10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

Střední hodnoty, geometrický průměr © Aleš Drobník

strana 1

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý stanoví obdobně jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: 

místo sčítání se použije násobení,



a místo dělení odmocnina.

Takže geometrický průměr prostý z čísel x1, x2 až xn vypočteme takto:

Gn

n

x

i

 n x1.x2 . ... .xn

i 1

Symbol velkého „pí“ znamená součin jednotlivých hodnot xi, kde index i probíhá od hodnoty 1 do hodnoty n. Geometrický průměr vážený vzniká v případě, když se některá hodnota opakuje. Pokud se například některá hodnota opakuje dvakrát, pak místo součinu dvou hodnot lze umocnit tuto hodnotu na druhou. Příklad 10.12 Obchodník stanovil cenu výrobku (kapesní kalkulačky) na hodnotu h = 100 Kč. 

Pak cenu zvýšil o 10 %, tj. na 110 %, neboli 1,1×. Neboli koeficient růstu čili index řetězový je 1,1.



Po nějaké době cenu zvýšil znovu o 20 % z již zvýšené ceny, tj. na 120 %, neboli 1,2×. Neboli koeficient růstu čili index řetězový je 1,2.

Jaký je průměrný koeficient růstu neboli průměrný index řetězový? Řešení: Po prvním zdražení byla cena výrobku: 100 Kč  1,1 = 110 Kč Po druhém zdražení byla cena výrobku:


strana 2

110 Kč  1,2 = 132 Kč což lze vypočítat také jako: 100 Kč  1,1  1,2 = 100 Kč  1,32 = 132 Kč Jaký je průměrný koeficient růstu neboli průměrný index řetězový? 

Aritmetický průměr koeficientů růstu by byl:

x



x1.  x2 1,1  1,2   1,15 2 2

Geometrický průměr koeficientů růstu by byl:

G2

2

x

i

 2 x1.x2  2 1,1.1,2  2 1,32  1,1489

i 1

Jaký použijeme průměr pro stanovení průměrného koeficientu růstu? Uvědomíme si, že když platí:

2

1,32  1,1489

pak po umocnění druhou mocninou platí též: 1,32  1,14892

Co to znamená? Že kdyby se cena dvakrát zvýšila právě 1,1489×, tak by výsledná cena byla na stejné hodnotě 132 Kč, neboť: 100 Kč  1,1489  1,1489 = 100 Kč  1,32 = 132 Kč Geometrický průměr lze použít ke stanovení průměrného koeficientu růstu neboli průměrného indexu řetězového a počítá se podle vztahu:

Střední hodnoty, geometrický průměr © Aleš Drobník Gn

n

x

i

strana 3

 n x1.x2 . ... .xn

i 1

Hodnoty x1, x2 až xn jsou jednotlivé koeficienty růstu neboli jednotlivé indexy řetězové.

Příklad 10.12: Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Indexy základní, řetězové a tempo přírůstku v příkladu 7.1 jsme počítali index základní, index řetězový a tempo přírůstku, které jsou je uvedené v tabulce 10.10. Připomínáme, že index řetězový v tomto příkladě porovnává, na kolik procent se změnila sklizeň obilovin v každém roce vždy oproti předchozímu roku. a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď. b) Vypočítáme průměrný index řetězový. c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát. d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012. e) Formulujeme odpověď pro výrobu obilovin v roce 2012. Tabulka 10.10: Sklizeň obilovin v ČR Rok

Ukazatel 2006 Výroba v mil. tun

2007

2008

2009

2010

2011

2012

6,4

7,1

8,4

7,8

6,9

8,2

x

Index základní v %

100,0

110,9

131,3

121,9

107,8

128,1

x

Index základní

1,000

1,109

1,313

1,219

1,078

1,281

x

Index řetězový v %

x

110,9

118,3

92,9

88,5

118,8

x

Index řetězový Tempo přírůstku v

x

1,109

1,183

0,929

0,885

1,188

x

%

x

10,9

18,3

-7,1

-11,5

18,8

x

Tempo přírůstku Výroba dle průměrného indexu řetězového

x

0,109

0,183

-0,071

-0,115

0,188

x

Řešení: Ad a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď.


strana 4

Výpočet prostého aritmetického průměru: 

sečteme hodnoty číselných statistických znaků souboru x1, x2, ... xn



a výsledek vydělíme počtem prvků souboru n

Aritmetický průměr prostý x z číselných statistických znaků se tedy počítá podle vztahu: n

x

x i 1

i

n



x1  x2  ...  xn n

U nás: 

Hodnoty x1, x2, ... xn jsou výroby obilovin v jednotlivých letech,



počet let n = 6.

