Zadání semestrálních prací 2NU, 2015/16 doc. Martišek Každý(á) student(ka) najde u svého jména čísla dvou úloh, které vypracuje. Seznam zadání a vzor vypracování následuje. Výuka C2a - Út 14:00 (sudý i lichý)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Student Aubrecht Lukáš Barla Matej Beňo Tomáš Bobková Veronika Czudek Szymon Gricová Monika Havlíček Matěj Havlínová Denisa Chlaň Jakub Chlupová Monika Kabát Jakub Kollárik Rastislav Linda Jakub Lysek Marek Mišáková Liliana Mráz Kryštof Musil Tomáš Nepovím Lukáš Nyékyová Dominika Petr Jan Pribyl Oliver Pykal Vojtěch Schäffer Matúš Španko Dominik Tušim Tomáš
Os. č 183870 183311 183313 171520 183810 171208 183933 182603 182939 182606 189546 183493 183026 184006 171435 184031 182707 163008 182784 182852 182786 184074 183378 184120 182648
Ročník 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I.
Skup. 1B/12 1B/12 1B/12 2B/12 1A/6 2A/9 1B/12 1D/34 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 2C/24 1B/12 1B/12 2C/24 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12 1B/12
Prog. B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P
Úlohy 1, 28 2, 27 3, 26 4, 25 5, 24 6, 23 7, 22 8, 21 9, 20 10, 19 11, 18 12, 17 13, 28 14, 27 15, 26 16, 25 1, 25 2, 24 3, 23 4, 22 5, 21 6, 20 7, 19 8, 18 9, 17
Výuka C2a - Út 16:00 (sudý i lichý)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Student Abrahám Jan Csintalan Radoslav Faltýnek Michal Galík Tomáš Harnoš Martin Hudaček Ján Juráš Bohuslav Kareš Martin Kasal Antonín Kastner Dominik Koudelka Roman Križan Peter Magdon Jan Miklis Peter Pažourek Josef Petrskovský Tomáš Sýkora Martin Šatný Patrik Šuráň David Taoufik Ismael Tmej Tomáš Vnučko Daniel Zendulka Štěpán Zýbal Jan
Os. č 182915 183809 182823 183918 182762 183484 183017 184221 183968 183123 182615 183342 183084 183139 182955 182633 183091 182518 183058 182523 182646 182965 183184 183185
Ročník 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I.
Skup. 1A/7 1C/27 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1A/7 1B/13 1A/7 1B/13 1A/7 1A/7 1A/8 1A/8 1A/7 1A/7 1B/17 1A/6
Prog. B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P
Úlohy 1, 28 2, 27 3, 26 4, 25 5, 24 6, 23 7, 22 8, 21 9, 20 10, 19 11, 18 12, 17 13, 28 14, 27 15, 26 16, 25 1, 25 2, 24 3, 23 4, 22 5, 21 6, 20 7, 19 9, 17
Výuka C2a - St 14:00 (sudý i lichý)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Student Boleloucký Václav Caha Antonín Fajkus Marek Fischer Jiří Franke Jakub Freiwald Michal Hájek Vojtěch Horák Filip Hykolli Denis Kadlec Jan Konečný Marcel Konvičný Denis Krajča Martin Krček Aleš Malý Martin Man Lukáš Mazura František Melichar Marek Michálek Mojmír Cyril Pažítková Monika Rožnovják David Staš Jakub Strouhal Lukáš Šmíd Josef Valtrová Martina Vorlíček Vít
Os. č 171521 183102 182930 182495 182690 183228 183116 183117 183950 183962 171332 183977 183022 182617 182781 184011 171035 183135 182704 184057 183826 171151 184111 182522 171090 183536
Ročník 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I.
