1. Úvod Matematika není věda Základní školy Žatec, Komenského alej 749, okres Louny Základní školy Žatec, nám. 28. října 1019, okres Louny,

1. Úvod Vzhledem ke zhoršujícím se studijním výsledkům českých žáků je v poslední době kladen velký důraz na zkvalitnění výuky a využití moderních metod a nástrojů. Z jednotlivých předmětů je přitom nejhorší situace v matematice, z regionů pak dopadl nejhůř Ústecký kraj. Žáci neúspěšní v matematice následně hledají své studijní zaměření a budoucí uplatnění v humanitních oborech. Projekt „Matematika není věda“ se snaží přispět ke změně tohoto stavu, a proto se zaměřuje na zkvalitnění následujících tří oblastí:  výsledky dosažené v matematickém myšlení a gramotnosti  motivace k výuce  uvědomění si uplatnitelnosti získaných matematických kompetencí v praktickém životě Společně s didakticky zpracovanými kartami, které mohou využít i následovníci autorů – učitelů Základní školy Žatec, Komenského alej 749, okres Louny a Základní školy Žatec, nám. 28. října 1019, okres Louny, se tyto tři cíle publikace pro první i druhý stupeň ZŠ snaží naplnit. Ideální stav, tj. „žáci, kteří matematiku umí, baví je, uvědomují si její význam a chtějí v jejím studiu pokračovat“, je z mnoha objektivních důvodů nedosažitelný. Reálné však je docílit postupnými kroky zastavení a zvrácení nepříznivých trendů ve jmenovaných třech oblastech. Tomu jistě napomůžou série podobných projektů, práce didaktiků a zamyšlení se nás, učitelů matematiky, nad naší úlohou a nad způsoby, jak ji naplnit. Matematika je opravdu těžká. Oproti jiným předmětům vyžaduje po svých žácích přemýšlení a nedává jim velkou možnost pro zlepšení výsledků únikem do paměťového učení. Pojmy v matematice mají nejvyšší stupeň abstrakce, jsou těžko představitelné. Tuto abstrakci chceme po dětech na spodní vývojové hraně kognitivních schopností. Výuka filosofie probíhá ve čtvrtém ročníku středních škol a čerstvě plnoletí mají nezřídka s pochopením výkladu problém. Pojem proměnné ale zavádíme v šestém ročníku ZŠ, ale náznaky najdeme již na prvním stupni. Četl jsem od kolegy učitele matematiky: „Matematika je sama o sobě náročná a přísná, je na škodu, je-li extrémně přísný a náročný i průvodce po její říši“.

3

Žáčci prvních nebo druhých tříd přistupují k výuce matematiky s nadšením, jsou v ní totiž úspěšní. V osmé a deváté třídě i na střední škole je to podle relevantních výzkumů nejméně oblíbený předmět, který je potřeba nějak přežít. Co se stalo? Je to v dětech? Nebo v učitelích a obsahu výuky? Jestli je to pro děti těžké, snižme nároky. Již jsme je snížili, ale nepomohlo to. Když jsme měli nároky vyšší (porovnání v Evropě), naši žáci se umisťovali ve srovnávacích testech daleko lépe než nyní. Jsou žáci hloupější, hloupnou během povinné školní docházky? Neumíme u žáků dostatečně rozvíjet jejich myšlení? Problém bude jinde – ve změně.Informační technologie, nové výzkumy v psychologii a pedagogice akcentují odlišnou společenskou potřebu matematiky. Není již potřeba počítat, jako když bičem mrská. Je třeba pochopit, vysvětlit, přijmout vzorce myšlení. A tyto kognitivní systémy jsou stále složitější. Není lepšího způsobu kognitivního rozvoje než pochopení (či objevení) principu rozmanitých matematických problémů. Když se podíváme na fylogenezi (vývoj lidského druhu) v oblasti matematických myšlenkových schopností, tedy vlastně dějiny matematiky, vidíme velkou korelaci s ontogenezí lidského jedince v této oblasti, tedy s poznáváním matematiky dítětem. Podle názoru mnoha odborníků bychom neměli zas tolik přemýšlet, co a v jakém pořadí v matematice učit. Měli bychom přemýšlet o té horní hranici náročnosti pro jednotlivé věkové stupně. Spíše však z hlediska kognitivního než obsahového. A především je potřeba přemýšlet, jak matematiku předávat.

4

2. Pojem myšlení Myšlení je poznávací proces, jehož předmětem zkoumání je realita, ale na rozdíl od vnímání již nepracuje přímo s reálnými podněty, ale dosazuje si za ně objekty, které realitu pouze zprostředkovávají, zastupují. Podkladem pak je vnímání a představy, myšlení tedy pracuje se zkušeností. Myšlení pak umožňuje řídit praktickou činnost, odhaluje souvislosti, a dokonce umožňuje předvídat děj. Myšlení vždy znamená řešení nějaké úlohy na základě již dosažených poznatků, z nichž člověk vyvozuje určité závěry. Je specificky lidskou činností, která dokáže hlouběji postihnout podstatu. Základními kameny, s kterými myšlení pracuje, jsou pojmy. To jsou odrazy reálných předmětů a jevů ve vědomí člověka. Pokud chceme pojmy komunikací předat, vyjadřujeme je slovy (jedním či několika). I když některé pojmy neumíme slovem vyjádřit, vždy naše mysl pracuje s pojmy. Pracujeme s pojmy, které vyjadřují konkrétní reálné předměty (tato kniha, Pavel, můj pes) nebo pojmy abstraktními jako válka, láska, pravidelný čtyřboký jehlan. Pojmy mohou mít jednoho reprezentanta (Žatec - město chmele) nebo zahrnují celou množinu předmětů stejné vlastnosti (obyvatelé Žatce), popřípadě prázdné pojmy (volně žijící žatečtí velbloudi). Naše mysl neumí pojmy jen vytvářet a definovat, ale také je hodnotit, soudit, vytvářet vztahy mezi pojmy - tedy vytvářet soudy (žirafy jsou krásná a vysoká zvířata). Soud může být výsledkem pouze jediného procesu - a to myšlení. Podle toho, jak se soudy shodují s objektivní realitou (poznávanou smysly) nebo s konsenzuálním názorem (tedy soudy ostatních myslí), mluvíme o pravdivých či nepravdivých soudech. Třetí úrovní pak jsou úsudky. Ty hledají vztah mezi dvěma či více soudy. Na základě dvou či více soudů pak pomocí úsudků vytvoříme soud úplně nový. Tedy ze dvou či více myšlenek vznikne myšlenka úplně nová. Verifikací pravdivosti soudů již není sama realita, ale splnění formálně správných pravidel usuzování. Vytvořením systému těchto pravidel vzniká logika. Usuzování probíhá několika možnými způsoby: Abstrakce - myšlenkové vzdalování se od skutečnosti na základě podstatných souvislostí. Matematika je celá založena na abstrakci. Vzniká z potřeb přírodní nebo společenské praxe. Klasifikace - zařazení jednotlivých předmětů nebo jevů na základě jim vlastních obecných znaků pod obecnější pojmy. Třídění - rozdělení do tříd se společnými znaky. Oba tyto pojmy jsou v matematice často používány, pojí se na práci s množinami. 5

Dedukce - je podobně jako abstrakce základním matematickým nástrojem. Jde o aplikace odvozených zákonů v konkrétní praxi. Indukce - je ve výuce matematiky méně používána než dedukce, přesto ji při žákovském objevování matematických principů najdeme. Existuje mnoho principů dělení myšlení. Pro naši pedagogickou praxi je asi nejdůležitější dělení na konvergentní a divergentní myšlení. Konvergentní myšlení je myšlení sbíhavé, tedy konvergující k jednomu cíli. V matematice má převahu a je to takové myšlení, které vede prostřednictvím určitého algoritmu k jednomu jasnému cíli. Divergentní myšlení je myšlení rozbíhavé, úkolem při řešení divergentního problému je najít co nejvíce možností řešení. Toto myšlení klade důraz na rozmanitost, množství a vhodnost odpovědí. Nevede k jednomu správnému řešení, ale vyžaduje produkci mnoha řešení, která vedou k originálním výsledkům. Didaktici se shodují, že jejich potřeba pro rozvoj myšlení a tvořivosti je silná. V kognitivních vědách se můžeme setkat se specifiky myšlení, jako je myšlení:  rigidní (strnulé, dogmatické, netvořivé)  flexibilní (pružné, tvořivé, demokratické)  holistické (nadřazující hledisko celku nad dílčí prvky jevu)  diskursivní (s vědomím jednotlivých kroků)  intuitivní (má postup řešení pod prahem vědomí)  symbolické a myšlení v obrazech (jakýsi protipól pojmového a úsudkového myšlení) Kognitivní psychologie charakterizuje i vlastnosti myšlení:  Bystrost myšlení - souvisí s časovou dotací na vyřešení jednotlivých problémů, tedy jde o správné vyřešení problému v co nejkratším čase.  Hloubka myšlení - stupeň schopnosti ponořit se do zkoumaného problému co nejhlouběji, zhodnotit všechny aspekty problému a rozumět jeho podstatě.  Šířka - schopnost zahrnout široký okruh otázek z různých oblastí, které se řešeného problému týkají.  Důslednost myšlení - vždy vyžaduje schopnost zachovat logický pořádek a při řešení problému zbytečně neodbočovat.  Rozsah myšlení - předurčuje počet prvků, se kterými je člověk schopen manipulovat, počítat s nimi.  Kritičnost - schopnost rozpoznat nesprávné a chybné závěry.  Přesnost - schopnost postřehnout problém a důsledně a bezchybně postupovat v řešení.  Tvořivost - tvůrčí aktivita, originálnost, nezávislost.

6

Výkon a způsob myšlení závisí na činnosti orgánu, který myšlení zajišťuje, tedy na mozku. Ten má duální povahu, ve fyzickém smyslu je rozdělen na dvě hemisféry. Ty jsou velice samostatně pracující, každá má svoji specializaci. Koordinace činnosti obou hemisfér je klíčová pro intelektuální výkon mozku. Levá polovina mozku rozděluje informace na jednotlivé části, aby je mohla analyzovat a logicky seřazovat. Je zodpovědná za analytické myšlení, logiku, jazyk, čísla, data, míry, čas. Pravá polovina mozku vnímá svět jako celek a dokáže rychle uchopit realitu v její celistvosti. Je zodpovědná za tvořivost, intuici, umění, emoce, fantazii. Školní vzdělávání (a matematiky zvlášť) je zaměřeno na levou hemisféru, na logiku, analýzu, slovní vyjadřování, pravá hemisféra je opomíjena. Matematika je prototypem levohemisferového myšlení, přesto i zde bychom měli najít prvky, kde je možné zapojit i hemisféru pravou. Harmonie matematiky, intuice, originalita nám k tomu dává prostor. Příkladem je heuristická strategie. Principem není znalost nějakého algoritmu, ale mít dobrý nápad, vhled ( řečeno psychologickým slovníkem). Heuristické strategie jsou velice málo popsané. Víme, že nápady se nerodí úplně ze zelené louky, jsou založeny na minulých zkušenostech a dříve získaných znalostech.

7

3. Kognitivní vývoj dítěte Proces myšlení není neměnný, proměňuje se jak ve vývoji lidské společnosti, tak i ve vývoji jedince. Některé kognitivní schopnosti vznikají až na určitém stupni vývoje myšlení. Čas nástupu těchto schopností není ovlivnitelný vůlí jedince, ani jeho okolím. Obsah a metody výuky ovlivňují tedy dva faktory: 1. Co chceme děti naučit – tedy cílové kompetence 2. Co jsou děti schopné se naučit – tedy vstupní kompetence Zvláště v oblasti matematiky je druhé kritérium důležité. Matematika nevyžaduje pouze paměť a běžné myšlenkové operace, ale vyžaduje poměrně vyspělé deduktivní a induktivní myšlení a vysoký stupeň abstrakce. Zakladatel vývojové psychologie Jean Piaget charakterizuje základní období vývoje jedince takto: 1. Senzo-motorické období: 0 - 1,5 (2) roky. Koordinace senzorických a motorických aktivit. Smyslový a fyzický kontakt 2. Pojmové a symbolické období: 2 - 4 roky. Užívání jazyka a jeho symbolů. Egocentrický pohled na svět 3. Období názorového myšlení: 4 - 7 (8) let. Předlogický systém uvažování. Intuitivní používání pojmů, usuzování vázáno na vnímání. Antropomorfické myšlení 4. Období konkrétních operací: 8 - 12 let. Logickými operacemi řeší konkrétní problémy 5. Období formálních operací: 12 - 20 let. Užití abstraktních hypotetických systémů I když moderní psychologie některé Piagetovy názory vyvrátila, toto základní dělení přetrvává. Z Piagetem stanovených vývojových stádií nás pro naši pedagogickou činnost na prvním stupni nejvíce zajímají, především z hlediska kognitivních faktorů uplatnitelných v matematice, následující tři (na první navazujeme, v druhém období naše výuka probíhá, na třetí období děti připravujeme): a) Část období názorového myšlení – intuitivní stádium (4 – 7 nebo 8 let)  důležitými procesy jsou zde řeč, tvoření představ a jednodušší myšlení  mentální reprezentace objektů se tvoří pomocí představ a slov  myšlení dítěte je z kognitivního hlediska egocentrické, nedokáže se na problém podívat z pozice druhého člověka  dítě ještě plně nechápe určitá pravidla činnosti, určité operace, zejména operace zvratné, reverzibilní  dokáže třídit objekty, ale převážně podle jedné charakteristiky, to co právě vnímá (názorné myšlení) 8



centrace: dítě zaměří pozornost pouze na jeden znak, druhý si už neuvědomuje (neschopnost uvědomovat si množství při změně tvaru)

b) Období konkrétních operací (7 nebo 8 až 11 nebo 12 let)  logickými operacemi již řeší konkrétní problémy  důležitými procesy v tomto stadiu jsou logické myšlení a operování s abstraktními pojmy – (ke konkrétním objektům)  dítě je schopno pochopit identitu, ověřuje si vratnost mentálních operací, chápe stálost počtu objektů, stálost hmotnosti objektů  dokáže třídit objekty podle několika charakteristik, experimentuje s objekty, ne však systematicky  dítě dokáže věci kolem sebe popisovat, ale již méně dokáže vysvětlit, proč se tak děje nebo proč je to či ono takové  začíná přemýšlet v určitém řádu, v určitých schématech, která mu umožňují řešit úkoly  opírá se především o zkušenost – metoda pokusů a omylů c) Období formálních operací (12 - 20 let)  důležitými procesy v tomto stadiu jsou abstraktní, formálně logické operace  dítě se už nemusí opírat o smyslovou skutečnost, je schopno hypoteticko deduktivního usuzování typu „jestliže…, pak…“  při experimentování systematicky obměňuje proměnné, hledá pravidla  operace se nyní spojují ve složitější struktury a dítě s nimi dokáže pracovat oběma směry (přímo i vratně)  dítě je schopno organizace Z hlediska pedagogického vyčleňujeme období dle školní docházky na:  předškolní věk  mladší školní věk  starší školní věk Opět uvádíme kvůli návaznosti pro oba stupně všechny tři věkové skupiny.

