Hoofdstuk 4 Opdracht 4.16 a
xk + 1 −
2 xk = 3 3
a =
2 3
r = 3
Algemene oplossing: k
xk = C ⋅ ak +
b
k
r 3 2 2 ⇒ xk = C ⋅ + ⇒ xk = C ⋅ + 9 1− a 1 − 2 /3 3 3 1 7 xn = − 2 2
x n = 2 x n + 1 + 7 ⇒ −2 x n + 1 + x n = 7 ⇒ x n + 1 − a =
1 2
r = −
7 2
Algemene oplossing: n
xn = C ⋅ an + c
xn + 1 = xn − α1 xn − α2 xn ⇒ xn + 1 = xn + 1 − ( 1 − α1 − α2 ) xn = 0
( 1 − α1
− α 2 ) xn ⇒
a = 1 − α1 − α2
Algemene oplossing: xn = C ⋅ an + d
n
r −7 / 2 1 1 ⇒ xn = C ⋅ + ⇒ xn = C ⋅ − 7 1− a 1 − 1/2 2 2
r = 0
r ⇒ xn = C ⋅ ( 1 − α1 − α2 1− a
)
n
xn + 1 = xn + α 2 − β1 xn ⇒ xn + 1 = (1 − β1 )xn + α 2 ⇒ xn + 1 − (1 − β1 )xn = α2
a = 1 − β1
Algemene oplossing: r xn = C ⋅ an + ⇒ xn = C ⋅ ( 1 − β1 1− a xn = C ⋅ ( 1 − β1
)
n
+
r = α2
)
n
+
α2 ⇒ 1 − (1 − β1 )
α2 β1
Opdracht 4.30
a
1 xn + 1 − xn = 1 2 x = 3 0
a =
1 2
r = 1
n
n
1 1 1 ⇒ xn = C + 2 Algemene oplossing: xn = C + − 2 1 1 / 2 2 x0 = 3 ⇒ C + 2 = 3 ⇒ C = 1 Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
1
Oplossing: n
1 xn = + 2 2 b
xn + 1 − 2 xn = 3 x0 = 4
a = 2
r = 3
Algemene oplossing van de gegeven vergelijking: 3 x n = C ⋅ 2n + ⇒ x n = C ⋅ 2n − 3 − 1 2 x0 = 4 ⇒ C − 3 = 4 ⇒ C = 7
Oplossing: xn = 7 ⋅ 2n − 3
c
1 xn + 1 + xn = 4 3 x = 5 0 xn + 1 +
1 xn = 4 3
a = −
1 3
r = 4
Algemene oplossing: n
xn = C ⋅ an +
r 4 1 ⇒ xn = C ⋅ − + ⇒ − − 1− a 3 1 ( 1 / 3) n
xn
n
4 1 1 = C ⋅− + ⇒ xn = C ⋅ − + 3 4 /3 3 3
x0 = 5 ⇒ C + 3 = 5 ⇒ C = 2 n
Oplossing: xn
d
1 = 2⋅− +3 3
xn + 1 + xn = 2 x0 = 2
a = −1
r = 2
Algemene oplossing van de gegeven vergelijking: xn = C ⋅ (−1)n +
2 ⇒ xn = C ⋅ (−1)n + 1 1+1
x0 = 2 ⇒ C + 1 = 2 ⇒ C = 1 Oplossing: xn = (−1)n + 1
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
2
Opdracht 4.31
a
1 xn + 1 + xn = 3 2 x = 0 0 xn + 1 +
1 xn = 3 2
a = −
1 2
r = 3
Algemene oplossing: n
n
3 3 1 1 xn = C ⋅ − + ⇒ xn = C ⋅ − + ⇒ 1 − (−1 / 2) 3 /2 2 2 n
1 xn = C ⋅ − + 2 2 x0 = 0 ⇒ C + 2 = 0 ⇒ C = −2 n
1 Oplossing: xn = −2 ⋅ − + 2 2
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
3
Eindtoets hoofdstuk 4 Toetsopdracht 4.8 a
I0 = 5000 I1 = 5000 + 0,7 ⋅ (10 000 − 5000) − 1000 = 5000 + 3500 − 1000 = 7500 I2 = 7 500 + 0, 7 ⋅ (10 000 − 7 500) − 1000 = 7 500 + 1750 − 1000 = 8250 De bewering is onjuist.
