1. Úvod do měření. 1.1 Měření fyzikálních veličin

1. Úvod do měření 1.1 Měření fyzikálních veličin

Zopakujte si poznatky získané v rámci předmětu „Úvod do teorie měření“. Přehled těchto poznatků naleznete např. v publikaci NOVÁK, R. Úvod do teorie měření (opora). 1. vyd. Ústí nad Labem: PF UJEP, 2003. ISBN 80-7044-527-0. Proces fyzikálního měření obvykle rozdělujeme na tři etapy: 1. příprava měření 2. vlastní měření 3. zpracování výsledků měření

Ad 1. Pozorovatel musí být do podrobnosti seznámen se všemi úkoly měření, které bude provádět, a také musí dobře ovládat fyzikální problematiku oboru, do něhož měření spadá. Vzhledem k požadované přesnosti měření je nutno rozhodnout, které přístroje se k měření použijí, případně se určí způsob jejich uspořádání. Dále před měřením musí pozorovatel zvážit, které vnější vlivy na ně mohou působit a do jaké míry mohou pozměnit údaje měřících přístrojů (zejména teplota, tlak a vlhkost okolního vzduchu, ale také např. mechanické otřesy, přítomnost různých magnetických polí atp.). Správnost a přesnost měření je dána jednak způsobem, jakým veličiny měříme, jednak přístroji, které k tomu použijeme. Přesnost měření závisí rovněž na zručnosti a zkušenostech pozorovatele, který je provádí. Díky různým klamům a omezené rozpoznávací schopnosti smyslových orgánů lze říci, že měření je tím přesnější, čím více a důsledněji se v jeho průběhu smyslové orgány nahrazují přístroji (podle míry zastoupení použití smyslových orgánů při měření nazýváme měření subjektivním či objektivním). Použitá měřící metoda závisí na druhu a povaze měřené veličiny. Dále samozřejmě závisí na tom, ze kterých vztahů pro měřenou veličinu vycházíme, které přístroje použijeme a v jakém uspořádání. Měřicí metody rozlišujeme podle různých hledisek: • •

•

přímé × nepřímé: přímými metodami měříme veličiny na základě jejich definice, všechny ostatní metody měření nazýváme nepřímými; absolutní × relativní (srovnávací): metody absolutní poskytují absolutní hodnotu hledané veličiny vyjádřenou v absolutních jednotkách. Relativní metody udávají poměr dvou veličin téhož druhu (srovnání s etalonem či standardem); statické × dynamické: takto jsou měřící metody děleny z hlediska časové změny měřených veličin.

Ad 2. Vlastnímu měření jsou věnovány návody k jednotlivým laboratorním úlohám. Ad 3. Zpracování výsledků měření je neméně důležité než měření samotné. V následujícím textu se budeme věnovat zejména chybám měření. V klasické fyzice předpokládáme, že měřené veličině přísluší jediná „správná“ hodnota, označme ji např. X. Opakujeme-li měření téže fyzikální veličiny za

1

(subjektivně) stejných podmínek několikrát za sebou, zpravidla dostáváme různé hodnoty. Absolutní chybou jednoho měření (označ. ∆X) budeme rozumět rozdíl mezi správnou hodnotou X a hodnotou X‘ získanou z měření, tedy je ∆X = X – X´‘. Pro vyjádření chyby, kterou vztahujeme vůči naměřené veličině, užijeme vztah

δX =

∆X X´ =1− . X X

(1)

Takto definované chybě měření říkáme relativní chyba měřené veličiny a nejčastěji ji vyjadřujeme v procentech. Tyto dvě chyby mají rozdílný charakter - absolutní chyba je veličina mající rozměr, kdežto relativní chyba rozměr nemá. Výhoda relativní chyby tedy spočívá v možnosti porovnat přesnost měření fyzikálních veličin s různým rozměrem. Chyby podle původu můžeme dělit na: a) systematické (často také nazývané chyby metody) – zkreslují výsledek určitým způsobem a s jistou pravidelností (původ je nejčastěji v použité metodě a měřícím přístroji nebo v samotném pozorovateli. Tato chyba se dá zjistit, potažmo zcela vyloučit, např. měřením dané veličiny jinou metodou, případně jinými přístroji (popřípadě změnou pozorovatele). Velké neboli hrubé chyby, k nimž dochází nedostatečným soustředěním pozorovatele na měření, se poznají, jestliže měření několikrát opakujeme. Taková měření zcela vypouštíme z dalšího zpracování (viz dále 3σ interval). Systematické chyby mohou vzniknout i při vyhodnocování výsledků měření (např. při zaokrouhlování). b) náhodné (často také nazývaná chyby statistické) – nenesou znaky pravidelnosti, jako tomu je u systematických chyb. Opakujeme-li měření téže veličiny za „týchž“ podmínek několikrát za sebou, zjistíme, že výsledky jednotlivých měření se obecně navzájem poněkud liší, aniž dovedeme udat přesnou příčinu těchto odchylek. Rozptyl výsledků měření souvisí s nejrůznějšími, často těžko postřehnutelnými, změnami uvnitř přístroje i se změnami vnějších podmínek. Těchto navzájem téměř nezávislých vlivů může být velmi mnoho a jejich příspěvek k celkové chybě měření je těžko postižitelný, takže původ náhodných chyb lze vidět skutečně v náhodě. K vyšetřování náhodných chyb je tedy nutno použít metod počtu pravděpodobnosti. K tomu, abychom ze souboru naměřených hodnot získali informace o skutečné hodnotě naměřené veličiny, je třeba určit velikosti systematické chyby i náhodných chyb. Pro určení náhodných chyb jsou vypracovány přesně určené postupy vycházející přímo z naměřených hodnot (viz dále). Pro určení systematické chyby taková obecná pravidla neexistují, tuto chybu je nutné víceméně odhadnout. Systematické chyby při vyhodnocování můžeme ve fyzikálním praktiku částečně eliminovat např. srovnáním výsledků s údaji v učebnicích, tabulkách apod. Pomocí metod matematické statistiky a teorie pravděpodobnosti, a za předpokladu, že výsledky fyzikálních měření můžeme považovat za náhodné veličiny (řídí se tzv. normálním zákonem rozdělení) lze ukázat, že „správnou“ hodnotu měřené veličiny lze při n provedených měřeních s výsledky a1, a2, …, an nejlépe aproximovat aritmetickým průměrem naměřených hodnot, tj.

2

a=

1 n ∑ ai n i =1

,

(2)

přičemž míra přiblížení se ke skutečné hodnotě (tj. stupeň aproximace) bude tím větší, čím větší bude n. Pro aritmetický průměr platí, že součet tzv. zdánlivých odchylek definovaných vztahem ∆ ai = a − ai je vždy roven nule, a že součet čtverců odchylek je pro takto zavedenou aproximaci správné hodnoty nejmenší. Dále lze za uvedených předpokladů ukázat, že více než 99,7 % všech naměřených hodnot se při velkém počtu měření nalézá v intervalu (ā – 3σ, ā + 3σ), přičemž veličina

(

∑ a − ai n −1

σ =

)2

(3)

se nazývá střední kvadratická chyba jednoho měření. Každý výsledek měření, který přesahuje tento interval, z dalšího zpracování výsledků vypouštíme (pak je ovšem nutno znovu vypočítat aritmetický průměr a chybu měření). Jiným kritériem k hodnocení přesnosti měření (ovšem závislým na σ) je tzv. pravděpodobná chyba jednoho měření. Je dána vztahem

ϑ=

∑ (a − ai n −1

2 3

)2

(4)

a značí, že pravděpodobnost toho, že při jednom daném konkrétním měření naměřená hodnota „padne“ do intervalu (ā - ϑ, ā+ϑ), je jedna polovina. Parametry σ a ϑ ovšem hodnotí pouze přesnost výsledku jednotlivého měření. My však výsledek měření aproximujeme aritmetickým průměrem naměřených hodnot, takže pro zhodnocení výsledků budou mít význam parametry charakterizující rozptyl aritmetického průměru. Ukazuje se, že stačí násobit chyby pro jednotlivá měření faktorem

1

, z čehož plyne vztah pro střední kvadratickou chybu aritmetického

n

průměru

(

)2

∑ a − ai n(n − 1)

σ =

(5)

a pro pravděpodobnou chybu aritmetického průměru

ϑ =

2 3

(

∑ a − ai

)2

n(n − 1)

.

(6)

Pro konkrétní výpočet je často vhodnější zaměnit vzorce pro střední kvadratickou (5) a pravděpodobnou chybu (6), kde se užívá součet čtverců chyb, za vzorce, v nichž se vyskytuje součet prvních mocnin zdánlivých chyb, a to pouze jejich

3

kladných hodnot. Počítáme-li výsledné chyby tímto způsobem, mluvíme o tzv. metodě kladných odchylek. Tato metoda má výhodu především v tom, že je vhodnější pro rychlý výpočet. Pro střední kvadratickou a pravděpodobnou chybu aritmetického průměru pak dostaneme vztahy σ ≈

+ 5 ∑ ∆ ai 2 n n −1

, ϑ ≈

+ 5 ∑ ∆a i 3 n n −1

,

(7)

kde ∆ai+ jsou kladné hodnoty zdánlivých chyb jednotlivých měření (podrobnější výklad této problematiky naleznete např. v [2] na str. 41). Chyba aritmetického průměru nám spolu s aritmetickým průměrem poskytuje úplnou informaci o skutečné hodnotě X, kterou můžeme získat z naměřeného souboru. Skutečná hodnota měřené veličiny pak leží s pravděpodobností ½ v intervalu (a − ϑ , a + ϑ ) . Při zpracování výsledků měření udáváme hodnotu aritmetického průměru ā jako nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny a a obvykle střední kvadratickou chybu σ , nebo pravděpodobnou chybou ϑ tohoto průměru. Výsledek pak uvádíme ve tvaru a = ā ± σ , či a = ā ± ϑ . Výsledkem měření tedy není přesné číslo rovné skutečné hodnotě měřené veličiny, ale interval, v němž skutečná hodnota leží s jistou pravděpodobností. Při zpracování výsledků měření je často nutné znát pojem počet platných míst nějakého čísla. Zaveďme proto pravidla, která tento pojem objasní: a) První nenulová číslice (zleva) v zápisu daného čísla zaujímá nejvyšší platné místo. V následujících číslech je číslice zaujímající nejvyšší platné místo podtržena: 130,05; 0920; 0,0086. b) U čísel s desetinnou čárkou zaujímá poslední udaná číslice (včetně nuly) nejnižší platné místo (tedy např. 123,05; 0,0035;123,00). c) U čísel bez desetinné čárky zaujímá nejnižší platné místo poslední nenulová číslice (tedy např. 0120; 13; 13 000). d) Počet platných míst nějakého čísla je počet číslic mezi nejvyšším a nejnižším platným místem včetně. Následující čísla mají tedy čtyři platná místa: 1 234; 123 400; 123,4; 1,001; 1,000; 10,10; 0,000 1010;100,0. Chybu výsledku zaokrouhlujeme na jedno, nejvýše na dvě platná místa. Pokud výsledek nepoužíváme k dalším výpočtům, stačí se omezit na jedno platné místo. Pokud s ním provádíme další výpočty, je lepší uvést dvě platná místa, abychom snížili chyby ze zaokrouhlování. Aritmetický průměr pak zaokrouhlíme na číslici téhož řádu, jako je nejnižší platné místo chyby. Příklady: a) Správně zapsané výsledky měření 1. S chybou udanou na jedno platné místo: a = (23,5 ± 0,6) mm nebo a = (2,35 ± 0,06).10-2 m T = (327 ± 4) K P = (9 600 ± 100) W nebo P = (9,6 ± 0,1) kW

4

2. S chybou udanou na dvě platná místa: a = (23,49 ± 0,56) mm T = (327,0 ± 4,5) K P = (9 630 ± 120) W b) Nesprávně zapsané výsledky měření 1. r = 0,587234810 ± 0,009932871 Oprava: není zaokrouhlena chyba, není zaokrouhlen aritmetický průměr, není uvedena jednotka. Správně má být: r = (0,59 ± 0,01) cm nebo r = (5,9 ± 0,1) mm nebo r = (5,9 ± 0,1).10-3 m. Máme-li zpracovat sérii n (přímých) měření provedených za stejných podmínek a určit celkový výsledek, postupujeme takto: 1. Z naměřených hodnot ai určíme známým způsobem aritmetický průměr ā a střední kvadratickou chybu jednoho měření σ. 2. Vyloučíme hrubé chyby (tj. ta měření, která přesáhnou interval hodnot (ā – σ, ā + σ), znovu určíme ā a σ (popř. ϑ) a z těchto „nových“ hodnot určíme i σ (resp. ϑ ). 3. Hledáme a korigujeme systematické chyby (viz dále). 4. Chybu měření i aritmetický průměr zaokrouhlíme. 5. Výsledek a celého měření (tj. výslednou hodnotu měřené veličiny) zapíšeme ve tvaru: a = ā ± σ ( ϑ ) a zpravidla uvádíme i relativní chybu danou podílem užité chyby a průměru. Pokud hledanou veličinu přímo neměříme, ale vypočítáváme ji z naměřených veličin podle příslušného fyzikálního vztahu, mluvíme o měření nepřímém. Poněvadž v měřených veličinách se vyskytují vždy jisté chyby, musí se také hledaná veličina vyznačovat určitou chybou. Budeme předpokládat, že fyzikální veličina X, kterou zjišťujeme, je funkcí n veličin a, b, c, … obsažených v daném vzorci, tj. X = f(a, b, c, …). Chyby, s nimiž jsou měřeny veličiny a, b, c, …, označíme ∆a, ∆b, ∆c, …, a budeme je nadále považovat za kladné veličiny; mohou to být jak chyby odhadnuté před měřením, tak střední nebo pravděpodobné chyby měřených veličin apod. V tomto případě je maximální chyba výsledku dána výrazem

(∆X )max

=

∂f ∂a

∆a +

∂f ∂b

∆b +

f ∂c

∆c + ...

(8)

Střední chybu výsledku pak udává výraz 2

2

2

2  ∂f  2  ∂f  2  ∂f  ∆X =   (∆a ) +   (∆b ) +   (∆c ) + ...  ∂a   ∂b   ∂c 

(9)

Častěji se k ohodnocení přesnosti měření dané veličiny X užívá střední relativní chyby, která je dána vztahem

5

2

∆X X

=

2

2

2  ∂f  2  ∂f  2  ∂f    (∆a ) +   (∆b ) +   (∆c ) + ...  ∂a   ∂b   ∂c  f (a , b, c,... )

.

(10)

Z uvedeného vyplývá, že v případě nepřímého měření nemá prakticky smysl měřit jednu veličinu mnohem přesněji než druhou. Veličiny vystupující v součtu či rozdílu měříme proto s přibližně stejnou relativní chybou, veličiny vystupující v mocnině se snažíme měřit přesněji, nežli veličiny, které jsou v první mocnině (popř. odmocnině). Přesnost hledané veličiny X, jež je funkcí více měřených veličin a, b, c, …, můžeme hodnotit nejen pomocí maximální chyby a střední relativní chyby, ale též pomocí nám již známé pravděpodobné chyby ϑ (X). Podmínkou je, že známe pravděpodobné chyby ϑ ( a ), ϑ (b), ϑ ( c ),.... jednotlivých měřených veličin. Pak se pravděpodobná chyba výsledku, s jakou je určena hledaná veličina X = f(a, b, c, …), dá vyjádřit vzorcem 2 2 2  ∂f   ∂f   ∂f  2 2 2  ϑ (a ) +   ϑ (b ) +   ϑ (c ) + ... .  ∂a   ∂b   ∂c 

ϑ (X ) = 

(11)

Při dosazování do tohoto vzorce musíme dbát na to, aby pro každou veličinu pravděpodobná chyba ϑ a sama příslušná veličina byly udány ve stejných jednotkách. Uveďme nyní chyby pro některé důležité funkce: 1) Pro funkci f dvou proměnných tvaru f(x,y) = px ± qy, kde p a q jsou nějaké konstanty a x a y jsou nějaké přímo měřené veličiny s chybami např. ϑ (x) a ϑ ( y) , jsou parciální derivace rovny

∂f ∂f = ± q , a tedy chyba výsledku je dána = pa ∂y ∂x

vztahem ϑ ( f ) = p 2ϑ 2 (x ) + b 2ϑ 2 ( y ) . Všimněme si, že pro veličinu f = x – y, je f = x − y a relativní chyba δf =

p 2ϑ 2 (x ) + b 2ϑ 2 ( y ) x−y

, může pro malou hodnotu rozdílu

měřených veličin x, y nabývat značných hodnot. Z toho tedy plyne, že určování rozdílu dvou přibližně stejně velkých veličin může být zatíženo velkou relativní chybou. Proto se takovým metodám, kdy je výsledná veličina určena např. rozdílem dvou veličin, raději vyhýbáme. 2) Je-li veličina (funkce) f dána součinem dvou jiných veličin (značení veličin je stejné ∂f ∂f = ± py , = ± px jako v bodě 1) f = ± pxy, pak je ∂x ∂y a ϑ ( f ) = p 2 y 2ϑ 2 (x ) + p 2 x 2ϑ 2 ( y ) , druhá mocnina relativní chyby nám poskytuje pro výpočet „příjemnější“ tvar (δf )2 =

ϑ 2( f ) f

2

=

6

p 2 y 2ϑ 2 (x ) + p 2 x 2ϑ 2 ( y ) p2x 2 y2

= (δx )2 + (δy )2 .

x y

3) Nechť platí, že f = ± p , z toho ϑ(f )=

p2

p2x 2

y

y4

ϑ 2 (x ) + 2

∂f p =± ∂x y

a

px ∂f =m 2 ∂y y

, a tedy chyba výsledku

ϑ 2 . Lze snadno nahlédnout, že druhá mocnina relativní

chyby δf je vyjádřena stejným jednoduchým výrazem jako ve druhém případě a celkovou chybu výsledku snadno spočítáme násobením δf aritmetickým průměrem. Pro výpočet chyb součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou měřených veličin se A = a ± α , B = b ± β můžeme použít také následujících zjednodušujících vztahů A ± B = ( a ± b) ± (α + β )

(12)

A ⋅ B = ab ± (

(13)

