1.1.3
Převody jednotek
Předpoklady: 010102 Pomůcky: Př. 1:
Převeď ze základní jednotky na jednotku v závorce. a) 1500 m [ km ] b) 0, 025 A [µA ] d) 0, 000 0045 m [ nm ]
e) 450 000 J [ GJ ]
c) 0, 2 N [ kN ]
f) 0, 002 2 F [ nF]
a) 1500 m [ km ] = 1500 ⋅ 0, 001km = 1,5 km
b) 0, 025 A [µA ] = 0, 025 ⋅1000 000µA = 25 000µA c) 0, 2 N [ kN ] = 0, 2 ⋅ 0, 001kN = 0, 000 2 kN
d) 0, 000 0045 m [ nm ] = 0,000 0045 ⋅1000 000 000 nm = 4 500 nm e) 450 000 J [ GJ ] = 450 000 ⋅ 0, 000 000 001GJ = 0, 000 45GJ f) 0, 002 2 F [ nF] = 0, 002 2 ⋅1 000 000 000 nF = 2 200 000 nF Př. 2:
Převeď na jednotku v závorce. a) 120 mm [ km ] b) 0, 007 MJ [ mJ ]
c) 83 000 nm [ mm ]
a) 120 mm [ km ] = 120 ⋅ 0, 001m = 0,12 m = 0,12 ⋅ 0, 001km = 0, 000 12 km
b) 0, 007 MJ [ mJ ] = 0, 007 ⋅1 000 000 J = 7 000 J = 7 000 ⋅1 000 mJ = 7 000 000 mJ c) 83 000 nm [ mm ] = 83 000 ⋅ 0, 000 001mm = 0,083mm
Složitější je převádění jednotek času, které se nepřevádějí pomocí mocnin desíti. 1den = 24 hod , 1hod = 60 min , 1min = 60 s Pedagogická poznámka: V následujícím příkladu žáci samozřejmě mohou počítat na kalkulačkách. Pokud je nemají, mohou v hodinách používat mobilní telefony, v písemkách jsou však povoleny pouze kalkulačky. Obecně razím zásadu, že do 100 je třeba počítat rychle a z hlavy, na ostatní výpočty je lepší používat kalkulačku. Př. 3:
Převeď na jednotku v závorce. a) 1h [s ] b) 15 min [ h ] d) 3 000s [ min ]
e) 900s [ h ]
a) 1h [s ] = 1⋅ 60 min = 1⋅ 60 ⋅ 60s = 3600s
1 15 1 h= h= h 60 60 4 c) 40 min [s ] = 40 ⋅ 60s = 2 400s b) 15 min [ h ] = 15 ⋅
1
c) 40 min [s ]
f) 3dny [ min ]
1 min = 50 min 60 1 1 1 1 e) 900s [ h ] = 900 ⋅ min = 900 ⋅ ⋅ h = h 60 60 60 4 f) 3dny [ min ] = 3 ⋅ 24 h = 3 ⋅ 24 ⋅ 60 min = 4 320 min d) 3 000 s [ min ] = 3 000 ⋅
Jednotky ostatních veličin se odvozují z jednotek základních.
Př. 4:
Odvoď základní jednotku: a) plochy, b) objemu,
c) hustoty.
a) plocha Plocha se počítá jako součin dvou vzdáleností: S = a ⋅ b Dosadíme jednotky: S = a ⋅ b = 1m ⋅1m = 1m 2 ⇒ Základní jednotkou plochy je 1m 2 . b) objem Objem určujeme jako třetí mocninu vzdálenosti: V = abc Dosadíme jednotky: V = abc = 1m ⋅1m ⋅1m = 1m3
⇒ Základní jednotkou objemu je 1m3 . c) hustota Hustotu určujeme podle vzorce: ρ = Dosadíme jednotky: ρ =
m V
m 1kg = = 1kg/m3 V 1m3
⇒ Základní jednotkou plochy je 1kg/m3 . Kromě jednotky můžeme ze vztahu odvodit i převodní koeficienty: 1m 2 cm 2 = 1m ⋅1m = 100 cm ⋅100 cm = 10000 cm 2 ⇒ •
Při převodu plošných jednotek posouváme desetinnou čárku o dvojnásobný počet míst. • Při převodu objemových jednotek posouváme desetinnou čárku o trojnásobný počet míst. Další jednotky plochy a objemu: • ar: 1a = 100 m 2 (čtverec 10 m x 10 m); •
hektar: 1ha = 10000 m 2 (čtverec 100 m x 100 m);
•
litr: 1l = 1dm3 .
