10. Valószínűségszámítás

Villamosmérnök Szak, Távoktatás

Matematika segédanyag

10. Valószínuségszámítás ˝ 10.1. Események A valószín˝uségszámítás – nagyon leegyszer˝usítve – események bekövetkezésének valószín˝uségével foglalkozik. Példák: • Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás egy lehetséges eredménye, hogy hatost dobunk. A hatos dobása egy esemény. • Az is lehet egy esemény a kockadobásnál, hogy páros számot dobunk. • Ha négy ember (Aladár, Béla, Csaba és Dénes) egy csomag magyar kártyával játszik, az osztásnál egy esemény, ha a pirosz ász Aladárhoz kerül. • Ugyancsak egy esemény, ha egy adott nyári napon (egy adott helyen) a legmagasabb h˝omérséklet meghaladja a 38◦ C-ot. Megjegyzések: • A valószín˝uségszámításban kísérletnek szokás nevezni egy olyan történést, amelynek során a vizsgált esemény vagy bekövetkezik vagy nem. A köznapi szóhasználattal ellentétben akkor is kísérletr˝ol beszélünk, ha a történést nem magunk idézzük el˝o, hanem annak csak megfigyel˝oi vagyunk. Fontos, hogy a kísérlet jól meghatározott körülmények között, adott feltételeknek megfelel˝oen kell végbemenjen. (Pl. kockadobás esetén vízszintes felületre érkezzen a kocka, szabályos legyen, úgy dobjuk el, hogy a kiindulási helyzetb˝ol ne lehessen megjósolni, hogy melyik oldala marad felül, stb.) • Egy esemény lehet elemi és lehet összetett. Az elemi eseményt gyakran nem tudjuk egyszer˝ubb események segítségével felírni, de el˝ofordulhat az is, hogy csak nem érdemes tovább bontani o˝ ket, mert az a vizsgált probléma megoldását nem egyszer˝usítené. (Pl. az, hogy a dobókockával hatost dobunk elemi esemény, abba már nem érdemes belemenni, hogy a kocka valamelyik éle milyen szöget zár be az asztal szélével a megállás után. Azt az eseményt, hogy páros számot dobtunk, nem szoktuk elemi eseménynek tekinteni, hiszen itt arról van szó, hogy kettest, négyest vagy hatost dobtunk, azaz ez az esemény leírható jól kezelhet˝o egyszer˝ubb eseményekkel.)

Definíció Az olyan eseményt, amely nem következhet be a kísérlet során lehetetlen eseménynek nevezzük. Példa: Lehetetlen esemény, hogy a szabályos dobókockával hetet dobunk. Készítette: Vajda István

136



Definíció Az olyan eseményt, amely a kísérlet során biztosan bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük. Példa: Biztos esemény, hogy a kockával dobott szám pozitív. Jelölések: • Az eseményeket általában nyomtatott nagybet˝uvel jelöljük. (A, B, . . .) • A lehetetlen esemény jele O. • A biztos esemény jele: I. A kísérlet véletlen jellegét az adja, hogy a kisérletet sokszor végrehajtva, a megfigyelt esemény a kisérletek egy részénél bekövetkezik, a többinél nem. Ha egy eseményr˝ol azt figyeljük meg, hogy a kísérletek nagy részében bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy az eseménynek „nagy a valószín˝usége” („nagy az esélye”), míg a ritkán bekövetkez˝o eseményekre azt mondjuk, hogy „kis valószín˝uség˝u”. A valószín˝uség mértékét egy 0 és 1 közé es˝o számmal jellemezzük. A lehetetlen esemény valószín˝usége 0, (jelölésben P (O) = 0), a biztos esemény valószín˝usége 1 (jelölésben P (I) = 1). Egy esemény valószín˝uségét általában valamilyen számítással határozzuk meg. Ilyenkor gyakran felhasználjuk a kísérlethez tartozó elemi események valószín˝uségét. Az elemi események valószín˝uségét egyszer˝uen megkapjuk abban az esetben, ha véges sok elemi eseményünk van, amelyek mindegyike azonos valószín˝uség˝u. Példák: • Ha egy szabályos dobókockát feldobunk, akkor az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok közül bármelyiknek ugyanannyi az esélye, hogy felül marad. (Nincs semmi okunk feltételezni, hogy a lehetséges számok közül az egyik dobásának nagyobb a valószín˝usége mint egy másiknak.) Így mindegyik számot 16 valószín˝uséggel dobjuk, azaz P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 61 . (Annak valószín˝usége, hogy a fenti hat szám valamelyikét dobjuk 1, hiszen ez a biztos esemény. A biztos esemény valószín˝uségét kellett 6 egyenl˝o részre osztani.) • Ha egy 32 lapos magyar kártya csomagból véletlenszer˝uen választunk (húzunk) egy lapot, akkor bármelyik lap kihúzásának ugyanannyi a valószín˝usége, azaz egy konkrét lap 1 kihúzásának valószín˝usége 321 . Pl. P (zöld király) = 32 . • A fentiek alapján annak valószín˝usége, hogy egy szabályos dobókockával páros számot dobunk P (páros) = P (2) + P (4) + P (6) = 3 · 16 = 12 . • Annak a valószín˝usége, hogy egy magyar kártya csomagból ászt húzunk P (ász) = P (zöld ász) + P (makk ász) + P (tök ász) + P (piros ász) = 4 ·

Készítette: Vajda István

1 32

= 18 .

137



Tétel: Ha egy kísérlet során az elemi események egyenl˝o valószín˝uség˝uek, akkor egy A esemény valószín˝usége P (A) =

Az A-t megvalósító elemi események száma . Az összes elemi események száma

Megjegyzések: • Gyakran szokták ezt úgy fogalmazni, hogy az esemény valószín˝uségét megkapjuk, ha a „kedvez˝o esetek” számát elosztjuk az összes esetek számával. Természetesen a kedvez˝o jelz˝ot itt a köznapi értelmét˝ol eltér˝oen használjuk: az a „kedvez˝o”, ami egyben az A esemény bekövetkezését is jelenti. • Ha az elemi események nem egyenl˝o valószín˝uség˝uek, akkor a fenti tétel nem alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy hallgatónak holnap szabadnapja lesz, ezért bármeddig alhat. Mivel azonban nem igazán jó alvó, ezért 6 és 9 óra között valamikor fel fog ébredni. Az els˝o órában (6 és 7 óra között) 16 valószín˝uséggel ébred fel, a második órában 13 valószín˝uséggel, a harmadik órában pedig 21 valószín˝uséggel. Így annak valószín˝usége, hogy 7 óra o esetek száma = 23 után ébred fel P (7-9) = P (7-8)+P (8-9) = 13 + 21 = 56 . Ezzel szemben a kevez˝ összes esetek száma számolás hibás. A fenti példákban megfigyelhettük, hogy egy esemény valószín˝uségét az o˝ t megvalósító elemi események valószín˝uségeinek összege adja. Tehát pl. annak a valószín˝usége, hogy egy szabályos dobókockával 5-nél kisebbet dobunk: P (A) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) = 46 = 23 , annak a valószín˝usége pedig, hogy 1-nél nagyobbat dobunk P (B) = P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6) = 5 . Ez a számítási eljárás azonban nem mindig alkalmazható, ha nem elemi eseményekb˝ol indu6 lunk ki. Pl. ha a C esemény azt jelenti, hogy a fenti A és B események legalább egyike bekövetkezik, akkor C a biztos esemény, melynek valószín˝usége: P (C) = 1 , 32 = P (A) + P (B). Jól látható, hogy az A és B események valószín˝uségeinek összege nem lehet egy esemény valószín˝usége, (hiszen 1-nél nagyobb) így C valószín˝uségével sem lehet egyenl˝o. A magyarázat egyszer˝u: a fenti A és B események egyszerre is bekövetkezhetnek (2, 3, vagy 4 dobása esetén), míg az elemi események közül mindig csak egy következhet be egy kísérlet során.