α

a

+

β

b A a α β a = ±( + ) B b a b b

) ab

(14)

Pro relativní chybu součinu a podílu tedy platí

δ ( A ⋅ B ) = δ ( A) + δ ( B ) A B

δ ( ) = δ ( A) + δ ( B )

(15) (16)

Výsledná absolutní chyba součtu nebo rozdílu dvou měřených veličin je tedy dána součtem jejich absolutních chyb a výsledná relativní chyba součinu nebo podílu těchto veličin je dána součtem jejich relativních chyb. Bylo by ovšem mylné se domnívat, že chybu měření je možné libovolně zmenšovat se zvyšováním počtu měření. Do chyby výsledků měření je samozřejmě potřeba započítat i chyby měřidel. Chyby měření, jimiž jsme se zabývali doposud, charakterizují tedy pouze část chyb měření. Pokud je chyba měřícího přístroje udána výrobcem, je udána tak, že s pravděpodobností blízkou jedné nevybočí naměřené hodnoty z intervalu, který kolem střední hodnoty naměřené veličiny (ā) tato chyba vymezuje. Není-li tato chyba předem známa, pak ji odhadujeme zpravidla hodnotou 1 nebo ½ dílku stupnice (např. u milimetrového měřítka odhadneme chybu na 0,5 až 1 mm). U digitálních stopek měřících s přesností 0,01 s bereme v úvahu i vlastní reakční dobu (0,2 s nebo 0,3 s), spínáme-li je ručně. U posuvného měřítka odhadujeme chybu podle počtu dílků nonia – na 0,1mm, je-li nonius desetidílkový, a na 0,05 mm, je-li nonius dvacetidílkový. Podobně přesnost mikrometru odhadneme na 0,01 mm nebo na 0,005 mm, podle počtu dílků na otočné hlavici. Celkovou chybu c měření skládáme tedy z chyby aritmetického průměru vypočtené statistickými metodami (označme ji s , a z chyby měřidla m . Je-li m >> s , pak s zanedbáme (stačí provést jen malý počet měření), naopak je-li m << s , zanedbáváme m . Pokud jsou obě chyby m a s srovnatelné, podílejí se obě tyto chyby na chybě celkové. Ukazuje se, že v praxi zpravidla vyhovuje pro celkovou chybu empirický vztah c = s 2 + m 2 , v tomto případě pak tuto chybu nazýváme střední

7

celkovou chybou. Výsledek zaokrouhlíme podle uvedených pravidel a zapíšeme ve tvaru a = a ± c . Výsledek doplníme ještě chybou relativní. Je důležité, aby student během celého cvičení přivykal kritickému pohledu na vlastní práci. V laboratoři je vaším úkolem nejen změřit hodnoty zadaných fyzikálních veličin, ale také umět ohodnotit správnost a přesnost naměřených výsledků. Nesoulad mezi naměřenou hodnotou dané fyzikální veličiny a hodnotou tabelovanou nebo obvyklou nemusí být ani neočekávaný ani nežádoucí. Naopak je příležitostí k fyzikálnímu pátrání po možných zdrojích tohoto jevu a k získání dalších experimentálních zkušeností.

1.2 Práce v laboratoři 1.2.1 Teoretická příprava na laboratorní cvičení Má-li laboratorní cvičení splnit svůj účel, je bezpodmínečně nutné, aby studenti docházeli na každé cvičení řádně připraveni. Nedostatečná příprava vede k mechanickému provádění jednotlivých úkolů podle pracovního postupu bez hlubšího pochopení fyzikální podstaty problému a zvyšuje nebezpečí poškození měřících přístrojů. Nejdůležitější část přípravy je přesná formulace problému, který má být řešen. Musíme si jasně uvědomit, co je hlavní cíl měření. V tomto studijním materiálu a další doporučené literatuře je nutné prostudovat příslušnou problematiku tak, abychom získali představu o tom, jaký výsledek měření můžeme očekávat. Do přípravy si zaznamenáme všechny potřebné poznámky a údaje. Ze základních vztahů vyplyne, které dílčí veličiny mají být změřeny. I když bývá u každé úlohy navržen pracovní postup, předpokládá se, že s hlavními zásadami experimentální práce byl student seznámen v rámci předmětu „Úvod do teorie měření“. Kromě písemné přípravy a znalostí o použité metodě musí student znát rovněž fyzikální zákony, kterými se řídí děje při měření a fyzikální veličiny, které při měření vystupují včetně jejich jednotek. Je vhodné připravit si už doma tabulky pro zápis naměřených hodnot. Předem musíme mít představu o přesnosti měření, tedy o maximální přípustné chybě. Proměřujeme-li fyzikální závislost, je vhodné předem odhadnout interval hodnot měřených veličin a stanovit počet a rozložení měřených bodů. Uvážíme, kterou oblast dané závislosti je nutné případně proměřit hustěji. Všechny nejasnosti je nutné konzultovat s učitelem předem. Student musí počítat s tím, že jeho příprava do cvičení bude kontrolována. Při nedostatečné přípravě nebude moci absolvovat laboratorní cvičení v řádném termínu. Cvičení si pak musí nahradit v termínu určeném vyučujícím. Součástí každého úkolu ve fyzikálním měření je úplný a přehledný záznam o měření. Záznam musí být srozumitelný – i po delším čase – nejen pro studenta, který měření prováděl, ale pro každého, kdo bude chtít měření analyzovat nebo v něm pokračovat.

8

1.2.2 Bezpečnost práce v laboratoři V každé laboratoři je třeba dodržovat určité organizační, metodické a bezpečnostní zásady. Pro práci ve fyzikální laboratoři je stanoví laboratorní řád, se kterým se studenti seznámí v úvodní hodině a který musí bezpodmínečně dodržovat. Jedná se zejména o následující zásady: 1. Dbát všech upozornění uvedených na bezpečnostních a informačních tabulkách umístěných v laboratoři. 2. Nepoužívat žádné přístroje a zařízení bez prostudování jejich obsluhy. 3. S horkými předměty manipulovat jen pomocí vhodných pomůcek. 4. Okamžitě hlásit vyučujícímu každý úraz v laboratoři. Velkou pozornost je třeba věnovat zejména předcházení úrazům způsobených elektrickým proudem. Je známo, že na každý organismus působí elektrický proud jinak. Rozhodující veličinou není, jak se většina lidí mylně domnívá, velikost napětí, ale velikost proudu. Velikost napětí, které je lidskému zdraví a případně životu nebezpečné, závisí totiž na mnoha okolnostech, takže někdy to může být 100 V, jindy až 200 V a v některých případech třeba jen 50 V. To záleží na tom, jaká je: • povrchová rezistance těla – zpravidla jde o rezistanci kůže v místě dotyku s vodičem. Tato veličina mění svoji hodnotu s vlhkostí kůže a mívá hodnotu několik kΩ; • objemová rezistance lidského těla – která závisí na vzájemné geometrické poloze elektrod (dotýkajících se vodičů), na jejich vzájemné vzdálenosti apod.; • časový průběh elektrického proudu – střídavý proud je vždy daleko nebezpečnější než stejnosměrný proud téže intenzity. Kromě toho je prokázáno, že účinky střídavých proudů vyšších frekvencí jsou menší ve srovnání se střídavými proudy nízkých kmitočtů. Dospělý člověk snese napětí velmi vysoké frekvence až do 100 kV. Kmitočty většiny střídavých proudů používaných v praxi jsou však bohužel takové, že způsobují člověku největší škody na zdraví. Za bezpečný bývá považován stejnosměrný proud do 25 mA a střídavý (o frekvenci 10 Hz až 1 kHz) do 10 mA. Jak již bylo uvedeno, o účinku elektrického proudu rozhoduje velikost proudu, který lidským tělem prošel. Dojde-li při veškeré opatrnosti k úrazu elektrickým proudem, je naděje na záchranu postiženého tím větší, čím dříve je mu poskytnuta první pomoc. Proto je důležité, aby s první pomocí bylo seznámeno co nejvíce lidí bez ohledu na jejich elektrotechnickou kvalifikaci. Záchranné práce musí probíhat vždy v tomto pořadí: 1. Vyprostit postiženého Vyproštění je zapotřebí provést co nejrychleji, ale tak, aby nebyl proudem zasažen sám zachránce, a to vypnutím obvodu nebo odtažením postiženého, případně odsunutím, vodiče, který úraz způsobil. K odsunutí je třeba použít suchého izolantu, v krajním případě lze vodič uchopit rukou chráněnou několika vrstvami suché tkaniny.

9

2. Zavést oživovací pokusy V případě, že postižený nedýchá, nebo přestal dýchat, nezdržujeme se ošetřováním vedlejších úrazů, ale zahájíme dýchání z plic do plic. Z úst odstraníme překážky, které by mohly dýchání bránit a postiženého položíme na záda. Jeho hlavu zakloníme co nejvíce vzad a otevřeme ústa. Jsou-li křečovitě stažena, neotvíráme je násilím, ale dýcháme nosem postiženého. Provádíme-li dýchání do úst, je zapotřebí zamezit unikání vdechnutého vzduchu nosem. Zpočátku vdechneme asi 10-krát v intervalu jedné sekundy, pak pokračujeme kolem 15 vdechů za jednu minutu. Vdechnutý vzduch vychází samovolně z plic ústy postiženého. Jestliže umělé dýchání není účinné a nemá-li postižený hmatný tep, je třeba začít s nepřímou srdeční masáží. Zachránce položí zápěstí pravé ruky dlaňovou stranou asi 3 až 5 cm nad dolní okraj hrudní kosti postiženého. Levou ruku položí přes pravou a vahou vlastního těla stlačuje rytmicky hrudní kost do hloubky asi 4 až 5 cm rychlostí 60-krát za minutu. Vždy na pět stlačení připadá jeden vdech metodou z plic do plic. nepřímá masáž a umělé dýchání se provádí až do oživení postiženého nebo příchodu lékaře. 3. Přivolat lékaře.

1.3 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot Při numerických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla, jak bylo uvedeno dříve. Platné cifry daného čísla jsou všechny od první nenulové zleva do poslední zapsané vpravo. Poslední zapsaná cifra je již zatížena chybou měření. Význam tedy mají i pravostranné nuly, protože jimi dáváme najevo, jak přesně bylo provedeno měření. Zapíšeme-li výsledek měření bez udané chyby, považujeme za chybu jedničku na posledním řádu zapsané číslice. Údaj d = 1,2 m tedy znamená, že měření bylo provedeno s chybou 0,1 m – relativní chyba přibližně 10%. Naproti tomu tentýž výsledek zapsaný ve tvaru d = (1,200 ± 0,001) m, můžeme považovat za velmi přesnou hodnotu (relativní chyba zhruba 0,1%). Výsledek bez zapsané chyby připouštíme pouze v případě, kdy pro další výpočty postačí řádový odhad chyby. Chyby uvádíme na jednu platnou cifru a zaokrouhlujeme vždy nahoru. Pouze v případě, kdy by to neúměrně zhoršilo přesnost výsledku, uvedeme chybu na dvě cifry. Vypočítanou chybu δ(X) = 3,382.10-2 m zapíšeme tedy δ(X) = 4.10-2 m. Vyjde-li ale chyba například δ(X) = 1,112.10-2 m, zapíšeme δ(X) = 1,1.10-2 m, neboť zaokrouhlením na 2.10-2 m bychom chybu prakticky zdvojnásobili. Výsledek uvádíme na tolik míst, aby poslední zapsaná cifra výsledku byla stejného řádu jako poslední cifra chyby.

10

Příklad správně správně

d = (6,84 ± 0,02) m d = (6,84 ± 0,11) m

nesprávně nesprávně

d = (6,843 ± 0,02) m d = (6,8 ± 0,018) m

Pro zápis naměřených i vypočtených hodnot užíváme zásadně mocnin 10, neboť do platných cifer se nepočítají nuly plynoucí z činitele 10n. Je-li U = 14 000 V určeno s platností na 3 cifry, musíme údaj zapsat buď 14,0 kV nebo 1,40.104 V. Musíme mít na paměti, zejména při používání kalkulaček (bez zaokrouhlování), že nemůžeme pouhým výpočtem zvyšovat přesnost výsledku. Dosažená přesnost musí odpovídat použitým měřicím přístrojům a metodě měření. Při sčítání a odečítání se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad:

15,6 + 2,35 + 0,093 – 0,155 + 0,3 = 18,188 = 18,2.

Při násobení a dělení je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad:

24,152 . 3,46 = 83,565 92 = 83,6.

Při výpočtech uvedeme pro každý použitý vztah příklad číselného dosazení. Do rovnice dosadíme hodnoty veličin i s příslušnými jednotkami a číselné hodnoty konstant a bez mezivýsledků uvedeme konečný výsledek. Používáme-li pouze soustavu jednotek SI a předem známe jednotku, v níž vyjde číselná hodnota výsledné veličiny, mohou se do rovnice dosadit číselné hodnoty veličin a jednotka výsledné veličiny se připíše za výraz.

Zhotovování grafů Grafické zobrazení je díky názornosti velmi časté a v odborné fyzikální literatuře je téměř každá naměřená závislost doplněna grafem. Pro jejich zhotovování nejsou jednoznačná pravidla – v každém oboru jsou trochu odlišné zvyklosti. Ve fyzikálním praktiku doporučujeme držet se následujících zásad: Grafy zhotovujeme na milimetrovém papíru – obvykle formátu A4 (není-li určeno jinak). V pravoúhlé soustavě souřadnic se nezávisle proměnná vynáší na vodorovnou osu, přičemž kladné hodnoty veličin vzrůstají vpravo a nahoru od počátku souřadnic. Osy grafu musí být popsány symbolem, nebo názvem veličiny. Do závorky, nebo za lomítko uvedeme i její jednotku (není-li bezrozměrná). Na vnější stranu os vyneseme stupnici, jejíž body jsou přiměřeně daleko od sebe, abychom mohli z grafu pohodlně odečítat. Čísla se píší vodorovně, a to i u svislé osy. Pokud je to účelné, užíváme mocnin 10, popř. násobků jednotek. Souřadnice naměřených bodů na osách nevyznačujeme, ty lze vyhledat v tabulce.

11

Měřítka a stupnice grafu volíme tak, aby vynášené křivky zaplňovaly co největší plochu mezi osami. Do průsečíku os klademe nuly stupnic pouze v některých případech (chceme-li např. ukázat, že graf neprochází počátkem souřadnic). Jinak stupnice začíná hodnotou o něco menší než je nejmenší vynášená. Chyba při odečítání obou souřadnic je stejná jen v té části křivky, kde směrnice příslušné tečny je rovna 1. V místech, kde se křivky příliš přibližují rovnoběžkám s některou osou, je chyba odečtu jedné, či druhé souřadnice z grafu větší. Tuto chybu nelze vždy odstranit pouhou změnou měřítek stupnic na osách. Jednotlivé vynesené hodnoty v grafu výrazně označíme – nejlépe křížkem. Naprosto nevhodné jsou pouhé tečky, které po vytažení křivky většinou zmizí. Potřebujeme-li do jednoho grafického pole vynést více křivek a mohlo by dojít k záměně bodů, odlišujeme je různými značkami nebo různými barvami (+, ⊕ , ⊗ ). Ke každé křivce zapíšeme hodnotu parametru, který ji určuje. Body prokládáme hladkou plynulou křivku. Pokud neužijeme exaktní numerické metody, rýsujeme křivku tak, aby neměla fyzikálně neopodstatněné skoky, zlomy a extrémy, byla dostatečně hladká s přibližně stejným počtem bodů nad a pod čarou. Každý graf by měl být doplněn stručným a výstižným názvem, případně dalšími údaji, jakými jsou datum, typ vzorku, parametry a podmínky měření apod. Často potřebujeme z grafu odečíst určitou hodnotu, kterou potřebujeme pro další zpracování měření. Tyto vyznačené body označíme odlišně od naměřených hodnot, a to jak na křivce, tak na příslušné ose.

Vypracování protokolu o fyzikálním měření K získání zápočtu musí student obvykle naměřit určitý počet úloh. Jejich seznam obdrží studenti na začátku semestru. Z každého měření student vypracuje protokol o měření. Protokol musí být odevzdán nejpozději do 14 dnů po měření. Každý protokol je klasifikován. Při klasifikaci se přihlíží k – připravenosti na měření. Připravenost je zjišťována jednak na základě činnosti studenta, jednak dotazy v průběhu práce, kterými se zjišťuje hloubka pochopení prováděných činností, – vlastní aktivitě a samostatnosti při práci, zdravé zvídavosti a též k dodržování pracovních pokynů a pravidel bezpečnosti práce, – obsahové a formální úrovni protokolů. Nevyhovující protokoly budou vráceny k přepracování, nebo budou hodnoceny známkou „nedostatečný“. Protokol zpracovávejte na papíry formátu A4, nejlépe nelinkované. Na první list protokolu natiskněte hlavičku pomocí razítka (poskytnuté vedoucím praktik) nebo si stejnou hlavičku vytvořte pomocí počítače.Tuto hlavičku je nutno úplně a správně vyplnit. Protokol by měl, kromě již uvedené hlavičky, obsahovat tyto části: 1. Literatura (nejčastěji BROŽ, J. a kol. Základy fyzikálních měření (I),1. vyd. Praha: SPN, 1983, 669 s.); 2. Úkoly (jsou zapsány v návodech poskytnutých k jednotlivým měřením); 3. Pomůcky použité v úloze (uveďte též rozsahy a nejmenší dílky měřících přístrojů, napětí zdrojů, atp.); 4. Princip měření (pište podle návodů, případně podle použité literatury – stručně). 5. Postup práce (pište v bodech – výstižně a opět stručně);

12

6. Zpracování měření (dle poskytnutých materiálů, příp. literatury); 7. Závěr (je důležitou částí protokolu, proto mu věnujte vždy dostatečnou pozornost na základě teoretických vztahů proveďte podrobný rozbor výsledků, chyb a nepřesností, uveďte vlastní nápady a přístupy k vysvětlení případných nesrovnalostí). Protokol musí být zpracován čitelně a úhledně!! Protokoly si po sobě pečlivě přečtěte, vyvarujete se tím zbytečných chyb. V případě použití výpočetní techniky ke zpracování naměřených hodnot je nezbytné uvádět vztahy, podle kterých se výpočty provádějí (zejména při určování chyb měření). K protokolu nezapomeňte přiložit záznam o měření, který musí být podepsaný vedoucím praktik.

