1
KONSOLIDACE ZEMIN
1
Konsolidace zemin
• Zemina je vícesložková (vícefázová) porézní látka – tvořena pevnou fází (skeletem) a póry, které mohou být vyplněny vodou (kapalinou) a plynem (vzduchem). • Konsolidací rozumíme deformaci zeminy jako vícefázového porézního materiálu v čase pod účinky zatížení. • Plně nasycená zemina – póry jsou zcela vyplněny vodou, není v nich žádný vzduch. Jedná se tedy o dvojfázové prostředí. • Základní představu o chování zeminy možno vyjádřit pomocí hydromechanické analogie (viz např. [2, Kapitola 8]).
1
2
MAKROSKOPICKÝ POPIS PORÉZNÍHO PROSTŘEDÍ
2
2
Makroskopický popis porézního prostředí ZOOM
skelet (s)
Reprezentativni objem
zakladni latka (z)
kapalina (k)
Ω
Ekvivalentni medium
• V klasickém pojetí chování zemin modelováno pomocí teorie směsí. • Každý materiálový bod x má svou „vnitřní strukturuÿ. • Detailní uspořádání jednotlivých složek zanedbáno, důležité je pouze jejich objemové zastoupení. • Celkové složení reprezentativního objemu celkové
skelet
póry
z }| { z }| { z }| { V (x) = Vs (x) + Vp (x)
3
FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ
• Pórovitost n je definována poměrem n(x) =
Vp (x) , V (x)
Vs (x) V (x) − Vp (x) = = 1 − n(x) V (x) V (x)
• Číslo pórovitosti e e(x) =
3
Vp (x) Vp (x) V (x) n(x) = = Vs (x) V (x) Vs (x) 1 − n(x)
Fillungerova-Terzaghiho koncepce efektivních napětí
• Nutno vyjádřit vztah mezi napětím v zrnech σ s , v kapalině σ k a tzv. efektivním napětím mezi zrny σ ef .
3
3
FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ
4
• Z podmínky ekvivalence pro pevnou fázi Vs (x)σ s (x) = Vs (x)σ k (x) + V (x)σ ef (x) Vs (x) Vs (x) σ k (x) + σ ef (x) σ s (x) = V (x) V (x) 1 − n(x) σ s (x) = 1 − n(x) σ k (x) + σ ef (x)
(1)
• V kapalině působí pouze pórový tlak p (záporná hodnota středního napětí σm ) σ k (x) = −m p(x)
H. Darcy
P. Fillunger
K. von Terzaghi
R. Woltman
4
KONSTITUTIVNÍ ROVNICE
5
• Totální napětí je pak dáno objemovým průměrem v napětí jednotlivých složkách V (x)σ(x) = Vs (x)σ s (x) + Vp (x)σ p (x), tedy σ(x)
=
Vp (x) Vs (x) m p(x) = 1 − n(x) σ s (x) − n(x)m p(x) σ (x) − V (x) V (x) s − 1 − n(x) m p(x) + σ ef (x) − n(x)m p(x)
=
σ ef (x) − m p(x)
= (1)
4 4.1
Konstitutivní rovnice Skelet
• Napětí v porézním skeletu je způsobené celkovou deformací ε, „očištěnouÿ od vlivu počáteční deformace pórů vlivem pórového tlaku p. Platí
4
KONSTITUTIVNÍ ROVNICE
6
tedy σ ef (x) = Ds (x) ε(x) − εp (x) • Opět využijeme faktu, že pórový tlak p působí všesměrně, způsobuje tedy pouze objemovou deformaci εv (εp )v (x) = (εp )x (x) + (εp )y (x) + (εp )z (x) = −
3p(x) , λz (x)
a tedy εp (x) = −m
3p(x) , λz (x)
kde λz označuje Lamého modul materiálu, ze kterého se skládá skelet. • Konstitutivní vztah tedy můžeme přepsat ve tvaru p(x) σ ef (x) = Ds (x) ε(x) + m . λz (x)
4
KONSTITUTIVNÍ ROVNICE
• Totální napětí σ mají nyní tvar σ(x)
1 = σ ef (x) − m p(x) = Ds (x)ε(x) + Ds (x)m p(x) − m p(x) λz (x) 1 = Ds (x)ε(x) − I − Ds (x) m p(x) λz (x) (2) = Ds (x)ε(x) − α(x)m p(x).
• V případě, že se skelet chová jako izotropní materiál, matice α má tvar α = αI, kde λs (x) α(x) = 1 − λz (x) je nazýváno Biotovým číslem.