Vztah má v našem příkladě tvar: n6

x

x i 1

i

n



x1  x2  x3  x4  x5  x6 6,4  7,1  8,4  7,8  6,9  8,2   7,47 mil. t 6 6

V období 2006 až 2011 byla průměrná roční výroba obilovin 7,47 mil. tun. Výpočet v Excelu je =PRŮMĚR(B19:G19)

Ad b) Vypočítáme průměrný index řetězový. Víme, že index řetězový jako poměrné číslo v našem případě říká, kolikrát se změnila sklizeň obilovin v každém roce vždy oproti předchozímu roku. Průměrný index řetězový jako poměrné číslo bude říkat, kolikrát se průměrně změnila sklizeň obilovin v každém roce oproti minulému roku. Geometrický průměr lze použít ke stanovení průměrného koeficientu růstu neboli průměrného indexu řetězového a počítá se podle vztahu:


Gn

n

x

i

strana 5

 n x1.x2 . ... .xn

i 1

Hodnoty x1, x2, ... xn jsou jednotlivé indexy řetězové ve tvaru poměrného čísla. Povšimněme si, že indexů řetězových je pouze 5, tj. o jedno méně, než je hodnot výrob obilovin! Průměrný index řetězový se počítá v našem případě podle vztahu:

G5

5

x

i

 5 x1.x2 .x3 .x4 .x5

i 1

G  5 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188  5 1,281  1,0508

Poznámka: 

Všimněme si, že součin indexů řetězových je roven indexu základnímu v posledním uvedeném roce, u nás 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188 = 1,281.



To není náhoda, to je zákonité.



Dokázali byste odvodit, proč tomu tak je?

V Excelu lze průměrný index řetězový G vypočítat několika způsoby: i) Pomocí součinu indexů řetězových a odmocniny. Pátá odmocnina je realizována jako mocnina (1/5). =(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188)^(1/5) Kvůli vyšší přesnosti je lepší nabrat indexy řetězové jako buňky, například: =(C23*D23*E23*F23*G23)^(1/5) Znak mocniny se tvoří pomocí „^“, který se na české klávesnici udělá pomocí trojkombinace pravé Alt + š + mezerník. Místo součinu indexů řetězových lze dosadit rovnou index řetězový v posledním uvedeném období, tj. koeficient 1,281. ii) Pomocí funkce POWER, kde v argumentu je součinu indexů řetězových a mocnina 1/5.


strana 6

=POWER(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188;1/5) Kvůli vyšší přesnosti je lepší načíst indexy řetězové jako buňky, například: =POWER(C23*D23*E23*F23*G23;1/5) iii) Pomocí funkce GEOMEAN: =GEOMEAN(C23:G23) Za argument funkce nutno nabrat oblast tabulky C23 až G23, kde jsou umístěné jednotlivé indexy řetězové ve tvaru poměrného čísla. Ve všech případech vyjde průměrný index řetězový 1,05082.

Ad c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát. Průměrný index řetězový je přibližně 1,0508, což znamená: V období 2006 až 2011 rostla výroba obilovin v ČR každý rok průměrně 1,0508 oproti minulému roku, neboli výroba rostla na 105,08 %, čili rostla o 5,08 %. Uvědomíme si: 

Číslo 105,08 % je průměrný index řetězový vyjádřený v procentech.



Číslo 5,08 % je průměrné tempo přírůstku vyjádřené v procentech.

Ad d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012. Postup: 

Je nutné se ukotvit do nějaké hodnoty.



Proto v roce 2006 opíšeme hodnotu výroby obilovin podle skutečnosti, tj. 6,4 mil. t.



Hodnota výroby v roce 2007 podle průměrného indexu řetězového, tj. kdyby stoupala 1,0508 oproti minulému roku, se spočítá: 6,40 mil. t  1,0508 = 6,73 mil. t


strana 7

V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ a ve sloupci rok 2007 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten průměrný index řetězový: =B224*$B124 

Hodnota výroby v roce 2008, kdyby stoupala 1,0508 oproti minulému roku, se spočítá: 6,73 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t  1,05082 = 7,07 mil. t

V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ ve sloupci rok 2008 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten průměrný index řetězový. =C224*$B124 Je zřejmé že, tento vzorec můžeme zkopírovat do konce tabulky doprava. 










Hodnota výroby v roce 2011 počítaná podle průměrného indexu řetězového musí odpovídat (a také odpovídá) skutečné výrobě 8,2 mil. t.

