17

NAMA

:

NPM

:

KELAS

:

KP

:

TUTOR

:

ASBAR

:

LAB. MANAJEMEN DASAR

vii

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

KATA PENGANTAR

KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah, kami panjatkan puji dan syukur ata kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah kepada kami. Sehingga kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika 1 PTA 2016/2017. Adapun modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Modul ini kami buat dengan usaha semaksimal mungkin agar mendapatkan hasil yang terbaik. Namun tak lepas dari semua itu, kami menyadari bahwa modul ini jauh dari sempurna baik dari segi penyusunannya, bahasa, atau dari segi lainnya. Oleh karena itu dengan sikap terbuka dan lapang dada, kami bersedia membuka pendapat bagi pembaca yang ingin memberi kritik dan saran bagi makalah kami. Sehingga kami dapat memperbaiki kesalahan yang terjadi.Dan tentunya kami berharap agar modul praktikum ini dapat dipergunakan dengan sebaik-baiknya dan dapat bermanfaat bagi pembaca. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada Tim Litbang PTA 2016/2017 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penyusunan modul praktikum ini.

Bekasi, 26 Agustus 2016


ii

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

TIM LITBANG

TIM LITBANG STATISTIKA 1 PTA 2016/2017

Staff Laboratorium Manajemen Dasar

Penanggung Jawab Vinnike Hermawanty

Ukuran Statistik

Distribusi Binomial

Distribusi Poisson

Distribusi Binomial

1. Marini Hartina 2. Lukhlu Rafika 3. Ulfah Giti Nuladani 4. Yusi Nur Awalia

1. Maharani Kinanti Djuanita 2. Devie Destiarini 3. Fredy Haryo Saputro 4. Puti Melati Khalishah

1. Della Novria Zuari 2. Aulia Safitri 3. Bayu Kurniawan 4. Syintia Bahraini

1. Timotius Lorenzs 2. Erlita Bebby Aprilianti 3. Maya Utama NF 4. Sifa Fauziah

Programmer: Muhammad Mujahid Riyanto

Programmer: Dida Adams Arizona

Programmer: Dida Adams Arizona

Programmer: Muhammad Mujahid Riyanto


iii

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ________________________________________________ ii TIM LITBANG STATISTIKA 1 ________________________________________ iii DAFTAR ISI ________________________________________________________ iv DAFTAR RUMUS ___________________________________________________ vi DAFTAR GAMBAR ________________________________________________ vii MATERI 1 _________________________________________________________ 1 UKURAN STATISTIK _______________________________________________ 1 1.

Pendahuluan ___________________________________________________ 1

2.

Ukuran Pemusatan ______________________________________________ 2

3.

Ukuran Penyebaran _____________________________________________ 9

4.

Contoh Soal __________________________________________________ 11

MATERI 2 ________________________________________________________ 21 DISTRIBUSI BINOMIAL ____________________________________________ 21 1.

Konsep Dasar _________________________________________________ 21

2.

Ciri-ciri Distribusi Binomial _____________________________________ 22

3.

Menentukan Kombinasi _________________________________________ 23

4.

Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial _______________ 24

5.

Contoh Soal __________________________________________________ 24

MATERI 3 ________________________________________________________ 41 DISTRIBUSI POISSON ______________________________________________ 41 1.

Konsep Dasar Distribusi Poisson __________________________________ 41


iv

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR ISI

2.

Ciri-Ciri Distribusi Poisson ______________________________________ 41

3.

Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial ________________________ 42

4.

Probabilitas Proses Poisson ______________________________________ 42

5.

Contoh Soal __________________________________________________ 43

MATERI 4 ________________________________________________________ 52 DISTRIBUSI NORMAL _____________________________________________ 52 1.

Pengertian Probabilitas__________________________________________ 52

2.

Definisi dan Konsep Dasar ______________________________________ 52

3.

Menemukan Nilai Z tabel _______________________________________ 54

4.

Kurva Normal_________________________________________________ 56

DAFTAR PUSTAKA


71

v

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR RUMUS

DAFTAR RUMUS 1.1.

Rumus Rata-Rata Hitung

2

1.2.

Rumus Letak Median 1

3

1.3.

Rumus Letak Median 2

3

1.4.

Rumus Letak Kuartil

4

1.5.

Rumus Jangkauan ( Range )

9

1.6.

Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Sampel

9

1.7.

Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Populasi

9

1.8.

Rumus Standar Deviasi Untuk Sampel

10

1.9.

Rumus Standar Deviasi Untuk Populasi

10

2.1

Rumus Kombinasi

23

2.2

Rumus Distribusi Binomial

24

3.1

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

42

3.2

Rumus Proses Poisson

43

4.1

Rumus Distribusi Normal

53


vi

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR GAMBAR 1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander

6

1.2 Gambar New Data Set

7

1.3 Gambar New Data Editor

7

1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set)

8

1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander

12

1.6 Gambar New Data Set Contoh Soal 2

13

1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2

13

1.8 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 2

14

1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 2

15


17


18

1.12 Gambar Data Editor Contoh Soal 3

18


19

1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 3

20


26

2.2 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 1

27

2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1

27


30

2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2

31

2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal

31

2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3

34


35


37


38


38

3.1 Gambar Tampilan Software Rcommander

45


vii

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR GAMBAR

3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2

46

3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)

47

3.4 Gambar Poisson Probabilities

47

3.5 Gambar Output Poisson Probabilities

48

3.6 Gambar Tampilan Software Rcommander

49

3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites

50


50

3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3

51


59

4.2 Gambar Tampilan Software Normal Properties

60

4.3 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal

61


61


63

4.6 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities

64

4.7 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal 2

65


65


67


68

4.11 Gambar Tabel Z

69


viii

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

MATERI 1 UKURAN STATISTIK

1.

Pendahuluan Banyak orang yang masih terkecoh dengan pengertian statistika dengan statistik.

