1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A × B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a ∈ A, b ∈ B. N-tou kartézskou mocninou nazveme An . Definice 1.2 : Nechť A,B,C jsou neprázdné množiny. Binární operací ∗ se nazývá každé zobrazení kartézského součinu A × B do množiny C, tj. ∗ : A × B → C. Definice 1.3 : Binární operce na množině A je • asociativní, jestliže ∀a, b, c ∈ A platí (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), • komutativní, jestliže ∀a, b ∈ A platí a ∗ b = b ∗ a.
Definice 1.4 : Prvek n ∈ A se nazývá neutrálním prvkem vzhledem k operaci ∗ definované na množině A, jestliže pro každé a ∈ A platí a ∗ n = n ∗ a = a. Definice 1.5 : Nechť ∗ je binární operace na množině A a nechť n ∈ A je příslušný neutrální prvek. Pak prvek s ∈ A se nazývá symetrický prvek k prvku a vzhledem k operaci ∗, jestliže a ∗ s = s ∗ a = n.
Definice 1.6 : Množina G spolu s binární operací ∗ na této množině (značíme (G, ∗)) se nazývá grupa, jsou-li splněny podmínky: 1. operace ∗ je asociativní na G, 2. v G existuje neutrální prvek vzhledem k operaci ∗, 3. v G existuje ke každému prvku prvek symetrický vzhledem k operaci ∗.
Definice 1.7 : Množina T spolu se dvěma binárními operacemi ⊕, definovanými na T (značíme (T, ⊕, )) se nazývá těleso, jestliže: 1. (T, ⊕) je komutativní grupa , 2. (T − {o}, ) je pologrupa, 3. ∀a, b, c ∈ T platí levý a pravý distibutivní zákon a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c), (b ⊕ c) a = (b a) ⊕ (c a).
1
2. Polynomy a algebraické rovnice Definice 2.1 : Funkci P s definičním oborem R nazveme reálným polynomem (mnohočlenem), jestliže existují reálná čísla a0 , a1 , ..., an (n ∈ N ) tak, že pro každé reálné číslo x platí: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 . ak xk , k = 0, 1, ..., n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . členy polynomu a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolutní člen ak , k = 0, 1, ..., n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koeficienty polynomu an xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vedoucí člen polynomu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stupeň polynomu (an 6= 0, am = 0 pro m > n) Pozn: Pokud budou koeficienty polynomu komplexní čísla, nazveme polynom komplexním. Nulovým polynomem nazveme polynom Q(x) = 0, ∀x ∈ C. Definice 2.2: 1. Rovnici typu P (x) = 0, an 6= 0, nazýváme algebraickou rovnicí n-tého stupně. 2. Je-li navíc an = 1, jedná se o rovnici v normovaném tvaru. 3. Řešením (kořenem) algebraické rovnice P (x) = 0 rozumíme každé komplexní číslo α, pro které platí P (α) = 0.
Věta 2.1: 1. Dva polynomy jsou si rovny, právě když jsou si rovny všechny koeficienty u odpovídajících mocnin x. 2. Součet, rozdíl a součin polynomů je opět polynom. 3. (o dělení polynomů) Nechť P (x), Q(x) jsou dva reálné (komplexní) polynomy stupně m a n, kde m ≥ n, Q(x) 6= O(x). Pak existuje jediná dvojice reálných (komplexních) polynomů B(x) a R(x) tak, že platí P (x) = Q(x) · B(x) + R(x), kde stupeň polynomu R(x) je menší než n, stupeň polynomu B(x) je roven m-n.
Důsledek 2.1: (dělení polynomu lineárním dvojčlenem (x − a)) Položme Q(x) = x − a. Podle předchozí věty je P (x) = (x − a) · B(x) + k, neboť R(x) musí být stupně nižšího než (x − a), je to tedy konstanta. P (a) = 0 · B(a) + k ⇒ P (a) = k. Tedy zbytek dělení polynomu P (x) lineárním dvojčlenem (x − a) je roven P (a). Definice 2.3: Nechť α je kořenem algebraické rovnice P (x) = 0. Potom výraz (x−α) nazýváme kořenovým činitelem. Základní věta algebry 2.2: Každá algebraická rovnice stupně n má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen.
2
Věta 2.3: • Číslo α je kořenem algebraické rovnice P (x) = 0 stupně n, tj. P (α) = 0, právě když platí P (x) = (x − α) · B(x), kde stupeň polynomu B(x) je n − 1. • Nechť algebraická rovnice P (x) = 0, kde P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , má v množině komplexních čísel r různých kořenů a1 , a2 , ..., ar . Potom lze polynom P (x) jednoznačně zapsat ve tvaru P (x) = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 ...(x − αr )kr , přičemž k1 + k2 + ... + kr = n. Tato rovnost se nazývá rozkladem polynomu P (x) na kořenové činitele, přičemž kořen α1 má násobnost k1 , kořen α2 má násobnost k2 , . . ., kořen αr má násobnost kr . • Každá algebraická rovnice stupně n má v množině komplexních čísel právě n kořenů, počítáme-li je s jejich násobností. • Jestliže algebraická rovnice an xn + ... + a1 x + a0 = 0 s celočíselnými koeficienty má za kořen racionální číslo pq , kde p,q jsou celá nesoudělná čísla, potom p dělí a0 , q dělí an . • Je-li algebraická rovnice s celočíselnými koeficienty v normovaném tvaru a má celočíselný kořen α, pak α dělí a0 . • Nechť P (x) = 0 je algebraická rovnice s reálnými koeficienty. Potom platí: je-li α = u + iv k-násobný kořen této rovnice, pak také číslo komplexně sdružené α = u − iv je k-násobným kořenem této rovnice.
Definice 2.4: Říkáme, že algebraická rovnice P (x) = 0 n-tého stupně je algebraicky řešitelná, jestliže její kořeny lze vyjádřit pomocí operací sčítání, odčítání, dělení, umocňování a odmocňování prováděných v konečném počtu na koeficientech dané algebraické rovnice. Věta 2.4: Algebraicky řešitelná je obecně algebraická rovnice stupně ≤ 4. Definice 2.5: Nechť je dána algebraická rovnice an xn + ... + a1 x + a0 = 0. Jestliže pro její koeficienty platí an−i = ai , resp. an−i = −ai pro i = 0, 1, ..., n, pak tuto rovnici nazýváme kladně, resp. záporně reciprokou. Obě tyto rovnice označujeme společným názvem reciproké rovnice. Věta 2.6: 1. Má-li reciproká rovnice kořen α, pak má i kořen
1 α.
2. Žádná reciproká rovnice nemůže mít kořen roven 0. 3. Odstraníme-li z reciproké rovnice všechny kořenové činitele (x + 1), (x − 1), dostaneme kladně reciprokou rovnici sudého stupně.
3
POSTUP VÝPOČTU: 1. Odstraníme kořenové činitele (x + 1), (x − 1) a dostaneme kladně reciprokou rovnici sudého stupně 2k tvaru: ak x2k + ak−1 x2k−1 + ak−2 x2k−2 + ... + ak−2 x2 + ak−1 x + ak = 0. k 2. Celou rovnici dělímex a upravíme ji na tvar: 1 1 k k−1 ak x + xk + ak−1 x + xk−1 + ... + a1 x + x1 + a0 = 0.
3. V této rovnici zavedeme substituci y = x+ x1 a tím ji převedeme na algebraickou rovnici stupně k. Definice 2.6: Rovnici tvaru xn = z stupně.
