16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 16.1. Urči definiční obor funkce f : y = 7 x 2 + 46x − 21 . ŘEŠENÍ: 7 x + 46 x − 21 ≥ 0 2

7 x 2 + 46 x − 21 = 0 −46 ± 52 3 x1,2 = ⇒ x1 = −7; x2 = 14 7 3 D ( f ) = (−∞; −7〉 ∪ 〈 ; ∞) 7

Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu. Problematické bývají liché odmocniny. Některé učebnice i zde uvádějí definiční obor 〈0; ∞) jiné uvádějí u lichých odmocnin definiční obor celou množinu R.

4x − x2 − 3 16.2. Urči definiční obor funkce f : y = log . 16x 2 + 2 ŘEŠENÍ: 4x − x2 − 3 >0 16 x 2 + 2 16 x 2 + 2 > 0

Logaritmická funkce je definována pouze pro kladná reálná čísla. to platí pro každé x ∈ R

4 x − x2 − 3 > 0

Základ logaritmické funkce musí být ze sjednocení intervalů: ( 0;1) ∪ (1; ∞ ) .

x2 − 4 x + 3 < 0 x2 − 4 x + 3 = 0 4±2 x1,2 = ⇒ x1 = 1; x2 = 3 2 D ( f ) = (1;3)

16.3. Urči definiční obor funkce f : y =

π 3

≠

π  tg  x −  3 

.

Funkce tangens je definována pro všechna reálná

ŘEŠENÍ: a) x −

π

π

+ kπ

2 5π x≠ + kπ 6

π  b) tg  x −  ≠ 0 3  x−

π 3

≠ kπ

π

+ kπ 3 5π  + kπ ; + kπ  6 

x≠

π D( f ) = R − ∪ k∈Z  3

π

+ kπ . 2 Funkce kotangens je definována pro všechna reálná čísla různá od kπ .

čísla různá od

Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar

www.zkousky-nanecisto.cz/maturita

Strana 2

Definiční obory funkcí

16.4. Urči definiční obor funkce f : y = log12 4 x − 16 . Kombinace dvou podmínek.

ŘEŠENÍ: a) 4 x − 16 ≥ 0

b)

4 x ≥ 16 4 x ≥ 42 x≥2

4 x − 16 ≠ 0

Jedna podmínka vychází z odmocniny. Druhá podmínka vychází z logaritmu.

4 x − 16 ≠ 0 4 x ≠ 42 x≠2 D ( f ) = ( 2; ∞ )

16.5. Urči definiční obor funkce f : y = log (7 − x + 5 + x − 4 ) . Z podmínky pro definování logaritmu dostaneme nerovnici s absolutními hodnotami.

ŘEŠENÍ: 7− x+5 + x−4 > 0 x01 = – 5, x02 = 4 Výraz

x ∈ (−∞; −5)

x ∈ 〈−5; 4)

x ∈ 〈 4; ∞)

x+5

–

+

+

x–4

–

–

+

a) x ∈ (−∞; −5)

7 + x + 5 − x + 4 > 0 ⇒ 16 > 0 ⇒ D ( f ) a = (−∞; −5)

b) x ∈ 〈−5; 4)

7 − x − 5 − x + 4 > 0 ⇒ 2 x < 6 ⇒ x < 3 ⇒ D ( f )b = 〈−5;3)

c) x ∈ 〈 4; ∞)

7 − x − 5 + x − 4 > 0 ⇒ −2 > 0 ⇒ D ( f ) c = ∅ D ( f ) = (−∞;3)

16.6. Urči definiční obor funkce f : y =

x 2 − 9 + log (7 − x ) . Znovu kombinace dvou podmínek.

ŘEŠENÍ: a) x 2 − 9 ≥ 0

b) 7 − x > 0

x2 ≥ 9

x<7

x ≥3 x ∈ (−∞; −3〉 ∪ 〈3; ∞)

A znovu jedna podmínka vychází z odmocniny a druhá z logaritmu.

x ∈ ( −∞; 7 )

D ( f ) = (−∞; −3〉 ∪ 〈3; 7)



Strana 3

Definiční obory funkcí log 1 (1 − x )

16.7. Urči definiční obor funkce f : y = ŘEŠENÍ: a) 1 − x > 0 x <1

2

x2 − 4

Tentokrát kombinujeme dokonce tři podmínky.

b) x − 4 ≠ 0 x ≠ ±2 2

Nejobtížnější je vyřešit podmínku pro odmocninu, která vede k nerovnici zlomku s logaritmem v čitateli.

x ∈ ( −∞;1) log 1 (1 − x ) c)

2

x2 − 4

Promysli si řešení s tabulkou.

≥0

Výraz

x ∈ (−∞; −2)

x ∈ (−2;0〉

x ∈ ( 0;1)

log 1 (1 − x )

–

–

+

+

–

–

2

x2 – 4

.

Intervaly do tabulky uvádíme jen v rozmezí definičního oboru samotného logaritmu. Hraniční (nulový) bod x = −2 do řešení v c) nezahrnujeme, neboť odporuje definičnímu oboru podílu.