Definíció Ha az A és B események közül a kísérlet során legfeljebb az egyik következhet be, akkor A és B egymást kizáró események.


138



Definíció Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B legalább egyike bekövetkezik, az A és B események összegének nevezzük. Jelölések: C = A + B, illetve C = A ∪ B.

Definíció Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B mindegyike bekövetkezik, az A és B események szorzatának nevezzük. Jelölések: C = A · B = AB, illetve C = A ∩ B.

Tétel: Ha A és B egymást kizáró események, akkor P (A + B) = P (A) + P (B) .

Tétel: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) . Példa: Legyen A az az esemény, hogy egy csomag magyar kártyából piros lapot húzunk, B pedig az az esemény, hogy a kihúzott lap alsó. Legyen C = A + B, vagyis C az az esemény, hogy a kihúzott lap piros vagy alsó. Az AB esemény akkor következik be, ha éppen a piros alsót húzzuk. P (C) = P (A) + P (B) − P (AB) = 41 + 18 − 321 = 11 32 Ezt az eredmény úgy is megkaphatjuk, ha azt mondjuk, hogy az „összes esetek száma” 32 (32féle lapot húzhatunk) és ebb˝ol kedvez˝o a következ˝o 11 eset: piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, piros tízes, piros alsó, piros fels˝o, piros király, piros ász, zöld alsó, makk alsó, tök o esetek száma 11 alsó. Tehát P (C) = kedvez˝ = 32 összes esetek száma


139



Definíció A B esemény az A esemény ellentett eseménye, ha B pontosan akkor következik be, amikor A nem. ¯ Jelölés: A ellentettjét A-sal szokás jelölni. (Olvasd: „A felülvonás”.) Példa: Ha egy szabályos dobókockával dobva A azt jelenti, hogy 2-t, 3-at, 5-öt vagy 6-ot dobunk, akkor az A¯ esemény akkor következik be, ha 1-et vagy 4-et dobunk.

Tétel: Az ellentett esemény valószín˝usége: P A¯ = 1 − P (A) Definíció A C eseményt az A és B események különbségének nevezzük, ha C pontosan akkor következik be, amikor A bekövetkezik, de B nem. Jelölés: A − B

Példa: Legyen A az az esemény, hogy a 32 lapos magyar kártyából pirosat húzunk, B pedig az az esemény hogy a kihúzott lap alsó, fels˝o, király vagy ász. Ekkor az A − B esemény pontosan akkor következik be, ha a piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, illetve piros tízes lapok valamelyikét húzzuk.

Definíció Az A1, A2, . . . , An események teljes eseményrendszert alkotnak, ha páronként kizárják egymást és összegük a biztos esemény. Példa: Ha kockadobásnál A-val jelöljük azt az eseményt, hogy 4-nél kisebbet dobunk, Bvel azt, hogy 4-et vagy 5-öt dobunk és C-vel azt hogy 6-ot dobunk, akkor A, B és C teljes eseményrendszert alkot.


140



Tétel: Ha A1, A2, . . . , An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) = 1

Definíció Két eseményt függetlennek nevezünk, ha együttes bekövetkezésük valószín˝usége a két esemény valószín˝uségének szorzata, azaz az A és B események függetlenek, ha P (AB) = P (A) P (B)

Példa: Ha feldobunk egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét, akkor annak valószín˝usége, hogy a kockával 6-ost dobunk P (A) = 16 , annak valószín˝usége pedig, hogy az érmével fej lesz a dobás eredménye P (B) = 12 . A két esemény együttes bekövetkezése azt jelenti, hogy a kockával hatost és az érmével fejet dobtunk, ennek valószín˝usége P (AB) = 1 P (A) P (B) = 61 · 12 = 12 . Ebben az esetben a két esemény független, tehát a „szorzási szabály” használata helyes volt. Ha az A esemény azt jelenti, hogy egy szabályos kockával 3-nál nagyobbat dobunk, a B esemény pedig azt, hogy ugyanezzel a kockával párosat dobunk, akkor ez a két esemény nem független. Valóban P (A) = P (B) = 21 , így P (A) P (B) = 14 . Ugyanakkor az AB esemény azt jelenti, hogy egyszerre teljesül, hogy 3-nál nagyobbat és párosat dobtunk, azaz a dobás eredménye 4 vagy 6. Ennek valószín˝usége P (AB) = 13 , tehát P (A) P (B) , P (AB). Megjegyzés: Az hogy két esemény független, azzal kapcsolatos, hogy ha az egyik bekövetkezik, az nincs hatással a másik bekövetkezésének valószín˝uségére. Ez a kocka és az érme esetén nyilván így van, így nem meglep˝o, hogy a definíció alapján is arra jutottunk, hogy a két esemény független. A második példában nyilvánvalóan nem ez a helyzet, hiszen ha tudjuk, hogy a kockával 3-nál nagyobbat dobtunk, akkor a páros dobásának valószín˝usége már nem 12 , hanem 23 , azaz az A esemény valószín˝usége befolyásolta a B esemény valószín˝uségét.


141



10.2. Visszatevéses- és a visszatevés nélküli mintavétel Legyen egy urnában N darab golyó, amelyek közül K darab piros, a többi fehér. Az azonos szín˝u golyók között nem tudunk különbséget tenni. Számítsuk ki, hogy ha az urnából véletlenszer˝uen kiválasztunk n darab golyót, mennyi a valószín˝usége, hogy a kiválasztott golyók között pontosan k darab piros lesz! Nyilván 0 ≤ k ≤ n. A fenti feladat nem egyértelm˝uen fogalmaz, hiszen nem mondtuk meg, hogy hogyan választjuk ki az n darab golyót. Az egyik lehet˝oség, hogy egy golyót kiválasztva annak színét feljegyezzük, majd visszatesszük a többi közé. Így amikor a következ˝o golyót választjuk, az urna tartalma ugyanaz, mint el˝oz˝oleg. („Visszaállítottuk az eredeti állapotot.”) A mintavételnek ezt a fajtáját visszatevéses mintavételnek nevezzük. Annak a valószín˝usége, hogy piros golyót húzunk: P (piros) =

K N

Hasonlóan a fehér golyó húzásának valószín˝usége P (fehér) =

N−K K = 1− N N

K Vezessük be a p = jelölést! Ekkor a piros golyó húzásának valószín˝usége p, a fehér golyó N húzásának valószín˝usége pedig 1 − p. A k darab piros golyó kihúzása az összesen n darab húzás során általában többféle sorrendben történhet (kivétel a k = 0, illetve a k = n esetek), hiszen lehet, hogy mindjárt az elején k darab pirosat húzunk, utána csak fehéreket, vagy ellenkez˝oleg el˝oször húzzuk a fehéreket, utána a pirosakat, de legtöbbször fehér és piros „sorozatok” váltják egymást. Hányféle sorrend lehetséges? ... n darab Az ábra azt szemlélteti, amikor az els˝o két húzás színe fehér, a harmadiké piros, a negyediké megint fehér stb. A kihúzott golyók (fehérek és pirosak együttes) száma n. A pirosak és fehérek sorrendje annyi, ahány !féleképpen az n darab helyb˝ol ki tudunk választani k darabot (a pirosak n . helyét), tehát Cn,k = k Annak, hogy k darab piros és n − k darab fehér golyót húzunk egy megadott sorrendben n−k pk 1 − p a valószín˝usége, hiszen az egyes húzások függetlenek egymástól, így a valószín˝uségek összeszorozhatók. Annak valószín˝usége, hogy éppen k darab piros golyó lesz a kihúzottak között az egyes sorrendekhez tartozó valószín˝uségek összege, azaz ! n−k n k p 1−p . k Készítette: Vajda István