Skup. 2B/18 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 1B/16 2B/17 1B/15 1B/16 1B/16 1B/16 2B/19 1B/16 1B/16 2A/4 1B/16
Prog. B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P
Úlohy 1, 28 2, 27 3, 26 4, 25 5, 24 6, 23 7, 22 8, 21 9, 20 10, 19 11, 18 12, 17 13, 28 14, 27 15, 26 16, 25 1, 25 2, 24 3, 23 4, 22 5, 21 6, 20 7, 19 8, 18 9, 17 10, 16
Výuka C2a - Čt 8:00 (sudý i lichý)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Student Carbol Marek Cicha Tereza Černil Martin Dokoupil Daniel Dvořáková Barbora Fűri Peter Genco Ondřej Habovštiaková Mária Heczko Martin Chlubna Martin Illík Jakub Konečný Michael Kříž Michal Kupčíková Laura Machů Josef Mišún Filip Netopilík Jan Plánková Tereza Sadílek Jan Svetlošák Tadeáš Svoboda Jakub Šafránek Martin Teöke Adam Vybíral Zdeněk
25 Žaludek Jakub
Os. č 170654 182818 183461 171004 182929 182760 182932 182601 183010 171889 183640 171129 182776 182946 182848 183141 170550 170518 182513 182863 184113 182716 174413 184163
Ročník 2/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 1/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 2/I. 2/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I. 1/I.
184176 1/I.
Skup. 2C/21 1C/22 1C/22 2A/8 1C/22 1C/22 1C/22 1C/22 1C/22 2B/15 1C/22 2C/21 1C/22 1C/22 1C/22 1C/22 2B/14 2C/21 1C/22 1C/22 1C/22 1A/8 1C/22 1C/22
Prog. B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P B3S-P
Úlohy 1, 28 2, 27 3, 26 4, 25 5, 24 6, 23 7, 22 8, 21 9, 20 10, 19 11, 18 12, 17 13, 28 14, 27 15, 26 16, 25 1, 25 2, 24 3, 23 4, 22 5, 21 6, 20 7, 19 8, 18
1C/22
B3S-P
10, 16
Úlohy: 1. Řešte soustavu rovnic
x 2 y 3z 6 2 x 4 y 5 z 11 7 x 8 y 9 z 24
a) Gaussovou eliminační metodou b) Gaussovou eliminační metodou s částečným výběrem hlavního prvku Porovnejte výsledky, rozdíly zdůvodněte. 2. Řešte soustavu rovnic
1015 x x
y
1 1015
1011 y 1 1011
c) Gaussovou eliminační metodou d) Gaussovou eliminační metodou s částečným výběrem hlavního prvku Porovnejte výsledky, rozdíly zdůvodněte. 3. Vhodnou iterační metodou určete řešení soustavy
x 9 y 4 z 29 4 x 4 y 15 z 33 33x 3 y z 24 na šest desetinných míst. Zhodnoťte vhodnost použité metody. 4. Vhodnou iterační metodou určete řešení soustavy
x y 2 z 4 x 2 y 2 z 5 2 x 2 y 3z 7 na šest desetinných míst. Zhodnoťte vhodnost použité metody.
1 tabelujte na intervalu x 2; 2 ekvidistantními uzly 1 25 x 2 krokem h 0,5 . Pro takto získanou tabulku sestrojte Lagrangeův interpolační polynom a zjistěte jeho hodnoty pro x 0.25; 0.75; 1.25; 1.75 . Tyto hodnoty porovnejte s hodnotami Rungeovy funkce. Výsledky zdůvodněte. 5. Rungeovu funkci f x
6. Určete přibližnou hodnotu čísla 7 pomocí vhodného Lagrangeova polynomu druhého stupně. K určení této hodnoty použijte dále Hermitův polynom pro stejné uzlové body s použitím prvních derivací. Výsledky porovnejte s přesnou hodnotou a zdůvodněte rozdíly. 7. Najděte Hermitův interpolační polynom funkce dané tabulkou i xi f(xi) f'(xi)
0 -1 -9 3
1 1 -11 3
2 2 18 78
Znázorněte též graficky. 8. Tabulkou naměřených hodnot xi
1,3
1,5
1,9
2,5
3,5
4,1
yi
1,4
3,5
5,9
6,8
5,2
3,0
proložte vhodnou funkci metodou nejmenších čtverců. Znázorněte též graficky. 9. Tabulkou naměřených hodnot xi
1
3
5
7
9
10
yi
0
9
11
12
7
3
proložte vhodnou funkci metodou nejmenších čtverců. Znázorněte též graficky. 10. Body xi
–3,0
1,0
2,0
yi
2,0
1,0
3,0
proložte přirozený kubický splajn. V koncových bodech předpokládejte nulové druhé (jednostranné) derivace, tj. M 0 M 2 0 . Znázorněte též graficky. 11. Určete derivaci funkce dané tabulkou: xi
0
1
4
9
yi
0
1
2
3
v bodě x 4 , a to pomocí a) Lagrangeova interpolačního polynomu b) první centrální diference Výsledky porovnejte s hodnotou derivace funkce f ( x) x v bodě x 4 . Rozdíly zdůvodněte.
