:00 AM OPEN JOURNAL SYSTEMS. Journal Help USER. Username

E-Jurnal Matematika

1 of 5

http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index

E-Jurnal Matematika OPEN JOURNAL SYSTEMS

Journal Help

U SE R Username Password Remember me Log In

N OT IF ICATIO N S View Subscribe / Unsubscribe

JO U R N A L CO N TE N T S e ar ch

All Search

B ro w se By Issue By Author

11/25/2015 12:00 AM

E-Jurnal Matematika

2 of 5


By Title Other Journals

FO N T S IZ E

IN F O RM ATIO N For Readers For Authors For Librarians

HOME

ABOUT

TEAM

CONTACT

LOG IN

REGISTER

Home

SEARCH

>

CURRENT

ARCHIVES

EDITORIAL

Vol 4, No 4 (2015)

E-Jurnal Matematika merupakan salah satu jurnal elektronik yang ada di Universitas Udayana, sebagai media komunikasi antar peminat di bidang ilmu matematika dan terapannya, seperti statistika, matematika finansial, pengajaran matematika dan terapan matematika dibidang ilmu lainnya. Jurnal ini lahir sebagai salah satu bentuk nyata peran serta jurusan Matematika FMIPA UNUD guna mendukung percepatan tercapainya target mutu UNUD, selain itu jurnal ini terbit didorong oleh surat edaran Dirjen DIKTI tentang syarat publikasi karya ilmiah bagi program Sarjana di Jurnal Ilmiah. E-jurnal Matematika juga menerima hasil-hasil penelitian yang tidak secara langsung berkaitan dengan tugas akhir mahasiswa meliputi penelitian

11/25/2015 12:00 AM

E-Jurnal Matematika

3 of 5


atau artikel yang merupakan kajian keilmuan.

11/25/2015 12:00 AM

E-Jurnal Matematika

4 of 5


KLASIFIKASI KARAKT ERISTIK KECELAKAAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN PENDEKATAN

PDF

CLASSIFICATION AND REGRESSION T REES (CART)

I GEDE AGUS JIWADIANA, I KOMANG GDE SUKARSA, I GUSTI AYU MADE SRINADI MENENT UKAN FORMULA PREMI TAHUNAN TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI JOINT LIFE

I GEDE BAGUS PASEK SUBADRA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA

146-151 PDF

152-157

NILAKUSMAWATI OPTIMALISASI PENJUALAN KAIN ENDEK DENGAN MET ODE KARUSH- KUHN-T UCKER (KKT )

I GEDE ARIS JANOVA PUTRA, NI MADE ASIH, I NYOMAN WIDANA MET ODE QUEST DAN CHAID PADA KLASIFIKASI KARAKTERIST IK NASABAH KREDIT

NUR FAIZA, I WAYAN SUMARJAYA, I GUSTI AYU MADE SRINADI MODEL PERSAMAAN STRUKT URAL TINGKAT KEPUASAN MASYARAKAT T ERHADAP KUALITAS PELAYANAN

PDF

158-162 PDF

163-168 PDF

JALAN TOL BALI MANDARA

I PUTU AGUS WIDHIANTARA, I KOMANG GDE SUKARSA, I PUTU EKA N. KENCANA EST IMASI MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK MENGGUNAKAN ESTIMATOR KERNEL UNIFORM (St udi

169-175 PDF

Kasus: Pasien DBD di RS Puri Raharja)

ANNA FITRIANI, I GUSTI AYU MADE SRINADI, MADE SUSILAWATI

176-180

11/25/2015 12:00 AM

E-Jurnal Matematika

5 of 5


PERBANDINGAN CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) DAN THREE FACT ORS MODEL FAMA AND

PDF

FRENCH (T FMFF) DALAM MENGEST IMASI RET URN SAHAM

KADEK MIRA PITRIYANTI, KOMANG DHARMAWAN, G.K. GANDHIADI

181-187

EST IMASI NILAI CONDIT IONAL VALUE AT RISK MENGGUNAKAN FUNGSI GAUSSIAN COPULA

PDF

HERLINA HIDAYATI, KOMANG DHARMAWAN, I WAYAN SUMARJAYA

188-194

MENENT UKAN PREMI TAHUNAN UNT UK TIGA ORANG PADA ASURANSI JIWA HIDUP GABUNGAN (JOINT

PDF

LIFE)

TRI YANA BHUANA, I NYOMAN WIDANA, LUH PUTU IDA HARINI

195-200

OPTIMALISASI PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN PREEMPTIVE GOAL PROGRAMMING (STUDI KASUS: UD.