142



Példa: Legyen egy urnában 10 golyó, amelyek közül 6 piros és 4 fehér. Visszatevéssel véletlenszer˝uen húzunk 5 golyót. Menyi a valószín˝usége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan 2 b) legfeljebb 2 piros lesz? Megoldás: a) Egy húzás során p =

6 10

= 0.6 valószín˝uséggel húzun piros golyót. ! 5 · 0.62 · 0.43 ≈ 0.23 P (k = 2) = 2

b) Az a kérdés, hogy mennyi a valószín˝usége, hogy a kihúzott piros golyók száma nem nagyobb 2-nél. ! 5 P (k ≤ 2) = P (k = 0) + P (k = 1) + P (k = 2) = 0.45 + 5 · 0.6 · 0.44 + · 0.62 · 0.43 ≈ 0.317 2 Tekintsük most azt az esetet, amikor a kihúzott golyót nem tesszük vissza az urnába. Ekkor visszatevés nélküli mintavételr˝ol van szó. Az összes esetek száma CN,n = Nn , hiszen N golyó közül ennyiféleképpen lehet n darabot kiválasztani, ha a sorrend nem számít. A kedvez˝o esetek azok, amikor pontosan k darab pirosat húztunk, tehát k darabot választottunk a rendelkezésre álló K darab pirosból, és n − k darabot választottunk az N − K darab fehérb˝ol. Ez CK,k CN−K,n−k = Kk N−K . A keresett valószín˝uség a n−k kedvez˝o esetek és az összes esetek számának hányadosa, azaz K N−K P (k) =

k

n−k N n

.

Példa: Legyen egy urnában 10 golyó, amelyek közül 6 piros és 4 fehér. Visszatevés nélkül véletlenszer˝uen húzunk 5 golyót. Menyi a valószín˝usége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan 2 b) legfeljebb 2 piros lesz? Megoldás: a) P (k = 2) =

6 2

·

10 5

4 3

≈ 0.238

b) 1 piros golyónak mindenképpen lennie kell a kihúzottak között, mivel csak négy fehér golyó van. Így a legfeljebb 2, azt jelenti, hogy 1 vagy 2: 6 · 43 6 2 P (k ≤ 2) = P (k = 1) + P (k = 2) = 10 + 10 ≈ 0.262 5

5

Megjegyzések:

• Látható, hogy a mintavétel valószín˝usége függ attól, hogy visszatevéses vagy visszatevés nélküli esetr˝ol van szó, azonban ha N sokkal nagyobb mint n, akkor a visszatevés nélküli eset jól közelíthet˝o a visszatevéses esettel.


143



• A mintavétel jól alkalmazható a gyakorlatban pl. a min˝oségellen˝orzésnél. Az egyik szín a hibás termékeknek, a másik pedig a hibátlanoknak felel meg. Az elkészült termékekb˝ol véletlenszer˝uen kiválasztanak néhányat, majd megvizsgálják, hogy a kiválasztott mintában hány termék selejtes, illetve hibátlan. A kapott adatokból a termékek összességére, illetve a gyártásra vonatkozóan a statisztika módszereivel következtetéseket fogalmazhatunk meg. Feladatok: 1. Egy urnában 6 piros és 4 fehér golyó van. Az urnából visszatevéssel 8-szor húzunk. Mennyi a valószín˝usége, hogy a) pontosan 3-szor húzunk piros golyót; b) legalább egy fehér golyót húzunk; c) több piros golyót húzunk, mint fehéret? Megoldás: a) P(k = 3) =

8 3

· 0.63 · 0.45 ≈ 0.1239

b) P(k ≤ 7) = 1 − P(k = 8) = 1 − 0.68 ≈ 0.9832 c) P(k ≥ 5) = 85 · 0.65 · 0.43 + 86 · 0.66 · 0.42 + 87 · 0.67 · 0.4 + 0.68 ≈ 0.594

2. Egy üzletben 22 db hajszárító van abból a típusból, amelyikb˝ol vásárolni akarunk, de ezek közül 4 db hibás. Mennyi a valószín˝usége, hogy a kipróbálás során csak a harmadik hajszárító lesz jó? 4 Megoldás: Az els˝o készülék nem lesz jó 22 valószín˝uséggel. A második 213 valószín˝u18 séggel hibás. 20 a valószín˝usége, hogy a harmadik már jó lesz. A keresett valószín˝uség: 9 4 · 3 · 18 = 385 ≈ 0.023. 22 21 20

3. Számítsa ki annak a valószín˝uségét, hogy egy lottóhúzás alkalmával a kihúzott öt szám között a) nincs páros szám; b) a párosak és a páratlanok száma is legalább kett˝o! Megoldás: 45! 5! · 85! (455) = · ≈ 0.0278 (905) 5! · 40! 90! b) Ez azt jelenti, hogy vagy 2 páros és 3 páratlan, vagy 3 páros és 2 páratlan szám lesz (45)(45) a kihúzottak között. 2 · 2 90 3 ≈ 0.639 (5) a)


144



4. 10 villanykörtéb˝ol, melyek közül 2 rossz, visszatevés nélkül kiveszünk 3 darabot. Mennyi annak a valószín˝usége, hogy ezek közül a) az els˝ore kivett rossz, a többi jó; b) legfeljebb egy rossz; c) nem mind jó; d) legalább egy jó? Megoldás: 2 8 7 7 · · = ≈ 0.1556 10 9 8 45 (8) 2·(8) 14 b) 103 + 102 = ≈ 0.933 (3) (3) 15 8 (8) c) 1 − 103 = ≈ 0.533 ( 3 ) 15 d) Biztos esemény, tehát valószín˝usége 1. a)

5. Egy dobozban azonos számú, egyforma méret˝u réz- és acélcsavar van. A dobozból találomra kiemelünk két csavart. (Bármelyik csavar kiválasztásának ugyanakkora a valószín˝usége.) Hány csavar van a dobozban, ha 0.24 annak a valószín˝usége, hogy mindkét kivett csavar rézb˝ol készült? Megoldás: Legyen a réz- és acélcsavarok száma egyránt n. (n2) = 0.24 (2n2 )

⇒

n−1 = 0.24 4n − 2


⇒ n = 13 tehát 2n = 26 csavar van a dobozban.