b
It = It −1 + 0, 7 ⋅ (10 000 − It −1 ) − 1000 ⇒ It = It −1 + 7000 − 0, 7It −1 − 1000 ⇒ It = 0, 3It −1 + 6000 De bewering is juist.
c
It +1 − 0,5It = 4000
a = 0,5
r = 4000
Algemene oplossing: It = C ⋅ (0,5)t +
4000 ⇒ It = C ⋅ (0,5)t + 8000 1 − 0,5
I0 = 5000 ⇒ C + 8000 = 5000 ⇒ C = −3000 Oplossing: It = −3000(0, 8)t + 8000 It is een stijgende functie van t.
(
lim It = lim −3000(0, 8)t + 8000 t→∞
t→∞
)=
8000
Het verschil tussen de gewenste voorraad en de aan het begin van iedere maand geadministreerde voorraad blijft altijd groter dan 2000. De bewering is onjuist.
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
4
Toetsopdracht 4.9 a
Vraagfunctie: q = 140 − 2 p ⇒ 2 p = 140 − q ⇒ p = 70 − Aanbodfunctie: q = p − 10 ⇒ p = q + 10
1 q 2
90 80 70 60 50 prijs 40 30 20 10 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
hoeveelheid
b
qtv = qta ⇒ 140 − 2 pt = pt −1 − 10 ⇒ −2pt − pt −1 = −150 ⇒ pt +
1 1 pt −1 = 75 ⇒ pt +1 + pt = 75 2 2 t
t
75 1 1 ⇒ pt = C − + 50 Algemene oplossing: pt = C − + + 2 1 1 / 2 2 p0 = 70 ⇒ C + 50 = 70 ⇒ C = 20 t
1 Oplossing: pt = 20 − + 50 2 c
t 1 qtv = 140 − 2 pt ⇒ qtv = 140 − 2 20 − + 50 ⇒ 2 t
t
1 1 qtv = 140 − 40 − − 100 ⇒ qtv = 40 − 40 − 2 2 Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
5
Totaal aantal verkochte eenheden: 20
∑ qtv =
t =0
20
∑ 40
t 1 − − 40 40 ∑ = 2 t =0 20
20
∑ 40 −
t =0
t
1 ∑ 40 − 2 t =0 20
= 21 ⋅ 40 = 840
t =0
t
1 − (−1 / 2)21 80 1 = 40 − = 40 1 − (−1 / 2)21 ∑ − − 2 1 ( 1 / 2) 3 t =0 20
20
∑q
t =0
v t
(
)
≈ 27
≈ 840 − 27 = 813
Toetsopdracht 4.10 a
Stel St is de openstaande schuld op het tijdstip t, voor t = 1, 2, 3, …, 30. Voor iedere waarde van t geldt: St = St −1 − 15 000 Voor het bedrag aan aflossing en rente dat op tijdstip t betaald moet worden geldt: At = 15 000 + 0, 08 ⋅ St ⇒ At = 15 000 + 0, 08 ⋅ (St −1 − 15 000) ⇒ At = 15 000 − 0, 08 ⋅ St −1 − 1200 ⇒ At = At −1 − 1200 ⇒ At − At −1 = −1200 ⇒ At + 1 − At = −1200
a = 1
r = −1200
Algemene oplossing: At = C + r ⋅ t ⇒ At = C − 1200t A1 = 15 000 + 0, 08 ⋅ 450 000 = 15 000 + 36 000 = 51000
⇒
C − 1200 = 51000 ⇒ C = 52 200 Hieruit volgt: At = 52 200 − 1200t b
De jaarlijkse rentebedragen vormen een rekenkundige rij met: a = 0, 08 ⋅ 450 000 = 36 000; v = 0, 08 ⋅ −15 000 = −1200 en n = 30. Het totaalbedrag aan rente: 30 ⋅ 36 000 +
c
1 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ −1200 = 1080 000 − 522 000 = 558 000 2
