1
Síla, energie, hybnost 1. Tˇeleso o hmotnosti 5 kg visí uprostˇred lana, jehož koncové body jsou upevnˇeny v téže vodorovné rovinˇe ve vzdálenosti 4 m od sebe. Stˇred lana je o 0,6 m níže než koncové body lana (obrázek 1a). Urˇcete, jak velkou silou je napínáno lano. Hmotnost lana zanedbejte. 2. Tˇeleso o hmotnosti 3 kg je zavˇešeno podle obrázku 1b. Vodorovný trám má délku 2,2 m a drát je upevnˇen ve výšce 1,2 m nad bodem, v nˇemž je trám upevnˇen ke stˇenˇe. Urˇcete síly, které p˚usobí na trám a na drát. Hmotnost trámu i drátu zanedbejte. 3. Bruslaˇr o hmotnosti 70 kg stojí na hladkém ledu. Do pohybu se uvede tím, že ve vodorovném smˇeru odhodí pˇred sebe kouli o hmotnosti 3 kg rychlostí 8 m/s. Do jaké vzdálenosti bruslaˇr po odhození koule odjede? Souˇcinitel tˇrení mezi ledem a bruslemi je 0,02. 4. Stˇrela o hmotnosti 20 g zasáhla strom a pronikla do hloubky 10 cm. Jak velkou rychlostí se pohybovala pˇred zásahem, když pr˚umˇerná odporová síla dˇreva stromu je 4 kN? 5. Na silnici se srazí vozík dokonale pružnou srážkou s druhým vozíkem, který byl do srážky v klidu. Po srážce se oba vozíky pohybují stejnˇe velkými rychlostmi opaˇcným smˇerem. Urˇcete pomˇer hmotností obou vozík˚u. 6. Stˇrela o hmotnosti m zasáhne balistické kyvadlo délky L a hmotnosti M a uvízne v nˇem. Kyvadlo se vychýlí z rovnovážné polohy o úhel α. Urˇcete velikost rychlosti stˇrely. 7. Máme homogenní desku ve tvaru cˇ tverce o stranˇe a, ze které odstraníme trojúhelník podle obrázku 2a. Urˇcete polohu tˇežištˇe výsledného tˇelesa. 8. Máme homogenní desku ve tvaru kruhu o polomˇeru R, ze ve které vyˇrízneme kruhový otvor o polomˇeru podle obrázku 2b. Urˇcete polohu tˇežištˇe výsledného tˇelesa.
(a)
(b)
Obrázek 1
R 2
(a)
(b)
Obrázek 2
2
Mechanika tekutin 1. Vyjádˇrete práci 100 J v jednotkách SI. 2. Vyjádˇrete tlak 105 Pa v jednotkách SI. 3. Sklenˇený válec vysoký 20 cm o obsahu pr˚uˇrezu 30 cm2 naplníme vodou. Na horní okraj válce pˇriložíme list papíru a válec obrátíme. Proˇc voda nevyteˇce? Jak velkou silou je papír pˇritlaˇcován k válci pˇri atmosférickém tlaku 105 Pa? 4. Jak velká cˇ ást objemu ledovce z˚ustává skryta pod moˇrskou hladinou? (Hustota ledu je 920 kg · m−3 , hustota moˇrské vody 1030 kg · m−3 .) 5. Dva troseˇcníci vypluli na voru, který si zhotovili z trám˚u. Délka voru je 4 m, šíˇrka 3 m a tloušt’ka 30 cm. Hustota dˇreva, ze kterého je vor vyroben, je 600 kg · m−3 . a) Potopí se vor s troseˇcníky, kteˇrí i se zásobami váží 210 kg? b) Mohou troseˇcníci pˇribrat ještˇe jednoho troseˇcníka, který váží 75 kg, aniž by se potopili? c) Jakou maximální hmotnost mohou mít další troseˇcníci, kteˇrí pˇristoupili na vor, aby se vor ještˇe nepotopil? 6. Jaký nejmenší polomˇer musí mít balon ve tvaru koule naplnˇený heliem, aby unesl náklad o hmotnosti 300 kg? 7. Zlatý prsten je na vzduchu vyvážen závažím o hmotnosti 1 g a ve vodˇe závažím o hmotnosti 0,92 g. Je zhotoven z cˇ istého zlata? 8. Obsahy pr˚uˇrez˚u válc˚u hydraulického lisu jsou 20 cm2 a 800 cm2 . Na menší píst p˚usobí síla o velikosti 100 N. Urˇcete: a) Tlak, který tato síla vyvolá v kapalinˇe. b) Velikost tlakové síly p˚usobící na vˇetší píst. c) Dráhu, o kterou se posune vˇetší píst, jestliže se menší píst posune o 8 cm.
