Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 2006. április 12., 1715
1800 N EP T U N
Név:
kod
1. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = 10 4 ( ax2 z i + bxz 2 k) ;
:
a = 1 [mm 2 ] ; b = 1 [mm 2 ]
1.a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = 1 [mm] ; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! 1.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az (x = 1 [mm] ; y = 0 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! 1.c., Adja meg az nT = [1; 0; 0] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = 1; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! 2. feladat A test egy adott pontjában a feszültségi állapotot a következ½o adatok jellemzik: 50 [M P a] ; sík-feszültségi állapot, x = 100 [M P a] ; xy = a rugalmassági modulus értéke: 2 105 [M P a] ; a Poisson tényez½o értéke: 0:2. 2.a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát! 2.b., Számítsa ki az (i j) (j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszültséget! 3. feladat A Adott az Airy-féle feszültségfüggvény: (x; y) = xy 3 : 6 3.a., Határozza meg a Mohr szerinti egyenérték½u feszültség értékét sík-alakváltozási állapot esetén az (x = 12 [mm] ; y = 5 [mm] ; z = 0 [mm]) koordinátájú pontban az A = 2 [N=mm4 ] állandó mellett! (a Poisson tényez½o értéke: 0:25). 4. feladat Az rb = 40 [mm] sugarú furattal és R = 100 [mm] küls½o sugárral bíró állandó szélesség½u tárcsát zsugorkötéssel szerelték a merev tengelyre. Az ! = 100 [1=s] szögsebesség½u forgáskor a radiális feszültség a tárcsában SI mértékegységekkel a r
(r) = 11:331 107
11:331 105
1 r2
37:125 106 r2
függvényként ismert. A Poisson tényez½o értéke: 0:3. 4.a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt? 4.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége? 4.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál?
Megoldások 1. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = 10 4 ( ax2 z i + bxz 2 k) ;
a = 1 [mm 2 ] ; b = 1 [mm 2 ]
1.a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = 1 [mm] ; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! 1.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az (x = 1 [mm] ; y = 0 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! 1.c., Adja meg az nT = [1; 0; 0] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = 1; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! MEGOLDÁS 1.a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = 1 [mm] ; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban!
@ (ax2 z) @v @u = 10 4 = 2axz 10 4 ; "y = = 0; "x = @x @x @y @w @ (bxz 2 ) "z = = 10 4 = 2bxz 10 4 ; @z @z
xy
xz
=
@u @v + = @y @x
=
@u @w + = @z @x
yz
=
@ (ax2 z) @ (0) + @y @x
@ (ax2 z) @ (bxz 2 ) + @z @x
@v @w + = @z @y
10
@ (0) @ (bxz 2 ) + @z @y
10
4
4
= 0:;
= ax2 + bz 2
10
4
10 4 ;
=0
3 1 2 2 (ax + bz ) 7 2axz 0 6 2 7 6 0 0 0 " =6 7 10 4 5 4 1 (ax2 + bz 2 ) 0 2bxz 2 Az (x = 1 [mm] ; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban az a = 1 [mm 2 ] és b = 1 [mm 2 ] állandók mellett: 2 3 2 0 1 " = 4 0 0 0 5 10 4 1 0 2 2
1.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az
(x = 1 [mm] ; y = 0 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! Az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozása az xz mennyiség. Az (x = 1 [mm] ; y = 0 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban az a = 1 [mm 2 ] és b = 1 [mm 2 ] állandók mellett: xz
10
4
= 2 10
4
= ax2 + bz 2 xz
= 2 10 4 :
1.c., Adja meg az nT = [1; 0; 0] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = 1; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban! Mivel nT iT , így (x = 1; y = 1 [mm] ; z = 1 [mm]) koordinátájú pontban az a = 1 [mm 2 ] állandó esetén "n "x = 2axz 10 4 = 2 10 4 : "n
"x = 2 10
4
2. feladat A test egy adott pontjában a feszültségi állapotot a következ½o adatok jellemzik: 50 [M P a] ; sík-feszültségi állapot, x = 100 [M P a] ; xy = a rugalmassági modulus értéke: 2 105 [M P a] ; a Poisson tényez½o értéke: 0:2. 2.a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát! 2.b., Számítsa ki az (i j) (j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszültséget! MEGOLDÁS 2.a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát! A feszültségi tenzor mátrixa (
= 0): 2 100 = 4 50 0 z
3 50 0 0 05 [M P a] : 0 0
Az alakváltozás komponensek sík-feszültségi állapot esetén: "x =
1 ( E
x
y)
=
"y =
1 ( E
y
x)
=
xy
=
"z =
1 G
xy
1
=
2(1 + ) E
1 E E xy
("x + "y ) =
x
=
x
=
=
2
105
1 (100 [M P a]) = 5 10 [M P a]
0:2 (100 [M P a]) = 2 105 [M P a]
2(1 + 0:2) ( 50 [M P a]) = 2 105 [M P a]
0:2 (5 1 0:2
1:0) 10
4
=
10
4
4
10
4
6 10
5
Az alakváltozási tenzor mátrixa: 2
2.b., Számítsa ki az (i séget!