Het totaalbedrag aan huur wordt gegeven door: 15 000 + 15 000 ⋅ (1, 02) + 15 000 ⋅ (1, 02)2 + " + 15 000 ⋅ (1, 02)29 Som van een meetkundige rij met a = 15 000; r = 1, 02 en n = 30. Totaalbedrag = 15 000 ⋅
1 − (1, 02)30 = 750 000 (1, 02)30 − 1 1 − 1, 02
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
(
) ≈ 608 521 6
Toetsopdracht 4.11 a
4 xn + 1 − 3xn = 60 ⇒ xn + 1 −
3 xn = 15 4
a =
3 4
r = 15
Algemene oplossing van de gegeven differentievergelijking: xn
3 = C ⋅ 4
n
15 3 + ⇒ xn = C ⋅ − 1 (3 / 4) 4
n
+ 60
x0 = 84 ⇒ C + 60 = 84 ⇒ C = 24 Oplossing: xn
b
19
∑
n=0
xn =
3 = 24 ⋅ 4
24
19
∑
n=0
3 ⋅ 4
n
= (24 + 60) + 24 19
3 = ∑ 24 ⋅ 4 n=0 19
3
∑ 24 ⋅ 4
n
= 24 ⋅
n=0 19
∑ 60
n
+
n
+ 60
+ 60 3 ⋅ + 60 + 24 4
2 3 ⋅ + 60 + ⋅ ⋅ ⋅ + 24 4
19
3 ⋅ 4
+ 60
19
∑ 60
k =0
1 − (3 / 4)20 = 96 ⋅ 1 − (3 / 4)20 1 − (3 / 4)
(
) ≈ 95, 70
= 20 ⋅ 60 = 1200
k =0 19
∑ xn
≈ 95, 70 + 1200 = 1295, 70
n=0
Toetsopdracht 4.12 4 xn + 1 − 4 xn = 24 x0 = 8 a
4 xn + 1 − 4 xn = 24 ⇒ xn + 1 − xn = 6
a = 1
r = 6
Algemene oplossing: xn = C + 6 n x0 = 8 ⇒ C = 8 Oplossing: x n = 8 + 6n Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
7
b
49
∑ xn
=
n=4
49
∑
(8 + 6n)
n=4
Som van een rekenkundige rij met a = 8 + 6 ⋅ 4 = 32; v = 6. Het aantal termen is 46. som = 46 ⋅ 32 +
1 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 6 = 7682 2
Toetsopdracht 4.13 Stel Kt is de grootte van het kapitaal in jaar t. t = 0, 1, 2, 3, ... Nu geldt: Kt + 1 = Kt + 0, 05 Kt + 50 ⇒ Kt + 1 = 1, 05 Kt + 50 ⇒ Kt + 1 − 1, 05 Kt = 50 a = 1, 05
r = 50
Algemene oplossing: t
Kt = C ⋅ ( 1, 05 ) +
50 t ⇒ Kt = C ⋅ ( 1, 05 ) − 1000 1 − 1, 05
K0 = 2000 ⇒ C − 1000 = 2000 ⇒ C = 3000 t
Oplossing: Kt = 3000 ⋅ ( 1, 05 ) − 1000 Toetsopdracht 4.14 qtv = 90 − 1, 8 pt a
qta = −12 + 1, 2pt − 1
Beschouw eerst de prijs als functie van de gevraagde hoeveelheid en beschouw de prijs als functie van de aangeboden hoeveelheid. Er geldt: qv = 90 − 1, 8 p ⇒ 1, 8 p = 90 − qv ⇒ p = 50 −
5 v q 9
Grafiek is een rechte lijn met bijvoorbeeld: qv = 0 ⇒ p = 50 en qv = 45 ⇒ p = 25 q a = −12 + 1,2 p ⇒ −1,2 p = −q a − 12 ⇒ p =
5 a q + 10 6
Grafiek is een rechte lijn met bijvoorbeeld: q a = 0 ⇒ p = 10 en q a = 30 ⇒ p = 35 p0 = 43
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
8
60
p
50 40
aanbod 0 2
3 1
30 20 10
vraag
0 q
48 b
72