145



10.3. Valószínuségi ˝ változók

Definíció Ha egy kisérlettel kapcsolatos elemi események mindegyikéhez egyértelm˝uen hozzárendelünk egy-egy valós számot, akkor az elemi események Ω halmazán egy függvényt értelmezünk. Ezt a függvényt valószín˝uségi változónak nevezzük. Példák: • Egy szabályos dobókockával dobunk. Minden elemi eseményhez hozzárendeljük a kocka fels˝o lapján lev˝o pöttyök számát: 1 2 3 4 5 6

• Adott helyen megmérjük a folyó vízállását. A vízmagasság cm-ben vett értékét, hozzárendeljük a bekövetkezett elemi eseményhez. • Egy 32 lapos kártyacsomagból véletlenszer˝uen kihúzunk egy lapot. A bekövetkezett elemi eseményhez hozzárendelünk egy laptól függ˝o számot, pl. alsóhoz 2-t, fels˝ohöz 3-at, királyhoz 4-et stb. Jelölés: A valószín˝uségi változót szokás görög bet˝uvel jelölni, pl. ξ, η, ζ. Más szakirodalomban szokásos a nyomtatott nagybet˝u használata is, pl. X, Y, Z. Megjegyzés: A valószín˝uségi változó lehet diszkrét, ha véges sok értéket vehet fel, vagy végtelen sok értéket, de azok sorozatba rendezhet˝ok. A valószín˝uségi változó folytonos, ha értékei egy vagy több intervallumot alkotnak. 10.3.1. Valószínuségi ˝ változók eloszlása Két valószín˝uségi változó akkor is lényegesen különböz˝o lehet, ha ugyanazokat az értékeket veszik fel. Dobjunk pl. egy szabályos dobókockával és ξ legyen a dobott szám értéke. Az η valószín˝uségi változót 5 darab érme feldobásával generáljuk. η értéke legyen 1-gyel nagyobb, mint a dobott fejek száma. Ekkor ξ és η lehetséges értékei egyaránt 1,2,3,4,5,6. Készítette: Vajda István

146



Ha azonban megvizsgáljuk, hogy az egyes értékeket ξ és η milyen valószín˝uséggel veszik fel, akkor a két valószín˝uségi változó között lényeges különbségeket tapasztalunk. ξ nyilván mind a hat értéket egyenl˝o valószín˝uséggel veszi fel, tehát mindegyiket 16 valószín˝uséggel. Ezzel szemben ha η az n értéket veszi fel (n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}), akkor n − 1 fejet dobtunk. Az 5 érméb˝ol 5 féleképpen lehet „kiválasztani” azt az n − 1 amelyikkel fejet dobtunk. (A többivel írást.) n−1 5 Mivel egy megadott „kiválasztás”-hoz tartozó elemi esemény 12 = 321 valószín˝uséggel követ5 kezik be, η értéke n−1 · 321 valószín˝uséggel lesz n. Foglaljuk táblázatba az egyes értékekhez tartozó valószín˝uségeket a két valószín˝uségi változó esetén: ξ 1 2 3 4 5 6 η 1 2 3 4 5 6 1 5 10 10 5 1 P (ξ) 16 16 16 16 16 16 P η 32 32 32 32 32 32

Definíció Egy valószín˝uségi változó lehetséges értékeit és a hozzájuk tartozó bekövetkezési valószín˝uségeket a valószín˝uségi változó eloszlásának nevezzük. A fenti táblázatokkal tehát a ξ, illetve η valószín˝uségi változók eloszlását adtuk meg. Az eloszlásban a valószín˝uségek összege mindig 1, hiszen az, hogy a valószín˝uségi változó felvesz valamilyen értéket, a biztos esemény. A valószín˝uségi változók eloszlását grafikusan is ábrázolhatjuk. Tegyük meg ezt a fenti két valószín˝uségi változó esetén: P η

P (ξ)

10 32 1 6

5 32

ξ 1

2

3

4

5

6

η

1 32

1

2

3

4

5

6

A ξ valószín˝uségi változó minden értékéhez ugyanakkora valószín˝uség tartozik. Az ilyen eloszlásokat egyenletes eloszlásnak nevezzük. Az η valószín˝uségi változó esetén a valószín˝uségeket úgy számoljuk, mint a visszatevéses mintavétel esetén. (Valójában ugyanarról van szó.) Ennek eloszlása – a kés˝obb ismertetend˝o – binomiális eloszlás. A valószín˝uségi változók eloszlását szokás megadni az ún. eloszlásfüggvénnyel.


147



Definíció Egy ξ valószín˝uségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden x valós számhoz hozzárendeli annak a valószín˝uségét, hogy ξ x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz ∀x ∈ R esetén F (x) = P (ξ < x) Térjünk vissza az el˝oz˝o példában szerepl˝o ξ és η valószín˝uségi változók vizsgálatához! ξ eloszlásfüggvénye 0-t vesz fel, ha x < 1, hiszen ξ legkisebb értéke 1, tehát ξ < x lehetetlen. Ugyanez még x = 1 esetén is igaz, hiszen ξ lehet egyenl˝o 1-gyel, de kisebb nem lehet nála. Tehát Fξ (x) = 0, ha x ≤ 1. Ha 1 < x ≤ 2, akkor Fξ (x) = 16 , hiszen ξ < x csak ξ = 1 esetén következhet be, és ennek valószín˝usége 16 . Ha 2 < x ≤ 3, akkor Fξ (x) = 26 = 13 , mert ξ < x bekövetkezik ξ = 1 és ξ = 2 esetén is. Hasonlóan okoskodva tovább azt kapjuk, hogy    0 ha x ≤ 1     1    6 ha 1 < x ≤ 2   2    6 ha 2 < x ≤ 3  3 Fξ (x) =  ha 3 < x ≤ 4  6   4   ha 4 < x ≤ 5  6   5   ha 5 < x ≤ 6  6    1 ha 6 < x Ábrázoljuk az Fξ eloszlásfüggvényt! y Fξ

1 1 2

x −2


−1

1

2

3

4

5

6

7

8

148



Az el˝oz˝ohöz hasonló okoskodással:    0     1   32    6    32   16 Fη (x) =   32   26    32   31    32    1

ha x ≤ 1 ha 1 < x ≤ 2 ha 2 < x ≤ 3 ha 3 < x ≤ 4 ha 4 < x ≤ 5 ha 5 < x ≤ 6 ha 6 < x

Ábrázoljuk az Fη eloszlásfüggvényt! y

Fη

1 1 2

x −2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: • Az eloszlásfüggvény monoton növeked˝o. • Az eloszlásfüggvény minden x valós helyen balról folytonos. • lim F (x) = 0 és lim F (x) = 1. x→−∞

x→∞

10.3.2. Néhány diszkrét eloszlású valószínuségi ˝ változó • Indikátorváltozó Egy véletlen kisérlet során az A esemény bekövetkezését figyeljük. A ξ valószín˝uségi változó az A esemény indikátorváltozója, ha    1, ha az A esemény bekövetkezik ξ=  0, ha az A esemény nem következik be Ha az A esemény bekövetkezésének valószín˝usége p, akkor P (ξ = 1) = p és P (ξ = 0) = 1 − p.

• Egyenletes eloszlású valószín˝uségi változó Ha a ξ valószín˝uségi változó lehetséges értékei x1 , x2 , . . . , xn és P (ξ = x1 ) = P (ξ = x2 ) = . . . = P (ξ = xn ) =

1 n

akkor a ξ valószín˝uségi változót egyenletes eloszlású valószín˝uségi változónak nevezzük. Készítette: Vajda István

149



• Binomiális eloszlású valószín˝uségi változó Ha a ξ valószín˝uségi változó lehetséges értékei 0, 1, 2, . . . , n és ! n−k n k P (ξ = k) = p 1−p k ahol 0 < p < 1, akkor ξ-t binomiális eloszlású valószín˝uségi változónak nevezzük. n-et és p-t az eloszlás paramétereinek szokás nevezni. Binomiális eloszlású valószín˝usági változót kapunk, ha egy véletlen kisérletet (egymástól függetlenül) n-szer végrehajtunk és az A esemény bekövetkezését figyeljük. A valószín˝uségi változó értéke az a k szám, ahányszor A az n kisérlet során bekövetkezett. (0 ≤ k ≤ n) • Hipergeometrikus eloszlás Ha a ξ valószín˝uségi változó lehetséges értékei 0, 1, 2, . . . , n és M N−M P (ξ = k) =

k

n−k N k

ahol n ≤ N és M ≤ N, akkor ξ-t hipergeometrikus eloszlású valószín˝uségi változónak nevezzük. Az eloszlásnak három paramétere van: N, M és n. Ilyen eloszlású valószín˝uségi változót kapunk pl. ha egy N golyót tartalmazó urnából, amelyben M golyó kitüntetett (pl. piros) n golyót húzunk visszatevés nélkül és a valószín˝uségi változó értéke a kihúzott kitüntetett golyók száma. • A Poisson-eloszlás A ξ valószín˝uségi változót λ paraméter˝u (λ > 0) Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei nemnegatív egész számok és P (ξ = k) =

λk −λ e k!

