1. Vizsgálat az időtartományban Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/

1. Vizsgálat az időtartományban 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

x1 [k + 1] = x1 ⋅ b(c + eg ) + x2 ⋅ 0 + x3 ⋅ gf + u ⋅1 x2 [k + 1] = x1 ⋅ (bd + beh) + x2 ⋅ 0 + x3 ⋅ fh + u ⋅ 0 x3⎤⋅⎡fx1+⎤u ⋅ ⎡01⎤ ⎡ xx13 [+k⎤+ 1]⎡=bx(c1 ⋅+beeg+) x2 ⋅00 + fg ⎢ xy =+ ⎥x =⋅ (⎢abeg + bca ) + x ⋅1 +⎥ ⎢x ⋅ ⎥afg⎢+ ⎥u ⋅ a ⎢ 2 ⎥1 ⎢(bd + beh) 0 2 fh ⎥ ⎢ x3 2 ⎥ + ⎢0⎥u ⎢⎣ x3 + ⎥⎦ ⎢⎣ be 0 f ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0⎥ ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣⎦ A

B

⎡ x1 ⎤ y = [abeg + bca 1 afg ]⎢⎢ x2 ⎥⎥ + [ a ]⋅ u  CT ⎢⎣ x3 ⎥⎦ D format compact a=-0.7;b=0.5;c=0.6;d=0.6;e=-0.7;f=0.5;g=0.5;h=0.7; clc A=[b*(c+e*g) 0 g*f; b*(d+e*h) 0 f*h; b*e 0 f]

⎡0.125 0 0.25⎤ A = ⎢⎢0.055 0 0.35⎥⎥ ⎢⎣ 0.35 0 0.5 ⎥⎦ 1.2. Határozza meg a sajátértékeket! Döntse el, hogy stabilis-e a hálózat! Ha nem stabilis, változtasson meg erősítést (esetleg többet) úgy, hogy a hálózat stabilis legyen, majd oldja meg újra az 1.1.feladatot! A hálózaton végzett módosítással nem csökkentheti a hálózat rendjét, nem teheti triviálissá a hálózatot, és nem vehet fel további komponenst! Minden további feladatot az így stabilissá tett hálózaton végezzen el! A karakterisztikus egyenlet:

det(λ E − A) =

λ − 0.125

0

0.055

λ −0

0.35

0

0.25 0.35 = 0

λ − 0.5

λ1 = 0 λ2 = 0.,3125 + j 0.2288 λ3 = 0.,3125 − j 0.2288

Mivel a sajátértékek abszolútértéke kisebb egynél, a rendszer aszimptotikusan stabil, ezért erősítések megváltoztatása felesleges. A mátrixok: ⎡0.125 0 0.25⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ U = −0.7 A = ⎢0.055 0 0.35⎥ B = ⎢⎢0⎥⎥ C T = [- 0.0875 1 - 0.175] ⎢⎣ 0.35 0 0.5 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ 1


format compact a=-0.7;b=0.5;c=0.6;d=0.6;e=-0.7;f=0.5;g=0.5;h=0.7; clc A=[b*(c+e*g) 0 g*f; b*(d+e*h) 0 f*h; b*e 0 f],eig(A) B=[1; 0; 0], CT=[a*b*e*g+b*c*a 1 a*f*g], D=a

2


1.3. Az állapotváltozós leírás ismeretében számítsa ki és ábrázolja az impulzusválaszt a k = 0, 1, 2,...10.ütemre! Adja meg az impulzusválaszt analitikus alakban is! Az impulzusválasz:

h[k ] = y[k ], ha u[k ] = δ [k ] és x[0] = 0 x1 [k + 1] = x1 ⋅ 0,125 + x2 ⋅ 0 + x3 ⋅ 0,25 + u ⋅1 x2 [k + 1] = x1 ⋅ 0,055 + x2 ⋅ 0 + x3 ⋅ 0,35 + u ⋅ 0 x3 [k + 1] = x1 ⋅ (− 0,35 )⋅ 0 + x3 ⋅ 0,5 + u ⋅ 0 y = x1 ⋅ (− 0,0875) + x2 ⋅1 + x3 ⋅ (− 0,175) + u ⋅ (− 0,7 ) k 0 1 2 3

x1[k] 0,0000 1,0000 0,1250 -0,071875

x2[k] 0,0000 0,0000 0,0550 -0,115625

x3[k] 0,0000 0,0000 -0,3500 -0,21875

s[k] 1 0 0 0

y[k] -0,7000 -0,0875 -0,1700 -0,40625

Az impulzusválasz zárt alakját a T

h[k ] = C ⋅ A

k −1

⋅B

formula segítségével nyerjük. Ennek felírásához szükség van az A állapotmátrix hatványaira. Ezeket az A Lagrange-mátrixainak segítségével kapjuk. Az i-ik Lagrange-mátrixot esetünkben