(a)
(b)
Obrázek 3 d) Práci, kterou pˇri tomto posunutí vykoná tlaková síla. 9. Vodojem vytváˇrí ve vodovodním potrubí v pˇrízemí panelového domu tlak 0,8 MPa. Výška jednoho patra je asi 2,5 m. V prvním patˇre si Lucka myje ruce a ve tˇretím patˇre Pavel napouští vodu do konvice. a) V jaké výšce nad zemí je hladina vody ve vodojemu? b) Jak velký tlak vody je v kohoutku u Lucky a jak velký je v kohoutku u Pavla? 10. Dvˇe kapaliny o hustotách 1000 kg · m−3 a 1800 kg · m−3 jsou v rovnováze v uzavˇrených válcových nádobách o pr˚uˇrezech 0,5 m2 a 0,3 m2 , které jsou spojeny krátkou trubicí o pr˚uˇrezu 4 · 10−4 m2 (obr. 3a). Nad hladinou kapalin je vzduch, který má v první nádobˇe tlak 2 · 105 Pa a ve druhé nádobˇe tlak 1,5 · 105 Pa. Výška hladiny v první nádobˇe je 2 m. Ve spojovací trubici je volnˇe pohyblivá zátka, která zabraˇnuje promísení kapalin. Urˇcete velikost tlakové síly, která p˚usobí na zátku zleva a objem kapaliny ve druhé nádobˇe. 11. Do vodorovné trubky jsou vloženy dvˇe manometrické trubice. Jedna z nich je rovná, druhá je ohnutá do pravého úhlu a obrácená otvorem proti smˇeru proudˇení kapaliny (obr. 3b). V rovné trubici vystoupila voda do výšky 10 cm a v ohnuté trubici do výšky 30 cm. Jakou rychlostí proudí voda v trubce? 12. Polomˇer vodorovné trubky se zužuje z 5 cm na 2 cm (obr. 4a). Trubkou proudí voda a manometrické trubice umístˇené v širší a v užší cˇ ásti trubky ukazují rozdíl hladin 40 cm. Jakou rychlostí proudí voda v užší a v širší cˇ ásti trubky? 13. Z otvoru ve stˇenˇe nádoby tryská voda. Otvor se nachází 80 cm pod vodní hladinou a 20 cm nad dnem nádoby (obr. 4b). Urˇcete a) rychlost v vody, která tryská otvorem, b) vzdálenost, do které voda na podlaze dostˇríkne. 14. Výsadkáˇr o hmotnosti 80 kg vyskakuje s padákem o pr˚umˇeru 9 m. Na jaké hodnotˇe se ustálí rychlost jeho pohybu? (Souˇcinitel odporu vzduchu je 1,2.)
(a)
(b)
Obrázek 4
3
Teplotní roztažnost
Parametry oceli: σp = 5 · 108 Pa mez pevnosti, E = 21 · 1010 Pa Young˚uv modul pružnosti, α = 1,2 · 10−5 K−1 souˇcinitel délkové teplotní roztažnosti.