Pedagogická poznámka: Na tomto místě se bavíme o tom, co je lepší si pamatovat. Při probírání převodů si pamatujeme, že u čtverečních jednotek posunujeme desetinnou čárku o dvojnásobný počet míst (u krychlových o trojnásobný), ale daleko důležitější je pamatovat si, že převodní vztah můžeme vypočítat. Jednak jde o nečíselnou logickou (a tedy snáze zapamatovatelnou informaci), ale hlavně je to jediný poznatek, který umožňuje najít řešení i v hodně zvláštních situacích. 2
Př. 5:
Převeď na jednotky v závorce. a) 15 m 2 dm 2 b) 130000 m 2 [ ha ]
c) 2000 mm3 m3
d) 150 l m3
f) 15 a m 2
e) 0, 003hl m3
a) 15 m 2 dm 2 = 15 ⋅100 dm 2 = 1500 dm 2 b) 130000 m 2 [ ha ] = 130000 ⋅ 0, 0001ha = 13ha c) 2000 mm3 m3 = 2000 ⋅ 0, 000000001m3 = 0, 000002 m3 d) 150 l m3 = 150 dm3 = 150 ⋅ 0, 001m 3 = 0,15 m3 e) 0, 003hl m3 = 0, 003 ⋅100 l = 0,3l = 0,3dm3 = 0, 3 ⋅ 0, 001m 3 = 0, 0003m3 f) 15 a m 2 = 15 ⋅100 m 2 = 1500 m 2 Poměrně snadno si můžeme odvodit převodové vztahy i pro složitější jednotky. Například: • základní jednotka rychlosti - m/s ; • často používaná jednotka rychlosti – km/h. Jak převedeme z m/s na km/h? 1 km 1m 1000 36 1m/s = = = km/h = 3, 6 km/h 1 1s h 10 3600
Př. 6:
Odvoď koeficient pro převod rychlosti z km/h na m/s.
1km/h =
1km 1000 m 1 = = m/s 1h 3600s 3, 6
Oba předchozí výsledky můžeme zapsat do schématu: 3,6
m/s
km/h
1 3,6 Na tomto místě je vhodné něco připomenout k procesu zapamatování. Lidská paměť není příliš stavěná na zapamatovávání čísel. Převody mezi km/h a m/s si můžeme pamatovat na několika úrovních. • Zpočátku budeme převádět jednotky rychlosti často a budeme si pamatovat schéma včetně šipek. • Po určité době si zřejmě budeme stále pamatovat číslo 3,6 ale nebudeme si jistí, kdy s ním násobit a kdy dělit. V takové situaci nám pomůže, když si uvědomíme „čeho je víc“ (vždy km/h).
3
•
V případě, že zapomeneme i převodní číslo, nezbývá než se vrátit na začátek a převod si opět odvodit. Nečíselné pravidlo („převod složené jednotky odvodíme dosazením převodů jednotek, ze kterých je složena“) je přesně to, co mozku vyhovuje nejvíce.