Memang terlihat sama, namun memiliki pengertian yang berbeda. Berikut ini akan dijelaskan mengenai pengertian keduanya. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan data, penarikan kesimpulan, dan pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta yang ada. Sedangkan untuk statistik adalah suatu kesimpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam bentuk daftar atau tabel yang menggambarkan suatu persoalan. Statistika terdiri dari dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif adalah statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik ataupun diagram. Statistika inferensial adalah statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah. Dalam statistika terdapat dua istilah penting, yaitu populasi dan sampel. Populasi adalah keseluruhan data yang diamati oleh penguji atau dapat dikatakan populasi adalah keseluruhan objek penelitian yang dapat terdiri dari manusia, benda, hewan, tumbuhan, gejala, nilai, atau peristiwa sebagai suatu sumber data yang mewakili karakteristik tertentu dalam suatu penelitian. Sampel adalah bagian dari populasi yang diteliti oleh penguji yang diharapkan bahwa hasil yang diperoleh akan memberikan gambaran yang sesuai dengan sifat populasi yang bersangkutan. Dalam bab ini akan dibahas mengenai dua hal, yakni ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yang akan dibahas pada bagian berikutnya.


1

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

2.

UKURAN STATISTIK

Ukuran Pemusatan Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan

gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. Ukuran pemusatan memiliki beberapa macam ukuran yang akan dibahas pada bab ini, yakni Mean ( rata-rata hitung ), median, modus, dan kuartil.

A. Mean (rata-rata hitung) Rata-rata hitung merupakan ukuran pemusatan yang paling sering digunakan oleh peneliti untuk menghitung rata-rata dari data karena perhitungannya yang mudah dipahami. Perhitungan rata-rata dapat digunakan untuk data tunggal dan data berkelompok. Untuk data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Dan untuk data berkelompok dapat dihitung dengan cara menjumlahkan hasil perkalian antara nilai dengan frekuensinya lalu membaginya dengan jumlah frekuensi yang ada.

1.1 Rumus Rata-rata Hitung sampel

X = ∑Xi n

Populasi

µ = ∑Xi N

Data Berkelompok

X = ∑Xi . fi ∑fi

Dimana : X

= Rata-rata hitung Sampel

µ

= Rata-rata hitung Populasi

Xi

= Nilai dari observasi ke-i

n atau N = Banyaknya observasi ukuran sampel/populasi fi

= Frekuensi dari observasi ke-i


2

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

B. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan dari data terkecil hingga data terbesar. Cara mudah untuk mendapatkan nilai tengah dari suatu data yang belum dikelompokkan adalah dengan menentukan satu titik angka yang berada ditengah. Akan tetapi, untuk menentukan letak median dapat dibedakan dengan melihat jumlah data. Untuk data sederhana yang berjumlah ganjil, maka data yang berada diposisi tengah merupakan nilai median. Sedangkan untuk data berjumlah genap, maka median diambil dengan rata-rata hitung dua data yang ada ditengah. Median dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus dibawah ini.

1.2 Rumus Letak Median Untuk Data Ganjil

Me = n + 1 2 1.3 Rumus Letak Median Untuk Data Genap

Me = n + n + 1 2 2 2 2 Dimana : Me

= Letak Median

n

= Jumlah data


3

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

C. Modus Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. Modus memiliki beberapa jenis dan tergantung pada ada tidaknya modus pada data. 1. Jika tidak terdapat modus atau data dengan jumlah terbanyak, maka disebut Amodus. Biasanya terdapat pada data yang memiliki frekuensi sama disetiap datanya. 2. Jika terdapat satu modus, maka disebut modus atau monomodus. 3. Jika terdapat dua modus, maka disebut bimodus. 4. Jika terdapat lebih dari dua modus, maka disebut multi-modus.

D. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data tersebut sudah diurutkan dari nilai terendah hingga nilai tertinggi. 25%

25% Q1

25% Q2

25% Q3

1.4 Rumus Letak Kuartil

Letak Kuartil = i ( n + 1 ) 4 Dimana : i

= 1, 2, 3

Q1 = Kuartil Bawah Q2 = Kuartil Tengah Q3 = Kuartil Atas


4

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

n

UKURAN STATISTIK

= jumlah data

Contoh soal 1. Sebuah dealer motor memiliki data penjualan per bulan. Berikut ini adalah data penjualan untuk 11 bulan terakhir, yaitu 10, 50, 65, 70, 77, 51, 66, 55, 60, 50, 57. Carilah rata-rata penjualannya, median, modus dan berapakah kuartil Q1, Q2, Q3! Dan analisislah ! Dik

: 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77

Dit

: Mean, Median, Modus, Q1, Q2, Q3

Jawab :

1. x = ∑Xi n = 10 + 50 +50 + 51 + 55 + 57 + 60 + 65 + 66 + 70 + 77 11 = 55,55

2. Me = n + 1 = 11 + 1 = 6 , data ke-6 = 57 2

2

3. Modus = 50 4. Letak kuartil 1 = i ( n + 1 ) = 1 ( 11 + 1 ) = 3. Data ke 3 = 50 4

4

5. Letak kuartil 2 = i ( n + 1 ) = 2 ( 11 + 1 ) = 6. Data ke 6 = 57 4

4

6. Letak kuartil 3 = i ( n + 1 ) = 3 ( 11 + 1 ) = 9. Data ke 9 = 66 4

4

Analisis: Jadi, rata-rata penjualan per bulan dealer motor sebesar 55,55 dengan median sebesar 57, modus sebesar 50 serta Q1= 50 ; Q2= 57 ; Q3 = 66.


5

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander

2. menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.


6

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

1.2 Gambar New Data Set

3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.3 Gambar Data Editor


7

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set. 1.4 Gambar Hasil Software R-Commander


8

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

3.

UKURAN STATISTIK

Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar

nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Ukuran penyebaran yang akan dibahas pada bab ini adalah Jangakauan ( range ), ragam ( variance ), dan standar deviasi.

A. Jangkauan (Range) Range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana dan paling mudah untuk menentukan nilainya. Range didefinisikan sebagai selisih antara nilai maksimum dan minimum yang terdapat dalam data.