Ezt az eloszlást a ritka (kis valószín˝uség˝u) események eloszlástörvényének is nevezik. Feladatok: 1. Adja meg a p = 0.7 paraméter˝u indikátorváltozó eloszlását táblázatosan és grafikusan! Rajzolja fel a valószín˝uségi változó eloszlásfüggvényét is! Megoldás: y P (ξ) Fξ

1

ξ

0

1

0.7

P (ξ)

0.3

0.7

0.3

ξ 0


1

0.3

x 1

150



2. A ξ egyenletes eloszlású valószín˝uségi változó lehetséges értékei: 6, 7, . . . , 20. Határozza meg a P (ξ < 9), P (ξ ≥ 13) és P (3 < ξ ≤ 16) valószín˝uségeket!

Megoldás: A valószín˝uségi változó lehetséges értékeinek száma 20 − 5 = 15, így a lehetséges értékek bármelyike 151 valószín˝uséggel következik be. Mivel ξ < 9 esetén a való1 szín˝uségi változó a 6, 7 és 8 értékeket veheti fel (3 lehet˝oség), ezért P (ξ < 9) = 3· 15 = 15 . Hasonlóan P (ξ ≥ 13) = 158 és P (3 < ξ ≤ 16) = 11 . 15

3. Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszer˝uen húzunk 3 golyót visszatevéssel. A ξ valószín˝uségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószín˝uségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ≥ 2) valószín˝uséget! Megoldás: Visszatevéssel húzunk, tehát a kisérletet változatlan körülmények között ismételjük meg 3-szor. Az A esemény jelentse azt, hogy piros golyót húzunk. A valószín˝uségi változó értéke A bekövetkezéseinek száma, tehát binomiális eloszlásról van szó, melynek paraméterei n = 3 és p = P (A) = 54 . Az eloszlás: ! ! ! n−k n k 3 4 k 1 3−k 3 4k P (ξ = k) = p 1−p = = k k 5 5 k 53

k ∈ {0, 1, 2, 3}

ahol

Táblázattal: 0

ξ P (ξ)

1 53

=

1 125

= 0.008

1 3·

4 53

=

12 125

2 = 0.096

3·

42 53

=

48 125

3 = 0.384

43 53

=

64 125

= 0.512

Grafikonnal: P (ξ) 0.512 0.384

0.096

ξ 0

1

2

3

P (ξ ≥ 2) = P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = 0.384 + 0.512 = 0.896 4. Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszer˝uen húzunk 3 golyót visszatevés nélkül. A ξ valószín˝uségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószín˝uségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ≥ 2) valószín˝uséget! Megoldás: A feladat szövege majdnem azonos az el˝oz˝o feladatéval. Az egyetlen eltérés, hogy most visszatevés nélkül húzunk, tehát hipergeometrikus eloszlásról van szó, melynek paraméterei N = 5, M = 4 és n = 3. Készítette: Vajda István

151



Az eloszlás: P (ξ = k) =

M N−M k n−k N k

=

4 1 k 3−k 5 k

A valószín˝uségi változó lehetséges értékei 2 és 3, hiszen nem piros golyót legfeljebb 1-et húzhatunk. Az eloszlás táblázattal megadva: 2

ξ P (ξ)

(42) = (53)

6 10

3 (43) = (53)

= 0.6

4 10

= 0.4

Grafikonnal: P (ξ) 0.6 0.4

ξ 2

3

P (ξ ≥ 2) = 1, hiszen ξ ≥ 2 a biztos esemény. 5. Statisztikai adatok alapján tudjuk, hogy bizonyos típusú alkatrészek 10%-a selejtes. 12 db-ot vásároltunk. Mennyi a valószín˝usége, hogy a vásároltak között a) 3 db selejtes van; b) 2-nél több selejtes van? Megoldás: a) 12 · 0.13 · 0.99 ≈ 0.08523. 3

b) 1 − 0.912 − 12 · 0.1 · 0.911 −

12 2

· 0.12 · 0.910 ≈ 0.11087.

6. Egy könyv lapjain el˝oforduló sajtóhibák száma λ = 3 paraméter˝u Poisson-eloszlást követ. Adja meg az eloszlást képlettel! Mennyi a valószín˝usége, hogy egy találomra kiválasztott lapon a sajtóhibák száma pontosan 2, illetve annak, hogy a sajtóhibák száma 1-nél nagyobb? Megoldás: Az eloszlás képlettel: P (ξ = k) = Készítette: Vajda István

λk −λ 3k −3 3k e = e = k! k! k! · e3 152


P (ξ = 2) =

32 9 = 3 ≈ 0.224 3 2! · e 2e

P (ξ > 1) = 1 − P (ξ = 0) − P (ξ = 1) = 1 −



3 4 1 − 3 = 1 − 3 ≈ 0.801 3 e e e

153



10.3.3. Diszkrét eloszlású valószínuségi ˝ változók várható értéke és szórása

Definíció A diszkrét valószín˝uségi változó lehetséges értékeinek a bekövetkezési valószín˝uségükkel súlyozott közepét a valószín˝uségi változó várható értékének nevezzük. Jelölés: M (ξ) Megjegyzések: • Ha a valószín˝uségi változónak véges sok lehetséges értéke van, mégpedig x1 , x2 , . . . , xn és az ezekhez tartozó valószín˝uségek rendre p1 , p2 , . . . , pn , akkor M (ξ) =

n X

pi xi = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn

i=1

Ha a valószín˝uségi változónak (megszámlálhatóan) végtelen sok lehetséges értéke van mégpedig x1 , x2 , . . . , xn , . . . és az ezekhez tartozó valószín˝uségek rendre p1 , p2 , . . . , pn , . . ., akkor a várható érték egy végtelen sor összege (feltéve, hogy a sor konvergens) ∞ X M (ξ) = pi xi = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn + . . . i=1

• A várható érték azt fejezi ki, hogy a valószín˝uségi változót el˝oállító kisérletet sokszor végrehajtva a bekövetkezett értékek átlaga milyen számot fog (nagy valószín˝uséggel) közelíteni. Példák: • Ha egy szabályos dobókockával dobunk és a ξ valószín˝uségi változó értéke a dobott szám, 1 1 1 1 1 21 7 1 = = 3.5. akkor M (ξ) = · 1 + · 2 + · 3 + · 4 + · 5 + · 6 = 6 6 6 6 6 6 6 2 • Egy szabályos pénzérmével dobunk. A ξ valószín˝uségi változó értéke    0 ha írást dobunk ξ=  1 ha fejet dobunk A valószín˝uségi változó várható értéke M (ξ) =

1 1 1 ·0+ ·1= 2 2 2

• Egy urnában 4 piros és 2 fehér golyó van. Viszatevéssel húzunk az urnából 3 golyót. A ξ valószín˝uségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. ξ várható értéke ! ! ! ! 3 2 0 1 3 3 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 1 0 2 8 8 M (ξ) = ·0+ ·1+ ·2+ ·3 = + + = 2 0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 9 9 9 Készítette: Vajda István