Li =

A

λi

∏

A − λi E n

p =1

λi − λ p

adja, ahol n= 3 az A mátrix dimenziója, In az n dimenziójú egységmátrix, valamint i= 1és n-1 közötti, tehát esetünkben i= 1, 2 vagy 3. A kapott Lagrange-mátrixok:

⎡ 0.4052 - 0.6474i 0 0.2062 + 0.6117 ⎤ L2 = ⎢⎢ 0.3474 - 0.8187i 0 0.3490 + 0.6657i⎥⎥ ⎢⎣- 0.2886 - 0.8564i 0 0.7144 + 0.2701i⎥⎦

⎡ 0.4052 + 0.6474i 0 0.2062 - 0.6117 ⎤ * L3 = ⎢⎢ 0.3474 + 0.8187i 0 0.3490 - 0.6657i⎥⎥ = L2 ⎢⎣- 0.2886 + 0.8564i 0 0.7144 - 0.2701i⎥⎦

Az A mátrix hatványait ezek után a Lagrange-mátrixaival írjuk fel: T

(

k −1

k −1

)

T

k −1

T

k −1

h[k ] = C ⋅ λ2 L2 + λ3 L3 ⋅ B = C ⋅ λ2 L2 ⋅ B + C ⋅ λ3 L3 ⋅ B = amelyben a mátrixok szorzását elvégezve kapjuk, hogy

h[k ] = (0,3625 - 0,6122i)λ2

k −1

+ (0,3625 + 0,6122i)λ3

k −1

Ebbe behelyettesítjük a sajátértékeket, és áttérünk exponenciális alakra:

(

h[k ] = 0,7115 ⋅ e − j 59.37° ⋅ 0,3873 ⋅ e j 36, 21°

k −1

)

(

+ 0,7115 ⋅ e j 59.37° ⋅ 0,3873 ⋅ e − j 36, 21°

k −1

)

Innen az Euler-formula vagy a „kétszeres valós rész módszer” segítségével nyerjük az impulzusválasz időfüggvényének végső alakját: 3


h[k ] = 1,423 ⋅ 0,3873k −1 ⋅ cos(36,21° ⋅ (k − 1) + 59,37°) Ez azonban csak k> 1 esetén érvényes. A k= 0és k= 1 esetre a fenti táblázat eredményeit kell használni, melyeket a behelyettesítés módszerével számoltunk. A kapott eredmény:

(

)

h[k ] = −0,7δ [k ]− 0,0875δ [k − 1]+ ε [k − 2]⋅ 1,423 ⋅ 0,3873k −2 ⋅ cos(36,21° ⋅ (k − 2) + 77,11°)

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h[k] -‐0,7 -‐0,0875 0,1040 0,0270 0,0013 -‐0,0033 -‐0,0022 -‐0,0009 -‐0,0002 -‐8,4956E-‐06 2,9201E-‐05

Impulzus válasz 0.2

0.1

0

-0.1

h[k]

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k

Az x tengely beosztása 1-el kezdődik, az első természetesen a nulladik elem, csak az értékek ábrázolása során a Matlab autómatikusan eggyel kezdi az indexelést. a=-0.7;b=0.5;c=0.6;d=0.6;e=-0.7;f=0.5;g=0.5;h=0.7; clc A=[b*(c+e*g) 0 g*f; b*(d+e*h) 0 f*h; b*e 0 f] B=[1; 0; 0], CT=[a*b*e*g+b*c*a 1 a*f*g], D=a % mátrixok megadása lambda=eig(A) % sajátértékek számítása produkt=1;p=0; % paraméterek kezdőértékeinek megadása n=size(A);n=n(1); % n számítása, ahol A egy nxn-es mátrix Lagrange=zeros(n,n,n); for i=1:n % Lagrange mátrixok képklet szerinti kiszámítása produkt=1; % a szorzat kezdőértékét egyre állítjuk for p=1:n if p~=i

4

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/ produkt=produkt*(A-lambda(i)*eye(n))/(lambda(i)-lambda(p)); end end if lambda(i)~=0 Lagrange(:,:,i)=A./lambda(i)*produkt; else Lagrange(:,:,i)=0; % Nulla sajátérték esetén nem értelmezett! end end Lagrange

% ez már csak a kiíratás

% Impulzusválasz számítása diszkrét esetben for i=1:n ht(i)=CT*Lagrange(:,:,i)*B; end ht

% Diszkrét impulzusválasz ábrázolása hk(1)=-0.7;hk(2)=-0.0875; for i=1:n for k=3:1:10 hk(k)=abs(ht(i))*abs(lambda(i))^(k-1)*cos(angle(lambda(i))*(k-1)+angle(ht(i))); end end stem(hk) title('Impulzus válasz'); xlabel('k');ylabel('h[k]');