Lze dokonce spočítat odhad výroby obilovin za další roky 2012 i 2013 (odhad na více než 2 roky dopředu již je nepřesný): 





strana 8


Uvědomíme si: 

To, že podle průměrného indexu řetězového roční výroba obilovin roste průměrně o 5,08 %, neznamená stejný přírůstek výroby. o Jde o nárůst o 5,08 % z hodnoty vždy vyšší. o Tím, že průměrný index řetězový je větší než 1, základ 100 % je stále vyšší číslo. o Roční výroba podle průměrného indexu řetězového stoupá podle geometrické řady s kvocientem q > 1 (u nás q = 1,0508, exponenciální nárůst).



Kdyby podle průměrného indexu řetězového sledovaná veličina klesala, o průměrný index řetězový by byl menší než 1, základ 100 % by se stále snižoval. o Veličina podle průměrného indexu řetězového by klesala podle geometrické řady s kvocientem q < 1 (exponenciální pokles).

Vyplněná tabulka 10.10, nyní tabulka 10.11, vypadá takto:

Tabulka 10.11: Sklizeň obilovin v ČR

Rok

Ukazatel 2006 Výroba v mil. tun

2007

2008

2009

2010

2011

2012

6,4

7,1

8,4

7,8

6,9

8,2

x

Index základní v %

100,0

110,9

131,3

121,9

107,8

128,1

x

Index základní

1,000

1,109

1,313

1,219

1,078

1,281

x

Index řetězový v %

x

110,9

118,3

92,9

88,5

118,8

x

Index řetězový

x

1,109

1,183

0,929

0,885

1,188

x

Tempo přírůstku v %

x

10,9

18,3

-7,1

-11,5

18,8

x

Tempo přírůstku Výroba dle průměrného indexu řetězového

x

0,109

0,183

-0,071

-0,115

0,188

x

6,73

7,07

7,43

7,80

8,20

6,40

Ad e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovin v roce 2012.

8,62


strana 9

V roce 2012 je odhad výroby obilovin v ČR asi 8,62 mil. t.

Úkol 10.8: Z výsledovek firmy DURA Blatná jsme do tabulky 10.12 vypsali časovou řadu obratů. a) Pamatujete si z ekonomiky, co je to obrat? Jak se liší od tržby? b) Index základní. Porovnejme, na kolik procent se změnil obrat v únoru, březnu, dubnu až květnu 2012 oproti obratu v prvním uvedeném měsíci lednu 2012. V jakém měsíci byl nejvyšší obrat a v jakém měsíci byl nejnižší obrat? c) Index řetězový. Porovnejme, na kolik procent se změnil obrat v únoru, březnu, dubnu až květnu 2012 oproti obratu v předchozím měsíci? V jakém měsíci byl nejvyšší meziměsíční nárůst obratu a v jakém měsíci nejvyšší meziměsíční pokles obratu? d) Tempo přírůstku. Porovnejme, o kolik procent se změnil obrat v každém měsíci vždy oproti předchozímu měsíci. e) Pro poslední měsíc květen 2012 formulujme odpověď typu na kolik %, o kolik % a kolikrát pro index základní a řetězový. f) Vypočteme průměrný měsíční obrat za měsíce leden až květen a formulujeme odpověď. g) Vypočítáme průměrný index řetězový obratu. h) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpověď typu na kolik %, o kolik % a kolikrát. i) Do tabulky 10.12 doplníme, jaká by byl v uvedených měsících obrat, kdyby se vyvíjel podle průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na červen 2012. j) Formulujeme odpověď pro obrat v červnu 2012. Tab. 10.12: Časový vývoj měsíčních obratů fi DURA Blatná za leden až květen 2012

Ukazatel Obrat v mil. Kč Index základní v % Index základní Index řetězový v % Index řetězový Tempo přírůstku v % Tempo přírůstku Obrat podle průměrného indexu řetězového

Měsíc 1

2

3

4

5

200

180

200

340

300

6


strana 10

PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte si příklady: 

26GeometrickyPrumerNeresene.xlsx – zde je neřešený příklad.



26GeometrickyPrumerResene.xlsx – zde je ten samý příklad řešený.



26GeometrickyPrumerUkol.xlsx – zde je nový neřešený příklad.

OPAKOVACÍ OTÁZKY 1. Jaký je vzorec pro výpočet prostého aritmetického průměru? 2. Jaký je vzorec pro výpočet geometrického průměru? 3. V jakém případě se v ekonomické praxi setkáme s výpočtem geometrického průměru? 4. Jak lze v časové řadě pomocí geometrického průměru stanovit odhad veličiny do budoucna? 5. Pokud ekonomická veličina v časové řadě stoupá (nebo klesá) podle průměrného indexu řetězového, jsou hodnoty součástí aritmetické řady, anebo geometrické řady? 6. Jak souvisí průměrný index řetězový veličiny s parametrem (kvocientem) geometrické řady q?

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

Recommend Documents