9

PŘEDŠKOLNÍ VĚK Znát charakteristiku předškolního věku je pro učitele základních škol důležité, proto, aby si uvědomil, jaké může mít požadavky na dítě při jeho vstupu do školy. V této metodice nás především zajímají kognitivní schopnosti pro matematiku. Základní matematické představy Dobrý rozvoj motoriky, grafomotoriky, zrakového i sluchového vnímání, vnímání prostoru a času i rozvoj řeči umožňují také vývoj matematických představ. Nejprve se buduje základ předčíselných představ, které jsou základem k pochopení matematických pojmů, symbolů a vztahů mezi nimi. Dítě si osvojuje pravidla, podle kterých předměty porovnává, třídí, řadí, dokáže tvořit skupiny podle pravidel. Na podkladě předčíselných představ se pak budují číselné představy. Dítě se učí určovat množství, chápat číselnou řadu (nejen její jmenování) a později pochopí i číselné operace (Bednářová, Šmardová 2007). Porovnávání, pojmy, vztahy Pochopení pojmů malý – velký, hodně – málo, všechny, krátký – dlouhý, nízký – vysoký, prázdný – plný, stejně, menší – větší, kratší – delší, nižší – vyšší. Ve snadnější variantě má dítě ukázat požadovanou věc na obrázku, v obtížnější pak samo pojmenovat. Od čtyř let přibývají pojmy některé, žádné, nic, méně, více, stejně při odlišné velikosti i uspořádání prvků a v šesti letech by mělo dítě zvládnout dát o jednu méně, o jednu více. Třídění, tvoření skupin Děti nejprve třídí a vytvářejí skupiny podle druhu, podle barvy, velikosti, tvaru. V pěti letech by mělo dítě poznat, co do skupiny nepatří, a třídit podle dvou, později i podle tří kritérií (malé žluté kruhy). Řazení Děti mají nejprve řadit tři prvky podle velikosti, pojmenovat nejmenší, největší, seřadit podle kritérií: malý, střední, velký; vysoký, vyšší, nejvyšší; málo, méně, nejméně. V pěti letech by mělo umět tato kritéria i pojmenovat a také seřadit podle velikosti pět prvků. Množství Počítá předměty v dané skupině a vytváří skupiny s určeným počtem prvků. Podle věku jde o množství od dvou do šesti, zaznamenáváme i vyšší počet, pokud ho dítě zvládne. Tvary Ukáže a později také pojmenuje základní geometrické tvary. Nejprve kruh a čtverec, v pěti letech trojúhelník, nakonec obdélník (Bednářová, Šmardová 2007). To, zda se dítě již „hodí“ pro učení matematiky, můžeme vymezit také negativně, tedy co může zamezit jeho nástupu do školy. To charakterizuje Gruszczyk-Kolczyňská, která zavádí pojem nezralost pro matematiku.

10

Zralost pro vyučování matematice ve školních podmínkách podle ní předpokládá:  počítání po jednom, přidávání a ubírání zpaměti nebo za použití prstů  zvládnutí konkrétních rozumových operací: - stálost počtu, porovnávání - porovnávání čísel, řazení podle velikosti  schopnost přechodu od konkrétních k abstraktním operacím: - jazykově symbolická oblast, tj. čtení čísel  aritmetické formulace  pozitivní postoj k samostatnému řešení úloh  emocionální zdatnost zvládat obtížné situace  rozvoj percepčně-motorických funkcí  grafický aspekt

MLADŠÍ ŠKOLNÍ VĚK Datuje se od vstupu do školy do začátku tělesného a psychického dospívání, tj. asi do 11-12 let. Zpravidla se toto období kryje s prvními pěti lety školní docházky. Vedle dalších fyzických a psychických vývojových změn jsou pro matematiku nejvýznamnější změny v kognitivní oblasti:                

přetrvává názorné myšlení, dochází k rozvoji nástrojů tohoto myšlení začíná se snižovat podíl hry v aktivním čase, zvyšuje se podíl učení z předškolního období přetrvává bájnost, fantazijní přemýšlení matka již není jedinou autoritou, vztah k autoritám je stále silný zájem je stále vázán na konkrétní záležitosti, dítě není motivováno pro abstrakci abstraktní pojmy chápe pouze přes konkrétní zástupce radostnost, živost a zvídavost jsou běžným projevem chování dítě začíná s plánováním a prací podle svého plánu školák již reflektuje své chování, umí ho hodnotit jako správné či nesprávné (vyhovující autoritám či ne) dívky v psychickém i fyzickém vývoji předbíhají chlapce dítě mladšího školního věku je citlivé na vnější okolnosti, špatný prospěch má většinou jinou příčinu, než jsou kognitivní schopnosti umí logicky usuzovat (hodnotit soudy a úsudky), musí si však dosadit do abstraktních pojmů konkrétní objekty na konci období začíná chápat formální abstraktní úsudky chápe skutečnou příčinnost, umí hledat důvody, rozumí konkrétním implikacím chápe změnu výsledku na základě změny podmínek intuitivně chápe množinu, podmnožinu, inkluzi (prvek patří do množiny)

11

STARŠÍ ŠKOLNÍ VĚK V této době dochází k největším biologickým změnám ve vývoji jedince. Puberta je obrovskou změnou, která zasahuje všechny aspekty vývoje jedince. I když pubertální projevy žáků zasahují do školního vyučování v každém jeho okamžiku, v popisu budeme opět preferovat kognitivní kompetence žáků.                 

Nastupuje formální abstraktní myšlení operuje s abstraktními pojmy, chápe proměnnou x, aniž by si představoval např. jablíčka při řešení problému již dokáže pojmout více variant, chápe možnost více příčin, jeho myšlení je vícevrstvé dokáže vytvářet hypotézy a ověřovat je myšlení již je reálné, ubývá fantazie a živosti chápe značně abstraktní pojmy chápe informace a učí se na základě logických souvislostí chápe kvantitativní identitu i u spojitých veličin (pozná stejný objem vody v jiném tvaru) postupně si spojuje informace z různých zdrojů a tvoří si integrované znalosti o větším problému má problémy s koncentrací pozornosti dívky ve vývoji předbíhají chlapce intenzivně prožívá úspěch i neúspěch, začíná si vytvářet sebehodnocení charakteristická je ukvapenost myšlení na úkor přesnosti charakteristická je emoční citlivost, vztah k autoritám je velice kritický labilita je i v zařazení sebe do světa dospělých či dětí smyslové vnímání dosahuje svého vývojového maxima umí si udělat názor na základě svých zkušeností bez snahy zavděčit se autoritám

12

4. Matematické vědomosti českých žáků Mezinárodní průzkum TIMSS v roce 2011 potvrdil po delší době první zlepšení žáků českých čtvrtých tříd v matematické gramotnosti. Z 51 států se umístili čeští školáci na 22. místě, při měření v roce 2007 skončili žáci čtvrtých tříd z Česka na 24. místě. I přes zlepšení je ale Česko stále zemí s největším propadem znalostí oproti roku 1995. V tomto roce čeští žáci patřili i v matematice mezi nejlepší na světě. Od té doby dochází ke zhoršení ve všech sledovaných oblastech, nejvýraznější pokles nastal v matematice. V posledním výzkumu OECD PISA, který proběhl v roce 2009, se čeští patnáctiletí žáci propadli až na 22. místo z 34 zemí OECD, přičemž pokles ve výsledku byl u českých žáků největší ze všech zúčastněných zemí. Zajímavé jsou především dva aspekty této situace. Prvním z nich je srovnání dívek a chlapců v testování matematiky. Zatímco dívky dlouhodobě dosahují lepších výsledků v běžném známkování na vysvědčení, ve všech relevantních výzkumech je situace opačná, chlapci dopadají dlouhodobě lépe než dívky. V posledním šetření v roce 2011 došlo k celkovému mírnému zlepšení oproti roku 2009, ale může za to poměrně výrazné zlepšení chlapců, dívky v zhoršujícím se trendu pokračují. Co to znamená? České učitele a učitelky zcela jistě nemůžeme obviňovat z jakékoliv genderové nekorektnosti. Hodnotíme tedy jako učitelé něco jiného než mezinárodní výzkumy. Nabádají nás k tomu kurikulární dokumenty, ale i moderní pedagogika a psychologie. Typ testování je jen jednou z variant způsobů i cílů hodnocení, takže v příznivějším známkování dívek se zřejmě odráží i hodnocení snahy a zodpovědnosti, naučenosti, chování a vstřícnosti vůči učiteli. Druhým aspektem je obliba výuky matematiky. České děti baví matematika vůbec nejméně ve srovnání se školáky jiných zemí OECD. Rozdíly jsou až desítky procent. V posledních výzkumech udává pouze 4 % žáků z českých škol, že se těší na hodinu matematiky. V zemích západní Evropy je to až jedna čtvrtina. V českém prostředí převažuje spíše strach z matematiky, odpor k ní a jakési blokování příjmu matematických kompetencí. Mnohé celebrity se dokonce chlubí svým negativním vztahem k matematice. Velkým společenským problémem je, že budoucí středoškoláci a vysokoškoláci nechtějí studovat obory, kde se matematika vyskytuje. Studenti s evidentně výbornými matematickými předpoklady odcházejí studovat práva a humanitní obory. Základní a střední školy nevybavují matematickými kompetencemi ani lidi, kteří se matematice profesně nevěnují. Ti pak nedokážou zvládnout praktické základy finanční matematiky, poměrů, někdy aplikaci základních početních operací.

13

Státní a projektová podpora technických oborů je jistě chvályhodná, ale motivace žáků pro matematiku musí být úkolem již pro základní školy. Proto prvním důležitým krokem učitelů je motivace žáků pro matematiku. Výzkumy ukazují, že výsledky vzdělávání nezávisejí pouze na kognitivních schopnostech, ale značnou měrou též na motivaci žáků, jejich ochotě řešit obtížné úkoly a jejich sebedůvěře. V diskuzích povolaných jsou hlavní důvody neúspěchu žáků v matematice charakterizovány následovně:  jiné obsahové zacílení výzkumu a osnov (RVP) v České republice  nahrazení osnov rámcovými programy, jejich neurčitost  učitelé se ještě nesžili s praxí dle nových kurikulárních dokumentů  rostoucí dostupnost maturitního vzdělání, i žáci se špatnými výsledky na ZŠ se na SŠ dostanou  odchod talentovaných žáků ze základních škol na víceletá gymnázia  přílišná vnější motivace, učení se pro známky  nízká vnitřní motivace, nezájem žáků, nízké povědomí aplikovatelnosti získaných znalostí Návrhy na změnu se však shodují na zavedení nových metod výuky, na využití nových technologií s cílem:  vyšší přitažlivost výuky pro žáky – výuka by měla žáky více bavit  vyšší interaktivita výuky – žáci by se měli na výuce více podílet  vyšší aplikovatelnost výuky – žáci by si měli uvědomovat, k čemu získané znalosti mohou využít Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy vypracovalo Záměr rozvoje gramotností. Týká se dvou gramotností, matematické a čtenářské. Autoři vycházejí z mezinárodních výzkumů, ze zpráv ČŠI, z vnitřních analýz MŠMT, z akademických analýz a z vlastních zkušeností učitelů a vědců či úředníků státní správy. Cílem je najít chyby a potažmo metody směřování k ideám Bílé knihy školství a dokumentů kurikulární reformy. Záměr rozvoje gramotností proto chce ovlivnit zejména následující skutečnosti, které mohou přispívat ke klesající úrovni výsledků žáků: 





Malá pozornost, která byla při vymezování cílů vzdělávání na úrovni vzdělávacího systému věnována čtenářské a matematické gramotnosti, nedostatečný důraz na jejich význam pro dosahování klíčových kompetencí a dalších cílů vzdělávání. Nejednoznačné postavení čtenářské a matematické gramotnosti v kurikulárních dokumentech, málo konkrétní vymezení cílů, jichž má být dosahováno v uzlových bodech vzdělávací dráhy. Malá propojenost mezi cíli a prostředky v této oblasti, nekoordinovanost různých iniciativ a programů; formální realizace dosavadních reformních kroků. 14

 

Nedostatečné monitorování procesů a výsledků vzdělávání v oblasti gramotností a z toho vyplývající nedostatek reprezentativních dat. Relativní snižování zdrojů (např. čas, finance), jež mohou školy věnovat utváření a rozvíjení kognitivních dovedností.

