1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

Obsah Obsah .................................................................................................................................. 1 1 Úvod................................................................................................................................ 3 2 Základní pojmy počtu pravděpodobnosti........................................................................ 7 2.1 Základní statistické pojmy ....................................................................................... 7 2.2 Funkce náhodných veličin ....................................................................................... 8 2.3 Charakteristiky náhodných veličin ........................................................................ 10 2.4 Některá rozdělení pravděpodobnosti ..................................................................... 12 2.5 Základy matematické statistiky.............................................................................. 16 3 Základy teorie chyb....................................................................................................... 23 3.1 Náhodné chyby ...................................................................................................... 23 Příklad ........................................................................................................................... 26 3.2 Systematické chyby ............................................................................................... 28 3.3 Úplná chyba ........................................................................................................... 32 3.4 Chyby nepřímo měřených veličin.......................................................................... 33 3.5 Výsledek měření .................................................................................................... 37 4 Nejistoty měření............................................................................................................ 39 4.1 Zavedení nejistot měření........................................................................................ 39 4.2 Stanovení standardních nejistot při přímém měření .............................................. 40 4.3 Stanovení standardních nejistot při nepřímém měření........................................... 42 4.4 Výsledek měření .................................................................................................... 46 5 Vyrovnání funkční závislosti ........................................................................................ 48 5.1 Metoda nejmenších čtverců (MNČ)....................................................................... 48 5.2 Skupinová metoda.................................................................................................. 51 6 Měřicí metody a měřicí přístroje................................................................................... 53 6.1 Rozdělení měřicích metod ..................................................................................... 53 6.2 Metoda lineární interpolace ................................................................................... 54 6.3 Parametry měřicích přístrojů.................................................................................. 55 7 Literatura....................................................................................................................... 59 Výsledky kontrolních otázek ........................................................................................ 61

1

1 Úvod Všechny přírodní vědy mají teoretické a experimentální discipliny. Mezi těmito disciplinami existují těsné vazby – experimentální discipliny potvrzují či vyvracejí závěry teoretických disciplin anebo experimenty poskytují výsledky, jejichž zdůvodnění a zobecnění je úkolem disciplin teoretických. Tyto vazby se realizují kvantitativními výsledky experimentů neboli výsledky určitých měření. Je zřejmé, že měření realizovaná v rámci různých vědních oborů (fyziky, chemie, biologie atd.) mají své specifické vlastnosti dané odlišnostmi jednotlivých oborů, ale současně mají i řadu společných rysů. Úkolem této studijní opory je seznámení se s těmito společnými základy měření v přírodních vědách a se zákonitostmi, kterými se řídí. Problematika měření nabývá stále větší důležitosti a to nejen v přírodních vědách, ale i v praktickém životě. Stále častější aplikace elektronických měřících systémů spolu s využíváním počítačů rozšiřují možnosti měření a výsledkem je množící se objem výsledků. Je však nezbytné umět tyto výsledky posuzovat kriticky a především umět kvantitativně vyhodnotit shodu naměřených výsledků se skutečnou hodnotou měřené veličiny, tj. vyhodnotit chybu měření. Tato znalost je důležitá jak ve vědních disciplinách, tak v praktickém životě (např. shoda či neshoda údajů měřidel spotřeby energií se skutečností může mít závažné ekonomické důsledky). Tuto úvodní kapitolu věnujeme definicím a objasnění základních pojmů, které budeme v celé opoře používat: Jako měření označujeme empirickou (experimentální) činnost, jejímž výsledkem je určení hodnoty nějaké fyzikální veličiny. Považujeme za užitečné připomenout, že termín fyzikální veličina má dvojí význam: označuje jednak abstraktní pojem (např. hmotnost v obecném smyslu), jednak jeho konkrétní realizaci (např. hmotnost určitého tělesa), při níž fyzikální veličina nabývá zcela určité hodnoty. Tato vlastnost fyzikálních veličin se projevuje tím, že každá veličina se vyjadřuje součinem číselné hodnoty její velikosti a její jednotky: A = { A} .[ A] ,

(1.1)

kde A je značka veličiny a { A} značka její číselné hodnoty vyjádřené v jednotce [ A] .

Jednotka fyzikální veličiny je zvolená veličina specifikovaná jako referenční veličina. Soubor jednotek vytvořený tak, že pro zvolené základní veličiny jsou stanovené jejich základní jednotky a z nich se odvozují jednotky ostatních veličin, se nazývá soustava jednotek. V České republice je zákonem stanovena povinnost používat jednotky soustavy SI s určitými výjimkami, které jsou uvedeny v normě ČSN ISO 1000. Skutečná hodnota veličiny je hodnota, kterou měřená veličina nabývá za podmínek existujících v okamžiku, kdy je měřena. Skutečná hodnota je hodnota ideální, protože ve skutečnosti nemůže být přesně zjištěna. Rozdíl hodnoty x zjištěné měřením fyzikální veličiny a její skutečné hodnoty x0 se nazývá chyba měření e e = x − x0 .

3

(1.2)

Takto definovaná chyba měření se nazývá také absolutní chyba, absolutní chyby a skutečné hodnoty se nazývá relativní chyba er

er =

e . x0

zatímco poměr

(1.3)

Chyby měření jsou vyvolávány různými příčinami, ale ty jsou v podstatě dvojího druhu. Některé působí při daném měření soustavně, tzn. že při opakování měření za stejných podmínek ovlivňují jeho výsledek pravidelným způsobem, takže způsobují chybu stejného znaménka a přibližně i stejné velikosti. Chyby měření vyvolané těmito vlivy se nazývají chyby systematické. Patří mezi ně chyba měřidla, chyba metody, chyby různých údajů používaných při měření atd. Podrobněji o chybách systematických pojednáme v odstavci 3.2. Výsledek měření je zpravidla zatížen také chybami měření vyvolanými nepravidelnými, proměnnými vlivy, které jsou prakticky nekontrolovatelné a způsobují, že při opakování téhož měření za stejných podmínek nedostáváme přesně stejné výsledky. Chyby tohoto druhu tedy mají v podstatě náhodný charakter, pokládáme je za náhodné veličiny a nazýváme je náhodné chyby. Náhodnými chybami se budeme zabývat v odstavci 3.1. Na celkové chybě měření se podílejí jak chyby náhodné, tak chyby systematické. Proto chybu měření e často označujeme jako úplnou chybu měření. V mnoha případech však můžeme s ohledem na velikosti jednotlivých chyb jednu z těchto chyb vůči druhé zanedbat a převažující chybu považovat za úplnou chybu měření. Zvláštním případem chyby měření jsou chyby hrubé. Vznikají např. nesprávným postupem při měření, nesprávným odečtením naměřené hodnoty, náhlým působením silného vnějšího vlivu, poškozením měřidla apod. Údaj zatížený hrubou chybou ze souboru měření vždy vylučujeme. Zatím jsme se uvažovali taková měření, kde hodnota naměřené veličiny je přímo výsledkem měření. Nazýváme ji proto přímo měřenou veličinou. Jestliže veličinu nelze měřit přímo, ale její hodnotu určujeme ze vztahu, ve kterém vystupují dvě nebo více přímo měřených veličin, hovoříme o určení nepřímo měřené veličiny. Pro nepřímo měřenou veličinu musíme rovněž stanovit nebo odhadnout chybu. Tato chyba bude mít stejné vlastnosti jako chyba přímo měřené veličiny, tj. bude se skládat ze složky systematické a náhodné. Její velikost bude záviset na hodnotách chyb jednotlivých přímo měřených veličin a na tvaru funkce, která vyjadřuje závislost nepřímo měřené veličiny na veličinách měřených přímo. O chybách nepřímo měřených veličin pojednává odstavec 3.4. Nové požadavky přírodních věd, techniky i ekonomiky si vyžádaly i nový pohled na hodnocení přesnosti měření. Tento nový přístup se odráží i v nových dokumentech, které jsou od počátku 90. let postupně přijímány ve všech vyspělých zemích světa. Přesnost měření se vyjadřuje pomocí nejistoty měření. Pojem nejistoty není omezen jen na výsledek měření, ale vztahuje se i na měřidla, použité konstanty, korekce apod. Podrobněji se o nejistotách zmíníme v kapitole 4.

4

Hodnota fyzikální veličiny zjištěná měřením se liší od skutečné hodnoty této fyzikální veličiny. Rozdíl mezi hodnotou zjištěnou měřením a skutečnou hodnotou se nazývá absolutní chyba měření. Relativní chyba měření je poměr absolutní chyby měření a skutečné hodnoty fyzikální veličiny. Podle zdroje chyb měření rozlišujeme chyby náhodné a chyby systematické. Nový přístup k hodnocení přesnosti měření vyžaduje vyhodnocení nejistoty měření. Doposud jsme se zabývali problematikou měření v případě určení jedné hodnoty určité fyzikální veličiny za daných podmínek. Existuje však daleko širší disciplína související s měřením, která se nazývá regresní analýza. Zabývá se případy, kdy je třeba vyšetřit určitou závislost mezi fyzikálními veličinami, například ověřit platnost určitého fyzikálního zákona. V jednoduším případě můžeme s dostatečnou pravděpodobností předpokládat, že tuto závislost známe, např. ve formě obecně uznávaného fyzikálního zákona. Naše úloha v tomto případě spočívá v určení konstant, které v tomto zákoně vystupují. Jako příklad uveďme měření elektrického odporu z Ohmova zákona. Jedná-li se o měření elektrického odporu kovového rezistoru při běžných proudech a napětích, Ohmův zákon stanoví lineární závislost mezi napětím na rezistoru a proudem, který jím protéká. Konstantou úměrnosti je neznámá hodnota jeho elektrického odporu. Pokud by měření nebylo zatíženo chybou, stačila by pro určení odporu jediná dvojice naměřených hodnot napětí a proudu. Potlačení chyb měření ale vyžaduje měření opakovat a pro vyhodnocení souboru naměřených hodnot se používají metody regresní analýzy, které popíšeme v kapitole 5. V praxi se často setkáváme s případy, kdy konkrétní tvar funkce popisující závislost mezi veličinami neznáme. Jako příklad uveďme závislost termoelektrického napětí na termočlánku na rozdílu teplot mezi oběma konci termočlánku. Tato závislost je obecně nelineární, nahrazujeme ji polynomem a naší úlohou je určit stupeň tohoto polynomu a konstanty, které v něm vystupují. Úlohy tohoto typu jsou podstatně náročnější a jejich obtížnost přesahuje rámec tohoto úvodního textu. Text této opory je uzavřen kapitolou stručně pojednávající o metodách měření a o obecných vlastnostech měřicích přístrojů. Cílem této kapitoly je seznámení se základní terminologií používanou v oboru měření. Soupis použité odborné literatury současně podává potenciálním zájemcům informaci o zdrojích hlubších poznatků v oboru měření.

5

2 Základní pojmy počtu pravděpodobnosti Jak jsme uvedli v předcházející kapitole, je z experimentální praxe známé, že měřením určité fyzikální veličiny opakovaným za stálých podmínek a se stejnými přístroji získáváme soubor hodnot, které se od sebe do určité míry liší. Je to důsledek náhodných vlivů ovlivňujících výsledek měření, a takto vzniklé odchylky od správné hodnoty označujeme jako náhodné chyby. Příčiny jejich vzniku jsou v některých případech neznámé, v některých případech jsou sice známé, ale z principiálních důvodů je nelze odstranit a pro jednotlivá měření ani nelze předvídat míru jejich uplatnění. Tyto chyby jsou proto charakterizovány náhodným výskytem jejich hodnot. To znamená, že tyto hodnoty se nedají stanovit předem, ale dá se předvídat výskyt určitých hodnot s příslušnou pravděpodobností.

Existence náhodných chyb vyvolává potřebu řešení dvou problémů: - jakým způsobem určit ze souboru vzájemně odlišných naměřených hodnot výsledek měření, který se nejvíce blíží správné hodnotě měřené veličiny, - jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měření od správné hodnoty, tj. jak určit velikost náhodné chyby (velikost nejistoty typu A – kapitola 5) zjištěného výsledku opakovaných měření. K řešení těchto problémů přistupujeme tak, že na soubory naměřených hodnot pohlížíme jako na soubory náhodných veličin a pro vyhodnocení měření a analýzu náhodných chyb používáme metody počtu pravděpodobnosti a metody matematické statistiky. Je třeba si uvědomit, že náhodné chyby se jako náhodné veličiny řídí statistickými zákonitostmi umožňujícími jen určité pravděpodobnostní výroky o výskytu jejich hodnot. Podobně o výsledcích měření určovaných z těchto souborů lze vyslovit pouze pravděpodobnostní výroky o jejich přiblížení správné hodnotě měřené veličiny. Je proto nutné, abychom se seznámili s některými základními pojmy a zákony matematické statistiky.

2.1 Základní statistické pojmy Údaje o hodnotě spojitě proměnné veličiny se získávají měřením (např. měřením teploty, hustoty apod.), údaje o hodnotě nespojité (diskrétní) veličiny se získávají čítáním (např. určením počtu částic emitovaných zdrojem ionizujícího záření). Soubory takto zjištěných náhodných kvantitativních údajů se nazývají statistické soubory. Náhodnou veličinu označujeme velkým písmenem (např. X, Y..), jednotlivé hodnoty ze statistického souboru malými písmeny ( např. xi, yj…), celkový počet hodnot ve statistickém souboru symbolem n. Počet případů, v nichž se určitá hodnota xi vyskytne

7

ve statistickém souboru se nazývá absolutní četnost ni, podíl ni / n je relativní četnost f i.

2.2 Funkce náhodných veličin Jak jsme již uvedli, o chování náhodných veličin lze uvádět pouze pravděpodobnostní výroky. To znamená, že např. četnost výskytu určité hodnoty náhodné veličiny v daném statistickém souboru nemůžeme stanovit s jistotou, ale pouze s určitou pravděpodobností. Možnosti výskytu určitých hodnot ve statistickém souboru, tj. přiřazení pravděpodobností k hodnotám náhodné veličiny, proto popisujeme pomocí rozdělení pravděpodobnosti. Toto rozdělení lze pro spojité i diskrétní veličiny jednoduše popsat pomocí distribuční funkce F(x), která je pro náhodnou veličinu X definována tak, že v bodě x0 je F(x0) rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x0. Je tedy

F ( x0 ) = P ( x ≤ x0 ) .

(2.1)

Je zřejmé, že distribuční funkce je funkce neklesající a platí pro ní

lim F ( x ) = 0

x →−∞

lim F ( x ) = 1 x →∞

(2.2)

Pro spojitě proměnné veličiny se chování náhodné veličiny nejčastěji popisuje pomocí funkce nazývané hustota pravděpodobnosti f(x). Ta je definována jako derivace distribuční funkce F(x) podle x (pokud tato derivace existuje). Platí f ( x) =

dF ( x ) = F / ( x) . dx

(2.3)

Pro objasnění významu obou funkcí uvedeme dva příklady.

Příklad 1: prvním případě se jedná o spojitě proměnnou náhodnou veličinu. Uvažujme náhodný pokus realizovaný pomocí zařízení podobného ruletě. Tento pokus spočívá v mnohokrát opakovaném roztočení kruhu, v jeho otáčení vlivem setrvačnosti a konečně v jeho samovolném zastavení působením pasivních odporů. Kruh má na svém obvodu značky dělící obvod v intervalu 0 až 2π , mimo kruh je pevná značka určující, na kterém místě se kruh zastavil. Protože předpokládáme, že každý úhel při zastavení je stejně možný (jako by tomu mělo být např. u rulety), představují naměřené hodnoty tohoto úhlu spojitou náhodnou veličinu proměnnou v intervalu 0, 2π. Distribuční funkce této náhodné veličiny je pak x pro x ∈ ( 0; 2π 〉 2π F ( x ) = 0 pro x ≤ 0 F ( x) =

F ( x ) = 1 pro

8

x > 2π

(2.4)

Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny v tomto příkladu je

 x  d  dF ( x ) 2π  1 f ( x) = =  = dx dx 2π f ( x) = 0

pro x ≤ 0 a

pro x ∈ ( 0, 2π 〉

(2.5)

x > 2π

f (x)

Průběh distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti v tomto konkrétním případě je zobrazen v grafech na obr. 2.1.