(z = a + bi), kde n ∈ N, z 6= 0, z ∈ C, nazýváme binomickou rovnicí n-tého
Věta 2.7: p ϕ+2kπ Všechna řešení binomické rovnice jsou dána vztahem xk+1 = n |z| cos ϕ+2kπ + isin , n n k = 0, 1, 2, ..., n − 1, |z| je velikost komplexního čísla z, ϕ je argument čísla z. Pozn: 1. Obrazy kořenů binomické rovnice v Gaussově rovině tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsap n ného do kružnice se středem v počátku a poloměrem r = |z|. Průvodič obrazu prvního kořene svírá s kladnou částí reálné osy úhel β = ϕn a obraz každého následujícího kořene je otočen o úhel 2π n . 2. Binomické rovnice lze řešit pro libovolný stupeň n.
3. Racionální funkce Definice 3.1: P (x) Racionální lomenou funkcí rozumíme podíl Q(x) dvou reálných polynomů P (x), Q(x), kde polynom Q(x) je nenulový. Definičním oborem racionální lomené funkce je pak množina všech reálných čísel x, pro něž Q(x) 6= 0. Každý polynom je též racionální lomená funkce. Racionální funkce se nazývá ryze lomená, je-li stupeň polynomu P (x) menší než stupeň polynomu Q(x). Věta 3.1: Každou racionální lomenou funkci lze jednoznačně rozložit na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Definice 3.2: Parciální zlomky jsou racionální lomené funkce tvaru polynom x2 + px + q nemá reálné kořeny.
a ax+b (x−α)m , (x2 +px+q)m ,
kde a, b, α ∈ R, m ∈ N ,
Věta 3.2: P (x) Nechť Q(x) je racionální ryze lomená funkce. Nechť polynom Q(x) = an (x−α1 )r1 ·...·(x−αk )rk ·(x2 +p1 x+q1 )s1 ·...·(x2 +pj x+qj )sj , přičemž r1 +...+rk +2(s1 +...+sj ) = n (tj. polynom Q(x) je stupně n), pi − 4qi < 0, i = 1, 2, ..., j a žádné dva polynomy nemají společné kořeny. Pak ryze lomenou racionální funkci můžeme psát jako součet parciálních zlomků, přičemž Ari A1 A2 ri -násobnému reálnému kořenu αi odpovídá součet ri zlomků x−α + (x−α 2 + ... + (x−α )ri , páru i i i) komplexně sdružených si -násobných kořenů polynomu (x2 + pi x + qi )si odpovídá součet si zlomků Bsi x+Csi B1 x+C1 B2 x+C2 x2 +pi x+qi + (x2 +pi x+qi )2 + ... + (x2 +pi x+qi )si . 4
VÝPOČET KONSTANT: 1. metoda neurčitých koeficientů Rovnost vzniklou po rozkladu na parciální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovateli původního zlomku. Dostaneme rovnost dvou polynomů. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic pro hledané koeficienty, která má vždy právě jedno řešení. 2. metoda dosazovací Vzniklou rovnost opět vynásobíme polynomem ze jmenovatele a dostaneme rovnost dvou polynomů. Do této rovnosti dosadíme za x tolik hodnot, kolik se v dané rovnosti vyskytuje neznámých konstant. Dostaneme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty. Tato metoda je výhodná, má-li polynom ve jmenovateli reálné kořeny. Jejich hodnoty pak dosahujeme za x.
4. Lineární prostor Definice 4.1: Lineárním prostorem nad tělesem reálných čísel R nazýváme neprázdnou množinu V 6= ∅ (jejíž prvky označíme a, b, ..., x, y, o, ... a nazveme vektory, reálná čísla označíme α, β, ... a nazveme skaláry), na které jsou definovány dvě operace: SČÍTÁNÍ, tj. zobrazení + : V × V → V , které každým dvěma vektorům x, y ∈ V přiřadí vektor x + y ∈ V , kterému říkáme součet vektorů x a y, NÁSOBENÍ SKALÁREM, tj. zobrazení · : R × V → V , které každému reálnému číslu α a vektoru x ∈ V přiřazuje vektor α · x ∈ V , kterému říkáme skalární násobek skaláru α a vektoru x, přičemž tyto operace splňují ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ R, následující podmínky: 1) x + y = y + x 2) (x + y) + z = x + (y + z) 3) ∃o ∈ V, ∀x ∈ V : x + o = x, o. . .nulový vektor 4) ∀x ∈ V ∃(−x) ∈ V : x + (−x) = o, −x. . .vektor opačný k x 5) α · (x + y) = α · x + α · y 6) (α + β) · x = α · x + β · x 7) α · (β · x) = (α · β) · x 8) 1 · x = x
Definice 4.2: Množina Rn všech uspořádaných n-tic reálných čísel, na které je definována ROVNOST: (a1 , a2 , ..., an ) = (b1 , b2 , ..., bn ) ⇔ a1 = b1 ∧ ... ∧ an = bn , SČÍTÁNÍ: (a1 , a2 , ..., an ) + (b1 , b2 , ..., bn ) = (a1 + b1 , ..., an + bn ), NÁSOBENÍ SKALÁREM α ∈ R: α · (a1 , a2 , ..., an ) = (α · a1 , ..., α · an ), tvoří lineární prostor nad tělesem R. Takováto množina Rn se nazývá aritmetický vektorový prostor. Přirozené číslo n se nazývá dimenze vektorového prostoru. Prvky se nazývají aritmetické vektory.
5
Definice 4.3: I. Buď V lineární prostor nad tělesem R, a, a1 , ..., am ∈ V . Existují-li taková k1 , ..., km ∈ R, že a = k1 · a1 + ... + km · am , pak říkáme, že vektor a je lineární kombinací vektorů a1 , ..., am . II. Vektory a1 , ..., am nazýváme lineárně závislé, jestliže platí k1 · a1 + ... + km · am = o, přičemž alespoň jedno z čísel ki 6= 0 (i = 1, ..., m). Platí-li rovnost pouze pro k1 = k2 = ... = km = 0, potom řekneme, že vektory a1 , ..., am jsou lineárně nezávislé. VLASTNOSTI LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH VEKTORů: 1. Lineární nezávislost nezáleží na pořadí vektorů. 2. Jsou-li vektory a1 , ..., am lineárně nezávislé, pak ai 6= o, i = 1, ..., m. Tj. pokud skupina vektorů obsahuje nulový vektor, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. 3. Jsou-li vektory a1 , ..., am lineárně nezávislé, pak vynásobíme-li libovolný z vektorů číslem c 6= 0, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. 4. Jsou-li vektory a1 , ..., am lineárně nezávislé, pak připočteme-li k libovolnému vektoru násobek jiného vektoru z této skupiny, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. 5. Jsou-li vektory a1 , ..., am lineárně nezávislé, pak přičteme-li k libovolnému vektoru lineární kombinaci ostatních, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. Věta 4.1: Buď W ⊆ V , W 6= ∅, pak W je podprostorem prostoru V právě tehdy, když: a) ∀a, b ∈ W : a + b ∈ W, b) ∀α ∈ R ∀a ∈ W : α · a ∈ W. Definice 4.4: Buď M ⊆ V , M 6= ∅. Množinu všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineární obal množiny M. Lineární obal množiny M značíme hM i. Definice 4.5: Lineárně nezávislou podmnožinu B ⊂ V , jejíž lineární obal je roven V, nazýváme bází prostoru V, tj. hBi = V . Věta 4.2: 1. Nechť B = {f1 , f2 , ..., fn } je báze prostoru V. Jsou-li vektory a1 , a2 , ..., as ∈ V lineárně nezávislé, pak s ≤ n. 2. Každá soustava vektorů z V o více než n prvcích musí být lineárně závislá. 3. Je-li B = {f1 , f2 , ..., fn } báze prostoru V a B = {g1 , g2 , ..., gm } jiná báze prostoru V, pak n = m. Definice 4.6: Nechť ve V existuje báze, která má konečný počet prvků n. Počet prvků této báze nazýváme dimenzí prostoru V a značíme dim V. Hovoříme pak o n-rozměrném lineárním prostoru. Dimenzi lineárního prostoru V = {o} pokládáme rovnu 0. Definice 4.7: Nechť V má bázi B = {f1 f2 , , ..., fn }. Uspořádanou n-tici hf1 , f2 , ..., fn i nazýváme uspořádanou bází V.
