10. Differenciálszámítás 10.1
Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f(x) = 4⏐2x-3⏐
b, f(x)=⏐sinx⏐
c, f(x) = sin2x
d, f ( x ) = x + 1
e, f(x) = ⏐4x3⏐
f, f ( x ) = ⎨ x2 , ha x < 0
⎧ 2 g, f ( x ) = ⎨ x , ha x < 1
h, f ( x ) = ⎨
⎧
3
⎩x , ha x ≥ 0
⎧cos x , ha ⎩ − 1, ha
⎩ x , ha x ≥ 1
− 3π π <x< 2 2 egyebkent
⎧
i, f ( x ) = ⎪⎨sin x ha ⎪⎩ 1
⎧ sin x, ha k, f ( x ) = ⎪⎨ π ⎪x − , ha 2 ⎩
π 2 π x> 2 x≤
2
m, f(x) = ⏐x +2x-8⏐
⎧ 1 , ⎪ j, f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩x 2 − 1,
x ≤π x >π
ha
x ≤ −1
ha
x > −1
l, f(x) = ⏐x-3⏐+⏐x+5⏐ ⎧ x + 1 , ha x ≤ 0 ⎪ n, f ( x ) = ⎨ x + 1 , ha 0 < x ≤ 9 ⎪ 2 x − 14 , ha 9 < x ⎩
10.2. A paraméterek mely értéke esetén differenciálhatóak az alábbi függvények a megadott pontokban: tg ( x − 1) , ha 0 ≤ x < 1 , ha 1 ≤ x ≤ 2 ⎩ ln cx ,
a, f ( x ) = ⎧⎨
xo=1 b, f ( x ) = ⎧⎨ x , x −1 α
⎩e
,
ha 0 < x < 1 , ha 1< x
xo=1
10.3. Számítsa ki a differenciahányados-függvény határértékeként az alábbi függvények adott pontbeli differenciálhányadosát: a, f(x) = x2+x, c, f ( x ) =
xo=1
1 , x +1
xo=3
b, f(x) =
x +x,
d, f(x) = 8x2+1,
xo=9 xo=2
10.4. Határozza meg a differenciahányados-függvény határértékeként az alábbi függvények derivált függvényét: a, f(x) = x2
b, f(x) = x3
c, f ( x ) =
2 x −3
d, f ( x ) = x 5
10.5. Határozza meg a következő függvények első derivált függvényét és a differenciálhányados értékét a megadott pontokban:
a, f(x) = 5⋅x3 – tg x,
c, f ( x ) = 3 − 5 + 4x , 3 e, f ( x ) =
b, f ( x ) = 1 − e x + 63 ,
xo=π xo=1
x x 3 ln x + sin x
d, f(x) = x⋅e-x⋅cos2x x +x ⎞ f, f ( x ) = 5e x ⎛⎜ x − ctgx + 2 ⎟
x 4
xo=1
x
6
3
⎝
9
x
4
⎠
g, f(x) = (x - 6x +1) - (7x -3x + 2) , xo= -1
h, f(x) = lg(sin4x),
i, f(x) = 5sinx - 2sin5(1- x),
j, f ( x ) = tg x ⋅ ⎜ 6 − 3 sin x ⎟ 2 ⎜ 3⎟
xo=0
k, f ( x ) = tg x + 1 x −1 5
m, f ( x ) = ⎛⎜1 + ln 1 ⎞⎟ ,
xo=1
x⎠
⎝
xo=π/8
⎛
⎞
⎝
⎠ x l, f ( x ) = arccos + arcsin x 2 − 1 1− x x n, f ( x ) = ln 1 − x 2 + 5x 3
o, f ( x ) = e 2 x + e 4 x + 1
p, f(x) = cos2(arctgex/2)
q, f ( x ) = − 3 + x + xarctgx 2
2 r, f ( x ) = 3 1 + x 2 , xo=4
s, f ( x ) = 2 cos
2
x +x +3 π x + tg 4
1− x
10.6. Vázolja az alábbi függvényeket és a derivált függvényeiket: a,
⎧ 2 ⋅ 2 x , ha x ≤ −1 ⎪ c, f ( x ) = ⎨x 2 , ha − 1 < x ≤ 1 ⎪ 2x − 1 , ha 1 < x ⎩
⎧1 ⎧x + 2 , ha x ⎪ , ha x ≤ −1 b, f ( x ) = ⎨ x 2 f (x) = ⎨ 3 ⎩ − x , ha − 1 ⎪⎩ x 3 , ha − 1 < x
10.7. Határozza meg a következő függvények második derivált függvényét és annak értékét a megadott pontokban: a, f(x) = 5x3-x+3,
xo=2
c, f ( x ) = x arcsin x , e, f(x)= 3ln2x – tg2x,
xo=0 xo=π
b, f(x) = 6x + 2,
xo= -7
d, f(x) = arcsin x + arccos x, f, f(x) = x2⋅arctg(x/5) + 3x,
xo=0 xo=1
10.8. Határozza meg a következő függvények első derivált függvényét („logaritmikus” deriválás): a, f(x) = xx
b, f(x) = (x⋅lnx)x-1
c, f (x ) = x x
d, f(x) = x2⋅(x2+4)4x
e, f(x) = sin(xx+x)
f, f ( x ) = tgx arcsin x
g, f ( x ) =
3x 2+x
2x
h, f ( x ) = x
2− x 2
