelbrot-halmaz peremén találhatók a szatelliták, amik a Mandelbrot-halmaz kicsinyített másaihoz hasonlítanak, bár ez a hasonlóság nem matematikai értelmű. Az innen induló számsorozatok viselkedése kapcsolatban áll a Mandelbrot-halmaz megfelelő helyéből kiinduló számsorozatokkal. A határciklusok hossza a megfelelő hely határciklushosszának a k-szorosa valamely k-ra. Ha a szatellitát kinagyítjuk, és a sorozatoknak minden k-adik elemét vesszük, akkor közelítőleg megkapjuk a Mandelbrot-halmaz megfelelő sorozatát. Ezt Douady és Hubbard látta be mély matematikai eszközöket véve igénybe. Kapcsolata a káoszelmélettel A sorozat képzési szabálya a legegyszerűbb nem lineáris egyenlet, ami alapján a paraméter változtatásával megfigyelhető a rend átmenetele a káoszba. Ehhez elég a valós értékekre korlátozódni. Ha –0,75 ≤ c ≤ 0,25, akkor a sorozat konvergens. Ezek az értékek éppen a fő kardioid belsejében levő valós számok. Az antennán a sorozatok kaotikusak. Az átmenet periodikus határciklusok mentén történik, mégpedig úgy, hogy a határciklusok hossza mindig megkettőződik; ezt perióduskettőződésnek és bifurkációnak hívják.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
14
Mandelbrot halmaz
Az egyes perióduskettőzésekhez tartozó szakaszokat egy-egy újabb körlap tartalmazza az almaember fejétől kezdődően. Hosszuk aránya a δ ≈ 4,669 Feigenbaum-konstanshoz tart. Az ilyen átmenetek tipikusak a valóban előforduló rendszerekben is. A kaotikus tartományban megjelenő ablakok az antennán található szatellitákhoz tartoznak. Egyes komplex c értékekre zárt határciklusok jelennek meg, amik pontjait a sorozatok nem periodikusan, hanem kaotikusan fedik le. Ezek a különös attraktorok. Ezzel a Mandelbrot-halmaz a káoszelmélet egy elemi objektumává válik, amin a különféle jelenségek tanulmányozhatók. A káoszelméletben ugyanolyan fontos, mint az egyenes az euklideszi geometriában. Univerzális struktúra A Mandelbrot-halmaz más nem lineáris rendszerekben is felbukkan. Ennek egy fontos előfeltétele, hogy a függvények szögtartók legyenek, és legyen bennük egy c komplex paraméter. Ha iterált dinamikus rendszerként a c paraméter függvényében vizsgáljuk, akkor bizonyos esetekben a Mandelbrot-halmaz esetleg eltorzult példányai jelennek meg, amikben azonban jelen van a Mandelbrot-halmaz minden eleme. Egy ilyen kérdés például, hogy egy harmadfokú polinom gyökeinek meghatározásánál mely komplex számok a megfelelők, és melyek nem megfelelők a Newton-iteráció megindításához. Ennek az az oka, hogy ezek a függvénycsaládok jó közelítéssel a függvénycsalád elforgatottjai és eltoltjai. Bár az egyezés nem tökéletes, a Mandelbrot-halmaz mégis megjelenik. Ezt a jelenséget strukturális stabilitásnak hívják, és végeredményben ugyanez alakítja ki a szatellitákat is, mivel a részsorozatok lokálisan ugyanúgy viselkednek, mint az egész. Grafikus ábrázolás A Mandelbrot-halmaz ábrázolása a nagy számításigénye miatt gépi eszközöket igényel. A képernyő megfelel a komplex sík egy részének, a pixelek az oda tartozó komplex számoknak. A számítógép minden pontra kiszámítja, hogy az iterált pontsorozat a végtelenbe tart-e. Ebben segít az a szabály, hogy ha az adott sorozat egy Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
15
Mandelbrot halmaz