Na základě výše uvedeného byly vytyčeny tyto dílčí cíle: 

   

Připomenout palčivost problému klesající úrovně gramotností a iniciovat změnu v této oblasti zdůrazněním nezastupitelnosti základního vzdělávání pro získání gramotností. Popsat opatření, která jsou realizovatelná v krátko a střednědobém horizontu a mohou přispět k zastavení a zvrácení nepříznivého trendu. Navrhnout postup uvedení těchto opatření v život a dosažení jejich udržitelnosti. Iniciovat veřejnou diskuzi o cílech, jichž má být v oblasti čtenářské a matematické gramotnosti dosahováno, a prostředcích, jež k těmto cílům povedou. Zvýšit informovanost o již realizovaných i připravovaných opatřeních na tomto poli, dosáhnout lepší koordinace práce různých aktérů a vytvořit podmínky pro efektivnější využívání zdrojů.

zdroj: Záměr rozvoje čtenářské a matematické gramotnosti v základním vzdělávání MŠMT, 26. 9. 2012, čj. MŠMT-33613/2012-22

15

5. Rámcově vzdělávací program a změny ve výuce matematiky Předchozí text je posledním koncepčním materiálem z dílny ministerstva školství. Prvním z materiálů, který akcentoval potřebu razantní změny v českém školství, byl v roce 2001 Národní program rozvoje vzdělávací soustavy České republiky, tzv. Bílá kniha. Koncepce charakterizuje obsahové a metodické změny, změny organizace školní práce, celého systému řízení a realizování školní výuky. Podle Bílé knihy je nutná jeho podstatná změna, a to v samotném přístupu učitelů k žákům, v přístupu žáků k dostupným informacím a jejich využívání, ale také v systému hodnocení, vedení škol, v kurikulárním systému, při přípravě a vzdělávání budoucích učitelů atd. Je zapotřebí změnit náplň a cíle vzdělávání a styl vyučování. Bílá kniha naplánovala vznik dalších významných dokumentů, které měly představenou vizi naplňovat. Na konci roku 2004 byl schválen Zákon č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, tedy školský zákon a následně pak Rámcově vzdělávací programy pro základní vzdělávání, pro předškolní vzdělávání, pro gymnaziální vzdělávání a následně pro střední odborné vzdělávání. Podle těchto RVP jsou jednotlivé školy ze zákona povinny si vytvářet svoje školní vzdělávací programy, které specifikují výuku konkrétní školy při dodržení principů RVP a nepodkročitelnosti obsahového minima výuky. V cílech výuky RVP objevíme jeden, který přímo souvisí s matematikou:  podněcovat žáky k tvořivému myšlení, logickému uvažování a k řešení problémů. U žáků budujeme všechny kompetence, zdůrazněme ty, jež jsou pro matematiku typické: Kompetence k učení - žák:  vybírá a využívá pro efektivní učení vhodné způsoby, metody a strategie, plánuje, organizuje a řídí vlastní učení, projevuje ochotu věnovat se dalšímu studiu a celoživotnímu učení  vyhledává a třídí informace a na základě jejich pochopení, propojení a systematizace je efektivně využívá v procesu učení, tvůrčích činnostech a praktickém životě  operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy  samostatně pozoruje a experimentuje, získané výsledky porovnává, kriticky posuzuje a vyvozuje z nich závěry pro využití v budoucnosti

16



poznává smysl a cíl učení, má pozitivní vztah k učení, posoudí vlastní pokrok a určí překážky či problémy bránící učení, naplánuje si, jakým způsobem by mohl své učení zdokonalit, kriticky zhodnotí výsledky svého učení a diskutuje o nich

Kompetence k řešení problémů - žák:  vnímá nejrůznější problémové situace ve škole i mimo ni, rozpozná a pochopí problém, přemýšlí o nesrovnalostech a jejich příčinách, promyslí a naplánuje způsob řešení problémů a využívá k tomu vlastního úsudku a zkušeností  vyhledává informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému  samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy  ověřuje prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení obdobných nebo nových problémových situací, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problém  kriticky myslí, činí uvážlivá rozhodnutí, je schopen je obhájit, uvědomuje si zodpovědnost za svá rozhodnutí a výsledky svých činů zhodnotí Kompetence komunikativní - žák:  formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle a kultivovaně v písemném i ústním projevu Kompetence sociální a personální - žák:  účinně spolupracuje ve skupině, podílí se společně s pedagogy na vytváření pravidel práce v týmu, na základě poznání nebo přijetí nové role v pracovní činnosti pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce

MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Pro tuto svoji nezastupitelnou roli prolíná celým základním vzděláváním a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium.

17

Vzdělávání klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tematické okruhy. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a dále ho prohlubuje na druhém stupni tematický okruh Číslo a proměnná, si žáci osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění (proč je operace prováděna předloženým postupem) a významové porozumění (umět operaci propojit s reálnou situací). Učí se získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním. Seznamují se s pojmem proměnná a s její rolí při matematizaci reálných situací. V dalším tematickém okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty žáci rozpoznávají určité typy změn a závislostí, které jsou projevem běžných jevů reálného světa, a seznamují se s jejich reprezentacemi. Uvědomují si změny a závislosti známých jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruují a vyjadřují matematickým předpisem nebo je podle možností modelují s využitím vhodného počítačového software nebo grafických kalkulátorů. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce. V tematickém okruhu Geometrie v rovině a v prostoru žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, velikost úhlu, obvod a obsah (resp. povrch a objem), zdokonalovat svůj grafický projev. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací. Důležitou součástí matematického vzdělávání jsou Nestandardní aplikační úlohy a problémy, jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale při němž je nutné uplatnit logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Řešení logických úloh, jejichž obtížnost je závislá na míře rozumové vyspělosti žáků, posiluje vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování a může podchytit i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní.

18

Žáci se učí využívat prostředky výpočetní techniky (především kalkulátory, vhodný počítačový software, určité typy výukových programů) a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Zdokonalují se rovněž v samostatné a kritické práci se zdroji informací. Cílové zaměření vzdělávací oblasti Vzdělávání v dané vzdělávací oblasti směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k:  využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech – odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, orientace  rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů  rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů  rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů  vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu  vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely  provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému  přesnému a stručnému vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky, prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu  rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života a následně k využití získaného řešení v praxi; k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby  rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh, k soustavné sebekontrole při každém kroku postupu řešení, k rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, k vytváření dovednosti vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí protipříkladů

19

Rámcově vzdělávací programy tedy dávají rámec, co mají školy u žáků rozvíjet a co mají učit. Je nutné konstatovat, že pokud chceme měnit metody výuky, pokud chceme matematiku učit jinak - aby žáky bavila a aby si uvědomovali její význam, RVP nám v tom není překážkou. Učit matematiku aktivizačně, konstruktivisticky v souladu s RVP lze. Co ale rámcové programy učitelům nenabízejí – metodické návody jak učit. RVP by podle našeho soudu měly být v metodické oblasti konkrétnější, odpovídají na otázky co a proč, nikoli na otázku jak. Cílem výuky matematiky je v souladu s RVP vybudovat u žáků kognitivní matematické kompetence, ne pouze naučit je matematickou látku. Není tedy v příkladu na goniometrické funkce nejdůležitější znalost té vlastní funkce a správnost výsledku, ale myšlenkový postup, který je přenositelný i mimo svět goniometrických funkcí. Výběr jednotlivého učiva přizpůsobujeme vnitřní kontinuitě matematiky, kdy se některé části vynechat nedají, neboť jsou důležité pro pochopení témat následujících. Významným kritériem by podle našeho soudu měla být uplatnitelnost toho kterého učiva v praxi. Větší prostor ve výuce by měly dostávat oblasti, kde žáci přímo vidí, že matematika společnost posouvá a je pro život prospěšná. Třetím kritériem by měly být vývojové trendy v matematice, příkladem můžou být základy teorie informací, teorie chaosu, fraktálová geometrie. To jsou témata zajímavá, přijatelná a hravá. Závěrem si dovolíme tvrdit, že změna obsahu učiva matematiky ani v budoucnu nebude výrazná a budeme ji jako pedagogové zvládat. Otázka tedy zní JAK?

20

6. Základní pedagogické kategorie Tato kapitola vysvětluje a ukotvuje pojmy z pedagogiky a didaktiky matematiky tak, aby mohly být čtenáři stejně chápány tak, jak je autoři míní.

Základním pojmem je pojem vzdělávání. Ten je chápán jako proces směřující primárně k rozvoji jedincových:  vědomostí (představy, pojmy, názvy)  dovedností, návyků (motorické, intelektuální)  schopností (motorické, intelektuální) Vzdělávání (= edukace) je proces, který vede k učení. Učení pak v nejširším smyslu jako kognitivní proces adaptace člověka na přírodní a sociální prostředí. (Základní pedagogická terminologie ŠVEC, S., 2002, s. 18). Edukaci můžeme rozdělit na:  školní edukaci  mimoškolní edukaci  rodinnou edukaci  autoedukaci Edukačním cílem rozumíme ucelenou představu předpokládaných a žádoucích rysů jedince, které lze získat vzděláním, určuje směr edukačního působení. Cíle můžeme rozlišit na:  individuální x sociální  obecné x specifické  informativní x formativní  adaptační x anticipační  teoretické x praktické  autonomní x heteronomní Aby mohly být naplněny edukační cíle, je potřeba řídit se edukačními (pedagogickými) principy. To jsou nejobecnější požadavky, normy, pravidla, která vyplývají ze zákonitostí výchovně-vzdělávacího procesu a optimalizují výchovněvzdělávací činnost. Základní rozdělení pedagogických principů:  princip cílevědomosti  princip soustavnosti  princip aktivnosti  princip názornosti  princip uvědomělosti

   

21

princip trvalosti princip přiměřenosti princip emocionálnosti princip všestrannosti

Rozvíjející pedagogické principy:  princip spojení školy se životem  princip úcty ke každému člověku  princip demokratického vztahu mezi vychovatelem a vychovávaným

    

princip jednoty výchovného působení princip vědeckosti princip individuálnosti princip zpětné vazby princip spojení teorie s praxí

V alternativní výchově jsou ještě uplatňovány dva základní principy:  princip svobody určené pravidly  princip činnosti a tvořivé aktivity Důležitým pojmem jsou edukační činitelé. To jsou osoby nebo prostředky, které se účastní edukačního procesu. Mezi edukační činitele patří především:  pedagog (rodič, učitel, vychovatel, mistr odborného výcviku, ředitel školy, poradce, aj.)  jedinec, který je ve středu výchovně vzdělávacího procesu (dítě, žák, účastník, zaměstnanec)  edukační prostředky / výchovné prostředky (individuální, skupinové, hromadné aj., vyučování, působení pedagogicky adaptovaného prostředí, masmédia, práce, hra,umění, sport, skupina – kolektiv aj.) Účinnost edukačního procesu závisí na všech třech činitelích, u nichž jsou dány konkrétní předpoklady. U žáka jsou důležité jeho fyzické a psychické předpoklady, jeho aktivita atd. U pedagoga jsou pak klíčové jeho charakterové vlastnosti, hodnotová orientace, pedagogicko-psychologické vzdělání, zkušenosti, návyky, dovednosti (komunikační, organizátorské, rétorické), rysy osobnosti (tvořivost, optimismus, takt, klid, spravedlivost, zaujetí, láska k dětem, zásadovost, morálnost atd.) Ze stanovených cílů a účastnících se edukačních činitelů vyplývá použití edukačních prostředků. Edukačními prostředky nazýváme veškeré způsoby, prostřednictvím kterých se vzdělávání děje. Patří mezi ně prostředí, ve kterém se vyučování uskutečňuje (materiální, sociální), dále pak použité formy a metody práce.

22

Organizační forma výuky (dále také zkráceně forma výuky) znamená uspořádání podmínek k funkční realizaci edukačního procesu, v jejímž rámci se používají různé výukové metody a didaktické prostředky. Výuková metoda (metoda výuky) je systém vyučovacích činností učitele a učebních aktivit žáků směřujících k dosažení daných edukačních cílů. Formy výuky můžeme dělit: z hlediska místa, kde výuka probíhá:  výuka v běžné třídě  výuka v odborné učebně  výuka v dílnách a na pozemku  vycházka a exkurze z hlediska počtu žáků, se kterými učitel pracuje:  individuální výuka (výuka zaměřena na splnění vzdělávacích cílů jednoho žáka)  hromadná výuka, (výuka zaměřena na třídní kolektiv, většinou pomocí frontální výuky)  skupinová práce (samostatná, ale řízená práce žáků v homogenních či heterogenních skupinách) Ve skupinové práci mohou žáci plnit stejné úlohy nebo úlohy s rozdílným obsahem, a to formou diferencované či nediferencované práce. Nediferencovaná práce ve skupině – žáci řeší zadaný úkol samostatně, přičemž komunikují s ostatními členy skupiny, např. přijímají a odevzdávají náměty. Některé nové způsoby vyučování si vyžadují současně zavádění nových forem výuky, ale i nové metody práce. Mezi tyto vyučovací prostředky patří:  projektové vyučování  kooperativní vyučování  týmové vyučování

23

7. Klasické výukové metody Nejprve uveďme krátký přehled klasických výukových metod, abychom v další části mohli přejít ke konkrétním moderním metodám, které jsou vhodné pro výuku matematiky. Členění klasických výukových metod je převzato z knihy Josefa Maňáka a Vlastimila Švece Výukové metody, vydané v nakladatelství Paido v roce 2003. 1. Metody slovní:  Vyprávění  Vysvětlování  Přednáška  Práce s textem  Rozhovor 2. Metody názorně demonstrační:  Předvádění a pozorování  Práce s obrazem  Instruktáž 3. Metody dovednostně-praktické:  Napodobování  Manipulování  Vytváření dovedností  Produkční metody

METODY SLOVNÍ Vyprávění Monologická metoda, kdy učitel vypráví příběh, žáci naslouchají. V matematice tak lze cvičit numerickou paměť, nebo matematické logické uvažování pomocí následných otázek, (Proč?, Co asi se stalo?, Co předcházelo?) nebo chtít od žáků dokončení příběhu. Do příběhu lze mj. skrýt slovní úlohu, apod. Vysvětlování Univerzální metoda, použitelná ve většině výukových situací. Zachovává logický a systematický postup při zprostředkování učiva žákům. V matematice je obzvláště významná, cílem je pochopení matematického problému. Schopnost vysvětlování patří mezi základní kompetence učitele.

