1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1

1

Leerlingproject: Relativiteit — 28 februari 2002

Relativiteit

Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie. Einstein heeft twee belangrijke dingen gezegd in zijn theorie: “De lichtsnelheid is constant en is niet oneindig groot” en “De lichtsnelheid is voor iedere waarnemer even groot”. In dit werkstuk gaan we bekijken wat hij nou eigenlijk bedoelde en wat dat voor een gevolgen heeft op dingen die extreem snel bewegen. Kun je bijvoorbeeld binnen een mensenleven aan de andere kant van het heelal komen?

1.1

Opdracht

Schrijf een werkstuk over relativiteit. Als opstapje vind je hieronder alvast wat informatie met bijbehorende vragen. Het is niet de bedoeling dat je alle vragen tot in detail gaat beantwoorden: ze zijn alleen bedoeld om je op weg te helpen bij het schrijven van je werkstuk. Je kunt zelf beslissen welke vragen je interessant genoeg vindt om in je werkstuk te verwerken. Waarschijnlijk zul je het internet nodig hebben voor aanvullende informatie. Op de NAHSA-homepage zijn een aantal handige links naar informatieve websites over relativiteit verzameld: http://www.hef.kun.nl/nahsa Op de website is eveneens de laatste versie van dit document te vinden. Let op de datum bovenaan de pagina’s.

1.2

Alles is relatief ?

Vaak wordt de relativiteitstheorie samengevat met de kreet “Alles is relatief”. Dat is echter niet het geval: één van de basisideeën van de theorie is juist het absoluut zijn van de lichtsnelheid. De lichtsnelheid is dus niet relatief. Dingen die wel relatief zijn, zijn dingen die te maken hebben met de bewegingen van massieve lichamen, dus die dingen die door de klassieke mechanica (wetten van Newton) worden beschreven. Einstein merkt op dat zo’n beweging alleen maar uit te drukken is in vergelijking met een ander object: een voorwerp heeft geen “absolute” snelheid. Zo ook heeft een voorwerp geen absolute plaats of absolute tijd. 12

Kun je, als je in een gesloten lift staat die met constante snelheid beweegt, zeggen wat je snelheid is?

22

Kun je het verschil merken tussen een lift die in de ruimte gelijkmatig versnelt met 9,8 m/s2 en een lift die op het aardoppervlak staat?

2


15 km/h

10 km/h

Figuur 1: Relatieve snelheden

1.3

De lichtsnelheid is constant en eindig

Einstein kwam met een behoorlijk vreemde uitspraak voor zijn tijd; hij beweerde dat er een lichtsnelheid was. Dat is ook wel een beetje raar als je erover nadenkt; als jij ergens naar kijkt dan zie je dat omdat er lichtstralen vanuit dat voorwerp op je oog vallen. Stel je nu eens voor dat er een lichtsnelheid zou bestaan. Dit zou dan betekenen dat het even duurt voor die lichtstraal bij je oog komt en dat je dus eigenlijk dingen die verder weg staan later ziet dan dingen die dichtbij staan. . . Dit is natuurlijk een raar idee, en het is erg moeilijk je dat voor te stellen. Daarom werd Einsteins bewering zeker niet meteen door iedereen gesteund. Bovendien zei Einstein dat de lichtsnelheid hetzelfde is voor iedere waarnemer. Dit is al helemaal moeilijk te begrijpen. 32

Stel je voor dat jij naast de spoorbaan staat en dat je vriend(in) op een spoorwagon staat die met 10 km/h voorbij komt. Als jij een vogel voorbij ziet vliegen met een snelheid van 15 km/h, hoe snel ziet je vriendin deze vogel dan vliegen? Zie figuur 1. Je hebt net gezien dat het bij het meten van snelheden wel degelijk uitmaakt of je zelf beweegt of niet. Als je zelf namelijk beweegt, zie je dingen die in dezelfde richting als jij bewegen minder hard gaan. Snelheden moet je dus optellen of aftrekken. Maar bij de lichtsnelheid blijkt dat dus niet zo te zijn! Stel dat je van een lichtbundel de snelheid van het licht zou kunnen meten. Stel dat jij een zaklamp in je hand houdt. Je schijnt nu met de zaklamp in de richting waarin je vriend(in) je tegemoet komt. Als jij de lichtsnelheid van het licht uit je zaklamp meet, en je vriendin doet dat ook, dan zullen jullie precies dezelfde lichtsnelheid meten!

