G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
6 Kansrekening 1/10
1
Het gooien van totaal 7 ogen met twee dobbelstenen heeft de grootste kans. Er zijn zes mogelijke uitkomsten met 7 ogen: 1+6; 2+5; 3+4; 4+3; 5+2 en 6+1. Er zijn vier mogelijke uitkomsten met 9 ogen: 3+6; 4+5; 5+4 en 6+3. (zie het rooster hiernaast)
2a
6 = 1 = 0,25. P (som minder dan vijf) = 24 4
2c
3 = 1 = 0,125. P (product is vier) = 24 8
2b
7 ≈ 0,292. P (verschil is meer dan twee) = 24
2d
4 = 1 ≈ 0,167. P (met beide evenveel) = 24 6
5 4 3 2 + 1 4 3 2 1
3a 3b 3c
6 5 4 3 2
7 6 5 4 3
8 7 6 5 4
9 8 7 6 5
10 9 8 7 6
4 3 2 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 − 1 2 3
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
4 4 8 12 16 3 3 6 9 12 2 2 4 6 8 1 1 2 3 4 × 1 2 3 4
6 7 r 5 6 o 4 5 o 3 4 15 = 5 ≈ 0, 417. P (som is minstens 8) = 36 12 d 2 3 15 = 5 ≈ 0, 417. 1 2 P (ogen op rode meer dan op gele) = 36 12 + 1
8 7 6 5 4 3 2
3 = 1 ≈ 0, 083. P (som is tien) = 36 12
g
4a
19 ≈ 0, 528. P (product minder dan twaalf) = 36
4b
8 = 2 ≈ 0,222. P (verschil is twee) = 36 9 6 1 P (aantallen gelijk) = 36 = 6 ≈ 0,167.
4c
9 8 7 6 5 4 3 e
6 5 4 3 2 1 × 1
10 11 12 9 10 11 8 9 10 7 8 9 6 7 8 5 6 7 4 5 6 e l
12 10 8 6 4 2 2
6 5 4 3 2 1
18 15 12 9 6 3 3
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 + 1 b
8 7 6 5 4 3 2 l
9 8 7 6 5 4 3 a
10 11 12 9 10 11 8 9 10 7 8 9 6 7 8 5 6 7 4 5 6 u w
6 R r 5 R o 4 R o 3 R d 2 R 1 = 1
R R R R = G 2
R R R = G G 3 e
R R = G G G 4 e
g r o e n
20 24 15 18 10 12 5 6 5 6
4 = 3 = 2 = 1 = 1 2 3 4 5 6
6 7 r 5 6 o 4 5 o 3 4 d 2 3 1 2 + 1
8 7 6 5 4 3 2
g
24 30 36 20 25 30 16 20 24 12 15 18 8 10 12 4 5 6 4 5 6
5 4 3 2 1 0 − 1 6 5 4 3 2 1
9 8 7 6 5 4 3 e 4 3 2 1 0 1 2
10 11 12 9 10 11 8 9 10 7 8 9 6 7 8 5 6 7 4 5 6 e l 3 2 1 0 1 2 3
2 1 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 5
g 0 1 2 3 4 5 6
4 = 1 = 0,125. P (aantallen gelijk) = 32 8
5c
7 ≈ 0,219. P (product is meer dan 16) = 32
5b
4 = 1 = 0,125. P (som is 8) = 32 8
5d
11 ≈ 0,344. P (verschil is hoogstens 1) = 32
5 4 3 2 + 1 4 3 2 1
6 5 4 3 2
7 6 5 4 3
8 7 6 5 4
9 8 7 6 5
10 9 8 7 6
11 10 9 8 7
12 11 10 9 8
M MK MM K KK KM K M
4 4 8 12 16 3 3 6 9 12 2 2 4 6 8 1 1 2 3 4 × 1 2 3 4
6a
P (twee keer munt) = 41 = 0,25.
7a
De drie sectoren zijn niet even groot (dus de kansen zijn niet gelijk).
8a
6 = 1 = 0, 5. P (geen C) = 12 2 3 = 1 = 0,25. P (twee gelijke) = 12 4
8b 9a
8c
3 = 0,25. P (C en A) = 12
C B A A
CA BA AA AA A
CC BC AC AC C
CP BP AP AP P
C B A A
CA BA AA AA A
CC BC AC AC C
10a
Aantal mogelijke uitkomsten = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. (aantal gunstige uitkomsten zijn kkkkm, kkkmk kkmkk, kmkkk en mkkkk of 5nCr1 = 5)
5 + 1 = 6 ≈ 0,188. P (meer dan drie keer munt) = P (m mmmk) + P (mmmm m) = 32 32 32
(aantal gunstige uitkomsten zijn mmmmk, mmmkm, mmkmm, mkmmm, kmmmm en mmmmm of 5nCr4 + 5nCr5 = 6)
10c
CP BP AP AP P
1 keer kop en 2 keer munt
5 ≈ 0,156. P (vier keer kop) = P (kkk km) = 32
10b
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
CC BC AC AC C
CP BP AP AP P
M MK MM K KK KM K M
(het maakt niet uit in welke volgorde)
(aantal gunstige uitkomsten zijn mmk, mkm, kmm en mmm of 3nCr2 + 3nCr3 = 4)
P (drie keer hetzelfde) = P (kk k) + P (mm m) = 81 + 81 = 82 = 41 = 0,25.
0 1 2 3 4
C B A A
CA BA AA AA A
kmm is een zelf bedachte schrijfwijze voor
P (meer dan één keer munt) = P (mmk) + P (mmm) = 38 + 81 = 84 = 21 = 0, 5.
9c
l
P (pijl wijst rood aan) = 41 = 0,25.
7b
8 (aantal gunstige uitkomsten kmm zijn kmm, mkm en mmk of 3nCr1 = 3)
9b
4 3 2 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 − 1 2 3
P (één keer kop) = 24 = 21 = 0, 5.