4.2
Kapalina
• Prvním cílem je popsat pohyb kapaliny v pórech, která je kvantifikována objemovou změnou pórů Θ. Ta je způsobena čtyřmi základními
7
4
KONSTITUTIVNÍ ROVNICE
8
vlivy [1, 3]: – Změnou objemu skeletu pří objemové nestlačitelnosti základní látky, – změnou objemu (1 − n) základní látky vlivem působení pórového tlaku p, – účinkem přírůstku efektivních napětí, – účinkem pórového tlaku, čímž dochází ke stlačení kapaliny. • Celkem Θ(x)
= α(x)mT ε(x) +
3n(x) 3(1 − n(x)) 3(1 − α(x)) + − λk (x) λz (x) λz (x)
= α(x)mT ε(x) + β(x)p(x)
p(x) (3)
• Nyní přistoupíme k vyjádření relativní rychlost proudění kapaliny vůči skeletu v. Ta je dána tzv. Darcyho zákonem n(x)v(x) = −k(x)∇h, kde k [kg−1 m3 s] je matice filtrace a h je hydraulická výška definovaná
5
BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY
9
jako p(x) + z; γk γk [Nm−3 ] označuje objemovou tíhu kapaliny a z je prostorová souřadnice ve směru působení gravitačního zrychlení. h(x) =
• Výsledný vztah k(x) n(x)v(x) = − ∇p(x) + γk (x)ez γk (x)
5 5.1
(4)
Bilanční rovnice a podmínky rovnováhy Podmínky rovnováhy
• Statické podmínky rovnováhy psané pro totální napětí ∂ σ(x) + X(x) = 0 • Okrajové podmínky
(5)
5
BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY
10
– Stabilní (kinematické): x ∈ Γu : u(x) − u(x) = 0 – Nestabilní (statické): x ∈ Γt : n σ(x) − t(x) = 0
5.2
Bilanční rovnice (neustálený stav)
• Rovnice kontinuity (bilance hmotnosti) psaná pro kapalnou fázi ∂Θ(x, t) =0 ∂t – Stabilní (podstatné) okrajové podmínky: x ∈ Γp (t): n(x)∇T v(x, t) +
p(x) − p(x) = 0 – Nestabilní (přirozené) okrajové podmínky: x ∈ Γv (t): n(x)T v(x) − v(x) = 0
(6)
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
6
11
Slabé řešení
• Základní proměnné jsou časové a prostorové průběhy posunů u a pórových tlaků p. • Slabé řešení nyní odvodíme použitím Galerkinovy metody – tj. s časovými derivacemi nyní zacházíme formálně jako s nezávislými proměnnými.
6.1
Podmínky rovnováhy
• Aby diskretizace vedla na symetrickou soustavu lineárních rovnic, zderivujeme navíc podmínky rovnováhy (5) podle proměnné t: ∂σ(x, t) ∂X(x, t) + =0 ∂ ∂t ∂t • Po vynásobení předchozí podmínky váhovou funkcí δu = 0 na Γu (t)
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
12
pro libovolný čas t Z ∂σ(x, t) t) ∂X(x, δu(x)T ∂ + dx = 0 ∂t ∂t Ω • Použitím Clapeyronova teorému dostáváme ∂t/∂t
}| { Z T ∂σ(x, t) ∂σ(x, t) T T 0 = δu(x) n(x) dx − ∂ δu(x) dx ∂t ∂t Γt Ω Z T ∂X(x, t) + δu(x) dx = 0 ∂t Ω Z
z
• Dosazení z konstitutivních rovnic (2) vede na výraz Z Z ∂t(x, t) (2) T T ∂X(x, t) 0 = δu(x) dx + δu(x) dx ∂t ∂t Γ Ω Z t T ∂ T − ∂ δu(x, t) Ds (x)ε(x, t) − α(x)m p(x, t) dx ∂t Ω • Při využití identity ∂ m = ∇ a geometrických rovnic dostáváme pro
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
podmínky rovnováhy vyjádření Z Z ∂t(x, t) ∂X(x, t) 0 = δu(x)T dx + δu(x)T dx ∂t ∂t Γt Ω Z T ∂u(x, t) T dx − ∂ δu(x, t) Ds (x)∂ T ∂t Ω Z ∂p(x, t) T + ∇ δu(x) α(x) dx ∂t Ω
6.2
Podmínka kontinuity
• Přenásobením rovnice kontinuity (6) libovolnou váhovou funkcí δp = 0 na Γp za předpokladu n(x) ≈ konst dostáváme Z ∂Θ(x, t) δp(x) ∇T (n(x)v(x, t)) + dx = 0 ∂t Ω
13
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
14
• Úprava předchozího výrazu Greenovou větou vede na nv
Z 0
=
Z z }| { T (∇δp(x)) n(x)v(x, t) dx δp(x) n(x)n(x)T v(x, t) dx −
Γv
Ω
Z +
∂Θ(x, t) δp(x) dx ∂t Ω
• Dosazení za relativní rychlost v z Darcyho zákona (4) a za objemovou změnu pórů z (3) vede na Z 0 = δp(x)n(x)v(x, t) dx Γv
k(x) T − (∇δp(x)) − ∇p(x, t) + γk (x)ez dx γk (x) Ω Z ∂ T α(x)m ε(x, t) + β(x)p(x, t) dx + δp(x) ∂t Ω Z
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
15
• S využitím vztahu mT ∂ T = ∇T dostáváme finální vyjádření Z Z T 0 = (∇δp(x)) k(x)ez dx δp(x)n(x)v(x, t) dx − Γv
Ω
k(x) + (∇δp(x)) ∇p(x, t) dx γ (x) k Ω Z Z ∂u(x, t) ∂p(x, t) T + δp(x)α(x)∇ dx + δp(x)β(x) dx ∂t ∂t Ω Ω Z
7
T
Diskretizace problému
• Aproximace posunů u (metoda separace proměnných) u(x, t) ≈ Nu (x)ru (t) • Aproximace časových derivací ∂u/∂t a jejich prostorových derivací
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
16
∇T (∂u/∂t), ∂ T (∂u/∂t) ∂u(x, t) ∂t T ∂u(x, t) ∇ ∂t ∂u(x, t) ∂T ∂t
dru (t) ≈ Nu (x) , dt dr (t) dru (t) u T = Lu (x) , ≈ ∇ Nu (x) dt dt dr (t) dru (t) u T ≈ ∂ Nu (x) = Bu (x) . dt dt
• Aproximace váhových funkcí δu a jejich derivací ∂ T δu δu(x) ≈ Nu (x)δru ,
∂ T δu(x) ≈ ∂ T Nu (x)δru = Bu (x)δru .