24

Požadavky na vysvětlování:  Srozumitelnost - Postupnost vyvozování - Návaznost na předchozí vlastnosti - Uvádění konkrétních případů, využívání názorných pomůcek - Jasný, přesný a výstižný jazyk  Logická stavba - Orientace na hlavní fakta - Od konkrétního k abstraktnímu - Analogie, zobecňování - Strukturování poznatků v systém - Navazování na jiné předměty, obory Přednáška Ze všech slovních metod je nejucelenější, nejsystematičtější, ale také nejnáročnější na pozornost posluchačů. Patří tedy spíše ke studentům nebo dospělým posluchačům. Pokud na základní škole v matematice přednášku použijeme, musí být krátká a vhodně doplňována jinými metodami. Mezi přednášky patří i žákovský referát nebo prezentace, kdy žák zpracovává určité téma. Tato metoda je hojně využívána, bez vstupů učitele a kontrolních otázek bývá málo efektivní. Díky náročnosti matematického obsahu je v matematice základní školy využitelná jen málo. Práce s textem Výuková metoda, spočívající v samostatném zpracování textových informací žákem, nebo skupinou žáků. Klasické zpracování kapitoly učebnice s vypracováním výpisků je pro matematiku málo vhodné, protože vypsání stěžejních zápisů matematického textu ještě neindikuje jeho pochopení. Ve výzkumných testech matematické gramotnosti, v testech OSP se velice často vyskytují úlohy na vyvozování kvantifikovaných údajů z tabulek, z grafů, diagramů. Tuto dovednost práce s textem je potřeba s dětmi cvičit, zde žáci vidí konkrétní uplatnění výuky v praktických činnostech. Rozhovor Představuje verbální komunikaci v podobě otázek a odpovědí dvou anebo více osob na dané výchovně-vzdělávací téma (Maňák, Švec 2003). Metoda rozhovoru má velice širokou škálu použití ve výuce. Lze využít rozhovory široce pojaté, kdy žáci volně hovoří na určité téma, až striktně řízené rozhovory, kdy role učitele moderátora a tazatele je dominantní. Velice důležité je pravidlo aktivního naslouchání, kdy žáci jsou nuceni (např. parafrázováním) vnímat názory ostatních. V matematice je samozřejmě prostor pro tuto výukovou metodu menší než ve společensko-vědních oborech. Lze ji použít při úvodní motivaci nového matematického problému, nebo na závěr tématu (co se naučíme a k čemu nám to bude), nebo při řešení složitějšího matematického problému.

25

METODY NÁZORNĚ DEMONSTRAČNÍ Předvádění a pozorování Předvádění je zprostředkovávání informací žákům prostřednictvím jejich smyslů. V matematice je prostor pro tuto metodu omezený, přesto sem lze zařadit například vysvětlování určitých názorných schémat, myšlenkových map, nebo např. demonstrace postupu geometrické úlohy. Pozorování je záměrné vnímání problému s předem daným cílem. V matematice ho můžeme využít při měření různých veličin, v základech statistiky, např. pozorování a zjišťování barvy projíždějících aut, množství jednotlivých stromů… Práce s obrazem Obraz (didaktický) v tomto smyslu je chápán jako zobrazení zákonitosti, jevu v edukačním procesu. Typickým příkladem jsou Venovy diagramy, nebo jakýkoliv náčrtek slovní úlohy. Vzhledem k zapojení pravé hemisféry je přítomnost obrázku, neobsahující chybu v překladu z reálné situace, vždy žádoucí. Instruktáž Zprostředkovává žákům vizuální, auditivní, hmatové a podobné podněty k praktické činnosti. Své místo má především ve výchovách (tělesné, výtvarné, hudební) a v laboratorních cvičeních. V matematice můžeme tímto způsobem trénovat pochopení a vykonání algoritmu početních či geometrických konstrukcí.

26

METODY DOVEDNOSTNĚ-PRAKTICKÉ Napodobování Přebírání určitých způsobů chování od jiných lidí, kteří mají autoritu. Ve výukovém prostředí jde o napodobování učitele v jeho předmětových dovednostech. Opomeneme-li postojové, morální a vizuální charakteristiky, určitě se žáci (především na prvním stupni) chtějí přiblížit svému učiteli ve zpívání, kreslení, cvičení. Ale určitě i v počítání, v uvažování. Této vlastnosti, která patří mezi základní lidské vlastnosti, lze využít pro motivaci k matematice. Svoji sílu má především na prvním stupni, neboť na druhém jde spíše o odklon od autorit. Manipulování Znamená pomocí fyzické akce poznávat prostředí, zařízení a vybavení a je pro člověka vrozenou metodou poznávání. Ve škole k tomu patří laboratorní práce, činnost ve výtvarné výchově, ale i jakékoliv stříhání, lepení, modelování… V matematice je možné manipulování využívat v geometrii, na prvním stupni bude tato metoda častější. Vytváření dovedností Spíše směřuje do oblasti výchov, v matematice můžeme do této metody zařadit konstruování pomocí pravítka, kružítka nebo měření. Produkční metody Využívají pohyb a fyzickou práci pro edukativní činnost. V matematice tato metoda nemá užití.

27

8. Aktivizující metody Aktivizující metody jsou modernější, největší rozdíl oproti těm předchozím spočívá v roli žáka. Ten by měl mít hlavní pracovní roli, učitel by měl jeho činnost řídit, usměrňovat, moderovat. Metody u žáka rozvíjejí především samostatnost, zodpovědnost a tvořivost. Nezaměřují se jen na oblast znalostí a dovedností, ale i na oblast postojových hodnot, jako je vztah k práci, motivace pro výuku. Pro práci učitele je velice důležité odhadnout a sladit tempo jednotlivých žáků. I když má učitel menší zastoupení ve výuce, je koordinace aktivit žáků těžší než frontální výuka učitele. Aktivizující metody jsou postupy, které vedou výuku tak, aby se výchovně vzdělávacích cílů dosahovalo hlavně na základě vlastní učební práce žáků. (M. Jankovcová, J. Průcha, J. Koudela, 1988) Členění metod: 1. Metody diskusní 2. Metody heuristické 3. Metody situační 4. Metody inscenační 5. Didaktické hry 1. Diskusní metody Navazují na klasickou metodu rozhovoru, rozdíl je v tom, že skupina pracuje společně, komunikace současně proudí jak mezi učitelem a žáky, ale i mezi žáky navzájem. Vždy se věnuje nějakému problému, charakteristickým rysem je aktivní spoluúčast všech společníků s cílem vyřešení problému. Pro vznik či zesílení edukačního účinku musí být diskuze řízená (ve většině případů učitelem). Důležitá je i příprava na diskuzi buď přímo v hodině skupinovou prací, nebo individuálně (zde můžeme využít i přípravu domácí). Metody jsou vhodné pro upevnění, shrnutí učiva. V matematice není příliš prostoru k samostatnému vyjadřování osobního názoru, ta má většinou jasně dané výsledky a jen jeden názor je správný, přesto metodu použít v matematice lze. 2. Heuristické metody Heuristika je věda, která zkoumá tvůrčí myšlení. Výzkum v této oblasti není příliš úspěšný. Základním nástrojem heuristického myšlení je intuice, výsledkem tohoto myšlení je nápad, vhled. Intuice obvykle označuje schopnost rychlého chápání, odhadu a rozhodování, které není zprostředkováno žádným uvažováním, a ačkoli bývá provázeno pocitem jasnosti a jistoty, není podloženo žádnými důvody. Jestliže algoritmické usuzování umíme neurologicky poměrně dobře zpracovat, chápeme ho jako vytváření neuronových synapsí, při intuici nevíme, co se v mozku děje. Myšlenka řešení přichází naprosto neočekávaně.

28

Víme, že vhledy se „rodí“ na základě zkušeností (konkrétního člověka i jeho rodu) a předchozích informací, ale jak vlastní intuitivní chování funguje, nevíme. Intuice člověka i zvířat je dána pudově, souvisí s pátracím reflexem a potřebou objevovat nové. Této základní vlastnosti vyšších organismů můžeme využívat a rozvíjet ji i v procesu učení. Dětská zvídavost je vyšší než u dospělých a pro objevování jsou žáci základních škol vnitřně motivováni. Při úspěšném vyřešení nějakého logického problému se endorfiny uvolňují i tomu největšímu flegmatikovi. Heuristické myšlení je z části nacvičitelné, použití úloh k tomuto myšlení jistě rozvíjí tvořivost dítěte. Více se objevování věnujeme v kapitole o didaktickém konstruktivismu. 3. Metody situační Vztahují se na širší zázemí problému, na reálné případy ze života, které představují specifické, obtížné jevy, vyvolávající potřebu vypořádat se s nimi, vyžadující angažované úsilí a rozhodování. (Maňák, Švec, 2003) Jde tedy o řešení problémového případu, který odráží nějakou reálnou událost, zobrazuje určitý komplexní vztah. Metodicky jde o zpracovaný materiál reflektující reálnou problémovou situaci, jejíž řešení není jednoznačné. Vychází z nějaké konkrétní situace, kterou je nutné řešit, obvykle nejsou k dispozici všechny informace pro řešení, nezbytné informace se postupně doplňují. Řešení problému musí být jednoznačné. Fáze:    

Volba tématu Seznámení s materiály Vlastní studium případu Návrhy řešení, diskuze

V matematice lze používat tyto metody jen zřídka, snad možná při řešení nějakého historického výpočtu. 4. Metody inscenační Podstatou inscenačních metod je sociální učení v modelových situacích, v nichž účastníci edukačního procesu jsou sami aktéry předváděných situací. Průběh:  Příprava inscenace  Realizace inscenace  Hodnocení inscenace Herci jednají jako skuteční aktéři živé skutečnosti, vžívají se do určité role, kterou předvádějí hlouběji a pokoušejí se hledat řešení konkrétního problému. Pro žáky jsou tyto metody zábavné, je potřeba zajistit kromě motivace také obsahovou hodnotu učiva. V matematice je použití této metody velice problematické.

29

5. Didaktické hry Jedna ze základních forem činnosti (+ práce a učení), je pro ni charakteristické, že je to svobodně volená aktivita, která nesleduje žádný zvláštní účel, ale cíl a hodnotu má v sobě. Didaktická hra je takovou seberealizační aktivitou jedinců, která svobodnou volbu, uplatňování zájmů, spontánnost a uvolnění přizpůsobuje pedagogickým cílům.    

Interakční hry (hračky, sport, společenské, s pravidly, nové bez pravidel) Simulační hry (hraní rolí, řešení případů, loutkové) Scénické hry (herci a diváci) Soutěžní hry (založené na řešení problémových situací, rozvíjí aktivitu, samostatnost a myšlení, lze je tudíž využít k učení)

30

9. Porozumění nebo formální výuka V předchozím textu jsme popsali uznávané moderní pedagogické metody. Matematika se však liší od ostatních věd či předmětů jednak obsahově, ale hlavně strukturou myšlení a učení. Proto obecně přijímané principy a metody musí být pro matematiku specifikovány a transformovány. Společně s mezinárodními výzkumy a s didaktiky předmětu jsme došli k závěru, že cílem výuky je sama matematika jen částečně, spíše jde o budování principů matematického myšlení. Možná ještě lepší formulací je, že cílem výuky matematiky je pěstování matematiky v hlavách studentů (žáků). Ve slově pěstování je akcentován růst a proces, ale také rozličnost jednotlivých vypěstovaných myšlenkových schémat. Současně je v něm obsažena potřeba podnětného prostředí a role osobnosti dítěte na tomto růstu. Ve výuce matematiky nejde o transmisi, tedy přenos informací do mozku žáka, ale o kultivaci jeho myšlení pomocí matematických nástrojů. Pokud bychom přirovnali samu matematiku k výtvarnému umění, pak by výuka matematiky mohla být přirovnána k výtvarné výchově. Uvědomujeme si, že zvláště to druhé přirovnání je z hlediska dnešních požadavků na oba předměty velice zvláštní, ale přesto... Ve výtvarném umění bereme díla slavných malířů jako inspiraci, ale důležitá je vlastní tvorba. Neučíme způsobem - tady namíchejte žlutou barvu a táhněte štětcem zleva nahoru. Charakterizujeme zadání, které žáci pochopí, a pak již jde o jejich vlastní tvořivou aktivitu. Podobně i v matematice bychom měli být průvodcem pro budování vlastních žákovských struktur v jeho duševním světě. Myslíme, že všichni matematici světa se shodnou na tom, že porozumění matematickému problému je důležitější než jeho paměťový popis. Co je tedy k tomuto porozumění potřeba? 1. Motivace. Pokud žák nemá vnitřní motivaci k učení a pochopení problému, pak jeho učení - motivované zvnějšku - bude probíhat povrchně. Je-li však problémem osloven, chce ho sám řešit, jeho myšlenkové schopnosti jsou aktivovány, výkon je několikanásobně vyšší. 2. Vstupní kompetence. Abychom matematický problém pochopili, je potřeba, abychom měli na co kognitivně navázat. Jde o to, aby žák měl jednak obsahové znalosti pro pochopení problému (Řešení slovní úlohy na Pythagorovu větu bez znalosti Pythagorovy věty prostě žáka nenapadne) a druhou vstupní kompetencí je určitá bystrost, pružnost myšlení a zkušenost s myšlenkovými operacemi. Tady často narážíme na základní problém – žáci nejsou zvyklí myslet. Ale kromě toho, že je ve svých hodinách k tomu budeme vést, s tím jako učitelé nic neuděláme.