1.5 Rumus Jangkauan (Range)

R = Xmax – Xmin Dimana : R

= Range ( jangkauan )

Xmax = Nilai Tertinggi Dari Suatu Data Xmin

= Nilai Terendah Dari Suatu Data

B. Ragam (Variance) Ragam mengukur variasi data terhadap rataan hitungnya. Dirumuskan sebagai rata-rata dari jumlah kuadrat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitung data. 1.6 Rumus Ragam Untuk Sampel

1.7 Rumus Ragam untuk Populasi

S2 = ∑(Xi – X)2 n–1


σ2 = ∑(Xi – µ)2 N

9

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

Dimana : S2

= Varians ( Sampel )

σ2

= Varians ( Populasi )

Xi

= Nilai Observasi Sampai Dengan Ke-i Pada Sampel

n

= Jumlah Data Pada Sampel

N

= Jumlah Data Pada Populasi

X

= Rata-Rata Pada Sampel

µ

= Rata-Rata Pada Populasi

C. Standar Deviasi Standar Deviasi atau biasa disebut simpangan baku merupakan ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan. Standar deviasi menunjukkan tingkat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitungnya, yang secara matematis merupakan akar kuadrat dari ragam. Semakin besar penyimpangan data terhadap pusatnya, semakin besar pula nilai dari standar deviasi.

1.8 Rumus Standar Deviasi Sampel

1.9 Rumus Standar Deviasi Populasi

S = √ S2

σ = √ σ2

Dimana : S

= Standar Deviasi Pada Sampel

S2 = Varians Pada Sampel σ

= Standar Deviasi Pada Populasi

σ2 = Varians Pada Populasi


10

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

Dari penjelasan diatas mengenai ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran dapat dibedakan bahwa ukuran pemusatan merupakan ukuran statistik yang menyatakan bahwa satu nilai tunggal dapat mewakili keseluruhan distribusi nilai yang sedang diteliti. Sedangkan ukuran penyebaran merupakan ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai pusatnya atau biasa juga disebut sebagai ukuran penyimpangan ( measurement of dispertion ).

4.

Contoh Soal 2. ( Dengan Kasus yang sama dengan ukuran pemusatan ) Sebuah dealer motor memiliki data penjualan untuk 11 bulan terakhir, yaitu 10, 50, 65, 70, 77, 51, 66, 55, 60, 50, 57. Tentukanlah Range, Varians, dan Standar Deviasinya! Dik

: 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77

Dit

: R, s2, s ?

Jawab :

1. Range = Xmax – Xmin = 77 – 10 = 67 2. S2 = ∑(Xi – X)2 n–1 = ( 10 – 55,55 )2 + ( 50 – 55,55 )2 + ( 50 – 55,55 )2 + ( 51 – 55,55) + ( 55 – 55,55 )2 + ( 57 – 55,55 )2 + ( 60 – 55,55 )2 + ( 65 -55,55)2 + ( 66 – 55,55 )2 + ( 70 – 55,55 )2 + ( 77 – 55,55 )2 / ( 11- 1) = 304,67

3. S = √ S2 = √ 304,67 = 17,45 Analisis : Jadi, dari data penjualan per bulan dealer motor tersebut diperoleh jangkauan sebesar 67, varians sebesar 304,67 , dan standar deviasi sebesar 17,45.


11

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander

2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.


12

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK


3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2

4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set.


13

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK


5. lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise, maka akan muncul tampilan berikut.


14

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 2

Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai range 67 (max-min), standar deviasi 17,45 (sd).


15

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

3. Tentukan mean, modus, dan jangkauan dari data pada tabel dibawah ini ! Skor ( x )

100

550

650

700

Frekuensi

5

6

7

1

Dik

Dit

: x1 = 100

f1 = 5

X2 = 550

f2 = 6

X3 = 650

f3 = 7

X4 = 700

f4 = 1

: x , modus, median, dan jangkauan

Jawab : X= ∑Xi . fi ∑fi = ( 100 x 5 ) + ( 550 x 6 ) + ( 650 x 7 ) + ( 700 x 1 ) 19 = 9050 19 = 476,32

Modus = 650 Median = n + 1 = 19 + 1 = 10 , data ke-10 = 550 2

2

Jangkauan = Xmax – Xmin = 700 – 100 = 600

Analisis : Jadi, dari data tersebut diperoleh mean = 476,32 ; modus = 650; median = 550; dan jangkauan = 600.


16

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.10

Gambar Tampilan Software R-Commander

2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.


17

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

1.11

Gambar New Data Set Contoh Soal 3

3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.12


Gambar Data Editor Contoh Soal 3

18

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set.

1.13

Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 3


19

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

UKURAN STATISTIK

5. Lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise, maka akan muncul tampilan berikut.

1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 3

Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai mean 476,32 (pembulatan), Median 550, dan jangkauan 600 (max-min)


20

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

MATERI 2 DISTRIBUSI BINOMIAL 1. Konsep Dasar Distribusi Binomial merupakan distribusi probabilitas dengan data diskrit yang biasa diterapkan pada beberapa peristiwa. Distribusi ini ditemukan oleh Jacob Bernoulli, sehingga, Distribusi Binomial sering disebut juga Distribusi Bernoulli. Biasanya distribusi ini digunakan pada beberapa eksperimen dengan tujuan tertentu. Setiap eksperimen akan menghadapi 2 hasil, yaitu (a) tujuan tercapai atau (b) tujuan tidak tercapai. Dalam hal ini kita berhadapan dengan 2 sisi kemungkinan. Misalnya, kita mengajar dengan menggunakan metode A dengan tujuan siswa akan memiliki pengetahuan lebih baik dari pada biasanya (menggunakan metode konvensional). Hasil percobaan metode A mengandung 2 kemungkinan: a. Kemungkinan pertama : tujuan tercapai (siswa yang diajar dengan metode A memiliki pengetahuan lebih baik dari pada menggunakan metode konvensional) b. Kemungkinan kedua : tujuan tidak tercapai (siswa yang diajar dengan metode A tidak memiliki pengetahuan lebih baik dari pada sebelumnya / menggunakan metode konvensional) Jadi, setiap eksperimen mengandung 2 kemungkinan: “berhasil” (p) atau “gagal” (q).