1. Vypoˇcítejte maximální možnou hmotnost tˇelesa, které m˚užeme zavˇesit na ocelové lano o pr˚umˇeru 1 mm tak, aby se nepˇretrhlo. Pˇredpokládejte, že tˇeleso a) je v klidu, b) je lanem taženo svisle vzh˚uru se zrychlením 1 m · s−2 . Koeficient bezpeˇcnosti volíme 5. 2. D˚ulní výtah visí na ocelovém lanˇe o pr˚umˇeru 2,5 cm. Celková hmotnost kabiny a pˇrepravovaných lidí je 650 kg. Jaké bude prodloužení lana, a) jestliže je výtah na povrchu 12 m pod motorem výtahu, b) jestliže je výtah u dna šachty hluboké 350 m? Vlastní hmotnost lana vzhledem k hmotnosti kabiny zanedbejte. 3. Ocelová tyˇc se pˇri dané teplotˇe obˇema svými konci právˇe dotýká pevných stˇen. Urˇcete, o kolik m˚uže vzr˚ust teplota, aby tlak na stykové ploše nepˇresáhl bezpeˇcnou hodnotu 5 MPa. Pˇredpokládejte, že zmˇena teploty je tak malá, že chování oceli bude v tahu i v tlaku stejné. 4. Ocelový drát byl pˇri teplotˇe 100◦ C upevnˇen mezi pevné svorky. Teplota prostˇredí je 20◦ C. a) Pˇretrhne se drát dˇríve, než vychladne na teplotu prostˇredí? b) Pˇri jaké nejvyšší teplotˇe m˚užeme drát napnout mezi svorky, aby se pˇri chladnutí na teplotu okolí nepˇretrhl? Pˇredpokládejte, že deformace je až do meze pevnosti pružná.
5. Délka závodní dráhy pro bˇeh na 100 m byla namˇeˇrena ocelovým pásmem pˇri teplotˇe 32◦ C. Na jak dlouhou vzdálenost bˇežci ve skuteˇcnosti pobˇeží? (Pásmo bylo kalibrováno pˇri teplotˇe 20◦ C). 6. Benzen má pˇri teplotˇe 0◦ C hustotu 900 kg · m−3 a teplotní souˇcinitel objemové roztažnosti 12 · 10−4 K−1 . Pˇri této teplotˇe plave na jeho hladinˇe dˇrevˇené tˇeleso o hustotˇe 880 kg · m−3 . Pˇri jaké teplotˇe zaˇcne dˇrevˇené tˇeleso klesat ke dnu, je-li teplotní souˇcinitel objemové roztažnosti tohoto dˇreva 2,2 · 10−5 K−1 ? 7. Pˇri jaké délce se vlastní tíhou pˇretrhne olovˇený drát, který má všude stejný pr˚uˇrez? (Olovo má mez pevnosti 2 · 107 Pa a hustotu 11340 kg · m−3 .) 8. Doba kyvu mosazného kyvadla je pˇri teplotˇe 10◦ C rovna 1 s. O kolik se zmˇení doba kyvu, pokud se okolní teplota zvýší na 25◦ C? O kolik sekund dennˇe se budou opožd’ovat hodiny s takovým kyvadlem?
4
Termika
Nˇekteré parametry: mˇerná tepelná kapacita vody je 4,18 kJ · kg−1 · K−1 , mˇerná tepelná kapacita ledu 2,10 kJ · kg−1 · K−1 , mˇerná tepelná kapacita olova 0,129 kJ · kg−1 · K−1 , mˇerné skupenské teplo tání ledu 332 kJ · kg−1 , mˇerné skupenské teplo tání olova 22,6 kJ · kg−1 , mˇerné skupenské teplo vypaˇrování vody 2256 kJ · kg−1 . 1. Kolik vody o teplotˇe 90◦ C musíme pˇrilít do nádoby s 3 kg vody o teplotˇe 10◦ C, aby výsledná teplota byla 35◦ C? Teplotní kapacitu nádoby zanedbejte. 