31

3. Výklad. Třetím faktorem porozumění je vlastní práce v hodinách matematiky. Žák by měl co nejvíce vyvíjet vlastní aktivitu, řešit samostatně či ve skupinách úkoly, tvořit si své matematické schopnosti co nejvíce sám. Víme však, že v realitě je to nemožné. Tyto metody můžeme ale zařazovat alespoň na část vyučovací jednotky. Matematické poznatky žákům musíme předat, nejlépe výkladem. Otázka je, jak výklad koncipovat. Správnými požadavky na výklad v matematice jistě budou jeho logická kontinuita a bezespornost. Ale můžeme matematický (logický) výklad krokovat tak, že logiku problému vlastně nadiktujeme. Anebo dělat logické skoky s velkým prostorem pro tvořivou myšlenkovou práci žáka. Oba extrémy jsou asi demotivující a pro pochopení problému bezcenné. Měli bychom se tedy pohybovat na horní hraně kognitivních schopností těch slabších žáků. Což ve výuce celé třídy je téměř nemožné. Porozumění matematickému problému vlastně znamená:  Porozumění matematické symbolice, jazyku matematiky, způsobu zápisu problému  Pochopení logického sledu operací, následnost operace v daném okamžiku  Pochopení souvislosti s reálnou situací, pro kterou je problém řešen Měli bychom si uvědomovat, že při výuce nejde o nějakou obecně danou „božskou“ matematiku, ale o její přenos do duševních světů žáků. Výuka není oznámení matematických souvislostí světu a to, že my tyto souvislosti chápeme, ale jde o budování těchto zákonitostí v hlavě žáka. To, zda žák problematice porozumí nebo se jí učí formálně, se v matematice velice dobře pozná. Znakem formalismu je:  Osvojování si spíše formy (definic, formálních pouček) než souvislostí  Odluka od praxe – žáci nevědí, k čemu problematika je, jak se dá využít  Nadvláda paměťového učení „Proč to tak je? Protože jsme se to tak učili.“  Žáci umí řešit příklady podle pomocných schémat (např. vzorečky pro procenta), nerozumí ale proč  Žáci neumí problém pojmout v jeho hloubce a šířce, vidí ho jen povrchně  Neumí řešit aplikační úlohy přiměřené věku  Žáci neumí zvolit metodu vhodnou k řešení konkrétního problému (Volně podle M. Zedka (1979))

32

Učitel, který usiluje o to, aby si jeho žáci osvojili matematiku neformálně, bude hledat prostředky, jak případný formální poznatek odhalit a jak jej reedukovat. Hejný a kol. (1990) uvádějí deset možností diagnostiky formálního poznatku: 1. Objasnit paradox 2. Rekonstruovat zapomenutý vzorec 3. Objasnit selhání standardního postupu 4. Obhájit standardní postup vůči námitce 5. Najít chybu v úvaze 6. Aplikovat poznatek v praxi 7. Rozhodnout o platnosti hypotézy 8. Najít objekt požadovaných vlastností 9. Řešit nestandardní úlohu 10. Objasnit některé pojmy, souvislosti, symboliku atp.

33

Transmisivní výuka a didaktický konstruktivismus

10.

Protikladem formální znalosti jsou podle Hejného a Kuřiny (1998) znalosti funkční. Na jedné straně tedy stojí naprosto formální přejímání informací v linii učitel - žák, na druhé straně potom samostatné budování poznatkové struktury žákem za moderace učitele. V prvním případě hovoříme o transmisivním vyučování, v druhém o didaktickém konstruktivismu. Reálná výuka se pohybuje mezi těmito extrémy, podle didaktiků bychom se měli přibližovat k druhému pólu. Transmisivní výuka je zaměřena na výkon žáka, konstruktivistická potom na rozvoj jeho myšlenkových schopností. Pro hodnocení učitelovy výuky je však stále důležitý výkon žáka. Učitel se snaží co nejvíce (kvantita) žáka naučit a co nejrychleji ho připravit na výkon – zkoušení, písemky, přijímací zkoušky… Žák je v transmisi pasivním příjemcem poznatků, nemá co hovořit ani do obsahu, ani do způsobu předávání. Učitel předkládá obsah a také instrukce, jak ukládat informace do žákovy paměti. Role učitele v tomto způsobu musí být autokratická, manažerská, velitelská, expertní, v lepším případě pak trenérská. S žáky nacvičujeme typová řešení úloh, žák musí mít napočítáno (natrénováno). Od žáka se chce, aby předané informace uložil do své paměti, o čemž musí učitele přesvědčit při zkoušení. Dále pak hodnotíme nacvičení algoritmických instrukcí při řešení příkladů. Učitel počítá s žákovou nesamostatností, odměňuje úsilí a podřízenost. Důvodem použití transmisivní výuky je především obava, že nestihneme probrat učivo. Autory didaktického konstruktivismu jsou profesoři Hejný a Kuřina (2001). Jejich krédo: „Při konstruktivním vyučování matematiky se důraz klade především na žáka, přičemž matematika je chápána jako nenahraditelný nástroj na formování psychiky žáka a rozvoje jeho osobnosti prostřednictvím matematiky.“ Podle konstruktivistů lze transmisivní výuku využít k předávání nějakých faktů nebo mechanických algoritmů. Smysl a pochopení touto metodou předat nelze, protože vlastní strukturu poznání musí žák konstruovat sám na základě předchozích znalostí a mentálních struktur. To je pro učitele jako moderátora konstruktivistického přístupu velice obtížné, protože 30 kognitivních sítí ve třídě může být velice různorodých. Ve výuce by dítě (každé zvlášť) mělo samo přijít na to, jak to je, najít princip, podle kterého se věc řídí, protože potom pochopí i logiku jejího chování a najde pravidlo pro řešení. (Kalhous, Obst a kol.)

34

Konstruktivisticky pojaté vyučování usiluje o navození situace, která vede ke kognitivnímu konfliktu nové informace s původní myšlenkovou strukturou. Aby byl kognitivní konflikt vyřešen, musí dítě konstruovat nebo nalézt nová řešení. Naším záměrem je systematicky pěstovat matematiku v myslích jednotlivých žáků. Možností, jak toho dosáhnout, je podle názoru konstruktivistů několik:  vést žáka k řešení problémů a k samostatné tvůrčí práci  pracovat na projektech (vycházet ze vztahu matematiky k realitě)  naučit se něco, co funguje (pro vnitřní uspokojení žáka)  naučit se něco, co bude potřebovat (pro vnější cíle) (Stehlíková, Cachová; 2006) M. Hejný a F. Kuřina (2001) formulovali deset zásad, tzv. desatero didaktického konstruktivismu: 1. Matematika je chápána jako specifická lidská aktivita, ne jen jako její výsledek. 2. Podstatnou složkou matematické aktivity je hledání souvislostí, řešení úloh a problému, tvorba pojmů, zobecňování tvrzení, jejich prověřování a zdůvodňování. 3. Poznatky jsou nepřenosné, vznikají v mysli poznávajícího člověka. 4. Tvorba poznatků se opírá o zkušenosti poznávajícího. 5. Základem matematického vzdělávání je vytváření prostředí podněcujícího tvořivost. 6. K rozvoji konstrukce poznatků přispívá sociální interakce ve třídě. 7. Důležité je použití různých druhů reprezentace a strukturální budování matematického světa. 8. Značný význam má komunikace ve třídě a pěstování různých jazyků matematiky. 9. Vzdělávací proces je nutno hodnotit minimálně ze tří hledisek: porozumění matematice, zvládnutí matematického řemesla, aplikace matematiky. 10. Poznání založené na reprodukci informací vede k pseudopoznání, k formálnímu poznání, zapomínání a zřídkakdy k jejich netriviálnímu využití.

35

11.

Aplikace školské matematiky

K čemu je tedy matematika, co je jejím smyslem? Matematika (z řeckého mathematikós = milující poznání) je věda zabývající se z formálního hlediska kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Tolik definice. Patří bezesporu k nejstarším a nejpropracovanějším vědním oborům a její kořeny prokazatelně sahají až do třetího tisíciletí před naším letopočtem, tedy je tu s námi již pět tisíc let. Začátek vývoje matematiky byl jistě spojen pouze s kvantitou. Začíná tedy rozlišením jednoho předmětu a více předmětů stejného druhu. Následně začíná řešit vztahy objektů v rovině a prostoru. O vlastní matematice jako vědě můžeme hovořit již v období antického Řecka, kde kvantitativní a prostorové jevy získávají své obecné zákonitosti, vznikají formální pravidla, vzniká logika. Především v díle Euklida vzniká axiomatický systém, který jako způsob tvoření vědy nebyl epistemologicky překonán. Geometrie a algebra se postupně rozvíjejí, dalšího zlomu se matematika dočkala v 17. století s počátky infinitezimálního počtu, kdy matematika umí charakterizovat změnu, a v 19. století, kdy dochází k objevení Cantorovy teorie množin (práce se strukturami). Brzdou těchto dvou teorií bylo vypořádání se s matematickým pojetím nekonečna. Smysl matematiky v jejím počátečním rozvoji byl jednoznačný – potřeba v běžném životě. Bylo potřeba kvantifikovat, porovnat, sečíst… počty lidí, zvířat, kořisti. Od dob Platona a Eukleida však matematiky zaujaly další věci: vysoká obecnost a použitelnost získaných vědomostí. Matematici zjišťují, že jak empiricky získané, tak i myšlenkově odvozené zákonitosti mají obecnou platnost i v naprosto odlišných myšlenkových prostředích. Již od této doby se táhne nevyřešený spor platoniků a jejich odpůrců, zda je matematika obecně existující a my ji jenom objevujeme, nebo zda je to výmysl lidské mysli. Další smysl matematiky objevují v její vnitřní kráse. Základním pravidlem světa je příklon k harmonii a snaha lidstva ji hledat. Matematika prostě funguje a je průzračně jednoduchá. Co funguje, co je dokázáno pomocí předchozího - to je v matematice prostě přijato a není tu možnost nějakých zpochybnění. A objevení zákonitosti, vyřešení matematického problému na jakékoliv úrovni, prostě ten aha efekt a s ním spojené příjemné pocity jsou motivací pro matematické snažení. Motivací pro zabývání se matematikou je jistě i určitá vyvolenost učenců, kteří jí rozumí. Stejně jako v záři Slunce blednou všechny hvězdy, tak také učenec může v obecném shromáždění zastínit slávu jiných, když předloží – a tím spíše když vyřeší – matematické problémy. (Indický mudrc Brahmagupta). Matematika chce od svých královských poddaných opravdu něco více než běžný rozum. Je opravdu abstraktnější než problémy běžného života, vyžaduje vyšší formu intelektu. Je to obrovské dílo lidského ducha. A pokud ho chceme pochopit, musíme ho praktikovat.

36

Pokud hovoříme o smyslu matematiky, většinou argumentujeme její uplatnitelností. Základní aritmetické operace využijeme při obchodu a téměř celá matematika základní školy je v běžném životě využitelná. Matematika je také základem ostatních přírodovědných, ale i společenskovědních disciplín. Přesto matematické objevy (převážně v novějších dějinách) již nenacházejí tak často své praktické uplatnění. Buduje se čistá matematika. Ale i ta během několika desítek let většinou nachází uplatnění v praxi. Jako příklad můžeme uvést eukleidovskou geometrii či využití velkých prvočísel v šifrování. Při hledání smyslu výuky matematiky bychom měli vidět více, než je aktuální uplatnitelnost, i když je to především pro nematematiky argument hlavní a nejpochopitelnější (Nebudeš si umět spočítat výplatu…) Mimo tuto uplatnitelnost matematiky v běžném životě bychom měli také zdůrazňovat její potřebu při dalším studiu. V druhém případě však nebudeme potřebovat konkrétní matematickou informaci, ale porozumění celé struktuře problému nebo struktuře jiného problému, který je na ten náš přenositelný. Proto snahy o učení pouze těch pasáží, v nichž žák vidí uplatnění, jsou nesmyslné. Matematika je sofistikovaný systém, z něhož nelze vytrhovat jen to, co je aktuálně použitelné. Na druhou stranu jakákoliv možnost ukázat praktickou využitelnost matematiky musí být využita. Podle našeho názoru málo vysvětlujeme smysl výuky matematiky její uplatnitelností v životě společnosti. Ale vůbec nehovoříme o smyslu matematiky z hlediska její ucelenosti, systematičnosti, vnitřní bezespornosti, zajímavosti a krásy. Domnívám se, že bychom měli při výuce hovořit o smyslu jednotlivých témat, o vzniku teorií, o jejich uplatnění a ukazovat tuto vysokou funkčnost matematiky.