13

2. Laboratorní úlohy 1. Měření hustoty látek Úkol 1: Stanovte hustotu tělesa přímou metodou a pomocí Tabulek určete druh látky, z níž je těleso zhotoveno.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.4, 2.1.1.4. Pomůcky Elektronické váhy, posuvné měřítko, mikrometr, pravidelné těleso ze zkoumané látky. Princip měření Hustota ρ homogenní látky je definována jako poměr její hmotnosti m a objemu V, který látka zaujímá,

ρ=

m V

(1)

Ze vzorce (1) lze hustotu stanovit přímo, zvážíme-li hmotnost látky m a zjistímeli její objem V. Objem těles jednoduchých geometrických tvarů lze určit měřením délkových rozměrů a výpočtem. V ostatních případech se pro přímé měření objemů kapalin a do kapalin ponořených pevných těles užívají různé měrné nádoby (např. odměrný válec). Pokud však musíme ke stanovení objemu užít odměrnou nádobu, bývá přímá metoda měření hustoty málo přesná (relativní chyba při měření objemu bývá nejméně 1 % a více; přesnost vážení, která se pohybuje zhruba kolem 0,1 %, zůstane tak nevyužita). Proto při přesnějším měření hustoty nahrazujeme málo přesné přímé metody metodami nepřímými, u kterých měření objemu zpravidla nahrazujeme druhým vážením (viz další části úlohy). Postup měření 1) Těleso zvážíme na elektronických vahách. 2) Změříme rozměry tělesa posuvným měřítkem nebo mikrometrem (měření daného rozměru tělesa provedeme nejméně pětkrát a to na různých místech tělesa). Podle vzorce pro výpočet objemu pravidelného tělesa vypočítáme jeho objem. Užitečné tipy Pokud neumíte pracovat s posuvným měřítkem či mikrometrem, naleznete podrobný popis práce s těmito měřidly v doporučené literatuře, tj. BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.1.1. Pokyny ke zpracování měření Ze změřených hodnot rozměrů tělesa (výška tělesa, poloměr podstavy, délka hrany krychle atd.) vypočteme průměrné hodnoty, dosadíme do příslušného vzorce a

14

určíme objem tělesa. Podle vztahu (1) určíme hustotu tělesa. V Tabulkách nalezneme hustotu látky, z jaké bylo měřené těleso vyrobeno. Relativní chybu měření hustoty (jedná se o chybu nepřímého měření) určíme např. pomocí maximální chyby výsledku pomocí výrazu

∆ρ

ρ

=

∆ m ∆V + . m V

Ve výrazu sčítáme relativní chybu měření hmotnosti, ta bude v tomto případě velmi malá, nebo zanedbatelná, a relativní chybu objemu. Relativní chybu objemu V zjistíme opět jako chybu nepřímého měření, neboť objem V počítáme podle vztahu pro pravidelné geometrické těleso. Např. pro krychli bychom použili vztah V = a3, tedy ∆V ∆a = 3. , kde ∆ a je dáno přesností použitého délkového měřidla (zpravidla V a uvažujeme velikost nejmenšího dílku nebo polovinu nejmenšího dílku). Z relativní chyby hustoty určíme snadno také chybu absolutní. Výsledek měření hustoty uvedeme např. ve tvaru kg ρ = (7 700 ± 30) 3 s relativní chybou 0,39 %. m

Zamyslete se nad následujícími otázkami: 1) Jak se změní přesnost měření použijeme-li místo posuvného měřítka mikrometr? 2) Jak se změní přesnost měření, použijeme-li místo elektronických vah váhy praktikantské (technické)?

Úkol 2: Stanovte hustotu drobných tělísek pomocí pyknometru a pomocí Tabulek určete látku, z níž jsou tělíska zhotovena.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.4.1b, 2.1.1.4. Pomůcky Analytické váhy, pyknometr, teploměr, destilovaná voda, měřená tělíska. Princip měření Pro stanovení hustoty drobných tělísek se používá metoda pyknometrická. Pyknometr je baňka se zabroušenou zátkou, v níž je kapilární otvor. Daný objem kapaliny je v pyknometru obsažen tehdy, je-li pyknometr uzavřen zátkou a odtekla-li přebytečná kapalina kapilárou. Pyknometrem lze vymezit objem kapaliny s přesností přibližně na 0,01 % (při dané teplotě, která je vždy na pyknometru vyznačena). Objem tělísek stanovíme z hmotnosti kapaliny, která z pyknometru vyteče, vložíme-li do něho měřená tělíska. Za kapalinu pro měření volíme nejčastěji destilovanou vodu. Hustotu tělísek potom zjišťujeme trojím vážením, tj. zvážíme

15

pyknometr naplněný destilovanou vodou (m1). Dále zvážíme pyknometr naplněný destilovanou vodou a vedle pyknometru umístíme na misku také tělíska (m2). Nakonec vložíme do pyknometru s vodou tělíska a opět zvážíme (m3). Hmotnost tělísek potom je m = m2 – m1, hmotnost vytlačené kapaliny z pyknometru mk = m2 - m3 Odtud hustota tělísek je

ρ=

m2 − m1 (ρ k − σ ) + σ , m 2 − m3

(2)

kde ρk je hustota destilované vody za dané teploty, σ je hustota vzduchu za dané teploty a tlaku.

Postup měření 1) Změříme teplotu v místnosti a teplotu destilované vody. 2) Naplníme pyknometr destilovanou vodou, opatrně nasadíme zátku tak, aby přebytečná kapalina vytékala kapilárou, a zkontrolujeme, nezůstala-li v pyknometru vzduchová bublina. Pyknometr opatrně osušíme. Kapilára musí být až do konce plná vody. Při manipulaci s pyknometrem jej držíme opatrně za krček, abychom zbytečně nezahřívali jeho obsah. 3) Zvážíme pyknometr naplněný destilovanou vodou na analytických vahách (m1). 4) Zvážíme pyknometr s měřenými tělísky položenými na misce vah (m2). Hmotnost tělísek bychom mohli určit také jejich samostatným zvážením, ale tento způsob určení hmotnosti má tu výhodu, že všechna vážení provádíme za zhruba stejné citlivosti vah. 5) Zvážíme pyknometr naplněný vodou s tělísky uvnitř (m3). Při vkládání tělísek do pyknometru musíme dávat pozor, aby se jednalo o stejná tělíska jako při vážení v bodě 4. Po vložení tělísek do pyknometru je třeba pečlivě odstranit všechnu odteklou vodu (pyknometr osušíme). Užitečné tipy Pokud jste dosud neměli možnost pracovat s analytickámi vahami, seznamte se s jejich popisem v doporučené literatuře, tj. BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.3.1. Podrobnější popis práce s analytickými vahami, které budete používat při vlastním měření, je uveden dále. Promyslete si posloupnost jednotlivých kroků, které budete při měření provádět (také s ohledem na úkol 3). Pokud budete potřebovat zjistit hmotnost prázdného pyknometru, musí být pyknometr zcela vysušený, tj. nesmí v něm zůstat ani kapka vody. Vysušování pyknometru je možné provádět pomocí vysoušeče vlasů. Pokud použijete příliš horký vzduch, mějte na mysli, že se teplota pyknometru může zvýšit, a nebudou tak dodrženy podmínky nutné pro přesné měření.

16

Vážení na poloautomatických analytických vahách Váhy jsou určeny na vážení do maximální hmotnosti 200 gramů!! A. Před vážením 1) Sejmeme ochranný (igelitový) kryt vah. 2) Podle libely zjistíme, zda váhy jsou ve vodorovné poloze, případně polohu upravíme pomocí šroubovacích nožek. 3) Zkontrolujeme, zda jsou váhy připojeny k elektrické síti. 4) Prohlédneme si váhy a seznámíme se s důležitými součástmi pro jejich ovládání: - na levé boční stěně je knoflík ARETACE označený červeně, - na pravé boční stěně jsou dva knoflíky, důležitý je knoflík JEMNÉHO DOVAŽOVÁNÍ označený žlutě, - na přední stěně jsou tyto části: zleva první knoflík – stovky gramů, zleva druhý knoflík – desítky gramů, zleva třetí knoflík – jednotky gramů. Napravo od třetího knoflíku je světelné okénko, v němž se promítají při vážení desetiny a setiny gramu (při předvažování je jeho funkce jiná). V pravém krajním okénku ukazuje bílá číslice tisíciny a červená desetitisíciny gramu. B. Postup při vážení 1) Zkontrolujeme, zda jsou váhy zaaretovány a všechna závaží nastavena na nulu, včetně pravého krajního okénka. 2) Otevřeme váhy odsunutím skla a vložíme na misku vážený předmět. Předmět musí být čistý a nesmí být mokrý. Váhy uzavřeme. 3) Předvážíme – tj. červeným aretačním knoflíkem otočíme směrem dozadu. Světelné okénko se rozsvítí žlutě. Na rozsvícené žluté stupnici čteme přibližnou hmotnost v celých gramech. Zaaretujeme. 4) Vážení: při zaaretovaných vahách nastavíme pomocí tří knoflíků na přední stěně HMOTNOST ZJIŠTĚNOU PŘEDVÁŽENÍM. Odaretujeme váhy otočením červeného knoflíku směrem dopředu. Světelné okénko se rozsvítí bíle. 5a) Jestliže se v okénku objeví číslo mezi 0 a 100, pak otáčením žlutého knoflíku DOVAŽUJEME, tj. otáčíme směrem k sobě tak, abychom dosáhli překrytí stínové rysky s vodorovnou ryskou okénka. b) Jestliže se v okénku objeví číslo větší než 100, pak zaaretujeme a zvýšíme nastavenou hmotnost o 1 gram. Dále postupujeme podle bodu 5a. c) Jestliže se v okénku objeví PRÁZDNÉ BÍLÉ POLE bez čísel, pak zaaretujeme a nastavenou hmotnost snížíme o 1 gram. Dále postupujeme podle bodu 5a. 6) Po přečtení a zaznamenání hmotností váhy nejprve ZAARETUJEME, nastavíme všechny čtyři knoflíky NA NULU, a pak teprve otevřeme váhy a vyjmeme vážený předmět. 7) Po ukončeném vážení váhy uzavřeme, odpojíme od elektrické sítě a přikryjeme.

17

Pokyny ke zpracování měření Ze změřených hmotností m1, m2, m3 a zjištěné hustoty vzduchu σ za dané teploty (nalezneme ji v Tabulkách jako hustotu suchého vzduchu) určíme podle vztahu (2) hustotu tělísek. Hustotu destilované vody ρk za dané teploty je možno vyhledat v Tabulce 1.1, nebo lze použít vzorce

ρt = ρ0 [1 − β (T − T0 )] , kde ρt je hustota kapaliny při teplotě T a ρ 0 je hustota kapaliny při teplotě To. Konstantu β naleznete v Tabulkách. Tab. 1.1 Závislost hustoty destilované vody na teplotě

T (°C) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ρk (kg.m-3) 999,841 999,900 999,941 999,965 999,973 999,963 999,941 999,901 999,849 999,782 998,701

T (°C)

ρk (kg.m-3)

T (°C)

ρk (kg.m-3)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

999,606 999,498 999,377 999,244 999,099 998,943 998,775 998,596 998,406 998,205 997,994

22 23 24 25 26 27 28 29 30

997,772 997,540 997,299 997,047 996,786 996,515 996,235 995,946 995,649

V Tabulkách nalezneme hustotu látky, z jaké byla tělíska pravděpodobně vyrobena (nezapomeňte zapsat do závěru protokolu!). Určíme absolutní a relativní chybu měření hustoty tělísek (jedná se opět o chybu nepřímého měření). Chybu při určování hustoty destilované vody a hustoty suchého vzduchu můžeme zanedbat.

Úkol: Odvoďte podrobně výše uvedený vztah pro výpočet hustoty tělísek (2) (odvození uveďte do protokolu)! O korekci vážení na vztlak se dozvíte více v doporučené literatuře BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.3.7.

18

Úkol 3: Určete hustotu neznámé kapaliny pomocí pyknometru a pomocí Tabulek určete, o jakou kapalinu se může jednat.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.4.2. Pomůcky Analytické váhy, závaží, pyknometr, destilovaná voda, neznámá kapalina, teploměr. Princip měření Podobně jako hustotu pevných látek lze i hustotu kapalin měřit různými metodami. Nejběžněji je používána metoda pyknometrická, metoda ponorného tělíska (Mohrovy vážky) a měření hustoty kapalin pomocí hustoměrů. V následujícím výkladu popíšeme podrobněji metodu pyknometrickou, kterou použijeme pro stanovení hustoty neznámé kapaliny. Pyknometrická metoda spočívá v porovnání hmotnosti stejného objemu měřené kapaliny a kapaliny o známé hustotě. Stejný objem je vymezen pyknometrem. Hustotu neznámé kapaliny ρ kapaliny můžeme pyknometrem stanovit zvážením pyknometru naplněného měřenou (neznámou) kapalinou (m1) a téhož pyknometru naplněného kapalinou o známé hustotě (m2). Hmotnost kapaliny je dána rozdílem hmotnosti pyknometru s kapalinou a prázdného pyknometru (m0). Poměr hmotností téhož objemu různých kapalin je stejný jako poměr jejich hustot. Odtud plyne

ρ=

m1 − m0 ρk , m2 − m0

Provedeme-li opravu na vztlak, dostaneme

ρ=

m1 − m0 (ρ k − σ ) + σ , m2 − m0

(3)

kde ρk je hustota destilované vody za dané teploty, σ je hustota vzduchu za dané teploty a tlaku.

Postup měření 1) Změříme teplotu v místnosti a teplotu destilované vody. 2) Na analytických vahách zvážíme čistý, suchý pyknometr (m0). 3) Pyknometr naplníme měřenou kapalinou, osušíme a zvážíme na analytických vahách (m1). 4) Pyknometr důkladně vypláchneme, vysušíme, naplníme destilovanou vodou, osušíme a zvážíme (m2).

19

Užitečný tip Pro určení hustoty neznámé kapaliny můžete též použít sadu hustoměrů, která je v laboratoři k dispozici. Můžete si tak ověřit správnost vašeho měření a výpočtů. Pokyny ke zpracování měření Ze změřených hmotností m0, m1 m2 a zjištěné hustoty vzduchu σ za dané teploty

určíme podle vztahu (3) hustotu neznámé kapaliny. Hustotu destilované vody ρk za dané teploty určíme stejným způsobem jako v předchozím úkolu 2. Z Tabulek určíme, o jakou kapalinu by se mohlo jednat (uveďte do závěru protokolu). Určíme absolutní a relativní chybu měření hustoty kapaliny (jedná se opět o chybu nepřímého měření). Chybu při určování hustoty destilované vody a hustoty suchého vzduchu opět můžeme zanedbat.

Úkol: Odvoďte výše uvedený vztah (3) pro výpočet hustoty neznámé kapaliny (odvození uveďte do protokolu)!

Úkol 4: Určete hustotu pevné látky hydrostatickou metodou a pomocí Tabulek určete, o jakou látku se jedná.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.4.1a. Pomůcky Technické váhy s můstkem, sada závaží, teploměr, kádinka, destilovaná voda, měřený předmět se závěsem. Teoretická část Hustotu pevné látky lze také jednoduše stanovit hydrostatickou metodou. Hydrostatická metoda spočívá ve dvojím vážení tělesa, jehož hustotu ρ hledáme. Měření provádíme vážením měřeného tělesa na vzduchu (m) a v kapalině o známé hustotě (m1). Vážení se provádí na rovnoramenných váhách, jež jsou přizpůsobeny k zavěšení váženého tělesa a k ponoření do kapaliny (tzv. hydrostatické váhy). Ty můžeme snadno nahradit technickými váhami, u nichž nad jednu misku postavíme dřevěný můstek tak, aby nepřekážel pohybům misky. Na můstek umístíme kádinku s destilovanou vodou a měřené těleso připevníme pomocí závěsu na misku tak, aby se volně vznášelo v kapalině. Hustotu tělesa ρ zjistíme podle vzorce

ρ=

m (ρ k −σ ) + σ . m − m1

20

(4)

Postup měření 1) Připevníme samotný závěs na držák misky a dáme do kádinky destilovanou vodu. Část závěsu bude ponořena ve vodě. 2) Zvážíme měřený předmět na misce vah a zjistíme tím hmotnost předmětu (m). 3) Upevníme předmět na závěs a zvážíme ve vodě (m1). 4) Vypočítáme hustotu tělesa z výše uvedeného vztahu. Pokyny ke zpracování měření Ze změřených hmotností m a m1 a zjištěné hustoty vzduchu σ za dané teploty

určíme podle vztahu (4) hustotu měřeného tělesa. Hustotu destilované vody ρk za dané teploty určíme stejným způsobem jako v předchozích úkolech. Z Tabulek určíme, z jaké látky je těleso pravděpodobně vytvořeno (uveďte do závěru protokolu). Určíme absolutní a relativní chybu měření hustoty tělesa (jedná se opět o chybu nepřímého měření). Chybu při určování hustoty destilované vody a hustoty suchého vzduchu opět můžeme zanedbat.

Úkol: Odvoďte výše uvedený vztah (4) pro výpočet hustoty neznámého tělesa (uveďte do protokolu)! Při odvození uvažujte vztlakovou sílu působící na těleso ve vodě a na vzduchu. Podrobnější informace o odvození vztahu (4) naleznete v doporučené literatuře BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.4.1a.