Distribusi Binomial memiliki syarat dalam penggunaannya, yaitu - Besar sampel (n) < 20 (kurang dari 20) - Nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0,05


21

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

Perlu kita ingat, popolasi merupakan kumpulan dari seluruh objek/ elemen yang di teliti, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi.

2. Ciri-ciri Distribusi Binomial Pada umumnya, distribusi binomial memiliki cirri-ciri sebagai berikut 1.

Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap

2.

Setiap eksperimen dikategorikan menjadi “berhasil” dan “gagal”. Dalam aplikasinya harus jelas apa yang dimaksud sukses tersebut - Lulus (sukses)

, tidak lulus (gagal)

- Senang (sukses)

, tidak senang (gagal)

- Setuju (sukses)

, tidak setuju (gagal)

- Puas (sukses)

, tidak puas (gagal)

- Barang bagus (sukses)

, barang rusak (gagal)

Peluang sukses disimbolkan dengan p dan peluang gagal disimbolkan dengan q sehingga p + q= 1 Untuk lebih mudah membedakan, kejadian yang menjadi pertanyaan atauun ditanyakan

dari suatu permasaahan bisa dikategorikan

sebagai kejadian “sukses atau berhasil” 3.

Probabilitas suksesnya sama pada setiap eksperimen (percobaan)

4.

Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lain

Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan symbol yang tepat, misalnya -

Kurang dari ( < )

-

Lebih dari ( > )

-

Kurang dari sama dengan, paling banyak, sebanyak – banyaknya, maksimal (

-

)

Lebih dari sama dengan , paling sedikit, sekurang – kurangnya, minimal, sedikitnya (


)

22

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

3. Menentukan Kombinasi Probabilitas dalam distribusi binomial berkaitan dengan kombinasi, adapun rumus dari kombinasi adalah sebagai berikut : 2.1. Rumus Kombinasi. n Cx 

dimana:

n! (n  x)! x!

C = kombinasi n = banyaknya kejadian x = banyak kejadian yang ingin kita cari ! (dibaca faktorial) merupakan perhitungan kelipatan, misalnya: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 0! hasilnya adalah 1 1! hasilnya adalah 1

Contoh: Tuan Fredy seorang penjual daging segar mengatakan bahwa diantara seluruh daging yang dikemas rapi, ada yang rusak. Suatu hari ada seorang pembeli yang ingin membeli 3 buah daging lalu memilihnya secara acak. Berapa jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar? Jawab: n=3 x=2

n

Cx 

3 C2

=

3 C2

=

n! (n  x)! x!

=

=3

Dengan demikian, jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar adalah 3. Kalau kita mengurutkan beberapa kombinasi yang mungkin muncul dari contoh soal diatas, maka kombinasi tersebut adalah:


23

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

DS DS DS

DB DB DB

DS DS DB

DB DB DS

DS DB DS

DB DS DB

DS DB DB

DB DS DS

Kita juga bisa menggunakan kalkulator scientific untuk menyelesaikan contoh soal diatas, caranya adalah: Tekan 3

tekan nCr maka akan muncul huruf C pada layar

lalu tekan 2

lalu tekan =

4. Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial Untuk menghitung probabilitas distribusi binomial kita menggunakan (1) banyaknya percobaan, dan (2) probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan. Probabilitas binomial dihitung melalui rumus : 2.2. Rumus Distribusi Binomial.

P( X )  B( x; n, p) n Cx p x q n x dimana: C = kombinasi n = banyaknya kejadian p = probabilitas keberhasilan dalam sekali perlakuan (p = 1 – q) q = probabilitas kegagalan dalam sekali perlakuan (q = 1 – p) x = banyak kejadian yang ingin kita cari

5. Contoh Soal 1. Wan Gi adalah pemilik toko parfum, ia melakukan pengamatan minat dari pembelinya apakah aroma bunga atau aroma kayu-kayuan yang diminati. Hasilnya 66% pelanggan memilih aroma bunga, sisanya memilih aroma


24

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

kayu-kayuan. Apabila ditanyakan pada 15 pembeli, berapa probabilitas ada 6 pembeli yang menyukai aroma bunga?

Diketahui : p = 66%

= 0,66

q = 1-0,66

= 0,34

n = 15 x=6 Ditanya : P (X = 6) Jawab : Jumlah sampel 15, berarti anggotanya 1 sampai 15 Karena P(x=6), jadi nilai x nya hanya 6 B (x;n;p)

= nCx px qn-x

B (6;15;0,66)

= 15C6 (0,66)6 (0,34)15-6 = 5.005 (0,08265395) (0,00006071699) = 0,025117588 = 2,51 %

Analisis : Jadi, probabilitas ada 6 pembeli yang memilih aroma bunga adalah 2,51 %

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :  Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :


25

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial probabilities  Input angka sesuai dengan soal  Binomial trial = 15 (sebagai nilai n),  Probabilities of success = 0,66 (sebagai peluang berhasil)  Kemudian klik OK


26

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas probabilitas ada 6 pembeli yang memilih aroma bunga adalah 2,51% 2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1


27

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

Hasil output software diatas adalah 2,511759e-02 ( = 0,02511759 ) maksudnya adalah 2,5117591 x 10-02

2

Berdasarkan penelitian yang dilakukan pada 2EB41, diketahui 65% mahasiswa dikelas tersebut sudah pernah bekerja. Sedangkan sisanya belum pernah bekerja, apabila ditanyakan pada 16 mahasiswa di kelas tersebut, berapa sekurang-kurangnya ada 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja? Diketahui : p = 65%

= 0,65

q = 1- 0,65

= 0,35

n = 16 x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Ditanya : P (X ≥ 5) Jawab : Jumlah sampel 16, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Karena (x ≥ 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 {(x=5) + (x=6) + …..+ (x=16)}, atau (1-{(x=0) + (x=1) +…..+ (x=4)}) B (x;n;p)

= nCx px qn-x

B (0;16;0,65)

= 16C0 (0,65)0 (0,35)16-0 = 1 (1) (0,0000000507942775) = 0,0000000507942775

B (1;16;0,65)

= 16C1 (0,65)1 (0,35)16-1 = 16 (0,65) (0,0000001448840793) = 0,000001506794425

B (2;16;0,65)