tagjának abszolút értéke túllépi a kettőt, akkor a végtelenbe tart. Az ehhez szükséges lépésszám méri a divergencia mértékét, amihez különböző színek rendelhetők. Esztétikai okok miatt a határt gyakran kettőnél jóval nagyobbra veszik, különben a színes sávok hossza egyenetlen lesz. Minél nagyobb ez az érték, a színes sávok határai annál inkább közelítenek a Mandelbrot-halmaz, mint elektromosan töltött test erővonalaihoz. Mivel nincs korlát arra, hogy hány lépés alatt éri el egy sorozat a határt, ezért praktikus okokból be kell vezetni egy maximális iterációszámot. Ha eddig az adott c pontból indult sorozat nem érte el a határt, akkor azt a program a Mandelbrot-halmazhoz tartozónak tekinti. Minél közelebb van az adott c a Mandelbrot-halmazhoz, annál több iteráció kell a határ túllépéséhez. Ezt figyelembe kell venni a kinagyított határterületeken, így minél inkább kinagyítanak egy részletet, annál több idő kell a számításokhoz. Ha egy sorozat egy adott értékhez tart, akkor a számítás hamarább is befejeződhet. Egyes kis részletekhez vagy hosszú iterációsorozatokhoz már nem elég a megszokott algebrai pontosság, mert a kerekítési hibák megváltoztathatják a sorozat sorsát. Egyes programok ezért 100 vagy még több tizedesjeggyel számolnak. Különösen érdekes a Mandelbrot-halmaz határa. Minél nagyobb a nagyítás, annál részletgazdagabb struktúrák találhatók. Vannak programok, amikkel kinagyíthatók ezek a részek. Itt a felhasználó kiválaszthatja a kinagyítani kívánt részletet, a színeket és azok használatának módját. Ezekkel a paraméterekkel művészi hatású képek készíthetők.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
16
Mandelbrot halmaz
Buddhabrot A Mandelbrot-halmazhoz kapcsolódik a Buddhabrot-rajz is. Itt a divergens pontsorozatok elemeit jelzik ki. Minél több divergens sorozat ér el egy pontba, annál inkább kivilágosodik az adott pont. Ezt a program úgy számolja, hogy minden pontra elkészíti az iterált sorozatot egészen addig, amíg kiderül, hogy az divergál-e. Ha igen, akkor a sorozat elemeit kivilágosítja. A kép pontos kinézete nagyban függ az iterációszámtól: minél tovább iterálnak minél több véletlenszerűen választott pontot, annál részletgazdagabb lesz a végső kép. Színes kép is készíthető több, különböző iterációszámú kép egyesítésével. Általánosításai Ha a Mandelbrot-halmaz definíciójában szereplő rekurziót az általánosabb zn + 1 = fc(zn) rekurzióra cseréljük, akkor általánosított Mandelbrot-halmazokhoz és Julia-halmazokhoz jutunk. Megadva egy konkrét függvénycsaládot, ami a c komplex paramétertől függ, egy általánosított Mandelbrot-halmaz és Juliahalmazok hozzá tartozó családja adódik. A függvénycsalád éppen a közönséges értelemben vett Mandelbrothalmazt adja. Ha a c paraméter mellett az iterált függvény további paraméterektől is függ, akkor kettőnél magasabb, de páros dimenziós általánosított Mandelbrot-halmazokhoz jutunk. Például, ha két komplex paraméter van, c és d, akkor a c és d komplex számok egy két dimenziós komplex, vagy egy négy dimenziós valós tér koordinátáinak tekinthetők. Ezeknek azonban csak a vetületei ábrázolhatók két dimenzióban. Valós paraméterekkel is megpróbáltak a Mandelbrot-halmazhoz hasonló részletességgel bíró fraktált találni. A leghíresebb próbálkozás a Mandelbulb, egy három dimenziós szerkezet, amit a térbeli Mandelbrot-halmaznak is neveznek. Az iteráció alapjául szolgáló képlet:
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
17
Mandelbrot halmaz
ahol x, y és z valós paraméterek. Mindazonáltal vannak régiók ebben a halmazban, amik nem fraktálszerűek.
Fraktálok világa
Matematika
ELTE-IK jegyzet