1

F (x)

1/2π

0

0

x

2π

0

x0

x

2π

Obrázek 2.1

Příklad 2: Ve druhém příkladu uvažujme náhodný pokus spočívající ve sledování počtu bodů při hodech vrhací kostkou. Množina možných hodnot je 1, 2, 3, 4, 5, 6 a proto počet bodů představuje nespojitou (diskrétní) náhodnou veličinu. Předpokládáme opět ideální vrhací kostku, tj. všechny hodnoty 1 až 6 jsou stejně pravděpodobné. Distribuční funkce je definovaná vztahem (2.1) a její průběh pro popisovaný pokus je na obr. 2.2a. Obdobou hustoty pravděpodobnosti je v případě diskrétních veličin pravděpodobnostní funkce p(x). Je to pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty xi a proto ji píšeme ve tvaru p ( xi ) = P ( X = xi )

(2.6)

V našem příkladu je pravděpodobnost počtu bodů p(xi) pro všechna xi stejná a rovná se 1/6. Průběh pravděpodobnostní funkce pro výsledek našeho pokusu je na obr. 2.2b.

9

F(x)

1.0

0.5

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

x Obr. 2.2a

p (x)

1

1/ 6 0 0

1

2

3

4

5

6

x Obr. 2.2b

2.3 Charakteristiky náhodných veličin Pro posouzení statistických souborů údajů zjištěných měřením nebo čítáním mají největší důležitost informace o poloze údajů ve statistickém souboru a o jejich rozptýlení (variabilitě). V prvním případě jde o určení vhodné střední úrovně, kolem které se hodnoty náhodné veličiny soustřeďují, ve druhém případě jde o určení rozmezí, ve kterém se vyskytují a o způsob jejich rozložení uvnitř tohoto rozmezí. Polohu hodnot náhodné veličiny X nejlépe charakterizuje střední hodnota, kterou označujeme symbolem E(X) a která je pro spojitě proměnnou veličinu X definovaná vztahem

10

b

E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx .

(2.7)

a

Symboly a, b v tomto vztahu jsou meze definičního oboru veličiny X. Varianci náhodných veličin nejlépe charakterizuje rozptyl D2, který určujeme ze vztahu b

D 2 ( X ) = ∫  x − E ( X )  f ( x ) dx . 2

(2.8)

a

Rozptýlení hodnot náhodné veličiny často vyjadřujeme kladně vzatou druhou odmocninou z rozptylu, kterou nazýváme směrodatná odchylka σ(X).

σ ( X ) = + D2 ( X )

(2.9)

V případě diskrétní náhodné veličiny určujeme střední hodnotu náhodné veličiny ze vztahu n

E ( X ) = ∑ xi p ( xi )

(2.10)

i =1

a rozptyl, respektive směrodatnou odchylku ze vztahů n

D 2 ( X ) = ∑  xi − E ( X )  p ( xi ) 2

i =1

(2.11)

σ ( X ) = + D2 ( X )

Základními charakteristikami statistického souboru jsou střední hodnota E a rozptyl D 2 . Střední hodnota E určuje polohu statistického souboru, rozptyl D2 určuje varianci jednotlivých náhodných veličin ve statistickém souboru okolo střední hodnoty. Častěji se tato variance vyjadřuje pomocí směrodatné odchylky σ. Pro další použití pojmů střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka jsou důležité jejich obecné vlastnosti, z nichž uvedeme: 1) Jestliže k označuje konstantu, platí E ( k ) = k , σ 2 ( k ) = 0 , σ = 0 .

11

(2.12)

2) Náhodná veličina Z je součtem nebo rozdílem náhodných veličin X a Y. Pak platí: Z = X ± Y , E ( Z ) = E ( X ) ± E (Y ) ,

σ 2 ( Z ) = σ 2 ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y ) .

(2.13)

3) Náhodná veličina Z je k – násobkem náhodné veličiny X. Pak platí: Z = k X , E (Z ) = E (k X ) = k E ( X ) ,

σ 2 ( Z ) = σ 2 ( k X ) = k 2σ 2 ( X ) .

(2.14)

Kontrolní otázky 1. Pro spojitě proměnnou náhodnou veličinu X z Příkladu 1 určete střední hodnotu E(X), rozptyl D2(X) a směrodatnou odchylku σ2(X). 2. Pro diskrétní náhodnou veličinu X z Příkladu 2 určete střední hodnotu E(X), rozptyl D2(X) a směrodatnou odchylku σ2(X). 3. Příklad 2. budeme realizovat s vrhací kostkou, která oproti obvykle používané kostce bude mít na stěnách trojnásobek bodů, tj. postupně 3, 6, 9, 12, 15 a 18 bodů. Určete střední hodnotu E(Y), rozptyl D2(Y) a směrodatnou odchylku σ2(Y) náhodné veličiny Y, kterou získáte sledováním vrhů s takovou kostkou.

2.4 Některá rozdělení pravděpodobnosti Náhodné procesy, jejichž výsledkem jsou statistické soubory náhodných veličin, jsou velmi rozmanité a tomu také odpovídá velký počet funkcí, které vyjadřují jejich rozdělení pravděpodobnosti. Následující výklad se omezuje na rozdělení pravděpodobnosti, se kterými se nejčastěji můžete setkat v oblasti vyhodnocování fyzikálních měření. První z nich je rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Náhodnou veličinu X lze popsat rovnoměrným rozdělením, jestliže všechny hodnoty náhodné veličiny X v daném intervalu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Pro rozsah hodnot náhodné veličiny X vymezený v intervalu a ≤ x ≤ b jsou distribuční funkce F(x) a rozdělení hustoty pravděpodobnosti f(X) určeny vztahy

F(X ) = 0 x < a x−a a≤ x≤b b−a F ( X ) =1 x > b F(X ) =

12

(2.15)

f (X ) =

1 b−a

(2.16)

Je zřejmé, že rovnoměrným rozdělením se řídí náhodná veličina z Příkladu 1 v odstavci 2.2 a vztahy (2.15) a (2.16) jsou zobecněním vztahů (2.4) a (2.5).

Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je nejčastěji používaný model rozdělení spojité náhodné veličiny a mnoho spojitých náhodných veličin se jím alespoň přibližně řídí. Náhodné veličiny řídící se tímto rozdělením můžeme charakterizovat jako veličiny vzniklé složením vlivů, které jsou nezávislé, kterých je větší počet a z nichž každá ovlivňuje skutečnou hodnotu náhodné veličiny jen malým příspěvkem. Náhodná veličina X nabývá hodnot x v intervalu ( −∞, + ∞ ) s hustotou pravděpodobnosti − 1 f ( x) = e σ2 π

( x − µ )2 2σ 2

(2.17)

a distribuční funkcí x

1 F ( x) = σ 2π

∫e

−

( y −µ ) 2 2σ 2

dy

.

(2.18)

−∞

Je patrné, že normální rozdělení má dva parametry µ , σ . První z nich má význam střední hodnoty souboru, druhým je směrodatná odchylka. Lze proto psát E ( x) = µ

σ

2

( x) = σ

(2.19) 2

(2.20)

Hustota pravděpodobnosti normální náhodné veličiny spolu s její distribuční funkcí jsou znázorněny na obr. 2.3. Obrázek názorně ukazuje význam parametrů µ a σ.

13

f (x)

σ

f (x0)

F (x)

F (x0)

µ−σ

x0

µ

x

µ+σ

1.0

0.5

F (x0) 0.0

µ

x0

x

Obr.2.3: Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normálního rozdělení Okolnost, že distribuční funkce normálního rozdělení závisí na dvou parametrech je v mnoha případech pro práci s touto funkcí nepříznivá. Zejména je obtížné takovou funkci tabelovat pro různá x a různé kombinace hodnot µ a σ2. Této závislosti se lze zbavit lineární transformací, která se nazývá normováním:

u=

14

x−µ

σ

(2.21)

Náhodná veličina nabývající hodnot u má normované normální rozdělení. Distribuční funkce F(u) a hustota pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení jsou dány vztahy

F (u ) = f (u ) =

1 2π

−

u

∫e

u2 2

du

−∞

1 e 2π

−

(2.22)

u2 2

Pro normované normální rozdělení platí E (u ) = 0

D2 (u ) = 1

(2.23)

Pro diskrétní náhodné veličiny uvedeme dvě rozdělení. První z nich binomické rozdělení. Toto rozdělení popisuje situaci, kdy náhodný jev nastává s pravděpodobností p a kdy n krát nezávisle opakujeme náhodný pokus, při kterém může náhodný jev nastat a zkoumáme počet x výskytů jevu v sérii těchto n nezávislých pokusů. Binomická náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2, …, n. Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je

n n− x p ( x ) =   p x (1 − p )  x

.

(2.24)

Střední hodnota rozdělení a jeho rozptyl nabývají hodnot E(X ) = np

D 2 ( X ) = n p (1 − p )

.

(2.25)

Druhé rozdělení, se kterým se můžeme při fyzikálních měřeních setkat, je Poissonovo rozdělení. Vztahuje se k náhodné veličině,. která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných (řídkých) jevů za daných podmínek (v určitém časovém intervalu, ve vymezené oblasti apod.). Jako příklad můžeme uvést přeměnu atomových jader, která splňuje tyto podmínky, protože – přeměna jader se řídí přeměnovým zákonem N ( t ) = N ( 0 ) e − λt , kde N(t) je počet dosud nepřeměněných jader v čase t, N(0) je počáteční počet jader a λ je přeměnová konstanta, – diferencováním tohoto zákona dojdeme ke vztahu prokazujícímu, že počet jader dN přeměněných za krátký časový interval dt je úměrný délce tohoto intervalu, – pravděpodobnost výskytu přeměny je nezávislá na četnosti výskytu přeměny v předcházejícím časovém intervalu stejné délky, – pravděpodobnost přeměny nezávisí na poloze počátku intervalu. Poissonova náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2, … a její pravděpodobnostní funkce je

15

p ( x) =

λ x e− λ

. x! Rozdělení má jediný parametr λ , střední hodnota rozdělení a jeho rozptyl jsou E(X ) =λ

D2 ( X ) = λ .

(2.26)

(2.27)

p(x)

0.2

0.1

0.0 0

2

4

6

8 10 12 14 16

x Obr. 2.4: Příklad Poissonova rozdělení

Kontrolní otázky 1. Definujte rozdělení binomické, Poissonovo, normální a normální normované. 2. Znázorněte na obrázku vliv parametrů µ a σ na tvar grafu hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení. 3. Najděte pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením ( λ= 2) je rovna nule. Najděte také pravděpodobnost, že dvě za sebou nezávisle získané hodnoty téže náhodné veličiny budou rovny nule.

2.5 Základy matematické statistiky V praxi se vyskytují případy, kdy na základě malého počtu experimentálně získaných hodnot určité veličiny náhodného charakteru se mají stanovit informace o chování této veličiny. Touto problematikou se zabývá matematická statistika. Tato disciplina vychází z teorie pravděpodobnosti a postupuje od zvláštních úloh k obecnějším závěrům. V této kapitole bude podán stručný výklad základních pojmů a postupů statistického zpracování empiricky získaných dat.

16

Základní soubor je soubor všech možných zjistitelných hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti. Může obsahovat konečný i nekonečný počet hodnot. V případě spojitě proměnné náhodné veličiny by rozsah základního souboru měl být nekonečný. Z praktického hlediska ale stačí N tak velké, že další zvyšování N již nepřináší znatelné změny charakteristik. Rozsah základního souboru diskrétní náhodné veličiny je dán celkovým počtem možných hodnot této veličiny. Skutečné velikosti charakteristik náhodné veličiny (střední hodnota, rozptyl) jsou určeny ze základního souboru. Realizace měření, při kterém je získán soubor naměřených hodnot odpovídající rozsahu základního souboru je často v praxi z důvodů technických, časových i ekonomických nemožná. K dispozici tedy obvykle máme soubor podstatně menší, který představuje určitý výběr ze základního souboru. Aby se charakteristiky takového souboru co nejlépe blížily charakteristikám základního souboru, je třeba aby představoval náhodný výběr. Náhodný výběr ze základního souboru je skupina n hodnot náhodné veličiny vybraných nezávisle na sobě a takovým způsobem, aby všechny hodnoty základního souboru měly stejnou možnost být do tohoto výběru pojaty. Pro náš další výklad je důležité, že náhodným výběrem může mj. být i souhrn hodnot získaných při opakování měření téže veličiny za stejných podmínek. Počet hodnot náhodného výběru n udává rozsah náhodného výběru. Podobně jako má základní soubor své charakteristiky, můžeme analogickými veličinami charakterizovat i náhodný výběr a to například výběrovým průměrem, výběrovým rozptylem, výběrovou směrodatnou odchylkou a výběrovým rozdělením pravděpodobnosti. Výběrový průměr x náhodného výběru je dán vztahem

x=

1 n

n

∑x i =1

i

(2.28)

kde xi jsou všechny hodnoty náhodné veličiny X v náhodném výběru.

Výběrový rozptyl s2 je vyjádřen vztahem

s2 ( x ) =

1 n ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i =1

(2.29)

a výběrová směrodatná odchylka s je definována kladnou druhou odmocninou z výběrového rozptylu s = + s2 .

(2.30)

I když obvykle pracujeme pouze s jedním výběrovým souborem, musíme si uvědomit, že jde o náhodný výběr a že stejně pravděpodobně bychom mohli pracovat s náhodným výběrem, který by se od původního výběru poněkud lišil. To by se mj. projevilo i tím, že charakteristiky obou souborů by byly odlišné, i když rozdíly by byly relativně malé. Totéž by platilo i pro další náhodné výběry ze stále stejného základního souboru. Lze tedy vyslovit tvrzení, že výběrové charakteristiky jsou náhodnými veličinami.

17

Například z náhodného výběru rozsahu n odebraného ze základního souboru náhodné veličiny X se vypočítá výběrový průměr x1 . Odběrem dalšího náhodného výběru z téhož základního souboru a stejného rozsahu se stanoví výběrový průměr x2 , z dalšího náhodného výběru x3 atd. Hodnoty těchto výběrových průměrů nebudou stejné a budou mít náhodný charakter. Výběrový průměr se chová jako náhodná veličina. Stejně se bude chovat výběrový rozptyl s2. Výběrové charakteristiky jsou tedy náhodnými veličinami a lze je popsat rozděleními pravděpodobnosti, která se nazývají výběrová rozdělení. Je zřejmé, že pro práci s výběrovými soubory je nezbytná znalost toho, jaká výběrová rozdělení jsou přiřazená k jednotlivým výběrovým charakteristikám. Nejvýznamnější výběrová charakteristika je výběrový průměr. Poněkud komplikovaným postupem lze dokázat, že platí tvrzení: jestliže náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ(x) a σ(x), potom i hodnoty výběrového průměru budou rozděleny podle normálního rozdělení pravděpodobnosti s parametry

µ =µ (x)

, σ =σ ( x ) =σ ( x) / n

(2.32)

Pokud se náhodná veličina X neřídí normálním rozdělením a pokud její rozdělení není zásadně odlišné od normálního, pak rozdělení náhodné veličiny u

u=

x − µx

σx

(2.33)

se blíží normovanému normálnímu rozdělení tím více, čím větší je rozsah náhodného výběru n. V literatuře se uvádí, že rozdělení náhodné veličiny u pravděpodobnostně konverguje k normálnímu rozdělení pro n větší než 50. Problém stanovení rozdělení hodnot výběrového rozptylu a výběrové směrodatné odchylky je ještě složitější. Lze dokázat, že tyto dvě náhodné veličiny se řídí rozdělením χ2 . Rozdělení χ2 má náhodná veličina daná součtem n kvadrátů náhodných veličin X1, X2…..Xn přičemž každá z nich má normované normální rozdělení. Parametrem rozdělení χ2 je počet stupňů volnosti ν = n − 1 . Střední hodnota a směrodatná odchylka tohoto rozdělení jsou

µ ( χ 2 ) = ν , σ ( χ 2 ) = 2ν .