6
Věta 4.3: Nechť B = hf1 , f2 , ..., fn i je uspořádaná báze V. Každý vektor x ∈ V lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze B, tj. existuje právě jedna uspořádaná n-tice reálných čísel (x1 , x2 , ..., xn ) taková, že x = x1 f1 + x2 f2 + ... + xn fn . Definice 4.8: I. Čísla x1 , x2 , ..., xn z předchozí věty nazýváme souřadnicemi vektoru x v uspořádané bázi B. Značíme x = (x1 , x2 , ..., xn )B . II. Bázi E = he1 , e2 , ..., en i, kde e1 = (1, 0, ...0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) nazýváme standardní.
5. Matice Definice 5.1: Maticí typu m/n rozumíme skupinu m × n komplexních čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců (m, n ∈ N ). Tato čísla nazýváme prvky matice. Označíme-li aij prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci, pak matici typu m/n můžeme zapsat zkráceně A = [aij ]. Definice 5.2: Buď A matice typu m/n. Posloupnost a11 , a22 , ..., amm se nazývá hlavní diagonála. Prvky této posloupnosti se nazývají diagonální. SPECIÁLNÍ TYPY MATIC: 1. Matice typu m/1 se nazývá sloupcová. 2. Matice typu 1/n se nazývá řádková. 3. Je-li m = n, nazýváme matici čtvercovou maticí řádu n. 4. Čtvercová matice A se nazývá jednotková, když aik = 0 pro všechna i 6= k a aii = 1, i = 1, 2, ..., n, tj. na hlavní diagonále má jedničky, jinde nuly. Označujeme ji E. 5. Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonální, jestliže má na hlavní diagonále alespoň jeden prvek nenulový a ostatní prvky jsou rovny nule. 6. Transponovaná matice AT k matici A vznikne z matice A tak, že vyměníme řádky matice za sloupce a opačně. Jestliže matice A je typu m/n, potom matice transponovaná je typu n/m. Platí (AT )T = A. 7. Matice A se nazývá dolní (resp. horní) trojúhelníková matice, jestliže aik = 0 pro i < k (resp. i > k). 8. Matici N, kde aik = 0 pro všechna i = 1, 2, ..., m, k = 1, 2, ..., n, nazýváme nulovou maticí. 9. Matice A se nazývá symetrická, jestliže A = AT (tj. aik = aki pro i, k = 1, 2, ..., n). 10. Matice A se nazývá antisymetrická, jestliže AT = −A (tj. aik = −aki pro i, k = 1, 2, ..., n). 11. Submaticí Aik nazveme takovou matici, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
7
Definice 5.3: Buďte A,B matice téhož typu m/n. Potom klademe: I. Rovnost matic: A = B ⇔ aik = bik , i = 1, 2, ..., m, k = 1, 2, ..., n. II. Sčítání matic: A + B = [aik + bik ]. III. Násobení matic skalárem: β · A = [β · aik ], β ∈ R (β ∈ C). Definice 5.4: (násobení matic) Pro matici A typu m/n a matici B typu n/p klademe: P A · B = [ nk=1 aik · bkj ] = [ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj ]. Tj. C = A · B, přičemž cij dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Věta 5.1: Platí (A + B)T = AT + B T = B T + AT , (A · B)T = B T · AT 6= AT · B T , An = A · An−1 . Definice 5.5: I. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A typu m/n nazveme hodností této matice. Označujeme hod(A), h(A). Hodnost nulové matice je 0. II. Řádkovými elementárními transformacemi (úpravami) matice nazýváme tyto úpravy: • Výměna dvou řádků matice. • Vynásobení nějakého řádku matice číslem různým od nuly. • Přičtením c-násobku jednoho řádku matice k jinému řádku. Podobně definujeme sloupcové elementární transformace. III. Řekneme, že matice A,B jsou ekvivalentní, lze-li jednu z nich převést v druhou konečným počtem elementárních transformací. Označujeme A ∼ B. Věta 5.2: Pro matici A typu m/n platí: h(A) ≤ min(m, n). Řádkovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění. Transponováním se hodnost matice nemění, tj. ani sloupcovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění. SOUVISLOST HODNOSTI MATICE S LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTÍ VEKTORů: Mějme vektory a1 = (a1 , a2 , ..., an ), a2 = (b1 , b2 , ..., bn ), ..., ar = (c1 , c2 , ..., cn ). Uvažujme matici, jejíž řádky tvoří vektory a1 , a2 , ..., ar , nechť h(A) = h. Jestliže h = r, vektory a1 , a2 , ..., ar jsou lineárně nezávislé. Jestliže h < r, vektory a1 , a2 , ..., ar jsou lineárně závislé a lze z nich vybrat právě h lineárně nezávislých vektorů (tj. tvoří podprostor dimenze h).
6. Determinanty Definice 6.1: • Uvažujeme-li množinu všech pořadí čísel 1,2,. . .,n, tj. aritmetických vektorů (k1 , k2 , ..., kn ), kde ki ∈ {1, 2, ..., n}, ki 6= kj , pro i 6= j, i, j = 1, 2, ..., n, pak uspořádaná dvojice (ki , kj ) tvoří inverzi v pořadí (k1 , k2 , ..., kn ), jestliže i < j a ki > kj . 8
• Budiž n přirozené číslo a mějme čtvercovou matici A n-tého řádu. Determinant této matice je P součet A = n sgnπ · a1k1 · a2k2 · ... · ankn , kde se sčítá přes všechna pořadí π = (k1 , k2 , ..., kn ) čísel 1,2,. . .,n. Znaménko (sgn) je kladné, resp. záporné, je-li počet inverzí v pořadí sudý, resp. lichý. Definice 6.2: Subdeterminantem Aik matice A příslušným k prvku aik nazýváme determinant matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a k-tého sloupce. Algebraickým doplňkem k prvku aik nazýváme výraz Dik = (−1)i+k Aik . Věta 6.1:(Laplaceův rozvoj determinantu) Determinant se rovná součtu součinů prvků libovolného řádku a k nim příslušejících algebraických doplňků. Říkáme tomu rozvoj determinantu podle i-tého řádku: |A| = ai1 Di1 + ai2 Di2 + ... + ain Din . Pozn.: Pomocí Laplaceova rozvoje můžeme počítat determinanty libovolného řádu. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. Věta 6.2: Transponováním se determinant nemění, tj. |A| = |AT |. Věta 6.3: • Vyměníme-li v determinantu navzájem dva řádky, determinant změní znaménko. • Má-li determinant dva řádky stejné, je roven nule. • Obsahuje-li jeden řádek matice samé nuly, pak determinant této matice je roven nule. ´ B téhož typu se navzájem liší pouze v i-tém řádku. Jestliže i-tý • Nechť čtvercové matice A, A, ´ potom |B| = |A|+|A|. ´ řádek matice B je součtem i-tého řádku matice A a i-tého řádku matice A, • Vynásobíme-li jeden řádek čtvercové matice A reálným číslem c, potom determinant vzniklé matice je roven c · |A|. Jinými slovy, společného činitele z řádku lze vytknout před determinant. • Přičteme-li c-násobek (c 6= 0) jednoho řádku k jinému, determinant se nezmění. • Determinant se rovná nule právě tehdy, když má řádky lineárně závislé. Pozn.: Všechny věty, které jsou formulovány pro řádky, platí i pro sloupce.