qtv = qta ⇒ 90 − 1, 8 pt = −12 + 1, 2 pt − 1 ⇒ −1, 8 pt = 1,2 pt − 1 − 102 ⇒ 2 170 2 170 2 170 pt − 1 + ⇒ pt + 1 = − pt + ⇒ pt + 1 + pt = 3 3 3 3 3 3 2 170 a = − r = 3 3 pt = −
Algemene oplossing: t
t
170 / 3 2 2 pt = C ⋅ − + ⇒ pt = C ⋅ − + 34 + 3 1 (2 / 3) 3 p0 = 43 ⇒ C + 34 = 43 ⇒ C = 9 t
2 Oplossing: pt = 9 ⋅ − + 34 3 c
lim pt = 34 ⇒ q = 90 −
t →∞
9 ⋅ 34 = 28, 8 5
Toetsopdracht 4.15 a
Stel: qtv = gevraagde hoeveelheid in periode t qta = aangeboden hoeveelheid in periode t pt = prijs in periode t
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
9
Nu geldt: v qt qa t qtv p0 b
= 90 −
3 pt 2
3 pt − 1 − 12 2 = qta =
= 45
qv = 90 −
3 3 2 p ⇒ p = 90 − qv ⇒ p = 60 − qv 2 2 3
Grafiek is een rechte lijn met bijvoorbeeld qv = 0 ⇒ p = 60 en qv = 30 ⇒ p = 40 qa =
3 3 2 p − 12 ⇒ − p = −q a − 12 ⇒ p = q a + 8 2 2 3
Grafiek is een rechte lijn met bijvoorbeeld q a = 0 ⇒ p = 8 en q a = 30 ⇒ p = 28 70
p
60 0 = 2 = 4
50 40 30
1 = 3 = 5
20 10 0
c
69
qtv = qta ⇒ 90 −
q
3 3 3 3 pt = pt − 1 − 12 ⇒ − pt − pt − 1 = −102 ⇒ 2 2 2 2
pt + pt − 1 = 68 ⇒ pt + 1 + pt = 68 a = −1
r = 68
Algemene oplossing: t
pt = C ⋅ ( −1 ) +
68 t ⇒ pt = C ⋅ ( −1 ) + 34 1 − (−1)
p0 = 45 ⇒ C + 34 = 45 ⇒ C = 11 t
Oplossing: pt = 11 ⋅ ( −1 ) + 34
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
10
d
lim pt bestaat niet.
t →∞
Voor opeenvolgende waarde van t neemt pt achtereenvolgens de waarden 45 en 23 aan. Er is dus geen evenwichtswaarde. Toetsopdracht 4.16 a
Stel It is het geïnvesteerde bedrag in jaar t. Nu geldt: It − It − 1 = 0, 05It − 1 + 100 000 ⇒ It − 1, 05It − 1 = 100 000 ⇒ It + 1 − 1, 05It = 100 000 I0 = 100 000
b
a = 1, 05
t = 0, 1, 2, 3, ...
r = 100 000
Algemene oplossing: t
It = C ⋅ ( 1, 05 ) +
100 000 t ⇒ It = C ⋅ ( 1, 05 ) − 2 000 000 1 − 1, 05
I0 = 100 000 ⇒ C − 2 000 000 = 100 000 ⇒ C = 2100 000 t
Oplossing: It = 2100 000 ( 1, 05 ) − 2 000 000 c
9
∑ It
=
t =0
∑ ( 2100 000 ( 1, 05 ) 9
t
− 2 000 000
t =0
=
9
∑ 2100 000 ( 1, 05 )
t
t =0 9
t
−
9
∑ 2 000 000
t =0
∑ 2100 000 ( 1, 05 ) = 2100 000
t =0 9
∑ 2 000 000
)
1 − ( 1, 05 )
10
1 − 1, 05
≈ 26 413574
= 10 ⋅ 2 000 000 = 20 000 000
t =0 9
∑ It
≈ 26 413574 − 20 000 000 = 6 413574
t =0
Toetsopdracht 4.17 a
Stel qtv is de gevraagde hoeveelheid in periode t. Stel qta is de aangeboden hoeveelheid in periode t. Stel pt is de prijs van het product in periode t. t = 0, 1, 2, ...