• Aproximace pórových tlaků p a jejich prostorových derivací ∇p p(x, t) ≈ Np (x)rp (t),
∇p(x, t) ≈ Bp (x)rp (t),
• Aproximace časové derivace pórových tlaků ∂p/∂t a jejich prostorových
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
17
derivací ∇(∂p/∂t) drp (t) ∂p(x, t) ≈ Np (x) , dt ∂t
drp (t) ∂p(x, t) . ∇ ≈ Bp (x) dt ∂t
• Aproximace váhových funkcí δp a jejich prostorových derivací ∇δp δp(x) ≈ Np (x)δrp ,
∇δp(x) ≈ Bp (x)δrp .
• Dosazením předchozích aproximací do slabých podmínek rovnováhy a kontinuity dostáváme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic v čase
−Kpu
drp (t) dru (t) Kuu − Kup dt dt drp (t) dru (t) − K pp rp (t) − Cpp dt dt
=
dRt (t) dRX + , (7) dt dt
= Rv (t) − Rg .
(8)
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
18
kde Z Kuu
= ZΩ
Kup
= ZΩ
Kpu
= ZΩ
Cpp
=
Bu (x)T Ds (x)Bu (x) dx Lu (x)T α(x)Np (x) dx Np (x)T α(x)Lu (x) dx Np (x)T β(x)Np (x) dx
Ω
k(x) Bp (x) Bp (x) dx γk (x) Ω
Z Kpp
=
T
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
19
a Z Rt (t)
Nu (x)T t(x) dx
= Γt (t)
Z RX (t)
=
Nu (x)T X(x) dx
ZΩ Rv (t)
Np (x)T n(x)v(x) dx)
= Γv (t)
Z Rg
=
Bp (x)T k(x)ez dx
Ω
• Prostorová konečněprvková diskretizace musí splňovat LBB podmínku, aby byla zajištěna konvergence metody. • Obecně se doporučuje volit řád aproximace u posunů u o jeden řád vyšší než u p.
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
7.1
20
Časová diskretizace
• Časová diskretizace spočívá v numerické integraci soustavy obyčejných diferenciálních rovnic, doplněné počátečními podmínkami ru (0) = r0 ,
rp (0) = p0 .
• Řešený časový interval h0, ti opět (ekvidistantně) rozdělíme na n intervalů délky ∆t
• V i-tém okamžiku ti označíme řešení jako ru i = ru (ti ),
rp i = rp (ti ),
i = 0, . . . , n.
7
DISKRETIZACE PROBLÉMU
21
• V obecném čase t volíme aproximace neznámých ve tvaru ru (t) ≈ (1 − τ )ru i + τ ru i+1 ,
rp (t) ≈ (1 − τ )rp i + τ rp i+1 .
• Časové derivace jsou opět aproximovány jako ru i+1 − ru i dru (t) ≈ , dt ∆t
drp (t) dt
≈
rp i+1 − rp i ∆t
,
• Pro tuto volbu časvé diskretizace vede Galerkinova metoda na identické výsledky s Rothe-Rektorysovou metodou. Platí i stejná pravidla pro volbu τ . Domácí úkol. Proveďte diskretizaci nestacionární úlohy vedení tepla Galerkinovou metodou (metodou separace proměnných). Ukažte, že obě metody vedou na stejný výsledek. 2
REFERENCE
Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na
[email protected]. Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha) Verze 000
Reference [1] T. Krejčí, T. Nový, L. Sehnoutek, and J. Šejnoha, Structure-subsoil interaction in view of transport processes in porous media, CTU Report 5(1), Czech Technical University in Prague, 2001. [2] I. Vaníček, Mechanika zemin, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996. [3] O. C. Zienkiewicz, Basic formulation of static and dynamic behaviour of soil and other porous media, Tech. report, Institute for Numerical Methods in Engineering, University College of Swansea, 1983.
22