7. Inverzní matice Věta 7.1: Jsou-li A,B čtvercové matice téhož řádu, pak |A · B| = |A| · |B| , tj. determinant součinu dvou matic se rovná součinu determinantů těchto matic. Definice 7.1: Čtvercovou matici A nazveme regulární, jestliže její determinant je nenulový. Pokud |A| = 0, potom matici A nazveme singulární. Čtvercovou matici X n-tého řádu nazveme maticí inverzní ke čtvercové matici A n-tého řádu, jestliže platí: A · X = X · A = E. 9
Věta 7.2: K singulární matici neexistuje matice inverzní. Věta 7.3: Inverzní matici k matici A (pokud existuje) je maticí A určena jednoznačně. Pozn.: • Inverzní matice k regulární matici je regulární matice. Budeme ji značit A−1 . Vztah A · X = X · A = E potom bude mít podobu A · A−1 = A−1 · A = E. • Z toho také plyne (A−1 )−1 = A. • Pro determinant matice inverzní k matici A platí: |A−1 | =
1 |A| .
Definice 7.2: Matici A˜ nazveme adjungovanou ke čtvercové matici A, jestliže každý prvek aik nahradíme jeho algebraickým doplňkem Dik a takto vzniklou matici transponujeme. Věta 7.4: Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní je A−1 =
1 ˜ |A| A.
Věta 7.5: Nechť A,B jsou čtvercové matice n-tého řádu. a) Je-li alespoň jedna z matic A,B singulární, pak je součin AB singulární. b) Jsou-li obě matice A,B regulární, je součin AB regulární matice a platí (AB)−1 = B −1 A−1 . Věta 7.6: Převedeme-li řádkovými elementárními transformacemi matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární transformace převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A−1 . Věta 7.7: Nechť je dána maticová rovnice AX = B, resp. XA = B, pro neznámou matici X, kde matice A je regulární a matice B je vhodného typu. Řešením této rovnice je matice X = A−1 ·B, resp. X = B ·A−1 . Definice 7.3: Matici A nazýváme ortogonální maticí, platí-li A · AT = E, tj. AT = A−1 . Věte 7.8: Je-li A ortogonální matice, potom |A| = ±1. Věta 7.9: Inverzní matice k ortogonální matici je opět ortogonální matice. Věta 7.10: Součinem dvou ortogonálních matic je opět ortogonální matice.
10
8. Soustavy lineárních rovnic Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm kde aij nazýváme koeficienty rovnice xj nazýváme neznámé rovnice bi nazýváme pravé strany rovnice (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n). Definice 8.1: 1. Je-li bi = 0 pro všechna i = 1, 2, ..., m, pak předchozí soustavu nazýváme homogenní soustavou lineárních rovnic. 2. Je-li alespoň jedno z čísel bi různé od nuly, pak předchozí soustavu nazýváme nehomogenní soustavou lineárních rovnic. Definice 8.2: I. Řešením soustavy lineárních rovnic nazveme každou uspořádanou n-tici reálných čísel (β1 , β2 , ..., βn ), která po dosazení do soustavy tuto soustavu identicky splňuje. II. Soustava se nazývá 1) neřešitelná, neexistuje-li žádné její řešení, 2) řešitelná, existuje-li alespoň jedno řešení a) určená, existuje-li právě jedno řešení, b) neurčená, existuje-li nekonečně mnoho jejích řešení. Definice 8.3: 1. Dvě soustavy lineárních algebraických rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li tutéž množinu řešení. 2. Úpravy, které převádějí jednu soustavu lineárních algebraických rovnic na soustavu s ní ekvivalentní, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy: 1. Napíšeme rovnice v libovolném pořadí. 2. Vynásobení libovolné rovnice číslem c 6= 0. 3. K libovolné rovnici přičteme libovolný násobek jiné rovnice soustavy. 4. Vynecháme rovnici, která je násobkem jiné rovnice. 5. Vynecháme rovnici, která je lineární kombinací ostatních rovnic. Gaussova eliminační metoda: Ze soustavy lineárních rovnic sestavíme matici: a11 a12 · · · a1n | b1 a a22 · · · a2n | b2 A/B = 21 , kterou nazýváme rozšířenou maticí soustavy. ··· ··· ··· ··· | ··· am1 am2 · · · amn | bm Tuto matici převedeme ekvivalentními úpravami na matici v trojúhelníkovém tvaru, která je ekvivalentní s původní maticí. Počet řešení soustavy zjistíme určením hod(A) a hod(A/B). Z upravené matice vytvoříme novou soustavu rovnic, ze které dopočítáme jednotlivé neznámé.
11
Věta 8.1:(Frobeniova) Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná (tj. má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když hod(A) = hod(A/B). Důsledek 8.1: Soustava je neřešitelná právě tehdy, když hod(A) 6= hod(A/B). Věta 8.2: Je-li hod(A) = hod(A/B) = n (počet neznámých), pak má soustava právě jedno řešení. Je-li hod(A) = hod(A/B) < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Tato řešení jsou závislá na volbě n-h parametrů. Věta 8.3: Každá soustava homogenních lineárních rovnic je vždy řešitelná. Věta 8.4: Homogenní soustava A · xT = oT , jejíž matice je singulární, má nekonečně mnoho řešení. Věta 8.5: Nechť x = (β1 , β2 , ..., βn ), y = (γ1 , γ2 , ..., γn ) jsou řešením soustavy m homogenních rovnic o n neznámých A · xT = oT , pak také α · x, α · x + β · y (α, β ∈ R) jsou řešením této soustavy a množina všech řešení tvoří vektorový podprostor W, dimW = n − h, kde h = hod(A). Věta 8.6: Homogenní soustava A · xT = oT má pouze triviální řešení (tj. x = (0, 0, ..., 0)) právě tehdy, když |A| 6= 0. Definice 8.4: 1. Nechť je dána soustava A · xT = oT o n neznámých. Je-li hod(A) = h < n, pak každou bázi vektorového prostoru všech řešení dimenze n-h nazýváme fundamentální systém řešení. 2. Nechť x1 , x2 , ..., xn−h tvoří fundamentální systém řešení. Potom množina všech lineárních kombinací tvaru x = α1 x1 + α2 x2 + ... + αn−h xn−h se nazývá obecné řešení dané homogenní soustavy. Definice 8.5: T Nechť je dána nehomogenní soustava A · xT = b . Pak soustavu A · xT = oT nazveme přidruženou T
k soustavě A · xT = b . Věta 8.7: T Součet libovolného řešení soustavy A · xT = b a soustavy k ní přidružené A · xT = oT je opět řešením T soustavy A · xT = b . Věta 8.8: T Rozdíl dvou libovolných řešení nehomogenní soustavy A · xT = b je řešením přidružené homogenní soustavy. Věta 8.9: T Množinu všech řešení nehomogenní soustavy A · xT = b lze vyjádřit ve tvaru x = x0 + xh , kde x0 je jedno libovolné řešení nehomogenní soustavy a xh je obecné řešení homogenní soustavy k ní přidružené.
12
Definice 8.6: T Množinu všech řešení nehomogenní soustavy A · xT = b ve tvaru x = x0 + xh , kde x0 je jedno libovolné řešení nehomogenní soustavy a xh je obecné řešení homogenní soustavy k ní přidružené se T nazývá obecné řešení nehomogenní soustavy A · xT = b . Věta 8.10: T Nechť je dána soustava lineárních rovnic A · xT = b , jejíž matice A je regulární. Potom existuje jediné T řešení xT = A−1 · b . Věta 8.11: T Nechť je dána soustava lineárních rovnic A · xT = b , jejíž matice A je regulární. Tato soustava má k| právě jedno řešení, tedy existuje jediná uspořádaná n-tice reálných čísel (β1 , β2 , ..., βn ), kde βk = |D |A| , k = 1, 2, ..., n, přičemž |Dk | je determinant matice, která vznikne nahrazením k-tého sloupce matice A sloupcem pravých stran.