(2.34)

Posledním rozdělením, které se při vyčíslení výsledků uplatní, je rozdělení t (Studentovo): Nechť Y a Z jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž veličina Y má rozdělení χ2 a veličina Z má normované normální rozdělení. Pak náhodná veličina t

t=

z y

ν

18

(2.35)

má Studentovo rozdělení. Poměrně složitým postupem popsaným v [1] a vycházejícím ze vztahů (2.33) a (2.34) lze dokázat, že veličina

t=

x −µ

σ

n

má Studentovo rozdělení a využít této skutečnosti ke stanovení intervalu spolehlivosti (odstavec 3.1). Vraťme se nyní k problematice vyhodnocení měření, přesněji k problému kvantifikování vlivu náhodných chyb na výsledek měření. Soubor výsledků opakovaných měření za stejných podmínek představuje náhodný výběr, jehož rozsah je obvykle podstatně nižší než je rozsah základního souboru. Stojíme proto před problémem, jak určit charakteristiky výběrového souboru malého rozsahu tak, aby se co nejlépe blížily charakteristikám základního souboru a jak vyčíslit odchylky mezi těmito charakteristikami. Výběrové charakteristiky budeme označovat jako odhady velikostí charakteristik základního souboru. Protože odhad velikosti některé charakteristiky je vyjádřen jediným číslem, je ve statistice obvyklé označovat jej jako bodový odhad. Tyto odhady jsou pochopitelně zatíženy určitou chybou a určení intervalu okolo bodového odhadu, v němž se s určitou pravděpodobností nalézá charakteristika základního souboru, se nazývá intervalový odhad. Odhad charakteristiky budeme volit tak, aby splňoval tyto podmínky: – Je nestranný (nevychýlený): odhad je nestranný, je-li střední hodnota odhadů vypočítaných z náhodných výběrů rovna velikosti příslušné charakteristiky základního souboru, – je dostatečně vydatný: má nejlepší rozptyl hodnot, – je konzistentní: s rostoucím rozsahem výběrového souboru se blíží charakteristice základního souboru. Pro bodový odhad střední hodnoty základního souboru vyhovuje těmto podmínkám nejlépe výběrový průměr x (2.28). Pro bodový odhad rozptylu základního souboru vyhovuje těmto podmínkám nejlépe výběrový rozptyl vypočítaný ze vztahu

1 n s ( x) = ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i =1 2

(2.36)

a nejlepší bodový odhad směrodatné odchylky základního souboru udává výběrová směrodatná odchylka, která se stanoví ze vztahu s ( x) =

1 n ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i =1

.

(2.37)

Tento odhad směrodatné odchylky se vztahuje k libovolné hodnotě z výběrového souboru. Můžeme ovšem využít vztahu (2.32) a stanovit výběrový odhad směrodatné odchylky výběrového průměru x

19

s(x)=

n 1 2 ( xi − x ) ∑ n ( n − 1) i =1

.

(2.38)

Zejména při náhodném výběru malého rozsahu se může bodový odhad střední hodnoty i bodový odhad směrodatné odchylky značně lišit od skutečných hodnot základního souboru a proto je třeba bodové odhady doplnit intervalovým odhadem. Matematická statistika vyvinula metody umožňující stanovit meze intervalu okolo bodového odhadu tak, že je známa pravděpodobnost γ s jakou se skutečná hodnota charakteristiky základního souboru nalézá v tomto intervalu. Číslo α = 1 – γ se nazývá riziko, v některých učebnicích se pro tento pojem používá název hladina významnosti. V případě výběrového průměru hodnotíme přesnost tohoto bodového odhadu pomocí veličiny ε nazývanou přesnost odhadu:

ε = x −µ (x) .

(2.39)

Předpokládáme-li, že střední hodnota µ ( x ) základního souboru leží v intervalu okolo výběrového průměru x s pravděpodobností γ , je splněna nerovnost

(

)

P x − µ ( x ) <ε = γ .

(2.40)

Pak lze dokázat, že platí P ( x − tn ,α s ( x ) ) < µ ( x ) < ( x + tn ,α s ( x ) )  = γ = 1 − α

(2.41)

kde koeficient tn,α se nazývá Studentův koeficient, určuje se ze Studentova rozdělení a jeho hodnoty jsou tabelovány. Aplikace těchto poznatků na konkrétní případy opakovaného měření jsou popsány v kapitole 3. Vraťme se nyní k problému vyhodnocení souborů náhodných veličin získaných měřením fyzikální veličiny ovlivněné náhodnými chybami. Tyto soubory jsou obdobou statistických souborů a mezi jejich základní charakteristiky také patří poloha a rozptyl (variance). Základním ukazatelem polohy statistického souboru (x1, x2, …, xn) je průměr x , který určujeme pomocí vztahu

x=

1 n ∑ xi . n i =1

20

aritmetický

(2.42)

Jestliže se ve statistickém souboru vyskytují některé hodnoty vícekrát, tj. je-li v něm k různých hodnot x1, x2, …, xk přičemž hodnota xi se vyskytuje s četností ni, lze pro určení průměru statistického souboru ze vztahu (2.42) použít výraz ve tvaru váženého aritmetického průměru

x=

1 k ∑ ni xi n i =1

(2.43)

Základním ukazatelem rozptýlení hodnot statistického souboru jsou odchylky těchto hodnot od aritmetického průměru. Jako ukazatele rozptýlení ale nemůžeme použít pouze součet těchto odchylek, protože z rovnice (2.42) vyplývá, že je roven nule. Platí n

n

i =1

i =1

∑ ( xi − x ) = ∑ xi − n x = 0 .

(2.44)

V praxi se nejčastěji používá ukazatel rozptýlení založený na součtu čtverců odchylek od aritmetického průměru. Aby jeho velikost nebyla ovlivněna rozsahem statistického souboru, používá se jako ukazatel průměrný součet čtverců odchylek od aritmetického průměru, nazývá se rozptyl statistického souboru a značí se s2. Platí

s2 =

1 n ∑ ( xi − x)2 . n i =1

(2.45)

Častěji se ale rozptýlení souboru charakterizuje kladnou druhou odmocninou z rozptylu, která se nazývá směrodatná odchylka statistického souboru s. Je určená vztahem n

s ( xi ) =

∑ ( x − x) i =1

2

i

n

.

(2.46)

Kontrolní otázky 1. Pro soubor náhodných hodnot (4,8; 5,1; 4,9; 4,4; 4,8; 4,9; 5,0; 4.5; 4,8) určete: a) výběrový průměr, b) výběrový rozptyl, c) výběrovou směrodatnou odchylku. 2. Určitý soubor náhodných hodnot má výběrový průměr x , rozptyl s 2 ( x ) a

směrodatnou odchylku s ( x ) . Uveďte hodnoty těchto charakteristik, jestliže se každá hodnota v tomto souboru a) násobí dvěma, b) dělí čtyřmi.

21

V praxi obvykle není k dispozici základní soubor a pracujeme pouze s náhodným výběrem ze základního souboru. Základní charakteristiky náhodného výběru jsou výběrový průměr, výběrový rozptyl a výběrová směrodatná ochylka. Tyto výběrové charakteristiky jsou odhady charakteristik základního souboru. Výběrový průměr (2.28) je nejlepším odhadem střední hodnoty základního souboru. Nejlepším odhadem rozptylu základního souboru je výběrový rozptyl (2.29). Nejlepším odhadem směrodatné odchylky základního souboru je výběrová směrodatná odchylka (2.37).

22

3 Základy teorie chyb 3.1 Náhodné chyby Vzhledem k povaze náhodných chyb můžeme na soubory naměřených hodnot pohlížet jako na soubory náhodných veličin a pro vyhodnocení měření a analýzu náhodných chyb používat metody počtu pravděpodobnosti a metody matematické statistiky, tj. používat poznatky, ke kterým jsme dospěli v kapitole 2. Náhodnou chybu hodnoty x veličiny X budeme označovat k(x), relativní náhodnou chybu kr(x). Úkolem tohoto odstavce je stanovit postup, kterým ze souboru hodnot naměřených za stejných podmínek určíme nejpravděpodobnější hodnotu veličiny a velikost náhodné chyby tohoto výsledku. Budeme přitom předpokládat, že naměřené hodnoty představují náhodný výběr ze základního souboru a že rozdělení náhodných hodnot v tomto souboru se blíží normálnímu Gaussovu rozdělení. Tento předpoklad je v souhlase s poznatky z praxe o náhodných chybách měřících přístrojů. Mají-li se dobře popisovat a hodnotit náhodné chyby, měly by být známy hodnoty charakteristik základního souboru. Obvykle se ovšem v laboratorní praxi pracuje se soubory naměřených hodnot, jejichž rozsah je podstatně menší než je rozsah základního souboru. Nezbývá tedy nic jiného, než charakteristiky náhodných chyb odhadovat z náhodného výběru. Tím se získávají jen výběrové charakteristiky a podle nich se pak činí závěry o vlastnostech náhodných chyb. Při těchto odhadech využijeme poznatky uvedené v odstavci 2.5. Předpokládejme, že opakovaným měřením za stejných podmínek jsme získali soubor n hodnot xi = x1, x2, ..... xn. Prvním úkolem je získat nejsprávnější odhad skutečné hodnoty měřené veličiny. Za předpokladu, že náš soubor představuje náhodný nevychýlený výběr ze základního souboru, nabízí se možnost považovat za nejsprávnější tu hodnotu, která se v souboru nejčastěji opakuje. Odpovídá ji maximum v normálním Gaussově rozdělení. Z matematického vyjádření tohoto rozdělení lze dokázat, že nejsprávnějším odhadem skutečné hodnoty je aritmetický průměr x ze všech naměřených hodnot xi, který jsme v odstavci 2.5 označili jako výběrový průměr (2.28): n

x=

∑x

i

i =1

n

.

(3.1)

Dokázat lze i tvrzení, že čím větší je počet měření, tím více se hodnota aritmetického průměru přiblíží ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Velikost náhodné chyby zřejmě souvisí s tím, jak jsou jednotlivé naměřené hodnoty xi rozptýleny okolo hodnoty aritmetického průměru x . Je zřejmé, že čím přesnějším měřidlem budeme popisované měření délky provádět, tím méně budou naměřené hodnoty rozptýleny kolem hodnoty aritmetického průměru a křivka rozdělení bude štíhlejší. Proto je základem pro kvantitativní vyjádření velikosti náhodné chyby nejlepší odhad směrodatné odchylky základního souboru (2.37), který v tomto případě nazýváme směrodatná odchylka s(x) jednoho měření veličiny x, a která je daná vztahem

23

∑(x − x ) n

s( x ) =

2

i

i =1

.

n −1

(3.2)

. Z hlediska dosažení vyšší přesnosti odhadu skutečné hodnoty měřené veličiny je výhodnější využít skutečnosti, že opakovaná měření budeme vyhodnocovat pomocí aritmetického průměru a proto pro vyčíslení náhodné chyby použijeme nejlepší odhad směrodatné odchylky výběrového průměru (2.38), který označíme jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru s ( x ) , a kterou počítáme ze vztahu

∑(x − x ) n

s(x) =

2

i

i =1

.

n ( n − 1)

(3.3)

Pro stanovení velikosti náhodné chyby se jako nejjednodušší možnost jeví prohlásit za náhodnou chybu s(x), resp. s ( x ) . Abychom posoudili praktický význam takového kroku, vraťme se k obr. 2.3. Jednoduchou integrací funkce (2.17) lze ukázat, že plocha pod křivkou normálního rozdělení v intervalech ( µ − σ , µ + σ ) představuje asi 68% z celkové plochy pod touto křivkou. Pak pro dostatečně velká n platí, že

P ( xi − s ( x ) ) < x < ( xi + s ( x ) )  = 0, 68 ,

(3.4)

neboli že pravděpodobnost, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží v intervalu

( x − s ( x ) , x + s ( x )) i

(3.5)

i

je 68 %, resp. že riziko, že správná hodnota leží mimo tento interval je 32 %. Obdobné tvrzení platí pro interval okolo hodnoty aritmetického průměru

( x − s ( x ) , x + s ( x ))

,

(3.6) který je ovšem užší, protože platí vztah s(x) =

s ( x) n

.

(3.7)

V řadě případů však je riziko 32% toho, že skutečná hodnota měřené veličiny leží mimo interval daný (3.5) nebo (3.6) nepřijatelně velké a interval je proto nutné nějakým definovaným způsobem rozšířit. Pokud je splněn předpoklad o dostatečně velkém počtu

24

měření n (v praxi stačí n 〉 50 ), můžeme k tomu využít vlastností normálního rozdělení. Jednoduše lze odvodit, že pro dvakrát rozšířený interval okolo aritmetického průměru x přibližně platí

P ( x − 2 s ( x ) ) 〈 x 〈 ( x + 2s ( x ) )  = 0,95 ,

(3.8)

f (x)

tj. riziko, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží vně dvakrát rozšířeného intervalu je 5%. Podobně lze ukázat, že pro třikrát rozšířený interval toto riziko klesá na 0,27 %. Závislost pravděpodobnosti P na šířce intervalu je zobrazena v grafu obr. 3.1.

µ µ−3σ µ−2σ

µ−σ

µ+σ

µ+2σ µ+3σ

x

Obr. 3.1: Význam parametru σ v normálním rozdělení Ve velké většině případů ovšem předpoklad o dostatečně velkém počtu měření splněn není a navíc se v laboratorní a technické praxi vyžadují jiné hodnoty rizika, než poskytují uvedené příklady. Matematická statistika studovala zákonitosti výběrových charakteristik a s využitím rozdělení χ 2 a Studentova rozdělení byly odvozeny koeficienty tn ,α , které jsou funkcí počtu měření n a stanoveného rizika α . Pomocí koeficientů tn ,α , které se nazývají Studentovy koeficienty, můžeme stanovit interval

spolehlivosti (konfidenční interval):

(( x − t

n ,α

s ( x ) ) , ( x + tn ,α s ( x ) )

)

.

(3.9)

Jestliže máme k dispozici n opakovaných měření a vypočítáme jejich aritmetický průměr x podle vztahu (3.1) a směrodatnou odchylku aritmetického průměru s ( x ) podle vztahu (3.3), leží skutečná hodnota x s pravděpodobností P = 1 − α v intervalu (3.9). V tabulce Tab. 3.1 uvádíme Studentovy koeficienty pro v praxi nejobvyklejší případy, tj. počet měření od 3 do 20 a obvykle volená rizika 5%, resp. 1%.

25

počet měření n riziko 5% tn ,5%

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,37

2,31

2,26

2,15

2,09

riziko 1% tn ,1%

9,92

5,84

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

3,25

2,98

2,86

Tab. 3.1

Veličina

k ( x ) = tn ,α . s ( x )

(3.10)

je náhodná chyba aritmetického průměru x a nazýváme ji krajní chyba. Jednotka krajní chyby je stejná, jako jednotka [ X ] veličiny X. Analogicky platí, že krajní chyba libovolné hodnoty xi je dána vztahem k ( xi ) = tn ,α .s ( x )

.