21

2. Měření viskozity viskozimetru

kapaliny

pomocí

Höpplerova

Úkoly: 1. Pomocí Höpplerova viskozimetru určete dynamickou viskozitu destilované vody při různých teplotách. 2. Určete výpočtem kinematickou viskozitu destilované vody. 3. Sestrojte grafy závislosti kinematické a dynamické viskozity destilované vody na teplotě.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.4.3, 2.4.3.2; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 252-253, 310-311. Pomůcky Höpplerův viskozimetr s příslušenstvím, baňka s vyznačeným objemem 200 cm3, stopky, destilovaná voda, kahan, hadičky. Princip měření Reálné kapaliny, které se vyskytují v přírodě, jeví určitý, i když malý odpor proti posouvání jednotlivých částic po sobě. Odpor tekutiny proti změně tvaru nazýváme vazkostí neboli viskozitou. Síla vazkosti má snahu zeslabit rozdíl (vzájemných) rychlostí v proudící tekutině. Připomíná tak síly vznikající při tření. Z toho důvodu nazýváme někdy úkazy vazkosti tekutin jejich vnitřním třením. Charakteristickou vlastností reálné kapaliny jsou tedy smyková napětí, která vznikají mezi posouvajícími se vrstvami kapaliny. Pro vyjádření této vlastnosti zavádíme tzv. dynamický součinitel vnitřního tření (dynamický koeficient viskozity), resp. dynamickou viskozitu η jako poměr tečného napětí působícího ve směru pohybu prostředí k velikosti kolmého rychlostního spádu (gradientu rychlosti):

η=

τ dv dy

,

(1)

kde τ je tečné napětí mezi dvěma po sobě se posouvajícími vrstvami tekutiny s normálou do směru osy y. Rychlostní spád je dv/dy má tedy směr osy y. Jednotkou dynamické viskozity η je N.s.m-2 (Pa.s). K vyjádření viskozních vlastností kapalin se kromě dynamické viskozity zavádí také kinematická viskozita, která je dána vztahem

22

ν=

η , ρ

(2) 2 -1

kde ρ je hustota dané tekutiny. Jednotkou kinematické viskozity je m .s . V praxi se často měří kinematická viskozita v Englerových stupních E, které získáme přímo při měření na Englerově viskozimetru poměrem měřeného času výtoku s dobou výtoku přesně stanovené kapaliny (destilované vody). Höpplerův viskozimetr typ B3, používaný ve fyzikálním praktiku, pro patří k viskozimetrům tělískovým, zvaným též viskozimetry Stokesovy. V měrné válcové nádobce, naplněné měřenou kapalinou, nebo plynem, padá kulička. Z doby pádu kuličky na určité dráze (v našem případě na dráze o délce l = 100 mm) se určí dynamická viskozita. Při měření se využívá skutečnosti, že rychlost, kterou tělísko (nejčastěji kulového tvaru) v dané tekutině padá, je závislá na viskozitě této tekutiny. Na tělísko o hmotnosti m a poloměru r působí tři síly: tíhová síla G, vztlaková síla Fvz a síla odporu prostředí Fo. Pro velikost těchto sil platí:

G = mg, Fvz = Vρg = 4πr3ρg/3, Fo = 6πηrv (Stokesův zákon).

(3) (4) (5)

V uvedených rovnicích je ρ hustota, η dynamická viskozita měřené kapaliny a v rychlost pohybu tělíska v kapalině. Protože velikost síly odporu prostředí roste s rychlostí, budou se síly (asymptoticky) vyrovnávat a po určité době se tělísko bude pohybovat v podstatě rovnoměrným přímočarým pohybem. Síly G, Fvz, Fo jsou pak v rovnováze a pro jejich velikosti platí

G - Fvz - Fo = 0.

(6)

Po dosazení za G, Fvz, Fo do této rovnice dostaneme pro viskozitu η vztah

η=

3m − 4πr 3 ρ 2r 2 (ρtel − ρ )g 2r 2 (ρtel − ρ )g = g= t, 18πrv 9v 9l

(7)

kde ρtel je hustota tělíska, l vzdálenost mezi ryskami, t doba pádu změřená mezi horní a spodní značkou. Pokud všechny veličiny v rovnici (7), které jsou konstantní pro daný viskozimetr a kuličku, zahrneme do tzv. konstanty kuličky K, lze rovnici (7) psát ve tvaru

η = t (ρtel - ρ) K,

(8)

kde ρ a ρtel udáváme v g/cm3 a dobu t měříme v sekundách. Konstanta kuličky K má pak jednotku mPa.cm3/g.

23

Postup měření 1) Viskozimetr vyrovnáme stavěcími šrouby do vodorovné polohy podle libely přístroje. 2) Do měrné trubice viskozimetru nalijeme měřenou kapalinu tak, aby dosahovala asi 25 mm pod horní okraj. Na stěnách trubice nesmí zůstat bublinky vzduchu - odstraníme je špejlí nebo skleněnou tyčinkou. 3) Podle hodnoty viskozity odhadnuté z údajů v Tabulkách vybereme vhodnou kuličku a opatrně ji vložíme do měrné trubice viskozimetru. 4) Pomocí kovového válečku vytlačíme přebytečnou kapalinu a uzavřeme trubici závěrnou zátkou a víkem. 5) Naplníme plášť viskozimetru temperovací kapalinou dané teploty. Jako temperovací kapalina se používá: pro teploty -60 až +10 °C líh; pro teploty +10 až +95 °C voda, pro teploty vyšší do 150 °C silikonový olej. Teplotu měřené i temperovací kapaliny měříme teploměrem umístěným v plášti přístroje. 6) Odaretujeme přístroj povytažením šroubu se zářezem a válec převrátíme; aretace samočinně zaklapne. Stopkami změříme dobu, za kterou kulička urazí dráhu 100 mm určenou značkami na měrné trubici. Měření provedeme pro každou teplotu jednou. 7) Měření provedeme pro různé teploty vody v plášti. Vhodné je začít od nejvyšší teploty destilované vody (teplota vody by se měla pohybovat v rozmezí od 50 °C do 25 °C). 8) Sestrojíme grafy závislosti kinematické a dynamické viskozity na teplotě. Pokyny ke zpracování měření Hustotu destilované vody ρk za dané teploty je možno vyhledat v Tabulce 2.1, nebo lze použít vzorce

ρt = ρ0 [1 − β (T − T0 )] , kde ρt je hustota kapaliny při teplotě T a ρ 0 je hustota kapaliny při teplotě To. Konstantu β nalezneme v Tabulkách. Tab. 2.1 Závislost hustoty destilované vody na teplotě

T (°C) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ρk (kg.m-3) 999,841 999,900 999,941 999,965 999,973 999,963 999,941 999,901 999,849 999,782 998,701

T (°C)

ρk (kg.m-3)

T (°C)

ρk (kg.m-3)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

999,606 999,498 999,377 999,244 999,099 998,943 998,775 998,596 998,406 998,205 997,994

22 23 24 25 26 27 28 29 30

997,772 997,540 997,299 997,047 996,786 996,515 996,235 995,946 995,649

Konstantu kuličky K lze určit na základě Tabulky 2.2.

24

Tab. 2.2 Parametry kuliček Kulička

Průměr [mm]

Hmotnost [g]

Hustota [g/cm3]

Konstanta [mPa.cm3/g]

1. 2. 3. 4. 5. 6.

15.910 15.630 15.560 15.000 13.500 10.000

4.60100 4.45800 16.07350 14.37050 10.02650 4.01980

2.226 2.228 8.147 8.145 7.714 7.677

0.00825 0.0698 0.118 1.211 10.064 39.93

Kulička

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Rozsah měření [mPa.s] (dolní hranice – horní hranice)

Minim. doba pádu [s] 60 30 30 30 30 30

0.6 3 25 250 2500 8000

5 30 250 2500 25000 80000

Podle vztahu (8) vypočteme dynamickou viskozitu η. Určíme absolutní a relativní chybu měření (jedná se o chybu nepřímého měření; statistickou chybu zde neurčujeme, neboť měření viskozity pro danou teplotu provádíme vždy pouze jednou). Pomocí vztahu (2) vypočteme kinematickou viskozitu a určíme rovněž absolutní a relativní chybu měření (jedná se opět o chybu nepřímého měření).

Užitečný tip Při používání elektronických stopek neopisujte celý údaj z displeje, ale zaokrouhlujte jej na jedno desetinné místo. Mějte na mysli, že reakční doba člověka činí přibližně 0,2 až 0,3 s, a že tedy každý naměřený časový údaj bude zatížený touto chybou. Do milimetrového papíru sestrojíme graf závislosti dynamické a kinematické viskozity na teplotě (oba grafy mohou být buď v jednom milimetrovém papíře, nebo může být každý zvlášť). Grafy rýsujte pouze tužkou (pokud nepoužíváte počítač) a vynesenými body prokládejte vždy hladkou křivku!

25

3. Určení momentu setrvačnosti Úkol: Určete moment setrvačnosti setrvačníku.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.2, 2.2.3; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 178-180; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 1 – Mechanika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 273-275. Pomůcky Přístroj Derop, délkové měřidlo, stojan s kladkou, posuvné měřítko, stopky, silonové lanko, závaží. Princip měření

r r db Z druhé věty impulsové M = plyne pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné dt osy rovnice r r d (Jω ) = M , dt

r v níž J je moment setrvačnosti tělesa vůči dané ose, ω úhlová rychlost otáčení, M výsledný moment vnějších sil vůči ose otáčení a t čas. Pro studium otáčivého pohybu tělesa, na který působí stálý moment síly, použijeme zařízení (přístroj Derop), které je znázorněné na obr. 3.1.

Obr. 3.1 Přístroj Derop

26

Na osu přístroje Derop jsou symetricky připevněny čtyři tyče s posuvnými závažími o hmotnosti m1. Na ose přístroje jsou připevněny dvě kladky (řemenice) o různých poloměrech. Na kladku je navinuto lanko, na jehož konci je zavěšeno závaží hmotnosti m. Uvolníme-li závaží, začne se působením tíže pohybovat rovnoměrně zrychleným pohybem a lanko navinuté na řemenici setrvačníku bude roztáčet setrvačník. Za časový interval t urazí závaží dráhu h1. Podle zákona zachování mechanické energie se musí součet kinetické energie závaží a kinetické energie setrvačníku rovnat úbytku potenciální energie soustavy. Zákon zachování mechanické energie pak můžeme psát ve tvaru:

1 2 1 2 Jω + mv = mgh1 , 2 2

(1)

kde J je moment setrvačnosti setrvačníku, ω je úhlová rychlost v čase t, m hmotnost závaží a v jeho postupná rychlost v čase t. Ze vztahu pro dráhu a rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu plyne, že postupná rychlost v v čase t je

2h1 t

v=

(2)

a odpovídající úhlová rychlost

ω=

2h1 , rt

(3)

kde r je poloměr řemenice setrvačníku přístroje Derop. Dosazením do rovnice (1) lze vypočítat moment setrvačnosti setrvačníku J. Rovnice (1) platí ovšem pouze za ideálního předpokladu, že během pohybu setrvačníku nedochází k žádným energetickým ztrátám. Ve skutečnosti se však část mechanické energie ztrácí třením v ložiskách, odporem vzduchu a prací nutnou k deformaci silonové nitě. Ztráty energie způsobené odporem vzduchu a deformací jsou poměrně malé a můžeme je zanedbat. Síla tření spotřebuje na dráze h1 práci A = Fh1 ,

(4)

a zákon zachování mechanické energie pak musíme psát ve tvaru

1 2 1 2 Jω + mv + Fh1 = mgh1 (5) 2 2 Ztráta mechanické energie se projeví tím, že se závaží po dosažení nejnižší polohy již nevrací do původní výšky h1, ale jeho maximální výška bude h2. Úbytek potenciální energie způsobila práce třecí síly

27

mg (h1 − h2 ) = F (h1 + h2 ) .

(6)

Dosazením do rovnice (5) pak pro moment setrvačnosti dostáváme vztah (7)

  h2 J = mr 2  gt 2 − 1 . h1 (h1 + h2 )  

Postup měření 1) Nejprve seřídíme polohu závaží setrvačníku podle pokynu vedoucího cvičení. 2) Na silonové lanko zavěsíme závaží o hmotnosti m a označíme nejnižší polohu závaží jako bod A. 3) Otáčením setrvačníku navineme lanko na řemenici setrvačníku tak, že závaží vystoupí do výšky h1 nad bod A (tuto výšku je vhodné nechat po celou dobu měření konstantní). Výšku h1 určíme přesně pomocí délkového měřidla. 4) Závaží uvolníme a stopkami zároveň změříme dobu t potřebnou k tomu, aby závaží proběhlo dráhu h1. Sledujeme, zda se lanko při odvíjení nikde nezadrhává. 5) Setrvačností se setrvačník otáčí dále a závaží opět stoupá. Označíme nyní nejvyšší polohu, kterou závaží setrvačností dosáhne. Vzdálenost tohoto bodu od bodu A je výška h2 . 6) Změříme poloměr řemenice setrvačníku. Měření provedeme pro pět hodnot závaží: 0,20 kg; 0,25 kg; 0,30 kg; 0,35 kg; 0,40 kg. Každé měření provedeme dvakrát na každé řemenici.

Pokyny ke zpracování měření Dosazením do rovnice (7) nejprve vypočteme moment setrvačnosti pro obě řemenice a různé hmotnosti závaží m. Výsledky zpracujeme do jedné přehledné tabulky (celkem by v ní mělo být zaznamenáno 20 měření). Vypočteme průměrnou hodnotu momentu setrvačnosti setrvačníku (počítáme ji ze všech naměřených hodnot, tj. pro velkou i malou řemenici zároveň; mějte na paměti, že určujete moment setrvačnosti jednoho a téhož přístroje, který pouze uvádíte do pohybu pomocí dvou různých řemenic). Určíme absolutní chybu (bude zahrnovat chybu statistickou i chybu metody, tj. chybu nepřímého měření) i relativní chybu.

Úkoly: a) Do protokolu zapište podrobné odvození vztahu (7). b) Zamyslete se na tím, jak se mění moment setrvačnosti setrvačníku, měníme-li polohu závaží o hmotnosti m1. Jak se potom bude měnit doba t, za kterou závaží o hmotnosti m urazí vzdálenost h1?

28

4. Měření rychlosti zvuku pomocí Kundtovy trubice Úkol: Změřte rychlost zvuku v ocelové a mosazné tyči a určete moduly pružnosti v tahu těchto tyčí.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.6.3, 2.6.3.1; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 467-469. Pomůcky Kundtova trubice, korkový prášek, mosazná a ocelová tyč, délkové měřidlo. Princip měření Rychlost šíření zvukových vln závisí na látkových konstantách a na tvaru prostředí, kterým se vlna šíří. V pevných látkách závisí rychlost též na tom, šíří-li se daným prostředím vlny příčné nebo podélné. Pro rychlost v šíření zvuku v plynech (v plynech vznikají pouze podélné vlny) a kapalinách ve volném prostoru platí rovnice

K

v=

ρ

,

(1)

ve které ρ je hustota plynu, K je modul objemové pružnosti, K = − V

dp , V značí dV

měrný objem, p tlak. Stlačování a rozpínání plynu při průchodu akustické vlny je děj velmi rychlý, při kterém nedochází k výměně tepla s okolím. Proto můžeme předpokládat, že šíření dp zvuku je děj adiabatický. Z rovnice (1) dostáváme užitím vztahu K = − V a dV Poissonovy rovnice pVχ = konst. pro rychlost v výraz

v= χ

p

ρ

= χ

RT

µ

,

(2)

kde χ je Poissonova konstanta, p tlak plynu, R plynová konstanta, T teplota v kelvinech a µ molární hmotnost plynu. Pro rychlost podélných zvukových vln v pružné tyči platí

v=

E

ρ

,

29

(3)

kde E je modul pružnosti v tahu (Joungův modul) a ρ je hustota tyče. Pomocí rovnice (2) a (3) můžeme z naměřených hodnot rychlosti zvuku určit konstanty prostředí χ a E. Experimentálně nejjednodušší způsob je určit rychlost zvuku změřením jeho vlnové délky a frekvence. Mezi rychlostí zvukové vlny v, její vlnovou délkou λ a jejím kmitočtem f platí vztah v=λ.f.

(4)

Změříme-li λ a f, můžeme z tohoto vztahu vypočítat podle rovnice (4) rychlost zvuku v daném prostředí. Vlnovou délku zvukové vlny pak můžeme zjišťovat různými způsoby. Nejpohodlněji a nejnázorněji lze měřit vlnové délky na stojatých vlnách. Vzdálenost dvou uzlů nebo kmiten je

λ

. V plynech lze zviditelnit uzly a kmitny např. 2 metodou Kundtovy trubice (viz obr. 4.1). Polohu uzlů a kmiten stojatých vln vzniklých ve skleněné trubici naplněné zkoumaným plynem je možné zviditelnit pomocí lehkého sypkého prášku, např. korkové drti. Délku zvukové vlny lze potom přímo měřit na vzniklých obrazcích tvořených práškem.

Obr. 4.1 Kundtova trubice Trubice je na jednom konci uzavřena, na druhém je zdroj zvuku. Zdrojem zvuku může být tyč, kterou podélně rozkmitáme. Tyč upevníme na vyznačených ryskách, takže na ní vznikne jedna vlna. Na konci tyče, která je zasunuta do Kundtovy trubice, je upevněn lehký píst, který se nesmí dotýkat stěn trubice. Kundtova trubice je uzavřena i z druhé strany pístem (viz levý píst v obr. 1), kterým můžeme posunovat, a měnit vzdálenost obou pístů. Změnou délky Kundtovy trubice tak můžeme dosáhnout podmínek vhodných pro vznik stojatých vln. Rezonance zvukových vln, při které se vytvoří nejzřetelnější práškový obrazec, nastane, když je délka trubice rovna celistvému násobku půlvln. Známe-li rychlost zvuku ve vzduchu, lze v uvedeném uspořádání měřit rychlost zvuku v tyči a modul pružnosti v tahu tyče. Kmitočet zvukové vlny v tyči souhlasí s kmitočtem zvuku v Kundtově trubici. Označíme-li vt rychlost zvuku v tyči, λt délku zvukové vlny v tyči, vv rychlost zvuku v plynu a λv délku zvukové vlny v plynu, dostaneme z rovnosti frekvencí podle rovnice (4) vztah

vt

λt

=

vv

λv

.

(5)

Změřením délky tyče stanovíme λt a proměřením obrazce v Kundtově trubici určíme λv.

30

Známe-li rychlost zvuku ve vzduchu vv, vypočteme ze vztahu (5) hledanou rychlost zvuku v tyči vt. Z rovnice (3) můžeme pro výpočet modulu pružnosti v tahu tyče získat výraz E = v12 ρ .