154



Definíció Ha a ξ valószín˝uségi változónak létezik M (ξ) várható értéke, továbbá aq((ξ − M (ξ))2 kifejezésnek is létezik várható értéke, 2 akkor a M (ξ − M (ξ)) mennyiséget ξ szórásának nevezzük. Jelölés: D (ξ) Megjegyzések: • Tehát a szórás a valószín˝uségi változó és annak várható értéke közötti eltérés négyzetének várható értékéb˝ol vont négyzetgyök. • A szórás négyzetét röviden szórásnégyzetnek szoktuk nevezni. • A szórás azt fejezi ki, hogy a valószín˝uségi változó által felvett értékek átlagosan mennyivel térnek el a várható értékét˝ol. A szórás kiszámítása diszkrét valószín˝uségi változó esetén: • El˝oször kiszámítjuk a várható értéket: m = M (ξ) =

X

pi xi

i

• Ezután képezzük az xi − m eltéréseket. • Kiszámítjuk a szórásnégyzetet: 2

D (ξ) =

X i

pi (xi − m)2

• A szórásnégyzetb˝ol négyzetgyököt vonunk. Példa: Egy szabályos dobókockával dobunk. A valószín˝uségi változó által felvett érték a a dobott szám. Számítsa ki a valószín˝uségi változó szórását. Mint korábbi számításunkból tudjuk m = M (ξ) = 3.5. 2

D (ξ) =

6 X 1 i=1

6

(i − 3.5)2 =

A szórás: D (ξ) =

r

8.75 35 1 (−2.5)2 + (−1.5)2 + (−0.5)2 + (0.5)2 + (1.5)2 + (2.5)2 = = 6 3 12

35 ≈ 1.708 12


155



A valószín˝uségi változó szórása általában könnyebben is kiszámítható a következ˝o tétel alapján

Tétel: Ha ξ valószín˝uségi változó szórásának négyzete – amennyiben létezik 2 D (ξ) = M ξ2 − M2 (ξ) Példa: Számítsuk ki az el˝oz˝o példa szórását a tétel alapján! Megoldás: 1 91 M ξ2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 6 6 47 35 91 − = D2 ξ2 = M ξ2 − M2 (ξ) = 6 4 12 r 35 D (ξ) = 12

Tétel: Ha ξ binomiális eloszlású valószín˝uségi változó n és p paraméterekkel, akkor q M (ξ) = np D (ξ) = np 1 − p Tétel: Ha ξ hipergeometrikus eloszlású valószín˝uségi változó N, M és n paraméterekkel, akkor r M M M n−1 M (ξ) = n · D (ξ) = n · 1− 1− N N N N−1


156



Tétel: Ha ξ Poisson-eloszlású valószín˝uségi változó λ paraméterrel, akkor √ M (ξ) = λ D (ξ) = λ Feladatok: 1. Egy szabályos dobókockát 30-szor feldobunk. Legyen ξ a dobott 6-osok száma. Határozza meg ξ várható értékét és szórását! 1 Megoldás: ξ binomiális eloszlású valószín˝uségi változó n = 30 és p = paraméterekkel. 6 r p 1 5 1 5 M (ξ) = np = 30 · = 5 és D (ξ) = np 1 − p = 30 · · = √ = 2.041. 6 6 6 6 2. 100 termék közül 5 selejtes, a többi hibátlan. Visszatevés nélkül véletlenszer˝uen kiválasztunk a termékek közül 20 darabot, ξ legyen a kiválasztott selejtes darabok száma. Határozza meg ξ várható értékét és szórását! Megoldás: ξ hipergeometrikus eloszlású valószíM 5 n˝uségi változó N = 100, M = 5 és n = 20 paraméterekkel. M (ξ) = n · = 20 · =1 N 100 r r M 5 M n−1 95 19 19 és D (ξ) = n · 1− 1− = 20 · · · = √ = 0.427. N N N−1 100 100 99 1980 3. Egy 520 oldalas könyvben 110 nyomdahibát találtak. Az egy oldalon található nyomdahibák száma Poisson-eloszlást mutat. Számítsa ki annak a valószín˝uségét, hogy a) egy adott oldalon pontosan 2 nyomdahiba van; b) egy adott oldalon legalább egy nyomdahiba van; c) három egymást követ˝o oldalon összesen 5 nyomdahiba van! 110 11 Megoldás: A hibák számának várható értéke egy oldalon = . Mivel ξ Poisson520 52 11 eloszlású, M (ξ) = λ = . 52 λ2 −λ e ≈ 0, 0181. 2! b) P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − e−λ ≈ 0, 19066. 33 λ˜ 5 ˜ c) M η = λ˜ = , P(η = 5) = e−λ ≈ 0, 0004547. 52 5! a) P(ξ = 2) =

4. Egy 30 m hosszú, 1.5 m széles szövetvégben 117 db szövési hiba található. Számítsa ki annak a valószín˝uségét, hogy a szövetvég találomra kiválasztott 1 m2 -es darabjában legfeljebb egy szövési hiba fordul el˝o, ha az 1 m2 -es darabban el˝oforduló szövési hibák Készítette: Vajda István

157



száma Poisson-eloszlást követ! Megoldás: A szövetvég területe 45 m2 , így az 1 m2 -re es˝o hibák átlagos száma Tehát M (ξ) = λ = 2.6. P (ξ ≤ 1) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) = e−λ + λe−λ = 3.6e−2.6 ≈ 0.267.

117 45

= 2.6.

5. Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott id˝otartam alatt beérkez˝o hívások száma Poisson-eloszlású, akkor mennyi a valószín˝usége, hogy 1 perc alatt a) pontosan 1 hívás érkezik be; b) pontosan 2 hívás érkezik be; c) legfeljebb 3 hívás érkezik be; d) legalább 1 hívás érkezik be? Megoldás: λ = M (ξ) = 5. a) P (ξ = 1) = λe−λ = 5e−5 ≈ 0.0336.

λ2 −λ e = 12.5e−5 ≈ 0.084. 2! ! 2 3 λ λ 25 125 −5 −λ c) P (ξ ≤ 3) = e 1 + λ + + =e 6+ + ≈ 0.264. 2! 3! 2 6

b) P (ξ = 2) =

d) P (ξ ≥ 1) = 1 − P (ξ = 0) = 1 − e−λ = 1 − e−5 ≈ 0.993.


158



10.4. Folytonos valószínuségi ˝ változók

Definíció A ξ valószín˝uségi változót (és annak eloszlását is) folytonosnak nevezük, ha ξ F-fel jelölt eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz létezik olyan f függvény, amelyre ∀x ∈ R esetén

Zx

f (t) dt = F (x)

−∞

Az összefüggésben szerepl˝o f függvényt a ξ valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvényének nevezzük. Példa: Egy kör alakú, R sugarú céltáblára véletlenszer˝u lövéseket adunk le. Tegyük fel, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és azon bármely tartomány eltalálásának valószín˝usége egyenesen arányos annak területével. Legyen a ξ valószín˝uségi változó értéke a tábla középpontjának és a találati pontnak a távolsága. Határozzuk meg ξ eloszlás és s˝ur˝uségfüggvényét! Megoldás:

x

R

Az eloszlásfüggvény definíció szerint F (x) = P (ξ < x). A ξ < x esemény 0 ≤ x ≤ R esetén azt jelenti, hogy a találat egy x sugarú a céltáblával koncentrikus körlap belsejébe esik. (A találat x-nél kisebb távolságra van a céltábla középpontjától.) Mivel a lövés biztosan eltalálja a céltáblát és a síkidomok találati valószín˝usége a területükkel arányos: P (ξ < x) P (ξ < x) x2 π x2 = = 2 = 2, P (I) 1 Rπ R ahol I a biztos eseményt jelenti.