= 16C2 (0,65)2 (0,35)16-2 = 120 (0,4225) (0,0000004139545122)


28

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

= 0,00002098749377 B (3;16;0,65)

= 16C3 (0,65)3 (0,35)16-3 = 560 (0,274625) (0,000001182727178) = 0,0001818916127

B (4;16;0,65)

= 16C4 (0,65)4 (0,35)16-4 = 1.820 (0,17850625) (0,000003379220508) = 0,001097845805

P (X ≥ 5)

= (1-{(x=0) + (x=1) +…..+ (x=4)}) = 1- (0,0000000507942775 + 0,000001506794425 + 0,00002098749377 + 0,0001818916127 + 0,001097845805) = 1- 0,0013022825 = 0,998677717 = 99,87%

Analisis : Jadi, nilai probabilitas sekurang-kurangnya 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja adalah 99,87%



29

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial tail probabilities  Input angka sesuai dengan soal  Variable value (s)* = 4, jika yang ditanyakan ≥ v, maka Variable value yang diinput pada software adalah v – 1  Binomial trial = 16 (sebagai nilai n)  Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)  Setelah itu pilih Upper tail, kemudian klik OK


30

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2

 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurangkurangnya 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja adalah 99,87% 2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2


31

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

CATATAN: Untuk penginputan Variabel Value pada software memiliki beberapa ketentuan, diantaranya:

3



Jika yang ditanyakan ≥ v, maka angka yang diinput adalah v – 1



Jika yang ditanyakan > v, maka angka yang diinput adalah v + 1



Jika yang ditanyakan ≤ v, maka angka yang diinput adalah v



Jika yang ditanyakan < v, maka angka yang diinput adalah v – 1

Dilakukan penelitian di kelas 2EA30 tentang mahasiswa untuk menggunakan laptop Acer atau Hp. Dari penelitian tersebut dihasilkan 76% mahasiswa lebih memilih menggunakan laptop Acer, sedangkan sisanya memilih menggunakan laptop Hp. Apabila ditanyakan kepada 16 orang mahsiswa. Berapakah probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer? Diketahui : p = 76%

= 0.76

q = 24%

= 0.24

n = 16 x = 1, 2, 3, 4, 5 Ditanya: P (1 ≤ x ≤ 5) Jawab: Jumlah sample sebanyak 16 orang, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Karena (1 ≤ x ≤ 5), jadi nilai x nya adalah 1 sampai 5 {(x = 1) + (x = 2) + ..... + (x = 5)} B (x;n;p)

= nCx px qn-x

B (1;16;0.76)

= 16C1 (0,76)1 (0,24)16-1 = 16 (0,76) (0,000000000504857283)


32

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

= 0,000000006139064561 B (2;16;0.76)

= 16C2 (0,76)2 (0,24)16-2 = 120 (0,5776) (0,000000002103572012) = 0,0000001458027833

B (3;16;0.76)

= 16C3 (0,76)3 (0,24)16-3 = 560 (0,438976) (0,000000008764883385) = 0,000002154641131

B (4;16;0.76)

= 16C4 (0,76)4 (0,24)16-4 = 1.820 (0,33362176) (0,00000003652034744) = 0,00002217484831

B (5;16;0.76)

= 16C5 (0,76)5 (0,24)16-5 = 4.368 (0,5625) (0,0000001521681143) = 0,0001685288471

P (1 ≤ x ≤ 5)

= {(x = 1) + (x = 2) + (x = 3) + (x = 4) + (x = 5)} = 0,000000006139064561 + 0,0000001458027833 + 0,000002154641131 + 0,00002217484831 + 0,0001685288471 = 0,0001930102784 = 0,019%

Analisis : Jadi, nilai probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 %

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :  Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan software, kemudian input peritah mencari probabilitas binomial pada script window sum(dbinom(x,n,p))


33

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

Untuk no. 3, tuliskan seperti ini: sum(dbinom(1:5,16,0.76))

2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3

 Block semua yang ada pada script window, lalu klik submit maka pada output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 %


34

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


4

Berdasarkan data yang diperoleh dari Kantor Maju Terus, diketahui 50% pegawainya lebih memilih naik mobil pribadi saat pergi ke kantor, sedangkan sisanya memilih naik angkutan umum. Apablia ditanyakan Kepada 5 orang pegawai, berapakah probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi ?

Diketahui : p = 50%

= 0,5

q = 1 – 0,5

= 0,5


35

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

n=5 x = 0 dan 1 Ditanya : P (x

1)

Jawab : Jumlah sampel 17, berarti anggotanya 0 sampai 17 Karena (x

1), jadi nilai x nya adalah 0 dan 1

{(x=0) + (x=1)} atau {1 – ((x=2) + (x=3) +....+ (x=17))} B(x;n;p) = nCx px qn-x B(0;5;0,5) = 5C0 (0,5)0 (0,5)5-0 = 1 (1) (0,03125) = 0,03125 B(1;5;0,5) = 5C1 (0,5)1 (0,5)5-1 = 5 (0,5) (0,0625) = 0,15625 P (x

1) = {(x=0) + (x=1)} = 0,03125 + 0,15625 = 0,1875 = 18,75%

Analisis : Jadi, nilai probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75%



36

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial probabilities  Input angka sesuai dengan soal  Variable value (s) = 1 jika yang ditanyakan

v, maka Variable value

yang diinput pada software adalah v  Binomial trial = 5 (sebagai nilai n)  Probabilities of success = 0,5 (sebagai peluang berhasil)  Setelah itu pilih Lower tail, kemudian klik OK


37

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI BINOMIAL


 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75%



38

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

MATERI 3 DISTRIBUSI POISSON

1. Konsep Dasar Distribusi Poisson Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon Denis Poisson. Distribusi ini merupakan suatu distribusi probabilitas yang menjelaskan berapa kali atau berapa kemungkinan sebuah kejadian terjadi selama interval tertentu. Interval tersebut dapat berupa waktu, jarak, luas, atau volume. Distribusi poisson masuk kedalam distribusi probabilitas diskret acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Distribusi poisson tidak hanya menjelaskan kejadian dalam proses Poisson saja, akan tetapi distribusi ini dapat juga digunakan sebagai penaksiran untuk distribusi binomial. Berikut adalah beberapa contoh percobaan yang membentuk Distribusi Poisson: 