(3.11)

Postup při stanovení náhodné chyby opakovaných měření 1. Opakovaným měřením za stejných podmínek získáme n hodnot xi. 2. Ze vztahu (3.1) určíme aritmetický průměr x . 3. Ze vztahu (3.3) určíme výběrovou směrodatnou odchylku s ( x ) tohoto aritmetického průměru. 4. V tabulce Tab. 3.1 najdeme odpovídající hodnotu Studentova koeficientu tn ,α . 5. Určíme hodnotu krajní chyby aritmetického průměru k ( x ) = tn ,α . s ( x ) . 6. Výsledek zapíšeme ve tvaru x = ( x ± k ( x ) ) [ X ] . Příklad Mikrometrem, na němž je možno spolehlivě odečítat údaj na 0,01 mm, bylo za stejných podmínek provedeno 10 měření délky tyčky z plexiskla. Byly naměřeny tyto hodnoty: i xi [ mm]

1 23,24

2 3 23,27 23,32

4 23,28

5 6 23,25 23,28

26

7 23,23

8 23,29

9 23,27

10 23,26

1. Aritmetický průměr naměřených hodnot je x = 23,269 mm. 2. Výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru je s ( x ) = 0,0186 mm.

3. Pro počet měření n = 10 a zvolené riziko α = 5 % je Studentův koeficient t10 , 5% = 2,26. 4. Hodnota krajní chyby je aritmetického průměru je k ( x ) = 0,0186 mm. 5. Výsledek měření:

x = ( 23,269 ± 0,019 ) mm.

Poznámka Hodnotu chyby uvádíme nanejvýš na dvě platné cifry, tj. do výsledku měření zapisujeme hodnotu krajní chyby vypočítanou ze vztahu (3.10) zaokrouhlenou podle tohoto pravidla. Hodnotu výsledku měření zaokrouhlujeme tak, aby poslední platná cifra výsledku byla na stejném desetinném místě, jako poslední platná cifra chyby.

Kontrolní otázky 1. Pro soubor náhodných hodnot z příkladu 1. na str. 17 určete velikost krajní chyby aritmetického průměru pro riziko α = 1 %. 2. Napětí na rezistoru, kterým protéká proud, kolísá v důsledku náhodných změn jeho odporu. Měřením byly zjištěny tyto hodnoty napětí:

i U [V ]

1 0,5231

2 0,5228

3 0,5233

4 0,5226

5 0,5229

Určete nejpravděpodobnější hodnotu napětí U a její krajní chybu k (U ) pro riziko a ) α = 5 %,

b) α = 1 %.

27

3.2 Systematické chyby Systematické chyby souvisejí obvykle s použitou metodu či měřícími přístroji nebo se samotným pozorovatelem. Říkáme, že jsou způsobeny kontrolovatelnými vlivy.

Příklad: V případě vážení na rovnoramenných vahách může systematickou chybu způsobovat odchylka od rovnoramennosti vah, odchylka v hmotnosti nezapočítaná oprava na rozdíl vztlaku závaží a předmětu ve vzduchu apod.

závaží,

Vzniklé systematické chyby zkreslují výsledek při opakovaném měření konaném za stejných podmínek vždy stejným způsobem, tj. buď výsledek stále zvětšují nebo stále zmenšují. Teoreticky lze kontrolovatelné vlivy zjistit a ohodnotit pomocí přesnějších přístrojů, eventuálně korekční metody, a proto by v principu bylo možné systematické chyby vyloučit. V praxi je tento požadavek těžko uskutečnitelný a velikost chyb se snažíme alespoň přibližně odhadnout. Systematickou chybu hodnoty x označujeme m(x). Tato absolutní chyba má často charakter maximální chyby. Její význam je takový, že chyba, které se při měření hodnoty x skutečně dopustíme, je vždy menší nebo nejvýš rovna chybě m ( x ) . V některých případech je výhodnější pracovat s relativní systematickou chybou mr(x) měřené hodnoty. Hlavní zdroje systematických chyb jsou: a) omezená přesnost přístrojů Její příčinu je třeba hledat v nedokonalém a ne zcela přesném provedení měřicích přístrojů. Typickým příkladem může být nedokonalost a nepřesnost stupnic. Tyto chyby by bylo možno odstranit nebo alespoň podstatně zmenšit použitím dokonalejších zařízení, ale v praxi by používání velmi přesných přístrojů bylo často nákladné a těžko realizovatelné. Proto se snažíme v některých případech dosáhnout větší přesnosti, a tím zmenšení systematické chyby, kalibrací přístroje před měřením. Kalibrace spočívá v porovnání údajů přístroje s údaji podstatně přesnějšího měřidla a výsledkem je stanovení hodnoty korekčního faktoru či korekční křivky, pomocí kterých naměřené hodnoty opravujeme.

Příklad:

Mohrovými vážkami byla při teplotě 20 OC naměřena hustota vody s´= 997 kg.m-3. Tabulková hodnota hustoty vody při této teplotě, což je hodnota naměřená přesnějším měřením, je s = 998,205 kg.m-3. Opravný koeficient k, kterým musíme násobit každou hodnotu hustoty naměřenou těmito vážkami, je dán vztahem s k= . s′ V našem případě k = 1,0012. Pro některé sériově vyráběné přístroje výrobce udává jejich největší přípustnou (maximální) chybu m(x). Tak zaručuje, že hodnota veličiny x naměřená přístrojem

28

bude v celém jeho rozsahu mít chybu zpravidla menší, ale nanejvýš rovnou maximální chybě. Maximální chyba je elektrické ukazovací (ručkové, analogové) měřicí přístroje výrobcem udávána pomocí třídy přesnosti Tp. Údaj o třídě přesnosti je obvykle uveden v pravém dolním rohu pod stupnicí přístroje a to ve formě číslice umístěné nad značkou udávající, je-li přístroj určen pro střídavý nebo stejnosměrný proud. Podle platné normy je třída přesnosti číslo z řady 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5. Největší přípustnou chybu naměřené hodnoty lze pak stanovit ze vztahu

m ( x) =

1 Tp xmax 100

,

(3.12)

kde xmax je rozsah přístroje. Největší přípustná chyba je stejná, ať měříme v kterékoliv části rozsahu, zatímco relativní chyba je tím větší, čím menší je měřená hodnota vzhledem k maximální hodnotě v rozsahu. Proto se s elektrickými měřicími přístroji snažíme měřit tak, aby výchylka byla pokud možno ve třetí třetině rozsahu. Měříme-li hodnotu právě rovnou hodnotě rozsahu, je relativní chyba měřené hodnoty nejmenší, a je právě rovna třídě přesnosti vyjádřené v procentech.

Příklad: Měříme s voltmetrem třídy přesnosti Tp = 0,5 na rozsahu 0 - 30 V. Naměřené hodnoty napětí jsou U1 = 15 V, U2 = 30 V. Maximální chyby vyplývající z třídy přesnosti jsou pro obě naměřené hodnoty stejné, protože byly měřeny na jednom rozsahu a jejich velikosti vypočteme ze vztahu (3.2) m (U1 ) = m (U 2 ) = 0,01 . 0,5 . 30 = 0,15 V . Relativní chyby

mr (U1 ) = 0,15 / 15 = 0,01

,

mr (U 2 ) = 0,15 / 30 = 0,005 . Hodnotu napětí 15 V měříme s relativní chybou 1%, hodnotu 30 V, která je maximální hodnotou rozsahu 0 - 30 V, měříme s relativní chybou 0,5 %, která je číselně rovna třídě přesnosti. U číslicových (digitálních) elektrických měřicích přístrojů má chyba dvě složky: základní chyba je chyba přístroje při měření v referenčních podmínkách (obvykle teplota, vlhkost vzduchu apod.) stanovených výrobcem přístroje a přídavná chyba je chyba vznikající při nedodržení referenčních podmínek. V laboratorních podmínkách se obvykle uplatňuje jen základní chyba. Základní chyba číslicových voltmetrů a číslicových multimetrů se vyjadřuje dvěma způsoby a chyba se skládá ze dvou složek.

První způsob určení základní chyby: chybou mr(x) v procentech měřené hodnoty x a chybou m/r(x) v procentech rozsahu (maximální hodnoty rozsahu). Druhý způsob určení základní chyby: chybou mr(x) v procentech měřené hodnoty x a počtem kvantizačních kroků N, což je počet jedniček (digitů) nejnižšího místa číslicového zobrazovače na zvoleném rozsahu. Předem je třeba zjistit z rozsahu a počtu míst jeho zobrazovače, jaká hodnota měřené veličiny odpovídá 1 digitu. Tento tvar

29

vyjádření přesnosti se používá zejména v zahraniční literatuře, kde údaj přesnosti má např. tvar ±0, 02% rdg. ± 2 digits , kde zkratka rdg.(reading) znamená čtená (měřená) hodnota.

Příklad: Dva číslicové voltmetry s maximálním údajem 9999 jsou použity na rozsahu 0-10 V a měřený údaj je v obou případech 5,000V. Jejich chyby jsou specifikovány následovně: pro první voltmetr: 0,01 % čtení + 0,01 % rozsahu, pro druhý voltmetr: 0,01 % čtení + 2 kvantovací kroky (nebo 0,01% rdg.+ 2 digits). Pro první voltmetr je maximální chyba měřené hodnoty m(U) = 1.10-4. 5 V + 1.10-4 .10V = 1,5 mV. Pro druhý voltmetr je maximální chyba měřené hodnoty m(U) =1.10-4. 5 V + 2.10-3V= 2,5 mV. Jestliže výrobce neudává informace o přesnosti měřidla, musíme sami chybu měřidla odhadnout. Obvykle chybu mx odhadujeme tak, že ji položíme rovnu části nejmenšího dílku na stupnici přístroje, kterou jsme schopni ještě rozlišit. Zpravidla to bývá 1/2 nejmenšího dílku nebo celý dílek. Tento způsob určení chyby m(x) souvisí s tím, že optimální hodnota nejmenšího dílku stupnice by měla být výrobcem stanovena tak, abychom mohli na stupnici odečítat hodnoty naměřené veličiny v souladu s citlivostí a přesností daného přístroje nebo měřidla. Takto odhadnutou chybu čtení považujeme za největší přípustnou chybu m(x) a opět ji používáme k vyjádření systematické chyby a neurčitosti. Hodnoty maximálních chyb pro nejčastěji užívaná měřidla jsou v Tab.3.2. b) použitá metoda Systematická chyba vzniká nepřesností, nedokonalostí nebo nevhodností použitého způsobu měření. Například při vážení na vzduchu vzniká systematická chyba určené hmotnosti jako důsledek nezapočtení různého vztlaku působícího na závaží a vážený předmět, jestliže mají rozdílné objemy. Tyto chyby lze odstranit nebo potlačit buď změnou metody nebo vyloučením chyby výpočtem (oprava na vztlak).

měřidlo váhy praktikantské váhy analytické měřítko pásové měřítko posuvné mikrometr stopky mechanické teploměry

m(x) (0,01 - 0,1) g (0,01 - 0,001)g (0,5 - 1) mm 0,1 mm 0,01 mm 0,3 s (0,5 - 1) nejmenší dílek Tab. 3.2

c) osobní chyby Jednotliví pozorovatelé se obvykle dopouštějí chyb, které souvisejí s různou smyslovou koordinací a jsou pro ně charakteristické. Uplatňují se např. při měření časových intervalů, odečtu při zrcátkové metodě apod. Lze je vyloučit tím, že subjektivní měření

30

nahradíme objektivním, např. časový interval měříme místo stopek pomocí čidla spojeného s počítačem. Chyby z uvedených zdrojů se skládají do výsledné systematické chyby. Způsob skládání závisí na konkrétním měření a nelze jej zcela zobecnit. Často chyba z jednoho zdroje svoji velikostí řádově převyšuje chyby z ostatních zdrojů a ty můžeme zanedbat. Pokud jsou velikosti systematických chyb z různých zdrojů řádově stejné, lze s dobrou přesností považovat za výslednou systematickou chybu jejich součet. V mnoha případech, zvláště při složitějších měřeních, nelze dostatečně určit a ohodnotit zdroje systematických chyb, které se podílejí na nepřesnosti výsledku, a nelze proto provést přesné ocenění systematických chyb. Vždy se však snažíme alespoň o řádový odhad systematické chyby.

Systematické chyby mohou mít několik různých zdrojů: nedokonalost měřicího přístroje, chybu metody, osobní chyby, případně chyby způsobené dalšími vlivy. Chybu způsobenou nedokonalostí měřicího přístroje obvykle udává výrobce přístroje. U analogových (ručkových) přístrojů chybu charakterizuje třída přesnosti, u digitálních přístrojů má chyba dvě složky a její základní hodnotu určujeme postupem popsaným na str. 25. Chybí-li údaj o přesnosti přístroje, určujeme chybu odhadem (z nejmenšího dílku stupnice apod.). Chybu metody charakterizujeme aditivním nebo multiplikativním faktorem, kterým korigujeme výsledek měření. Chybu osobní započítáváme do výsledné systematické chyby.

Kontrolní otázky 1. Voltmetrem s třídou přesnosti Tp = 0,5 a rozsahem 120 V byl naměřeno napětí U = 80 V. Určete systematickou chybu m(U) a relativní systematickou chybu mr(U) tohoto údaje. 2. Digitální ampérmetr s maximálním údajem 9999 byl použit k měření na rozsahu 1,0000 A a měřený údaj byl I = 0,2000 A. Chybu přístroje udává výrobce ve tvaru: 0,2 % čtení + 2 digity. Určete systematickou chybu toho údaje. 3. Příkon cca 400 W má být měřen wattmetrem s rozsahem 500 W. Jaká může být maximálně třída přesnosti wattmetru, aby relativní chyba údaje nepřesáhla 1,5 % ?

31

3.3 Úplná chyba Výsledkem hodnocení přesnosti určované veličiny x by mělo být stanovení úplné chyby měření e(x), která, jak jsme zatím konstatovali, je složena ze systematické a náhodné chyby. Systematickou chybu veličiny jsme v odstavci 3.2 označili m(x) a uvedli jsme způsoby jejího stanovení. Náhodnou chybu veličiny při opakovaném měření jsme v odstavci 3.1 charakterizovali směrodatnou odchylkou aritmetického průměru s ( x ) , obvykle ale

krajní chybou

k ( x ) aritmetického průměru. Úplnou chybu e ( x )

aritmetického průměru veličiny x měřené opakovaně určujeme na základě zákona hromadění chyb ze vztahu

e ( x ) = k 2 ( x ) + m2 ( x ) ,

(3.13)

e ( x ) = k ( x ) + m ( x)

(3.14)

případně z méně přesného vztahu .

Pro úplnou chybu jedné naměřené hodnoty xi ze souboru naměřených hodnot x1, x2,..xn veličiny x platí analogický vztah e ( xi ) = k ( x ) + m ( x ) (3.15) Při přípravě, realizaci a vyhodnocení měření určité veličiny je třeba přihlédnout k hlavním zdrojům chyb a posoudit, které budou mít rozhodující význam. Ve většině laboratorních i technických měření obvykle převažuje systematická chyba nad náhodnou, vliv náhodné chyby je tudíž zanedbatelný a měření se provádí pouze jednou, nikoli opakovaně. V takovém případě je e ( x ) ≈ m ( x ) . V případě, že měříme přesným přístrojem a systematická chyba je proto velice malá, může být velikost náhodné chyby srovnatelná s velikostí chyby systematické a její vliv na přesnost výsledku nezanedbatelný. Podobná situace může nastat i v případě použití málo přesného přístroje, kdy silné rušivé vlivy mohou způsobovat významné náhodné kolísání měřených hodnot. V takových případech je třeba provést opakované měření. Čím větší počet měření provedeme, tím podle vztahu (3.3) bude směrodatná odchylka s ( x ) a tudíž i krajní chyba k ( x ) menší. Měření opakujeme tolikrát, abychom snížili hodnotu k ( x )

na několik desetin hodnoty systematické chyby m(x). Dosáhneme tak potlačení vlivu náhodné chyby. Pouze v případech, kdy hodnoty systematické a náhodné chyby veličiny jsou řádově stejné, je nutné uvažovat součet obou chyb podle (3.13) nebo (3.14).