12. Složenou obdélníkovou formulí vypočtěte integrál 2
4 x 2 dx
2
Použijte dělení n 50 ; n 100 ; n 500 . Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená obdélníková formule výsledek na šest desetinných míst? 13. Složenou lichoběžníkovou formulí vypočtěte integrál 2
4 x 2 dx
2
Použijte dělení n 50 ; n 100 ; n 500 . Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená lichoběžníková formule výsledek na šest desetinných míst? 14. Složenou Simpsonovou formulí vypočtěte integrál 2
4 x 2 dx
2
Použijte dělení n 50 ; n 100 ; n 500 . Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená Simpsonova formule výsledek na šest desetinných míst? 15. Složenou Gaussovou dvoubodovou formulí vypočtěte integrál 2
4 x 2 dx
2
Použijte dělení n 50 ; n 100 ; n 500 . Odhadněte chybu formule a porovnejte ji se skutečným rozdílem zjištěné hodnoty oproti hodnotě přesné (tj. vypočtené analyticky). Pro které n dá složená Simpsonova formule výsledek na šest desetinných míst? 16. Vypočtěte integrál 1
1
12x 2 dx 12 x
a) analyticky bez zaokrouhlování b) analyticky, v průběhu výpočtu zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa c) jednoduchou Simpsonovou formulí, v průběhu výpočtu zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa Výsledky porovnejte.
17. Separujte kořeny rovnice
arctg x 1 x2 4 0
(separaci ilustrujte graficky). Metodou půlení intervalu pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 18. Separujte kořeny rovnice
x2 4 x 4
ln x x2
(separaci ilustrujte graficky). Metodou půlení intervalu pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 19. Separujte kořeny rovnice
3x arcsin x 1 1 3x
(separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 20. Separujte kořeny rovnice
5 x 2 x 4 x (separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 21. Separujte kořeny rovnice
x 3 6 cos x 0
(separaci ilustrujte graficky). Metodou regula falsi pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 22. Separujte kořeny rovnice
1 1 x2 0 x (separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 23. Separujte kořeny rovnice
ln(1 x) 1 0 1 x
(separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 24. Separujte kořeny rovnice
arctg( x 2) 2 ln x 4
(separaci ilustrujte graficky). Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst.
25. Separujte kořeny rovnice
arctg( x 2) 2 ln x 4 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 26. Separujte kořeny rovnice
e x ln x 6 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 27. Separujte kořeny rovnice
ln 1 x 1 x (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 28. Separujte kořeny rovnice
4 x2 2 1 x2 1 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte vhodnou iterační funkci a obecnou iterační metodou určete všechny kořeny na šest desetinných míst. 29. Separujte kořeny soustavy
arctg y x 2 y 3 y 2 1 x 2
2
10 x sin y cos y y ln x 5 0 (separaci ilustrujte graficky). Nalezněte jedno řešení na šest desetinných míst (doporučená počáteční aproximace x(0) ; y (0) 0.1; 2.0 ). 30. Separujte kořeny soustavy
ln xy 1 x y 0
arctg y x 2 y y 2 2 x 2 y 2 x 4 y 2 3 0
(separaci ilustrujte graficky). Nalezněte jedno řešení na šest desetinných míst (doporučená počáteční aproximace x(0) ; y (0) 0.1; 2.0 ).
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS
NUMERICKÉ METODY
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE
AUTOR PRÁCE
BRNO 2013
JAN HUŇKA
ZADÁNÍ: 6.
Určete přibližnou hodnotu čísla 7 pomocí vhodného Lagrangeova polynomu druhého stupně. K určení této hodnoty použijte dále Hermitův polynom pro stejné uzlové body s použitím prvních derivací. Výsledky porovnejte s přesnou hodnotou a zdůvodněte rozdíly.