6b
Aantal mogelijke uitkomsten = 2 × 2 × 2 = 8. P (één keer kop) = P (kmm) = 3 = 0,375.
20 24 28 32 15 18 21 24 10 12 14 16 5 6 7 8 5 6 7 8
= G G G G G 6
6 = 5 = 4 = 3 = 2 = 1 = 1 2 3 4 5 6
5a
4 = 3 = 2 = 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
R = G G G G 5
1 + 1 = 2 = 1 ≈ 0, 063. P (vijf keer hetzelfde) = P (kkk kk) + P (mmmmm) = 32 32 32 16
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg 11a
6 Kansrekening 2/10
Aantal mogelijke uitkomsten = 6 × 6 × 6 = 216. P (som is 5) = P (113) + P (122) = 6 ≈ 0, 028. (aantal gunstige uitkomsten zijn 113, 131, 311, 122, 212 en 221 of 3nCr1 + 3nCr1 = 6)
11b
216
4 ≈ 0, 019. P (som is minder dan 5) = P (1 11) + P (11 2) = 216
(aantal gunstige uitkomsten zijn 111, 112, 121 en 211 of 3nCr3 + 3nCr1 = 4)
11c
6 ≈ 0, 028. P (drie keer hetzelfde) = P (1 11) + P (222) + P (333) + P (444) + P (555) + P (666) = 216
12a
1 ≈ 0, 028. (1 e rooster) P (vliegreis) = 36
12c
5 ≈ 0,139. (3e rooster) P (waarde ≥ € 550) = 36
12b
12 ≈ 0,333. (2e rooster) P (troostprijs) = 36
12d
15 ≈ 0, 417. (4 e rooster) P (geen prijs) = 36
500
500
500
500
50 50
50 50
50 50
50 50
50 50 500
50 50 500
50 50 500
50 50 500
13a
Twee keer kop bij tien worpen is wel degelijk mogelijk. (deze kans is zoals je later kunt berekenen ongeveer 0,04)
13b
Bij 1000 worpen 200 keer kop is ook mogelijk. (deze kans is zoals je later kunt berekenen vrijwel nul)
13c
Bij 250 worpen is de kans op 140 keer kop vrij klein, maar zeker niet nul. (conclusie van 'Die Welt' is dus aanvechtbaar)
14a
De relatieve frequenties zijn achtereenvolgens: 42 = 0, 42; 82 ≈ 0, 547; 100 150 181 ≈ 0,517; 184 = 0, 46; 350 400
108 = 0, 54; 116 = 0, 464; 143 ≈ 0, 477; 200 250 300 232 ≈ 0, 516 en 245 = 0, 49. 500 450
14b
Op den duur zal de relatieve frequentie naderen naar 1 = 0,5.
15a
De relatieve frequenties zijn achtereenvolgens:
2
31 = 0, 62; 61 = 0, 61; 89 ≈ 0,59; 114 = 0,57; 50 100 150 200 141 ≈ 0,56; 174 = 0,58; 282 ≈ 0,56; en 579 ≈ 0,58. 250 300 500 1000
15b
P (punt van punaise ligt omhoog) ≈ 0, 58.
15c
Dit is een foute redenering, want P (punt omhoog) ≠ P (punt niet omhoog). (dit blijkt uit de tabel)
16a
+ 7 = 26 ≈ 0, 456. P (15 °C of meer) = 1957 57
16b
44 ≈ 0, 772. P (minder dan 2 mm) = 30 +579 + 5 = 57
17a
Totale frequentie is 5 + 10 + 23 + 37 + 48 + 50 + 41 + 19 + 16 + 1 = 250 (potten pindakaas).
16c
21 + 12 P (minstens 1 uur zon) = 13 + 57
= 46 ≈ 0,807. 57
+ 37 + 48 + 50 = 0, 692. P (minder dan 353 gram) = 5 + 10 + 23250
17b
10 + 23 = 0,152. P (te weinig) = P (minder dan 350 gram) = 5 + 250
17c
Voer in: L1 = {347.5, 348.5, ..., 356.5} en L2 = {5, 10, ..., 1}. 1 − Var Stats L1, L2 geeft het gemiddelde 352 gram. 16 + 1 = 0,144. P (minstens 2 gram boven het gemiddelde) = P (minstens 354 gram) = 19 +250
kans 0, 40
18a
De telling duurde 15 + 20 + 8 + 10 + 4 + 3 = 60 minuten.
18b
Er zijn 5 ⋅ 15 + 6 ⋅ 20 + 7 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 9 ⋅ 4 + 10 ⋅ 3 = 397 fietsers geteld.
0, 30
18c
15 = 1 = 0,25. P (aantal fietsers per minuut is vijf) = 60 4
0, 20
18d
Zie de kanstabel (hieronder) en het kanshistogram (hiernaast). aantal per minuut
kans
18e
5
6
7
8
9
0,25 0,333 0,133 0,167 0,067
10 0,05
0, 10 5
De som van alle kansen is 15 + 20 + 8 + 10 + 4 + 3 = 60 = 1. Je hebt alle mogelijke uitkomsten. 60
60
6
7 8 9 10 aantal fietsers per minuut
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg 19a
6 Kansrekening 3/10
Totale frequentie is 3 + 1 + 3 + 5 + 4 + 4 = 20.
0, 30
3 = 15 = 0,15. P (0 minuten te laat) = 20 100
Zie de kanstabel (hieronder) en het kanshistogram (hiernaast). aantal minuten te laat kans
19b 19c
0
1
2
3
4
kans
0, 20
5
0, 10 0,05 0,15 0,25 0,2 0,2 4 + 4 8 4 P (meer dan 3 minuten te laat) = 20 = 20 = 10 = 0, 4. (of 0, 2 + 0, 2 = 0, 4) 5 + 4 = 12 = 6 = 0, 6. P (minstens 2, maar niet meer dan 4 minuten te laat) = 3 +20 20 10 0,15
20bd
0
20ace
Empirische kans.