10.9. Határozza meg a következő függvények megadott pontbeli érintési paramétereit, görbületét, továbbá írja fel az érintő egyenes, a normális egyenes és a simulókör egyenletét: a, f(x) = 3x – x2, 2
c, f(x) = e − x , 3
e, f ( x ) = 5 x ,
xo=4
b, f(x) = arctg x, d, f(x) = ln (sin x),
xo=1
xo=π/2
f, f(x) = (4x3-5x2+6x+7)3,
xo=1
g, f (x) = sin x ,
xo=1
xo= π/4
xo= -1
xo= 1/2
h, f(x) = arcsin x,
10.10. Határozza meg a következő kifejezések közelítő értékét a bennük szereplő függvényeket a függvény nevezetes helyén lineárisan közelítve: a,
3
1,02
e, lg11
b, cos153o
c, sin226o
d, tg40,07
f, log380
g,
h, (10,02)8
5
34
10.11. Határozza meg a következő függvényhatárértékeket a L'Hospital-szabály alkalmazásával: 3 1. lim ln x x→ 0+
ln(sin x )
4. lim( x − 3) ctg( πx) x→ 3
2. lim( e x − 1) ctgx
3. lim chx − 2cos x
5. lim⎛⎜ 1 −
6. lim tgx − x
x→ 0
x→ 0
⎝x
x
x→ 0
1 ⎞ ⎟ e − 1⎠ x
x→ 0
x − sin x
9. lim 3tg4x − 12tgx
7. lim⎛⎜ x − 1 ⎞⎟ x→1
8. lim⎛⎜ 12 −
2 10. lim cos x π
1 ex 11. lim x→ 0 sin x
12. lim tg3x π
13. lim x x
14. lim ( tgx ) tg 2 x
−1 15. lim x ⋅ ctgx 2
16. lim 2 x ⋅ ctg3x
17. lim x 2 ln x
18. lim π
⎝x−1
x→
2
ln x ⎠
x→ 0
⎝x
1 sin 2
⎞ ⎟ x⎠
x→ 0
ex −
π x− 2
x →∞
x→
x→ 0+
x →0
3 sin 4x − 12 sin x
tgx
2
x
x→ 0
x →0 +
x→
4
3
tgx − 1
2 sin 2 x − 1
(
) (
20. lim 1 + xshx − ch 3x
21. lim
1 22. lim x x→∞ x
23. lim 1 e − x
24. lim 1 −2 cos x2
2x
x→ 0
ln
25. lim ( ctgx ) x → 0+
28. lim x x→1
1 x −1
sh 2 x
x→ 0
x→−∞
1 ln x
x
x→ 0
1
x→ 0
x
x→ 0
3
2
x→ 0
x − sin x ex − 1 − x −
x sin x
27. lim arcsin 2x −3 2 arcsin x
x2 26. lim ⎛⎜ sin x ⎞⎟ x→ 0+ ⎝ x ⎠
29. lim
)
x ex + 1 − 2 ex − 1
19. lim sh2 x + sin x
x2 2
x
30. lim ln x ⋅ ln(1 − x) x→1− 0
31. lim xe − x
32. lim( tgx) tg 2 x π
2
x→
x →∞
4
x sin x 33. lim a − 3a , (a>0)
x
x→ 0
10.12. Végezzen függvényvizsgálatot és ábrázolja következő függvényeket: a, f(x) = 2x3 – 13x2 + 20x
b, f(x) = e-2x⋅(3x+4)
c, f ( x ) = 62 x
3 d, f ( x ) = 4x 2− 1
e, f(x) = x2e2x
f, f(x) = x⋅ln2x
g, f ( x ) = ln x
x h, f ( x ) = e
i, f(x)= x2⋅ e-x
j, f ( x ) = e 2 x − x
x −1
x
1+ x
x
k, f ( x ) = e 4 x
l, f(x) = ln (x2-1)
2
m , f ( x ) = x ⋅ ln 1 x
o, f ( x ) = e
−
t, f ( x) =
n, f ( x ) = 1 ln 1 x
x
p, f ( x ) = 1 e − x
1 x
r, f ( x ) = x e 2
2
x
4 s, f ( x) = 1 + x 2 − x
1 x
2
u, f ( x) = x − 2
x 1 + x2
x2 + 1
v, f ( x) = x + e − x 10.13. Vizsgálja az alábbi függvények monotonitását és keresse meg a helyi szélsőértékeket: a, f(x)= x(sinx-cosx)+sinx+cosx, x∈[-π,π]
b, f(x) = (sinx+cosx)2, x∈[-π,π]
c, f(x)= sin(x2-1), x∈[-3,3]
d, f(x) = sin(ex), x∈[-2,5/2]
e, f(x)= esin x, x∈[-5,6]
f, f ( x ) = x (x − 1)2 (x − 2)3
g, f ( x ) = x 3 x − 1
h, f ( x ) = x ⋅ ln x
i, f ( x ) = cos x + 1 cos 2x
j, f ( x ) = arctgx − 1 ln (1 + x 2 )
k, f ( x ) = 2 x − x 2
l, f(x) = xe − x
2 m, f ( x ) = ln x
n, f ( x ) =
2
x
2
10 1 + sin 2 x
10.14. Vizsgálja az alábbi függvények monotonitását, konvexitását, keresse meg a helyi szélsőérték-helyeket és az inflexiós pontokat! Periodikusak-e a megadott függvények? Ha igen, akkor adja meg a periódust is!