Banyaknya barang yang rusak dalam satu kali proses produksi



Jumlah kendaraan yang terjual setiap tahun



Jumlah pasien per bulan yang datang ke puskesmas

2. Ciri-Ciri Distribusi Poisson Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut termasuk dalam kriteria Distribusi Poisson atau tidak. Adapun ciri-ciri tersebut adalah: 

Variabel acaknya adalah berapa kejadian yang terjadi selama interval waktu tertentu



Interval-interval nya saling bebas, tidak berpengaruh ke interval lain



Jumlah total percobaan n sangat besar, dan probabilitas sukses p sangat kecil


41

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

3. Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial Distribusi poisson juga merupakan suatu bentuk distriusi binomial yang terbatas ketika probabilitas sebuah kejadian sukses sangat kecil, dan nilai n sangat besar. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut:

3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

P(x ; µ) = Dimana:

e

= konstanta yang nilainya 2,71828

µ

= rata-rata keberhasilan (n.p)

x

= banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n

= banyaknya kejadian/banyaknya percobaan

4. Probabilitas Proses Poisson Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik mengetahui jumlah telpon yang diterima cs bank setiap jam nya. Ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah telpon yang masuk dalam interval waktu, jika prosesnya mempunyai karakteristik sebagai berikut: 1. Jumlah telpon yang masuk rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika jumlah telpon yang masuk rata–rata untuk periode jam adalah 10 telpon setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu: yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata– rata yaitu contoh 5 telpon untuk setiap ½ jam. 2. Jumlah telpon yang masuk pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat


42

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

berarti bahwa kesempatan dari telpon di jam berikutnya adalah sama, tidak lebih besar atau lebih kecil. 3. Semakin pendek interval, maka semakin mendekati nol probabilitas jumlah telpon yang masuk. Dalam ilustrasi tadi, berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu telpon yang masuk dalam waktu satu detik.

Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut: 3.2 Rumus Proses Poisson

P(x) = Dimana:

t

= jumlah unit waktu

λ

= tingkat rata-rata telpon yang masuk setiap unit waktu

x

= jumlah telpon yang masuk dalam t unit waktu

5. Contoh Soal 1. Jika rata-rata kedatangan bus tujuan Bandung adalah 10 bus per jam. Berapakah probabilitas dalam interval waktu 50 menit dan ada 5 bus yang akan datang? Gunakanlah proses poisson! Diketahui

:

= 10/jam t =

= 0,83

x=5 Ditanya

: P untuk x = 5 ?

Dijawab

: P (x) = P (x) =


43

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

P (x) = P (x) = 0,08 (8%) Analisis

: Jadi besarnya probabilitas dalam interval waktu 50 menit

dan ada 5 bus yang akan datang adalah 0,08 atau 8 %.

2. Seorang pembuat roti membuat roti-roti untuk dijual. Roti yang akan dibuat berjumlah 60 buah. Pembuat roti ini memperkirakan akan ada 5% dari jumlah roti yang akan gagal dibuat atau tidak terpanggang sempurrna, maka berapakah probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang sempurna? Diketahui

: n = 60

P = 5% = 0,05

Ditanya

: P untuk x = 10 ?

Dijawab

: 𝜇 = n . p = 60 . 0,05 = 3 P(x;𝜇)=(

.

)/x!

P (10 ; 3 ) = (

.

) / 10 !

= 0,0008 = 0,08% Analisis : Jadi, probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang sempurna adalah 0,0008 atau 0,08%.

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut:  Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :


44

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

3.1 Gambar Tampilan Software RCommander

 Tuliskan pada Script window dpois (10 , 3). Angka 10 menunjukan nilai x dan angka 3 menunjukan nilai μ yang didapat dari perkalian n*p (60*0.05). kemudian tekan tombol Submit.


45

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2

 Maka probabilitas 10 roti gagal adalah = 0.0008101512 jika ditanyakan dalam bentuk prosentase (%) maka jawabannya adalah 0,08%.  Atau cara lain, tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discrete distribution > poisson distribution > poisson probabilities.


46

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)

 Kemudian masukan mean = 3 (didapatdari n * p ) = 60 * 0.05


Lihat kolom paling kiri x = 10 yaitu 0.0008 atau sama dengan 0,08%. (cara ini terdapat sedikit perbedaan hasil karena yang diambil dibelakang koma hanya 4 angka)


47

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

3.5 Gambar Output Poisson Probabilities

3. Dalam penerbangan tujuan Papua – Jakarta terdapat 561 orang penumpang yang menaiki pesawat Lion White. Pihak bandara memperkirakan terdapat 1% dari penumpang tersebut yang tidak mempunyai tiket. Hitunglah probabilitas paling banyak 5 orang yang tidak mempunyai tiket. Diketahui

: n = 561

Ditanya

: p untuk x ≤ 5?

Dijawab

:µ=n.p

p = 1% = 0.01

= 561 . 0.01 = 5.61 P (x ; µ ) = (e -µ.µx) / x !