Převodní vztahy pro složené jednotky získáme tím, že převedeme postupně jednotlivé jednotky, ze kterých je jednotka složena. Př. 7:
Odvoď koeficienty pro převody jednotek. a) km/h [ km/s ] b) kg/m 3 g/cm3
c) N/m 2 N/cm 2
1km 1km 1 = = km/s 1h 3600s 3600 1kg 1000 g 1 b) kg/m3 = = = g/cm3 3 3 1m 1000000 cm 1000 1N 1N 1 c) N/m 2 = = = N/cm 2 2 2 1m 10000 cm 10000 a) 1km/h =
Pedagogická poznámka: Převody v exponenciálním tvaru jsem uvedeny spíše ze setrvačnosti. Většina žáků má s exponenciálním tvarem problémy, které je lepší řešit až ve chvíli, kdy bude exponenciální tvar opravdu třeba (gravitační zákon) a látka je probrána v matematice. Př. 8:
Pro jednu anglickou míli platí 1 mile ≐ 1 609 km . Kolik km 2 představuje 1 mile2 ?
1 mile2 = 1 mile ⋅1 mile ≐ 1, 609 km ⋅1, 609 km ≐ 2,589 km 2
Př. 9:
Pro anglickou jednotku délky yard platí 1 yd = 0, 9144 m . Vypočti převodní vztah pro převod: a) z m 2 na yd 2 ,
b) yd 3 na m 3 .
a) z m 2 na yd 2 1 yd = 0, 9144 m ⇒ 1 m =
1 yd 0,9144 2
1 m 2 = 1 m ⋅1 m =
1 1 1 yd ⋅ yd = yd 2 ≐ 1,196 yd 2 0,9144 0,9144 0,9144
b) yd 3 na m 3 1 yd 3 = 1 yd ⋅1 yd ⋅1 yd = 0,9144 m ⋅ 0,9144 m ⋅ 0, 9144 m ≐ 0, 7646 m 3
Př. 10: Najdi správné jméno (základní jednotka + odpovídající předpona) pro jednotky plochy ar a hektar. 1 a = 100 m 2 = 10 m ⋅10 m = (10 m ) = 1 dam 2 1 ar představuje čtverec o straně 10 m (tedy 1 dam - dekametr), jde tedy o dekametr čtvereční. 2
4
1 ha = 10 000 m 2 = 100 m ⋅100 m = (100 m ) = 1 hm 2 1 hektar představuje čtverec o straně 100 m (tedy 1 hm - hektometr), jde tedy o hektometr čtvereční. 2
Dodatek: Slovo hektar však spíše vzniklo zkrácením slova hektoar. Platí 1 ha = 100 a , protože nejde o čtvereční jednotky neznamená předpona hekto dvojnásobný počet nul. Pokud umíme používat exponenciální tvar čísla, jsou převody snazší. 2,1 ⋅102 µm = 2,1 ⋅102 ⋅10−6 m = 2,1 ⋅10−4 m 1, 4 ⋅10−5 Tm = 1, 4 ⋅10−5 ⋅1012 m = 1, 4 ⋅107 m ⇒ Při převádění v exponenciálním tvaru pouze měníme exponent u desítkové mocniny.
Př. 11: Zapiš v exponenciálním tvaru. a) 12000 m b) 0, 02 W
c) 105000 Pa
a) 12000 m = 1, 2 ⋅104 m
b) 0, 02 W = 2 ⋅10−2 W
c) 105000 Pa = 1, 05 ⋅105 Pa
d) 0, 000022 A = 2, 2 ⋅10−5 A
d) 0, 000022 A
Př. 12: Převeď na jednotku v závorce pomocí exponenciálního tvaru. a) 120 mm [ km ] b) 0, 007 MJ [ mJ ] c) 83000 nm [ mm ] a) 120 mm [ km ] = 1, 2 ⋅102 mm = 1, 2 ⋅102 ⋅106 km = 1, 2 ⋅10−4 km b) 0, 007 MJ [ mJ ] = 7 ⋅10−3 MJ = 7 ⋅10−3 ⋅109 mJ = 7 ⋅106 mJ
c) 83000 nm [ mm ] = 8,3 ⋅104 nm = 8,3 ⋅104 ⋅10−6 mm = 8,3 ⋅10−2 mm
Pedagogická poznámka: Pokud zbude čas, žáci samostatně převádějí příklady ze sbírky. Shrnutí: Převádění složených jednotek provádíme převedením jednotek, ze kterých se složená jednotka skládá.
5