Ha x < 0, akkor P (ξ < x) = 0, ugyanis az, hogy a találati pont negatív távolságra legyen a céltábla középpontjától lehetetlen, a lehetetlen esemény valószín˝usége pedig 0. Másrészt, ha x > R, akkor P (ξ < x) = 1, hiszen az, hogy a találat távolsága kisebb vagy egyenl˝o mint R a biztos esemény.


159



Ennek alapján a ξ valószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye: y 1

F

  0      x2 F (x) =    x R2 R   1 Az F függvényt deriválva megkapjuk ξ s˝ur˝uségfüggvényét:

ha

x≤0

ha

0<x≤R

ha

1<x

  0      2x f (x) =    R2   0

ha

x≤0

ha

0<x
ha

1<x

y 2 R

f R

x

Az eloszlásfüggvény az x = R helyen nem deriválható. Integrálással ellen˝orizhetjük, hogy a kapott f függvény valóban ξ valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye. A s˝ur˝uségfüggvény tulajdonságai: • ∀x ∈ R esetén f (x) ≥ 0 (A s˝ur˝uségfüggvény csak nemnegatív értékeket vesz fel.) •

R∞

f (x) dx = 1

−∞

Definíció Egy folytonos ξ valószín˝uségi változó várható értékén az Z∞

x f (x) dx

−∞

improprius integrált értjük. Tétel: Egy folytonos ξ valószín˝uségi változó szórásának négyzete  ∞ 2 ∞ Z Z     2 2 2 2 D (ξ) = M ξ − M (ξ) = x f (x) dx −  x f (x) dx   −∞


−∞

160



Példa: Határozzuk meg az el˝oz˝o példa valószín˝uségi változójának várható értékét és szórást! Megoldás:

M (ξ) =

Z∞

x f (x) dx =

−∞

Z0

0 · xdx +

−∞

ZR 0

2x2 dx + R2

Z∞

x · 0dx =

R

ZR 0

ZR

" 3 #R 2x 2R 2x2 dx = = 2 2 R 3R 0 3

#R 2 2x3 2R x4 4R2 R2 dx − = − = R2 3 2R2 0 9 18 0 √ R 2 D (ξ) = √ = R 6 3 2

D (ξ) = M ξ2 − M2 (ξ) = 2

"

10.4.1. Néhány folytonos eloszlású valószínuségi ˝ változó • A folytonos, egyenletes eloszlás A ξ valószín˝uségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, ha s˝ur˝uségfüggvénye: y  1    ha a < x < b 1 (x) f =  b−a b−a   f 0 egyébként a

b

x

y

F

1

a

b

x

Eloszlásfüggvénye integrálásssal meghatározható:   0 ha x ≤ a Zx     x−a ha a < x ≤ b F (x) = f (t) dt =    b−a   −∞ 1 ha b < x

• Exponenciális eloszlás A ξ valószín˝uségi változó λ paraméter˝u exponenciális eloszlású, ha s˝ur˝uségfüggvénye: y λ

f (x) = f

(

0 λe−λx

ha x ≤ 0 ha x > 0

x

Eloszlásfüggvénye:

y

1

F

F (x) = x


Zx

−∞

f (t) dt =

(

0 1 − e−λx

ha x ≤ 0 ha x > 0

161



• Normális eloszlás A ξ valószín˝uségi változó m, σ paraméter˝u normális eloszlású, ha s˝ur˝uségfüggvénye: y

f (x) = f m

(x−m)2 1 − 2σ2 e √ σ 2π

x

Eloszlásfüggvénye:

y 1

m

1 F (x) = √ σ 2π

x

Zx

e−

(t−m)2 2σ2

dt

−∞

Tétel: Ha a ξ valószín˝uségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, akkor várható értéke és szórása: √ a+b 3 (b − a) M (ξ) = D (ξ) = 2 6

Tétel: Ha a ξ valószín˝uségi változó λ paraméter˝u, exponenciális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ) = D (ξ) =

1 λ

Tétel: Ha a ξ valószín˝uségi változó m és σ paraméter˝u, normális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ) = m


D (ξ) = σ

162



Feladatok     0 1. Egy ξ folytonos valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye: f (x) =  A    2 x

ha x < 1 ha 1 ≤ x

a) Határozza meg A értékét!

b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P(2 ≤ ξ < 4) valószín˝uség értékét! 1 d) Mely x-re teljesül, hogy P(ξ > x) = 2 e) Határozza meg a ξ valószín˝uségi változó várható értékét és szórását! Megoldás: a) Mivel a s˝ur˝uségfüggvény integrálja a ]−∞, ∞[ intervallumon 1, 1=

Z∞

f (x) dx =

−∞

Z∞

A dx = lim ω→∞ x2

1

Zω 1

A A ω A dx = lim − = lim − + A = A ω→∞ x2 x 1 ω→∞ ω

Tehát A = 1. b) F (x) =

Zx

−∞

  0    x Z  x  1 1 1 f (t) dt =   dt = − =1−   2  t t 1 x 

ha x ≤ 1 ha x > 1

1

c) P(2 ≤ ξ < 4) = F (4) − F (2) =

1 4

1 1 1 d) F (x) = P (ξ < x) = 1 − P(ξ > x) = , azaz 1 − = ⇒ x = 2. 2 x 2 R∞ R∞ 1 Rω 1 e) x f (x) dx = dx = lim dx = lim [ln |x|]ω1 = lim (ln |ω| − ln 1) = ∞ ω→∞ ω→∞ ω→∞ x x −∞ 1 1 Mivel a kapott improprius integrál divergens, a valószín˝uségi változónak nincs várható értéke, ennélfogva szórása sem lehet.


163



2. Egy ξ folytonos valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye: f (x) =

x2

C . +4

a) Határozza meg C értékét! b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P(0 ≤ ξ < 2) valószín˝uség értékét! 1 d) Mely x-re teljesül, hogy P(ξ > x) = ? 4 e) Határozza meg a ξ valószín˝uségi változó várható értékét és szórását! Megoldás: a)

1=

Z∞

f (x)dx =

−∞

Z∞

C dx = 2 2 x +4

−∞

=

Z∞

C dx = 2 lim 2 ω→∞ x +4

0

Zω

1 lim 2 ω→∞

Zω

x2

C dx = +4

0

0

C x ω lim C arctg = 2 dx = ω→∞ 2 x 0 1+ 2 ω Cπ 2 = lim C arctg − C arctg 0 = ⇒C= ω→∞ 2 2 π

Zx

2 f (t)dt = lim ω→−∞ π

b)

F(x) =

Zx

f (t)dt = lim

−∞

= lim

ω→−∞

ω→−∞

1 t arctg π 2

x

= lim

ω

1 1 dt = lim ω→−∞ 2π t2 + 4

ω

ω

Zx

ω→−∞

Zx ω

1 2 dt = 1 + 2t

1 x 1 ω 1 1 x arctg − arctg = + arctg π 2 π 2 2 π 2

1 1 arctg 1 = π 4 3 1 1 x 3 d) F (x) = P (ξ < x) = 1 − P (ξ > x) = , tehát + arctg = ⇒ x = 2 4 2 π 2 4 e) Z∞ Z∞ Z0 Z∞ 1 2x 1 2x 1 2x x f (x) dx = dx = dx + dx 2 2 2 π x +4 π x +4 π x +4 c) P(0 ≤ ξ < 2) = F(2) − F(0) =

−∞

−∞

−∞

0

Mivel pl. Z∞

2x dx = lim ω→∞ x2 + 4

0

Zω 0

h iω 2x 2 2 dx = lim ln x + 4 = lim ln ω + 4 − ln 4 =∞ 0 ω→∞ ω→∞ x2 + 4

a valószín˝uségi változónak nem létezik várható értéke és szórása sincs. Készítette: Vajda István