37

12.

Ukázka prostředků rozvoje myšlení v matematice

DISKUZE Diskuze je základní metodou lidské komunikace. Jakákoliv výměna názorů probíhá formou rozhovoru dvou lidí či diskuze více lidí. Tato metoda je pro každého člověka přirozená, diskuze se používala od nepaměti a posouvala lidské poznání. V naší moderní době je diskuze využívaná v komunikačních a elektronických médiích, školní děti jsou proto na diskuzi zvyklé, mají potřebu vyjadřovat své souhlasné i nesouhlasné názory. Komunikační a řečové schopnosti však elektronická média příliš kvalitně nerozvíjejí, jazyk sociálních sítí bývá jednoduchý, nerozvíjí se především emocionální stránka výpovědi. Diskuze je vhodná tam, kde není potřeba najít jedno správné řešení. Využíváme ji tam, kde cílem není rozhodnout, ale sebrat podklady, přinést co nejvíce argumentů. Výukovým cílem při použití diskuze je především obohacení účastníků o jiné pohledy, chápání problému ve více rovinách. Role učitele je však i v této metodě nezastupitelná. Média většinou nedávají dobrý příklad správné diskuze. Již Sokrates vyjadřoval pravidla správné diskuze, které dnes charakterizujeme takto:  Cílem diskuze není soutěž, ale hledání pravdy, či co nejobjektivnějšího názoru.  Každý má právo vyjádřit svůj názor, ostatní jsou povinni ho vyslechnout a vnímat.  Odlišnost svého názoru vyjadřuji slušně, bez urážek, názorová odlišnost neznamená nepřátelství.  Názor by měl být vyjádřen věcně, co nejvýstižněji, bez přehnaných emocí.  Diskuze by měla být zacílena k řešenému problému, příspěvek do diskuze by neměl odvádět diskuzi k jinému, i když zajímavému tématu. Učitel by měl diskuzi řídit a moderovat, dbát na dodržování pravidel, dávat prostor všem žákům, držet diskuzi ke stanovenému tématu a shrnovat průběh diskuze. Učitel může také ve vhodných případech přispět do diskuze, jeho názor by neměl být (oproti jeho moderátorským vstupům) prosazován jeho autoritou. Diskuze je běžným způsobem výuky, především v humanitních oborech. V předmětech jako je matematika a fyzika je však používána zřídka. Je to samozřejmě dáno exaktností těchto věd, přesto lze v matematice diskuzi použít například při úvodu do tématu (jak v historii na problém matematici přišli), dále pak lze diskutovat o uplatnění daného tématu či matematického problému v praxi. Vhodně se dá využít diskuze při řešení problému s neurčitým řešením a diofantovských rovnic. Nebo také při řešení složitějších a časově náročnějších matematických problémů či v menších skupinách při školních projektech. 38

BRAINSTORMING Brainstorming je výuková metoda, která podporuje především divergentní myšlení – tedy nesměřujeme k vyřčení jednoho správného výsledku, ale chceme najít co nejvíce nápadů pro vyřešení problému. Brainstorming je skupinovou technikou, je založen na předpokladu, že přemýšlení ve skupině je účinnější než oddělené. Nápad, který má spolužák, mne může přivést k nápadu, který by mne samostatně nenapadl. Brainstorming je překládán jako bouře mozků, či burza nápadů. Jde tedy o vygenerování co nejvíce myšlenek, které mohou přinést řešení určitého problému. Podobně jako u diskuze musíme žáky seznámit s pravidly dané metody.  Ještě důležitější než u předchozí metody je umožnit uplatnění všem žákům.  Nejdůležitější je zamezit kritice a zesměšňování názoru druhých. Právě originalita bývá většinou úspěšná.  Hodnocení a třídění nápadů se děje až v druhé fázi metody, ve fázi zveřejňování je nepřípustné.  Smysluplný humor a určitá míra uvolněnosti jsou žádoucí, podporují tvořivost.  Vše je potřeba zapisovat.  Je potřeba dát metodě svůj čas, nápady nepřicházejí hned. Nevýhodou brainstormingu je tzv. sociální lenivost, kde výkonově zaměření žáci nepřistupují k metodě zodpovědně, protože nezískají lepší známku než ostatní. Další nevýhodou je nevyhnutelná hlučnost této metody, také časová náročnost a zdánlivá či skutečná neefektivita. Pokud je cílem vyučovací jednotky probrání co největšího „kusu látky“, je brainstorming nevhodný, pokud cílem je procvičování mentálních schopností, je naopak vhodnou alternativou. Klasickou formou provedení je, že učitel napíše problém na tabuli a pak zapisuje (nebo zvolený zapisovatel) nápady žáků. Z vlastní zkušenosti víme, že musíme živé nápady dětí přeformulovat a ověřit si, zda byly tak myšleny, při zapsání syrových nápadů by jim po chvíli nikdo nerozuměl. Po zapsání všech nápadů žáci třídí a hodnotí (vyškrtávají opakující se a většinově nepřijatelné) nápady. Autoři mají právo svůj názor hájit a dovysvětlit. Pokud je potřeba vybrat pouze jeden výsledný nápad, je možné to spojit s hlasováním. Jinou formou (méně bouřlivou) je tzv. brainwritingu, kde nápady žáci nekřičí na zapisovatele, ale napíšou je na lísteček, předají, zapisovatel je přepíše na tabuli, žáci se s nimi seznámí a probíhá druhé kolo, kdy obohaceni o názory ostatních píší žáci opět své návrhy na lístečky.

39

V matematice jde tato metoda použít méně často než ve společenských vědách. Opět se nejvíce hodí v aplikačních úlohách a v motivaci při otevírání nového matematického celku. Příkladem mohou být následující otázky: Kde se všude setkáváme s napsanými číslicemi? Co musí vaši rodiče řešit za pomoci čísel? Co maminka může doma počítat? Co všechno umím vypočítat pomocí funkce sinus? Proč lidé potřebovali zavést goniometrické funkce? Jak funguje určitý matematický problém? Úlohy typu: Myslím si číslo… Vysvětlete princip, jak jsem k tomu došel. Optimalizační úlohy na tarify a programy mobilních operátorů, energie…

40

KLADENÍ OTÁZEK Slyšel jsem poopravené české přísloví:

„Kdo se moc ptá, málo googluje.“

V současné době můžeme mluvit o informační nebo memové explozi. Máme opačný problém než učitelé a žáci ještě před 50 lety. Informace máme, problémem je získat jen tu, kterou potřebujeme, pravdivou a neobalenou do množství informačního balastu. A toho můžeme docílit dobře formulovanou otázkou – ať již položenou člověku, o kterém víme, že zná správnou odpověď, či například stroji pomocí vhodně zvoleného klíčového slova zadaného do vyhledávače (i to je vlastně otázka). Jaké jsou důvody kladení otázek? Podle předchozího textu - abych se dozvěděl něco, co nevím. Ve škole to takto ale nefunguje. Kladení otázek učitelem žákovi především slouží k ověření, zda žák zná to, co ho učitel před časem učil, v lepším případě, zda porozuměl tomu, co mu učitel vysvětlil. Jde tedy o zpětnou vazbu, což je nástroj pro hodnocení žáka. Podle výzkumů někteří učitelé dokážou položit ve svém pracovním dnu až 300 otázek, tedy přibližně jednu otázku za minutu. 75 % otázek zjišťuje fakta a ověřuje znalosti žáků. Jediné, co tímto způsobem zjistíme, je, který žák problematiku ovládá a který ne, což jsme většinou věděli ještě před tím, než jsme vstoupili do třídy. Kladení otázek učitelem má ale další důležité funkce:  Motivační – otázkou dítě můžeme zaujmout, vtáhnout do problému.  Sjednocení vstupu – otázkami před výkladem nového problému mohu zjišťovat vstupní kompetence žáků a díky odpovědím spolužáků tuto individuální úroveň zlepšit.  Návodná – pomocí otázek mohu napovídat a pomáhat žákům při řešení složitého úkolu.  Rozšiřující – pomocí otázek mohu ukázat souvislosti s jinými tématy.  Moderační – pomocí otázek posunovat obsah v diskusních technikách. To, co umíme my, bychom měli učit i své žáky. Srovnejme situaci dětí předškolního a mladšího školního věku (ti se ptají vždy a všude) a studentů VŠ či dospělých, např. při odborné přednášce. Zde se bojí každý zeptat, protože by mohl odhalit svoji neznalost. Zvídavost se v určitém věku již nenosí. Pro kladení otázek bychom měli dát prostor i svým žákům a v kladení otázek je podporovat. I když víme z vlastní zkušenosti, že jedna dobře mířená dětská otázka (a na ní se nabalující další) může úplně „zabít“ hodinu. Je to ale otázka nastavení priorit.

41

Metoda kladení otázek žáky se dá využít i v matematice. Můžeme například položit před žáky model krychle nebo jiného tělesa a vyzvat je, aby vytvořili co nejvíce otázek k tomuto modelu. Musí být odpověditelné a vztahovat se opravdu k vystavenému tělesu, částečně můžeme umožnit humorné otázky. Můžeme pak na otázky odpovídat nebo vyhodnotit nejlepší tři. Kladení otázek můžeme použít při opakování učiva - forma duelu jednotlivců či skupin ve střídavém kladení otázek a odpovědí. Možnou formou je také „křeslo pro hosta“, kdy žáci kladou otázky učiteli (snaží se ho nachytat) či vybranému spolužákovi. Umožníme i neexaktní otázky typu: Kdybyste byla geometrickým tvarem, byla byste … Proč? Co by se stalo, kdyby… 1+1 = 3? K čemu nám ta matika bude?

Nebo také můžeme použít hru na hádání pojmů – žák si zvolí matematický pojem (číslo 5, procento, lichoběžník) a spolužáci se mohou ptát otázkami, na něž je možné odpovídat ano x ne, dokud pojem neodhalí.

42

MENTÁLNÍ MAPY Mentální mapa je metoda uspořádávání většího množství informací, vztahujících se k jednomu tématu. Donedávna jsme hodnotili zápisky studentů v sešitech z hlediska obsahu, estetičnosti, ale i struktury. Náš text při výkladu plynul, tedy i poznámky by měly plynout. Když se jedná o výčet, použijeme odrážky nebo číslování. To je běžný postup ve škole, ale i v knihách, odborných publikacích, výkladech odborníků či ve zpravodajství. Tedy zapisujeme lineárně. Tony Buzan – zakladatel mentálního mapování - si položil otázku, zda tento „zvyk“ vyhovuje našemu mozku. A společně s neurology a kognitivními vědci si odpověděl záporně. Základními jednotkami našeho mozku jsou neurony a ty se spojují do propletených sítí. Každý neuron není spojen s dalším a ten s dalším, ale spojení (synapsí) jednoho neuronu je více. Tedy mozek nemyslí lineárně, dokáže v daném problému pojmout více věcí (především ženský mozek). Myšlenková, nebo kognitivní mapa toho využívá a tvoří vlastně grafická schémata k určitému tématu, které mozek umí exportovat a importovat vcelku, nemusí je rozebírat na jednotlivé lineární „trubky“. Využíváme obě hemisféry mozku, jak tu levou digitální (algoritmickou) – přetěžovanou, tak tu pravou analogovou (grafickou) – nedoceněnou. Michael Michalek udává ve své knize Cracking creativity tyto výhody mentální mapy:  aktivuje celý mozek  zbavuje naši mysl mentálního nepořádku  umožňuje nám plně se soustředit na určitý předmět  názorně předvádí spojení mezi izolovanými informacemi  jasně zachycuje jak podrobnosti, tak celek  umožňuje nám sdružovat nebo naopak od sebe oddělovat jednotlivé představy a vzájemně je porovnávat  vyžaduje plné soustředění na předmět našeho zájmu – díky tomu se daná informace převádí z naší krátkodobé paměti do paměti dlouhodobé Tak hurá, začněme zapisovat pomocí mentálních map. Tak snadno to ale nepůjde. Právě mozek se sám brání. Nutno potvrdit i neochotu dětí k mentálnímu mapování. „Ty zápisky, za které nás chválili, jsou teď špatně?“ Denně popíšou žáci a studenti v Česku tuny papíru (každý žák popíše cca 6 listů papíru denně, tj. přibližně 10 g, za rok se jedná o 2 kg, základní školy navštěvuje ročně cca jeden milion žáků, tedy během roku popíšou 2 tisíce tun papíru). Také většina učitelů zapisuje lineárně a všechny pomůcky - sešity, textové editory - jsou tomu přizpůsobeny. Na druhou stranu Tony Buzan dokazuje, že Leonardo da Vinci, Galileo Galilei, Albert Einstein používali pro zápis svých myšlenek schémata podobná mentálním mapám.

43

Takže alespoň za zkoušku (sami či s dětmi) to stojí. Mentální mapování se již ve výuce využívá, nejvíce v zeměpisu, dějepisu, v občanské výchově. I v matematice to jde, i když zatím se tato schémata příliš nevyskytují. Uveřejňuji mentální mapu studentky pedagogické fakulty oboru M – NJ Martiny Chalupové.