(6)

Postup měření 1) Korkový prášek rovnoměrně rozptýlíme po trubici. Trubice nesmí být mokrá nebo vlhká, aby korkový prášek neulpíval na jejích stěnách (v případně nutnosti použijeme k jejímu vysušení studeného vzduchu z fénu). Korkového prášku používáme jen malé množství, vzniklé obrazce jsou potom zřetelnější. 2) Uvedení tyče do podélného kmitavého pohybu se provádí podélným třením střední části tyče. Při měření s tyčí je třeba dbát, aby se píst nedotýkal stěn trubice. 3) Měření s každou tyčí (ocelovou nebo mosaznou) provedeme nejméně pětkrát. Užitečné tipy Při proměřování obrazce v Kundtově trubici je z hlediska přesnosti měření nejvýhodnější proměřit vždy co nejdelší obrazec. Chyba použitého měřidla (dobře uvažte, jak velkou chybu měřidla budete uvažovat) se pak vydělí příslušným počtem vlnových délek λv. Pro opakování měření je vhodné znovu rozptýlit prášek po celé délce Kundtovy trubice a třením tyče znovu získat rezonanční obrazec. Pokyny ke zpracování měření Pomocí vztahu (5) vypočteme rychlost zvuku v mosazné (resp. ocelové) tyči. Při výpočtech uvažujeme, že délka mosazné (resp. ocelové) tyče je 160 cm. Rychlost zvuku ve vzduchu závisí na teplotě podle vztahu v = 331,5 1 +

t 273

[m.s-1],

(7)

kde t je teplota ve stupních Celsia. Vypočteme průměrnou hodnotu rychlosti. Určíme chybu statistickou, chybu metody (chybu nepřímého měření), a z nich pak stanovíme chybu výslednou. Do konečného výsledku (a do závěru protokolu) uvedeme chybu výslednou a chybu relativní. Podobně postupujeme v případě modulu pružnosti v tahu. Zjištěné hodnoty porovnáme s hodnotami, které nalezneme v Tabulkách.

31

5. Měření tíhového zrychlení pomocí reverzního kyvadla Úkol: Pomocí měření na reverzním kyvadle určete hodnotu tíhového zrychlení.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.1.6.3; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 588-594; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 419-420. Pomůcky Reverzní kyvadlo, stopky, délkové měřidlo, milimetrový papír. Princip měření Pro dobu kmitu T matematického kyvadla o délce L platí známý vzorec

T = 2π

L , g

(1)

v němž g je tíhové zrychlení. Necháme-li např. těžkou kouli kývat na tenkém lehkém vlákně, můžeme se velmi přiblížit podmínkám, za kterých byla rovnice (1) odvozena. Přesnějších výsledků lze dosáhnout při měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem, které představuje kyvadlo fyzické. Je známo, že fyzické kyvadlo kývá se stejnou dobou kmitu kolem dvou rovnoběžných os ležících v rovině, která prochází těžištěm kyvadla, ve dvou případech: a) jsou-li tyto dvě osy symetricky položeny vzhledem k těžišti, b) jsou-li tyto dvě osy od sebe vzdáleny o redukovanou délku fyzického kyvadla. Pro experimentální využití je důležitý případ b). Nalezneme-li v kyvadle dvě rovnoběžné osy, kolem nichž kývá kyvadlo se stejnou dobou kmitu, a leží-li tyto osy v rovině procházející těžištěm tak, že jsou vůči němu symetricky položeny, víme, že vzdálenost mezi nimi je redukovaná délka kyvadla Lr. Pro dobu kmitu T fyzického kyvadla s redukovanou délkou Lr platí vzorec shodný s (1), v němž L zaměníme za Lr, tj. L T = 2π r . (2) g

32

Pro dobu kyvu τ fyzického kyvadla s redukovanou délkou Lr pak platí

τ =π

Lr . g

(3)

Změříme-li Lr a určíme-li τ můžeme gravitační zrychlení vypočítat podle vztahu

g=

π 2L . τ2

(4)

Konkrétní provedení reverzního kyvadla může být různé. V našem případě je reverzní kyvadlo tvořeno kovovou tyčí se dvěma osami o1, o2, vytvořenými břity trojbokých hranolů obrácenými ostřím k sobě. Po tyči se může pohybovat posuvný přívažek. Hledáme takovou polohu přívažku, pro kterou platí, že kyvadlo kýve na obou osách se stejnou dobou kyvu. Nalezneme-li v kyvadle dvě rovnoběžné osy, kolem nichž kývá kyvadlo se stejnou dobou kmitu, a leží-li tyto osy v rovině procházející těžištěm tak, že jsou vůči němu nesymetricky rozloženy, víme, že vzdálenost mezi nimi je redukovaná délka kyvadla Lr. Pro určení polohy přívažku , při níž kyvadlo kývá kolem kterékoli z obou os se stejnou dobou kyvu, je vhodné užít grafickou interpolaci (viz obr. 5.1). Použijeme k tomu graf, na jehož osu x vynášíme polohu přívažku a na osu y příslušné doby kyvu kyvadla. Jelikož doby kyvů kolem obou os kyvadla nejsou přesně stejné, přísluší každé poloze přívažku dvě doby kyvu – jedna pro dobu kyvu kolem jedné osy, druhá pro dobu kyvu kolem druhé osy kyvadla. Změříme doby kyvu kolem obou os pro dvě různé polohy přívažku. Spojíme přímkou body odpovídající dobám kyvu kolem stejné osy. Získáme dvě přímky; souřadnice x jejich průsečíku udává polohu přívažku, při které provedeme další měření. Při této poloze přívažku budou již pravděpodobně doby kyvu kolem obou os stejné. Budou-li se přesto ještě lišit, provedeme postup grafické interpolace znovu s polohami přívažku blízkými hodnotě příslušné průsečíku x obou přímek. Obr. 5.1 Příklad grafické interpolace

33

Postup měření 1) Vhodným délkovým měřidlem určíme vzdálenost břitů L. 2) Závaží reverzního kyvadla posuneme do krajní polohy (na nulu) a rozkýveme kolem prvního břitu. Změříme dobu 100 kyvů (pozor měříme dobu 100 kyvů, ne kmitů!) a zaneseme do grafu, který sestrojíme na milimetrovém papíru. Na osu x vynášíme polohu závaží a na osu y příslušnou dobu kyvu kyvadla (bod 1). Měřítko grafu zvolíme tak, jak je to znázorněno na obrázku, osy očíslujeme podle výsledků měření v krajních polohách. 3) Reverzní kyvadlo otočíme na druhý břit a rozkýveme. Změříme opět dobu 100 kyvů a zaneseme do grafu (bod 1'). 4) Závaží posuneme do druhé krajní polohy (vzdálenost vyčteme na stupnici). Rozkýveme kolem prvního břitu, zjistíme dobu 100 kyvů a zaneseme do grafu (bod 2). 5) Kyvadlo otočíme na druhý břit a celý postup zopakujeme (získáme bod 2'). 6) V grafu spojíme přímkou body příslušející prvnímu břitu (body 1 a 2) a druhému břitu (body 1' a 2'). Souřadnice x1 jejich průsečíku udává polohu závaží, při které je doba kyvu kolem obou os blízká, odpovídající souřadnice y1 udává přibližnou dobu kyvu. 7) Dalšími měřeními zpřesňujeme tyto hodnoty. Závaží reverzního kyvadla posuneme mezi zjištěnou polohu x1 průsečíku a krajní polohu "2", asi do jedné třetiny vzdálenosti od x1, a provedeme měření na obou břitech (body 3 a 3'). 8) Body 3 a 3' nám nyní nahrazují body 2 a 2'. Využijeme jich tedy (spolu s body 1 a 1') ke zpřesnění výsledné polohy, analogicky s bodem 6 tohoto návodu (spojíme 1 – 3 a 1'- 3'); průsečík o souřadnicích x2, y2 nahrazuje původní bod x1, y1. 9) Pro další měření posuneme závaží reverzního kyvadla mezi zjištěnou polohu x2 průsečíku a krajní polohu "1", asi do jedné třetiny vzdálenosti od x2, a provedeme měření na obou břitech (body 4 a 4'). 10) Souřadnice x3 průsečíku přímek (3, 4) a (3', 4') udává přesněji polohu závaží a souřadnice y3 přesnější dobu kyvu. 11) Postup můžeme opakovat, abychom dosáhli přesnějších hodnot. 12) Pro výpočet použijeme dobu kyvu, kterou udává souřadnice yn posledního měření. Dobu kyvu pro první tři nastavené polohy závaží určujeme ze 100 kyvů, pro další polohy závaží z 200 kyvů. Rozkmit kyvadla volíme menší než 4°. Pokyny ke zpracování měření Zjištěnou hodnotu tíhového zrychlení g porovnáme s hodnotou, kterou nalezneme v Tabulkách (nejvhodnější je nalézt přímo hodnotu tíhového zrychlení v místě, které má podobnou zeměpisnou šířku jako místo, v němž měření konáme, tedy např. v Praze nebo přímo v Ústí nad Labem). Odhadneme chybu metody jako chybu nepřímého měření. O přesnosti výsledku v našem případě rozhodují chyby veličin Lr (vzdálenost břitů) a τ.

Úkoly: Uvažte, kterou veličinu je třeba měřit s větší pečlivostí, aby chyba měření byla co nejmenší. Zamyslete se nad tím, jakým způsobem odhadnete velikost chyby doby kyvu τ.

34

6. Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku Úkoly: 1. Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). 2. Určete modul pružnosti ve smyku tyče metodou dynamickou.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.3.1., čl. 2.3.1.1, čl. 2.3.1.2, čl. 2.1.1.2, čl. 1.2.4g, čl. 1.4.1.1, čl. 1.3.5; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 362-363, 369-375; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 342-344. Pomůcky Zařízení k měření Youngova modulu z protažení drátu, drát, závaží, stupnice, zdroj střídavého napětí, zařízení k měření modulu pružnosti ve smyku (tyč s možností uchycení drátu), homogenní rotační válec, stopky, délková měřidla. Princip měření Z různých elastických konstant vybíráme pro charakteristiku materiálu nejčastěji modul pružnosti v tahu E (obvykle nazývaný Youngův modul pružnosti) a modul pružnosti ve smyku G (zkáceně nazývaný také modul smyku (torze)), neboť ostatní elastické konstanty lze z modulů E a G vypočítat. Jednotkou obou modulů je Pa. V dalších úvahách se omezíme na nejjednodušší případ, kdy deformace a napětí jsou přímo úměrné a jejich poměr není časově závislý; tedy na případ, který je popisován klasickou teorií pružnosti. Dále budeme předpokládat, že deformovaná látka je izotropní. Modul pružnosti v tahu je konstanta úměrnosti mezi deformací (poměrným prodloužením) ∆l / l0 = ε a napětím F / S = σ tahem namáhaného vzorku (v našem případě drátu). Tato úměra je obsahem Hookova zákona, který obvykle píšeme ve tvaru

∆l 1 F = . , l0 E S

(1)

kde ∆l značí prodloužení, tj změnu délky způsobenou silou F, l0 původní délku vzorku (drátu), F tahovou sílu a S průřez vzorku (drátu). Při měření modulu E můžeme vycházet přímo z rovnice (1) a zjišťovat poměr napětí σ = F / S k deformaci ε = ∆l / l0 . Nejprve změříme původní délku vzorku l0 a původní průřez S0, potom sledujeme závislost prodloužení ∆l na působící síle F. Malé změny průřezu S při protahování vzorku zpravidla zanedbáváme.

35

Z přímých metod určení Youngova modulu E popíšeme metodu, podle které stanovíme modul E z protažení drátu. Tuto metodu budeme také používat v laboratorním cvičení. Z rovnice (1) plyne že

E=

l0 F . . ∆l S

(2)

Chceme-li měřit v oblasti, kde deformace je úměrná napětí, tj. pro deformace nejvýše 1 až 2 %, musíme měřit poměrně malá prodloužení ∆l. K měření těchto malých délkových rozdílů slouží speciální zařízení, kde protažení vzorku (drátu) je převáděno na otáčení zrcátka (viz obr. 6.1).

Obr. 6.1 Zařízení k měření Youngova modulu z protažení drátu V tomto případě vedeme drát D na jednom konci upevněný přes kladku K o poloměru R k misce M, na kterou klademe závaží. Na kladce je připevněno zrcátko Z. Úhel pootočení ∆α zrcátka souvisí s prodloužením ∆l drátu vztahem

R . ∆α = ∆l . (3) Úhel ∆α registrujeme metodou zrcátka a stupnice. Tato metoda umožňuje měřit velmi malé úhly. Na zrcátko Z, které je pevně spojeno s kladkou (viz obr. 6.1), vyšleme světelný svazek, který po odražení zachytíme na stupnici (viz obr. 6.2).

Obr. 6.2 Metoda zrcátka a stupnice Stočení zrcátka o úhel α způsobí změnu směru paprsku odraženému od zrcátka o úhel 2α. Stupnici postavíme kolmo k paprsku odraženému od rovnovážné polohy zrcátka ZR. Stopa dopadne na stupnici v místě n0. Stočí-li se zrcátko od rovnovážné polohy do

36

polohy ZV o úhel α, dopadne stopa na stupnici v místě n. Pro vzdálenost n - n0 platí vztah

tg 2α =

n − n0 , l

(4)

v němž l je vzdálenost stupnice od zrcátka. Pro stanovení úhlu α se často užívá přibližný vzorec

α=

n − n0 , 2l

(5)

vhodný pro malé hodnoty α. Metodou zrcátka a stupnice lze běžně dosáhnout přesnosti jedné úhlové minuty. Použitím přibližného vzorce (5) místo vzorce (4) vzniká pro úhel rovný 5° chyba 1 %.

Modul pružnosti ve smyku G udává vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací γ ve tvaru

γ=

1 F . , G S

(6)

kde γ je úhel smyku, F smyková síla a S plocha, v níž působí smyková síla. Modul pružnosti ve smyku G se nejčastěji určuje z torze tyčí. Vztah (6) přejde při torzi tyče v obdobný vztah mezi úhlem stočení ϕ tyče a momentem síly M vyvolávajícím torzi, který má tvar

ϕ=

1 1 M= M kG D

(7)

a v němž jedinou materiálovou konstantou je modul pružnosti ve smyku G. Konstanta k v rovnici (7) závisí pouze na tvaru tyče podrobené torzi. V druhé části rovnice (7) je výraz kG nahrazen veličinou D, která se nazývá direkční moment tyče. Modul pružnosti ve smyku měříme buď staticky, tj. tak, že měříme úhly stočení ϕ příslušné daným torzním momentům M a z rovnice (7) vypočítáme modul G, nebo dynamicky tak, že necháme tyč vykonávat torzní kmity. V našem případě užijeme ke stanovení modulu pružnosti ve smyku G dynamickou metodu. Na tyči necháme torzně kmitat těleso, jehož moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející tyčí je J. Při torzních kmitech je osa otáčení tělesa stálá a pohyb tělesa lze pak vypočítat podle pohybové rovnice tělesa otáčejícího se kolem pevné osy. Tato pohybová rovnice má tvar

J

d 2ϕ =M , dt 2

37

(8)

kde ϕ je úhel stočení tělesa, t čas a M moment síly vůči ose otáčení. Podle rovnice (7) je však M = Dϕ , přičemž moment síly Dϕ působí proti stočení tělesa. Po dosazení tohoto momentu se záporným znaménkem do rovnice (8) dostaneme

J

d 2ϕ + Dϕ = 0 . dt 2

(9)

Z této diferenciální rovnice plyne, že těleso o momentu setrvačnosti J bude vykonávat na tyči mající direkční moment D harmonické torzní kmity s úhlovou frekvencí

ω=

D . J

(10)

Z této rovnice, naradíme-li úhlovou frekvenci ω dobou kmitu T, dostáváme

J . D

T = 2π

(11)

Pro měření užíváme nejčastěji tyč kruhového průřezu, která bývá zpravidla tenká, takže je vhodnější nazvat ji drátem. Dosadíme-li potom do rovnice (11) za direkční moment D vztah (viz podrobněji v doporučené literatuře)

D=

πGr 4 2l

,

(12)

dojdeme po úpravě pro hledanou hodnotu modulu pružnosti ve smyku k rovnici

G=

8πlJ . r 4T 2

(13)

Z této rovnice lze určit G proměřením rozměrů drátu, tj. délky l a průměru 2r, zjištěním momentu setrvačnosti J a stanovením doby kmitu T. Jestliže necháme na měřeném drátu torzně kmitat těleso jednoduchého geometrického tvaru, např. homogenní válec, lze jeho moment setrvačnosti jednoduše zjistit zvážením a změřením rozměrů tohoto válce. Moment setrvačnosti homogenního rotačního válce o hmotnosti m a poloměru R, jehož osa splývá s osou drátu je vyjádřen vzorcem

J=

1 mR 2 . 2

(14)

Postup měření 1) Při měření Youngova modulu pružnosti zatěžujeme drát závažími v rozsahu od 300 g do 1 000 g postupně po 100 g (před započetím měření je nutno na drát zavěsit dvě závaží po 100 g, aby byl drát vypnutý a rovný). Po dosažení největšího zatížení závaží postupně odebíráme. Prodloužení drátu změříme pomocí metody otočného zrcátka a stupnice.

38

Provedená měření zpracujeme pomocí metody postupných měření (viz Pokyny ke zpracování měření). 2) Změříme modul ve smyku tenké tyče (drátu). Na tyči necháme torzně kmitat homogenní rotační válec o hmotnosti m = (1 773,5 ± 0,5) g. Provedeme dostatečný počet měření. K výpočtu chyby měření použijeme postup, který je popsán v „Pokynech ke zpracování měření“ (viz následující text).