1.4

Gekke verschijnselen

Doordat je ervan uitgaat dat de lichtsnelheid constant is, kom je dus allerlei gekke verschijnselen tegen. Stel je voor dat je vriend(in) nog steeds op die rijdende trein staat

3


100 m

Figuur 2: Lichtklok

100 m

0.5ct Figuur 3: Lichtklok in beweging

en jij nog steeds naast de rails. We laten de trein alleen wel een stukje harder rijden, want anders zijn de effecten veel te klein om te kunnen merken. 1.4.1

Tijd

We gaan eerst eens bekijken of de tijd die jullie meten altijd hetzelfde blijft. Jullie hebben allebei een speciale klok naast je staan. Deze klok bestaat uit twee spiegels, en een lichtbundel die op en neer gaat tussen die twee spiegels. Zie figuur 2. 42

Hoeveel tijd zit er tussen iedere tik van de klok, als we de tik van de klok horen als de lichtbundel op de onderste spiegel terecht komt? De lichtsnelheid is c = 2,997 · 108 m/s. Nu kijken we niet meer naar onze eigen klok, maar naar die van je vriend(in) op de trein. We weten dat het licht in zijn/haar klok dezelfde lichtsnelheid heeft. We kunnen dus ook de lengte van een tik in zijn/haar klok berekenen. Tenminste, als we de afstand weten die het licht af moet leggen. Vanuit ons gezien moet het licht in zijn/haar klok meer afstand afleggen, kijk maar in figuur 3. Maar het licht beweegt met dezelfde snelheid, dus dit zou betekenen dat de tik in de klok van je vriend(in) korter is! 1 2c

52

Als je vriend(in) met een snelheid van zijn/haar klok? Gebruik figuur 3.

62

Hoeveel keer zo lang duurt de tik van de klok van je vriend(in) als de tik van jouw klok? Bereken je antwoord tot op vier significante cijfers.

beweegt, hoe lang duurt dan de tik van

4


299.700 km

Figuur 4: Samen versnellen

Dit noemen we de Lorentz-factor γ, en deze zou gelijk moeten zijn aan γ=q

1 1−

v2 c2

(1)

Vergelijk je eigen antwoord met de uitkomst van formule (1). Als jij dus waarneemt dat de klok van je vriend(in) iedere t0 seconden tikt, dan zal hij voor je vriend(in) iedere r v2 (2) t = 1 − 2 · t0 c tikken. Je moet bij dit soort vergelijkingen altijd goed kijken welke t voor welke waarnemer staat. Hier gebruiken we een accent (0 ) als we het hebben over degene die niet beweegt en kijkt naar iemand die voorbij komt rijden. Bijvoorbeeld bij een Lorentzfactor van 1/2 is er voor je vriendin pas een halve seconde voorbij gegaan, als er voor jou een seconde voorbij is gegaan. 1.4.2

Afstand

Stel dat jij nu ook op een kar op het spoor stapt. Jullie gaan allebei met dezelfde snelheid rijden, op een afstand van 299.700 km. Zie figuur 4. Jullie willen tegelijk versnellen. Daarom geef jij een lichtsignaal met je zaklamp als je 10 km/s harder wilt gaan. Je wacht precies 1 seconde (nadat je het lichtsignaal hebt gegeven) voordat je versnelt, omdat je weet dat het licht er 1 seconde over doet voor het bij je vriend(in) is. Dus vanuit jouw oogpunt zullen jullie altijd 299.700 km uit elkaar blijven. Laten we dit schouwspel nu eens bekijken vanaf een punt naast de spoorbaan. We zien dan twee dingen. Ten eerste beweegt je vriend(in) in de richting tegengesteld aan de richting waarin de lichtstraal wordt uitgezonden, dus de lichtstraal legt minder dan 299.700 km af. Bovendien tikt jouw klok vanuit de waarnemer langs de rails gezien langzamer! 72

Wat betekent dit voor de afstand tussen jullie? Blijft die voor de waarnemer naast de spoorbaan ook constant? Hint: denk aan de momenten waarop jullie versnellen.