21a
Kies bij Munten: Een munt; Aantal worpen: 50; Kans op kop: 0,25. Laat 200 kansexperimenten uitvoeren en tel hoe vaak: Aantal kop minder dan 7.
1
2
3 4 5 aantal minuten te laat
Theoretische kans.
Zie WERKBOEK-I bladzijde 53 en 54.
Je vindt bijvoorbeeld 4 keer. Dan is de gevraagde kans
4 = 0, 02. 200
21b
Bij 7 ⋅ 4 = 28 fouten heb je een 3. Dus je (hoogstens 28 fouten ofwel) minstens 22 juiste antwoorden. Tel hoe vaak Aantal kop minstens 22 is. Je vindt waarschijnlijk 0 keer. De gevraagde kans is dan 0.
22a
Kies bij Dobbelstenen voor Aantal dobbelstenen Drie en Aantal worpen 500. Kijk bij "Som ogen 10" naar Gemiddelde. Je vindt bijvoorbeeld 62. Dan is de gevraagde kans 62 = 0,124. 500
22b
Simuleer 1000 worpen. Kijk bij "Som ogen 12 tot en met 18" naar Gemiddelde. Je vindt bijvoorbeeld 121 + 107 + 60 + 48 + 37 + 15 + 5 = 393. De gevraagde kans is dan 393 = 0,393. 1000
22c
Simuleer bijvoorbeeld 2000 worpen. Kijk bij "Som ogen 9, 10 en 11" naar Gemiddelde. Je vindt bijvoorbeeld 227 + 245 + 268 = 740. De gevraagde kans is dan 740 = 0,37. 2000
22d
Simuleer bijvoorbeeld 5000 worpen. Je vindt bijvoorbeeld bij "Som ogen 6" als Gemiddelde 177 en bij "Som ogen 3, 4 of 5" als Gemiddelde 19 + 58 + 90 = 167. Op grond hiervaan kun je nog niet zeggen welke kans groter is, misschien zijn ze wel gelijk.
23
Kies bij Dobbelstenen voor Aantal dobbelstenen Een en Aantal worpen 10. Voer dit experiment 200 keer uit en tel hoe vaak er geen 0 in de rijtjes getallen voor komt. De relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans. Je vindt bijvoorbeeld 45 keer geen 0. Dan is de gevraagde kans 45 = 0,225. 200
24a
Kies de Random generator. Kies bij Instellingen van 1 tot 12 en Aantal getallen per experiment 30. Voer het experiment een aantal keren uit en kijk in het diagram hoeveel keer één of meer van de getallen 1 tot en met 12 geen blokje staat.
24b
De relatieve frequentie van de gebeurtenis bij 24a geeft een schatting van de gevraagde kans.
25
Kies de Random generator. Kies bij Instellingen van − 1 tot 1 en Aantal getallen per experiment 10. Vink Gemiddelde aan. Voer het experiment een aantal keren uit en tel hoe vaak het gemiddelde minstens 0,3 is. De relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans.
26
Kies de Random generator. Kies bij Instellingen van − 2 tot 2 en Aantal getallen per experiment 10. Vink Gemiddelde aan. Voer het experiment een aantal keren uit en tel hoe vaak het gemiddelde minstens 0,5 is. De relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans.
27
*
28a
P (jongen is geslaagd) =
aantal geslaagde jongens 58 aantal gunstige uitkomsten (kansdefinitie van Laplace) = = ≈ 0, 906. 64 aantal mogelijke uitkomsten aantal jongens
28b
P (meisje is geslaagd) =
aantal geslaagde meisjes = 47 ≈ 0, 922. 51 aantal meisjes
28c
P (examenkandidaat is geslaagd) =
aantal geslaagden = 105 ≈ 0, 913. 115 aantal examenkandidaten
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
6 Kansrekening 4/10
29a
44 ≈ 0, 454. P (werknemer 40 jaar of ouder is) = 3597+ 9 = 97
29b
+ 14 = 36 ≈ 0,371. P (werknemer minstens € 2500 verdient) = 2297 97
29c
8 + 5 = 13 ≈ 0,295. P (werknemer die 40 jaar of ouder is, € 2500 verdient) = 35 + 9 44
29d
+ 19 = 45 ≈ 0, 978. P (werknemer met een maandsalaris van € 2000, jonger is dan 50 jaar) = 5 + 21 46 46
29e
+ 19 = 45 ≈ 0, 464. P (werknemer € 2000 verdient en jonger is dan 50 jaar) = 5 + 21 97 97
30a
P (leerling met de bus of trein naar school komt) = 23 ≈ 0,295. 78
30b
18 ≈ 0,231. P (leerling 15 jaar is) = 78
30c
+ 5 = 21 ≈ 0,269. P (leerling ouder is dan 16 jaar) = 1678 78
30d
41 − 9 = 32 ≈ 0,533. P (leerling die ouder is dan 15 jaar, met de fiets of brommer naar school komt) = 78 − 18 60
30e
P (leerling met de fiets of brommer naar school komt én 16 jaar is) = 25 ≈ 0,321. 78
30f
P (leerling die met de fiets of brommer naar school komt, 16 jaar is) = 25 ≈ 0, 610. 41
30g
23 . Dus verwachte aantal in H4A is 23 ⋅ 28 ≈ 8. P (leerling met de fiets of trein naar school komt) = 78 78
30h
16 . Dus verwachte aantal in H4A is 16 ⋅ 28 ≈ 6. P (leerling is 17 jaar) = 78 78
31a
2581 ≈ 0,303. P (auto uit de richting west kwam) = 8527
31b
P (auto in de richting oost ging) = 2970 ≈ 0,348. 8527
31c
982 ≈ 0, 470. P (auto die uit de richting noord kwam, verder ging in de richting west) = 2088
31d
+ 51 + 1682 = 3497 ≈ 0, 410. P (auto rechtdoor ging) = P (N → Z of O → W of Z → N of W → O) = 53 + 1711 8527 8527
31e
+ 830 + 408 = 2445 ≈ 0,287. P (auto linksaf sloeg) = P (N → O of O → Z of Z → W of W → N) = 1053 + 154 8527 8527
31f
408 ≈ 0,158. P (auto uit de richting west, verder ging in de richting noord) = 2581
31g
2581 . Dus verwachte aantal 2581 ⋅ 7 520 ≈ 2276. P (auto uit de richting west kwam) = 8527 8527
32a
P (een 40-jarige 60 jaar wordt) = 85948 ≈ 0,874. 98359
32b
P (een 70-jarige 80 jaar wordt) = 35064 ≈ 0, 523. 67044
32c
− 85948 = 8693 ≈ 0, 092. P (een 50-jarige geen 60 jaar wordt) = 94641 94641 94641
32d
− 35064 = 43086 ≈ 0,551. P (een 65-jarige geen 80 jaar wordt) = 78150 78150 78150
33a
14 . P (reisafstand 0 − < 20 is) = 83
33d
11 . P (die zonder kortingskaart reist, 20 − < 40 km aflegt) = 46
33b
+ 25 = 49 . P (reisafstand 40 of meer is) = 2483 83
33e
6 . P (met kortingskaart reist én 0 − < 20 km aflegt) = 83
33c
9 . P (die 20 − < 40 km aflegt, met kortingskaart reist) = 20
33f
11 . P (die 20 − < 60 km aflegt, met kortingskaart reist) = 44
34a
30% van 70% is 21%, dus 0,21.