POSTUP VÝPOČTU LAGRANGEOVA POLYNOMU: Při sestavování Lagrangeova interpolačního polynomu postupujeme následovně: 1.) Určíme funkci, pomocí níž budeme interpolaci provádět. 2.) Sestavíme tabulku hodnot uzlových bodů, přičemž počet bodů určuje stupeň interpolačního polynomu navýšeného o jednu. 3.) Interpolační polynom získáme dosazením do vzorce: n ( x x0 ) ( x x1 ) ... ( x xi 1 ) ( x xi 1 ) ... ( x xn ) Li ( x) yi ( xi x0 ) ( xi x1 ) ... ( xi xi 1 ) ( xi xi 1 ) ... ( xi xn ) i 0 4.) Dosazením za x do interpolačního polynomu jsme schopni určit přibližnou hodnotu funkce v libovolném bodě ležícím v intervalu x0 až xn.
ŘEŠENÍ POMOCÍ LAGRANGEOVA POLYNOMU: 1.) Volba funkce: y x 2.) Sestavení tabulky: i 0 xi 1 yi 1
1 4 2
2 9 3
3.) Stanovení interpolačního polynomu: ( x 4) ( x 9) ( x 1) ( x 9) ( x 1) ( x 4) L2 ( x) 1 2 3 (1 4) (1 9) (4 1) (4 9) (9 1) (9 1)
L2 ( x)
x 2 25 x 36 60
4.) Určení přibližné hodnoty: 7 2 25 7 36 L2 (7) 2,70 60
POSTUP VÝPOČTU HERMITOVA POLYNOMU: Při sestavování Hermitova interpolačního polynomu postupujeme následovně: 1.) Určíme funkci, pomocí níž budeme interpolaci provádět a tuto funkci zderivujeme. 2.) Sestavíme tabulku hodnot uzlových bodů rozšířenou o hodnoty získané dosazením do zderivované funkce (počet bodů opět určuje stupeň interpolačního polynomu navýšeného o jednu). 3.) Interpolační polynom získáme dosazením do vzorců: 2 3 H i ( x) a0 a1 ( x 1) a2 ( x 1) a3 ( x 1) ... H i ' ( x) a1 2 a2 ( x 1) 3 a3 ( x 1) 2 ... V případě 3 uzlových bodů tak získáme soustavu 6 rovnic o 6 neznámých, resp. 4 rovnic o 4 neznámých díky vhodné záměně x za x-1. 4.) Dosazením za x do interpolačního polynomu jsme schopni určit přibližnou hodnotu funkce v libovolném bodě ležícím v intervalu x0 až xn.
ŘEŠENÍ POMOCÍ HERMITOVA POLYNOMU: 1.) Volba funkce:
y xx
1 2
1
2.) Sestavení tabulky: i 0 xi 1 yi 1 yi‘ 1/2
1 1 y' x 2 2 2 x
1 4 2 1/4
2 9 3 1/6
3.) Stanovení interpolačního polynomu: 1 a0 a1 (1 1) a2 (1 1) 2 a3 (1 1) 3 a4 (1 1) 4 a5 (1 1) 5 2 a0 a1 (4 1) a2 (4 1) 2 a3 (4 1) 3 a4 (4 1) 4 a5 (4 1) 5
3 a0 a1 (9 1) a2 (9 1) 2 a3 (9 1) 3 a4 (9 1) 4 a5 (9 1) 5 1 a1 2 a2 (1 1) 3 a3 (1 1) 2 4 a 4 (1 1) 3 5 a5 (1 1) 4 2 1 a1 2 a2 (4 1) 3 a3 (4 1) 2 4 a 4 (4 1) 3 5 a5 (4 1) 4 4 1 a1 2 a 2 (9 1) 3 a3 (9 1) 2 4 a 4 (9 1) 3 5 a5 (9 1) 4 6
a0 1 1 a1 2
1 (3) a 2 (3) 2 a3 (3) 3 a 4 (3) 4 a5 (3) 5 2 1 3 1 (8) a 2 (8) 2 a3 (8) 3 a 4 (8) 4 a5 (8) 5 2 1 1 2 a 2 (3) 3 a3 (3) 2 4 a 4 (3) 3 5 a5 (3) 4 4 2 1 1 2 a 2 (8) 3 a3 (8) 2 4 a 4 (8) 3 5 a5 (8) 4 6 2 2 1
4 2 3 a2 18 a3 54 a4 162 a5 486 3 1 4 a2 64 a3 512 a4 4096 a5 32 768 1 2 a2 24 a3 108 a4 432 a5 1620 1 3 a2 96 a3 1152 a4 12 288 a5 122 880 1 a2 18 a3 54 a4 162 a5 486 2 a2 64 a3 512 a4 4096 a5 32 768 1 a2 24 a3 108 a4 432 a5 1620 2 a2 96 a3 1152 a4 12 288 a5 122 880
a2 -0,097416666666667 a3 0,019418981481481 a4 -0,002078703703704 a5 0,000085648148148 (uvádím stejný počet desetinných míst jako program Matlab po použití příkazu format('long'))
