Fakulta elektrotechnická Katedra teoretické elektrotechniky
Semestrální práce
Kulové jiskřiště 2014/15 Petr Zemek E12B0300P
Vyučující: Ing. David Pánek, Ph.D Předmět: KTE/TEMP
Obsah 1 Zadání semestrální práce 1.1 Název . . . . . . . . . . . . 1.2 Text zadání . . . . . . . . . 1.3 Numerické řešení 2D úlohy 1.4 Zadané hodnoty . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
5 5 5 6 7
2 Řešení 2.1 Matematický model . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Oblast pro numerické řešení . . . . . . . 2.1.2 Diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . 2.1.3 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . 2.2 Výsledný model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Rozložení ekvipotenciál . . . . . . . . . . . . . 2.4 Vektory intenzity elektrického pole . . . . . . . 2.5 Minimální vzálenost elektrod . . . . . . . . . . 2.6 Graf potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Graf intenzity elektrického pole . . . . . . . . . 2.8 Výpočet kapacity kulových elektrod . . . . . . 2.8.1 Pomocí energie elektrostatického pole . 2.8.2 Pomocí náboje na jedné z elektrod . . . 2.9 Graf závislosti kapacity na vzdálenosti elektrod 2.10 Hodnoty zadané do serveru Moodle . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8 9 9 10 11 12 13 15 16 17 17 17 17 19
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Seznam obrázků 1.1 1.2
Kulové Jiskřiště . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Model kulového jiskřiště . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Modelace s popisem oblastí . . . . . . . . . . . Výsledný model . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozložení ekvipotenciál . . . . . . . . . . . . . Vektory intenzity elektrického pole . . . . . . . Minimální vzdálenost elektrod . . . . . . . . . . Graf potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf intenzity elektrického pole . . . . . . . . . Graf závislosti kapacity na vzdálenosti elektrod
3
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
5 6 8 10 11 12 14 15 16 18
Seznam tabulek 2.1 2.2
Podklad pro graf el. pevnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Podklad pro graf kapacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4
1 Zadání semestrální práce 1.1 Název Kulové jiskřiště
1.2 Text zadání Vytvořte model kulového jiskřiště dle obrázku 1.1 a 1.2. Jiskřiště se nachází ve vzduchu. Poloměr horní elektrody je R1 a poloměr spodní elektrody R2. Napětí mezi elektrodami je U. Spodní elektroda je uzemněná. Číselné hodnoty jsou zadány serverem Moodle. Elektrickou pevnost vzduchu uvažujte 3,1 kV/mm. Poloměr fiktivní hranice od počátku souřadnicového systému je 0,7 m (nulová Neumannova podmínka). Počátek souřadnicového systému je v polovině vzdálenosti d na ose symetrie, viz obr. 1.2.
Obrázek 1.1: Kulové Jiskřiště
5
Obrázek 1.2: Model kulového jiskřiště
1.3 Numerické řešení 2D úlohy Formulujte matematický model pro numerické řešení okrajové úlohy ve 2D (zvolte válcové souřadnice r, z) pro potenciál elektrického pole: a) zvolte oblast pro numerické řešení s respektováním okrajového jevu, nakreslete a popište jednotlivé oblasti, b) diferenciální rovnice v jednotlivých oblastech, c) okrajové podmínky. Namodelujte a vypočtěte úlohu v programu Agros2D (http://agros2d.org/). Počátek souřadnicového systému uvažujte ve středu mezi elektrodami. 1. Vykreslete rozložení ekvipotenciál ve vyšetřované oblasti. 2. Vykreslete vektory intenzity elektrického pole 𝐸 ve vyšetřované oblasti. 3. Určete maximální vzdálenost elektrod, při které je překročena elektrická pevnost vzduchu při daném napětí. 4. Vykreslete graf závislosti 𝜙(𝑧) mezi elektrodami. 5. Vykreslete graf závislosti modulu 𝐸(𝑧) mezi elektrodami. 6. Vypočtěte kapacitu dvou kulových elektrod pomocí: a) energie elektrostatického pole 𝑊 𝑒 , b) elektrického náboje 𝑄 na jedné z elektrod. 7. Vykreslete graf závislosti kapacity na vzdálenosti elektrod. 8. Následující veličiny zkontrolujte pomocí serveru Moodle: ∙ intenzitu elektrického pole v bodě 𝐴, ∙ elektrický potenciál v bodě 𝐵, ∙ kapacitu jiskřiště.