44

PRÁCE S CHYBOU Chybovat je lidské, chybami se člověk učí. Tato přísloví jsou známá, ale ne vždy se jimi v pedagogickém procesu řídíme. Chyba je v počátcích učení zákonitý jev, k jejímu odstranění dochází až při automatizaci činnosti. Pokud dochází k chybám v procesu učení, je chyba neutrálním, někdy pozitivním jevem. Problém je, když chyba není odhalena, nepracuje se s ní a dochází k upevnění chybných kognitivních procesů. V socialistickém školství byla chyba vnímána jako něco nežádoucího, co do školy nepatří a za co musí být žák potrestán. Celá naše společnost toto má zakořeněno, i my se bojíme udělat před žáky chybu, byla by to ostuda. Přitom chyba učitele (každý z nás je dělá) objevena žákem je možností pro zlepšení komunikace učitel - žák, prostorem pro lepší vysvětlení problematiky. Určitě nechceme vychovávat chybující chirurgy či řídící pracovníky letového provozu, na druhou stranu bychom neměli do hodnocení chybujícího žáka vnášet osobní hledisko a negativní emoce. Žák, který neumí sečíst dva zlomky, není přece padouch, o jeho morálních a osobnostních kvalitách to přece nehovoří. Chyba je nepřípustná odlišnost od optimálního řešení, tedy odlišná interpretace skutečností od vzorového stavu řešení problému. Po odhalení chyby je potřeba určit, v čem chyba spočívá, proč k ní došlo. Místo vnímání chyby jako nežádoucího jevu můžeme chybu žáka uchopit jako výzvu k rozvoji jeho kognice. Chyba, kterou žák prezentuje před třídou, se stává příležitostí pro vysvětlení učiva i ostatním spolužákům. Úlohou učitele je pomoci žákovi z chyb se poučit. Chyba je vždy emocionálně negativně zabarvena, neexistuje odhalení chyby bez hodnocení – toto je správné, toto je chybné. Objevení chyby ale nesmí znamenat frustraci, úzkost a blokaci kognitivních funkcí. Ale naopak jejich zaktivnění pro porozumění chybě a nalezení správného řešení. Práce s chybou jako pedagogickou metodu můžeme zařadit kdykoliv, matematika je na to velice vhodným předmětem. Vždy dbáme na velkou aktivitu žáků. Jejich práci můžeme rozčlenit na tyto postupy: Vyhledávání chyby Může jít o zpětnou kontrolu vlastní práce, může jít o kontrolu práce spolužáka v lavici. Může jít i o cvičení, kdy v množství správných výsledků je jeden špatný a žáci ho mají odhalit. U nadanějších žáků můžeme použít i odhalování logické chyby v algoritmu.

45

Určení typu chyby U určování typu chyby hodnotíme chybu z hlediska závažnosti (malá x velká), jak k chybě došlo (nepozornost, špatné naučení algoritmu, nepochopení učiva, či nelogické myšlenkové operace) a v jaké četnosti se chyba ve třídě vyskytuje. Po rozpoznání chybného výkonu je správné se zamyslet nad tím, zda chyba byla způsobena náhodně (omyl ve výpočtu, přehlédnutí), nebo zda ukazuje na nějakou zákonitost (žákem špatně naučené pravidlo, mylné chápání instrukce). Vysvětlení chyby Tento postup můžeme chápat dvojím způsobem:  Určení principu chyby - v čem spočívá, co se udělalo špatně. Zde pracují žáci ve skupinách, interpretují potom princip chyby.  Určení důvodu, proč k chybě žáka došlo – nepochopení učiva, špatná domácí příprava, styl učení, osobní problém – to řeší konkrétní žák společně s učitelem. Náprava chyby Cílem nápravy není jen odstranění chyby, ale to, aby se chyba stejného typu již neopakovala. Nápravu také můžeme vidět v rovině emoční, žák by neměl být z chyby frustrován, měl by mít radost z toho, že již chyby nedělá. V matematice je prostor pro práci s chybou veliký. Je možné tvořit úlohy, kde se vyskytuje chyba, žáci ji odhalují, vysvětlují a navrhují správné řešení. V matematických testech a testech OSP se úlohy tohoto typu vyskytují. Příprava takových úloh je časově velice náročná.

46

POJMOTVORNÝ PROCES Pojmotvorný proces je proces, kdy se nový pojem začleňuje do již existující kognitivní struktury. Nejedná se o zlomový nebo krátkodobý okamžik, nýbrž o náročný zdlouhavý proces, při kterém je nutné dodržovat základní zásady konstruktivistického přístupu. Tomuto problému se nejvíce věnovali prof. František Kuřina a prof. Jaroslav Hejný, kteří jsou tvůrci tzv. mechanismu poznávacího procesu. 4. Hladina 2. Hladinový přechod 3. Hladina 1. Hladinový přechod 2. Hladina 1. Hladina

Krystalizace Abstrakce Univerzální model Zobecnění Izolované modely Motivace

Při bližším se seznámení s touto myšlenkou zjistíme, jak minimalizovat možnost vzniku formálního učení pojmům a zamezení zárodku tzv. „bacilu“ formalismu. Poznávací pojmotvorný proces probíhá ve výuce neustále a automaticky. Pomocí vhodně zvolených úloh je možné velice rychle zjistit, na jaké hladině se žák pohybuje při práci s probíraným pojmem. Pojmotvorný proces lze v matematice dobře procvičovat technikou definování pojmů. Většinou se využívá aristotelská definice, tedy definování pomocí nadpojmu a specifické vlastnosti konkrétního pojmu (židle je nábytek sloužící k sezení). Můžeme definovat obecné pojmy (pes, rodina, internet), nebo abstraktní pojmy (radost, válka, násilí), ale i pojmy abstraktní matematické (co je to dělitel, rovnoramenný trojúhelník, pí, rovnice, promile…).

47

SEBEHODNOCENÍ, HODNOCENÍ ŽÁKŮ Při hodnocení se učitel musí držet Vyhlášky MŠMT č.48/2005 Sb. o základním vzdělávání. Také jsou doporučovány určité zásady. Zmiňme několik z nich:  učitel by měl dodržovat náročnost přiměřených rozměrů a chovat se taktně vůči žákovi  každý žák by měl čtvrtletní práce a jiné práce v rozsahu více jak 30 minut psát v odlišný den, na tento test učitel upozorní žáky minimálně týden dopředu a své kolegy zápisem do třídní knihy  učitel by měl při celkovém, ale také v každém dílčím hodnocení brát v potaz věkové a indispoziční zvláštnosti každého dítěte  učitel žáka hodnotí na základě podkladů, které může získat: - ústním zkoušením - písemným zkoušením - praktickým zkoušením - pohybovými a jinými testy - dlouhodobým sledováním práce žáka v hodině V posledním období klesá v hodnocení žáků role srovnávací a represivní, roste role motivační. Účelem hodnocení přestává být vzájemné porovnávání žáků, ale informování žáka, rodičů a učitelů, kam žák v učení došel, jaké mety dosáhl a v jaké kvalitě. Funkce školního hodnocení:  motivační  informativní  regulativní  výchovná  prognostická  diferenciační Důležitým typem hodnocení je autonomní hodnocení. To je u každého jedince individuální, každý má k sebehodnocení určité osobnostní dispozice, ale hodnocení sama sebe se dá naučit. Jde vlastně o to najít tu optimální míru - nepřeceňovat a nepodceňovat se.

48

SEBEHODNOCENÍ ŽÁKŮ Sebehodnocení není přínosné jen pro učitele, ale i pro žáky. Proto bychom je měli k tomuto sebehodnocení vést, učit je to. Žák, který provádí pravidelné hodnocení svých výkonů v učení, získává přehled o svých silných a slabých stránkách, poznává, co v procesu učení dělal špatně, co by mohl dělat jinak, automaticky se snaží o zlepšení výsledků své činnosti – dochází k sebeřízení procesu učení. Další přínos je jistě i v rovině emoční, kdy lépe snáší kritiku, protože si je vědom svých předností a nedostatků, plánuje své zlepšení, není zaskočen. Existuje propojení mezi sebehodnocením a hodnocením ze strany okolí. Dítě, které je stále kritizováno rodiči či učiteli, začne toto hodnocení přejímat. Reaguje pak buď vzdorem, nebo se začne považovat za opravdu neschopné. Ani v jednom případě nedojde ke zvýšení motivace k učení a zodpovědnosti, spíše ke zhoršení jeho studijních výsledků. Reálné sebepojetí je základem pro rozvoj přiměřeného sebevědomí. Jedinci s přiměřeným sebevědomím mají přiměřenou sebedůvěru, dokážou realisticky posoudit vlastní možnosti, volí si cíle vhodné vzhledem ke svým schopnostem. Jejich sebepojetí není příliš závislé na aktuálním úspěchu či neúspěchu, snesou kritiku i srovnávání s ostatními. Nejsou závislí na hodnocení druhými osobami. Děti s adekvátním sebevědomím jsou k učení (učební činnosti) motivovány více vlastním zájmem, touhou po poznání. Přiměřené sebevědomí vytváří jeden ze základních předpokladů úspěšnosti člověka. Na rozdíl od sníženého sebevědomí neoslabuje kvalitu vnímání, pozornosti či paměti. (Eva Urbanovská, katedra psychologie a patopsychologie PdF UP Olomouc, článek v Kritických listech.) Metody sebehodnocení a hodnocení kolektivem můžeme využívat i v matematice. Necháme ohodnotit výkon žáka třídou a také samotným žákem. Z mé zkušenosti se třída velice často shoduje na společném hodnocení, nedochází tam ani k ubližování či protekci z kamarádství. Dost často se stává, že se učitel se žáky neshoduje. Samozřejmě známka je na něm, ale měl by vysvětlit své důvody a odlišnosti od hodnocení skupinového. Svého kolegu žáci hodnotit umí, ale sebe sama většinou ne - častější je sebepodceňování. Rozdíl od objektivního hodnocení je až dva stupně.

49

HEURISTIKA, OBJEVOVÁNÍ, ODHADOVÁNÍ Heuristika (z řec. heuréka = objevil jsem, nalezl jsem) je věda zkoumající tvůrčí myšlení, také heuristickou činnost, tj. způsob řešení problémů. Za heuristické metody se považují ty, které nevycházejí ze znalosti konkrétního, přesně daného algoritmu, ale které jsou ve své podstatě pouze odhady. Heuristické řešení úlohy je často založeno na intuici, zkušenosti nebo selském rozumu. Zde si musíme uvědomit, že naše zkušenost s daným pojmem nebo algoritmem nemusí být dobrá, pak slouží pouze k vyloučení jedné možnosti. Na základě heuristické metody se rozvíjí metoda pokusu a omylu, kdy jedinec své výsledky často pouze odhaduje na základě intuice. Výhodou heuristiky je, že dochází k postupnému zlepšování prvního odhadu a tato metoda je univerzálně použitelná. Nevýhodou je, že zpravidla tímto způsobem nezískáme přesné nebo nejlepší řešení. Zaměříme-li se na Pólyovu knihu Jak to vyřešit, najdeme v ní několik postupů, které se v heuristice běžně používají. Mezi tyto postupy patří zejména:  podívejte se na problém  pokud mu nerozumíte, zkuste si nakreslit obrázek  pokud nemůžete najít řešení, zkuste předpokládat, že ho máte a podívejte se, zda z něj nemůžete získat postup („práce odzadu“)  jestliže je problém abstraktní, zkuste nejdříve řešit konkrétní příklad  zkuste nejprve řešení obecnějšího problému ("paradox vynálezce", tzn. čím ambicióznější plán, tím lepší jsou vyhlídky na jeho dokončení) Objevování se v procesu učení vyskytovalo vždy, naše zrychlená doba dbala donedávna na předávání hotových informací, hlavně, aby se toho stihlo hodně. V poslední době si však uvědomujeme, že právě tvořivé (hravé) osobnosti posouvají poznání za jeho současné hranice. Ve škole má heuristika podobný problém jako ve společnosti. Při zařazení heuristických metod se nám jeví tempo výuky příliš pomalé, učivo rozmělněné a každý žák získává vlastně jiné či jinak hluboké poznatky. Ziskem těchto metod je však hlubší, silnější poznatek než při transmisivním vyučování, kvalitnější myšlenkové operace žáka a hlavně radost z objevu, z poznání. Učitel při využití těchto metod poznatky žákům nesděluje, jen usměrňuje jejich činnost, svítí jim na cestu. Obecné principy konstruktivismu, který je na objevování založen, rozvíjejí mnozí pedagogové (již je vytvořen konkrétní systém výuky až na úroveň výukových jednotek).

50

DIDAKTICKÉ HRY „U člověka je hra jedna ze základních forem činností (vedle práce a učení), pro niž je charakteristické, že je to svobodně volená aktivita, která nesleduje zvláštní účel, ale cíl a hodnotu má sama v sobě.“ (Maňák J., Švec V., 2003, str. 126) Hra je pro děti jednou z nejdůležitějších činností vůbec. Dítě pomocí hry získává kompetence, které využívá v dalším životě.  Učí se smyslovému vnímání  poznává okolní svět  poznává samo sebe  učí se přijímat pravidla a vzorce chování  učí se řešit problémy  přijímá myšlenkové postupy, upevňuje si je  vytváří emoční vzorce, principy mezilidských vztahů  hra je způsobem seberealizace a učí sebehodnocení Z hlediska neurologie můžeme hru považovat za vytváření synapsí mezi neurony, které fungují nadále jako naučené cesty spojení neuronů, což je vlastně výsledek procesu učení. Hra je později a postupně nahrazována prací, v dospělosti u značného počtu jedinců potřeba hry zaniká. U žáků předškolního, mladšího školního věku a staršího školního věku však tuto potřebu najdeme, ti navrženou hru vesměs přijímají. Zkušenosti hovoří, že u adolescentů je situace různá, v některých skupinách stejnou hru nadšeně přijímají, jiná skupina ji otráveně bojkotuje. Problémem v současné době je, že potřebu dětí hrát si ovládly komerční společnosti a produkují jednu hru za druhou. Zvláště elektronické hry jsou založeny především na soutěživosti a konkurenčním boji. Hra bez vítěze není zajímavá. Přijímání jisté dávky soutěže je jistě žádoucí, ale hra by měla rozvíjet i kooperativní složku osobnosti, kreativitu, estetické a kognitivní kompetence. Často řešenou otázkou je agresivita komerčních her. Objevují se názory, že vybitá agrese ve hře snižuje agresivitu v životě, ale také názor, že agrese ve hře dává vzory pro agresi v životě. Jisté však je, že pojmy jako ztráta života, bolest, utrpení jsou dětmi vnímány jako neutrální, někdy je hra vede k vnímání agrese (zabití, zničení) jako vítězství, tedy radosti.