2. Do nádoby, která obsahuje 0,30 kg vody o teplotˇe 18◦ C, jsme nalili 0,20 kg vody o teplotˇe 60◦ C. Výsledná teplota vody v nádobˇe je 34◦ C. Vypoˇcítejte tepelnou kapacitu nádoby. 3. Nádoba o tepelné kapacitˇe 0,10 kJ · k−1 obsahuje 0,47 kg vody o teplotˇe 14◦ C. Když do nádoby vložíme mosazné tˇeleso o hmotnosti 0,40 kg, které je ohˇráté na teplotu 100◦ C, ustálí se teplota nádoby na 20◦ C. Urˇcete mˇernou tepelnou kapacitu mosazi. 4. Vodu o hmotnosti 5,5 kg a o teplotˇe 70◦ C chceme ochladit na teplotu 30◦ C tím, že do ní hodíme led o teplotˇe 0◦ C. Kolik kilogram˚u ledu potˇrebujeme? 5. Kolik tepla musíme dodat 80 kg ledu o teplotˇe -20◦ C, aby se pˇremˇenil v páru o teplotˇe 100◦ C? 6. Jakou nejmenší rychlost musí mít olovˇená stˇrela, aby se pˇri nárazu do ocelové desky roztavila? Teplota stˇrely pˇri dopadu je 27◦ C a teplota tání olova je 327◦ C. Pˇredpokládáme, že ocelová deska neodebírá žádné teplo. 7. Ke koupání dítˇete si chceme pˇripravit 80 litr˚u vody o teplotˇe 36◦ C. Studená voda z vodovodu má teplotu 10◦ C a teplá 50◦ C. Kolik které vody potˇrebujeme? Tepelné ztráty neuvažujeme. 8. Spoˇcítejte teplo, které projde za jednu hodinu plochou o obsahu 1 m2 cihlové stˇeny o tloušt’ce 0,5 m, jestliže vnitˇrní povrch stˇeny má teplotu 18◦ C a vnˇejší povrch -2◦ C. Souˇcinitel tepelné vodivosti stˇeny má hodnotu 0,84 W · m−1 · K−1 . 9.
a) Jaké teplo projde za jeden zimní den boˇcními stˇenami dˇrevˇeného srubu (= domu)? Délka srubu je 10 m, šíˇrka 7 m, výška stˇen 3,5 m a jejich tloušt’ka 50 cm. Pr˚umˇerná venkovní teplota je -10◦ C a teplotu uvnitˇr udržujeme na hodnotˇe 18◦ C. Souˇcinitel mˇerné tepelné vodivosti dˇreva je 0,15 W · m−1 · K−1 . b) Kolik dˇreva je tˇreba na udržení dané vnitˇrní teploty spálit v kamnech s tepelnou úˇcinností 30% za jeden den? Mˇerná výhˇrevnost dˇreva je 15 MJ · kg−1 . c) Kolik stojí elektrické vytápˇení tohoto srubu za jeden den? Úˇcinnost elektrického vytápˇení je 100% a pr˚umˇerná cena elektrické energie je 4,30 Kˇc/kWh.
10. Obvodové zdi domu, které mají tloušt’ku 20 cm, obložíme z vnˇejší strany izolaˇcní vrstvou polystyrenu o tloušt’ce 10 cm. Pˇredpokládejme, že je zimní den, bˇehem kterého venkovní teplota je -10◦ C a teplota uvnitˇr
domu je topením udržována na 20◦ C. Urˇcete teplotu mezi zdí a izolaˇcní vrstvou polystyrenu. Kolikrát tato izolaˇcní vrstva zmenší únik tepla zdmi? Souˇcinitel mˇerné tepelné vodivosti dˇreva zdi je 1,3 W · m−1 · K−1 a polystyrenu 0,1 W · m−1 · K−1 .