5


1.4. A hálózat gerjesztése : s[k] = ε[k](F + Gpk). Határozza meg a választ az impulzusválasz ismeretében a k = 0, 1,...5 értékekre! F=3 G=2 p=0.9 s[k] = ε[k](F + Gpk) vagyis

(

u[k ] = ε [k ]⋅ 3 + 2 ⋅ 0.9 k

)

k

0

1

2

3

4

5

6

u[k]

5

4,8

4.62

4.458

4.3122

4.181

4.0629

h[k]

-‐0,7

-‐0,0875 0,10396 0,02689 0,00127 -‐0,0033

y[k]

-‐3,5

-‐3,7975

bármely u[k ] =

-‐3,1342

-‐2,8909

-‐2,7925

-‐2,7261

-‐0,0022 …

∞

∑ u[i]⋅ δ [k − i], tehát:

i = −∞

y[k ] =

∞

∑ h[k − i]⋅ u[i] ≡

i = −∞

∞

∑ h[ p]⋅ u[k − p], ha

és

i = −∞

Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetén 5

(

)(

y[5] = ∑ − 0,7δ [i ] − 0,0875δ [i − 1] + ε [i − 2] 1,423 ⋅ 0,3873i −2 ⋅ cos(36,21° ⋅ (i − 2) + 77,11°) ⋅ 3 + 2 ⋅ 0.95−1 i =0

y[0]=h[0]⋅u[0]=-0,7*5=-3,5 y[1]=h[0]⋅u[1]+ h[1]⋅u[0]=-3,36-0,4375=-3,7975 y[2]=-0,7*4,62-4,8*0,0875-5*0,10396=-3,1342 y[3]=-0,7*4,458-0,0875*4,62+0,10396*4,8+0,02698*5=-2,8909 y[4]= -0,7*4,3122-0,0875*4,458-0,10396*4,62+0,02698*4,8+0,00127*5=-2,7925 y[5]=-0,7*4,181-0,0875*4,3122-0,10396*4,458-0,02698*4,62+0,00127*4,8-0,0033*5=-2,7261 %A hálózat gerjesztése u[k]=epszilon[k](F+G*p^k) gerjesztésre % k = 0 1 ... 5, F=3, G=2, p=0.9 F=3,G=2,p=0.9; uk(1)=5 for i=2:6 uk(i)=F+G*p^(i-1); % az indexelés miatt ki kell vonni egyet end hk=[h(1) h(2) h(3) h(4) h(5) h(6)]; y=conv(uk,hk)

6

)


Vizsgálat a frekvenciatartományban 2.1. Határozza meg a hálózat átviteli karakterisztikáját a hálózatra felírt frekvenciatartománybeli egyenletek alapján! Adja meg és ábrázolja az amplitúdó karakterisztikát a (-2π,+2π) tartományon! A frekvenciatartománybeli egyenletek:

Xˆ 1 =

Xˆ 1e jϑ = Xˆ 1 ⋅ 0.125 + Xˆ 3 ⋅ 0.25 + U ⋅1 Xˆ e jϑ = Xˆ ⋅ 0.055 + Xˆ ⋅ 0.35 2

1

Xˆ 3e

→ Xˆ 2

3

= Xˆ 1 ⋅ (− 0.35 ) + Xˆ 3 ⋅ 0.5 Y = Xˆ 1 ⋅ (− 0.0875) + Xˆ 2 ⋅1 + Xˆ 3 ⋅ (− 0.175) + U ⋅ (− 0.7 ) jϑ

Xˆ 3

U

− 0.35 2 − 4e jϑ - 3.8U - 2.2e jϑU = 40e 3 jϑ − 25e 2 jϑ − e jϑ − 14U = 2 jϑ 40e − 25e jϑ − 1 0.125 − e jϑ +

=

20U - 2Ue jϑ 40e 2 jϑ − 25e jϑ − 1

A válasz:

Y=

(− 28e

)

3 jϑ

+ 21e 2 jϑ − 0.8e jϑ − 3.8 U 40e3 jϑ − 25e 2 jϑ − e jϑ

Amiből:

( )

H e jϑ =

(

)

Y − 28e 3 jϑ + 21e 2 jϑ − 0.8e jϑ − 3.8 − 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ = = U 40e 3 jϑ − 25e 2 jϑ − e jϑ 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ

Átalakítva az e − jϑ = cosϑ − j sin ϑ összefüggés alapján:

- 0.7 + 0.525 cos(ϑ ) - 0.02 cos(2ϑ ) − 0.095 cos(3ϑ ) 1 − 0.625 cos(ϑ ) − 0.025 cos(2ϑ ) − j (− 0.625 sin (ϑ ) − 0.025 sin (2ϑ )) − j (0.525 sin(ϑ ) - 0.02 sin(2ϑ ) − 0.095 sin (3ϑ )) − 1 − 0.625 cos(ϑ ) − 0.025 cos(2ϑ ) − j (− 0.625 sin (ϑ ) − 0.025 sin (2ϑ ))

( )

H e − jϑ =

Amplitúdó karakterisztika:

( )

K (ϑ ) = H e − jϑ

K (ϑ ) =

(- 0.7 + 0.525 cos(ϑ ) - 0.02 cos(2ϑ ) − 0.095 cos(3ϑ ))2 + 2 2 2 (1 − 0.625cos(ϑ ) − 0.025cos(2ϑ ) ) + (− 0.625sin (ϑ ) − 0.025sin (2ϑ )) 2 + (0.525sin(ϑ ) - 0.02sin(2ϑ ) − 0.095 sin (3ϑ )) + (1 − 0.625cos(ϑ ) − 0.025cos(2ϑ )2 )2 + (− 0.625sin (ϑ ) − 0.025sin (2ϑ ))2

7

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/ Amplitúdó karakterisztika 0.9

abs(H)

0.8

0.7

0.6

0.5 -2*pi

-3/2*pi

-pi

-1/2*pi

0 teta

1/2*pi

pi

3/2*pi

2*pi

1/2*pi

pi

3/2*pi

2*pi

Fázis karakterisztika 4

fázisszög

2

0

-2

-4 -2*pi

-3/2*pi

-pi

-1/2*pi

0 teta

te=linspace(-2*pi,2*pi); %tetha ete=exp(j*te); %e-ad j tetha H=((-28*ete.^3+21*ete.^2-0.8*ete-3.8)./(40*ete.^3-25*ete.^2-ete)); at=abs(H); an=angle(H); subplot(211); plot(te,at); title('Amplitúdó karakterisztika'); xlabel('teta');ylabel('abs(H)'); grid; subplot(212); plot(te,an); title('Fázis karakterisztika'); xlabel('tetha');ylabel('fázisszög'); grid;

8


2.2. Az s[k] = Scos(ϑok + ρ) gerjesztőjel esetére határozza meg a válasz gerjesztett összetevőjének időfüggvényét! Ábrázolja az s[k] és az yg[k] jeleket a k = 0, 1, 2,...10 értékekre! Vizsgálja meg, hogy periodikusak-e a jelek, és ha igen, adja meg a periódust! Mi a feltétele annak, hogy az yg[k] jelnek legyen fizikai tartalma? S

ϑ0

ρ

4,5

π/15

0,2π

A gerjesztést továbbra is u-val jelölve: u[k]=4,5cos(π/15*k+0,2π)

Ebből látható, hogy a jel periodikus, K= 30 periódussal. A koszinusz argumentumából következik, hogy ez a legkisebb olyan érték, amelyre s[k]= s[k+K] teljesül, ugyanis ekkor lesz π/15*K egész számú többszöröse 2π-nek. A hálózatot a θ0= π/15 körfrekvencián, szinuszos állandósult állapotban vizsgáljuk. Ekkor a hálózat válasza Y= H* U, ahol H a hálózat átvitele a vizsgált körfrekvencián. Ezt az átvitelt az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel nyerjük. Az átviteli karakterisztika értéke a ϑ 0 = π / 15 körfrekvencián:

( ) (− 28e40e+ 21−e25e− 0.−8ee 3 jϑ

H e jϑ =

2 jϑ

3 jϑ

2 jϑ

jϑ

− 3.8

jϑ

)=

( )

H e jϑo = 0.728 ⋅ e j168.1°

( )

A hálózat gerjesztett (állandósult állapotbeli) válaszát a θ0 körfrekvencián a y g [k ] = u[k ] ⋅ H e jϑo egyenlet adja. Így a gerjesztett válasz:

⎛ π ⎞ y g [k ] = 4,5 ⋅ 0,728 ⋅ cos⎜ ⋅ k + 0,2k + 168.1° ⎟ ⎝ 15 ⎠ A válasz kiszámításához felhasználtuk az átviteli karakterisztika egy adott körfrekvenciához tartozó értékét. Ez csak akkor ad ﬁzikailag értelmes eredményt, ha tudjuk, hogy a hálózat gerjesztés-válasz stabilis. Ellenkező esetben ugyanis előfordulhat, hogy az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel kapott eredmény nem valósulhat meg, vagy csak valamilyen – ﬁzikailag nem megvalósítható, labilis – határhelyzetben jöhet létre. A gerjesztés és az állandósult állapotbeli válasz értékei és ábrázolása: k