Pokyny ke zpracování měření Výsledky získané při měření modulu pružnosti E v tahu zpracujeme metodou postupných měření. Tuto metodu je vhodné použít tehdy, jestliže máme k dispozici soubor měření, která na sebe těsně navazují a vyznačují se tím, že koncový bod jednoho měření je současně výchozím bodem měření dalšího. V našem případě je tato podmínka splněna, neboť měření je uspořádáno tak, že postupně zvyšujeme zatížení F a odečítáme příslušné hodnoty prodloužení ∆l vzorku. Tím získáme řadu hodnot ∆l1, ∆l2, ∆l3,…, ∆ln, které odpovídají hodnotám F1, F2, F3,…, Fn. Volíme-li přitom hodnoty zatížení tak, aby vytvořily aritmetickou posloupnost, jde o měření s ekvidistantními hodnotami argumentu F. To znamená, že intervaly po sobě jdoucími hodnotami (Fi, Fi-1) jsou konstantní a rozdíly F2 - F1 = F3 - F2 = … = Fn - Fn-1 stejné. Kdyby měření probíhala bez chyb, byly by i rozdíly

∆l2 - ∆l1, ∆l3 - ∆l2, … , ∆ln - ∆ln-1 stejné. Ve skutečnosti si tyto rozdíly nejsou rovny a úkolem výpočtů je právě nalézt jejich nejpravděpodobnější hodnotu. Provedená měření rozdělíme do dvou početně stejných skupin, takže každá skupina obsahuje n/2 = k měření. Je-li celkový počet měření n číslo liché, jedno měření (zpravidla první) vynecháme. Rozdíly měřených hodnot ∆l bereme mezi hodnotami téhož pořadí obou skupin, tj. mezi první hodnotou první skupiny a první hodnotou druhé skupiny, mezi druhou hodnotou první skupiny a druhou hodnotou druhé skupiny atd. Celkový počet takto vytvořených rozdílů

∆lk+1 - ∆l1, ∆lk+2 - ∆l2, ∆lk+3 - ∆l3, …, ∆ln - ∆lk je k a každý z nich představuje k-násobnou hodnotu rozdílu dvou po sobě jdoucích hodnot. Nejpravděpodobnější hodnota rozdílu bude

∆l =

1  ∆lk +1 − ∆l1 ∆lk + 2 − ∆l2 ∆lk + 3 − ∆l3 ∆l − ∆lk  + + + ... + n  , k k k k k 

což lze psát

∆l =

k  1 1  n ( ) ( ) [ l l l ... l l l l ... l ] l ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ = ∆ − ∆li   ∑ ∑ k +1 k +2 k +3 n 1 2 3 k i 2 2 k k  i = k +1 i =1 

nebo

39

∆l =

k  1  n l 2 ∆ − ∆li  .  ∑ i 2 ∑ k  i =1 i =1 

(15)

Po výpočtu nejpravděpodobnější hodnoty ∆l , známe-li F a je-li změřeno l0 a S, snadno ze vztahu (2) stanovíme hodnotu modulu E pružnosti v tahu. Pro pravděpodobnou chybu konečného výsledku měření modulu pružnosti v tahu platí vztah

υ (E) = E

υ 2 (l0 ) l02

+4

2 υ 2 (d ) υ (∆l )

d2

+

(∆l )2

.

(16)

Užitečný tip Příklad zpracování konkrétního měření podle výše uvedeného postupu naleznete v doporučené literatuře BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 1.4.1.1. Zde také naleznete postup výpočtu pravděpodobné chyby konečného výsledku. Do celkové chyby je však třeba kromě chyby pravděpodobné ještě započítat chybu metody. Dále tedy rozebereme, s jakou přesností je třeba měřit jednotlivé veličiny, použijeme-li k měření délky drátu metody zrcátka a stupnice a chceme-li dosáhnout v určení modulu E přesnosti asi 3 %. Délku drátu l a vzdálenost stupnice od zrcátka, tj. délky přibližně 1 m, stačí změřit s přesností asi 0,5 %, tj. pásovým měřítkem. Poloměr kladky R, který bývá 1 až 2 cm, stačí stanovit rovněž s přesností 0,5 %; v tomto případě však vzhledem k menší celkové měřené délce je nutné změřit průměr (2R) kladky posuvným měřítkem (pozor – je nutné měřit vnitřní poloměr kladky!). Při odečítání dílků na stupnici musí být dosaženo větší přesnosti než 2 %, což znamená, že posun značky, je-li stupnice dělená po 1 mm, musí být nejméně 5 cm. Nejobtížnější je dosáhnout dostatečně malé chyby odečítání průměru drátu. Potřebná přesnost stanovení průměru asi 1 % znamená při průměru drátu 0,2 mm měřit s přesností 2.10-3 mm. V tomto případě již plně nevyhovuje ani měření mikrometrickým šroubem a průměr by bylo třeba proměřit indikátorovými hodinkami (viz podrobněji v doporučené literatuře [2], čl. 2.1.1.1). Nepřesnosti závaží a chybu vzniklou náhradou α za tg α v metodě zrcátka a stupnice lze zanedbat. Konečný výsledek pak uvedeme např. ve tvaru

E = (2,08± 0,07).1011 Pa s relat. chybou 3,37 %. Dále uvedeme příklad rozboru přesnosti měření modulu pružnosti ve smyku G. Ukážeme, jakou celkovou chybou bude toto měření zatíženo (v konkrétním případě měření v praktiku je nutné zvážit, zda byly k měření použity stejné přístroje jako v dále uvedeném rozboru, hodnoty odhadovaných chyb se pak mohou od níže uvedených poněkud lišit).

40

Jestliže dosadíme ze vztahu (14) do vztahu (13) dostaneme pro modul pružnosti ve smyku vztah 4πlmR 2 . (17) G= T 2r 4 Vztah (17) ukazuje, že hledanou veličinu G získáme na základě změření pěti základních veličin l, r, R, m a T. Protože přesnost měřicích přístrojů zpravidla známe, můžeme odhadnout, jaké chyby se při měření každé jednotlivé veličiny dopustíme. V našem případě změříme délku l drátu pásovým měřítkem a jeho průměr 2r mikrometrem. Pásovým měřítkem lze měřit s přesností asi na 1 mm, mikrometrem přibližně na 0,01 mm. To znamená, že absolutní chyba v určení délky drátu je ∆l = 1 mm, v určení jeho poloměru ∆r = 0,005 mm. Ke stanovení průměru 2R válce použijeme posuvné měřítko, jímž lze měřit asi na 0,1 mm (v některých případech na 0,02 mm). Tedy absolutní chyba v určení poloměru válce bude ∆R = 0,05 mm. Hmotnost m válce stanovíme vážením s přesností na 0,1 g, je tedy ∆m = 0,1 g. Přesnost, s jakou odečteme dobu kmitu T stopkami, je asi 0,2 – 0,3 s (reakční doba člověka), takže ∆T = 0,2 s. Pro maximální chybu modulu pružnosti ve smyku platí (viz vztah (8) v části kap. 1.1)1

(∆G )max =

∂G ∂G ∂G ∂G ∂G ∆l + ∆r + ∆R + ∆m + ∆T , ∂l ∂r ∂R ∂m ∂T

(18)

přičemž ∂G ∂l ∂G ∂m ∂G ∂R ∂G ∂T ∂G ∂r

4πmR 2 G = T 2r 4 l 2 4πlR G = 2 4 = T r m 8πlmR G = =2 2 4 T r R 2 8πlmR G = − 3 4 = −2 T r T 2 16πlmR G =− = −4 . 2 5 T r r

=

(19)

Maximální relativní chyba, s níž bude modul pružnosti v torzi určen, bude dán vztahem ∆l ∆m ∆R ∆T ∆r  ∆G  + +2 +2 +4 .   = l m R T r  G  max

(20)

Uveďme ještě nakonec příklad konkrétního výpočtu maximální chyby měření. Předpokládejme, že měření jednotlivých veličin poskytla např. tyto výsledky:

1

Místo chyby maximální je možné udat střední chybu výsledku (viz vztah (9) v části kap. 1.1).

41

l = (55,2 ± 0,1) cm m = (808,6 ± 0,0 ) g 2 R = (55,00 ± 0,03) mm T = (1,814 ± 0,005) s 3 r = (0,505 ± 0,002 ) mm . Dosadíme-li do rovnice (20) za absolutní chyby ∆l, ∆m, … hodnoty, jež jsme předtím uvedli, a za veličiny l, m, … hrubě zaokrouhlené hodnoty aritmetických průměrů z uvedených dílčích výsledků, dostaneme pro odhad maximální relativní chyby hodnotu 1 0,1 0,05 0,2 0,005  ∆G  + +2 +2 +4   = 55 90 0,5  G  max 550 800

= 0,0018 + 0,0001 + 0,0018 + 0,0044 + 0,04 = 0,048 , tj. pro vyjádření v procentech platí

 ∆G    = 0,18 % + 0,01 % + 0,18 % + 0,44 % + 4 % = 4,8 % .  G  max Pro velikost střední relativní chyby plyne (viz vztah (10) v části kap. 1.1)

∆G  ∆l   ∆m   ∆R   ∆T   ∆r  =   +  + 4  + 4  + 16  G  l   m   R   T   r  2

2

2

2

2

= 0,001 627 = 0,0403 , tj. 4,03 % . Výpočet G z hodnot aritmetických průměrů dílčích měření jednotlivých veličin podle vzorce (17) vede k hodnotě

G = 7,93.1010 Pa. Střední chyba je pak 4,03 % z této hodnoty čili ∆G = 0,32.1010 Pa. Konečný výsledek pak můžeme zapsat ve tvaru

G = (7,9 ± 0,3) . 1010 Pa. Přesnost hledané veličiny G můžeme zhodnotit nejen pomocí maximální a střední relativní chyby, ale též pomocí pravděpodobné chyby υ (G ) (viz vztah (11) 2

Válec byl zvážen přesněji než na 0,1 g, proto chybu neuvažujeme a zapíšeme, jak je uvedeno, 0,0 g. Bylo měřeno celkem 50 kmitů, takže úhrnná doba T = 90,7 s. Chybu, s jakou odečítáme čas, tj. 0,2 – 0,3 s, dělíme také 50. 3

42

v části kap. 1.1). Pro pravděpodobnou chybu modulu pružnosti ve smyku bychom dostali následující vztah

 ∂G  2  ∂G  2  ∂G  2  ∂G  2  ∂G  2 υ =   υ (l ) +   υ ( m) +   υ ( R) +   υ (T ) +   υ (r ) .  ∂l   ∂m   ∂R   ∂T   ∂r  2

2

2

2

2

Po vyjádření parciálních derivací funkce G a po úpravě získá tato rovnice tvar

υ (G ) = G

υ 2 (l ) υ 2 (m) l2

+

m2

+4

υ 2 ( R) R2

+4

υ 2 (T ) T2

+ 16

υ 2 (r ) r2

.

Za pravděpodobné chyby a jednotlivé veličiny dosadíme hodnoty plynoucí z výsledků měření těchto veličin uvedených na předchozí straně. Při dosazování musíme dbát toho, aby pro každou veličinu pravděpodobná chyba υ a sama příslušná veličina byly udány v týchž jednotkách. Provedeme-li ještě patřičná zaokrouhlení, dojdeme k výrazu 2

υ (G ) = 7,93.10

10

2

2

2

2

 0,002   0,1   0,0   0,03   0,005   = 0,13.1010 Pa   +  + 4  + 4  + 16  55   800   55   90   0,5 

Celkový výsledek můžeme pak napsat ve tvaru

G = (7,93 ± 0,13) . 1010 Pa. Provedený rozbor a výpočet chyb ukázal, že modul pružnosti v torzi vyjde s maximální chybou 4,8 %, změříme-li základní veličiny s uvedenou přesností. Přitom jsme neuvažovali číslo π, které se ve vzorci (17) vyskytuje; jinými slovy předpokládali jsme o něm, že je udáno natolik přesně, že tuto chybu neovlivňuje. Číslo, jakým je π, nebo jemu podobné můžeme udat na libovolný počet desetinných míst, čili s libovolně vysokou přesností. Udáme-li π na dvě desetinná místa (3,14), tj. s chybou 0,05 %, zvýší se tím úhrnná maximální chyba přibližně na 4,85 %, udáme-li je na tři desetinná místa (3,142 s chybou 0,01 %), nebude již úhrnná chyba ovlivněna. Největší podíl na této chybě má ovšem měření průměru drátu (4 %), zatímco všechny ostatní veličiny dohromady přispívají jenom asi jednou pětinou této hodnoty. Znovu docházíme k závěru, že veličiny, které se vyskytují ve vzorci ve vyšší mocnině, musíme měřit přesněji než ostatní. Ukázali jsme, že výše uvedený rozbor dovoluje odhadnout, s jakou přesností bude měření prováděno. Často však postupujeme opačně. Předem určíme, jakou přesnost požadujeme na výsledné hledané veličině, a podle toho předepíšeme přípustné chyby měřených veličin. Je zřejmé, že tato úloha není splnitelná pro libovolně vysokou přesnost hledané veličiny. Výše přesnosti je dána součtem maximálních chyb, s jakými je možno měřit jednotlivé veličiny v určujícím vzorci. Úloha také není jednoznačně řešitelná, neboť součtu chyb měřených veličin určité hodnoty lze dosáhnout při různých hodnotách jednotlivých sčítanců. Je-li předem dán požadavek na přesnost, s jakou má být stanovena hledaná veličina, postupujeme takto: Vyjdeme z veličiny vystupující v určujícím vzorci s nejvyšší mocninou. U této veličiny bývá nejobtížnější dosáhnout takové minimální hodnoty chyby, aby mohlo být danému požadavku vyhověno. Podaří-li se to tak, aby po doplnění hodnot relativních chyb ostatních veličin dal součet požadovanou hodnotu, je úloha v daných možnostech řešitelná. Přitom je třeba si uvědomit, že je nejvýhodnější, mají-li

43

relativní chyby všech měřených veličin, tj. všechny sčítance v rovnici chyb, přibližně stejné hodnoty (princip stejných vlivů); nemá smysl neúměrně snižovat hodnotu jednoho sčítance vůči druhému. Abychom ujasnili naznačený postup, vrátíme se k uvedenému příkladu, ve kterém položíme požadavek, aby modul pružnosti v torzi byl stanoven s přesností 1,5 %. Nejtěžším problémem bude dosáhnout dostatečně malé chyby při měření průměru drátu. Metoda mikrometrického šroubu v tomto případě nepostačí a bude nutné použít optický mikrometr nebo jiné zařízení, které dovolí změřit průměr 2r drátu nejvýše s chybou 0,002 mm. Pak ∆r/r bude 0,001/0,5 = 0,002, čili 0,2 %, a tedy 4∆r/r = 0,8 %. Kdybychom ponechali ostatní sčítance rovnice (20) beze změny, nedosáhli bychom ještě požadované hodnoty přesnosti. Bude proto třeba snížit relativní chybu měření doby kmitu, aby nepřesahovala asi 0,25 %. Má-li se 2∆T/T = 0,25/100 = 0,0025, musí při ∆T = 0,2 s být T = 160 s, což odpovídá době asi 88 kmitů. Takto dospějeme k odhadu maximální hodnoty relativní chyby  ∆G    = 0,18 % + 0,01 % + 0,18 % + 0,25 % + 0,80 % = 1,42 % .  G  max

Pořadí sčítanců je stejné jako v rovnici (20). Udáme-li π na dvě desetinná místa (tj. s chybou 0,05 %), bude (∆G/G)max přibližně rovno 1,5 %, jak bylo požadováno.

44

7. Měření dutých objemů pomocí komprese plynu a určení Poissonovy konstanty vzduchu Úkol 1: Určete objem skleněné láhve s kohoutem kompresí plynu. Pomůcky Měřený objem (láhev s kohoutem), speciální plynová byreta s porovnávacím ramenem, délkové měřidlo, teploměr. Princip měření Objem nádoby lze určit tak, že ji vyplníme beze zbytku vodou a poté vodu zvážíme. Je-li hmotnost vody vyplňující nádobu mV, platí pro objem nádoby vztah V =

mV

ρV

= mV VV ,

(1)

kde ρV je hustota vody a VV je objem 1 g vody, pro nějž platí vztah

V = 0,9998 (1+0,00018 t)

 cm 3 o  , C ,   g 

(2)

kde t je teplota. Objemy, jejichž velikost nelze z nějakých důvodů měřit vážením vody, je možno měřit kompresí plynu. V tomto případě použijeme uspořádání patrné z obr. 7.1. K měřenému objemu V se připojí horní konec plynové byrety B , jejíž dolní konec je spojen se svislou srovnávací trubicí T stejného průměru a se zásobní nádobou Z, z níž je možno přetlakem vzduchu vytlačovat vodu do byrety a srovnávací trubice. Předpokládejme, že byreta je dělená shora dolů, tj. že nahoře je nultý dílek. Sahá-li voda v byretě před kompresí k dílku V0 a stoupne-li po kompresi k dílku V1, stoupne tlak v objemu z původní hodnoty p na hodnotu p + ∆p.

Obr. 7.1 Schéma plynové byrety

45

Podle Boyle-Mariotteova zákona platí (V0 + V).p = (V1 + V).(p + ∆p) ,

(3)

kde V je měřený objem. Pro něj lze úpravou dostat vztah

V = (V0 − V1 )

p − V1 . ∆p

(4)

Takto změřený objem zahrnuje ovšem i objem hadičky spojující byretu s měřeným objemem. Atmosférický tlak p určíme pomocí údaje barometru v místnosti podle vztahu

pPa = pTorr . 133,322.

(5)

Přetlak ∆p odečtený na srovnávací trubici určíme ze vztahu ∆p = ∆h.ρ.g ,

(6)

kde ∆h je rozdíl výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici měřený v metrech, ρ je hustota vody, g je tíhové zrychlení.

Postup měření 1) Na počátku komprese musí být hladiny v byretě a ve srovnávací trubici ve stejné výšce (nutno vytáhnout kohout). Výšku zásobní nádoby nad podložkou nastavíme tak, aby hladina vody v byretě dosahovala k požadovanému dílku (volíme co největší vzdálenost od nultého dílku). 2) Odečteme objem V0. 3) Kohout zasuneme zpět (doporučuje se několikrát s ním pootočit, aby kohout dobře těsnil). Nastavíme jej tak, aby správně odděloval měřený objem od okolní atmosféry (byreta musí zůstat spojená s měřeným objemem!!). 4) Provedeme kompresi plynu tak, že zásobní nádobu vysuneme opatrně nahoru. Rozdíl výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici volíme co největší. Odečteme objem V1. 5) Pomocí milimetrového měřítka (případně katetometru) změříme rozdíl výšek hladin ∆h vody v byretě a ve srovnávací trubici. 6) Změříme teplotu vody a určíme její hustotu pomocí vzorce nebo tabulky, která je uvedená v úloze Měření hustoty látek (úloha 1). 7) Měření 10krát opakujeme. Pokyny ke zpracování měření Do tabulky jsme během měření zaznamenali hodnoty V0, V1, ∆h. Z hodnoty rozdílu výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici ∆h vypočteme nejprve podle vztahu (6) přetlak ∆p. Dosazením V0, V1, ∆p do vztahu (4) vypočteme objem V nádoby. Hodnoty V a ∆p zaznamenáme do tabulky. Z takto získaných hodnot objemu nádoby V vypočteme průměrnou hodnotu, určíme absolutní chybu (ta bude zahrnovat střední

46

kvadratickou chybu aritmetického průměru, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru a chybu metody) i relativní chybu. Konečný výsledek uvedeme např. ve tvaru

V = (1,68 ± 0,10).10-4 m3.

