1. Základy měření neelektrických veličin 1.1. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích členů (jednotek) účelně uspořádaných tak, aby bylo nožně splnit požadovaný úkol měření, tj. získat informaci o velikosti fyzikální veličiny na měřeném objektu. Nejdůležitějším členem měřicího řetězce (obr1.1) je snímač, jehož první část označovaná jako čidlo je v přímém styku s měřeným objektem a přijímá od něj energii. Druhou část tvoří elektrický měřicí obvod EMO. Je důležité si uvědomit, že při každém měření dochází k odčerpání části energie z měřeného objektu, tj. objekt je vždy měřením rušen a teoreticky nelze dosáhnout měření bez chyby. Výstupní veličina čidla je zpravidla neelektrická (např. mechanický pohyb) a může být u složitějších snímačů ještě několikrát transformována na jiné neelektrické veličiny uvnitř snímače. Výstupní elektrická veličina snímače je dále zpracována v e1ektrickém měřicím obvodu na tvar a velikost požadovanou pro vyhodnocení. Elektrický měřicí obvod (EMO) je složen z převáděcích členů jako jsou zesilovače, generátory, můstkové obvody, filtry, počítací obvody, atd).
Obr.1.1. Blokové schéma měřicího řetězce Výstupní veličina z EMO je zpracována vyhodnocovacími členy na formu přístupnou lidskému vnímání. Typickými vyhodnocovacími členy pro analogový údaj jsou ručkové měřicí přístroje, pro číslicový údaj číslicové displeje ( svíticí segmenty, kapalné krystaly). Důležitým členem vyhodnocovacího zařízení je paměť‚ zajišťující uchování informace o hodnotě měřené veličiny po určitou dobu. Pro analogový signál se jako pamětí užívá zapisovačů nebo měřicích magnetofonů, pro číslicové signály polovodičových pamětí nebo magnetických nebo optických disků.
1.2. Statické vlastnosti měřicího řetězce Jak již bylo řečeno, nejdůležitějším členem měřicího řetězce je snímač, protože zpravidla určuje vlastnosti celého řetězce. Je to zejména proto, že chyby vzniklé ve snímači buď nelze odstranit vůbec, nebo jen velmi obtížně v dalších členech měřicího řetězce. Proto náklady na výzkum, vývoj a výrobu snímače jsou často větší než na celý zbytek řetězce. Vlastnosti snímače důležité z hlediska měření popisujeme statickými a dynamickými veličinami definovanými v následujících odstavcích.
1
1.2.1 Statická charakteristika Statické vlastnosti měřicího řetězce popisují jeho chování v časově ustáleném stavu a jsou dány statickými vlastnostmi jednotlivých členů. Statická převodní charakteristika členu je vztah mezi výstupní a vstupní veličinou členu v časově ustáleném stavu Je obecně popsána funkční závislostí y = f(x). Tuto závislost lze velmi často popsat mnohočlenem
y = a0 + a1 x + a 2 x 2 LL + a n x n V nejjednodušším a často žádaném případě platí lineární vztah y = Kx , kde K je konstanta přenosu (zesílení) měřicího členu. Pro obecnou funkční závislost definujeme “konstantu“ přenosu z přírůstků ∆x, ∆y a tedy obecně je K funkcí vstupní veličiny x. K = lim ∆x →0
∆y df ( x) = dx ∆x
Chybou linearity ( členu nebo celého řetězce pak většinou rozumíme odchylku skutečné charakteristiky od ideální přímkové charakteristiky. Skládá-li se řetězec z většího počtu členů s lineárními statickými charakteristikami, bude výsledná charakteristika dána výsledným zesílením vypočteným z blokového schématu. Tak např. při sériovém řazení členů bude výsledné zesílení dáno součinem všech zesílení. Je-li charakteristika snímače nelineární, snažíme se ji linearizovat použitím korekčních členů, nebo zvolíme náhradní lineární charakteristiku .