9. Vektorové podprostory Definice 9.1: Průnikem dvou vektorových podprostorů U,W vektorového prostoru V nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W. U ∩ V = {p ∈ V : p ∈ U ∧ p ∈ W } Spojením (součtem) dvou vektorových podprostorů U,W vektorového prostoru V nazýváme množinu těch vektorů, které se dají zapsat ve tvaru součtu vektoru z podprostoru U s vektorem z podprostoru W. U + W = {s ∈ V : s = u + w, u ∈ U ∧ w ∈ W } Věta 9.1: Nechť U,W jsou podprostory vektorového prostoru V. Potom průnik U ∩ W a spojení U + W jsou opět podprostory ve V a platí dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩ W ). Definice 9.2: Dva vektorové podprostory U,W vektorového prostoru V se nazývají komplementární ve V, je-li U ∩ W = {o} ∧ U + W = V . Jsou-li U a W komplementární ve V, potom spojení podprostorů U + W nazýváme direktním součtem U ⊕ W podprostorů U a W. Věta 9.2: Nechť α, β jsou dvě uspořádané báze vektorového prostoru V, jejichž vektory jsou zadány souřadnicemi vzhledem k uspořádané bázi B tohoto vektorového prostoru. Dále nechť AαB je matice přechodu od báze B k bázi α a nechť AβB je matice přechodu od báze B k bázi β. Potom platí: xα = xβ · Aβα , kde Aβα je matice přechodu od báze α k bázi β, xβ = xα · Aαβ , kde Aαβ je matice přechodu od báze β k bázi α.
13
10. Vektorové prostory se skalárním součinem Definice 10.1: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R, dimV = n. Potom zobrazení · : V × V → R, které pro každé x, y, z ∈ V a pro každé λ ∈ R splňuje podmínky: 1) x · y = y · x 2) (x + y) · z = x · z + y · z 3) (λ · x) · y = λ · (x · y) 4) x · x ≥ 0, kde x · x = 0 ⇔ x = o nazýváme skalární součin na V. Vektorový prostor s takto definovaným skalárním součinem nazýváme vektorový prostor se skalárním součinem Vn . Věta 10.1: Na každém n-rozměrném vektorovém prostoru V existuje alespoň jeden skalární součin. Definice 10.2: Nechť a √ ∈ Vn . Potom 1. |a| = a · a nazýváme absolutní hodnota (velikost) vektoru a. 2. Je-li |a| = 1, pak a je jednotkový vektor. Věta 10.2: Pro každé a, b ∈ Vn a pro každé λ ∈ R platí: 1) o · a = a · o = 0 2) |λ · a| = |λ| · |a| 1 3) a 6= o, pak a0 = |a| a je jednotkový vektor 4) |a · b| ≤ |a| · |b| Cauchy-Bunjakovského nebo Schwarzova nerovnost. Definice 10.3: Nechť a, b ∈ Vn jsou nenulové vektory. Potom v intervalu h0, πi existuje jediné číslo ϕ, pro které platí a·b cosϕ = |a|·|b| , které nazýváme úhlem vektorů a, b. Definice 10.4: Nechť a1 , a2 , ..., ak ∈ Vn . Potom se a1 · a1 a1 · a2 a ·a a2 · a2 G(a1 , a2 , ..., ak ) = 2 1 ··· ··· ak · a1 ak · a2
· · · a1 · ak · · · a2 · ak ··· ··· · · · ak · ak
nazýváme Gramův determinant vektorů a1 , a2 , ..., ak .
Věta 10.3: Vektory a1 , a2 , ..., ak ∈ Vn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když Gramův determinant těchto vektorů je různý od nuly. Definice 10.5: Řekneme, že vektory a, b ∈ Vn jsou kolmé (a ⊥ b) právě tehdy, když a · b = 0. Důsledek 10.1: 1. Pro každý a ∈ Vn platí a · o = 0, tedy nulový vektor o je kolmý ke všem vektorům z Vn . 2. Pro každý nenulový vektor a ∈ Vn platí a · a > 0, tedy vektor nemůže být kolmý sám k sobě.
Definice 10.6: Nechť a1 , a2 , ..., ak ∈ Vn jsou nenulové vektory. Řekneme, že tyto vektory tvoří ortogonální systém, jestliže ai ⊥ aj pro i 6= j, kde i, j = 1, 2, ..., k. Tedy ai · aj = 0 ∀i = 6 j.
14
Důsledek 10.2: Ortogonální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi ve Vn . Tato báze se nazývá ortogonální báze. Věta 10.4: Z každé báze ve Vn lze vytvořit bázi ortogonální. Definice 10.7: 1. Systém vektorů w1 , w2 , ..., wk ∈ Vn se nazývá ortonormální, je-li ortogonální a |wi | = 1 pro i = 1, 2, ..., k. 2. Libovolnou n-tici w1 , w2 , ..., wn ∈ Vn ortonormálních vektorů nazýváme ortonormální báze Vn . Věta 10.5: Nechť je dána ortonormální báze W = hw1 , w2 , ..., wn i ve Vn a nechť x = x1 w1 + x2 w2 + ... + xn wn = (x1 , x2 , ..., xn )W y = y1 w1 + y2 w2 + ... + yn wn = (y1 , y2 , ..., yn )W Pak platí x · y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn . Tímto vztahem lze definovat skalární součin v libovolném n-rozměrném vektorovém prostoru. Důsledek 10.3: Pro každé q vektory x, y ∈ Vn , které jsou dány souřadnicemi vzhledem k ortonormální bázi, platí: 1. |x| = x21 + x22 + ... + x2n x·y √ 2 n2yn = √ 2 x12y1 +x2 y22 +...+x , kde ϕ je úhel vektorů x, y. 2. cosϕ = |x|·|y| 2 x1 +x2 +...+xn ·
y1 +y2 +...+yn
Definice 10.8: Nechť M je neprázdná podmnožina prostoru Vn . Množinu (M )⊥ všech vektorů kolmých na každý vektor množiny M nazýváme ortogonálním doplňkem množiny M. Věta 10.6: 1. Ortogonální doplněk množiny M je podprostorem ve vektorovém prostoru se skalárním součinem. 2. Nechť je dán podprostor Vk prostoru se skalárním součinem Vn a nechť dimVk = k. Potom ortogonální doplněk podprostoru Vk je podprostorem dimenze (n-k) ve Vn , tedy dim(V )⊥ = n − k. 3. Podprostory (Vk )⊥ a Vk jsou komplementární. Definice 10.9: Každý vektor x ∈ Vn lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = y +z, kde y ∈ Vk a z ∈ (Vk )⊥ . Vektor y nazýváme ortogonálním průmětem vektoru x do podprostoru Vk a vektor z nazýváme vektorem vzdálenosti vektoru x od podprostoru Vk , výraz|z| = |x − y| se nazývá chybou.
11. Lineární zobrazení Definice 11.1: Zobrazení f lineárního prostoru U do lineárního prostoru W (f : U → W ) nazveme lineární zobrazení (homomorfismus) U do W právě tehdy, když pro každé a, b ∈ U a pro každé α ∈ R platí: 1. f (a + b) = f (a) + f (b) (aditivní zobrazení) 2. f (α · a) = α · f (a) (homogenní zobrazení) Věta 11.1: Zobrazení f : U → W je lineární právě tehdy, když pro každé a, b ∈ U a pro každé α, β ∈ R platí: f (αa + βb) = αf (a) + βf (b).