5
Molekulová fyzika
Relativní atomová hmotnost železa (Fe) je 55,85, vodíku (H) 1,01, kyslíku (O) 16,00, sodíku (Na) 22,99, chloru (Cl) 35,45, uhlíku (C) 12,01, helia (He) 4,00. Hmotností jednotka má hodnotu 1,66 · 10−27 kg. Avogadrova konstanta má hodnotu 6,02 · 1023 mol−1 . Hustota vody je 1000 kg · m−3 . Plynová konstanta má hodnotu 8,3145. 1. Kolik atom˚u je pˇribližnˇe obsaženo v železném závaží o hmotnosti 2 kg? 2. Kolik atom˚u je pˇribližnˇe obsaženo v jednom litru vody? 3. Vejde se 10 mol vody do hrníˇcku, který má tvar válce o polomˇeru podstavy 3 cm a výšce 14 cm? 4. Dva prvky X a Y vytváˇrejí dvˇe slouˇceniny XY a XY2 . Urˇcete tyto prvky a slouˇceniny, když víte, že 1 kg první slouˇceniny odpovídá látkovému množství 35,71 mol a 1 kg druhé slouˇceniny odpovídá 22,73 mol. 5. Urˇcete hmotnost 1024 atom˚u vodíku. 6. Odvod’te, jaký je vztah mezi relativní molekulovou hmotností a molární hmotností. 7. Do jezera, které má pr˚umˇernou hloubku 10 m a plochu 10 km2 , jsme nasypali lžiˇcku soli NaCl (cca 2 g). Pˇredpokládejte, že se s˚ul v jezeˇre rozpustila rovnomˇernˇe. Urˇcete, kolik iont˚u sodíku je obsaženo v jedné lžiˇcce jezerní vody (5 ml). 8. Jaký je molární objem oxidu uhliˇcitého (CO2 ) pˇri teplotˇe 0◦ C a tlaku 101325 Pa, když jeho hustota je za tˇechto podmínek 1,951 kg · m−3 ? 9. Jakou hustotu má 100 mol oxidu uhliˇcitého (CO2 ) uzavˇreného v nádobˇe o objemu 100 l? 10. Balon naplnˇený heliem vystoupil z místa, kde byla teplota 290 K a tlak 98,5 kPa do výšky, kde byla teplota 260 K a tlak 86,5 kPa. Jak velký byl objem balonu ve výšce, jestliže na poˇcátku byl jeho objem 950 m3 ? Helium považujte za ideální plyn. 11. V nádobˇe je 300 g oxidu uhliˇcitého (CO2 ) pˇri teplotˇe 77◦ C a tlaku 1,35 MPa. Jaký je objem nádoby? Oxid uhliˇcitý považujte za ideální plyn. 12. Spoˇcítejte hustotu vodíku (H2 ) pˇri tlaku 101325 Pa a teplotˇe 20◦ C. Vodík považujte za ideální plyn.
6
Dˇeje s plyny
Relativní atomová hmotnost kyslíku (O) je 16,00, vodíku (H) 1,00, mˇerná tepelná kapacita kyslíku pˇri konstantním tlaku je 0,919 kJ/kg · K a pˇri konstantním objemu 0,659 kJ/kg · K, mˇerná tepelná kapacita vodíku pˇri konstantním tlaku je 14,32 KJ/kg · K. 1. Kyslík O2 o hmotnosti 4 kg má teplotu 0◦ C. Jak se zmˇení jeho teplota, jestliže pˇri izobarické expanzi vykoná práci 10,4 kJ? Kyslík považujte za ideální plyn. 2. Neznámý plyn má pˇri teplotˇe 293 K a tlaku 100 kPa hustotu 1,27 kg · m−3 a jeho Poissonova konstanta je rovna 1,4. Urˇcete jeho mˇernou tepelnou kapacitu pˇri stálém tlaku a pˇri stálém objemu. 3. Kyslík má poˇcáteˇcní objem V0 a tlak p0 . Jeho molární tepelné kapacity pˇri konstantním tlaku a objemu jsou c˜p a c˜V . Nejdˇríve jej izobaricky zahˇrejeme na dvojnásobný objem a následnˇe izochoricky zvýšíme jeho tlak na cˇ tyˇrnásobek p˚uvodního tlaku. Urˇcete, jakou práci kyslík vykonal, jaké teplo jsme mu dodali a jak se zmˇenila jeho vnitˇrní energie. 4. Láhev obsahuje ideální plyn o teplotˇe 27◦ C a tlaku 4 MPa. Jaký bude tlak v láhvi, jestliže polovinu plynu vypustíme a jeho teplota pˇritom klesne na 12◦ C? 5. Vypoˇcítejte hustotu kyslíku O2 pˇri tlaku 10 MPa a teplotˇe 27◦ C. 6. Kyslík O2 o hmotnosti 0,32 kg jsme zahˇráli za stálého tlaku z poˇcáteˇcní teploty -23◦ C tak, že jeho objem se zvˇetšil na trojnásobek poˇcáteˇcní hodnoty. Kolik tepla jsme kyslíku dodali? Kyslík považujeme za ideální plyn. 7. Vodík H2 o hmotnosti 70 g jsme zahˇráli z poˇcáteˇcní teploty 27◦ C pˇri stálém tlaku 0,2 MPa tak, že se jeho objem zdvojnásobil. Urˇcete poˇcáteˇcní objem vodíku, teplo dodané vodíku pˇri zahˇrívání a práci, kterou pˇri zahˇrívání vodík vykonal. 8. Jak se zmˇení vnitˇrní energie kyslíku O2 o hmotnosti 0,1 kg pˇri zahˇrátí z teploty 10◦ C na teplotu 60◦ C, když teplo dodáváme a) pˇri konstantním objemu, b) pˇri konstantním tlaku?