Obr.1.2. Volba náhradní charakteristiky Jeli funkce y = f(x) měřicího řetězce složitá a je-li tato funkce měřením zjištěna, je výhodné zvolit jako náhradní charakteristiku empirickou regresní funkci (obr.1.3) získanou výpočtem metodou nejmenších čtverců. Pro zjištění hodnoty K v případě nejjednodušší regresní funkce y = Kx platí n
∑x y i
K=
i =1 n
∑x
i
2 i
i =1
2
Obr.1.3. Lineární regresní funkce 1.2.2 Citlivost měřícího členu Citlivost je schopnost přístroje reagovat za stanovených pracovních podmínek na změnu hodnoty měřené veličiny. Stanovené pracovní podmínky jsou dané určitou hodnotou nebo tolerančním polem hodnot ovlivňujících veličin, jako je např. teplota okolí, tlak, vlhkost. Citlivost se vyjadřuje výrazem, který je dán podílem změny údaje přístroje ∆y, vyvolané požadovanou změnou hodnoty měřené veličiny ∆x. Přírůstek ∆x odpovídá u výchylkových přístrojů zpravidla nejmenšímu dílku čárkové stupnice.
Obvykle citlivost stanovíme jako počet dílků na jednotku měřené veličiny. Citlivost přístroje s lineární charakteristikou y = kx je v celém rozsahu přístroje konstantní a platí c = dy / dx . V případě nelineární charakteristiky však platí, že pro každý bod charakteristiky tj, pro každou hodnotu měřené veličiny, je citlivost jiná. Řada přístrojů má nelineární charakteristiku danou rovnicí y = x0 + k ⋅ x 2 , tedy y ′ = 2k ⋅ x
Z definice citlivosti vyplývá její rozměr: U přístrojů analogových je to podíl délky stupnice v mm a rozměru měřené veličiny mm/rozměr m.v. U přístrojů digitálních, u nichž se vyjadřuje změna údaje vyvolaná požadovanou změnou měřené veličiny počtem číslic (místo počtem dílků stupnice) - tedy bezrozměrným číslem. Rozměr citlivosti je tedy 1/rozměr m.v. Je také třeba upozornit na to, že musíme rozlišovat pojmy citlivost a práh citlivosti čili prahovou citlivost. Ta je projevem pohyblivosti měřicího přístroje - jeho schopností reagovat na malé změny měřené veličiny (změna odpovídající zlomku hodnoty nejmenšího dílku stupnice). Citlivost, práh citlivosti a pohyblivost jsou vlastnosti, které mají v podstatě stejnou definici i stejný fyzikální rozměr. Změna měřené veličiny, která ještě nevyvolá zjistitelnou změnu údaje, je chyba pohyblivosti. Převrácenou hodnotou citlivosti je konstanta přístroje K = 1 / c . V praxi je dána počtem jednotek měřené veličiny na jeden dílek stupnice. Stanovujeme ji obvykle jako podíl rozsahu stupnice a počtu dílků a správnou hodnotu měřené veličiny určíme jako součin počtu dílků n a konstanty přístroje x = K ⋅ n . 1.2.3 Rozsah měřícího členu Rozsah přístroje udává v jakém rozmezí hodnot měřené veličiny můžeme přistroj používat. Rozlišujeme rozsah přístroje - ukazovací, daný krajními hodnotami měřené veličiny 3
vyznačenými na stupnici a měřicí, což je ta část stupnice, ve které není údaj přístroje zatížen větší chybou než je chyba dovolená, daná třídou přesnosti přístroje. Měřicí rozsah přístroje tedy může být menší než ukazovací. Rozsah digitálních přístrojů je dán nejvyšším zobrazitelným číslem a ukazovací rozsah je totožný s měřicím. 1.2.4 Přesnost měřicího členu Přesnost měřicího členu je vlastnost, která charakterizuje schopnost měřicího členu dávat na výstupu konvenčně pravé hodnoty signálu (tj. hodnoty, které se zanedbatelně liší od skutečné hodnoty). Přesnost členu je dána jeho celkovou chybou, tj. součtem základní a vedlejší chyby.