Příklad: Měření délky l předmětu bylo prováděno mikrometrem, jehož systematická chyba je m(l) = 0,01 mm. Z dvaceti naměřených hodnot délky byla krajní chyba aritmetického průměru k ( l ) = 0,01 mm. Velikosti obou chyb jsou srovnatelné a proto

32

úplná chyba stanovené délky je e ( l ) = 0, 01 + 0, 01 = 0, 02 mm. Kdybychom se zabývali chybou pouze jednoho měření, pak směrodatná odchylka s(l) jednoho měření je podle vztahu (3.7) s ( l ) = s ( l ) n , kde n = 20, přibližně 4,5 krát větší. Ve stejném poměru se

zvětší i krajní chyba jednoho měření k ( l ) ≈ 4,5k ( l ) . Pro jedno měření je k ( l ) ≈ 0,045

mm, tj. přibližně 4,5 krát větší než hodnota systematické chyby mikrometru m(l) = 0,01 mm.V tomto případě má proto smysl provádět opakovaná měření. Jestliže chceme snížit podíl náhodné chyby například pětkrát, je třeba provést 25 měření.

3.4 Chyby nepřímo měřených veličin Až doposud jsme se uvažovali taková měření, kde hodnota naměřené veličiny je přímo výsledkem měření. Nazýváme ji proto přímo měřenou veličinou. Jestliže určujeme hodnotu veličiny ze vztahu, ve kterém vystupují dvě nebo více měřených veličin, hovoříme o určení nepřímo měřené veličiny. Pro nepřímo měřenou veličinu musíme rovněž stanovit nebo odhadnout chybu. Tato chyba bude mít stejné vlastnosti jako chyba přímo měřené veličiny, tj. bude se skládat ze složky systematické a náhodné. Její velikost bude záviset na hodnotách úplných chyb jednotlivých přímo měřených veličin a na tvaru funkce, která vyjadřuje závislost výsledné nepřímo měřené veličiny na jednotlivých veličinách měřených přímo. Tato závislost se vyjadřuje pomocí parciálních derivací funkce podle těchto veličin. Při určitém zjednodušení lze tvrdit, že parciální derivace charakterizují citlivost změny funkce na změny jednotlivých veličin. Předpokládejme, že hodnotu veličiny y nelze měřit přímo, ale určujeme ji výpočtem z výsledku měření několika přímo měřených veličin x1, x2, ....xm . Známe-li tvar funkční závislosti y = f (x1,x2,...xm) a chyby přímo měřených veličin k(x1), k(x2),..., k(xm), lze určit úplnou chybu k(y) ze zákona hromadění chyb, který řeší skládání chyb a to buď lineárně nebo kvadraticky. Jednodušší tvar tohoto zákona, kdy se chyby skládají lineárně, má tvar

e( y) =

∂f ∂f ∂f e ( x1 ) + e ( x2 ) + ..... + e ( xm ) . ∂ x1 ∂ x2 ∂ xm

3.16)

Chyby jednotlivých přímo měřených veličin se hromadí lineárně (ve vztahu vystupují první mocniny chyb jednotlivých veličin násobené číselnými hodnotami derivací). Přitom předpokládáme zcela obecný případ, tj. že některé z veličin mohly být měřeny opakovaně a některé pouze jednou. Vztah pro lineární hromadění chyb má opodstatnění zejména v případech převažujících systematických chyb a v případě menšího počtu přímo měřených veličin. V případech, kdy se skládají převážně náhodné chyby, je výhodné použít alternativní vztah založený na předpokladu kvadratického hromadění chyb. Má tvar

33

e( y) =

2

2

2

∂f 2 ∂f 2 ∂f e ( x1 ) + e ( x2 ) + .... + e 2 ( xm ) ∂ x1 ∂ x2 ∂ xm

.

(3.17)

Dále budeme pro zjednodušení důsledně používat lineární tvar zákona hromadění chyb daný vztahem (3.16).

Příklad: Určení hustoty vzorku hydrostatickou metodou spočívá ve vážení vzorku na vzduchu a téhož vzorku ponořeného ve vodě. Hustotu vzorku ρ vypočteme ze vztahu

ρ=

Z (s −δ ) +δ , Z − Z1

Z ………….. hmotnost závaží vyvažující vzorek na vzduchu Z1………….. hmotnost závaží vyvažující vzorek ponořený ve vodě s ……………hustota vody δ ………….. hustota vzduchu. Chyby hustoty vody a vzduchu jsou proti chybám e(Z) a e(Z1) zanedbatelné a proto se ve vztahu (3.16) uplatní pouze derivace

Z1 ∂ρ ∂ρ Z = = s −δ ) , (s −δ ) . 2 ( ∂Z ( Z − Z1 ) ∂Z1 ( Z − Z1 )2 Chybu veličiny ρ určíme ze vztahu e(ρ ) =

Z

( Z − Z1 )

2

(s −δ ) e(Z ) +

Z1

( Z − Z1 )

2

( s − δ ) e ( Z1 )

Obecný vzorec (3.16) pro hromadění chyb lze ve speciálních případech funkčních závislostí nahradit jednoduššími výrazy pro výpočet chyb nepřímo měřené veličiny:

Nepřímo měřená veličina je součet nebo rozdíl přímo měřených veličin:

y = f ( x1 , x2 ) = ax1 ± bx2 ,

(3.18)

kde a,b jsou reálná čísla. Z lineárního tvaru zákona hromadění chyb vyplývá, že úplná chyba veličiny y je e ( y ) = a e ( x1 ) + b e ( x2 ) .

34

(3.19)

Pro prostý součet a rozdíl dvou veličin

y = f ( x1 , x 2 ) = x1 ± x2

(3.20)

se (3.16) redukuje na následující vztah e ( y ) = e ( x1 ) + e ( x2 ) .

(3.21)

V případě, kdy určujeme chybu veličiny, která je rovna součtu nebo rozdílu dvou veličin, je její výsledná absolutní chyba tvořena součtem absolutních chyb přímo měřených veličin. Pro zpřesnění výsledku má smysl zpřesňovat měření té veličiny, jejíž absolutní chyba je největší.

Příklad: Určujeme tloušťky stěny dutého válce. Vnější průměr válečku d1 = 12,1 mm, vnitřní průměr d2 = 8,1 mm, rozměry byly změřeny posuvným měřítkem. Chyba údaje posuvného měřítka je pro oba rozměry stejná, m(d1) = m(d2) = 0,1 mm. Označíme-li tloušťku stěny x, pak pro ni platí 1 x = (d1 − d 2 ) . 2 Chyba v určení x je podle vztahu (2.12) rovna

e ( x) =

1 1 e ( d1 ) + e ( d 2 )  = 0, 2 = 0,1 mm . 2 2

Tloušťka stěny x je určena s chybou 0,1 mm. Kdybychom chtěli zpřesnit měření, je třeba zpřesnit měření obou rozměrů d1 i d2, protože se podílejí na výsledné chybě rovným dílem.

Nepřímo měřená veličina je součin nebo podíl přímo měřených veličin:

y = f ( x1 , x2 ) = ax1m x 2n

(3.22)

kde a, m, n jsou reálné konstanty. Z lineárního tvaru zákona hromadění chyb vyplývá, že úplná relativní chyba veličiny y je

er ( y ) = m er ( x1 ) + n er ( x2 )

.

(3.23)

Pro prostý součin nebo podíl dvou veličin x1, x2 se výraz (3.23) redukuje na vztah

er ( y ) = er ( x1 ) + er ( x2 ) .

35

(3.24)

V případě, kdy určujeme chybu veličiny, která je rovna součinu nebo podílu dvou veličin, je její výsledná relativní chyba tvořena součtem relativních chyb přímo měřených veličin. Pro zpřesnění výsledku má smysl zpřesňovat měření té veličiny, jejíž relativní chyba je největší nebo s ohledem na (3.23) se ve vztahu (3.22) vyskytuje ve vyšší mocnině.

Příklad: Určujeme chybu elektrického odporu R spotřebiče pro proud I = 100 mA s chybou m(I) = 0,5 mA a napětí na spotřebiči U = 200 V s chybou m(U) = 2 V. Protože odpor R souvisí s proudem I a napětím U vztahem R = U/I, je úplná chyba odporu R pro jedno měření proudu a napětí e ( R) = m ( R) a pro relativní chybu podle vztahu (2.17) platí er ( R ) = er (U ) + er ( I ) . Po dosazení dostaneme

er ( R ) =

2 0,5 + = 0, 015 . 200 100

Při výpočtu jsme využili definiční vztah pro relativní chybu veličiny. Relativní chyba velikosti elektrického odporu činí 1,5 %. Z výpočtu vyplývá, že hodnota napětí je zatížena dvakrát větší relativní chybou než hodnota proudu. Zlepšení přesnosti výsledku by bylo možno dosáhnout např. použitím voltmetru s lepší třídou přesnosti.

Nepřímo měřená veličina je funkcí dvou a více přímo měřených veličin. Chyba nepřímo měřené veličiny závisí na chybách veličin měřených přímo, přičemž míra této závislosti je vyjádřena parciální derivací funkční závislosti podle příslušné veličiny. Úplná chyba nepřímo měřené veličiny se počítá z kvadratického zákona hromadění chyb nebo méně přesněji z lineárního zákona hromadění chyb. Absolutní chyba součtu nebo rozdílu veličin je rovna součtu absolutních chyb těchto veličin. Relativní chyba součinu nebo podílu veličin je rovna součtu relativních chyb těchto veličin.

36

Kontrolní otázky: 1. Hustota tělesa ve tvaru koule byla určena jako podíl hmotnosti M a objemu V. Hmotnost M byla určena jedním vážením s chybou m(M) = e(M). Objem byl vypočítán z výsledku n měření poloměru r koule, jejichž výsledkem byl aritmetický průměr poloměru r a jeho krajní chyba k ( r ) . Měřidlo, kterým byl poloměr měřen, mělo

4 systematickou chybu m(r). Objem koule byl vypočítán ze vztahu V = π r 3 . Napište 3 vztah pro výpočet celkové chyby e ( ρ ) hustoty koule. 2. Magnetická indukce v mezeře mezi póly elektromagnetu byla měřena pomocí měření výchylky ψ cívky protékané proudem I zavěšené na pružném závěsu. Velikost indukce byla vypočítána ze vztahu K ψ B= . I cos ψ

Proud I byl změřen s chybou e(I) a úhel výchylky ψ s chybou e (ψ ) . Napište vztah pro

určení chyby e(B).

3.5 Výsledek měření Z předchozích odstavců vyplývá, že výsledkem měření je nejen hodnota veličiny, ale současně i její chyba. Při zpracování měření je proto třeba dodržet určitý postup, který shrnujeme do několika bodů.

1) Ke každé přímo měřené veličině xi stanovte nebo alespoň odhadněte její systematickou chybu m(xi). 2) Je-li některá veličina, označme ji x, měřena opakovaně, stanovte její aritmetický průměr x , směrodatnou odchylku s ( x ) , případně k ( x ) . Posuďte, která z chyb, náhodná nebo systematická, má rozhodující podíl na výsledné chybě veličiny x. 3) Je-li úkolem měření stanovit nepřímo měřenou veličinu y, použijte pro výpočet její chyby buď obecný vztah (3.16) nebo (3.17) nebo některý z konkrétních vztahů (3.19), (3.21), (3.23), (3.24). Přitom za úplné chyby e(xi) jednotlivých

37

přímo měřených veličin xi dosazujte jejich systematické chyby m(xi), eventuálně součet m ( xi ) + k ( x ) , pokud některé z nich byly měřeny opakovaně. Výpočet chyb zjednodušte tak, že ve výpočtu zanedbejte ty členy, které jsou řádově menší než členy ostatní.

Zápis výsledku Při zápisu výsledné hodnoty veličiny je třeba vždy vyjádřit výslednou hodnotu veličiny ve tvaru ( x ± e (x)) [X]. Symbol [X] označuje jednotku veličiny X.

Příklad: Pásovým měřítkem byla naměřena délka předmětu l = 453 mm. Maximální chyba tohoto údaje odpovídající jednomu nejmenšímu dílku stupnice je 1 mm, a proto je správný zápis výsledku l = ( 0,453 ± 0,001 ) m . Chyba je v tomto případě vyjádřena jednou platnou cifrou ( jako první platná cifra se označuje první nenulová cifra počítaje odleva).

Chyby se zaokrouhlují nejvýš na dvě cifry, a hodnota veličiny se zaokrouhlí tak, aby se řád poslední cifry hodnoty veličiny i chyby shodoval.

Příklad: Měřením byla stanovena vlnová délka světla helium-neonového laseru λ = 632,84 nm s chybou e(λ) = 1, 29 nm. Chybu zaokrouhlíme na dvě platné cifry a tomu přizpůsobíme i poslední cifru hodnoty vlnové délky. Zápis výsledku měření vlnové délky je λ = (632,8 ± 1,3).10-9 m.

38

4 Nejistoty měření 4.1 Zavedení nejistot měření V 80. letech minulého století si potřeby vědy a techniky stále více vyžadovaly všestrannější přístup k hodnocení přesnosti měření. Mezinárodní komise formulovala nový přístup, který se formálně projevuje tak, že nehovoříme o chybě měření, ale o nejistotě měření. Tento nový přístup nepopírá pojem chyby měření, ale zobecňuje jej. Řada postupů je při vyhodnocení nejistot měření formálně podobná postupům popsaným v kapitole 3. Zatímco chyba charakterizuje rozdíl naměřené hodnoty od skutečné (pravé) hodnoty, nejistota měření charakterizuje rozsah (interval) hodnot měřené veličiny kolem výsledku měření, který podle očekávání obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny. Nejistota se stanoví nejen pro výsledek měření, ale také pro měřidla, použité konstanty, pro korekce apod.

Základem určování nejistot je statistický přístup a to jak pro chyby náhodné, tak chyby systematické. Předpokládá se určité rozdělení pravděpodobnosti, které popisuje, jak se mohou naměřené hodnoty veličiny x odchylovat od skutečné hodnoty. Základní charakteristikou nejistoty je standardní nejistota označovaná písmenem u, a její mírou je směrodatná odchylka udávané hodnoty veličiny. Standardní nejistota udává rozsah hodnot okolo naměřené (stanovené) hodnoty, ve kterém se s danou pravděpodobností nachází skutečná hodnota. Standardní nejistoty se podle zdrojů, z kterých vznikají (obdobně jako chyby), dělí na standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B. Standardní nejistoty typu A jsou způsobovány náhodnými vlivy. Stanoví se z opakovaných měření určité hodnoty za stále stejných podmínek na základě statistického přístupu a označují se uA. Nejistoty typu A se zmenšují se zvětšujícím se počtem opakovaných měření. Standardní nejistoty typu B jsou způsobovány známými a odhadnutelnými příčinami vzniku. Standardní nejistoty typu B se označují uB. Jejich určení vychází z odhadu systematických chyb naměřených hodnot. Mohou pocházet z různých zdrojů, a při určitém měření je výsledná standardní nejistota typu B dána odmocninou ze součtu kvadrátů nejistot od jednotlivých zdrojů s respektováním korelací (vzájemných závislostí) mezi jednotlivými zdroji nejistot. Protože se stanovení nejistot typu A i B provádí na základě stejného přístupu, je možné skládat nejistoty typu A a B. Sumací kvadrátů standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B se dostane kvadrát kombinované standardní nejistoty. Hodnotí-li se výsledek měření standardní nejistotou, pak se neuvádějí odděleně nejistoty typu A a nejistoty typu B.

u 2 = u A2 + uB 2

39

(4.1)

Kombinovaná standardní nejistota u udává interval či rozsah hodnot, ve kterém se s poměrně velkou pravděpodobností může vyskytovat skutečná hodnota. V praxi se však často objevuje požadavek na zvýšení pravděpodobnosti (snížení rizika) a toho se dosáhne zvětšením intervalu, který pokrývá nejistota. Proto se zavádí rozšířená standardní nejistota U, která je dána vztahem U = kU u , (4.2) kde kU je koeficient rozšíření nebo pokrytí. Rozšířená nejistota má být vždy doplněna údajem o velikosti kU. Velikost kU se volí 2 až 3. V poslední době se doporučuje volit kU = 2, tj. U = 2 u, což odpovídá pravděpodobnosti 95% pro normální rozdělení. Standardní nejistotu můžeme vyjadřovat v jednotkách měřené veličiny, pak hovoříme o absolutní standardní nejistotě, nebo poměrem absolutní nejistoty a hodnoty příslušné veličiny, který nazýváme relativní standardní nejistota. Znaménko ± se dává před číselnou hodnotu nejistoty v případě, že se připojuje k hodnotě výsledku měření.