7
Mechanické kmitání
Pro všechna cˇ ísla α, β ∈ R platí sin α + sin β = 2 sin
α+β 2
cos
α−β 2
.
1. Hmotný bod harmonicky kmitá a za jednu minutu vykoná 150 kmit˚u s amplitudou výchylky 5 cm. Poˇcáteˇcní fáze kmitání je 45◦ . Napište rovnici pro závislost okamžité výchylky tohoto kmitání na cˇ ase. 2. Hmotný bod harmonicky kmitá s frekvencí 400 Hz a s amplitudou výchylky 2 mm. Poˇcáteˇcní fáze kmitání je 30◦ . a) Napište rovnici pro závislost okamžité výchylky tohoto kmitání na cˇ ase. b) Urˇcete dobu, za kterou hmotný bod dorazí do rovnovážné polohy. c) Urˇcete rychlost hmotného bodu v rovnovážné poloze. 3. Urˇcete apmlitudu výchylky hmotného bodu, který kmitá s poˇcáteˇcní fází − π3 , je-li jeho výchylka v poˇcáteˇcním okamžiku 2,6 cm. 4. Hmotný bod harmonicky kmitá s amplitudou výchylky 5 cm a s periodou 2 s. Poˇcáteˇcní fáze kmitání je nulová. Urˇcete velikost rychlosti hmotného bodu v okamžiku, kde okamžitá výchylka je 2,5 cm. 5. Napište rovnici výsledného kmitání, které vznikne složením dvou kmitání o frekvenci 8 Hz a o amplitudˇe výchylky 2 cm. Fázový rozdíl kmitání je
π 4
a poˇcáteˇcní fáze jedné složky je nulová.
6. Napište rovnici výsledného kmitání, které vznikne složením dvou kmitání o zadané úhlové frekvenci a o amplitudˇe výchylky 4 cm. Poˇcáteˇcní fáze prvního kmitání je
π 4
a druhého kmitání π2 .
7. Pružina se po zavˇešení tˇelesa prodlouží o 2,5 cm. Urˇcete frekvenci vlastního kmitání takto vzniklého oscilátoru. 8. Tˇeleso zavˇešené na pružinˇe kmitá s periodou 0,5 s. O kolik se pružina zkrátí, jestliže tˇeleso z pružiny odstraníme? 9. Kyvadlo je tvoˇreno provazem, na jehož konci je zavˇešena kuliˇcka. Jak musíme zmˇenit délku provazu, aby frekvence kyvadla vzrostla na dvojnásobek? 10. V kabinˇe výtahu visí kyvadlo, které kmitá s periodou 1 s. Když se kabina pohybuje se stálým zrychlením, kyvadlo kmitá s periodou 1,2 s. Urˇcete velikost a smˇer zrychlení výtahu.
Zdroje Nˇekteré pˇríklady jsem si vymyslel a nˇekteré pocházejí z následujících sbírek (u nˇekterých jsem ale zadání upravil): 1. Sbírka ˇrešených úloh, http://reseneulohy.cz/cs/fyzika. 2. O. Lepil, M. Bednaˇrík, M. Široká, Fyzika — Sbírka úloh pro stˇrední školy, Prometheus, 2. vydání, 2000.