34c
Bij R : 0, 7 × 0,2 = 0,14; bij S : 0,3 × 0, 5 = 0,15; bij T : 0,3 × 0,5 = 0,15.
34d
Dit zal 1 moeten zijn. Controle: 0,35 + 0,21 + 0,14 + 0,15 + 0,15 = 1 klopt!
35a
Drie van de vier knikkers zijn rood.
35c
Er zijn 12 mogelijke uitkomsten; de uitkomst rr komt 6 keer voor.
35d
6 = 1 = 0,5. P (rr) = 12 2
34b
35b
35e
0, 7 × 0,5 = 0,35.
P (rood uit II) = 23 . 6 = 1 = 0,5. P (rr) = 34 × 23 = 12 2
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
6 Kansrekening 5/10
1 5
4
36a 36b
2 ≈ 0,133. P (44) = 23 × 51 = 15 2 ≈ 0,133. P (56) = 31 × 52 = 15
36c 36d
1 ≈ 0, 067. P (54) = 31 × 51 = 15 4 ≈ 0,267. P (45) = 23 × 25 = 15
2 3
1 3
1 5
5
5 × 2 = 10 = 1 = 0,2. P (w w) = 10 5 50 5
37b
2 × 2 = 4 = 2 = 8 = 0, 08. P (rb) = 10 5 50 25 100
37d
3 × 2 = 6 = 3 = 12 = 0,12. P (bw) = 10 5 50 25 100
37c
5 × 1 = 5 = 1 = 0,1. P (w g) = 10 5 50 10
37e
5 × 2 = 10 = 1 = 0,2. P (w b) = 10 5 50 5
2 5
r
Zie de kansboom hiernaast.
38c
6 = 1 = 0,1. P (w w w) = 31 × 52 × 34 = 60 10
38b
2 = 1 ≈ 0, 033. P (rr r) = 23 × 51 × 41 = 60 30
38d
4 = 1 ≈ 0, 067. P (rr b) = P (r br) = 23 × 25 × 41 = 60 15
39a
1 ≈ 0, 083. P (bbb) = 21 × 31 × 21 = 12 1 ≈ 0, 042. P (kk k) = 41 × 31 × 21 = 24
39d
5 45 6 46
2 3
1 ≈ 0, 042. P (ccb) = P (ccb) = 41 × 31 × 21 = 24 P (ccc) = 41 × 31 × 0 = 0.
2 5 2 5
1 3
1 5
w
4 54 2 5
5 55 6 56 1 4
r
1 5
38a
39c
2 5
Start
37a
39b
2 5
4 44
2 5 2 5
w
b r w b
r 3 4
1 4
3 4
1 4 1 4 1 4 1 4
3 4
w r
3 4
w r
3 4
w r w
3 4
40a
Dit is een empirische kans.
40c
P (salade,vegetarisch, pudding) = 0, 4 × 0,2 × 0,2 = 0, 016.
40b
P (soep,vlees, ijs) = 0, 6 × 0,5 × 0, 8 = 0,24.
40d
P (soep, vis,ijs) = 0, 6 × 0,3 × 0, 8 = 0,144. Dus naar verwachting 0,144 ⋅ 500 = 72 gasten.