4.2 Stanovení standardních nejistot při přímém měření Podobně jako v případě chyb měření, i v případě nejistot se postup při stanovení standardních a rozšířených nejistot liší podle toho, zda se jedná o přímé nebo nepřímé měření určité veličiny či veličin.

Při přímém měření se měření provádí buď jednou (při většině technických měřeních), nebo opakovaně. Při opakovaném měření se vychází se ze série měření provedených při stále stejných podmínkách a získá se n naměřených hodnot. Při jediném měření by měla být zaručena dostatečně malá náhodná chyba, provádí-li se opakované měření, měl by být počet měření nejméně 5. Stanovení standardní nejistoty při přímém měření. Jak jsme již uvedli v odstavci 4.1, výchozí hodnotou při určování nejistot je směrodatná odchylka měřené veličiny. Jestliže opakovaným měřením veličiny X získáme n údajů x1........xn, výsledek měření bude aritmetický průměr x daný vztahem (3.1), a standardní nejistota typu A je rovna výběrové směrodatné odchylce aritmetického průměru u xA = s x =

n 1 ∑ ( xi − x ) 2 . n(n − 1) i =1

(4.3)

Pokud je počet opakovaných měření menší než 10 a není možné určit kvalifikovaný odhad na základě zkušenosti, lze standardní nejistotu typu A stanovit přibližně na základě vztahu ux = kx s ( x )

(4.4)

kde kx je koeficient, jehož velikost závisí na počtu měření tak, že pro počet n < 5 jeho hodnota značně vzrůstá (pro n = 4 je jeho hodnota 1,7 a pro n = 3 je to již 2,5). Doporučuje se proto volit počet měření větší než 10, v krajním případě větší než 5.

40

Standardní nejistoty typu B jsou někdy označovány jako systematické nejistoty a v mnoha případech se tak projevují. Jejich určování je založeno jako v případě nejistot typu A na statistickém přístupu. Dříve, než se přistoupí k měření, je třeba najít možné zdroje systematických chyb (nejistot typu B). Zdroje nejistot typu B při měření (podobně jako systematické chyby) vznikají v důsledku: - nedokonalosti měřicích přístrojů a měřicí techniky, - použitých měřicích metod, - podmínek při měření, - odečtu naměřené hodnoty (ukazatel naměřené hodnoty se nachází mezi označenými dílky stupnice a jeho polohu určí experimentátor odhadem) - dalších vlivů.

Odhad standardních nejistot typu B od jednotlivých zdrojů nejistot Zi se provádí následujícím způsobem: - odhadne se pro každý zdroj nejistoty maximální rozsah změn ±∆ z max , velikost ∆z max se volí taková, aby její překročení bylo málo pravděpodobné (maximálně přípustná chyba nebo nejmenší dílek stupnice). - uváží se, které rozdělení pravděpodobnosti nejlépe vystihuje výskyt hodnot v intervalu ±∆ z max , aby bylo možné z mezní odchylky ∆ z max stanovit směrodatnou odchylku příslušející tomuto typu rozdělení. Je třeba se rozhodnout, jak bude rozdělena pravděpodobnost, se kterou může ovlivňující veličina nabývat jednotlivých hodnot mezi svými krajními mezemi danými ±∆ z max . Nejčastěji se předpokládá rovnoměrné rozdělení, pro které je stejná pravděpodobnost výskytu libovolné hodnoty ležící mezi krajními mezemi. V tomto případě je koeficient χ , sloužící k přepočtu mezní hodnoty ovlivňující veličiny na směrodatnou odchylku χ = 3 . Normální (Gaussovo) rozdělení se volí tehdy, je-li pravděpodobnost malých odchylek značná a velkých odchylek zanedbatelná a koeficient χ = 3. -

určí se nejistoty typu B od jednotlivých zdrojů Zi ze vztahu u zB =

∆ z max

χ

,

(4.5)

kde χ udává poměr mezní odchylky ke směrodatné odchylce pro vybraný typ rozdělení. Hodnota χ nabývá obvykle hodnoty 3 , event. 3. - určí se výsledná standardní nejistota typu B veličiny X podle vztahu u xB =

n

∑A j =1

2 x, z j

u z2j ,

(4.6)

sčítání se provádí přes všechny zdroje Zi nejistot typu B. Odhadnuté nejistoty od jednotlivých zdrojů se ve vztahu (3.10) násobí koeficienty vypočtenými pomocí

41

funkční závislosti X = f(Z1, Z2,.....Zn). Koeficienty

Ax , z j (citlivostní koeficienty) se

vypočtou z relací

Ax , z j = Pomocí koeficientů citlivosti

Ax , z j

∂X ∂Zj

.

(4.7)

lze převést jednotlivé složky nejistoty typu B na

jednotky měřené veličiny. Vztah (4.7) platí pouze za určitého předpokladu, a to tehdy, jestliže není vazba (korelace) mezi jednotlivými složkami nejistoty. Není-li tento předpoklad splněn, je třeba použít složitější postup, který případný zájemce o tuto problematiku najde v příslušné literatuře [6], [7]. Kombinovaná standardní nejistota ux se při přímém měření určuje ze vztahu 2 2 u x = u xA + u xB .

(4.8)

Při dosazování do vztahu (4.8) je vhodné posoudit, jestli některá složka nejistoty nemá rozhodující význam, a druhou je pak možno zanedbat. Pro demonstraci rozdílu při stanovení úplné chyby a kombinované standardní nejistoty uvedeme příklad analogický příkladu ze závěru odstavce 3.1: Příklad na stanovení nejistoty přímo měřené veličiny: Měření délky l předmětu bylo prováděno mikrometrem 20krát. Z naměřených hodnot délky byla určena směrodatná odchylka aritmetického průměru s ( l ) = 0,01 mm. Směrodatná odchylka aritmetického průměru je podle vztahu (4.3) rovna standardní odchylce ulA typu A. Zdrojem nejistoty typu B je pouze omezená přesnost mikrometru, a proto se pro tento případ měření určí z maximální chyby mikrometru, která je 0,01 mm Předpokládáme symetrické rozložení hodnot měřených mikrometrem v intervalu ± 0, 01 mm , a proto podle vztahu (4.5) je

ulB = 0, 01/ 3mm .

Kombinovaná

standardní

nejistota

je

podle

vztahu

(4.8)

2

 0, 01  ul = 0, 01 +   = 0, 012 mm .  3  Obě složky nejistot jsou v tomto případě řádově stejně velké, a proto nemůžeme ani jednu z nich zanedbat. 2

4.3 Stanovení standardních nejistot při nepřímém měření Situace při nepřímém měření je popsána v úvodu odstavce 3.4, tj. hodnotu veličiny určujeme na základě vztahu, v kterém vystupuje jedna nebo více přímo měřených veličin a konstanty. Nechť veličina Y je dána funkční závislostí na jedné nebo několika přímo měřených veličinách Xj a konstantách Vh,, u nichž neznáme přesné hodnoty. Platí

Y=f(X1,..Xj..Xm.,V1…Vh,....Vp)

42

.

Předpokládejme obecný případ, kdy měření se opakuje m - krát a pro i-té měření se získají hodnoty x1i ..... xm i přímo měřených veličin X1 …..Xm. Výslednou hodnotu y stanovíme tak, že dosadíme výběrové aritmetické průměry přímo měřených veličin do funkční závislosti Standardní nejistotu při nepřímém měření lze stanovit stejným obecným postupem, jako v případě přímo měřené veličiny.

Stanovení standardní nejistoty při nepřímém měření veličiny lze shrnout do následujících kroků: 1. Stanovíme výběrový aritmetický průměr y podle vztahu y = f ( x1 ,.., x j ...xm ,V1 ,...,Vh ,...V p ) , (4.9) kde x j je aritmetický (výběrový) průměr j-té přímo měřené veličiny.

2. Stanovíme směrodatné odchylky s ( x j ) pro jednotlivé opakovaně měřené veličiny Xj

podle vztahu (4.3), které jsou totožné s nejistotami typu A, tj. u x j A . 3. Výslednou standardní nejistotu jednotlivých zdrojů podle vztahu

Ay j =

typu A

j =1

2 2 yj xj

s

∂ f ( X 1.. X j .. X m ,V1..Vh ..V p ) ∂ Xj

vypočítají dosazením hodnot

určíme na základě

nejistot od

m

∑A

u yA = s y =

kde

uyA

xj

,

(4.10)

jsou převodní koeficienty, jejichž hodnoty se

a Vh do parciálních derivací, a které převádějí

jednotlivé nejistoty do jednotek měřené veličiny. Pro zjednodušení zde předpokládáme, že hodnoty konstant Vh nejsou ovlivněny nejistotami. Jestliže neprovádíme opakované měření, body 1 - 3 odpadají a hodnotu veličiny Y dostaneme dosazením jednou měřených hodnot veličin X1,…Xm a nejistotu typu A nepočítáme. 4. Určíme všechny zdroje složek nejistoty typu B. 5. Pro každý zdroj nejistoty typu B určíme krajní meze, mezi kterými by se měla nacházet jeho skutečná hodnota. 6. Pro každý zdroj nejistoty zjistíme předpokládané rozdělení pravděpodobností výskytu jednotlivých hodnot mezi krajními mezemi a podle typu rozdělení jim přiřadíme hodnoty koeficientu χ ( χ = 3 pro normální rozdělení, χ = 3 pro rovnoměrné rozdělení). 7. Podle vztahu (4.6) vypočteme nejistoty typu B od jednotlivých zdrojů. 8. Vypočteme výslednou standardní nejistotu uyB typu B podle vztahu

u yB =

m

∑A j =1

2 xj

l

u x2j B + ∑ AV2h uV2h B h =1

43

,

(4.11)

Ax j =

∂Y ∂Xj

AVh =

∂Y

jsou převodní koeficienty určené pomocí ∂Vh parciálních derivací, převádějící nejistoty od jednotlivých zdrojů do jednotek určované veličiny. 9. S použitím Gaussova kvadratického zákona šíření nejistot určíme kombinovanou standardní nejistotu uy kde

,

2 2 u y = u yA + u yB .

(4.12)

10. Je-li požadavek na zvýšení pravděpodobnosti (snížení rizika) výskytu skutečné hodnoty v intervalu (y - Uy), (y - Uy) stanovíme rozšířenou standardní nejistotu Uy, která se zavádí vztahem U y = k yu y , (4.13) kde kU je koeficient rozšíření nebo pokrytí. Hodnoty koeficientu se obvykle volí od 2 do 3, většinou se doporučuje volit kU = 2, aby pro normální rozdělení odpovídal pravděpodobnosti pokrytí cca 95%. Je zřejmé, že v obecném případě může být správné určení nejistot měření obtížné. Je užitečné zvážit vliv nejistot jednotlivých přímo měřených veličin a výpočet zjednodušit zanedbáním řádově menších výrazů (kvadrátů nejistot). Podobně jako při určování chyb nepřímo měřených veličin, lze odvodit i zjednodušené vzorce pro určování nejistot pro součty (rozdíly) a součiny (podíly).

Výpočet nejistot pro jednoduché případy nepřímo měřených veličin. Předpokládejme, že hodnotu veličiny Y přímo neměříme, ale určujeme ji pomocí jednou měřených hodnot x1, x2 dvou nepřímo měřených veličin X1, X2. Nejistota uyB je zároveň kombinovanou nejistotou uy, protože hodnoty přímo měřených veličin jsou měřeny pouze jednou. Pro kombinovanou nejistotu uy dostaneme 2

2

 ∂Y  2  ∂Y  2 uy =   u1B +   u2 B ,  ∂ X1   ∂ X2  kde pro přehlednost píšeme u x1B ≡ u1B

(4.14)

, u x2 B ≡ u 2 B .

Nepřímo měřená veličina je lineární kombinace přímo měřených veličin Y = f ( X 1 , X 2 ) = aX 1 ± bX 2 ,

(4.15)

kde a,b jsou reálná čísla. Z kvadratického zákona šíření nejistot, vztah vyplývá, že kombinovaná standardní nejistota veličiny Y je

uy =

a 2u12B + b 2u22B

44

.

(4.16)

V případě, kdy určujeme nejistotu veličiny, která je rovna součtu nebo rozdílu dvou veličin, je její výsledná nejistota rovna odmocnině součtu kvadrátů nejistot přímo měřených veličin. Pro zpřesnění výsledku má smysl zpřesňovat měření té veličiny, jejíž absolutní nejistota je největší.

Příklad: Určujeme tloušťky stěny dutého válce. Vnější průměr válečku d1 = 12,1 mm, vnitřní průměr d2 = 8,1 mm, rozměry byly změřeny posuvným měřítkem. Chyba údaje posuvného měřítka je pro rozměry stejná, m1 = m2 = 0,1 mm. Předpokládáme-li, že hodnoty jsou v rozmezí ± 0,1 mm rozloženy rovnoměrně, pak podle vztahu (4.5) 0,1 u1B = u2 B = mm , 3 neboť pro rovnoměrné rozdělení hodnot platí, že χ = 3 . Označíme-li tloušťku stěny x, pak pro ni platí 1 x = (d1 − d 2 ) . 2 Nejistota určení x je podle vztahu (4.16) rovna 2

2

1 2 1 1  0,1   0,1  ux = u1B + u22B = +    = 0.041mm . 4 4 2  3  3 Tloušťka stěny x je určena s nejistotou 0,041 mm. Kdybychom chtěli zpřesnit měření, je třeba zpřesnit měření obou rozměrů d1 i d2, protože se podílejí na výsledné nejistotě rovným dílem.

Nepřímo měřená veličina je mocnina přímo měřených veličin

y = f ( X 1 , X 2 ) = ax1m x 2n , (4.17) kde a, m, n jsou reálné konstanty. Z obecného vztahu (4.11) vyplývá, že relativní (poměrná) standardní nejistota typu B veličiny Y je ury =

m 2ur21 + n 2ur22

.

(4.18)

V případě, kdy určujeme nejistotu veličiny, která je rovna součinu nebo podílu dvou veličin, je její relativní nejistota rovna odmocnině ze součtu kvadrátů relativních nejistot přímo měřených veličin. Pro zpřesnění výsledku má smysl zpřesňovat měření té veličiny, jejíž relativní nejistota je největší nebo se ve vztahu (4.17) vyskytuje ve vyšší mocnině.

Příklad: Určujeme nejistotu elektrického odporu R spotřebiče pro proud I = 100 mA měřený s maximální chybou mI = 0,5 mA a napětí na spotřebiči U = 200 V s maximální chybou mU = 5 V. Předpokládáme, používáme kvalitní ampérmetr i voltmetr a proto pro hodnoty napětí a v proudu v rozmezí chyb platí normální rozdělení. Podle vztahu (4.5)

45

uIB =

0,5 5 mA = 0,17mA, uUB = V = 1, 7V 3 3

a relativní nejistoty jsou

0,17 1,7 = 1,7 .10 −3 , urUB = = 8,5 .10 −3 . 100 200 Protože elektrický odpor souvisí s proudem I a napětím U vztahem R = U/I, platí pro relativní standardní nejistotu typu B elektrického odporu R určeného z jednoho měření proudu a napětí vztah (4.18) urIB =

2 urR = urI2 + urU =

(1, 7.10 )

−3 2

+ ( 8,5.10−3 ) = 0, 0087 . 2

Při výpočtu jsme využili definiční vztah pro relativní nejistotu. Velikost relativní nejistoty elektrického odporu činí 0,87 %. Z výpočtu vyplývá, že hodnota napětí má pětkrát větší relativní nejistotu než hodnota proudu. Zlepšení přesnosti výsledku by bylo možno dosáhnout např. použitím voltmetru s lepší třídou přesnosti.