51

Pedagogická (didaktická) hra rozvíjí celou stránku osobnosti dítěte. Rozvíjí i psychiku, představivost, prožívání. Hra podporuje samostatnost, aktivitu. V matematice je prostor pro didaktickou hru výrazný. Například stolové hry (šachy, go, logik) rozvíjejí stejný aspekt myšlení jako matematika. Vhodné jsou hry typu Myslím si číslo či grafické hry typu piškvorek, hra Nim (mnoho variant, např. odebírání 0, 1, 2 sirek), řešení hádanek…). Do výuky můžeme zařadit i strategické hry či objevování principu – vítězné strategie jednodušší hry.

52

PROCVIČOVÁNÍ DIVERGENTNÍHO MYŠLENÍ Logika tě dostane z bodu A do bodu B. Představivost tě dostane kamkoliv. Albert Einstein Člověk vnímá skutečnost pomocí smyslového poznání. Podnět zrakového, sluchového, čichového či hmatového charakteru je mozkem přijímán jako obraz reality, který je přeměněn v určitý symbol. Jestliže mozek pracuje již s těmito symboly, tento proces je nazýván myšlení. Myšlení pracuje jednak s konkrétními symboly (tento černý svetr) nebo si vytváří zástupce podobných symbolů, vzniká abstraktní pojem – např. pes (všechna podobná zvířata se specifickými vlastnostmi), nebo láska či proměnná. O pojmech pak tvoříme soudy, soudy pak spojujeme v úsudky. Myšlení se rozvíjí učením. I když existují „hranice lidského myšlení“ (individuální i obecné), zcela jistě lze myšlení rozvíjet. Jak jsme již zmínili, myšlení můžeme dělit na konvergentní a divergentní. Konvergentní neboli sbíhavé myšlení směřuje k jednomu cíli, k vyřešení problému. V matematice i ve školní matematice je konvergentní myšlení dominantní. Většina úloh směřuje k jednomu správnému řešení, postupujeme algoritmicky s využitím logických úprav (například řešení rovnice, nebo konstrukce geometrického útvaru). Divergentní (rozbíhavé) myšlení směřuje k většímu počtu řešení, či asociací a nápadů. V matematice je využíváno jen zřídka (úlohy o neurčitosti, diofantovské rovnice). Divergentní myšlení využívá především kreativitu. Divergentní úlohy jsou v matematice využívány bohužel málo. Konvergentní řešení rozvíjí především vnímání, koncentraci, rozlišování, analýzu ale i syntézu, dedukci i indukci, využívání informací, schopnost definování, úsudků, logiky. Divergentní myšlení rozvíjí hravost, fantazii, tvořivost, schopnost objevovat, hledat alternativy, ovlivňující faktory, originalitu. Konvergentní myšlení je z hlediska kognitivní psychologie daleko více prozkoumané než myšlení divergentní. Je založeno na algoritmizaci procesu řešení problému, tedy na synapsích v neuronové síti. Jak funguje divergentní myšlení, nevíme, do vzniku nápadu se zapojuje intuice, dochází k procesu vhledu.

53

Divergentní myšlení, nápaditost, tvořivost, originalita je ve škole velice málo rozvíjena. Úlohy na divergenci myšlení jsou úlohy typu:  uveď všechny způsoby použití…  uveď všechny faktory, které ovlivňují…  uveď všechna rizika, výhody a nevýhody  co nejvíce slov začínajících…  co nejvíce vět, které by mohl říct… V matematice můžeme divergentnost rozvíjet pomocí úloh s neurčitým řešením typu: Kolika dvoukorunami a kolika pětikorunami mohu zaplatit 31 Kč? Na ciferníku vyznačte všechny body tak, aby tvořily čtverec. Který tarif je v jaké situaci výhodnější?

54

KOOPERATIVNÍ VYUČOVÁNÍ Kooperativní vyučování zahrnuje různé metody skupinové práce, které jsou založeny na spolupráci žáků v malých skupinách. Kooperace nespočívá jen ve spolupráci na řešení daného problému, ale i v plánování a řízení procesu řešení, v rozdělení rolí, způsobu řešení neshodných názorů, způsobu kontroly a hodnocení. Učitel sleduje a usměrňuje práci všech skupin, dohlíží na efektivitu a zásady kooperace skupiny, naznačuje směr úvah, pokud se odlišují od vytčeného cíle. Rysy kooperativní výuky:  Vzájemná závislost členů skupiny – úspěch záleží na všech jednotlivcích skupiny, musí si vzájemně pomáhat a spoléhat na sebe.  Neustálá interakce jednotlivých členů ve skupině, ale i skupin navzájem.  Individuální odpovědnost každého člena skupiny. Žák se snaží pro úspěch skupiny udělat maximum, každý nedostatek v práci je poznatelný a autorizovatelný.  Formování sociálních vztahů ve skupině, od odpovědnosti k toleranci a vzájemné pomoci.  Zpětná vazba skupiny. Každý jedinec vnímá, jak skupina bere a hodnotí jeho práci. Velice důležité je vhodné rozdělení žáků do skupin. Mělo by být po všech stránkách heterogenní a pestré, ať z hlediska pohlaví, školní úspěšnosti, sebeprosazování, komunikačních nebo jiných speciálních schopností. Hodnocení není prováděno individuálně, ale celá skupina má stejné hodnocení. Pokud je ve všech skupinách řešen podobný a stejně obtížný úkol, lze porovnávat výkony a kvalitu práce jednotlivých skupin. Určitým druhem kooperativního vyučování je kooperativní hra. Jde o hru, založenou nikoliv na soutěži, ale na spolupráci všech členů týmu. Kooperativní hra má své postavení ve světě elektronických her, je možno ji použít i ve školní praxi. Žákům přináší pozitivní emoce, především:  radost ze spolupráce  radost z přijetí skupinou  radost z pocitu sounáležitosti  radost ze samotného hraní a uvolněné atmosféry V matematice lze kooperativní výuku včetně kooperativní hry využít při řešení složitějších slovních úloh, při řešení hádanek a logických záhad nebo například při přípravě výkladu určitého tématu pro zbytek třídy, při konstrukci složitějších geometrických útvarů, při zadání geometrických úloh pro jinou skupinu, tvorbě origami či útvarů fraktální geometrie…

55

PRÁCE S MATEMATICKÝM TEXTEM Dnes je těžší než najít zdroj, informaci v informačním mraku vyhledat a vypreparovat. Proto vznikají pro práce s informacemi výukové metody především pro manažery, které pronikají postupně i do prostředí školy. Jsou to zejména metody způsobů učení, metody zvýšení efektivity paměti, ale především práce s textem. Většinu informací dnes přijímáme v textové podobě ať již v tištěných či elektronických médiích. Prací s textem obvykle rozumíme výukovou metodu založenou na zpracovávání textových informací, jejichž využití směřuje k osvojení nových poznatků, k jejich rozšíření a prohloubení, popř. k jejich upevnění, fixaci. Aktivita je na straně žáka, učitel je jen usměrňujícím, monitorujícím a revidujícím elementem. Finálním výsledkem není jen zapamatování si textu, ale porozumění a schopnost aplikace získané informace v jiném kontextu. Zpracováním textových informací se zabývají různé teorie, nejznámější je kritické čtení a kritické myšlení. Důležitost práce s textem pro učení a studium si uvědomují i tvůrci různých srovnávacích testů a zařazují je mezi základní obecné studijní předpoklady. S určitou výbavou této schopnosti se člověk rodí, větší část je však získatelná cvičením. Hodnotí se nejen porozumění, např. zadání slovní úlohy, ale vyvozování informací z běžného textu, který obsahuje množství kvantitativních údajů, nebo také vyvozování z tabulky, porozumění grafům a schématům. Čtení matematických textů je ještě o stupeň náročnější než práce s běžnými nematematickými materiály. Je to především proto, že matematický text:  má větší hustotu a konzistenci informací  vyskytují se v něm matematické pojmy, grafické symboly a schémata, běžný text, mozek tedy musí přepínat mezi různými slovníky  je zde větší frekvence abstraktních pojmů s nejvyššími stupni abstrakce Při analýze matematického textu jde především o tzv. matematizaci reálné situace, tedy „přeložení“ reálného textu do jazyka matematiky, kdy budu umět daný problém řešit. Stejně významný je i opačný proces - převedení matematického výsledku do reálné situace. Podle mezinárodního výzkumu PISA probíhá matematizace v pěti krocích.

56

1. Přistoupení k problému situovanému do reality 2. Uspořádání problému s využitím matematických pojmů a určení jeho matematické podstaty 3. Postupné opouštění reality při provádění postupů jako formulování předpokladů, zobecňování, formalizování. Tím se zdůrazní matematické aspekty situace a reálný problém se převede na matematický problém, který věrně reprezentuje situaci (tzv. matematický model reálné situace) 4. Řešení matematického problému 5. Posouzení smyslu matematického řešení s ohledem na reálnou situaci včetně určení mezí platnosti řešení Velice vhodné je zařazení práce s textem s vytvářením a využíváním grafického schématu, kdy propojení mezi reálnou situací a její matematickou obdobou usnadní vizualizace. Pro vizualizaci problému (vytváření si náčrtků, schémat, symbolů…) hovoří:  Dochází k zapojení obou hemisfér, tedy k rozložení zátěže mezi ně.  Většinou chytří žáci jsou velice zbrklí a snaží se co nejrychleji odpovědět. Vizualizace je zbrzdí a donutí přemýšlet více do hloubky.  Slabším žákům pomáhá vizualizace k lepšímu pochopení podstaty problému.  Vizualizace vlastně zařazuje vedle textového a matematického další slovník, žáci lépe procvičují převody mezi slovníky. Matematizace textu je základní součástí výuky matematiky. Používáme ji především ve slovních úlohách. Zde je kognitivně cennější pochopení problému a jeho matematizace než vlastní matematický výpočet. Kromě slovních úloh bychom měli zařazovat do výuky i čtení tabulek, grafů, schémat s úlohami na vyvozování s použitím základních operací: Kolik získali za tři roky dohromady? Kolik to tvořilo z celkového počtu? Proč tento rok měli méně? Vyskytl se ještě někdy takto silný rok?

57

13. Zdroje 

Robert Fischer: Učíme děti myslet a učit se, Nakladatelství Portál, Praha 1997, 176 s, ISBN 80-7178-120-7



Tony Buzan: Mentální mapování, Portál 2005, ISBN 978-80-7367-200-3



Dagmar Sitná: Metody aktivního vyučování, Portál 2009, ISBN 978-80-7367-246-1



Maňák Josef, Švec Vlastimil: Výukové metody, Paido 2003, ISBN 80-7315-039-5



Petty Geoffrey: Moderní vyučování, Portál 2008, ISBN 978-80-7367-427



Alena Vališová, Hana Kasíková: Pedagogika pro učitele, Grada 2010, ISBN 978-80-2473357-9



M. Hejný, F. Kuřina: Dítě, škola a matematika



D. Jirotková: Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie



Polya, George (1945) How To Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02356-5 ISBN 0-691-08097-6



http://cs.wikipedia.org/wiki/Heuristika - cite_ref-2Daniel Kahneman, Amos Tversky and

Paul Slovic, eds. (1982) Judgement under Uncertainty: Heuristics & Biases. Cambridge, UK, Cambridge University Press ISBN 0-521-28414-7 

Maňák Josef: Cesty pedagogického výzkumu, Paido 2004, 78 s., ISBN 80-7315-078-6



Pecina Pavel: Tvořivost ve vzdělání žáků, 1. vyd., Masarykova univerzita 2008, 99 s., ISBN 978-80-210-4551-4



Königová Marie: Tvořivost: techniky a cvičení, Grada Publishing 2007, 188 s., ISBN 80247-1652-6



JŮVA, V. sen. a jun. Úvod do pedagogiky. Brno: Paido, 1999.



JŮVA, V. et al. Základy pedagogiky (pro doplňující pedagogické studium). Brno: Paido, 2001.



PRŮCHA, J. Moderní pedagogika. Praha: Portál, 1997.



SVOBODOVÁ, J., ŠMAHELOVÁ, B. Kapitoly z obecné pedagogiky. Brno: MSD, 2007.



ŠVEC, Š. et al. Jazyk vied o výchove. Bratislava: Filosofická fakulta UK, 2002.

Na zpracování publikace se podíleli: Mgr. Dagmar Balvínová, Mgr. Monika Hanzalová, Mgr. Jana Hassmanová (metodik), Mgr. Jiří Henzl, Mgr. Kamila Krčová, Mgr. Iva Meitnerová, Mgr. Marta Mrnková, Mgr. Ivana Reihsová, Mgr. Eva Svobodová, Mgr. Marie Šrajberová Zpracovatel publikace:

SPVV Společnost pro vzdělávání a výzkum s.r.o.

Vydání:

říjen 2013

58