H 5 ( x) 1 0,5 ( x 1) - 0,097416666666667 ( x 1) 2 0,019418981481481 ( x 1) 3 - 0,002078703703704 ( x 1) 4 0,000085648148148 ( x 1) 5
4.) Určení přibližné hodnoty: H 5 (7) 1 0,5 (7 1) - 0,097416666666667 (7 1) 2 0,019418981481481 (7 1) 3 - 0,002078703703704 (7 1) 4 0,000085648148148 (7 1) 5 2,659499999999999 2,66
ZÁVĚR: Stanovení Hermitova interpolačního polynomu je výrazně složitější než určení polynomu Lagrangeova, avšak zohledňuje i derivace (směrnice tečen) a tím přesněji vystihuje průběh funkce. Lagrangeův polynom je vhodný jen pro teoretický odhad. Následující přehled udává hodnoty jednotlivých interpolačních polynomů a přesné hodnoty stanovené kalkulátorem (hodnoty jsou zaokrouhleny na 2 desetinná místa). Lagrangeův polynom Hermitův polynom Kalkulátor 2,70 2,66 2,65
ZADÁNÍ: 21.
ln(1 x) 1 0 (separaci ilustrujte graficky). 1 x Newtonovou metodou pak určete všechny kořeny na šest desetinných míst.
Separujte kořeny rovnice
TEORIE ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC: Řešení složitějších nelineárních rovnic (tj. rovnic, jejichž funkční předpis f(x)=0 nelze převést na tvar a·x+b=0 ) lze nahradit řešením soustavy nelineárních rovnic. Takováto separace nám může výrazně usnadnit práci při určování přibližných kořenů (nebo alespoň intervalů, v nichž se kořeny nachází). Druhou fází je zpřesňování aproximací. Ke zpřesnění lze využít několik metod: metoda bisekce (metoda půlení intervalu), Newtonova metoda (metoda tečen), metoda sečen, metoda regula falsi (metoda sečen „hlídající znaménka“) a další. Newtonova metoda se též nazývá metoda sečen, jelikož přesnějších aproximací je dosahováno za pomoci tečen k dané funkci. Při jejím použití tedy musíme znát derivaci dané funkce. Důležitá je též znalost přibližné hodnoty výsledku. Při volbě příliš vzdáleného počátečního bodu by totiž mohlo dojít k divergenci Newtonovy metody. Konverguje-li, je nalezení hledané hodnoty velmi rychlé. Od počátečního bodu se postupně přibližujeme prostřednictvím tečen k přesnému řešení za pomoci vzorce: f ( xi ) . xi 1 xi f ' ( xi )
Newtonova metoda.
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍ ROVNICE: clc format('long') x=-4:0.1:0.8; PocetBodu=length(x); f=zeros(PocetBodu); Logaritmus=zeros(PocetBodu); Primka=zeros(PocetBodu); for i=1:PocetBodu f(i)=((log(1-x(i)))/(1-x(i)))+1; Logaritmus(i)=log(1-x(i)); Primka(i)=x(i)-1; end; plot(x,f,'-b',x,Logaritmus,'--m',x,Primka,'--r') grid on Epsilon=6*10^(-7); x=0.5; Chyba=10^5;i=0; while Chyba>Epsilon i=i+1 Chyba=x; x=x-(((log(1-x))/(1-x))+1)/((log(1-x)-1)/((x-1)^2)) Chyba=abs(Chyba-x); end;
Grafická ilustrace původní funkce i funkcí separovaných.
ZÁVĚR: Původní funkci jsem separoval na funkce Logaritmus=ln(1–x) a Primka=x–1. Z grafu bylo zřejmé, že výsledná hodnota se nachází v intervalu (0;0,5), takže pro zpřesnění aproximace jsem za počáteční bod považoval x=0,5. Po 4 aproximacích jsem dosáhl čísla 0,432856709590255, které se blíží přesnému výsledku s přesností na 6 desetinných míst. Za výsledek tedy můžeme považovat x=0,432856.