4.4 Výsledek měření Obdobně jako v odstavci 3.5 pro chybu měřené veličiny, můžeme nyní stručně shrnout postup při vyhodnocení měření se stanovením nejistot: V případě přímo měřené veličiny: 1) K přímo měřené veličině X stanovte nebo alespoň odhadněte zdroje všech systematických chyb a uvažte, jakým rozdělením se budou hodnoty v rámci chyby řídit 2) Vypočtěte standardní nejistotu typu B podle vztahu (4.6). 3) Je-li veličina měřena opakovaně, stanovte její aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku s ( x ) , která je rovna standardní nejistotě u xA .

4) Stanovte kombinovanou standardní nejistotu podle vztahu (4.8). V případě nepřímo měřené veličiny: 1. V případě, že některé veličiny měříte opakovaně, stanovte výběrový aritmetický průměr y dosazením aritmetických průměrů jednotlivých přímo měřených veličin podle vztahu (4.9). 2. Stanovte směrodatné odchylky s ( x j ) pro jednotlivé opakovaně měřené veličiny

Xj podle vztahu (4.3), které jsou totožné s nejistotami typu A, tj. u x j A . 3. Výslednou standardní nejistotu uyA typu A určete na základě nejistot od jednotlivých zdrojů podle vztahu (4.10). Jestliže neprovádíte opakované měření, body 1 - 3 odpadají. 4. Určete všechny zdroje složek nejistoty typu B přímo měřených veličin a nepřesnosti konstant. 5. Pro každý zdroj nejistoty typu B určete krajní meze, mezi kterými by se měla nacházet jeho skutečná hodnota a zjistěte předpokládané rozdělení

46

pravděpodobností výskytu jednotlivých hodnot mezi krajními mezemi a podle typu rozdělení jim přiřaďte hodnoty koeficientu χ ( χ = 3 pro normální rozdělení, χ = 3 pro rovnoměrné rozdělení). Jestliže si nejste jisti výběrem rozdělení, použijte hodnotu χ = 3 . 6. Podle vztahu (4.6) vypočtěte nejistoty typu B od jednotlivých zdrojů. 7 Stanovte výslednou standardní nejistotu uyB typu B podle vztahu (4.11). 8. S použitím Gaussova kvadratického zákona šíření nejistot, vztah (4.12) určete kombinovanou standardní nejistotu uy. 9. Je-li požadavek na zvýšení pravděpodobnosti (snížení rizika) výskytu skutečné hodnoty v intervalu ( y − U y ), ( y + U y ) stanovte rozšířenou standardní nejistotu Uy podle vztahu (4.13).

Výsledek se zapisuje ve stejné formě jako v případě určení úplné chyby měření, tj.

y = ( y ± u y ) [Y]. Obvykle se respektuje pravidlo neuvádět nejistotu měření na více jak dvě platné cifry.

Kontrolní otázky: 1. Který typ nejistot je odvozen a) z náhodných chyb, b) ze systematických chyb ? 2. Délka hranolku byla měřena jednorázově a to a) posuvným měřítkem (m = 0,05 mm) s výsledkem l/ = 13,25 mm, b) mikrometrem (m = 0,02 mm) s výsledkem l// = 13,24 mm. Určete v obou případech standardní nejistotu a zapište výsledek měření. 3. Průměr drátu byl změřen mikrometrem (m = 0,01 mm) a to pětkrát s výsledkem (v mm): 2,12 ; 2,10 ; 2,15 ; 2,14 ; 2,11. Určete plochu S průřezu drátu a její kombinovanou standardní nejistotu uS.

47

5 Vyrovnání funkční závislosti Jak jsme již vedli v kapitole 1, není měření omezeno pouze na určení jedné hodnoty měřené veličiny, ale při mnoha laboratorních i technických měřeních vyšetřujeme závislost jedné veličiny na jiné veličině, případně na několika jiných veličinách. Předpokládejme pro jednoduchost, že veličina y je funkcí pouze jedné veličiny x. Takové měření spočívá v tom, že pro množinu zvolených hodnot nezávisle proměnné x1, x2, .... , xn měřením získáme odpovídající množinu hodnot závisle proměnné y1, y2, .... , yn. Přitom musíme brát v úvahu, že obě množiny představují výsledky měření a jsou proto zatíženy chybami. Ve zcela obecném případě ani neznáme tvar funkční závislosti

y = f(x) a výsledkem analýzy naměřených hodnot má být stanovení nejpravděpodobnějšího tvaru této funkční závislosti a nejpravděpodobnějších hodnot velikosti konstant, které v ní vystupují. Takové úlohy jsou však značně obtížné a my se v dalším omezíme na případy, kdy je tvar funkce f známý a výsledkem naší analýzy má být stanovení nejpravděpodobnějších hodnot konstanty nebo konstant, které v ní vystupují. Chyby naměřených hodnot přitom způsobují, že soubor naměřených hodnot y1, y2, .... , yn nesplňuje funkční závislost zcela přesně, a proto se musíme zabývat problémem, jak určit optimální hodnoty konstant, aby naměřené hodnoty co nejlépe sledovaly očekávanou funkční závislost. Tomuto postupu se říká optimální vyrovnání naměřených hodnot funkční závislosti a tuto problematiku řeší regresní analýza.

5.1 Metoda nejmenších čtverců (MNČ) Regresní analýza používá poměrně složité postupy, které se uplatňují v různých oborech. Jejich základem obvykle je minimalizace rozdílů mezi naměřenými hodnotami a odpovídajícími hodnotami teoretickými (vyrovnanými). Seznámíme se s metodou označovanou jako metoda nejmenších čtverců (MNČ), která je poměrně jednoduchá, ale velmi často používaná a poskytující výsledky s dostatečnou přesností. Tato metoda je početně sice dost náročná, ale bývá součástí softwarového vybavení počítačů, tabulkových procesorů i vědeckých kalkulátorů. Princip MNČ vyložíme na nejjednoduším případu, kdy naměřené hodnoty yi odpovídající hodnotám xi mají ležet na přímce procházející počátkem. Naším úkolem je tedy naměřené hodnoty co nejlépe vyrovnat lineární závislostí y = a x a určit optimální hodnotu parametru a a dále jeho chybu e(a). Předpokládáme, že nezávisle proměnnou x měříme bez chyby. MNČ je založena na splnění požadavku, aby součet čtverců odchylek naměřených hodnot yi pro jednotlivá xi od vyrovnaných hodnot a xi, byl minimální. Parametr a představuje neznámou hodnotu, kterou určujeme z požadavku minimalizace rozdílů mezi naměřenými hodnotami a hodnotami vyrovnanými. Musí tedy platit n

∑ ∆y

2 i

= min. ,

(5.1)

i =1

kde ∆yi = yi - a xi a n je počet měření. Pro jednotlivé dvojice hodnot xi, yi můžeme tedy ∆yi vyjádřit z rozdílů ∆y1 = y1 - a x1 ∆y2 = y2 - a x2 …. 48

∆yn = yn - a xn

.

Požadavek minima z rovnice (5.1) je splněn tehdy, je-li derivace výrazu na levé straně rovnice podle parametru a rovna nule.

 n  d  ∑ ∆yi2   i =1  =0 . da

(5.2)

Dosazením za ∆yi2 do rovnice (5.1) dostaneme y 1 2 - 2 a x 1 y 1 + a2 x 1 2 + + y 2 2 - 2 a x 2 y 2 + a2 x 2 2 + : + yn2 - 2 a xn yn + a2 xn2 = min.

(5.3)

Pro levou stranu rovnice (5.3) se v odborné literatuře používá termín součet reziduí (SR). Provedením derivace levé strany rovnice (5.3) podle a získáme výraz - 2 x1 y1 + 2 a x1 2 - 2 x2 y2 + 2 a x2 2 : - 2 xn yn + 2 a xn 2 a jeho úpravou dále dostaneme ( x12 + x22 + ......... + xn2 ) a - ( x1 y1 + x2 y2 + ........ + xn yn ) . Tento výraz se podle (5.2) rovná nule a pro a tedy platí n

∑x y i

a=

i =1 n

∑x

i

.

(5.4)

2 i

i =1

Stejný postup bychom mohli použít pro vyrovnání lineární závislosti typu y = a x + b. V tomto případě bychom hledali dva parametry a, b této funkční závislosti z podmínky minima analogické (5.1), tj. z rovnic  n   n  ∂  ∑ ∆yi2  ∂  ∑ ∆yi2   i =1  = 0 ,  i =1  =0 (5.5) ∂a ∂b a dospěli bychom ke složitým nepřehledným vztahům. I když aplikaci těchto vztahů zjednodušují vědecké kalkulátory vybavené statistickými funkcemi, doporučujeme k jejich výpočtu používat tabulkové procesory. Je samozřejmé, že z rovnice (5.4) lze odvodit i vztah pro určení chyby e(a). Pro určení těchto chyb lze s výhodou opět využít tabulkové procesory.

49

Příklad: Vyrovnání přímé úměrnosti metodou nejmenších čtverců se s výhodou používá např. při určení periody nějakého periodického děje. Přitom počet period i odpovídá nezávisle proměnné x. Doba kyvu kyvadla byla měřena dvouručičkovými stopkami tak, že měření započalo v čase t = 0, dále byl zaznamenáván okamžik průchodu kyvadla rovnovážnou polohou po každém kyvu. Bylo naměřeno celkem 5 hodnot času.

i (pořadové číslo měření) 1 2 3 4 5 __________________________________________________________________________ t (naměřený čas v s)

4,1

7,8

12,0

16,2

19,9

Dále předpokládáme, že doba kyvu se s časem nemění, tj. naměřené hodnoty ti by měly ležet na přímce ti = a i , kde i odpovídají hodnotám nezávisle proměnné x a ti hodnotám závisle proměnné y v obecné funkční závislosti y = a x.

Naměřené hodnoty chceme co nejlépe vyrovnat přímkou jdoucí počátkem. Závislost naměřených a vyrovnaných hodnot času na pořadovém čísle měření je na obr. 5.1.

t (s) 20 15

naměřené hodnoty

10

vyrovnané hodnoty

5 0 0

2

4

i

Obr.5.1 Parametr a vypočteme podle vztahu (5.4) 5

a=

∑ it i =1 5

∑i

i

=

2

220 =4 . 55

i =1

Na základě vypočteného a, což je zároveň určená doba kyvu τ = a = 4 s, můžeme stanovit vyrovnané hodnoty ti.

ti (naměřené hodnoty v s) 4,1 7,8 12,0 16,2 19,9 __________________________________________________________________________ ai (vyrovnané hodnoty v s)

4

8

50

12

16

20

5.2 Skupinová metoda Pro naměřené hodnoty yi, o kterých předpokládáme, že splňují funkční závislost y = ax je také možné provést vyrovnání skupinovou metodou. Tato metoda je založena na grafické metodě hledání těžiště bodů reprezentující naměřené hodnoty, přičemž předpokládáme, že každý z těchto bodů má stejnou statistickou váhu. Z rovnice pro polohu těžiště se snadno odvodí rovnice n

∑(y

i

i =1

− axi ) = 0 ,

(5.6)

kde n je počet měření. Pro a dostaneme vztah n

a=

∑y

i

i =1 n

∑x

.

(5.7)

i

i =1

Přitom musíme předpokládat, že všechny body jsou změřeny stejně přesně, přisuzujeme stejnou váhu. Vyrovnání lineární závislosti je samozřejmě jednodušší než vyrovnání obecnějších závislostí. Proto se vždy, pokud je to možné, snažíme převést měřenou funkční závislost na lineární, např. vhodnou matematickou úpravou. Aplikaci skupinové metody si ukážeme na příkladu vyrovnání závislosti, která je sice nelineární, ale kterou lze vhodnou matematickou úpravou linearizovat. Jedná se o měření závislosti absorpce elektromagnetického záření na tloušťce absorbující vrstvy

Příklad: Měříme hodnoty veličiny N vyhovující funkční závislosti typu N = N0 exp(-µx), a úkolem je z naměřených dvojic xi, Ni určit hodnotu µ. Závislost převedeme na lineární úpravou do tvaru

ln

N0 = µx , N

což je již rovnice přímky procházející počátkem, protože pro x = 0, je N = N0 a úloha se redukuje na funkční závislost typu y = a x, kde N y = ln 0 a parametr a = µ . Tento parametr určíme dosazením do rovnice (5.4): N n

a=µ=

∑ ln i =1

N0 N

n

∑x i =1

51

i

.

Kontrolní otázky 1. Při měření délky vlny stojatého vlnění byly měřeny polohy li jednotlivých uzlů s cílem určit vyrovnanou hodnotu vzdálenosti mezi sousedními uzly d = λ / 2 . Výsledek měření byl zapsán do tabulky:

i li[mm]

1 124

2 243

3 370

4 497

5 618

6 741

7 866

8 1052

9 1112

10 1232

Určete vyrovnanou hodnotu vzdálenosti d mezi sousedními uzly a) metodou nejmenších čtverců b) skupinovou metodou. 2. Odvoďte obecný výraz pro chybu e(a) vyrovnané hodnoty a ze vztahů (5.4) a (5.7) a to za předpokladu, že hodnoty nezávislé proměnné xi byly naměřeny bez chyby a hodnoty závisle proměnné yi byly změřeny všechny se stejnou chybou e ( y1 ) = e ( y2 ) = .... = e ( yn ) = e ( y ) . Určete, která z chyb je menší, případně, která z chyb má menší relativní hodnotu. Návod: vyjděte ze vztahu (3.19).

52

6 Měřicí metody a měřicí přístroje 6.1 Rozdělení měřicích metod Měřicí metodou rozumíme způsob jakým je možno měřit veličinu. Protože určitou veličinu lze obvykle měřit různým způsobem, rozlišujeme různé měřicí metody pro měření jedné veličiny. Volba měřicí metody závisí jednak na povaze samotné veličiny, dále na tom, jaké přístroje nebo zařízení máme k dispozici, jaké máme nároky na přesnost, případně na ekonomických omezeních. Metody lze kategorizovat podle různých kritérií. Podle způsobu určení měřené veličiny se měřicí metody dělí na: Přímé měřicí metody, kdy se výsledek měření získá odečtením údaje jediného přístroje, např. měření proudu pomocí ampérmetru, odečtení délky ze stupnice mikrometru. Nepřímé měřicí metody zahrnují všechny ostatní metody, kdy se výsledek měření získá výpočtem hodnoty funkce jedné nebo několika proměnných. Hodnoty těchto proměnných se získají pomocí přímých měřicích metod. Příkladem je určení odporu z údaje voltmetru a ampérmetru pomocí Ohmova zákona.