6
1.4 Zadané hodnoty varianta = 25 R1 = 0.042 m R2 = 0.032 m d = 0.105 m U = 8000 V Ar = 0.02863 m Az = 0.03173 m Br = 0.0259 m Bz = 0.05111 m
7
2 Řešení 2.1 Matematický model 2.1.1 Oblast pro numerické řešení Vzledem k souměrnosti jiskřiště je možné modelovat pouze jednu polovinu. Při výpočtu kapacity je nutné energii dielektrika vynásobit dvěma.
Obrázek 2.1: Modelace s popisem oblastí
8
2.1.2 Diferenciální rovnice 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝜙) 𝜌 = 𝑑𝑖𝑣(𝐷)
2.1.3 Okrajové podmínky 1 V bodě X(r,z) pro 𝑟 ∈< 0; 𝑅1 >, 𝑧 ∈< 𝑑2 ; 𝑑±𝑅 > platí: 2
𝜙𝑥 = 𝑈
[𝑉 ]
2 V bodě X(r,z) pro 𝑟 ∈< 0; 𝑅2 >, 𝑧 ∈< − 𝑑2 ; − 𝑑±𝑅 > platí: 2
𝜙𝑥 = 0
9
[𝑉 ]
2.2 Výsledný model
Obrázek 2.2: Výsledný model
10
2.3 Rozložení ekvipotenciál
Obrázek 2.3: Rozložení ekvipotenciál
11
2.4 Vektory intenzity elektrického pole
Obrázek 2.4: Vektory intenzity elektrického pole
12
2.5 Minimální vzálenost elektrod Minimální vzdálenost elektrod je taková vzdálenost, při které je překročena elektrická pevnost a dojde k výboji mezi elektrodami. Na následujícím grafu je označena průsečíkem křivek. K průrazu by tedy mělo dojít při vzdálenosti 46,01 mm.
Tabulka 2.1: Podklad pro graf el. pevnosti 𝑉 ] Vzdálenost [𝑚𝑚] 𝐸1 [ 𝑚 elekrod (d) horní elektroda 105 196441 97,5 203768 90 211775 82,5 221271 75 232769 67,5 247033 60 263706 52,5 280961 45 315953 37,5 368081 30 454788 Poznámka: 𝐸1 je intenzita těsně pod horní elektrodou, kde je intenzita největší.
13
Obrázek 2.5: Minimální vzdálenost elektrod
14
2.6 Graf potenciálu
Obrázek 2.6: Graf potenciálu
15
2.7 Graf intenzity elektrického pole
Obrázek 2.7: Graf intenzity elektrického pole
16
2.8 Výpočet kapacity kulových elektrod 2.8.1 Pomocí energie elektrostatického pole Ze vzorce 𝑊 =
1 2
· 𝑈 2 · 𝐶 vyjídříme kapacitu a dosadíme: 𝐶=
2 · 8.105 · 10−5 2·𝑊 = = 2.532 2 𝑈 80002
[𝑝𝐹 ]
2.8.2 Pomocí náboje na jedné z elektrod Náboj na kladné elektrodě je 199.8 MC a mezi elektrodami je napětí 8 kV. Kapacitu vypočítáme z následujícího vztahu: 𝐶=
𝑄 1.998 · 108 = 2.323 = 𝑈 8 · 103
[𝑝𝐹 ]
2.9 Graf závislosti kapacity na vzdálenosti elektrod Tabulka 2.2: Podklad pro graf kapacity Vzdálenost [𝑚𝑚] 𝑊𝑒 [𝜇𝐽] 𝐶 [𝑝𝐹 ] elekrod (d) energie kapacita 105 162,1 25.328 97,5 166,26 25.978 90 168,76 26.369 82,5 171,62 26.816 75 174,92 27.331 67,5 178,8 27.938 60 183,42 28.659 52,5 189,08 29.544 45 196,18 30.653 37,5 205,4 32.094 30 218,1 34.078
17
Obrázek 2.8: Graf závislosti kapacity na vzdálenosti elektrod
18
2.10 Hodnoty zadané do serveru Moodle 1. Intenzita elektrického pole v bodě 𝐴(𝑟, 𝑧) : 𝐸 = 5.199 · 104 2. Elektrický potenciál v bodě 𝐵(𝑟, 𝑧) : 𝜙 = 7125 3. Kapacita jikřiště 𝐶 = 2.532
[𝑝𝐹 ]
19
[𝑉 ]
𝑉 [𝑚 ]