15
Důsledek 11.1: Platí f (α1 a1 + α2 a2 + ... + αk ak ) = α1 f (a1 ) + α2 f (a2 ) + ... + αk f (ak ). Věta 11.2: Nechť f : U → W je lineární zobrazení. Potom obrazem nulového prvku oU ∈ U je nulový prvek oW ∈ W , tedy f (oU ) = oW . Věta 11.3: Nechť U, W jsou lineární prostory, f : U → W je lineární zobrazení. Označme f (U ) = {y ∈ W : y = f (x), x ∈ U }. Potom f (U ) je podprostor ve W, tj. f (U ) ⊆ W . Definice 11.2: 1. Podprostor f (U ) se nazývá obraz vektorového prostoru U v zobrazení f. 2. Dimenzi f (U ), tj. obrazu vektorového prostoru U v zobrazení f, nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí hodf = dimf (U ). Věta 11.4: Nechť B = hb1 , b2 , ..., bn i je báze vektorového prostoru U a nechť w1 , w2 , ..., wn jsou vektory z W. Pak existuje právě jedno zobrazení f : U → W takové, že f (bi ) = wi , i = 1, 2, ..., n. Říkáme, že toto zobrazení je určeno obrazy vektorů báze. Věta 11.5: Nechť U, V, W jsou lineární prostory nad R a f : U → V , g : V → W jsou lineární zobrazení. Potom složené zobrazení g ◦ f : U → W je také lineární zobrazení. Věta 11.6: Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory. Definice 11.3: Nechť f : U → W je lineární zobrazení. Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f. Kerf = {x ∈ U : f (x) = oW }. Věta 11.7: Nechť f : U → W je lineární zobrazení. Potom jádro tohoto zobrazení je podprostor v U, tj. Kerf ⊆ U . Definice 11.4: Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f. def f = dimKerf . Definice 11.5: Nechť f : U → W je lineární zobrazení, B = hb1 , b2 , ..., bn i je uspořádaná báze vektorového prostoru U a F = hf 1 , f 2 , ..., f m i je uspořádaná báze prostoru W. Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F: f (b1 )
=
a11 f 1 + a12 f 2 + ... + a1m f m
f (b2 )
=
a21 f 1 + a22 f 2 + ... + a2m f m
··· f (bn )
=
an1 f 1 + an2 f 2 + ... + anm f m
16
Matice A =
a11 a21 a12 a22 ··· ··· a1m a2m
· · · an1 · · · an2 ··· ··· · · · anm
se nazývá matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B,F.
Věta 11.8: Nechť f : U → W je lineární zobrazení, B = hb1 , b2 , ..., bn i je uspořádaná báze vektorového prostoru U, F = hf 1 , f 2 , ..., f m i je uspořádaná báze prostoru W a A = (aij ) je matice lineárního zobrazení f vzhledem k bázím B,F. Dále označme y = f (x), kde x ∈ U , x = (x1 , x2 , ..., xn )B a y ∈ W , y = (y1 , y2 , ..., ym )F . Pak platí y TF = A · xTB . Věta 11.9: Nechť jsou dány vektorové prostory U, V, W s uspořádanými bázemi H, F, G. Nechť f : U → V , resp. g : V → W , je lineární zobrazení s maticí A, resp. B. Pak složené zobrazení g ◦ f : U → W má matici BA a platí z TG = B · A · xTH . Pozn.: • Nechť f : M → N , g : N → U , h : U → W jsou lineární zobrazení s maticemi zobrazení A,B,C. Pro skládání zobrazení platí asociativní zákon, tedy h◦(g ◦f ) = (h◦g)◦f . Tato složená zobrazení mají stejnou matici zobrazení C(BA) = (CB)A. • Každou homogenní soustavu m rovnic o n neznámých lze považovat za lineární zobrazení z Vn do Vm . • Každá matice je maticí nějakého lineárního zobrazení. Věta 11.10: Hodnost lineárního zobrazení f : U → W je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení, tj. hodf = dimf (U ) = hodA. Věta 11.11: Nechť f : U → W je lineární zobrazení. Potom platí hodf + def f = dimU (tj. dimf (U ) + dimKerf = dimU ). Věta 11.12: Nechť f : U → W je lineární zobrazení, A je matice tohoto zobrazení vzhledem k bázím B,F, dále G, resp. H, je uspořádaná báze vektorového prostoru U, resp. W. Označme G, resp. H, matici přechodu od báze B k bázi G, resp. od báze F k bázi H. Pak matice (H −1 )T AGT je matice zobrazení f vzhledem k bázím G,H.
12. Prosté lineární zobrazení, izomorfismus Definice 12.1: 1. Lineární zobrazení f : U → W je prosté právě tehdy, když každým dvěma různým vektorům x1 , x2 ∈ U přiřazuje dva různé obrazy f (x1 ), f (x2 ) ∈ W . Tedy x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). 2. Prosté lineární zobrazení se nazývá izomorfní zobrazení.
17
Věta 12.1: Nechť f : U → W je lineární zobrazení. Potom jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1. Zobrazení f je prosté. 2. def f = dimKerf = 0. 3. Obrazem lineárně nezávislých vektorů jsou opět lineárně nezávislé vektory. Věta 12.2: Nechť f : U → W je izomorfní zobrazení. Potom inverzní zobrazení f −1 : W → U je opět izomorfní. Definice 12.2: Izomorfní zobrazení vektorového prostoru U na vektorový prostor W se nazývá izomorfismus U na W. Věta 12.3: Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. Definice 12.3: Říkáme, že lineární prostor U je izomorfní s lineárním prostorem W, existuje-li prosté lineární zobrazení prostoru U na prostor W. Věta 12.4: Dva vektorové prostory jsou izomorfní právě tehdy, když mají stejnou dimenzi. Důsledek 12.1: Izomorfismus f : U → W , kde dimU = dimW = n, zobrazuje bázi hu1 , u2 , ..., un i prostoru U na bázi hf (u1 ), f (u2 ), ..., f (un )i prostoru W. Věta 12.5: Nechť f : U → W je izomorfismus (dimU = dimW ), A je matice tohoto zobrazení vzhledem k bázi B = hb1 , b2 , ..., bn i. Potom matice A je regulární (|A| 6= 0) a inverzní matice A−1 je maticí izomorfismu f −1 . Věta 12.6: Nechť f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) jsou funkce z C(a, b) a nechť existují derivace těchto funkcí do řádu (n-1) včetně. Existuje-li x0 z intervalu (a,b) tak, že f1 (x0 ) f2 (x0 ) ··· fn (x0 ) f 0 (x ) f20 (x0 ) ··· fn0 (x0 ) 1 0 W (x0 ) = 6= 0 ··· ··· ··· ··· (n−1) (n−1) (n−1) f (x0 ) f2 (x0 ) · · · fn (x0 ) 1
potom jsou funkce f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) lineárně nezávislé na intervalu (a,b).
Věta 12.7: Nechť funkce f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) mají v intervalu (a,b) derivace až do řádu (n-1) včetně a nechť jsou na tomto intervalu lineárně závislé. Potom W (x) = 0 pro všechna x z intervalu (a,b). Definice 12.4: Determinant W (x) se nazývá Wronského determinant (wronskián) funkcí f1 (x), f2 (x), ..., fn (x).