D ( f ) = (−2;0〉



Strana 4


Další příklady (již jen pouhé řešení bez vysvětlujících poznámek) 16.8. Urči definiční obor funkce f : y = x − 11 ≥ 0, x ≠ −17 x + 17

x − 11 . x + 17

– 17

11

x – 11

–

–

+

x + 17

–

+

+

+

–

+

D ( f ) = ( −∞, −17 ) ∪ 11; ∞ )

16.9. Urči definiční obor funkce f : y = log ( x 2 − 16 ) . a)

b)

log ( x − 16 ) ≥ 0

x 2 − 16 > 0

2

log ( x 2 − 16 ) ≥ log1

x 2 > 16 x >4

x 2 − 16 ≥ 1 x 2 ≥ 17 x ≥ 17

− 17 – 4

4

17

(

D ( f ) = −∞, − 17 ∪ 17, ∞ )



Strana 5


16.10. Urči definiční obor funkce f : y = 1 − log 1 10

a)

b) 1 − log 1 10

log 1 10

x . x −3 c)

x ≠0 x−3 x≠0

x ≥0 x−3

x≠3

x 1 ≤ log 1 x−3 10 10 x 1 ≥ x − 3 10 1 y ≥ 10

−1 10

1 10

0

x 1 ≤− x−3 10 x 1 + ≤0 x − 3 10 10 x + x − 3 ≤0 10 ( x − 3)

x 1 ≥ x − 3 10 x 1 − ≥0 x − 3 10 10 x − x + 3 ≥0 10 ( x − 3 )

11x − 3 ≤0 10 ( x − 3)

9x + 3 ≤0 10 ( x − 3)

3 11

−1 3

3

3

11x – 3

–

+

+

9x + 3

–

+

+

x –3

–

–

+

x –3

–

–

+

x∈

3 ;3) 11

 1 x ∈  −∞; − ∪ ( 3; ∞ ) 3 

 1 D ( f ) =  −∞; − ∪ ( 3; ∞ ) 3 



Strana 6

π  1 + tg  6x −  6  16.11. Urči definiční obor funkce f : y = . 2 1 − cotg x a) b) c) 6x −

π

6

≠

π

+ kπ

x ≠ kπ

2 4 6 x ≠ π + kπ 6 x≠

π 9

+k

π 6


1 − cotg 2 x ≠ 0 cotg 2 x ≠ 1 cotg x ≠ ±1 x≠

π 4

+k⋅

π 2

π π π D ( f ) = R − ∪  + k ; kπ ; k ⋅  k∈Z  9 6 2



Strana 7


16. TEORETICKÁ ČÁST Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce: 1) 2)

Vysvětli pojmy definiční obor a obor hodnot funkce. Jaký je definiční obor funkce f : y = x ?

3) 4) 5)

Jaký je definiční obor funkce f : y = 3 x ? Jaký je definiční obor funkcí tangens a kotangens? Jaký je definiční obor logaritmické funkce?

1. Vysvětli pojmy definiční obor a obor hodnot funkce. Funkci chápeme jako jisté přiřazení. Podle přesně určeného předpisu jednoznačně přiřazujeme reálným číslům jedné množiny (například množiny A) reálná čísla jiné množiny (například množiny B). Definičním oborem nazýváme tu množinu, jejímž prvkům je předpisem přiřazováno (v našem případě se jedná o množinu A), oborem hodnot nazýváme tu množinu, jejíž prvky jsou předpisem přiřazovány (v našem případě se jedná o množinu B). Definiční obor značíme D(f), obor hodnot značíme H(f). Zjednodušené vysvětlení: definiční obor se skládá ze všech přípustných reálných čísel, která můžeme do předpisu funkce za x dosazovat, obor hodnot jsou všechna reálná čísla, která po dosazení vyjdou jako hodnoty y. 2. Jaký je definiční obor funkce f : y = x ? Definiční obor sestavujeme ze všech přípustných hodnot, které lze do předpisu funkce dosadit. Velmi často vytváříme definiční obor zužováním množiny R, popřípadě odečítáním od množiny R nepřípustných hodnot pro danou funkci nebo přímo množin nepřípustných hodnot. V případě funkce druhé odmocniny nelze určit odmocninu z jakéhokoli záporného čísla. Množinu, která odpovídá definičnímu oboru, tvoří všechna kladná čísla a nula: Definiční obor funkce f : y = x : D ( f ) = 0; ∞ ) 3. Jaký je definiční obor funkce f : y = 3 x ?

Podle většiny středoškolských učebnic jsou všechny odmocniny, bez ohledu na to, je-li odmocnitel sudý nebo lichý, definovány podobně jako druhá odmocnina jen na množině nezáporných reálných čísel. Některé novější matematické publikace povolují definovat odmocniny s lichým odmocnitelem na množině všech reálných čísel. Definiční obor funkce (podle většiny učebnic) f : y = 3 x : D ( f ) = 0; ∞ ) Definiční obor funkce (podle některých publikací) f : y = 3 x :

D( f ) = R

4. Jaký je definiční obor funkcí tangens a kotangens?

Definiční obor funkce y = tg x:

Definiční obor funkce y = cotg x:

π  D ( f ) = R − ∪  + kπ   k∈Z  2 D ( f ) = R − ∪ {kπ } k∈Z



Strana 8


5. Jaký je definiční obor logaritmické funkce? V případě logaritmické funkce nelze určit hodnotu logaritmu žádného záporného čísla ani čísla nula. Množinu, která odpovídá definičnímu oboru, tvoří všechna kladná čísla: D ( f ) = ( 0; ∞ ) Definiční obor funkce f : y = log a x :



16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

Recommend Documents