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
11
Model: qtv a qt v qt v q0 b
= 100 − 2 pt
[1]
= pt − 1 − 20
[2]
= qta
[3]
= 50
Vraagfunctie:
q = 100 − 2 p ⇒ 2 p = 100 − q ⇒ p = 50 −
1 q 2
Grafiek is een rechte lijn door de punten (0,50) en (40,30). Aanbodfunctie:
q = p − 20 ⇒ p = q + 20
Grafiek is een rechte lijn door de punten (0,20) en (40,60). 60
p t=1
50
t=3
40
t=4
t=2
30 t=0
20 10 0
c
0
10
20
30
40
q 50
Substitutie van [1] en [2] in [3] geeft: 100 − 2 pt = pt − 1 − 20 ⇒ −2 pt − pt − 1 = −120 ⇒ pt +
1 1 pt − 1 = 60 ⇒ pt + 1 + pt = 60 2 2
a = −
1 2
r = 60
Algemene oplossing: t
t
60 1 1 pt = C − + ⇒ pt = C − + 40 1 + 1/2 2 2 q0v = 100 − 2 p0 ⇒ 50 = 100 − 2 p0 ⇒ 2 p0 = 50 ⇒ p0 = 25 ⇒ C + 40 = 25 ⇒ C = −15 Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
12
Oplossing: t
1 pt = −15 − + 40 2 d
lim p(t ) = 40
t →∞
Hieruit volgt dat het model stabiel is. Evenwichtssituatie: p = 40 ⇒ q = p − 20 = 40 − 20 = 20
Toetsopdracht 4.18 a
Stel:
Ct
= het nationaal inkomen in jaar t = de consumptie-uitgaven in jaar t
It
= de investeringsuitgaven in jaar t
Yt
Nu geldt: Yt Ct It Y0 b
= Ct + It = 0, 8 Yt − 1 + 500 = 0, 3 Yt − 1 + 250 = 5000
Substitutie van de tweede en de derde vergelijking in de eerste vergelijking geeft: Yt = 0, 8 Yt − 1 + 500 + 0, 3 Yt − 1 + 250 ⇒ Yt = 1,1 Yt − 1 + 750 ⇒ Yt − 1,1 Yt − 1 = 750 ⇒ Yt + 1 − 1,1 Yt = 750 a = 1,1
r = 750
Algemene oplossing: t
Yt = C ⋅ ( 1,1 ) +
750 t ⇒ Yt = C ⋅ ( 1,1 ) − 7500 1 − 1,1
Y0 = 5000 ⇒ C − 7500 = 5000 ⇒ C = 12 500 t
Yt = 12 500 ( 1,1 ) − 7500
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
13
c
Ct = 0, 8 ⋅ Yt − 1 + 500 ⇒
(
Ct = 0, 8 12 500 ( 1,1 )
t −1
)
− 7500 + 500
= 10 000 ( 1,1 )
− 6000 + 500
= 10 000 ( 1,1 )
− 5500
t −1 t −1
It = 0, 3 Yt − 1 + 250 ⇒
(
It = 0, 3 12 500 ( 1,1 )
t −1
= 3750 ( 1,1 )
− 2250 + 250
= 3750 ( 1,1 )
− 2000
t −1 t −1
d
)
− 7500 + 250
lim Yt = lim Ct = lim It = ∞
t →∞
t →∞
t →∞
Toetsopdracht 4.19 a
Kt = Kt − 1 + 0, 04 ⋅ Kt − 1 + 5000 ⇒ Kt = 1, 04 Kt − 1 + 5000 ⇒ Kt − 1, 04 Kt − 1 = 5000
b
Kt + 1 − 1, 04 Kt = 5000 a = 1, 04
r = 5000
Algemene oplossing: t
Kt = C ⋅ ( 1, 04 ) +
5000 t ⇒ Kt = C ⋅ ( 1, 04 ) − 125 000 − 1 1, 04
K0 = 5000 ⇒ C − 125 000 = 5000 ⇒ C = 130 000 t
Kt = 130 000 ( 1, 04 ) − 125 000 K9 = 130 000 ( 1, 04 ) − 125 000 ≈ 60 030,54 9
c
Neem het tijdstip van de 30e verjaardag als tijdstip t = 0. Nu geldt: Kt + 1 − 1, 04 Kt = 0, met K0 = 60 030,54 t
Oplossing: Kt = 60 030,54 ( 1, 04 )
K35 = 60 030,54 ( 1, 04 )
35
≈ 236 885, 85
Wiskunde met Excel 2 – Uitwerkingen hoofdstuk 4 © 2004 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
14
