Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D.
May 13, 2016
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
1 / 17
Pendahuluan
Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Yˆi = βˆ1 + βˆ2 Xi = 2.3121 + 0.5231Xi
(1)
Estimasi βˆ2 = 0.5231 pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi βˆ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
2 / 17
Pengertian Confidence Interval
Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr(βˆ2 − δ ≤ β2 ≤ βˆ2 + δ) = 1 − α
(2)
Pr(βˆ2 − δ ≤ β2 ≤ βˆ2 + δ) → Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β2 . PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β2 berada di antara (βˆ2 − δ) dan (βˆ2 + δ)! α → level of significance Bagaimana cara menghitung δ ? → Kita perlu menghitung t terlebih dahulu.
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
3 / 17
Pengertian Confidence Interval
Contoh Confidence Interval Contoh Level of significance α = 0.05 (5%) Confidence interval: 1 − α = 0.95 (95%) Pr(−2.3 ≤ β2 ≤ 5.1) Probabilitas yang dinyatakan dengan confidence interval bukanlah probabilitas β2 berada pada interval tersebut. Jadi jika anda membayangkan grafik di kiri ini, maka anda keliru. Grafik ini merupakan gambaran yang keliru tentang arti dari confidence interval. TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
4 / 17
Pengertian Confidence Interval
Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: (βˆ2 − δ) ≤ β2 ≤ (βˆ2 + δ), atau βˆ2 ± δ
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
5 / 17
Menghitung t
Cara Menghitung Z Definisi Z Z=
Estimator − Parameter Standard Error of Estimator
Z = =
TJ (SU)
βˆ2 − β2 se(βˆ2 ) (βˆ2 − β2 )
pP
¯ 2 (Xi − X)
(3)
σ
Interval Estimation
May 2015
6 / 17
Menghitung t
Pengertian Z Ingat: Yi = β1 + β2 Xi + ui . Di sini, ui terdistribusi secara normal. Akibatnya, βˆ1 , βˆ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ ± σ adalah sekitar 68%. Luasan µ ± 2σ adalah sekitar 95% Luasan µ ± 3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator σ ˆ 2 . Karena itu Z digantikan oleh t.
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
7 / 17
Menghitung t
Cara Menghitung t Definisi t t=
Estimator − Parameter Estimated Standard Error of Estimator
t = =
βˆ2 − β2 estimated se(βˆ2 ) pP ¯ 2 (Xi − X) (βˆ2 − β2 )
(4)
σ ˆ
variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n − 2.
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
8 / 17
Menghitung t
Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z → t σ → σ ˆ
TJ (SU)
Interval Estimation
(5)
May 2015
9 / 17
Menyusun Confidence Interval
Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr(−tα/2 ≤ t ≤ tα/2 ) = 1 − α
(6)
t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan tα/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n − 2. ±tα/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2.
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
10 / 17
Menyusun Confidence Interval
Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t
"
Pr −tα/2
βˆ2 − β2 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ2 )
#
= 1−α
i h Pr βˆ2 − tα/2 se(βˆ2 ) ≤ β2 ≤ βˆ2 + tα/2 se(βˆ2 ) = 1 − α
(7)
Pers. (7) merupakan 100(1 − α) percent confidence interval untuk β2 , yang dapat dituliskan: βˆ2 ± tα/2 se(βˆ2 ) (8)
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
11 / 17
Menyusun Confidence Interval
Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β1
"
Pr −tα/2
βˆ1 − β1 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ1 )
#
= 1−α
i h Pr βˆ1 − tα/2 se(βˆ1 ) ≤ β2 ≤ βˆ1 + tα/2 se(βˆ1 ) = 1 − α
(9)
Pers. (9) merupakan 100(1 − α) percent confidence interval untuk β1 , yang dapat dituliskan: βˆ1 ± tα/2 se(βˆ1 ) (10)
TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
12 / 17
Contoh
CONTOH
Table 1:
X 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 TJ (SU)
Y 70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y . Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping.
Interval Estimation
May 2015
13 / 17
Contoh
Daftar Rumus se(βˆ2 ) = pP
se(βˆ1 ) =
"s
σ ˆ=
s
σ ˆ
r=
¯ 2 (X − X) # P 2 X P ˆ ¯ 2 σ n (X − X)
P
P
¯ (X − X)(Y − Y¯ ) (n − 1)sx sy sy βˆ2 = r sx
¯ βˆ1 = Y¯ − βˆ2 X
(Y − Yˆ )2 n−2
"
Pr −tα/2
βˆ2 − β2 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ2 )
#
= 1−α
i h Pr βˆ2 − tα/2 se(βˆ2 ) ≤ β2 ≤ βˆ2 + tα/2 se(βˆ2 ) = 1 − α TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
14 / 17
Contoh
y
Contoh
160 140 120 100 80 60 40 20 0 0
50
100
150 x
200
250
300
Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β2 < 1. βˆ2 = 0.5091
Yˆ = 24.4545 + 0.5091X TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
15 / 17
Contoh
Contoh βˆ2 = 0.5091 βˆ1 = 24.4545 se(βˆ2 )= 0.0357 se(βˆ1 )= 6.4138 r = 0.9808, r2 = 0.9621 tcritical = 2.3059 tcritical × se(βˆ2 )=2.3059 × 0.0357 = 0.0824 tcritical × se(βˆ1 )=2.3059 × 6.4138 = 14.7903 βˆ2 ± tα/2 se(βˆ2 ) = 0.5091 ± 0.0824 0.4267 ≤ β2 ≤ 0.5915 βˆ1 ± tα/2 se(βˆ1 ) = 24.4545 ± 14.7903 9.6642 ≤ β1 ≤ 39.2448 TJ (SU)
Interval Estimation
May 2015
16 / 17
TUGAS Dikumpulkan Jum’at 27 Mei 2016 (sesudah UTS). 1
Download data INPUT1.xls dari http://blog.complexminds.net. (a) Buat analisa regresi (gunakan excel!) lengkap dan buat plotnya. (b) Susun 95% confidence interval.
2
(Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X 7.00 17.00 23.00 34.00 44.00 55.00 70.00 79.00 89.00 98.00
Y 49.6889 109.4747 73.4039 182.4335 191.9322 210.9488 257.3999 261.5319 281.8802 376.9975