Základní chyba členu je chyba při dodržení předepsaných referenčních podmínek daných buď určitou hodnotou nebo tolerančním polem hodnot ovlivňujících veličin (např. teplota, tlak, vlhkost, kmitočet napájecího zdroje atd.). Vedlejší chyby jsou způsobené tím, že se měřicího členu používá za jiných podmínek než referenčních. Podle způsobu vyjádření dělíme chyby měřicího členu na absolutní ∆ a relativní δ. Platí y − yS ∆ = yN − yS , δ = N yM kde yN je naměřená hodnota výstupní veličiny měřicího členu, yS správná hodnota výstupní veličiny, yM maximální hodnota měřicího rozsahu. Dle charakteru výskytu chyb dělíme chyby na systematické, určující tzv. správnost měřicího členu, a na chyby nahodilé, určující tzv. stálost měřícího členu. Systematické chyby jsou způsobeny nedokonalostí měřicích členů. Při opakovaném měření za stejných podmínek mají tyto chyby stejné znaménko a absolutní hodnotu, nebo se periodicky mění. Nahodilé chyby se mění náhodným způsobem co do znaménka i co do absolutní hodnoty. Zákonitostmi, tj.stanovením pravděpodobnosti rozložení náhodných chyb se zabývá matematická statistika. Pro nejčastější případ tzv. Gaussova rozložení náhodných chyb se zavádí pojem krajní chyby. Krajní chyba ∆k je dána určitým násobkem hodnoty odhadu směrodatné odchylky z n měření. n
∆k = s ⋅
∑ (y i =1
i
− y)
2
n −1
kde s je hodnota násobku, yi jsou údaje přístroje, n počet měření a y je výběrový průměr z n měření. Základní chybu pak udáváme algebraickým součtem soustavné maximálně možné systematické chyby ∆max a krajní chyby ∆k. V technických měřeních tvoří systematické chyby často převažující složku a nahodilé chyby lze zanedbat. U číslicových měřicích členů mohou výstupní měronosné veličiny nabývat jen určitých hodnot. Dochází ke kvantování výstupní veličiny, t.j. jsou hodnotám x přiřazovány jen určité hodnoty z oboru celých čísel. Výstupní číslicová veličina D pak nemění hodnotu, pokud
4
vstupní analogový signál x zůstává v rozmezí ± ∆q / 2 kolem jistých hodnot vstupní veličiny x. Je-li počet bitů výstupního čísla roven n, lze rozlišit N = 2n pásem veličiny x o šíři
∆q =
1 ⋅ xM 2n
kde xM je měřicí rozsah (maximální hodnota x). Maximální hodnota absolutní kvantovací chyby je pak dána vztahem ∆ kvM =
0,5 ⋅ xM 2n
Maximální relativní kvantovací chyba
δ kvM =
0,5 2n
Do celkové chyby měřicího členu s číslicovým výstupem je nutné započítat ještě analogovou chybu δA danou v analogové části členu. Výsledná chyba δv bývá udávána jako součet
δ V = δ A + δ kvM Při zobrazení výstupní veličiny na číslicovém displeji se maximální číslicová chyba udává počtem jednotek v řádu s nejmenší vahou zobrazovače (počet číslic-digits d). Potom
δV = δ A + d Systematické chyby Při výpočtech chyb jednotlivých členů je nutné si uvědomit že odchylka od ideální statické charakteristiky měřicího členu může mít různou funkční závislost (obr.8).
Obr.1.4. Různé statické charakteristiky měřicích členů
5
a) Závislost 1 na obr.1.4 je charakteristika definovaná přenosovou konstantou KS =
y x
b) Závislost 2 je skutečná charakteristika, jejíž absolutní odchylka |∆y| od ideální charakteristiky je úměrná veličině x neboli relativní chyba δy = konst. Takto definovaná chyba je tzv. multiplikativní chyba absolutní ∆K. Platí ∆y = ∆ K ⋅ x c) Závislost 3 je charakteristika kdy absolutní odchylka nabývá konstantní hodnoty. ∆y = konst Toto je tzv. aditivní chyba a je typická pro členy s posuvem nuly výstupní veličiny. d) Závislost 4 je zcela obecná charakteristika f(x) měřícího členu. Potom pro absolutní chybu platí ∆y = K S x − f (x) Pokud funkční závislost nahradíme regresní funkcí, musíme při pro výpočtu chyby ještě započítat chybu regrese. Celková výsledná chyba měřicího řetězce je dána součtem multiplikativních a aditivních chyb jednotlivých členů.