41a
12 = 0, 48; P (leerling is 15 jaar) = 12 = 0, 48; P (leerling is 16 jaar) = 10 = 0, 4. P (leerling is jongen) = 25 25 25
41b
+ 5 = 17 = 0, 68. (Joost telt de 7 jongens van 15 jaar dubbbel) P (leerling is een jongen of 15 jaar) = 1225 25 P (leerling is 15 of 16 jaar) = P (leerling is 15 jaar) + P (leerling is 16 jaar). (is juist omdat geen enkele leerling 15 jaar én 16 jaar is)
41c
w r w r
42a
2 + 1 + 1 = 4 = 1 ≈ 0,333. P (gelijke kleuren) = P (r r) + P (g g) + P (b b) = 24 × 31 + 41 × 31 + 41 × 31 = 12 12 12 12 3
42b
2 + 1 = 3 = 1 = 0,25. P (r g) = P (r g) + P (g r) = 24 × 31 + 41 × 31 = 12 12 12 4
42c
1 + 1 = 2 = 1 ≈ 0,167. P (g b) = P (g b) + P (b g) = 41 × 31 + 41 × 31 = 12 12 12 6
42d
4 = 1 ≈ 0,333. P (r r) = 24 × 23 = 12 r betekent: "niet r" 3
42e
2 + 3 = 5 ≈ 0, 417. P (g g) = P (g g) + P (g g) = 41 × 23 + 43 × 31 = 12 12 12
43a
4 = 1 ≈ 0,333. P (2 2) = 24 × 23 = 12 3
43b
2 + 3 = 5 ≈ 0, 417. P (33) = P (33) + P (3 3) = 41 × 23 + 43 × 31 = 12 12 12
43c
1 + 2 = 3 = 0,25. P (som is 4) = P (1 3) + P (22) = P (1 3) + P (22) = 41 × 31 + 24 × 31 = 12 12 12
43d
2 + 1 + 1 = 4 ≈ 0,333. P (som is meer dan 5) = P (24) + P (33) + P (34) = P (24) + P (33) + P (34) = 24 × 31 + 41 × 31 + 41 × 31 = 12 12 12 12
44a
1 + 4 + 12 = 17 ≈ 0,142. P (gelijke kleuren) = P (rr r) + P (w w w) + P (bbb) = 51 × 61 × 41 + 52 × 26 × 41 + 25 × 63 × 24 = 120 120 120 120
44b
8 + 6 + 4 = 18 = 0,15. P (w w b) = P (w w b) + P (w bw) + P (bw w) = 25 × 26 × 24 + 25 × 63 × 41 + 25 × 26 × 41 = 120 120 120 120
44c
18 = 0,15. P (b b b) = 35 × 36 × 24 = 120
45a
25 + 25 + 25 = 75 ≈ 0,347. P (5 5 5) = P (5 5 5) + P (5 5 5) + P (5 5 5) = 61 × 56 × 56 + 56 × 61 × 56 + 56 × 56 × 61 = 216 216 216 216
45b
1 + 1 + 1 = 3 ≈ 0, 014. P (663) = P (663) + P (636) + P (366) = 61 × 61 × 61 + 61 × 61 × 61 + 61 × 61 × 61 = 216 216 216 216
45c
64 ≈ 0,296. P (met elke dobbelsteen 3 of meer) = 46 × 46 × 46 = 216
46a
12 = 1 = 0,2. P (b b b) = 24 × 23 × 53 = 60 5
46b
2 + 2 + 4 = 8 = 2 ≈ 0,133. P (ccb) = P (ccb) + P (cbc) + P (bcc) = 41 × 31 × 25 + 41 × 31 × 25 + 24 × 31 × 25 = 60 60 60 60 15
op schijf I hoort een kwart blauw gekleurd te zijn (dus geen groen)
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg 46c 46d 46e
6 Kansrekening 6/10
2 × 1 × 2 + 1 × 1 × 2 + 1 × 1 × 1 = 4 + 2 + 1 = 7 ≈ 0,117. 60 4 3 5 4 3 5 4 3 5 60 60 60 9 4 3 4 3 3 1 1 1 2 1 1 1 2 P (kk k) = P (kk k) + P (k k k) + P (k kk) = 4 × 3 × 5 + 4 × 3 × 5 + 4 × 3 × 5 = 60 + 60 + 60 = 60 = 20 = 0,15. 12 + 6 + 8 = 26 = 13 ≈ 0, 433. P (b b b) = P (b b b) + P (b b b) + P (b b b) = 24 × 23 × 53 + 24 × 31 × 53 + 24 × 23 × 25 = 60 60 60 60 30
P (drie dezelfde vruchten) = P (bbb) + P (c cc) + P (k kk) =
47a
P (drie gelijke vruchten) = P (ppp) + P (k kk) + P (c cc) =
47b
P (p p p) =
47c 47d
3 × 1 × 2 + 2 × 1 × 2 + 2 × 6 × 3 = 6 + 4 + 36 = 46 ≈ 0, 090. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 512 512 512 512
5 × 7 × 6 = 210 ≈ 0, 410. 8 8 8 512 49 ≈ 0, 766. P (a a a) = 78 × 1 × 78 = 64 12 + 18 = 30 ≈ 0, 059. P (cc a) = P (cc a) + P (acc) = 28 × 86 × 81 + 81 × 86 × 83 = 512 512 512
48a
6 = 24 = 0,24. P (ab) = P (ab) + P (b a) = 2 ⋅ P (ab) = 2 ⋅ 53 × 51 = 25 100
48b
P (twee gelijke vruchten) = P (a a) + P (bb) + P (pp) =
48c
3 × 3 + 1 × 1 + 1 × 1 = 9 + 1 + 1 = 11 = 44 = 0, 44. 5 5 5 5 5 5 25 25 25 25 100 2 = 8 = 0, 08. P (bp) = P (bp) + P (pb) = 2 ⋅ P (bp) = 2 ⋅ 51 × 51 = 25 100
48d
2 16 = 64 = 0, 64. P (p p) = 54 × 54 = 54 = 25 100
49a
3 8 = 64 = 0, 064. P (rr r) = 25 × 25 × 25 = 25 = 125 1000
49b
( )
48e
4 P (b b b b) = 54 × 54 × 54 × 54 = 54 = 0, 4096.
( )
( ) 3 27 = 216 = 0,216. P (r r r) = 53 × 53 × 53 = ( 35 ) = 125 1000
49c
12 = 96 = 0, 096. P (rr b) = P (r rb) + P (r br) + P (brr) = 3 ⋅ P (r rb) = 3 ⋅ 25 × 25 × 51 = 125 1000
49d
36 = 288 = 0,288. P (r r r) = P (r r r) + P (r r r) + P (r rr) = 3 ⋅ P (r r r) = 3 ⋅ 25 × 25 × 53 = 125 1000
50a
4 P (2 2 2 2) = 34 × 34 × 34 × 43 = 34 ≈ 0,316.
50b
P (2222) = P (2222) + P (222 2) + P (22 22) + P (2 222) = 4 ⋅ P (2222) = 4 ⋅ 41 × 41 × 41 × 34 = 124 ≈ 0, 047.