a, f ( x ) = sin 2x + 5
e, f(x)= sin2x
3
3
b, f(x) = sin x
f, f ( x ) = sin x + cos 2 x
c, f ( x ) = (7 + 2 cos x )sin x
g, f ( x ) = sin x + 1 sin 3x
d, f ( x ) = cos x − 1 cos 2x 2
h, f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x
3
10.15. Határozza meg az alábbi függvények legkisebb és legnagyobb értékeit a megadott zárt intervallumban! a, f (x ) = x 2 − 4x + 6 , x∈[-3;8] c, f (x ) = x 2 − 3x + 2 , x∈[0.5;1.8] b, f (x ) = x + 1 , x
x∈[0.2;3]
d, f (x ) = 5 − 4x
,
x∈[-1;1]
10.16 Hol maximális az alábbi függvények görbületének nagysága, és mennyi ez az érték: a, f(x) = sh x
b, f(x) = x2
c, f(x) = ln x
d, f(x) = 1/x
10.17. GEOMETRIAI PROBLÉMÁK a. b. c. d. e.
1 , függvény görbéjének az x tengellyel alkotott metszéspontjaiba húzot x érintőinek egyenleteit. Legyen f (x ) = x 3 − x + 1 . Határozza meg a függvény azon pontjainak koordinátáit, ahová húzott érintők párhuzamosak az y = 2x -1 egyenletű egyenessel. Határozza meg az f (x ) = x 3 − 6x 2 + 1 , függvény azon érintőjének az egyenletét, amely merőleges a 12y = x + 12 egyenletű egyenesre. Mekkora területű háromszöget alkot a koordinátatengelyekkel az xy(x)=c egyenletű hiperbola x = a abszcisszájú pontjához húzott érintője? Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az f (x ) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 függvény azon pontjait köti össze, amelyekhez húzott érintők párhuzamosak az x tengellyel.
Írja fel az f (x ) = x −
10.18. SZÉLSŐÉRTÉK-FELADATOK a. b. c. d. e. f. g.
200 m kerítés anyaggal egy téglalap alakú folyóparti területet akarunk bekeríteni úgy, hogy a folyó felőli oldalra nem teszünk kerítést. Mekkora a legnagyobb lekeríthető terület? A 10 cm-es alkotójú kúpok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? Határozza meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú hengert! Az x2+3y2=28 egyenletű ellipszisnek adott két pontja: A=(5,1), B=(-4,2). Határozza meg az ellipszis azon C pontját, melyre az ABC háromszög területe maximális! Egy háromszög egyik oldala 15 cm, a hozzá tartozó magasság 10 cm. Mekkorára kell megválasztani a másik két oldalt, hogy a háromszög kerülete minimális legyen? Egy 5 cm sugarú félkörbe téglalapot írunk úgy, hogy a télalap egyik oldala illeszkedik a kör átmérőjére, két csúcsa pedig a körre. Határozza meg a legnagyobb területű beírható téglalapot! Egy 6 cm sugarú, 15 cm magas egyenes körkúpból legfeljebb mekkora térfogatú (a kúppal közös szimmetriatengelyű) hengert lehet kifaragni?
h.
Egy 10 cm sugarú félkörlemezből legfeljebb mekkora területű szimmetrikus trapéz alakú lemez vágható ki? i. Egy R sugarú gömbből legfeljebb mekkora térfogatú kúp faragható ki? x 2 y2 j. Az + = 1 egyenletű ellipszisbe téglalapot írunk úgy, hogy a téglalap oldalai 9 4 párhuzamosak az ellipszis tengelyeivel. Határozza meg a legnagyobb területű beírható téglalapot! k. Az 5 m3 térfogatú, szabályos háromszög alapú egyenes hasábok közül melyiknek legkisebb a felszíne? 1 l. Határozza meg az f(x)= x2 parabola azon pontját, mely a (0,6) ponthoz a legközelebb van ! 8 m. Egy háromszög kerülete 40 cm, az egyik oldala 15 cm. Mekkora legyen a másik két oldal, hogy a háromszög területe maximális legyen? n. Egy 100 m3-es víztároló medencét akarunk építeni. Milyenre kell választani a méreteit, hogy a megépítéséhez a legkevesebb anyagot kelljen felhasználni o. Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? p. Melyik a legnagyobb területű azon derékszögű háromszögek közül, amelynél az átfogó és az egyik befogó összege adott állandó érték?
