DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. SOLUSI UAS 5 JUNI 2000 TA 1999 / 2000 1. Sistem Linier dengan fungsi transfer : 10( s + 2) H ( s) = 2 ( s + 4)( s + 1) a. Tentukan response impulse sistem. Apakah sistem stabil? Jawab : 10( s + 2) H ( s) = 2 , untuk mendapatkan h(t ) maka dapat menggunakan ( s + 4)( s + 1) Inverse Laplace Transform (ILT). as + b c H ( s) = 2 + ( s + 4) ( s + 1) (as + b)( s + 1) + c( s 2 + 4) = 10s + 20 (a + c) s 2 + (a + b) s + b + 4c = 10 s + 20 a +c = 0, a + b = 10 dan b + 4c = 20 , maka diperoleh : a = −2 , b = 12 dan c = 2 as + b c H ( s) = 2 + ( s + 4) ( s + 1) as b c − 2s 12 2 = 2 + 2 + = 2 + 2 + ( s + 4) ( s + 4) ( s + 1) ( s + 4) ( s + 4) ( s + 1) Inverse Laplace Transform (ILT), dari H(s) adalah : h(t ) = − 2 cos 2t + 6 sin 2t + 2e − t γ (t ) Apakah sistem stabil ? Silakan tentukan sendiri, sebab ini pertanyaan yang dapat dijawab dari soal tanpa menghitungnya. b. Tentukan response penuh jika sistem diberi input u (t ) = 8 sin 2t Jawab : 16 U (s) = 2 s +4 Y ( s ) = H ( s ).U ( s ) 160( s + 2) = 2 ( s + 4) 2 ( s + 1) a + jb a − jb c + jd c − jd e = + + + + 2 2 ( s + j 2) ( s − j 2) ( s + 1) ( s + j 2) ( s − j 2) Dengan mencari koefisien a,b,c,d, dan e, maka y (t ) merupakan ILT dari Y(s) : e = ( s + 1)Y ( s ) | s = −1 = 160 / 25 = 6.4
[
]
a + jb = ( s + j 2) 2 Y ( s ) | s = − j 2 = 160(− j 2 + 2) /[(− j 2 − j 2) 2 (− j 2 + 1)] = −12 − j 4
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. d ( s + j 2) 2 Y ( s ) | s = − j 2 ds = {160( s − j 2) 2 ( s + 1) − 160( s + 2)[2( s − j 2)( s + 1) + ( s − j 2) 2 ]} /[ s − j 2) 2 ( s + 1)]2 | s = − j 2 = −2.2 + j 4.6 sehingga : y (t ) = 6.4e − t − (8t − 9.2) sin 2t − (24 + 4.4) cos 2t c + jd =
2. Tentukan response impulse sistem, h(n) dan apakah sistem stabil : 2z 2 a. H ( z ) = untuk ROC : z < 1.5 ( z − 1.5)( z − 2) Jawab : H ( z) 2z = z ( z − 1.5)( z − 2) A B = + ( z − 1.5) ( z − 2) H ( z) 2z A = ( z − 1.5) = = 3 /(−0.5) = -6 z z =0.5 z − 2 z =1.5 2z H ( z) = = 4 / 0.5 = 8 B = ( z − 2) z z =.2 z − 1.5 z = 2 sehingga : − 6z 8z H ( z) = + , dengan pole diluar lingkaran ROC, maka IZT merupakan z − 1.5 z − 2 deretan sisi kiri : h(n) = 6(1.5) − n − 8(2) − n u (− n − 1) Apakah sistem stabil?
[
]
∞
Jawabnya adalah ya, salah satu syarat stabil adalah S = ∑ | h(n) |< ∞ , silakan −∞
diperiksa memenuhi persyaratan ini atau tidak. 2z 2 b. H ( z ) = untuk ROC : 0.2 < z < 0.5 ( z − 0.5)( z − 0.2) Jawab : identik dengan jawaban a. Untuk pole yang didalam lingkaran diluar ROC, merupakan deretan kanan, dan pole yang diluar lingkaran diluar ROC, merupakan deretan sisi kiri, sehingga IZT : 10 z / 3 4z / 3 H ( z) = − ( z − 0.5) ( z − 0.2) 10 4 h(n) = − (0.5) − n u (− n − 1) − (0.2) n u (n) 3 3 Apakah sistem Stabil ?