Úkol: Zamyslete se na tím, jakou funkci má oddělovací kohout u měřeného objemu V nádoby na obr. 7.1. Jak byste tento kohout využili k určení objemu nádoby, do kterého by nebyl zahrnut i objem hadičky spojující byretu s měřeným objemem?

Úkol 2: Určete Poissonovu konstantu vzduchu.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 3.2.2, čl. 3.2.2.4; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 524-525; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 541-542. Pomůcky Teploměr, barometr, skleněná báň se dvěma kohouty, otevřený manometr, hustilka. Princip měření Vzhledem k velké stlačitelnosti plynů je snadné realizovat u nich podmínky odpovídající nejen izobarickému, ale i izochorickému ději. Z toho důvodu je také třeba rozlišovat u plynů měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku a měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu. Poissonova konstanta je poměr měrného tepla cp při stálém tlaku k měrnému teplu cv při stálém objemu

χ=

cp cv

.

(7)

χ má ve všech soustavách stejnou číselnou hodnotu. Pro všechny plyny je poměr měrných tepel větší než 1 a závisí na počtu atomů v molekule plynu. Hodnotu Poissonovy konstanty můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději4, který je popsán Poissonovou rovnicí 4

Při adiabatickém stlačení plynu v nádobě se působením vnější síly na píst koná práce W, která je rovna přírůstku ∆U vnitřní energie plynu (W = ∆U). Při adiabatickém rozpínání koná plyn práci W´, která je rovna záporné změně vnitřní energie plynu. V praxi dosáhneme adiabatického stlačení, nebo rozpínání zmenšením, nebo zvětšením objemu plynu v tak krátké době, že mezi plynem a okolím neproběhne tepelná výměna.

47

p . V χ = konst,

(8)

kde p, V jsou tlak a objem plynu. Jednoduchá experimentální metoda k určení Poissonovy konstanty vzduchu je tzv. ClémentovaDésormesova metoda. Vzduch se nejdříve stlačí ve velké báni B (viz obr. 7.2) tak, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku b přetlak h (několik cm vodního sloupce). Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak

p1 = b + h.

(9)

Příslušný objem vzduchu v báni, který po adiabatické expanzi bude mít objem V2, označíme V1. Teplotu plynu, která by měla být shodná s teplotou okolí, označíme T1. Vnitřek báně je od vnějšího vzduchu oddělen kohoutkem K. Otevřemeli jej na velmi krátkou dobu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně na hodnotu barometrického tlaku b, tedy

p2 = b

Obr. 7.2 Scéma ClémentovaDésormesova přístroje

(10)

Je to tak, jako by proběhla adiabatická expanze vzduchu v báni z počátečních podmínek V1, T1, p1 do stavu určeného veličinami V2, T2 < T1, p2 (kde V2 je objem báně). Po určité době se teplota vzduchu v báni vyrovná vnější teplotě T1 a tlak přitom stoupne o přírůstek h', který změříme. Tato změna je izochorická. Celkový tlak je

p3 = b + h'.

(11)

Pro první (adiabatickou) změnu stavu vzduchu dostaneme z Poissonovy rovnice (8), za předpokladu, že vzduch můžeme považovat za ideální plyn, rovnici

p1  V2  =  p 2  V1 

χ

(12)

Změna ze stavu V1, T1, p1 do stavu V3 = V2, T3 = T1, p3 je izotermická a platí pro ni Boyle-Mariotteův zákon

p1 V2 = . p3 V1

48

(13)

χ

V  Rovnici (13) umocníme na χ a dosadíme do ní za  2  . Dostaneme pak  V1  χ

p1  p1  =  . p 2  p3 

(14)

Po dosazení za tlaky do rovnice (14) a zlogaritmování této rovnice pak získáme Poissonovu konstantu

χ=

log(b + h) − log b . log(b + h) − log(b + h´)

(15)

Protože h je mnohem menší než b, můžeme s použitím rozvoje pro logaritmus psát

log(b + h ) = log b +

h b h′ log(b + h ′) = log b + b Pro Poissonovu konstantu vzduchu χ pak dostaneme vztah

χ=

h . h − h´

(16)

Postup měření 1) Vzduch v báni B stlačíme pomocí balónku, který je připojený k trubici 1. Kohout K přitom musí být zavřen a kohout K′ otevřen. Při měření můžete volit přetlaky až do maximálního rozsahu připojeného otevřeného vodního manometru. 2) Vyčkáme alespoň 7–10 min, až se přestanou měnit výšky hladin v trubicích manometru. Pomocí milimetrového papíru odečteme výškový rozdíl hladin h. 3) Provedeme adiabatickou expanzi tak, že rychle otevřeme kohout K (kohout K′ je uzavřen) a po vyrovnání hladin vody v manometru jej opět uzavřeme. 4) Opět vyčkáme alespoň 7–10 min, až se přestanou měnit výšky hladin v trubicích manometru. Pomocí milimetrového papíru odečteme výškový rozdíl hladin h´. 5) Měření provedeme alespoň pětkrát. Pokyny ke zpracování měření Dosazením h a h´ do vztahu (17) vypočteme Poissonovu konstantu χ. Ze získaných hodnot vypočteme průměrnou hodnotu této konstanty a střední kvadratickou chybu aritmetického průměru, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru, a relativní chybu. Chyba metody může být v tomto případě dosti velká, neboť odečítáme dvě veličiny h - h´, přičemž absolutní chyby těchto veličin se sčítají. Kromě toho je celá situace ještě komplikována tím, že v experimentálním uspořádání ClémentovaDésormersova pokusu ve fyzikálním praktiku se mohou projevovat čtyři výrazné zdroje systematických chyb, které mohou tuto chybu ještě zvětšovat. Jedná se především o:

49

a) Netěsnost aparatuty: netěsnost aparatury je možno experimentálně ověřit změřením přetlaku v závislosti na čase a chyby z toho plynoucí odhadnout. b) Ohřátí plynu při počáteční kompresi: v důsledku stlačení plynu balónkem při zavřeném kohoutu K přes kohout K′ dochází k zahřívání plynu v báni. K adiabatické expanzi (tj. k otevření kohoutu K) by nemělo dojít, pokud teplota plynu v báni není vyrovnaná s teplotou okolí. Vyrovnání teploty je možno kontrolovat pomocí manometru. c) Složení vzduchu v experimentální místnosti: v důsledku toho, že současně s měřením Poissonovy konstanty probíhají v experimentální místnosti další měření, při kterých se ohřívá a vaří voda na plynových kahanech, může docházet ke značnému zvyšování obsahu vodní páry a kysličníku uhličitého v měřeném vzduchu. Hodnota Poissonovy konstanty takového vzduchu bude snížena. d) Doba, po kterou je kohout K po expanzi otevřen, není zanedbatelná. Krátkodobým otevřením uzavíracího kohoutu tedy nedosáhneme přesně adiabatické změny, ale dojde i k částečné výměně tepla mezi plynem a okolím nádoby. Proto při určování χ můžeme dosáhnout přesnosti zhruba 2 až 3 %. Označme Tz dobu, která uplyne od okamžiku t = 0 otevření kohoutu K při expanzi do okamžiku opětovného uzavření t = tz. Předpokládejme, že k vyrovnání tlaků dojde ve velmi krátkém čase v prvních fázích otevření kohoutu K, že tedy expanze probíhá adiabaticky. Teplota plynu T v báni po expanzi je zásluhou přenosu tepla z okolí závislá na čase podle vztahu T(t) = T1 – (T1 –T2).e-t/C , kde C je časová konstanta pro ohřev plynu v báni způsobený přenosem tepla z okolí. Vzhledem k výše uvedeným skutečnostem tedy do výsledku uvedeme pouze chybu statistickou a zjištěnou hodnotu Poissonovy konstanty χ porovnáme s hodnotou tabulkovou.

Úkoly: 1) Proveďte podrobné odvození rovnice (16). 2) Snažte se alespoň při jednom měření Poissonovy konstanty proměřit časovou závislost tlaku plynu v báni v průběhu pokusu.

50

8. Měření rychlosti zvuku Úkol: Změřte rychlost zvuku ve vzduchu.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.6.3.1, čl. 2.6.3.2; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 617-618. Pomůcky Souosé papírové trubice s nalepeným milimetrovým papírem (uzavřený rezonátor), reproduktor, mikrofon, tónový generátor, měřič frekvence, osciloskop. Princip měření Rychlost šíření zvukových vln závisí na prostředí, kterým se vlnění šíří. Nejčastěji užívaná metoda k určení rychlosti zvuku ve vzduchu spočívá v určení vlnové délky a frekvence. Rychlost v se potom dá spočítat podle vztahu v = f . λ,

(1)

kde f je frekvence a λ vlnová délka zvukových vln. Měření rychlosti zvuku v plynu obsaženého v uzavřené trubici (uzavřený rezonátor) můžeme provést tak, že jako zdroj zvuku použijeme reproduktor připojený k tónovému generátoru. Pro přesné měření vlnových délek zvuku je třeba uzavřený rezonátor upravit vhodným způsobem. Nejčastěji bývá uzavřený generátor tvořen dvěma souosými trubicemi, které se do sebe zasouvají a podle stupně zasunutí vytvářejí různě dlouhý uzavřený rezonátor. Jako zdroj zvuku slouží reproduktor, umístěný u jednoho konce rezonátoru, zatímco u druhého konce je snímán zvuk mikrofonem.

Postup měření Změříme rychlost zvuku ve vzduchu třemi metodami, které jsou popsány v následujícím textu. Měření provedeme alespoň pro deset různých frekvencí. Měříme pouze pro frekvence, při nichž oba signály zůstávají sinusovými (rozsah frekvencí, ve kterém budeme měření provádět, určíme před vlastním měřením). Frekvenci měříme pomocí čítače impulsů, který je možno připojit rovnou k tónovému generátoru. Kvůli zesílení je vhodné na svislé ose osciloskopu ponechat slabší signál (tj. signál z mikrofonu). 1) V prvním případě necháme frekvenci zdroje zvuku stálou a vzájemným posouváním trubic nastavujeme délku rezonátoru odpovídající rezonanci. Vznik rezonance registrujeme mikrofonem, který je připojen na osciloskop (vstup B). Při rezonanci je elektrický signál snímaný z mikrofonu maximální (na osciloskopu pozorujeme

51

sinusoidu s maximální amplitudou). Rozdíl délek při nejbližších dvou rezonancích l1 – l 2 je roven polovině délky zvukové vlny. Rychlost zvuku pak vypočteme z rovnice

v = 2lf,

(2)

do níž za l dosadíme l1 – l 2.

Užitečný tip Z hlediska přesnosti měření je vhodnější určovat vždy násobek rozdílu délek l1 – l2. Chyba se pak bude tolik tolikrát menší, kolikrát je vlnová délka zvuku ve vzduchu λ obsažena v rozdílu délek l1 – l2. 2) Frekvenci zdroje zvuku necháme opět konstantní. Na osciloskop přivedeme jednak signál z reproduktoru (vstup A), jednak signál z mikrofonu (vstup B), který je vůči němu fázově zpožděný. Najdeme-li dvě různé polohy mikrofonu se stejným fázovým zpožděním, můžeme říci, že obě polohy jsou od sebe vzdáleny o délku l, která je rovna násobku vlnové délky. Rychlost zvuku pak vypočteme z rovnice

v = fl.

(3)

3) Pro zpřesnění odečítání na osciloskopu můžeme jeden ze signálů přivést na vodorovnou osu (signál z reproduktoru), druhý na svislou osu (signál z mikrofonu). Složením dvou kolmých kmitů vznikne Lissajousův obrazec. Jelikož je poměr frekvencí signálů 1:1, bude se na obrazovce osciloskopu měnit obrazec při zasouvání mikrofonu z úsečky na elipsu, kružnici, elipsu, přímku atd. Tvar křivky závisí na fázovém posunutí signálů. Najdeme-li dvě různé polohy mikrofonu, při nichž budou obrazce stejné, můžeme říci, že obě polohy jsou od sebe vzdáleny o délku l, která je rovna násobku vlnové délky. Rychlost zvuku určíme stejným způsobem jako v bodě 2.

Pokyny ke zpracování měření Do tabulky jsme během měření zaznamenali hodnoty frekvence f a násobek rozdílu l1 – l 2. Z těchto údajů vypočítáme vlnovou délku zvuku ve vzduchu λ a rychlost zvuku ve vzduchu v. Z takto získaných hodnot rychlosti zvuku vypočteme průměrnou hodnotu, určíme absolutní chybu (ta bude zahrnovat střední kvadratickou chybu aritmetického průměru, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru, a chybu metody) i relativní chybu. Průměrnou hodnotu rychlosti zvuku ve vzduchu a chyby měření je nutné určovat pro každou metodu zvlášť!

Úkol: Porovnejte přesnost jednotlivých použitých metod. Určete, která z metod je nejpřesnější.

52

9. Kalorimetrická měření Úkoly: 1. Určete tepelnou kapacitu kovového kalorimetru. 2. Určete měrnou tepelnou kapacitu kovového tělesa a kamene.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, kap. 3.2, čl. 3.2.1.1, 3.2.1.2, 3.2.1.3. Pomůcky Směšovací kalorimetr, teploměr, plynový hořák, stojan s azbestovou síťkou, kádinka, ocelové těleso, kámen, destilovaná voda. Princip měření Teplo je jedním ze základních pojmů termodynamiky a je těsně spjato s procesem předávání energie. Jedno těleso může dodat druhému tělesu energii nejen konáním práce, nýbrž i předáním tepla. Veličinou zásadního významu, která je předmětem většiny tepelných měření, je tepelná kapacita těles všech skupenských stavů, ale zejména tepelná kapacita vztažená na jednotku hmotnosti zkoumané látky, nazývaná měrná tepelná kapacita. Aby se tělesa stejné teploty, stejného chemického složení a stejné vnitřní stavby, která však mají různé hmotnosti, ohřála na tutéž teplotu, potřebují, aby jim bylo předáno tím větší množství tepla, čím větší je jejich hmotnost. Mají-li dvě tělesa hmotnost stejnou, ale jsou chemicky nebo svou vnitřní stavbou rozdílná, musí jim být obecně přivedeno různé množství tepla, aby se u nich dosáhlo stejného zvýšení teploty. Množství tepla, které musíme tělesu dodat, abychom zvýšili jeho teplotu o jeden kelvin, nazýváme tepelnou kapacitou C tělesa. Definujeme ji vztahem

C=

dQ , dT

(1)

vyjadřujícím podíl elementárního množství tepla dQ tělesu dodaného a příslušné změny teploty dT tělesa, s dodáním tepla spojené. Tepelná kapacita závisí na hmotnosti tělesa, na jeho chemickém složení a na podmínkách, za jakých bylo tělesu dodáno. Protože tepelné kapacity dvou těles chemicky totožných jsou v poměru jejich hmotností, platí mezi tepelnou kapacitou C a hmotností m tělesa přímá úměrnost

C = cm ,

(2)

v níž c je konstanta pro každou látku charakteristická, která se nazývá měrná tepelná kapacita (tj. tepelná kapacita jednotky hmotnosti dané látky). Dosadíme-li za tepelnou kapacitu podle rovnice (1) do rovnice (2), dostaneme pro měrnou tepelnou kapacitu vztah

53

c=

1 dQ . m dT

(3)

Podle tohoto vztahu rozumíme měrnou tepelnou kapacitou libovolné látky takovou fyzikální veličinu, jejíž číselná hodnota se rovná množství tepla, které je třeba dodat jednotce hmotnosti té látky, aby se její teplota zvýšila o jeden kelvin. Jednotkou měrné tepelné kapacity je podle toho J.kg-1.K-1. Měrná tepelná kapacita závisí na podmínkách, za nichž se tělesu teplo dodává, nebo se z něj odebírá. Při zahřívání, popř. ochlazování těles nastávají nejčastěji dva případy: buď udržujeme konstantní tlak p působící na těleso, nebo zachováváme objem V. V prvním případě mluvíme o měrné tepelné kapacitě při stálém tlaku

cp =

1  dQ    , m  dT  p

(4)

ve druhém o měrné tepelné kapacitě při stálém objemu

cV =

1  dQ    . m  dT V

(5)

Měrné tepelné kapacity cp a cV se u pevných látek a kapalin liší zpravidla velmi málo, takže v běžných případech k jejich rozdílu není třeba přihlížet. Podmínky při měření měrných tepelných kapacit pevných látek a kapalin (malá objemová stlačitelnost, malé změny tlaku při měření) vedou pak prakticky k tomu, že se zjišťuje měrná tepelná kapacita při stálém tlaku cp. Vzhledem k malé objemové stlačitelnosti těchto látek lze při nepříliš velkých změnách tlaku v průběhu měření pokládat získanou tepelnou kapacitu za měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku. Protože měrné tepelné kapacity pevných a kapalných látek získané měřením jsou tedy v podstatě vesměs měrnými tepelnými kapacitami při stálém tlaku cp, mluví se o nich často jako o měrných kapacitách c, aniž se udává děj, při kterém byla měřena. Hodnoty měrných tepelných kapacit při stálém objemu cv, které se ostatně pro pevné látky a kapaliny ve většině případů liší od měrných tepelných kapacit při stálém tlaku cp jen nepatrně, můžeme získat výpočtem z rovnice

cv = c p −

Tγ 2

ρχ

,

(6)

ve které T je teplota ve stupnici Kelvinově, γ součinitel objemové roztažnosti, ρ hustota a χ stlačitelnost dané látky. Měrné tepelné kapacity se běžně určují kalorimetry. Kalorimetr je tepelně izolovaná nádoba, ve které zkoumané látce dodáváme známé množství tepla Q. Nedochází-li při dodání tepla v kalorimetru k jinému ději (např. k fázovým přeměnám, chemickým reakcím apod.) než k oteplování zkoumané látky, můžeme pro její měrnou tepelnou kapacitu na základě rovnice (3) napsat vztah