164



   0 3. Igazolja, hogy az F(x) =   1 − e−2x

ha x ≤ 0 függvény eloszlásfüggvény! ha 0 < x

Megoldás: F monoton növeked˝o, folytonos, lim F (x) = 0, lim F (x) = lim 1 − e−2x = x→−∞

x→∞

x→∞

1, tehát az eloszlásfüggvény összes tulajdonsága teljesül. (Észrevehetjük, hogy éppen egy λ = 2 paraméter˝u exponenciális eloszlásról van szó.) 4. Egy folytonos eloszlású ξ valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye:    c arcsin x ha 0 ≤ x ≤ 1, f (x) =   0 egyébként Mekkora a c értéke? Megoldás:

1=

Z∞

Z1

Z1

cx dx = √ 1 − x2 0 0 h i1 √ π 2 = cx arcsin x + c 1 − x2 = c arcsin 1 − c = c −1 ⇒c= 0 2 π−2

f (x)dx =

−∞

c arcsin xdx =

[cx arcsin x]10

−

5. Egy folytonos eloszlású ξ valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye:   1    sin x ha 0 ≤ x ≤ π f (x) =  2   0 egyébként Mekkora ξ várható értéke és szórása? Megoldás: M (ξ) =

Z∞

x f (x) dx =

−∞

2

D (ξ) =

Z∞

−∞

Zπ 0

2

π Zπ 1 1 1 x sin xdx = − x cos x − − cos x dx = 2 2 2 0 0 π 1 1 π = sin x − x cos x = 2 2 2 0

2

x f (x) dx − M (ξ) =

Zπ

π2 1 2 x sin xdx − = 2 4

0

π Zπ π2 1 2 π2 x cos xdx − = x sin x − x cos x − sin xdx − = 4 2 4 0 0 0 r π 1 2 π2 π2 π2 cos x + x sin x − x cos x − = − 2 ⇒ D (ξ) = −2 2 4 4 4 0

π 1 − x2 cos x + 2 0


Zπ

165



6. Egy ξ valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye ( c x + x2 ha 2 < x < 4 f (x) = 0 egyébként a) Határozza meg c értékét! b) Számítsa ki ξ várható értékét és szórását! Megoldás: a) 1=

Z∞

−∞

" !# Z4 3 4 2 x 74c 3 x f (x) x = c x + x2 dx = c + = ⇒c= 2 3 2 3 74 2

b) M (ξ) =

Z∞

3 x f (x) dx = 74

Z∞

3 x2 f (x) dx − M2 (ξ) = 74

−∞

D2 (ξ) =

" #4 Z4 3 x3 x4 118 2 3 = x + x dx = + ≈ 3.19 74 3 4 2 37 2

−∞

2

"

# 5 4

3 x4 x = + 74 4 5


Z4

x3 + x4 dx − M2 (ξ) =

118 − 37 2

2

2086 = ⇒ D (ξ) = 6845

r

2086 ≈ 0.55 6845

166



10.4.2. A normális eloszlású valószínuségi ˝ változó néhány alkalmazása A normális eloszlás – amelyet hibaeloszlásnak is neveznek – a valószín˝uségszámításban központi szerepet játszik. A gyakorlatban el˝oforduló számos valószín˝uségi változó normális eloszlású vagy normális eloszlásal közelíthet˝o.

Tétel: Ha a ξ valószín˝uségi változó m, σ paraméter˝u, normális eloszlású, akkor a ξ∗ valószín˝uségi változó is normális eloszlású 0 várható értékkel és 1 szórással. Definíció Ha a ξ valószín˝uségi változó várható értéke 0, szórása 1, akkor standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: A standard normális eloszlású valószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvényét – az általános jelölést˝ol eltér˝oen – ϕ-vel, eloszlásfüggvényét Φ-vel szokás jelölni. Megjegyzés: A Φ függvény értékeit el˝ore elkészített táblázatból tudjuk kikeresni. Mivel Φ (−x) = 1 − Φ (x) , a táblázatban csak a nemnegatív számokhoz tartozó függvényértékeket találjuk. Feladatok: 1. Legyen ξ normális eloszlású m = 1, σ = 4 paraméter˝u valószín˝uségi változó. a) Írjuk fel a s˝ur˝uség- és eloszlásfüggvényét! b) Mennyi a várható értéke és szórása? c) Számítsa ki a P(0 < ξ < 3) és a P(ξ) > 4 valószín˝uségek értékét! Megoldás: (x−m)2 (x−1)2 1 1 1 R∞ − (x−m)2 2 x−1 − − 32 2 2σ 2σ a) f (x) = √ e = √ e F(x) = √ e =Φ 4 σ 2π 4 2π σ 2π −∞ b) M(ξ) = m = 1, D(ξ) = σ = 4. 1 1 1 1 c) P(0 < ξ < 3) = F(3) − F(0) = Φ −Φ − =Φ +Φ −1≈ 2 4 2 4 ≈ 0.6915 + 0.5987 − 1 = 0.2902 3 ≈ 1 − 0.7734 = 0.2266. P(ξ > 4) = 1 − F(4) = 1 − Φ 4 Készítette: Vajda István

167



2. Egy normális eloszlású valószín˝uségi változó várható értéke 18. Mekkora a szórása, ha tudjuk, hogy P(ξ < 10) = 0.1215? Megoldás: 8 8 8 F(10) = 0.1215 ⇔ Φ − = 0.1215 ⇔ Φ = 0.8785 ⇔ = 1.167 ⇔ σ = 6.85 σ σ σ 3. Egy gyártmány mérethibája – azaz eltérése a névleges értékt˝ol – egy normális eloszlású valószín˝uségi változó (ξ), melynek várható értéke 0. Megállapították, hogy 0.6 annak a valószín˝usége, hogy hogy a mérethiba abszolút értéke nem éri el a 10 mm-es határt. Számítsa ki annak a valószín˝uségét, hogy a mérethiba abszolút értéke a 8 mm-t nem haladja meg! Megoldás: σ ≈ 11.8818 P (|ξ| < 8) ≈ 0.7496 4. Egy üzemrészben deszkákat készítenek. Ezek hossza normális eloszlású valószín˝uségi változó 300 cm várható értékkel, és 2 cm szórással. a) Mekkora a valószín˝usége, hogy egy deszka hossza nagyobb, mint 305 cm? b) Mekkora annak a valószín˝usége, hogy a deszkák hossza legfeljebb 1 cm-rel tér el a 300 cm-t˝ol? Megoldás: a) P (ξ > 305) = 1 − F(305) = 1 − Φ (2.5) ≈ 0.0062. 1 1 1 b) P (|ξ − 300| < 1) = F(301) − F(299) = Φ − Φ − = 2Φ − 1 ≈ 0.383. 2 2 2 5. Egy munkapadról kikerült termék hossza normális eloszlású valószín˝uségi változó, melynek várható értéke 250 mm, szórása 3 mm. a) Számítsa ki annak valószín˝uségét, hogy egy munkapadról kikerült termék hossza 248 és 252 mm közé esik! b) Mekkora pontosság biztosítható 0.95%-os valószín˝uséggel a munkadarabok hoszszára? Megoldás: 2 2 2 a) P(248 < ξ < 252) = F(252) − F(248) = Φ − Φ − = 2Φ − 1 ≈ 0.4972. 3 3 3 ! ! ! d d d b) P(|ξ − 250| < d) = F(250 + d) − F(250 − d) = Φ − Φ − = 2Φ −1 = 3 3 3 ! d 0.95 ⇒ Φ = 0.975 ⇒ d = 5.88 mm. 3


168

10. Valószínűségszámítás

Recommend Documents