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. Jawabnya adalah tidak, dengan syarat yang sama dengan a, silakan diperiksa, S terbatas tidak? Atau saudara bisa melihat dari h(n) apa yang menyebabkan S tidak terbatas? 2z 2 untuk ROC : z > 0.5 c. H ( z ) = ( z − 0.5)( z − 0.3) Jawab : Karena pole berada didalam lingkaran diluar ROC, maka IZT merupakan deretan sisi kanan, sehingga : H ( z) 2z A = ( z − 0.5) = = 1 /(0.2) = 5 z z =0.5 z − 0.3 z =0.5 2z H ( z) = = 0.6 /(−0.2) = −3 z z =.2 z − 0.5 z = 0.3 5z 3z H ( z) = − ( z − 0.5) ( z − 0.3) h(n) = 5(0.5) n − 3(0.3) n u (n) Apakah stabil ? Jawabnya ya. Masih perlu diperiksa ? Tunjukkan bahwa sistem diatas stabil. 2z − 1 d. H ( z ) = log untuk n ≥ 0 2z Jawab : 2z − 1 H ( z ) = log 2z 2z − 1 = log n / log n (10) 2z 2z − 1 2z − 1 = ln ) / ln(10) = 0.4343 ln( 2z 2z d d 2z − 1 − z H ( z ) = −0.4343z ln( ) dz dz 2z d 2z 2.2 z − (2 z − 1).2 − z H ( z ) = −0.4343z . dz 2z - 1 (2 z ) 2 d 1 − z H ( z ) = −0.4343 [2 z − (2 z − 1)] dz 2z - 1 d 1 − z H ( z ) = −0.4343 dz 2z - 1 d 0.5 − z H ( z ) = −0.4343 IZT dari persamaan disamping adalah : dz z - 0.5 nh(n) = −0.4343.(0.5) n u (n − 1) B = ( z − 0.3)
[
h(n) = −0.4343. Apakah stabil ?
]
(0.5) n u (n − 1) n
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. Jawabnya ya. Bisa menunjukkan bahwa sistem diatas stabil ? Bandingkan dengan (0.5) n sistem ini : h(n) = −0.4343. u (n) , ini adalah sistem yang tidak stabil, tahu n dimana yang menyebabkan tidak stabil? 3. a. Tentukan transformasi Z dari sinyal y (n) = − n a n u (− n − 1) Jawab : Jika x(n) = − a n u (− n − 1) , maka ZT dari x(n) adalah : X ( z) =
∞
∑ − a n u (−n − 1) z − n
n = −∞ ∞
∞
m =1
m =0
−1
= − ∑ (a / z ) n , dengan mengganti n = -m, maka : n = −∞
= − ∑ ( z / a) m = 1 − ∑ ( z / a) m 1 dengan | z / a |< 1 1− z / a z X ( z) = dengan ROC : | z |< | a | z−a Sedangkan TZ dari y(n) = nx(n) adalah : d Y ( z ) = Z [nx(n)] = − z X ( z ) dz d z z−a−z = −z = −z dz z − a ( z − a) 2 az = ( z − a) 2 b. Hitung y (n) = x1 (n) * x2 (n) dimana : = 1−
1 n , n ≥ 0 3 x1 (n) = − n 1 , n < 0 2 n
1 x2 (n) = u (n) 2 Identik dengan point a. maka : 1 z − 1/ 3 , n ≥ 0 X 1 ( z) = z − , n<0 z−2 z X 2 ( z) = , maka konvolusi y (n) = x1 (n) * x2 (n) adalah : z − 1/ 2 z z Y ( z ) = X 1 ( z ). X 2 ( z ) = . , maka y(n) meruapakan IZT dari Y(z) : z − 1/ 3 z − 1/ 2
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. Y ( z) 1 z a b = . = + z z − 1/ 3 z − 1/ 2 z − 1/ 3 z − 1/ 2 1 1 a + b = 0 , maka dengan a = -2 dan b = 3 : a + b = 1 dan 2 3 Y ( z) −2 3 = + z z − 1/ 3 z − 1/ 2 sehingga : n 1 n 1 y (n) = − 2. + 3. u (n) 2 3 4. Desain sebuah filter analog dengan spesifikasi sebagai berikut : • bagian passband redamannya tidak lebih dari 3 dB terletak antara dua frekuensi cut off 100 Hz dan 3.8 KHz • bagian stopband redaman minimumnya adalah 20 dB yaitu pada frekuensi kurang dari 20 Hz dan lebih besar dari 8 KHz. • tidak ada ripple baik pada bagian passband maupun stopband Tentukanlah : a. Gambar respon frekuensi (20 log (| H ( jΩ) |) vs Ω dari filter yang diinginkan secara lengkap. Jawab :
b. Orde filter Jawab :
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept.