54

c=

Q , m(t2 − t1 )

(7)

ve kterém m značí hmotnost vyšetřované látky, t1 její teplotu před dodáváním tepla a t2 teplotu po dodání tepla. Takto definovaná měrná tepelná kapacita c je střední hodnotou měrné tepelné kapacity z intervalu teplot (t1, t2). Rovnice (7) odpovídá ideálnímu případu, kdy veškeré teplo Q se předává zkoumané látce. Ve skutečnosti se vždy část tepla dodaného do kalorimetru spotřebuje na ohřátí jeho součástí, tj. nádoby, míchačky, teploměru apod., a část se odvede do prostředí, které ho obklopuje, protože tepelná izolace kalorimetru nemůže být ideálně adiabatická. V případě směšovacího kalorimetru je v kalorimetru kromě zkoumané látky ještě látka srovnávací a podmínky jsou i z tohoto hlediska složitější, než odpovídá rovnici (7). Teplo spotřebované na ohřátí součástí kalorimetru vystihneme, zavedeme-li do kalorimetrických výpočtů tepelnou kapacitu kalorimetru K. Ve shodě s definicí (1) je tepelná kapacita kalorimetru rovna teplu, které je třeba dodat všem konstrukčním součástkám kalorimetru, aby zvýšily svou teplotu o jeden kelvin. Tepelnou kapacitu kalorimetru zjišťujeme obvykle experimentálně5. S uvážením tepelné kapacity kalorimetru přejde rovnice (7) ve tvar

c=

Q K − . m(t2 − t1 ) m

(8)

Nejjednodušším typem kalorimetru je směšovací kalorimetr (viz obr. 9.1). Zkoumané látce je dodáváno nebo odebíráno teplo v kalorimetru jinou látkou o známé měrné tepelné kapacitě. Nejjednodušším druhem směšovacího kalorimetru je kovový kalorimetr, složený ze dvou plechových nádob, mezi nimiž je vzduchová mezera, vymezená korkovými vložkami, které vytvářejí tepelnou izolaci. Vnitřní nádoba bývá z lesklého mosazného plechu a je opatřena víčkem s dvěma otvory pro míchačku M a teploměr T. Obr. 9.1 Kovový směšovací kalorimetr Kalorimetr zčásti naplníme kapalinou chemicky nereagující se zkoumanou látkou, obvykle vodou o hmotnosti m1 a teploty t1, jejíž měrnou tepelnou kapacitu c1 známe. Když vložíme do kalorimetru látku o hmotnosti m2 vyhřátou na teplotu t2, jejíž měrnou tepelnou kapacitu c2 máme stanovit, dojde k výměně tepla. Teplo dodané zkoumanou látkou se rovná teplu, které odebere kalorimetr naplněný známou kapalinou.

5

I při dobré tepelné izolaci kalorimetrické nádoby, vznikají tepelné ztráty, protože dochází k nežádoucí výměně tepla mezi kalorimetrem a jeho okolím nebo obráceně. V tom případě je nutné provádět opravu na výměnu tepla s prostředím, které ho obklopuje. Podrobný výpočet tepelných ztrát je poměrně složitý (můžete se o něm dozvědět více např. v doporučené literatuře [2] v kap. 3.2, čl. 3.2.1.2).

55

Tato skutečnost je vystižena kalorimetrickou rovnicí

m2c2 (t2 − t ) = (m1c1 + K )(t − t1 ) ,

(9)

kde t značí teplotu, která se ustálí v kalorimetru po výměně tepla. Z rovnice (9) stanovíme měrnou tepelnou kapacitu c2 výpočtem, jestliže změříme teploty t1, t2, t, vážením zjistíme hmotnosti m1, m2, dosadíme-li známou hodnotu měrné tepelné kapacity c1 a určíme tepelnou kapacitu K kalorimetru.

Postup měření 1) Nejprve změříme tepelnou kapacitu kalorimetru K. Při měření tepelné kapacity kalorimetru postupujeme tak, že nejprve dáme do kalorimetru vodu o hmotnosti m1 a ponecháme ji v něm dostatečně dlouho, aby se všechny části kalorimetru ustálily na teplotě t1. Potom přidáme další vodu, jejíž hmotnost je m2 a teplota t2. Označíme-li teplotu, která se ustálí v kalorimetru po smíšení vody, t (vodní lázeň je vhodné promíchávat míchačkou) a měrnou tepelnou kapacitu vody c, dostaneme z rovnice (9) pro tepelnou kapacitu kalorimetru výraz

K=

m2 (t2 − t ) − m1 (t − t1 ) c. t − t1

(10)

2) Zjistíme měrnou tepelnou kapacitu kovového tělesa c2. Do kalorimetru nalijeme vodu o hmotnosti m1 a ponecháme ji v něm dostatečně dlouho, aby se všechny části kalorimetru ustálily na teplotě t1. Ve vodní lázni mezitím kovové těleso o hmotnosti m2 vyhřejeme na teplotu t2 = 100 °C (vaříme jej po určitou dobu v parách vroucí vody). Zahřáté kovové těleso vložíme do kalorimetru a určitou dobu vyčkáme, až se teplota ustálí (vodu občas promícháme míchačkou). Změříme teplotu t. 3) Postup uvedený v bodě 2 opakujeme pro kámen (případně pro jiné zvolené těleso).

Pokyny ke zpracování měření Z hodnot získaných v první části měření (m1, m2, t1, t2, t, c) vypočteme podle vztahu (10) tepelnou kapacitu kalorimetru K. Protože jsme toto měření neprováděli opakovaně, určíme pouze chybu metody. Z hodnot získaných ve druhé části měření (m1, m2, t1, t2, t) a z dalších zjištěných hodnot (c1, K) určíme podle vztahu (9) měrnou tepelnou kapacitu kovového tělesa i kamene (c2). Opět určíme chybu metody. Zjištěné hodnoty porovnáme s hodnotami, které nalezneme v Tabulkách.

56

Při použití směšovacího kalorimetru musíme často pro dosažení dostatečné přesnosti měření volit značně rozdílné výchozí teploty t1 a t2 obou směšovaných látek. Protože měrné tepelné kapacity látek závisí na teplotě, je volba velkého rozdílu teplot t2 - t1 nevýhodná. Při použití velkého teplotního rozdílu získáme totiž pouze průměrné hodnoty měrných tepelných kapacit v širokém teplotním intervalu. Používáme-li k měření měrných tepelných kapacit kovů, jejichž měrná tepelná kapacita je o jeden až dva řády menší než u vody, jednoduchého směšovacího kalorimetru, nelze se velkému rozdílu teplot vyhnout. Abychom dosáhli co nejvyšší přesnosti měření je třeba zajistit, aby hodnota rozdílu teplot t - t1 byla co největší (k tomu by bylo potřeba, aby počáteční teplota vody byla nižší než je teplota pokojová, dále je třeba vhodně volit vzájemný poměr hmotnosti kovu a vody). Změříme-li teplotu vody a teplotu po vyrovnání s přesností 0,1 °C, teplotu kovu s přesností 0,5 °C, a zvážíme-li hmotnosti látek s přesností 0,1 g, dostaneme pro hledanou měrnou tepelnou kapacitu kovu hodnotu zatíženou střední relativní chybou asi 1 %.

57

10. Studium Foucaltova kyvadla Úkoly: 1. Určete periodu kyvadla. 2. Určete útlum kyvadla. 3. Určete úhlovou rychlost stáčení roviny kyvu.

Prostudujte doporučenou literaturu: HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 106-107, 599-601. Pomůcky Kyvadlo s nosnou konstrukcí, laserová sonda, dva napájecí články, snímač doby kyvu, digitální stopky Tesla typ DST 11 (upravené pro připojení ke snímači kyvu), prodlužovací kabel, provázek, zápalky, izolepa, papír, závažíčka s nitěmi, svinovací metr, trojúhelník, značky, klíč k zámku kyvadla, papír. Princip měření6 Foucaultovo kyvadlo je v podstatě velmi slabě tlumené sférické kyvadlo, které se snaží zachovávat směr roviny kyvu vzhledem k nějaké inerciální vztažné soustavě (např. heliocentrické7). Poněvadž se však Země otáčí kolem své vlastní osy, rovina kyvu mění svoji polohu vzhledem k předmětům okolí. Kdyby bylo kyvadlo umístěno na zemském pólu, otočila by se rovina kyvu o 360º za jeden hvězdný den8. Odchylka je však závislá též na zeměpisné šířce ϕ místa na němž se kyvadlo nalézá. Pro velikost úhlové rychlosti stáčení roviny kyvu ω obecné platí

ω=

2π .sin ϕ , T

(1)

kde T je perioda rotace Země. Výpočet tohoto vztahu vychází z fyzikální teorie pohybů v neinerciálních vztažných soustavách. Stáčení roviny kyvu vzhledem k povrchu Země způsobuje Coriolisova síla (podrobnější vysvětlení naleznete v doporučené literatuře [2], s. 106).

6

Foucault Jean Bernard Leon (1819-1868) byl francouzský fyzik, který jako první podal přímý důkaz rotace Země kolem vlastní osy. Tato rotace byla prokázána pomocí pozemského laboratorního pokusu, nezávisle na pozorování stálic. Foucault provedl svůj slavný pokus v roce 1851 s kyvadlem tvořeným závažím 30 kg těžkým, zavěšeným na ocelovém drátě délky 67 m v kupoli pařížského Panteonu. 7 Heliocentrická vztažná soustava je vztažná soustava, jejíž počátek souřadnic leží v hmotném středu sluneční soustavy a souřadnicové osy míří ke zvoleným stálicím – tato soustava je považována za inerciální s velkou přesností. 8 Hvězdný den je doba, která uplyne mezi dvěma po sobě následujícími horními kulminacemi jarního bodu (jeden z průsečíků světového rovníku a ekliptiky), tj. 23 h 56 min 4,09 s.

58

Parametry instalovaného kyvadla9: Délka kyvadla (od upevnění lana do těžiště závaží): 19,20 m. Hmotnost závaží (čočka + tyč): 29,6 kg Tíhové zrychlení v Ústí nad Labem: 9,81081 m.s −2 Zeměpisná šířka Ústí nad Labem: ϕ = 50 o 40′

Postup měření Kyvadlo se nalézá na zadním schodišti nové budovy PF UJEP. 1) Po odemknutí zámku, necháme kyvadlo volně kývnout z krajní polohy od zdi; na podlahu vyznačíme rozsah možného kývání - tzv. ohrožený prostor.

Při manipulaci s kyvadlem je nutné dbát na bezpečnost práce. V ohroženém prostoru pracujte pozorně, aby nedošlo k úrazu. 2) Po zabrždění kyvadla v rovnovážné poloze přilepíme izolepou k podlaze pod kyvadlo papír. Do spodního konce tyče kyvadla zasuneme laserovou sondu s bateriemi (záporným pólem k zemi) a pootočíme o 90 o . Na podlaze uvidíme červenou tečku laserového světla. 3) Dále stanovíme rovnovážnou polohu kyvadla. Kyvadlo maximálně zklidníme a vyčkáme asi 5 minut. Z časových důvodů nelze čekat na úplné vymizení minimálních kmitů. Na papír vyznačíme krajní polohy červené světelné značky a z nich určíme bod rovnovážné polohy.

A. Měření periody a útlumu bude probíhat současně. 4) Přivážeme provázek k těžišti kyvadla, které je na nosné tyči vyznačeno drážkou. Pak vychýlíme kyvadlo ke zdi a přivážeme provázek ke kotvícímu oku. Doporučená výchylka od rovnovážné polohy je asi 1,5 m. Necháme ustálit. 5) Připojíme snímač-čítač pětikolíkovým konektorem k elektronickým stopkám, k zásuvce „REYMONTE CONTROL“ na zadním panelu stopek. Vypínač snímače je v poloze „0“. Připojíme stopky k síti a nastavíme je do režimu stopek. (Při zapojení do sítě se automaticky spouští jako hodiny, nutno přepnout.) Stopky ukazují „00,00,00“ a čekají na pokyny ze snímače. 6) Snímač položíme do místa rovnovážné polohy kyvadla. Prostřední fototranzistor nastavíme přesně do rovnovážného bodu. Dbáme, aby řada fototranzistorů byla kolmá k trajektorii závaží kyvadla.

9

Kyvadlo bylo vyrobeno jako součást diplomové práce posluchače Pavla Neumanna v letech 1996 – 1998. Na realizaci se podíleli: Katedra technické výchovy – zejména ing. Stančík a odb. instruktor pan Mackových, kteří společně se studentem Neumannem a dalšími vyrobili konstrukci na zavěšení kyvadla a provedli montáž kyvadla. Čočka závaží byla odlita v Severočeské armaturce a.s., která také výrobu tohoto dílu kyvadla sponzorovala.

59

7) Je-li kyvadlo ustálené, přepneme vypínač na snímači do polohy „I“. Na displeji snímače se objeví „-„ , snímač je v provozu a čeká na průchod kyvadla. 8) Přepálením provázku zahájíme měření. Samotné měření periody doby je zcela automatické. Stopky se automaticky spustí při průchodu rovnovážnou polohou a po deseti periodách se zastaví a ukazují dobu, kterou kyvadlo potřebuje na deset period, neboli dvacet kyvů. Tuto hodnotu je možné přečíst pouze po dobu jedné poloviny periody; je třeba ji ihned zapsat. Pak jsou stopky automaticky vynulovány a po další půlperiodě se opět stopky spustí k měření dalších deseti period. Tento cyklus se stále opakuje. Měření útlumu kyvadla se provádí při každé třetí periodě cyklu. Když čítač period ukazuje číslo 2 (je nutné si uvědomit, jaký je vztah mezi číslem na displeji a pořadím právě probíhající periody), vyznačíme na papír na zemi maximální výchylku světelné stopy. 9) Po 10 cyklech kyvadlo zastavíme a zhasneme laserovou diodu (zamezí se tak zbytečnému vybíjení baterií). 10) Přivážeme kyvadlo provázkem ke kovové smyčce ve zdi pro další měření – viz bod 4. 11) Změříme a zaznamenáme vzdálenost značek maximálních výchylek od bodu rovnovážné polohy. Uvědomte si, jak dlouhá doba uplynula mezi dvěma zaznamenanými amplitudami výchylky!

B. Měření periody a úhlové rychlosti stáčení roviny kyvu Tato měření budou probíhat současně, přičemž měření periody se provádí stejným způsobem, jak bylo popsáno v části A. 12) Při měření stáčení roviny kyvu musíme vzít v úvahu, že na pohyb kyvadla působí rušivě některé vlivy (např. málo tuhé a asymetrické upevnění), které způsobují, že se kyvadlo nepohybuje po ideální teoretické křivce. Počáteční kyvy sice mají krajní body trajektorie zakončené ostrými špičkami, ale po chvilce trajektorie připomíná velmi plochou elipsu, jejíž hlavní osa se pootáčí. Při vlastním měření zaznamenáváme na papír na podlaze roviny kyvu takto: V období kývání, kdy je trajektorie špičatá, zaznamenáme polohu špičky. Má-li trajektorie v krajním bodě tvar obloučku, zaznamenáme dvě symetrické polohy před a po průchodu krajním bodem a jako bod určující rovinu kyvu volíme střed mezi těmito značkami. Polohu roviny kyvu zaznamenáváme opět na podložený papír vždy ve třetí periodě cyklu (na čítači 2). Tyto polohy zaznamenáme v prvém pátém a devátém cyklu (dostanete tak tři značky). 13) Po 10 cyklech kyvadlo zastavíme a zhasneme laserovou diodu a kyvadlo opět zamkneme.

60

14) Pomocí napnuté nitě (upevněné k závažíčkům) proložené bodem rovnovážné polohy a značkami, označíme rovinu kyvu. Úhlovou odchylku určíme měřením délek a výpočtem s pomocí funkce tangens. Je důležité uvážit, jak měřit, aby byl výsledek co možno nejpřesnější.

Zpracování měření 1) Nejprve určíme hodnotu jedné periody Foucaltova kyvadla. V tabulce máme zaznamenány výsledky z deseti měření (každá zaznamenaná hodnota představuje desetinásobek periody). Dalším úkolem bylo určit útlum kyvadla. Útlumem rozumíme poměr amplitud dvou za sebou následujících kmitů (tj. také podíl kterýchkoli dvou výchylek časově vzdálených o dobu kmitu T1). Platí tedy

λ=

A1 A = k , A2 Ak +1

(2)

kde A1, A2, …, Ak, Ak+1 jsou amplitudy tlumených kmitů Foucaltova kyvadla. 2) Z měření času a úhlové odchylky roviny mitu určíme úhlovou rychlost stáčení roviny kmitu kyvadla (v rad.s-1) a určíme znovu hodnotu jedné periody kyvadla. Určíme chybu statistickou, odhadneme chybu metody a určíme celkovou chybu měření.

Úkol: Porovnejte hodnotu stáčení roviny kmitu kyvadla s hodnotou teoretickou, kterou získáte ze vztahu (1), jestliže za T dosadíte dobu, po kterou trvá tzv. hvězdný den. Diskutujte případný rozdíl mezi teoretickou a experimentálně určenou hodnotou.

61

Literatura [1] BROŽ, J., ROSKOVEC, V., VALOUCH, M. Fyzikální a matematické tabulky. 1. vyd. Praha: SNTL, 1980, 305 s. [2] BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, 669 s. [3] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 1 – Mechanika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, 328 s. ISBN 81-7196-213-9. [4] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, 576 s. ISBN 81-7196-213-9. [5] HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, 743 s. [6] NOVÁK, R., NOVÁKOVÁ, D. Základy měření a zpracování dat. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999, 112 s. ISBN 80-01-01825-3. [7] NOVÁK, R. Úvod do teorie měření. 1. vyd. Ústí nad Labem: PF UJEP, 2003, 62 s. ISBN 80-7044-527-0. [8] UHDEOVÁ, N. Fyzikální praktikum, 3. vyd. Brno: VUTIUM, 1998, 129 s. ISBN 80-214-1215-1.

62