0

1

2

3

4

u[k] 4,4909

4,3332

3,9862

3,4649

2,7922

5

6

1,9975 1,1155

7

8

10

0,1847 -0,7541 -1,6600 -2,4934

y[k] -3,2428 -3,2690 -3,1524 -2,8980 -2,5169 -2,0258 -1,4462 -0,8034 -0,1255

9

9 0,5579

1,2169

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/ Gerjesztés 6 4

u[k]

2 0 -2

-4

0

1

2

3

4

5 teta

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Válasz 2 1

y[k]

0 -1 -2 -3 -4

0

1

2

3

4

5 teta

te=pi/15; ete=exp(j*te); %e-ad j theta H=((-28*ete.^3+21*ete.^2-0.8*ete-3.8)./(40*ete.^3-25*ete.^2-ete)); tx=0:1:10; u=4.5*cos(tx*pi/15+0.2/pi);% A szöget radiánba átváltom y=abs(H)*4.5*cos(tx*pi/15+0.2/pi+angle(H)); subplot(211); stem(u); title('Gerjesztés'); xlabel('teta');ylabel('u[k]'); grid; subplot(212); stem(y); title('Válasz'); xlabel('teta');ylabel('y[k]'); grid;

10


2.3. Egy 6 periódusú s[k] gerjesztőjel egy periódusának értékei a mellékelt táblázatban adottak. Határozza meg ezen gerjesztőjel Fourier sorának valós és komplex alakját, és ellenőrizze, hogy a Fourier sorral számított értékek valóban az adott s[k] értékeket szolgáltatják! A megadott gerjesztés egy periódusa (k= 0 – 5-ig): k 0 1 u[k] -3 -3 A Fourier-sor komplex alakja:

3 2

3 8

K −1

f [k ] = ∑ Fi ⋅ e jiϑ0k

ϑ0 =

k =0

4 0

5 3

2π π = K 3

Az együtthatókat a következő képletek adják: 1 K −1 1 K −1 1 < i ≤ K F0 = ⋅ ∑ f [k ] F i = ⋅ ∑ f [k ]⋅e jiϑ0k K k =0 K k =0 A valós együtthatók a következő összefüggések alapján határozhatók meg a komplexekből:

F0A = F0

F0B = 0

Fi A = 2 ⋅ Re{Fi }

Fi B = −2 ⋅ Im{Fi }

0
K 2

* * FKA/ 2 = FK / 2 FKB/ 2 = 0 U 4 =U 2 U 5 =U1 Esetünkben K= 6. A képletek felhasználásával kiszámítjuk a táblázatban szereplő s[k] értékekhez tartozó Si komplex Fourier-együtthatókat. A matab is ezt a számítási módot használja a fast fourier transform fft() függvényében: X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N

A komplex Fourier sor együtthatói: 1.1667 -2.0000 + 0.5774i 0.6667 + 1.1547i -1.5000 (Az i= 0és i= K/2 sorszámú Fourier-együtthatók szükségszerűen valósnak.) Avalós Fourier sor együtthatói

U 0 = 2.3333 U = [- 4 1.3333 - 1.5] A i

B

U i = [- 1.1547 - 2.3094

0]

A teljes Fourier sor:

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π u[k ] = 2.3333 - 4cos⎜ k ⋅ ⎟ − 1.1547 sin ⎜ k ⋅ ⎟ + 1.3333 cos⎜ k ⋅ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ 2π ⎟ − 2.3094 sin ⎜ k ⋅ 3 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ − 1.5 cos(k ⋅ π ) ⎠

Az azonos körfrekvenciájú tagok összevonása után (a szögek radiánban értendők): ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ u[k ] = 1.1667 + 4.1633cos⎜ k ⋅ + 2.8606 ⎟ + 2.6667 cos⎜ k ⋅ + 1.0472 ⎟ + 1.5 cos(k ⋅ π ) 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ u=[-3 -3 2 8 0 3]; %A megadott gerjesztés fs=fft(u)/6 fa=2*real(fs) 11


fb=-2*imag(fs) amp=2*abs(fs) ang=angle(fs) sor=[fs(1) amp(2) amp(3) abs(real(fs(4))); 0 ang(2) ang(3) ang(4)] 1.1667+4.1633*cos(k*pi/3+2.8606)+2.6667*cos(k*2*pi/3+1.0472)+1.5*cos(k*pi+3.1416)%EllenőrzésJ

12


2.4. Határozza meg a fenti periodikus gerjesztéshez tartozó válasz gerjesztett összetevőjének valós alakú Fourier sorát, adja meg és ábrázolja egy periódusának értékeit!

⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ u[k ] = 1.1667 + 4.1633cos⎜ k ⋅ + 2.8606 ⎟ + 2.6667 cos⎜ k ⋅ + 1.0472 ⎟ + 1.5 cos(k ⋅ π ) 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ A hálózat linearitása miatt az ezen gerjesztésre adott választ úgy határozhatjuk meg, hogy a különböző frekvenciákra külön-külön meghatározzuk az átvitelt. Ezek segítségével a gerjesztésben szereplő körfrekvenciákon megkapjuk a válaszbeli komponenseket, amelyek szuperponálása a hálózat válaszát adja. A gerjesztett válasz kifejtése:

( ) ϑ

y g [k ] = H e − j ⋅U π 2π ⎛ π ⎞ ⎛ − j ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ − j ⎞ y g [k ] = 1.166H e -j⋅0 + 4.1633 cos⎜ k ⋅ + 2.8606 ⎟ ⋅ H ⎜⎜ e 3 ⎟⎟ + 2.6667 cos⎜ k ⋅ + 1.0472 ⎟ ⋅ H ⎜⎜ e 3 ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

( )

( )

+ 1.5 cos(k ⋅ π )⋅ H e − jπ

A megoldást a táblázatban foglaljuk össze (a szögek továbbra is radiánban értendők): θ 0 π/3 2*π/3 π

|H| 0,8286 0,6116 0,8073 0,7188

φH -‐ 166,05° 177,16° 0

|U| 1,1667 4,1633 2,6667 1,5

φU 180° 163,9° 60° 180°

Y 0,97 2,546 2,153 1,078

A gerjesztett válasz teljes alakja:

y g [k ] = 0,97 + 2,546cos (329,95°) + 2,153 cos(237 ,16°) + 1,078 cos(180 °)

13

φY 0 329,95° 237,16° 180

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/ Gerjesztés 3

2

1

0

y[k]

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0

1

2

3 tetha

14

4

5

Mindenki használja saját felelősségére. Az esetleges hibákat kérlek jelezd a [email protected] címre küldött e-‐ mailben. /Hyde/ clc,format compact; te=[0 pi/3 2*pi/3 pi]; ete=exp(-j*te); H=((-28*ete.^3+21*ete.^2-0.8*ete-3.8)./(40*ete.^3-25*ete.^2-ete)); at=abs(H) ft=angle(H) %Ábrázolás tx=[0 1 2 3 4 5]; Y=at(1)*sor(1,1)*cos(ft(1))+at(2)*sor(1,2)*cos(tx*pi/3+sor(2,2)+ft(2))+at(3)*sor(1,3)*c os(2*tx*pi/3+sor(2,3)+ft(3))+at(4)*sor(1,4)*cos(tx*pi+sor(2,4)+ft(4)) stem(Y); title('Gerjesztés'); xlabel('tetha');ylabel('y[k]'); grid;

15


2.5. Az 1.3.-ban kiszámított impulzusválasz Fourier transzformálásával határozza meg az impulzusválasz komplex spektrumát, és hozza azt polinom/polinom alakra! Vesse az eredményt össze 2.1. eredményével! A h[h] Fourier-transzformáltja:

( ) = −0.7e

F {h[k ]} = H e

− jϑ

− jϑ

+ 0.0875e

− jϑ

+ 0,0171875e

− jϑ

135.6407e −2 jϑ − 135.6277e −2 jϑ + + 1 − 0.663e − jϑ 1 + 0.0377e − jϑ

Közös nevezőre hozva, és az azonos kitevőjő e-ados tagokat összevonva:

... =

2.6.

− 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ

Az átviteli karakterisztika ismeretében írja fel a hálózat rendszeregyenletét!

( )

Az eltolási tételt: F {x[k −1]} = e − jϑ X e jϑ -t alkalmazzuk tagonként

( )

H e − jϑ =

(

Y − 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ = U 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ

) (

)

Y 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ = U − 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ Inverz Fourier-transzformáció után:

{(

) (

)}

F −1 Y 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ = U − 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ Rendszeregyenlet az átviteli karakterisztika ismeretében:

y[k ]− 0.625 y[k −1]− 0.025 y[k − 2] = −0.7u[k ]+ 0.525u[k −1]− 0.02u[k − 2]− 0.095u[k − 3]

16


3. Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban 3.1. Határozza meg a hálózat átviteli függvényét a z-tartománybeli egyenletek felírása vagy az állapotváltozós leírás alapján! Vesse össze az eredményt az átviteli karakterisztika kifejezésével! A hálózatra felírt z-tartománybeli egyenletek a z= e jθ helyettesítés mellett megegyeznek a hálózatra a 2.1. pontban felírt frekvenciatartománybeli egyenletekkel. Ezért az átviteli függvény is megegyezik az átviteli karakterisztikával, ha abba ejθ helyett z-t írunk. Ez a helyettesítés a hálózat kauzalitása (impulzusválaszának belépő tulajdonsága) miatt indokolt. Így az átviteli függvény:

H (z ) =

(− 28 z

3

+ 21z 2 − 0.8 z − 3.8 40 z 3 − 25 z 2 − z

17

)


3.2. Határozza meg az átviteli függvény zérusait és pólusait! Ábrázolja a pólus - zérus elrendezést! Vizsgálja meg ennek alapján a hálózat gerjesztés- válasz stabilitását! Az átviteli függvény számlálójának zérushelyei a zérusok: >> roots([-28 21 -0.8 -3.8]) z1= 0.5450 + 0.3196i z2= 0.5450 - 0.3196i z3= -0.3400 Ezek abszolútértéke 1-nél kisebb, avagy a rendszer G-V stabilis mert minden pólus az egységkörön belülre esik, összhangban az 1.2. pontban kapott eredménnyel. Az átviteli függyvény nevezőjének gyökei a pólusok: >> roots([40 -25 -1 0]) p1= 0 p2= 0.6627 p3= -0.0377 A pólus-zérus elrendezést a következő ábra szemlélteti:

sz=[-28 21 -0.8 -3.8],n=[40 -25 -1 0],pzmap(sz,n)

18


3.3. Határozza meg az átviteli függvény alapján a hálózat impulzusválaszát analitikus alakban, és vesse össze az eredményt az 1.3.-ban kapottal ! Ellenőrizze az eredményt k = 0, 1,...5-re polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval! Végezzünk el egy polinom osztást:

H (z ) =

3 2 − 28 z 3 + 21z 2 − 0.8 z − 3.8 −1 ⎛ 3.5 z − 1.5 z − 3.8 z ⎞ ⎜ = − 0 . 7 + z ⎜ 40 z 3 − 25 z 2 − z −1 ⎟⎟ = 40 z 3 − 25 z 2 − z −1 ⎝ ⎠

⎛ 0.775z 3 − 3.7125z 2 ⎞ ⎟ = H (z ) = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + z −2 ⎜⎜ 3 2 −1 ⎟ ⎝ 40 z − 25 z − z ⎠ B C ⎛ A ⎞ H (z ) = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + z −2 ⎜ + + ⎟ ⎝ z − 0 z + 0.0377 z − 0.6627 ⎠

0.005 ⋅ z 0.0757 ⋅ z ⎞ ⎛ 0 ⋅ z H (z ) = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + z −1 ⎜ + + ⎟ ⎝ z − 0 z + 0.0377 z − 0.6627 ⎠ Ezt követően elvégezhető az inverz z transzformáció Z-1{H[z]}:

(

k −1

H [k ] = Z −1 {H (z )} = −0.7δ [k ] + 0.0875δ [k − 1] + ε [k − 2] 0.005 ⋅ (0.0377 ) k h[k]

0 -0.7

1 0.0875

2

3

4

-0,04997789 0,033252 -0,02203

5

k −1

+ 0.0757 ⋅ (− 0.6627 )

)

6

0,0146 -0,00968

Az 1.3-ban kapott eredmények:

(

)

h[k ] = −0,7δ [k ]− 0,0875δ [k − 1]+ ε [k − 2]⋅ 1,7308 ⋅ 0,3873k −1 ⋅ cos(36,21° ⋅ (k − 1) + 77,11°)

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h[k] -‐0,7 -‐0,0875 0,1040 0,0270 0,0013 -‐0,0033 -‐0,0022 -‐0,0009 -‐0,0002 -‐8,4956E-‐06 2,9201E-‐05

Ezekkel összevetve megállapíthatjuk, hogy a válasz a 0. és 1. ütemben teljesen megegyezik a fentebb számolttal, míg a további ütemekben apró eltérést ad a kerekítési hibákból adódóan. Ellenőrzés polinom osztással:

⎛ 0.775z 3 − 3.7125z 2 ⎞ ⎟ = H (z ) = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + z −2 ⎜⎜ 3 2 −1 ⎟ ⎝ 40 z − 25 z − z ⎠ ⎛ − 3.225125z 3 + 0.073375z 2 ⎞ ⎟⎟ = = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + 0.019375z −2 + z −3 ⎜⎜ 40 z 3 − 25 z 2 − z −1 ⎝ ⎠ ⎛ − 1.9423z -3 − 0.0806 z −2 ⎞ ⎟⎟ = = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + 0.019375z −2 − 0.080628125 z −3 + z −4 ⎜⎜ 3 2 −1 ⎝ 40 z − 25 z − z ⎠