Metody absolutní a relativní Absolutní metoda je taková, která poskytuje hodnotu veličiny v definovaných jednotkách, např. délku v metrech, elektrické napětí ve voltech. Relativní metody jsou metody, které jsou založeny na porovnání hodnoty měřené veličiny s hodnotou stanovenou obvykle s vysokou přesností a tu označujeme jako etalon nebo normál veličiny. Jako srovnávací metodu lze uvést vážení na rovnoramenných vahách, kde etalonem jsou hmotnosti závaží (přesná závaží se pravidelně kontrolují). Dalším příkladem je můstková metoda pro stanovení elektrického odporu, při které je měřený odpor srovnáván s nastavitelnými odpory na přesné odporové dekádě. Metody substituční a kompenzační Princip substituční metody spočívá v porovnávání neznámé hodnoty měřené veličiny se známými hodnotami té samé veličiny. Jako výsledek měření se bere taková hodnota veličiny, která vyvolává na měřicích přístrojích stejnou odezvu jako určovaná hodnota. Substituční metoda je velice často užívána ve spojení s interpolačním postupem. Namísto pracného a často neproveditelného nahrazení měřené hodnoty veličiny přesně stejnou známou hodnotou (pro kterou dostáváme přesně stejnou odezvu na měřicím přístroji) raději zvolíme dvě hodnoty, kterým odpovídají na měřicím přístroji dvě výchylky, jedna větší a jedna menší, než kterou dostáváme pro měřenou hodnotu veličiny. Přesněji je tento postup popsán v odstavci 6.2. Kompenzační metoda je analogická s metodou substituční s tím rozdílem, že účinek měřené veličiny vyrovnáváme (kompenzujeme) účinkem známé veličiny stejné hodnoty, ale opačného znaménka. Jako příklad můžeme uvést měření hustoty kapalin Mohrovými vážkami, kde vyrovnáváme moment síly momentem stejně velkým, ale opačného znaménka. Metoda následných měření Tato metoda slouží ke zpřesnění výsledku měření a používá se v případech, kdy koncový údaj jednoho měření je počátečním údajem následujícího měření.. Jako příklad lze uvést postupné

53

odečítání času dvojručkovými stopkami například po každém kyvu kyvadla, takže výsledkem jsou narůstající hodnoty času. Naměřené hodnoty času je pak vhodné zpracovat jako lineární funkční závislost, kde nezávisle proměnou je pořadové číslo měření a závisle proměnou odečítaný čas. Parametr lineární závislosti je v našem případu totožný s hledanou dobou kyvu kyvadla. Naměřené hodnoty se zpracují metodou MNČ (odstavec 5.1).

6.2 Metoda lineární interpolace Při měření vycházejícím ze závislosti y = f(x) se někdy setkáme s následujícím požadavkem: Dvěmi měřeními byly pro blízké hodnoty určeny hodnoty veličiny y1 = f(x1) a y2 = f(x2) a je třeba určit hodnotu y0 odpovídající hodnotě x0 ležící mezi x1, x2: x1 < x0 < x2 . (6.1)

Příklad: Vážením na praktikantských vahách byla určena hmotnost předmětu pouze přibližně, protože poloha jazýčku vahadla při vyvážení se lišila od nulové polohy (např. o jeden dílek stupnice). Přesnější vyvážení nebylo možné (např. nebylo k dispozici dostatečně malé závaží, proces vyvažování by byl příliš zdlouhavý apod.). Určení správné hmotnosti předmětu se řeší početně metodou lineární interpolace ze dvou vyvážení, jednou pro polohu jazýčku vlevo, jednou vpravo od nulové polohy.

Metoda lineární interpolace je nejjednodušší početní metoda, která umožňuje určení y. Její princip spočívá v tom, že v intervalu 〈 x1 , x2 〉 funkci y = f(x) nahradíme úsečkou spojující body (x1,y1) a (x2,y2) – obr. 6.1. Z podobnosti trojúhelníků lze odvodit interpolační vzorec ve tvaru

y 0 = y1 +

y 2 − y1 ( x 0 − x1 ) x 2 − x1

.

(6.2)

Takto provedenou interpolaci označujeme jako lineární. Ze vztahu (6.2) vyplývá, že v kartézské soustavě souřadnic body o souřadnicích (x1, y1), (x0, y0), (x2, y2) leží na jedné přímce. Interpolaci můžeme provádět také graficky. Sestrojíme graf přímky určené body (x1, y1), ( x2, y2) a hledáme y0 odpovídající x0.

54

Lineární interpolaci můžeme použít, jestliže závislost y = f(x) je lineární, nebo interpolaci provádíme v tak malém intervalu, že i nelineární funkci můžeme s dostatečnou přesností v uvažovaném intervalu aproximovat přímkou. Při konkrétním měření může nastat případ, kdy x0 leží vně intervalu <x1, x2>. Pak se jedná o extrapolaci, která může být méně přesná.

y

y2 y0 y1

x1

x0

x

x2

Obr. 6.1

6.3 Parametry měřicích přístrojů Rozsah působnosti měření v přírodních vědách i v technice je velmi široký a vzhledem k tomu mohou být měřicí přístroje klasifikovány podle rozličných hledisek. V každém konkrétním případě však můžeme klást určité obecné otázky společné pro všechna měření: jakou veličinu měříme, jaký je rozsah měřených hodnot, s jakou přesností měříme, jaká je reprodukovatelnost měření, jak vnější podmínky ovlivňují údaj přístroje atd. Tomu pak odpovídá i klasifikace základních parametrů měřicích přístrojů a zařízení.

Měřená veličina Veličinu, pro jejíž měření je přístroj určen obvykle charakterizuje název přístroje, eventuelně údaje v dokumentaci připojené k přístroji výrobcem. Existují jak přístroje určené pro měření výhradně jedné veličiny, tak přístroje pro měření několika veličin (např. multimetry pro měření elektrických veličin). Měřicí rozsahy Údaj o rozsahu, respektive rozsazích, v nichž je přístroj schopen měřit danou veličinu, je další základní charakteristikou přístroje, kterou lze obvykle zjistit z údajů na přístrojích. Obecně lze konstatovat, že v případě analogových měřicích přístrojů jejich přesnost klesá s velikostí rozsahu, eventuelně s možností přepínání většího počtu rozsahů. U moderních digitálních přístrojů, a to nejen v oblasti měření elektrických veličin, výrobci dosahují řádového zvýšení rozsahu při zachování přesnosti přístrojů a navíc tyto přístroje mají možnosti zvýšení komfortu měření (např. automatické přepínání rozsahů, výstupy pro zapisovače či počítače). Citlivost přístroje Tato veličina charakterizuje schopnost přístroje reagovat na změny měřené veličiny a je definována jako poměr ∆r C= , (6.3) ∆x

55

kde ∆r je přírůstek výchylky ukazatele přístroje a ∆x je přírůstek měřené veličiny, který tuto změnu způsobil. Převrácená hodnota citlivosti se nazývá konstanta přístroje K a má význam velikosti změny měřené veličiny při změně polohy ukazatele přístroje o jeden dílek.

Rozlišení (rozlišovací schopnost) Rozlišení je nejmenší změna měřené veličiny, která vyvolá detegovatelnou změnu údaje přístroje (např. dílek nebo polovina dílku stupnice u analogového přístroje nebo změna posledního místa displeje o jedničku u číslicových přístrojů). Přesnost přístroje Přesností přístroje rozumíme jeho schopnost udávat hodnotu měřené veličiny s určitou nejmenší odchylkou od skutečné hodnoty této veličiny. Problematikou kvantitativního zhodnocení přesnosti měřicích přístrojů jsme se zabývali v odstavci 3.2. Je třeba zdůraznit, že přesnost a citlivost přístrojů jsou dva naprosto odlišné pojmy, které nelze zaměňovat. Citlivost přístrojů lze např. zvyšovat za cenu zvýšení odezvy přístroje na změnu vnějších podmínek, což se ovšem projeví zhoršením reprodukovatelnosti měření, tj. zvýšením rozdílů mezi údaji přístroje při opakovaném měření veličiny téže velikosti a tím zvýšením náhodné složky úplné chyby měření. Kalibrační křivka Nemá-li přístroj stupnici kalibrovanou v jednotkách veličiny, kterou chceme měřit, ale pouze v dílcích, je třeba tuto stupnici pomocí několika známých hodnot měřené veličiny okalibrovat. Mezi hodnotami veličiny a odpovídajícím počtem dílků stupnice přístroje je obvykle lineární závislost. Jestliže tuto závislost vyjádříme graficky, dostaneme kalibrační křivku. Její význam je takový, že pro libovolnou hodnotu výchylky v dílcích umožňuje určit velikost měřené veličiny. Kalibrační křivka je obvykle součástí dokumentace přístroje dodávané výrobcem. Přístrojová křivka V případech, kdy klademe zvýšené nároky na přesnost měření, je třeba mít jistotu, že přístroj měří správně v celém rozsahu či nezměnil svoji citlivost v porovnání s údajem výrobce. Proto hodnoty udávané přístrojem je třeba překontrolovat pomocí řady přesně známých hodnot měřené veličiny, tj. řady normálů. Závislost údajů naměřených přístrojem na známých hodnotách měřené veličiny vyjádřená graficky je přístrojová křivka.

Příklad: Hranolovým spektrometrem určujeme neznámé vlnové délky záření emitovaného zdrojem světla. Přístroj má stupnici kalibrovanou v nanometrech. Před vlastním měřením proměříme přístrojovou křivku, tj. porovnáme naměřené hodnoty vlnových délek s tabulkovými hodnotami pro několik spektrálních čar (např. výbojek naplněných He, Hg, Ne apod.). Křivku, která je lineární, vyrovnáme MNČ. Výsledkem vyrovnání je korekční koeficient mezi naměřenými a skutečnými hodnotami vlnové délky včetně určení jeho chyby, eventuelně dva koeficienty, jestliže přímka neprochází počátkem. V některých případech postačuje určit korekční koeficient pouze na základě měření jedné známé hodnoty. Příkladem je zjištění toho koeficientu pro Mohrovy vážky na základě porovnání naměřené hodnoty a tabulkové hodnoty hustoty destilované vody při známé teplotě (příklad v odstavci 3.2).

56

Určování rovnovážné polohy U některých typů analogových (ručkových) měřicích přístrojů se setkáváme s tím, že ukazatel (ručka, světelná značka apod.) se okamžitě neustálí, ale vykonává kmitavý pohyb okolo rovnovážné polohy n, kterou je třeba stanovit. Obvykle se jedná o tlumené kmity a ukazatel by se v této rovnovážné poloze po určité době zastavil. Rovnovážnou polohu lze však určit rychleji, z několika po sobě následujících výchylek kmitavého pohybu. Nejčastěji zaznamenáváme tři po sobě jdoucí krajní výchylky ukazatele a1, a2, a3 (a1 a a3 jsou na jedné straně, a2 na opačné straně vzhledem k hledané rovnovážné poloze). Rovnovážnou polohu na stupnici určíme ze vztahu

n=

1 1  a2 + ( a1 + a3 ) .  2 2 

Výchylky a1, a2, a3 i rovnovážná poloha n mohou nabývat kladných i záporných hodnot v závislosti na volbě nuly na stupnici. Někdy je vhodné stupnici očíslovat, respektive přečíslovat tak, aby všechny výchylky byly kladné a výpočet n byl bez znaménkových komplikací.

Příklad: Vážíme na praktikantských rovnoramenných vahách, kde stupnice pod jazýčkem vah je číslovaná 0 až 20 dílků. Tři po sobě jdoucí výchylky jazýčku při nezatížených vahách jsou a1 = 6, a2 = 14,5, a3 = 7. Určete rovnovážnou polohu vah ( v tomto případě se jedná o nulovou polohu n0). Rovnovážnou polohu určíme ze vztahu (3.2).

n0 =

1 1  14,5 + ( 6 + 7) = 10,5  2 2 

Nulová poloha je 10,5 dílků.

Čtení na stupnici Čtení na stupnici záleží na způsobu dělení stupnice. Je-li dělení velmi husté, a má-li stupnice dělicí čárky poměrně široké, odhadujeme polohu ukazatele alespoň na polovinu dílku stupnice. Jsou-li však dělicí čárky tenké proti jejich vzdálenostem, mělo by být snahou určovat polohu ukazatele na desetinu dílku stupnice. Polohu buď odhadujeme nebo v lepším případě je přístroj opatřen pomocnou stupnicí (vernier čili nonius). Pomocná stupnice je dělena na k dílků (obvykle k = 10), přičemž každý z nich je menší o 1/k nejmenšího dílku hlavní stupnice. Jestliže posuneme nonius tak, aby počátky obou stupnic splynuly, kryje se k-tý dílek nonia s k-1 dílkem hlavní stupnice (obr.6.2a). Při měření slouží okrajový (počáteční) dílek nonia jako odečítací ryska. Její poloha mezi ryskami hlavní stupnice je určena podle toho, která ryska nonia splývá s ryskou hlavní stupnice. Na obr. 6.2b je ukázán příklad čtení, kdy počáteční ryska nonia je mezi 7 a 8 a čtvrtá ryska nonia splývá s ryskou hlavní stupnice. Proto čtení na stupnici je 7,4.

57

0

5

0

5

10

15

0

5

10

0

10 Obr.6.2a

Obr.6.2b

58

15

5

10

7 Literatura Tato opora podává úvodní informace z oblasti měření. Její autor opory použil podklady z několika publikací, jejichž seznam je uveden dále. Pro zájemce o hlubší studium problematiky měření mohou tyto publikace sloužit jako zdroj dalších informací.

[1] Egermayer, F., Dušek, J., Statistika pro techniky, SNTL, Praha, 1984 [2] ČSN ISO 3534-1 „Statistika – slovník, značky“, Český normalizační institut, Praha 1994 [3] Novotný J., Vybrané statě z fyziky (Zpracování experimentálních dat), Vydavatelství ČVUT, Praha, 1994 [4]. Novák, R., Nováková, D., Základy měření a zpracování dat, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999 [5] Vítovec, J., Zpracování naměřených údajů, Česká metrologická společnost, Praha, 1997 [6] „Guide to the Expresion of Uncertainty in Measurement“, ISO, IEC, OIML, CIPM, Paris, 1992 [7] TMP 0051-93 „Stanovenie neistôt pri meraniach“, ČSMÚ, Bratislava, 1993

59

Výsledky kontrolních otázek Odstavec 2.3 1 1. f ( x ) = x ∈ ( 0, 2π , E(X) = π, D2(X)=π2/3, σ(x)= π 3 /3. 2π 7 35 35 2. E ( X ) = , D 2 ( X ) = , σ (X ) = 2 12 12 3. E (Y ) = 3E ( X ) =

21 105 105 , D 2 (Y ) = 9 D 2 ( X ) = , σ (Y ) = 3σ ( X ) = 2 4 4

Odstavec 2.4 3. p(0) = 0.135

Odstavec 2.5 1. x = 4,8 , s 2 ( x ) = 0, 005 , s ( x ) = 0, 071 , s ( x ) = 0, 024

2. a) 2 x , 4 s 2 ( x ) , 2 s ( x )

b) 0, 25 x , 0, 0625 s 2 ( x ) , 0, 25s ( x )

Odstavec 3.1 1. k ( x ) = t9,1% s ( x ) = 0, 0806

2. U = 0,52294 V , s (U ) = 1, 208.10−4 V

a) k (U ) = 3, 26 .10−4 V , U = ( 0,55294 ± 0, 00033) V

b) k (U ) = 5,56.10−4 V , U = ( 0,52294 ± 0, 00056 ) V Odstavec 3.2 1. m (U ) = 0, 6 V , mr (U ) = 0, 075 2. m ( I ) = 0.0022 A , I = ( 0, 2000 ± 0, 0022 ) A 3. m ( P ) = 6 W , Tp ≤ 1

61

Odstavec 3.3 e(M ) k (r ) + m (r )  1. e ( ρ ) = ρ er ( ρ ) = ρ er ( M ) + 3 er ( r ) = ρ  +3  r  M 

(

2. e ( B ) =

)

k ψ k cosψ + ψ sinψ e(I ) + e (ψ ) 2 I cosψ I cos 2 ψ

Odstavec 4.4 1. a) uA

b) uB

2. a) ul / = ul / B =

m (l / ) 3

= 0, 03 mm

ul // = ul // B =

b)

m (l / )

3. S = ( 3,543 ± 0, 032 ) mm 2 Odstavec 5.2 1. a) a = 125,17 mm

b) a = 124,64 mm n

2. MNČ:

e(a) =

n

e ( y ) ∑ xi

er ( a ) =

i =1

n

∑x i =1

2 i

skupinová metoda: e ( a ) =

e ( y ) ∑ xi i =1

n

∑x y i =1

n e( y) n

∑ xi

i

er ( a ) =

i =1

i

n e( y) n

∑y i =1

62

i

3

= 0, 01 mm