50c
P (44 4 4) = 4nCr2 ⋅ P (44 4 4) = 4nCr2 ⋅ 41 × 41 × 34 × 34 = 4nCr2 ⋅ 94 ≈ 0,211. 4
( )
4
51a
P (dezelfde bloedgroep) = P (A A) + P (B B) + P (AB AB) + P (O O) = 0, 412 + 0, 092 + 0, 042 + 0, 462 = 0,3894.
51b
• P (dezelfde bloedgroep) = 0,3894. Dus naar verwachting 0,3894 ⋅ 1 500 ≈ 584 echtparen. • P (A O) = P (A O) + P (O A) = 2 ⋅ P (A O) = 2 ⋅ 0, 41 ⋅ 0, 46 = 0,3772. Dus naar verwachting 0,3772 ⋅ 1 500 ≈ 566 echtparen.
51c
P (O) = 0, 46 ⇒ P (O) = 1 − 0, 46 = 0, 54. P (meer dan 7) = P (8) + P (9) + P (10) = 10nCr8 ⋅ 0, 468 ⋅ 0, 542 + 10nCr9 ⋅ 0, 469 ⋅ 0, 541 + 0, 4610 ≈ 0, 032.
52a
P (75 75 75) = 0, 723 ≈ 0,373.
52b
P (75 75 75) = 0,283 ≈ 0, 022.
52c
P (75 75 75 75) = 4nCr3 ⋅ 0, 723 ⋅ 0,281 ≈ 0, 418.
53a
P (j j j j) = 0, 5114 ≈ 0, 068.
53b
P (j j j j) = 4nCr3 ⋅ 0,5113 ⋅ 0, 489 ≈ 0,261.
53c
P (j j j j) = 4nCr2 ⋅ 0,5112 ⋅ 0, 4892 ≈ 0,375. Dus naar verwachting 0,375 ⋅ 744 ≈ 279 gezinnen.
53d
P (één jongen en drie meisjes) = P (j j j j) = 4nCr1 ⋅ 0,5111 ⋅ 0, 4893 ≈ 0,239. Dus naar verwachting 1 ⋅ 0,239 ⋅ 744 + 2 ⋅ 0,375 ⋅ 744 + 3 ⋅ 0,261 ⋅ 744 + 4 ⋅ 0, 068 ⋅ 744 ≈ 1 521 jongens.
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg 54a
6 Kansrekening 7/10
P (l) = 0,18 ⇒ P (r) = 1 − 0,18 = 0, 82. P (l l l r r r r r) = 8nCr3 ⋅ 0,183 ⋅ 0,825 ≈ 0,121.
54b 54c
P (r r r r r r r r) = 0,828 ≈ 0,204. P (minder dan drie linkshandig) = P (hoogstens twee linkshandig) = P (r r r r r r r r) + P (l r r r r r r r) + P (l l r r r r r r) = 0,828 + 8nCr1 ⋅ 0,18 ⋅ 0,827 + 8nCr2 ⋅ 0,182 ⋅ 0,826 ≈ 0,839.
55a
P (S) = 0,15 ⇒ P (S) = 0, 85. P (S S S S S S S S S S) = 0,8510 ≈ 0,197.
55b
P (S S S S S S S S S S) = 10nCr2 ⋅ 0,152 ⋅ 0, 858 ≈ 0,276.
55c
Naar verwachting bij 0,276 ⋅ 23 ≈ 6 leerlingen.
56a
P (S) = 0, 4 ⇒ P (S) = 0, 6. P (tweede herkansing slagen) = P (S S S) = 0, 62 ⋅ 0, 4 = 0,144. (voor het toelatingsexamen en de eerste herkansing niet slagen)
56b
P (toegelaten) = P (S) + P (S S) + P (S S S) = 0, 4 + 0, 6 ⋅ 0, 4 + 0, 62 ⋅ 0, 4 = 0, 784. Anders: P (toegelaten) = P (niet drie keer zakken) = 1 − P (S S S) = 1 − 0, 63 = 0, 784.
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
6 Kansrekening 8/10
Diagnostische toets D1a
3 = 0,1875 ≈ 0,188. P (som meer dan 6) = 16
D1b D1c
6 = 3 = 0,375. P (verschil is 1) = 16 8 6 = 0,375. P (product meer dan 6) = 16
D2a
Aantal mogelijke uitkomsten = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
5 4 3 2 + 1 4 3 2 1
6 5 4 3 2
7 6 5 4 3
8 7 6 5 4
4 3 2 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 − 1 2 3
0 1 2 3 4
4 4 8 12 16 3 3 6 9 12 2 2 4 6 8 1 1 2 3 4 × 1 2 3 4
4 = 1 = 0,25. P (precies één keer kop) = P (k mmm) = 16 4
(aantal gunstige uitkomsten zijn kmmm, mkmm mmkm en mmmk of 4nCr1 = 4)
D2b P (meer dan één keer kop) = P (k kmm) + P (kkk m) + P (kk kk) = 11 = 0, 6875 ≈ 0, 688.
16 (aantal gunstige uitkomsten: kkmm, kmkm kmmk, mkkm, mkmk, mmkk, kkkm, kkmk, kmkk, mkkk en kkkk of 4nCr2 + 4nCr3 + 4nCr4 = 11)
D3a
+ 35 = 46 ≈ 0,548. P (minder dan 2 uur per week pianospeelt) = 1184 84
D3b P (ouder is dan 11 jaar én minstens 2 uur per week pianospeelt) = 7 + 3 + 3 + 6 = 19 ≈ 0,226. 84
D3c
84 1 + 14 15 ≈ 0, 682. P (uit de leeftijdsgroep 9 − 11 jaar minder dan 2 uur per week pianospeelt) = 22 = 22
D4a
18 = 0,1875 ≈ 0,188. P (een parkietje van één jaar mistens vier jaar wordt) = 96
D4b P (een parkietje van twee jaar geen vier jaar wordt) = 83 − 18 = 65 ≈ 0, 783. 83
D4c
83
− 18 = 33 = 0,275. P (een parkietje uit het ei stefrt als het drie jaar oud is) = 51120 120
D4d P (een driejarig parkietje binnen een jaar sterft) = 51 − 18 = 33 ≈ 0, 647. 51
D5a
6 × 6 = 36 ≈ 0,205. P (ro ro) = 11 16 176
51
D5c
3 × 6 = 18 ≈ 0,102. P (ge ro) = 11 16 176
D6c
P (getal kleiner dan 210) = P (eerst een 1) = 24 = 21 = 0,5.