19


... ⎛ ⎞ = −0.7 + 0.0875 ⋅ z −1 + 0.019375z −2 − 0.080628125z −3 − 0.04856 z −4 + z −5 ⎜ = 3 2 −1 ⎟ ⎝ 40 z − 25 z − z ⎠

20


3.4. Határozza meg a választ analitikus alakban, ha a gerjesztő jel: s[k[ = ε[k] (F + Gpk) ! F=3

G=2

p=0.9

u[k] = ε[k](F + Gpk) vagyis u[k ] = ε [k ]⋅ 3 + 2 ⋅ 0.9 k

(

)

U (z ) = Z {u[k ]} =

Y ( z ) = H ( z ) ⋅ U (z ) =

3z 2z + z − 1 z − 0.9

− 28 z 3 + 21z 2 − 0.8 z − 3.8 ⎡ 3z 2 z ⎤ ⋅ ⎢ + 3 2 40 z − 25 z − z ⎣ z − 1 z − 0.9 ⎥⎦

A szorzást elvégezve:

(

)

(

)

Y (z ) =

− 3z ⋅ 28 z 3 + 3z ⋅ 21z 2 − 3z ⋅ 0.8z − 3z ⋅ 3.8 − 2 z ⋅ 28 z 3 + 2 z ⋅ 21z 2 − 2 z ⋅ 0.8z − 2 z ⋅ 3.8 + z ⋅ (z − 0.663)⋅ (z + 0.377)⋅ (z − 1) z ⋅ (z − 0.663)⋅ (z + 0.377)⋅ (z − 0.9)

Y (z ) =

− 84 z 4 + 63 z 3 − 24 z 2 − 11.4 z − 56 z 4 + 42 z 3 − 1.6 z 2 − 7.6 z + 40 z 4 − 65 z 3 + 24 z 2 − z 40 z 4 − 61z 3 + 21.5 z 2 − 0.9 z

Parciális törtekre bontás:

Y (z ) =

- 1,7198 1,4348 - 13,215 11,4 - 1,1192 1,1658 - 9,891 8,4444 + + + + + + + z - 1,1004 z - 0,477 z - 0,04763 z - 0 z - 1,0194 z - 0,4574 z - 0,0483 z-0

Inverz transzformálás után a válasz:

(

)

Y (z ) = ε [k ] - 1,7198 ⋅1,1004k + 1,4348 ⋅ 0,477 k - 13,215 ⋅ 0,0476 k + 19,8444δ [k ] +

(

+ ε [k ] - 1,1192 ⋅1,0194k + 1,1658 ⋅ 0,4574k − 9,891⋅ 0,0483k

21

)


3.5. Adjon meg egy olyan kanonikus hálózatot, amelynek a vizsgálttal megegyező az átviteli függvénye, és adja meg a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat

Y − 0.7 + 0.525e − jϑ − 0.02e −2 jϑ − 0.095e −3 jϑ = U 1 − 0.625e − jϑ − 0.025e −2 jϑ átviteli függvényét megvalósító egy lehetséges kanonikus kapcsolást a következő ábra mutatja:

( )

H e jϑ =

A hálózat rendszeregyenlete

y[k ]− 0.625 y[k −1]− 0.025 y[k − 2] = −0.7u[k ]+ 0.525u[k −1]− 0.02u[k − 2]− 0.095u[k − 3] ami természetesen megegyezik a 2.6. pontban kapott eredménnyel. -‐0.7 u[k]

+

+ D 0.625

+0.525

D -‐0.02

0.025

D -‐0.095

22

y[k]


3.6. A rendszeregyenlet alapján a fokozatos behelyettesítés módszerével ellenőrizze a 3.4.feladat megoldását a k = 0, 1, 2,...8 ütemre! A hálózatra korábba felírt egyenlet:

y[k ] = 0.625 y[k −1]+ 0.025 y[k − 2]− 0.7u[k ]+ 0.525u[k −1]− 0.02u[k − 2]− 0.095u[k − 3] k

0

1

2

3

4

5

6

u[k]

5

4,8

4,62

4,458

4,3122

4,181

4,0629

7

8

3,9566 3,8609

9

10

3,7748

3,6974

y[k] -‐3,5 -‐3,7975 -‐3,1342 -‐2,8909 -‐2,7925 -‐2,7261 -‐2,6214 -‐2,7339 -‐2,6356 -‐2,6801 -‐2,5987

Ugyanezt az eredményt kapjuk a 3.4. pontban kapott formulából, a rendszeregyenletbe és az állapotegyenletekbe való fokozatos behelyettesítésből, és az 1.4. pontban, ahol csak a 0> k> 5 tartományt tekintettük, nagyjából ugyanezt kaptuk diszkrét konvolúcióval is.

23


________________________________________________________________________________ A javító megjegyzései:

24

1. Vizsgálat az időtartományban Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

Recommend Documents