Prototype response
Transformed filter response
20 log G ( jΩ )
K2
Ω
1 Ωr Low pass G(s)
S→ S /Ω u
20 log G ( jΩ ) 0 K1 K2
' Forward : Ω r= Ω r Ω u
20 log H ( jΩ ) 0 K1 K2
0 K1
0 K1
K1 K2 1
Design eguation
'
Backward : Ω r =Ω r / Ω u Ω u Ω 'r
Ω
Low pass H(s) 20 log H ( jΩ )
' Forward : Ω r = Ω u / Ω r
Backward : Ω r = Ω u / Ω r'
K2 Ω
Ωr
Low pass G(s)
S→Ω u /S
Ω 'r Ω u
Ω
High-pass H(s) Forward :Ω av = ( Ω u − Ω l ) / 2
20 log G ( jΩ )
0
0
2 + Ω l Ω u ) 1 / 2 − Ω av Ω r Ω 1 = ( Ω r2 Ω av
20 log H ( jΩ )
2 + Ω l Ω u ) 1 / 2 + Ω av Ω r Ω 2 = ( Ω 2r Ω av
K1
Backward : Ω r = m in
K2
K2 1
Ωr
Low pass G(s)
Ω S2 + Ω lΩ u Ω 1 Ω l Ω u Ω 2 Ω S→ S (Ω u −Ω l ) Bandpass H(s)
cA , B h
A = ( − Ω 12 + Ω l Ω u ) /[ Ω l ( Ω u − Ω l )] B = ( + Ω 22 − Ω l Ω u ) /[ Ω 2 ( Ω u − Ω l )]
Forward :Ω av = ( Ω u − Ω l ) / 2 20 log G ( jΩ ) 0 K1 K2
20 log H ( jΩ )
Ω 1 = [ Ω av / Ω r ) 2 + Ω l Ω u ]1 / 2 − Ω av / Ω r
0 K1
Ω 2 = [( Ω av / Ω r ) 2 + Ω l Ω u ]1 / 2 + Ω av / Ω r
Backward : Ω r = m in
K2 Ωr
Ω S (Ω u −Ω l )
1 Low pass G(s) S → S 2 + Ω Ω l u
Ω lΩ 1
Ω2 Ωu
Bandstop H(s)
Ω
cA , B h
A = Ω l ( Ω u − Ω l ) /[ − Ω 12 + Ω l Ω u ] B = Ω 2 ( Ω u − Ω l ) /[ − Ω 22 + Ω l Ω u ]
Ω1 = 2π .20 = 40π rad/s Ω 2 = 2π .8000 = 16000π rad/s Ω l = 2π .100 = 200π rad/s Ω u = 2π .3800 = 7400π rad/s Untuk mendesain BPF, maka perlu mendesain dari filter prototipe LPF, sehingga parameter yang ada dalam BPF, di-backward ke prototipe LPF, dengan cara : Ω r = min( A , B ) diambil nilai minimum antara harga mutlak A dan B
A = [−Ω12 + Ω l .Ω u ] / Ω1 (Ω u − Ω l ) = 5.1297 B = [Ω 22 − Ω l .Ω u ] / Ω 2 (Ω u − Ω l ) = 2.1493 sehingga dipilih Ω r = 2.1493 , Orde filter butterworth yang digunakan (karena tidak ada ripple passband dan stopband), dirumuskan :
[
]
log10 (10 − K1 / 10 − 1) /(10 − K 2 / 10 − 1) n= dalam hal ini : K 1 = −3 dB dan K 1 = −20 dB. 2 log10 (1 / Ω r ) n = 3.0059 ≈ 4 (pembuatan selalu keatas)
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. c. Cari pole-pole LPF ternormalisasinya dengan perhitungan (tanpa tabel) & plot pada bidang s Jawab : Pole-pole LPF : untuk n ganjil : s k = 1∠kπ / n , dimana : k = 0,1,2,..2n-1 untuk n genap : s k = 1∠π / 2n + kπ / n , dimana : k = 0,1,2,..2n-1 s2 = -0.3827 + j0.9239 s3 = -0.9239 + j0.3827 s4 = -0.9239 - j0.3827 s5 = -0.3827 - j0.9239 Plot Pole pada bidang S 2
1.5
1
su mb u Im aji ne
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -2
-1.5
-1
-0.5
0 sumbu Real
0.5
1
1.5
2
d. Fungsi transfer LPF ternormalisasi Jawab : 1 1 H n ( s) = = 4 3 Π ( s − s k ) s + 2.6132s + 3.4144s 2 + 2.6133s + 1 LHP
e. Fungsi transfer filter yang diinginkan. Jawab : H BPF ( s ) = H n ( s ) | s 2 + Ω Ω s→
=
l
u
s ( Ωu −Ωl )
1 | 2 s + 2.6132s + 3.4144s 2 + 2.6133s + 1 s → ss( Ω+ Ω−lΩΩu) 4
3
u
l
1 H BPF ( s ) = 4 | 2 +1.4607e + 007 3 s + 2.6132s + 3.4144s 2 + 2.6133s + 1 s → s 2.2619e + 004 s
DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept.
Catatan : Solusi ini sifatnya tidak mutlak benar, nah disini diperlukan diuji ulang, disarankan belajarnya untuk menguji kebenaran solusi tersebut. 1. Hakekat ilmu adalah dengan belajar dan memahaminya. 2. Hakekat amal adalah dengan Ilmu, berilmu ? maka beramallah, tanpa ilmu ? maka belajarlah 3. Dan penyakitnya orang berilmu adalah lupa, maka belajar harus diulang. 4. Barangsiapa dikehendaki oleh Allah padanya kebaikan, maka akan ia dipahamkan tentang ilmu agama. 5. Maka belajarlah…karena tidak ada kata selesai dalam menuntut ilmu.