D5b P (bl gr) = 2 × 6 = 12 ≈ 0, 068. 11
D6a
16
176
1 ≈ 0, 033. P (123) = 21 × 31 × 51 = 30
D6b P (getal groter dan 331) = P (331) = 1 × 1 × 3 = 3 = 1 = 0, 05. 4
D7a
3
5
60
20
4 + 2 + 1 = 7 ≈ 0,117. P (drie gelijke) = P (111) + P (222) + P (333) = 24 × 31 × 25 + 41 × 31 × 25 + 41 × 31 × 51 = 60 60 60 60
D7b P (1 1 1) = 2 × 2 × 3 = 12 = 1 = 0,2. 4
3
5
60
5
D7c
5 P (2 2 2 2 2) = 34 × 34 × 34 × 34 × 34 = 34 ≈ 0,237.
D8a
P (geen (5 of 6)) = P (1 of 2 of 3 of 4) = 46 = 32 = P (succes) = P (s).
( )
( )
P (ssss) = 23 × 23 × 23 × 23 = 32
4
≈ 0,198. (op het laatst pas afronden)
3 D8b P (33 3 3) = 4nCr1 ⋅ 1 ⋅ 5 ≈ 0,386. 6
D8c
(6)
P (meer dan 3) = P (4 of 5 of 6) = 36 = 21 = P (succes) = P (s).
4 P (ssss) = 21 = 0, 0625 ≈ 0, 063.
( )
D9a
P (lid) = P (s) = 0, 038 ⇒ P (geen lid) = P (s) = 1 − 0, 038 = 0, 962. P (s s s s ... s) = 0, 96225 ≈ 0,380.
D9b P (ss s s ... s) = 25nCr2 ⋅ 0, 0382 ⋅ 0, 96223 ≈ 0,178. D9c
P (s s s s ... s) + P (s s s s ... s) + P (ss s s ... s) = 0, 96225 + 25nCr1 ⋅ 0, 038 ⋅ 0, 96224 + 25nCr2 ⋅ 0, 0382 ⋅ 0, 96223 ≈ 0, 932.
D9d P (s s s s ... s) = 25nCr1 ⋅ 0, 038 ⋅ 0, 96224 ≈ 0,375. Dus naar verwachting 0,375 ⋅ 30 ≈ 11 leerlingen.
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
G10a G10b
6 Kansrekening 9/10
Gemengde opgaven 6. Kansverdeling
G10c P (verschil is 2) = 8 = 2 ≈ 0,222.
3 = 1 ≈ 0, 083. P (som is 10) = 36 12 4 P (product is 12) = 36 = 91 ≈ 0,111.
G10d
8 7 6 5 4 3 + 2
8 7 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 1
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
11 10 9 8 7 6 5
12 10 8 6 4 2 × 2 6 5 4 3 2 1
36 9 6 P (hetzelfde) = 36 = 61 ≈ 0,167.
G10e P (met gewone meer dan met de andere) = 15 = 5 ≈ 0, 417. 36
12 10 8 6 4 2 2
18 15 12 9 6 3 3
24 30 20 25 16 20 12 15 8 10 4 5 4 5
30 25 20 15 10 5 5
4 3 2 1 0 1 − 2 6 5 4 3 2 1
4 3 2 1 0 1 2
3 2 1 0 1 2 3
2 1 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 5
1 0 1 2 3 4 5
6 5 4 3 2 1
G G G G = A 2
G G G G = A 2
G11a P (elke schijf € 10) = 2 × 1 × 1 = 2 = 1 ≈ 0, 042. 3
4
4
48
24
G11b P (korting is € 80) = P (30, 30, 20) = P (30, 30, 20) = 1 × 1 × 2 = 2 = 1 ≈ 0, 042. 4
G11c G11d
3
4
48
24
1 ≈ 0, 021. P (twee keer 30 en één keer 10) = P (30, 30, 10) = P (30, 30, 10) = 41 × 31 × 41 = 48 1 ≈ 0, 004. P (schijf III vier keer achter elkaar € 10) = P (10, 10, 10, 10) = 41 × 41 × 41 × 41 = ( 41 ) 4 = 256
G12a P (in 2006 FRA) = 243 ≈ 0,251. 970
G12b P (in 2007 NED) = 196 ≈ 0,202. 970
G12c P (in 2006 SPA én in 2007 FRA) = 67 ≈ 0, 069. G12d G12e G12f G12g
970 207 − 43 = 164 ≈ 0,169. P (in 2006 SPA én in 2007 SPA) = 970 970 196 − 81 115 ≈ 0,119. P (in 2006 NED én in 2007 NED) = 970 = 970 199 ≈ 0, 819. P (die in 2006 FRA, in 2007 weer FRA) = 243 199 ≈ 0, 607. P (die in 2007 FRA, in 2006 ook FRA) = 328
G13a P (minstens 50 wordt) = 64 ≈ 0,225. 285
G13b P (die 20 is, wordt minstens 40) = 113 ≈ 0, 601. G13c G13d
188 207 − 51 ≈ 0,246. P (die 10 is, wordt geen 30) = 207156 = 207 − 13 = 51 ≈ 0,327. P (die 30 is, wordt 50 maar geen 60) = 64156 156
G14a P (r r r) = 3 × 5 × 6 = 0,125. 6
10
12
G14b P (g g g) = P (g g g) + P (g g g) + P (g g g) = 0 + 0 + 1 × 3 × 2 = 6 = 0, 05. 10
12
120
G14c P (b r g) = P (b r g) + P (b g r) + P (r b g) + P (r g b) + P (g r b) + P (g b r) = 3 × 5 × 2 + 3 × 3 × 6 + 3 × 2 × 2 + 3 × 3 × 4 + 0 + 0 = 30 + 54 + 12 + 36 = 132 ≈ 0,183. 6
G14d
10
12
6
10
12
6 10 12 6 10 12 720 720 720 720 90 3 5 6 3 4 24 = 114 ≈ 0,158. 2 P (r r r) + P (b b b) + P (g g g) = 6 × 10 × 12 + 6 × 10 × 12 + 0 = 720 + 720 720
G15a P (som minstens 8) = P (succes) = P (s) = 15 = 5 . (zie het rooster hiernaast) 36