18
13. Spektrální vlastnosti matic Nechť A je čtvercová matice řádu n nad R. Hledáme takové vektory x 6= o, pro které platí A·xT = λ·xT , kde λ je komplexní číslo. Protože λ · xT = λ · E · xT , kde E je jednotková matice řádu n, lze rovnost A·xT = λ·xT psát ve tvaru (A·xT −λ·E ·xT ) = oT , tedy (A−λ·E)·xT = oT . Tato rovnice představuje homogenní soustavu n rovnic o n neznámých. Protože hledáme netriviální řešení této soustavy (x 6= o), musí nutně platit |A − λ · E| = 0. |A − λ · E| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . charakteristický polynom, |A − λ · E| = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . charakteristická rovnice, λ (kořen charakteristické rovnice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . charakteristické (vlastní) číslo, x 6= o z rovnice (A − λ · E) · xT = oT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . charakteristický (vlastní) vektor, množinu všech charakteristických čísel nazýváme spektrum matice A Charakteristická rovnice je algebraická rovnice n-tého stupně. Jejím řešením určíme spektrum. Ke každému charakteristickému číslu pak vypočítáme jeho charakteristický vektor. Je-li λ komplexní číslo, pak příslušný charakteristický vektor je uspořádaná n-tice komplexních čísel. Věta 13.1: Je-li A čtvercová matice řádu n a p(λ) její charakteristický polynom, potom p(A) = 0 (nulová matice řádu n). Tedy každá matice A je kořenem svého charakteristického polynomu. Věta 13.2: Nechť λ1 , λ2 , ..., λs jsou navzájem různá vlastní čísla matice A řádu n a n1 , n2 , ..., ns jsou násobnosti těchto čísel. Pak platí: 1. n1 + n2 + ... + ns = n 2. n1 λ1 + n2 λ2 + ... + ns λs = a11 + a22 + ... + ann (stopa matice A) 3. λn1 1 λn2 2 · · · λns s = |A| Definice 13.1: Násobnost vlastního čísla λ matice A řádu n se nazývá algebraická násobnost čísla λ. Číslo (n − h), kde h = hod(A − λ · E), se nazývá geometrická násobnost čísla λ. Věta 13.3: Všechny vlastní vektory příslušné k témuž reálnému vlastnímu číslu, doplněné nulovým vektorem, tvoří vektorový podprostor s dimenzí rovnou geometrické násobnosti tohoto čísla. Věta 13.4: Nechť A je symetrická matice řádu n nad R. Pak všechny kořeny charakteristické rovnice |A−λ·E| = 0 jsou reálná čísla a algebraická násobnost každého vlastního čísla je rovna jeho násobnosti geometrické. Věta 13.5: Nechť A je symetrická matice řádu n nad R a λi , λj její dvě různá vlastní čísla a xi , xj příslušné vlastní vektory. Pak platí xi · xTj = 0. Definice 13.2: Nechť f : V → V je lineární zobrazení. Vlastní vektor x lineárního zobrazení f je takový n e n u l o v ý vektor, pro který platí f (x) = λ · x, kde λ ∈ R. Číslo λ nazýváme vlastním číslem zobrazení f. Pozn.: Je-li matice A maticí lineárního zobrazení f, pak vztah f (x) = λ · x lze psát ve tvaru A · xT = λ · xT . Tedy vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení f jsou shodné s r e á l n ý m i vlastními čísly a vektory matice tohoto zobrazení. 19
Věta 13.6: Charakteristický polynom |A − λ · E| lineárního zobrazení f : V → V nezávisí na volbě uspořádané báze, vzhledem k níž je matice A určena.
14. Podobné matice Definice 14.1: Nechť A,B jsou čtvercové matice řádu n. Pokud existuje regulární matice P tak, že B = P −1 · A · P , řekneme, že matice B je podobná matici A (A ∼ = B). Věta 14.1: 1. Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. 2. Podobné matice mají stejné determinanty. 3. Podobné matice mají stejnou hodnost. Věta 14.2: 1. Nemají-li matice A,B stejný charakteristický polynom, pak nejsou podobné. 2. Je-li |A| = 6 |B|, potom matice A,B nejsou podobné. Věta 14.3: Matice A,B jsou podobné právě tehdy, když hod(A − λi E)j = hod(B − λi E)j , i = 1, 2, ..., s, j = 1, 2, ..., pi − 1, pi - násobnost daného λi , kde λ1 , λ2 , ..., λs jsou navzájem různá vícenásobná vlastní čísla matic A,B. Věta 14.4: Čtvercová matice A řádu n je podobná s diagonální maticí D právě tehdy, když má matice A n lineárně nazávislých vlastních vektorů. Pak platí λ1 0 · · · 0 0 λ 0 2 ··· D = P −1 AP = , kde λi , i = 1, 2, ..., n, jsou vlastní čísla matice A (ne nutně ··· ··· ··· ··· 0 0 · · · λn různá) a sloupce matice P jsou tvořeny lineárně nezávislými vlastními vektory matice A. Věta 14.5:Ortogonální transformace na diagonální tvar Ke každé symetrické matici A řádu n nad R existuje ortogonální matice P a diagonální matice D tak, že platí D = P T AP . Sloupce matice P jsou tvořeny lineárně nazávislými jednotkovými vlastními vektory matice A, diagonála matice D obsahuje vlastní čísla matice A. Definice 14.2: Vztah D = P T AP nazýváme ortogonální transformací matice A na diagonální tvar. Pozn.: 1. Pokud je matice P ortogonální, můžeme rovnost D = P −1 AP přepsat na tvar D = P T AP . 2. Má-li matice A všechna vlastní čísla navzájem různá, pak sloupce matice P jsou tvořeny přímo jednotkovými vlastními vektory, které přísluší jednotlivým vlastním číslům. Tyto vektory jsou navzájem kolmé, tvoří tedy ortonormální bázi. Či-li, pokud z vektorů ortonormální báze vytvoříme matici tak, že je dáme do sloupců, dostaneme ortogonální matici. 3. Nechť má matice A vlastní čísla λ1 , λ2 , ...., λs s násobnostmi n1 , n2 , ...ns . Pak platí n1 + n2 + ... + ns = n. Každému číslu λi odpovídá ni lineárně nezávislých vlastních vektorů. Tyto vektory lze Gram-Schmidtovým procesem ortogonalizovat a potom postupným vydělením jejich velikostmi dostaneme vektory jednotkové.
20
4. Je-li u některého vlastního čísla geometrická násobnost menší než násobnost algebraická, pak nelze najít n lineárně nezávislých vlastních vektorů a matici A nelze převést na diagonální tvar.
15. Lineární formy Definice 15.1: Lineární zobrazení c : V → R, tj. vektorového prostoru V do množiny reálných čísel, nazýváme lineární formou na V. Nechť B = hb1 , b2 , ..., bn i je uspořádaná báze a x = (x1 , x2 , ..., xn )B . Platí c(x) = c(x1 b1 + x2 b2 + ... + xn bn ) = x1 c(b1 ) + x2 c(b2 ) + ... + xn c(bn ) = x1 c1 + x2 c2 + ... + xn cn , kde ci = c(bi ), i = 1, 2, ..., n. Označíme-li C = (c1 , c2 , ..., cn ), pak můžeme psát c(x) = C · xTB , kde C je matice lineární formy vzhledem k uspořádané bázi B. Tato matice je určena jednoznačně. Věta 15.1: změna matice lineární formy při změně báze Nechť B = hb1 , b2 , ..., bn i a F = hf 1 , f 2 , ..., f n i jsou dvě uspořádané báze, matice F je matice přechodu od B k F, tedy xB = xF · F , a C je matice lineární formy c vzhledem k bázi B. Pak c(x) = C ·xTB = C ·(xF ·F )T = C ·F T ·xTF , tedy D = C ·F T je matice lineární formy c vzhledem k bázi F. Věta 15.2: Lineární forma přiřazuje vektoru x stejné hodnoty nezávisle na tom, ke které bázi je vyjádřena matice této formy.