5


Figuur 5: De lichtklok op zijn kant in beweging L’

vt_1

vt_2

Figuur 6: Lichtklok op zijn kant in beweging in meer detail

Dit kan natuurlijk niet allebei waar zijn. De oplossing is dat niet alleen de tijd verandert, maar ook de afstand! Voor een waarnemer naast de spoorbaan zullen jullie dus steeds kleiner worden, zodat er nog steeds een afstand tussen jullie blijft. Dit noemen we lengtecontractie. We gaan nu eens kijken of we dit ook uit kunnen rekenen. Stel dat je een klok zoals we die in de vorige paragraaf gebruikt hebben meeneemt op de wagon. Nu leg je hem echter plat neer. Zie figuur 5. In figuur 6 zien we dat de lichtstraal die naar links gaat een afstand aflegt van L0 + vt1 . Dit moet ook gelijk zijn aan ct1 , want de lichtsnelheid is constant. De lichtstraal die naar rechts gaat legt een afstand af van L0 − vt2 . Dit is weer gelijk aan ct2 . Dit geeft ons de volgende vergelijkingen; L0 + vt1 = ct1

→

t1 =

L0 c−v

(3)

L0 − vt2 = ct2

→

t2 =

L0 c+v

(4)

6


De totale tijdsduur is nu gelijk aan t1 plus t2 . 82

Laat zien dat de volgende formule geldt: t1 + t2 =

2L0 c c2 − v 2

(5)

We weten dat de totale tijdsduur voor degene op de wagon gelijk is aan 2L/c. Let op; dit is een andere L als dat er in de bovenstaande vergelijkingen staat. L is de lengte van de klok die degene die op de wagon staat meet, L0 is de lengte die degene naast de spoorbaan meet. De tijdsduur voor een waarnemer langs de kant is dan dus gelijk aan 2L/c maal de Lorentz-factor, die gegeven is in vergelijking (1). Dit geeft de volgende vergelijking; 2L0 c 2L 1 (6) = ·q 2 c2 − v 2 c 1− v c2

Met behulp van kruislings vermenigvuldigen geeft dit r ¡ ¢ v2 L0 c2 1 − 2 = L c2 − v 2 c De volgende stap is nu om links en rechts door c2 te gaan delen. Dit geeft dan r µ ¶ v2 v2 0 L 1− 2 =L 1− 2 c c √ √ En, omdat x/ x gelijk is aan x geeft dit de uiteindelijke uitdrukking voor L0 ; r v2 L0 = L 1 − 2 c

(7)

(8)

(9)

92

Bereken de lengte L0 die de waarnemer naast het spoor meet als de lengte van de klok gemeten op de wagon 100 meter is, en de wagon met een snelheid van 34 c beweegt.

10 2

Teken de grafiek van L0 tegen v, bij een lengte van de klok van 100 meter. Waarom merk je in het dagelijkse leven niets van deze effecten? Conclusie: Als de waarnemer naast het spoor ziet dat je een meter vooruit bent gegaan, zul je zelf bijvoorbeeld zeggen dat je al twee meter vooruit bent gegaan. Als de waarnemer naast het spoor zegt dat je wagon twee meter lang is, zul je zelf zeggen dat deze vier meter lang is.

11 2

Waarom geldt deze lengtecontractie niet in alle richtingen, maar alleen in de richting waarin je je beweegt?

1.5

Back to the real world

Laten we nu eens kijken hoe het zit met de deeltjes die we met de detector bij jullie op school zouden willen meten. We zijn vooral ge¨ınteresseerd in deeltjes met hele hoge

7


energieën; zo rond de 1020 eV, dat is ongeveer 16 joule. Voor meer uitleg hierover zie het werkstuk Kosmische straling. We kunnen berekenen met welke snelheid het deeltje dan ‘vloog’. Dit doen we met behulp van de volgende formule; m0 c2 E=q 2 1 − vc2

(10)

Als je wilt weten waar deze formule vandaan komt, kijk dan eens in ??? We vullen dus in E = 16 joule, c = 2,997 · 108 m/s, en we weten bijna zeker dat dit soort deeltjes protonen zijn, dus voor de massa nemen we m0 = 1,67 · 10−27 kg. Als we dit invullen krijgen we de volgende vergelijking; 8, 78941 · 10−23 = 1 −

v2 c2

(11)