j)
5 4 3 "= 0
3 0 0 5 10 4 : 1
3 1 0
(j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszült-
A sík normálisa (i
j)
(j) = k
j=
Így tehát n
!
i
n
=
2
3 100 i = 4 50 5 [M P a] ; 0
n
a normálfeszültség pedig:
n
=
n
n
i
2
3 1 i = [ 100; 50; 0] 4 0 5 [M P a] = 100 [M P a]: 0
n
3. feladat A Adott az Airy-féle feszültségfüggvény: (x; y) = xy 3 : 6 3.a., Határozza meg a Mohr szerinti egyenérték½u feszültség értékét sík-alakváltozási állapot esetén az (x = 12 [mm] ; y = 5 [mm] ; z = 0 [mm]) koordinátájú pontban az A = 2 [N=mm4 ] állandó mellett! (a Poisson tényez½o értéke: 0:25). MEGOLDÁS A feszültség komponensek:
x
=
@
2
(x; y) = @y 2
xy
@2
=
A 3 xy 6 @y 2 @
= Axy;
y
@2
2
(x; y) = @x@y
=
@
2
(x; y) = @x2
A 3 xy 6 @x@y
=
Sík-alakváltozási állapot esetén: z
= (
x
+
y)
= Axy:
A feszültségi tenzor mátrixa: 2
6 Axy 6 = 6 1 Ay 2 4 2 0
1 2 Ay 2 0 0
3
0 7 7 ; 0 7 5 Axy
@2
1 2 Ay 2
A 3 xy 6 @x2
=0
amely az (x = 12 [mm] ; y = 5 [mm] ; z = 0 [mm]) koordinátájú pontban az A = 2 [N=mm4 ] állandó mellett 2 3 120 25 0 1 = 125 [M P a] 0 5 [M P a] = 4 25 0 ! 2 = 30 [M P a] 0 0 30 5 [M P a] 3 = A Mohr szerinti egyenérték½u feszültség: M
=
1
= 125
3
M
( 5) = 130 [M P a] :
= 130 [M P a]
4. feladat Az rb = 40 [mm] sugarú furattal és R = 100 [mm] küls½o sugárral bíró állandó szélesség½u tárcsát zsugorkötéssel szerelték a tengelyre. Az ! = 100 [1=s] szögsebesség½u forgáskor a radiális feszültség a tárcsában SI mértékegységekkel a r
(r) = 11:331 107
11:331 105
1 r2
37:125 106 r2
függvényként ismert. A Poisson tényez½o értéke: 0:3. 4.a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt? 4.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége? 4.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál? MEGOLDÁS 4.a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt? A radiális feszültség az rb = 40 [mm] sugárnál a tengely és a tárcsa közt ébred½o nyomást adja negatív el½ojellel: r
(r = rb ) =
p = 11:331 107
11:331 105
1 0:042
37:125 106
0:042 =
5:949 4
108 [P a]
p = 594:94 [M P a] : 4.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége? Az adott függvényben az A, B és C1 állandók beazonosíthatók r
7 (r) = |11:331 {z 10} A
A C1 értékéb½ol a s½ur½uség számítható: C1 =
3+ 8
!2 =
3 + 0:3 1002 = 8
6 2 5 1 11:331 | {z 10} r2 | 37:125 {z 10 }r : B
37:125 106 !
C1
=
8 37:125 106 kg = 9000 3 2 3:3 100 m
= 9000
kg : m3
4.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál? Az A , B és C1 állandók ismeretében a tangenciális feszültség képlete felírható: t
ahol C2 =
1+3 8
!2 =
=A+B
1 + C2 r2 ; r2
1 + 3 0:3 9000 1002 = 8 C2 =
21:375
106
21:375
106
Pa m2
Pa : m2
A tangenciális feszültség függvénye ekkor t
(r) = A + B
1 1 + C2 r2 = 11:331 107 + 11:331 105 2 2 r r
21:375 106 r2 ;
amely felhasználásával a tangenciális feszültség értéke a tárcsa küls½o sugaránál (R = 0:1 [m]) t
(r = R) = 11:331 107 + 11:331 105 t
1 0:12
21:375 106
(r = R) = 226:41 [M P a]
0:12 = 22:641 107 [P a]