12
3 G15b P (s s s) = 5 × 5 × 5 = 5 ≈ 0, 072. 12
12
12
( 12 )
G15c
5 ⇒ P (s) = 1 − 5 = 12 − 5 = 7 . P (s) = 12 12 12 12 12 7 7 7 7 = 7 4 ≈ 0,116. P (s s s s) = 12 × 12 × 12 × 12 12
G15d
Je verwacht dat ze 60 ⋅ 5 = 25 keer mistens 8 gooit. 12
( )
3 G16a P (b b b) = 3 × 3 × 3 = 3 ≈ 0, 422. 4
4
4
(4)
7 6 5 4 3 2 + 1 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
720
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
G G G = A A 3
12
G G = A A A 4
G = A A A A 5
G = A A A A 5
G&R havo A deel 2 C. von Schwartzenberg
6 Kansrekening 10/10
G16b P (r r b) = P (r r b) + P (r b r) + P (b r r) = 3nCr2 × P (r r b) = 3nCr2 × 1 × 1 × 1 ≈ 0,188. G16c G16d G16e G16f
2 2 4 3 3 3 P (drie keer dezelfde kleur) = P (r r r) + P (b b b) + P (g g g) = 21 + 41 + 41 ≈ 0,156. 8 P (r r r r r r r r) = 8nCr7 × 21 × 21 ≈ 0, 031. 8 P ((b b b b b b b b) = 34 ≈ 0,100. 2 6 P (r r r r r r b b) = 8nCr6 × 21 × 41 ≈ 0, 027.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
G17a P (t t t t t t ... t) = 20nCr4 × 0,15 4 × 0, 8516 ≈ 0,182. G17b P (z z z z ... z) + P (z z z z ... z) + P (z z z z ... z) = 20nCr2 × 0,12 × 0, 918 + 20nCr1 × 0,1 × 0, 919 + 0, 920 ≈ 0, 677. G17c P (caravan of tent) = P (s) = 0,3 ⇒ P (s) = 1 − 0,3 = 0, 7.
P (s s s s s s s s s s ... s) + P (s s s s s s s s s s ... s) = 20nCr8 × 0,38 × 0, 7 12 + 20nCr9 × 0,39 × 0, 711 ≈ 0,180. G17d P (z z z z ... z) = 0, 920 (kans dat in een uur niemand een zomerhuisje aangaf). Van 9:00 tot 17:00 zijn 17 − 9 = 8 uur ⇒ gedurende drie dagen is dat 24 uur. Je verwacht 24 × 0, 920 ≈ 3 keer. G18a P (s s s s s s s s s s) = 0, 6810 ≈ 0, 021. G18b P (s s s s s s s s s s) = 10nCr7 × 0, 687 × 0,323 ≈ 0,264. G18c P (s s s s s s s s s s) + P (s s s s s s s s s s) = 10nCr9 × 0, 689 × 0,32 + 0, 6810 ≈ 0,121. G19a De 50 witte flessen gaan in het gat voor wit. Van de 50 groene en bruine flessen belandt (naar verwachting) de helft, dus 25, in het goede gat. Het totale aantal flessen in het goede gat is dan 50 + 25 = 75. G19b P (witte fles in het gat voor wit) = 0, 5 ⋅ 1. P (groene fles in het gat voor groen) = 0, 4 ⋅ 0,8. P (bruine fles in het gat voor bruin) = 0,1 ⋅ 0,2. P (fles komt goed terecht) = 0, 5 + 0,32 + 0, 02 = 0,84. G19c Bijvoorbeeld door alle gekleurde flessen in het gat voor groen ⇒ kans = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 4 ⋅ 1 = 0, 9. G20a Vier dezelfde vlippo's wil zeggen vier van de ene soort of vier van de andere soort.
De kans op vier van de ene soort is 0, 5 4 = 0, 0625. (dezelfde kans op vier van de andere soort) De gevraagde kans is 0, 0625 + 0, 0625 = 0,125. of De eerste vlippo is altijd goed en de vlippo's in de zakken 2, 3 en 4 moeten hetzelfde zijn als de eerste vlippo. De kans daarop is voor elke vlippo 0,5. De gevraagde kans is 1 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,125.
G20b De eerste twee vlippo's zijn gelijk en de derde is anders.
P (AAB) = 0,53 = 0,125 en P (BBA) = 0,125. De gevraagde kans is 0,125 + 0,125 = 0,25. of De eerste vlippo is altijd goed en de tweede vlippo moet hetzelfde als de eerste vlippo zijn: kans = 1 ⋅ 0,5 = 0,5. De derde vlippo moet van de andere soort zijn: kans = 0,5. De gevraagde kans is 1 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25.
G20c De kansen op een goede vlippo zijn achtereenvolgens 1, 4 , 3 , 2 en 1 . 5
5
5
5
De kans op vijf verschillende vlippo's is 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 0, 0384 (of ≈ 0,04). 5 5 5 5
G20d n ! > 0, 00001 (met n geheel) ⇒ TABLE geeft nmax = 13. nn