48

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON

P ( x ≤ 5;5.61)

= P (0;5.61) + P (1; 5.61) + P (2; 5.61) + P(3: 5.61) + P (4; 5.61) + P (5; 5.61) = 0.5101647 atau 51.01% : Jadi, peluang penumpang paling banyak 5 orang yang

Analisis

tidak mempunyai tiket adalah 0.5101647 atau 51.01%

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut :  Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 3.6 Gambar Tampilan Software RCommander


49

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

 Kemudian pilih

DISTRIBUSI POISSON

menu Distributions, discrete distribution, poisson tail

probabilities. 3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites

 Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan mean sebesar 5,61 (didapat dari nilai µ). 3.8 Gambar Poisson Probabilities

Maka dari P(5 ; 5,61) adalah 0,5101647 atau 51%


50

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI POISSON



51

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

MATERI 4 DISTRIBUSI NORMAL 1. Pengertian Probabilitas Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Probabilitas juga membahas tentang ukuran atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa. Apabila nilai – nilai probabilitas dinyatakan untuk mewakili semua nilai yang terjadi dari suatu variabel random X,baik dengan suatu daftar (tabel) maupun dengan fungsi matematis,hasilnya disebut distribusi probabilitas. Variabel random itu sendiri merupakan besaran yang nilainya berubah-ubah tanpa kontrol pelaku observasi atau pelaku ekperimen. Misalnya tingkat permintaan suatu produk merupakan variabel random karena kita tidak bisa menentukan berapa tingkat permintaan di masa yang akan datang . Variabel random dibagi kedalam dua bentuk yaitu diskrit dan kontinyu. Variabel random diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya berupa bilangan bulat atau utuh dan berhubungan dengan proses perhitungan ,misalnya banyaknya kecelakaan mobil per tahun di provinsi DKI Jakarta adalah variabel diskrit karena tidak ada kecelakaan mobil dalam bilangan pecahan,misalnya 15,7 mobil.Sedangkan variable random kontinyu merupakan variabel yang menampung semua nilai baik bilangan bulat maupun bilangan pecahan dan berhubungan dengan pengukuran,misalnya tinggi badan siswa kelas 3 SD bisa saja terjadi bahwa tinggi badannya 115,7 cm.

2. Definisi dan Konsep Dasar Distribusi normal atau pula sering disebut Distribusi Gauss yang diambil dari nama penemunya yaitu Carl Fredich Gauss, seorang ahli matematika yang banyak memberikan andil pada pengembangannya di awal abad ke-19 merupakan distribusi variabel random kontinyu. Distribusi ini juga merupakan suatu model matematik yang menggambarkan penyebaran probabilitas dari pengamatan yang tidak terbatas


52

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

dan diukur terus menerus sehingga banyak digunakan dalam bidang statistika seperti pemecahan soal maupun penelitian (observasi berat badan,nilai hasil ujian,industry). Dalam mencari probabilitas dengan distribusi normal maka,harus diketahui rata-rata populasi ( μ ) dan simpangan bakunya ( σ ). Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilainilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ).

Ciri-Ciri Distribusi Normal adalah

n

 30 dan n. p  5

Bentuk Umum dan Rumus Distribusi Normal 4.1 Rumus Distribusi Normal

Z

X 



Dimana : Z

= Nilai Hitung



= Rata-rata Populasi

X

= Rata-rata Sampel



= Simpangan Baku

Tanda Baca Yang Digunakan Dalam Distribusi Normal 1.

Untuk

sekurang-kurangnya,

sedikitnya,

paling

sedikit,dan

minimal

maka,tandanya ( ≥ ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung kebun binatang Taman Safari sedikitnya 160 orang per hari ? ( Berarti yang ditanya : P (X ≥ 160) ? ) 2. Untuk sebanyak-banyaknya, paling banyak dan maksimal maka, tandanya( ≤ ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Mall NN sebanyakbanyaknya 150 orang per hari? (Berarti yang ditanya: P (X ≤ 160) ?)


53

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

3. Untuk kurang dari,maka,tandanya ( < ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Kebon Raya Bogor kurang dari 170 orang per hari ? ( Berarti yang ditanya :P (X < 170) ? ) 4. Untuk lebih dari,maka,tandanya ( > ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Seaworld lebih dari 110 orang per hari ? ( Berarti yang ditanya :P (X > 110) ? ) 3. Menemukan Nilai Z tabel Didalam menemukan nilai Z tabel dengan menggunakan rumus distribusi normal maka,terdapat beberapa cara yang harus dilakukan yaitu sebagai berikut. 4. Hitung nilai Z dengan menggunakan rumus distribusi normal sampai menemukan nilai dua desimal. 5. Dalam tabel distribusi normal (tabel Z),cari nilai dari hasil perhitungan nilai Z hitung yang mana pada baris paling atas turun ke bawah digunakan untuk desimal pertama dan desimal keduanya dicari pada kolom paling kiri sampai ke kanan. 6. Dari tabel Z di kolom kiri sampai ke kanan dan dari baris atas turun ke bawah,maka didapat nilai Z tabel yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).

Contoh Kasus : Dari penelitian terhadap 150 insudtri tekstil di Indonesia didapatkan rata-rata memproduksi baju (μ) sebesar 150 baju per hari dan simpangan baku (σ) sebesar 15 .Berapakah nilai Z tabel,jika industry tekstil memproduksi baju lebih dari 170 baju ?

Diketahui

: µ = 150 𝜎 = 15 X = 170


54

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

Ditanya

: P (X > 170) ?

Jawab

:

Z

= =

X 

Desimal Kedua

 170  150  1,33 15

1,33  1,3  0,03 Desimal Pertama

Setelah ketemu nilai Z hitung,selanjutnya lihat pada tabel normal berapa nilai Z tabel untuk nilai Z = 1,33 Desimal Kedua

4.1

Desimal Pertama

Jadi,berdasarkan tabel Z,untuk nilai Z hitung 1,33 ,nilai Z tabelnya adalah 0,4082.


55

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

4. Kurva Normal





x

Kurva normal digunakan dalam menentukan probabilitas dari

distribusi

normal . Kurva normal berbentuk seperti lonceng , maka dari itu sering disebut kurva lonceng ,yang berarti simetris di kanan dan di kirinya dengan nilai tengahnya “mean ( μ )”.Kurva ini memiliki luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri maupun ke kanan adalah 0,5.Dalam menentukan suatu bentuk kurva normal maka diperlukan dua parameter yaitu rata-rata ( μ ) dan simpangan baku (σ).

Dalam mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel : P ( 0 ≤ Z ≤ a ) = Nilai Tabel a

P ( Z ≥ a ) = 0.5 – Nilai Tabel a

P ( Z ≥ -a ) = 0,5 + Nilai Tabel (-a)

( Z ≤ a ) = Nilai Tabel a + 0,5


















56



LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

P(

P (-

5.