Als je dit uitrekent op je rekenmachine, zal er ongetwijfeld uitkomen dat v = c. Je rekenmachine kan namelijk niet zo nauwkeurig rekenen. Als je naar de vergelijking kijkt, dan zie je al dat v toch wel een beetje kleiner moet zijn dan c, maar in ieder geval niet zo heel erg veel. Als je dit met een computerprogramma berekent, en je gebruikt c = 3 · 108 m/s precies, dan blijkt dat de snelheid van het deeltje 2,999 999 999 999 999 999 999 870 408 · 108 m/s was. Dat is 0,000 000 000 000 012 969 meter per seconde minder hard dan een lichtdeeltje. Dit betekent dat na een jaar, het deeltje ongeveer 4 · 10−7 m achter zou lopen op een lichtdeeltje. Dat is dus heel erg weinig. Hier moeten dus ook wel relativistische effecten de kop op steken. Laten we eens gaan kijken wat dit voor gevolgen heeft. 1.5.1

Tijd

Als eerste hebben we gezien dat de tijd langzamer gaat als je erg snel beweegt. Dit zal 2 voor het deeltje dus ook zo zijn. Als we kijken naar formule 2, en we vullen in dat 1 − vc2 gelijk is aan 8,78941·10−23 , dan geeft dat t = t0 · 9, 37519 · 10−12

(12)

12 2

Als het deeltje een seconde gereisd heeft, hoeveel tijd is er dan voor ons voorbij gegaan? Als er voor ons een jaar voorbij is gegaan, hoe lang heeft dat dan voor het deeltje geduurd?

13 2

Wij zouden 17 miljard jaar doen over een reis naar de grens van het universum. Zo lang leven we helaas niet. Maar stel je eens voor dat we ons ruimteschip konden versnellen tot dezelfde snelheid die ons deeltje heeft. Hoe lang zal de reis dan duren voor de mensen aan boord van het ruimteschip? 1.5.2

Afstand

We weten inmiddels ook dat afstanden veranderen als je snel reist. Zie vergelijking 9.

8

14 2


Een rondje om de aarde is ongeveer 40.000 km lang. Als zo’n snel deeltje rond de aarde reist, hoe lang ziet hij dan die afstand? Als we dit deeltje naar Alpha Centauri, de meest dichtbijzijnde ster, sturen, hoeveel afstand heeft hij dan volgens zichzelf afgelegd?

1.6

En wij dan?

Als mensen zouden kunnen doen wat dit deeltje kan, dan zou dat wel een uitkomst zijn! We zouden dan bijvoorbeeld in 19 dagen naar het einde van het heelal kunnen reizen! Maar waarom doen we dit dan niet? Hier zijn een aantal redenen voor. 1.6.1

We kunnen het nog niet

Om een indruk te geven; moderne deeltjesversnellers komen ongeveer tot een energie van 1 TeV (1 · 1012 eV). Dit is dus nog een factor 100.000.000 te weinig! 1.6.2

Achtergrondstraling

Zelfs als je aan zou nemen dat je een ruimteschip zou kunnen versnellen tot dit soort snelheden, dan zou je nog niet ver komen. De kosmische achtergrondstraling zorgt er namelijk al heel snel voor dat je je energie kwijtraakt. Zelfs een los proton met een energie van 1020 eV komt niet verder dan 308.567.800.000.000 km (dit is ongeveer de afstand tot Virgo, een cluster van sterrenstelsels) voordat hij al zijn energie kwijt is. . . 15 2

Wat is kosmische achtergrondstraling? Gebruik hiervoor de links op onze webpagina. 1.6.3

Vreemde gevolgen

Stel je voor dat we de bovenste twee bezwaren op de een of andere manier overwonnen hebben. Dan zouden we dus binnen zes weken op en neer naar het einde van het heelal kunnen reizen. Dan zijn er natuurlijk nog wel een paar nadelen te bedenken. Bijvoorbeeld: op aarde gaat de tijd veel sneller, dus tegen de tijd dat je weer op aarde terugkomt zijn ze daar millennia verder. Misschien bestaat de aarde wel helemaal niet meer op het moment dat je terugkomt. . . 16 2

Hoeveel jaar is er op aarde voorbijgegaan als er voor het ruimteschip zes weken voorbij zijn? Is de aarde er dan nog? Gebruik voor beantwoording van die laatste vraag de links op de webpagina.

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

Recommend Documents