1.3 Dynamické vlastnosti měřícího členu Dynamické vlastnosti MČ nás zajímají v případě, když měříme rychle se měnící veličiny. Po rychlé změně vstupní veličiny se měřená údaj ustálí na hodnotě odpovídající statické charakteristice členu. Vztah mezi výstupní veličinou y a vstupní veličinou x v přechodovém stavu můžeme obvykle vyjádřit lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty a n y ( n ) (t ) + a n −1 y ( n −1) (t ) + LL + a1 y ' (t ) + a 0 (t ) = x(t)
kde exponent v závorce znamená řád derivace. Tak například termočlánek s obnaženým měřícím spojem se chová jako statická soustava 0. řádu. Jeho statické i dynamické chování je popsáno jedinou rovnicí a0y = x. Takový přístroj se z hlediska dynamiky chová ideálně. Dynamické vlastnosti měřicích přístrojů charakterizuje - dynamická charakteristika, - čas, za který dosáhne dynamická chyba. určité hodnoty
6
Při experimentálním vyšetřování dynamických vlastnosti přístrojů sledujeme odezvu přístroje, tj, časovou závislost údaje přístroje na změny měřené veličiny nejčastěji ve formě skokové změny: x(t) = 0 pro t < 0 x(t) = konst (obvykle x(t) = 1) pro t >0, Změna údaje měřicího přístroje v čase po jednotkové změně měřené veličiny se nazývá přechodová funkce, její grafické vyjádřeni přechodová charakteristika. Jestliže se nejedná jednotkový skok měřené veličiny, nazýváme 4asový průběh údaje odezvou na skokový signál. 1.3.1 Dynamické charakteristiky
Soustava 0. řádu Měřici přístroj, který je statickou soustavou O. řádu, je z hlediska statických a dynamických vlastnosti ideální a jeho statická a dynamická charakteristika je dána rovnici: a0 y = x a přechodovou funkci: 1 y= ⋅ x kde 1/a0 je zesílení soustavy. a0 Soustava 1. řádu Jako soustava statická 1. řádu se chová většina měřicích přístrojů, jako např. skleněný rtuťový teploměr. Jejich dynamické chování popisuje diferenciální rovnice a1 y ′(t ) + a 0 y (t ) = x kde označíme τ = a1/a0 jako časovou konstantu. Přechodová funkce t
y=
− 1 (1 − e τ ) a0
Někdy se stává, že dojde ke zpoždění počátku časová změny údaje po skokové změně měřené veličiny. Je to způsobeno dopravním zpožděním, která se označuje τD. Soustavami s dopravním zpoždění jsou např. přístroje pro automatická stanovení koncentrace kapalin Přechodová funkce soustavy 1.řádu s dopravním zpožděním − 1 y= (1 − e a0
( t −τ D )
τ
)
7
Obr.1.9 Přechodové charakteristiky soustavy bez dopravního zpoždění a s dopravním zpožděním. Z přechodově charakteristiky statické soustavy 1. řádu můžeme odečíst hodnotu časové konstanty τ jako časový úsek, který vytíná na rovnoběžce s osou času,vedené ustáleným stavem, tečna vedená počátkem přechodové charakteristiky. Její experimentální stanovení je čas, za který dosáhne údaj přistroj 63,2 % celkové změny. 1.3.2 Dynamické chyby
Dynamická chyba vyjadřuje rozdíl mezi údajem přístroje a správnou hodnotou měřené veličiny v přechodovém stavu . V ustáleném stavu dynamická chybu vymizí. Je to chyba systematická a můžeme ji udávat jako absolutní dynamickou chybu ed. Je je zřejmé že dynamické chyby jsou funkcí dynamických vlastností přístroje a času. V jednoduchých případech můžeme časovou závislost vypočítat. U přístroje který je z hlediska dynamiky soustavou 1. řádu vypočítáme dynamickou chybu z odezvy na změnu vstupní měřené veličiny jednotkovým skokem.
Obr. 1.10 Časová závislost dynamické chyby
8
Často jsou u přístrojů vyžadovány hodnoty v časech t50, t95 a t99 za který jeho údaj dosáhne 50%, 95% a 99 % ustálené hodnoty měřené veličiny, tedy bude mít 50ti 5ti či 1% dynamickou chybu. Znalost dynamických chyb je důležitá při měření rychle se měnících veličin a u měření, která se v pravidelných intervalech opakují. například u měřících ústředen a u diskontinuálních přístrojů .
9