≤Z≤

≤Z≤

) = Nilai Tabel

) = Nilai Tabel

DISTRIBUSI NORMAL

- Nilai Tabel

+ Nilai Tabel



Mencari Probabilitas Suatu Objek Dalam mencari probabilitas suatu objek seperti dalam distribusi normal.

Maka,probabilitas dapat dicari ketika telah diketahui nilai Z tabel yang didapat dari nilai Z hitung dengan menggunakan rumus distribusi normal dikurangi atau ditambah dengan 0,5 . Berikut ini akan dibahas beberapa contoh soal dalam mencari probabilitas dengan distribusi normal.

6. Contoh Soal 1. Diketahui bahwa rata-rata pengunjung Kebun Binatang Ragunan mencapai 155 orang per hari dengan simpangan baku 15 orang

. Jika jumlah

pengunjung tersebut terdistribusi normal,berapakah probabilitas dari pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari 165 orang per hari ? Analisislah!


57

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

Diketahui :

  155   15 X  165 Ditanya : P(X > 165)? Jawab : Z

= =

X 

 165  155  0,666  0,67 15

Z tabel= 0,2486 Wilayah Nilai Ztabel

Wilayah Nilai Probabilitas

155

165 0,2486

0,2514

0,5 – 0,2486= 0,2514 Analisis: Jadi, Probabilitas pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari 165 orang per hari adalah 0,2514 atau 25,14 %

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :  Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :


58

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL






Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities


59

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL






Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 165. input nilai mean = 155. Input nilai Standar Deviation= 15. Pilih “Upper Tail” (karena P(X > 165) atau lebih dari selalu menggunakan upper tail). Kemudian tekan OK.


60

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

4.3 Tampilan Normal Probabilities



Maka pada output window diperoleh P(X > 165) = 0,2524 (hasil tidak sama persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang diambil). 4.4 Gambar Output Software R-Commander


61

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

2. Diketahui bahwa rata-rata penjualan Motor di Honda Motor Gemilang mencapai 1.600 unit per bulan . Dengan stándar deviasi 16 unit per bulan. Jika penjualan motor tersebut berdistribusi normal,berapakah probabilitas dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit ? Analisislah ! Diketahui :

  1.600   16 X  1.567 Ditanya : P(X < 1.567) ? Jawab : Z

= =

X 

 1.567  1.600  2,06 16

Z tabel = 0,4803

Wilayah Nilai Ztabel

Wilayah Nilai Probabilitas

1.567 0,0197

1.600

0,4803

0,5 – 0,4803 = 0,0197

Analisis: Jadi, Probabilitas dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit adalah 0,0197 atau 1,97 %.


62

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 

Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 4.5 Gambar Tampilan Software R-Commander





Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities


63

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL






Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 1.567. input nilai mean = 1.600. Input nilai Standar Deviation = 16. Pilih “Lower Tail” (karena P(X < 1.567) atau kurang dari selalu menggunakan lower tail). Kemudian tekan OK.




64

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

4.7 Tampilan Normal Probabilities



Maka pada output window diperoleh P(X < 1.567) = 0,01958 (hasil tidak sama persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang diambil) 4.8 Gambar Output Software R-Commander


65

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

3. Diketahui bahwa rata-rata pembeli Rainbow Cake di Sweet Bakery mencapai 75 orang per hari dengan simpangan baku 50 orang per hari.Jika jumlah pembeli Kue tersebut terdistribusi normal. Berapakah probabilitas pembeli Rainbow Cake tersebut antara 16 orang sampai 77 orang per hari ? Analisislah! Diketahui :

  75   50 X 1  16

X 2  77 Ditanya : P(16 ≤ X ≤ 77) ? Jawab : Z1 

X 



=

16  75  1,18 50

Ztabel = 0,3810 Z2 

X 



=

77  75  0,04 50

Ztabel = 0,0160

Wilayah Nilai Ztabel

16

75

77

0,3810 0,0160 0,3810 + 0,0160 = 0,397

Analisis: Jadi, Probabilitas dari pembeli Rainbow Cake tersebut antara 16 orang sampai 77 orang per hari adalah 0,397 atau 39,7 %


66

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DISTRIBUSI NORMAL

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 

Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :




Lalu di script window, ketikkan nilai probabilitas X1 ditambah X2


67

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

4.10

DISTRIBUSI NORMAL

Gambar Output Software Normal Probabilities


68

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

4.11

DISTRIBUSI NORMAL

Gambar Tabel Z


69

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1


DISTRIBUSI NORMAL

70

LITBANG PTA 16/17

STATISTIKA 1

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR PUSTAKA Algifari. 1996. Probabilitas Dalam Pengambilan Keputusan Bisnis. Yogyakarta: BPFE Drs.Subana, M.Pd,dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung : CV.Pustaka Setia. Irianto, Agus. 2015. Statistik Konsep Dasar, Aplikasi, & Pengembangannya Edisi Keempat. Padang : Kencana Perdanamedia Group Kustituanto, Bambang. 1988. Statistika Untuk Ekonomi Dan Bisnis. Yogyakarta: BPFE. Lind, Douglas A., William G. Marchal & Samuel A. Wathen. 2007. Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global, Edisi 13. Jakarta: Salemba Empat Mulyono,Sri. 2006. Statistika Untuk Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : LPFE UI. Nur Indah Susanti, Meilia. 2010. Statistika Deskriptif dan Induktif. Yogyakarta : Graha Ilmu. Sarini Abdullah dan Taufik Edy Sutanto. 2015. Statistika Tanpa Stres. Jakarta Selatan : TransMedia. Sigit Nugroho,Ph.D. 2007. Dasar-dasar Metode Statistika. Jakarta Barat : Grasindo. Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2. Jakarta: Penerbit Gunadarma. Sudjana.2013.Metoda Statistika,edisi ke VII .Bandung : Tarsito Supratno, Johanes. 2009. Statistik Teori dan Aplikasi Edisi Ketujuh. Jakarta : Penerbit Erlangga Walpole, Ronald E. 2015. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama. Wathen, Lind Marchal. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi 1 Edisi 15. New York : Salemba Empat


52

LITBANG PTA 16/17

17

Recommend Documents