16. Bilineární formy Definice 16.1: Bilineární formou b na vektorovém prostoru V rozumíme zobrazení b : V × V → R, které má pro každé x, y, z ∈ V a pro každé α, β ∈ R tyto vlastnosti: 1. b(αx + βy, z) = αb(x, z) + βb(y, z) 2. b(x, αy + βz) = αb(x, y) + βb(x, z).
21
Definice 16.2: Nechť b je bilineární forma na V, dimV = n, G = hg 1 , g 2 , ..., g n i je uspořádaná báze ve V, x = (x1 , x2 , ..., xn )G a y = (y1 , y2 , ..., yn )G . Potom b(x, y) = xG · B · y TG , kde matice B je tvořena prvky bij , pro které platí bij = b(g i , g j ), i, j = 1, 2, ..., n. Matice B je matice bilineární formy b vzhledem k bázi G. Matice B bilineární formy vzhledem k uspořádané bázi G je určena jednoznačně. Věta 16.1: Nechť B je matice bilineární formy b vzhledem k uspořádané bázi G a F je matice přechodu od uspořádané báze G k uspořádané bázi F. Potom matice D = F BF T je matice bilineární formy b vzhledem k bázi F. Definice 16.3: Bilineární formu b na V nazýváme * symetrickou, je-li b(x, y) = b(y, x) * antisymetrickou, je-li b(x, y) = −b(y, x) pro každé x, y ∈ V . Věta 16.2: Bilineární forma b je symetrická, resp. antisymetrická, právě tehdy, když její matice je symetrická, resp. antisymetrická. Nechť b je bilineární forma na V. Potom bs (x, y) = 12 [b(x, y) + b(y, x)] je symetrická bilineární forma a ba (x, y) = 12 [b(x, y) − b(y, x)] je antisymetrická bilineární forma. Důsledek 16.1: bs (x, y) + ba (x, y) = b(x, y), kde bs (x, y) je symetrická část, ba (x, y) je antisymetrická část formy b. Pro matice těchto bilineárních forem platí Bs = 21 (B + B T ) a Ba = 12 (B − B T ), tedy B = Bs + Ba . Definice 16.4: Hodnost matice bilineární formy nazýváme hodnost bilineární formy.
17. Kvadratické formy Definice 17.1: Nechť b(x, y) je symetrická bilineární forma na V. Potom zobrazení q : V → R, kde q(x) = b(x, x) pro každé x ∈ V , se nazývá kvadratická forma na V. Maticí kvadratické formy nazveme matici přidružené symetrické bilineární formy. Hodnost matice kvadratické formy nazveme hodností kvadratické formy. Věta 17.1: Každé symetrické bilineární formě b na V je přiřazena právě jedna kvadratická forma q na V a naopak. Věta 17.2: Nechť A je matice kvadratické formy q vzhledem k uspořádané bázi G a F je matice přechodu od báze G k uspořádané bázi F. Potom matice D = F AF T je matice kvadratické formy q vzhledem k bázi F. Věta 17.3: Nechť na vektorovém prostoru V dimenze n (n > 1) je dána kvadratická forma q(x). Pak existuje uspořádaná báze U = hu1 , u2 , ..., un i taková, že vzhledem k ní má kvadratická forma tvar q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + ... + λn x2n , kde alespoň jedno λi 6= 0. 22
Definice 17.2: Uspořádaná báze U = hu1 , u2 , ..., un i, vzhledem k níž má kvadratická forma tvar q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + ... + λn x2n , se nazývá polární báze. Tento zápis kvadratické formy nazýváme kanonickým tvarem kvadratické formy. Transformace kvadratické formy na kanonický tvar: q(x) = xG · A · xTG . Potom vhodnou transformací xG = xU · P , kde P je matice přechodu od báze E k bázi U, dostaneme q(x) = xU · P AP T · xTU , kde P AP T je diagonální matice a kvadratická forma má tedy vzhledem k bázi U kanonický tvar. Řádky matice P jsou tvořeny lineárně nezávislými jednotkovými vlastními vektory matice A. Tyto vektory tvoří polární bázi U. Definice 17.3: I) Definitní kvadratické formy 1. Kvadratická forma q(x) na V je pozitivně definitní, je-li q(x) > 0 pro všechna x 6= o. 2. Kvadratická forma q(x) na V je negativně definitní, je-li q(x) < 0 pro všechna x 6= o. II) Semidefinitní kvadratické formy 1. Kvadratická forma q(x) na V je pozitivně semidefinitní, je-li q(x) ≥ 0 pro všechna x 6= o, přičemž existují vektory x 6= o, pro něž q(x) = 0. 2. Kvadratická forma q(x) na V je negativně semidefinitní, je-li q(x) ≤ 0 pro všechna x 6= o, přičemž existují vektory x 6= o, pro něž q(x) = 0. III) Indefinitní kvadratické formy Kvadratická forma q(x) na V je indefinitní, existují-li vektory x, y ∈ V takové, že q(x) > 0∧q(y) < 0. Definice 17.4: Nechť kvadratická forma q(x) na vektorovém prostoru V je vzhledem k uspořádané polární bázi U = hu1 , u2 , ..., un i určena vztahem q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + ... + λn x2n . Označme p počet kladných koeficientů λi > 0, r počet záporných koeficientů λi < 0. Potom uspořádanou dvojici (p,r) nazveme signaturou kvadratické formy q(x). Věta 17.4: Kvadratická forma q(x) na V má vzhledem ke každé polární bázi tutéž signaturu, tj. se změnou polární báze se nemění počet kladných a záporných koeficientů v rovnici q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + ... + λn x2n . Věta 17.5: Nechť q(x) je kvadratická forma na V, kde dimV = n. Pak platí: 1. q(x) je pozitivně definitní právě tehdy, když je její signatura rovna (n, 0). 2. q(x) je negativně definitní právě tehdy, když je její signatura rovna (0, n). 3. q(x) je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (p, 0), kde p < n. 4. q(x) je negativně semidefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (0, r), kde r < n. 5. q(x) je indefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (p, r), kde p < n, r < n, p + r ≤ n.
23
Sylvestrovo kvadratických forem: kritérium pro klasifikaci a11 a12 · · · a1n a 12 a22 · · · a2n Nechť A = je matice kvadratické formy q(x) na V. Označme ··· ··· ··· ··· a1n a2n · · · ann a 11 a12 a13 a 11 a12 D1 = a11 , D2 = , D3 = a12 a22 a23 ,. . ., Dn = |A|. a12 a22 a13 a23 a33 D1 , D2 , ..., Dn se nazývají hlavní determinanty. 1) Je-li Di > 0 pro všechna i = 1, 2, ..., n, tj. všechny hlavní determinanty jsou kladné, pak kvadratická forma q(x) je pozitivně definitní. 2) Je-li sgnDi = (−1)i pro všechna i = 1, 2, ..., n, tj. znaménka hlavních determinantů se střídají, přičemž Di < 0, pak kvadratická forma q(x) je negativně definitní. 3) Je-li Di 6= 0 pro všechna i = 1, 2, ..., n a alespoň jeden hlavní determinant má jiné znaménko než je uvedeno v bodech 1) a 2), pak je kvadratická forma q(x) indefinitní. Definice 17.5: Skalárním součinem na V nazveme každou symetrickou bilineární formu b na V, jejíž přidružená kvadratická forma je pozitivně definitní. Definice 17.6: Pro matici symetrické bilineární formy b vzhledem k uspořádané bázi G = hg 1 , g 2 , ..., g n i platí bij = b(g i , g j ) = g i · g j . Tato matice se nazývá maticí skalárního součinu nebo Gramovou maticí.
24
Definice:
Definice:
Definice:
Definice:
25