PDF

DODOL MADE MERTA TEJAKULA, SINGARAJA)

NI PUTU DEVIYANTI, NI KETUT TARI TASTRAWATI, I WAYAN SUMARJAYA

This work is licensed under a

Creative Commons Att ribut ion 4.0 International Lic ense .

201-207

ISSN: 2303-1751

11/25/2015 12:00 AM

Editorial Team

1 of 3

http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam

E-Jurnal Matematika OPEN JOURNAL SYSTEMS

Journal Help

US ER Username Password Remember me Log In

NOTI F I C ATI O NS View Subscribe / Unsubscribe

JOUR NA L C ON TE NT S ear ch

All Search

Bro w se By Issue By Author By Title Other Journals

11/25/2015 12:03 AM

Editorial Team

2 of 3


F ONT S I ZE

I NF OR MAT IO N For Readers For Authors For Librarians

HOME

ABOUT

TEAM

CONTACT

LOG IN

REGISTER

Home

Desak Put u Eka Nilakusumawat i,

I Made Eka Dwipayana ,

>

SEARCH

About the Journal

CURRENT

>

ARCHIVES

Editorial Team

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia

Dr. Tjokorda Bagus Oka ,


Dr. Komang Dharmawan,


Drs. GK Gandhiadi,

EDITORIAL


Ir. I Komang Gde Sukarsa ,


11/25/2015 12:03 AM

Editorial Team

3 of 3


Ir. I Put u Eka Nila Kenc ana , I Gust i Ayu Made Srinadi, Made Susilawat i,




This work is licensed under a

Creat ive Commons At t ribut ion 4.0 Int ernat ional Lic ense .

ISSN: 2303-1751

11/25/2015 12:03 AM

E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 146-151

ISSN: 2303-1751

KLASIFIKASI KARAKTERISTIK KECELAKAAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN PENDEKATAN CLASSIFICATION AND REGRESSION TREES (CART) I Gede Agus Jiwadiana§1, I Komang Gde Sukarsa2, I Gusti Ayu Made Srinadi3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT The aim of this research is to determine the classification characteristics of traffic accidents in Denpasar city in January-July 2014 by using Classification And Regression Trees (CART). Then, for determine the explanatory variables into the main classifier of CART. The result showed that optimum CART generate three terminal node. First terminal node, there are 12 people were classified as heavy traffic accident characteritics with single accident, and second terminal nodes, there are 68 people were classified as minor traffic accident characteristics by type of traffic accident front-rear, frontfront, front-side, pedestrians, side-side and location of traffic accident in district road and sub-district road. For third terminal node, there are 291 people were classified as medium traffic accident characteristics by type of traffic accident front-rear, front-front, front-side, pedestrians, side-side and location of traffic accident in municipality road and explanatory variables into the main splitter to make of CART is type of traffic accident with maximum homogeneity measure of 0.03252. Keywords: CART, traffic accident, terminal node

1. PENDAHULUAN Umumnya masalah klasifikasi diselesaikan dengan menggunakan metode regresi logistik dan analisis diskriminan (Lusyanti [1]). Analisis diskriminan memerlukan asumsi multivariate normal dan varians kovarians sama, sedangkan metode regresi logistik tidak memerlukan kedua asumsi tersebut. Metode ini memerlukan data yang lengkap, dan sensitif terhadap outlier. Salah satu metode alternatif masalah klasifikasi yang lebih longgar atau tidak terikat oleh asumsi-asumsi dan tidak berbentuk probabilitas adalah metode klasifikasi berstruktur pohon yang diperkenalkan oleh Breimen, L., Friedmen, J., Olshen, R., dan Stone, C. pada tahun 1984 yaitu Classification and Regression Trees (CART). Metode CART merupakan alat yang digunakan dalam eksplorasi data nonparametrik yang dapat

digunakan untuk melihat hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas yang berukuran besar dan kompleks (Pratiwi dan Zain [2]). Variabel bersifat kompleks dapat berupa dimensinya yang besar atau jenis variabel bebasnya campuran, misalnya kontinu dan kategorik, baik nominal maupun ordinal. Jika variabel terikatnyanya berupa variabel kontinu maka akan diperoleh model pohon regresi, jika variabel terikatnyanya kategorik maka akan diperoleh model pohon klasifikasi. Model CART dikenal karena kesederhanaan dan efisiensi ketika berhadapan dengan kasus yang jumlah datanya besar. CART diperoleh menggunakan pembagian cepat yang secara rekursif mempartisi data menjadi sub yang lebih kecil. Penelitian menggunakan metode CART sudah pernah dilakukan oleh Suniantara (2008) serta Pratiwi dan Zain [2]. Suniantara (2008)

146

Jiwadiana, I G.A., Sukarsa, I K.G., Srinadi, I G.A.M.

menerapkan metode CART dalam bidang kesehatan yaitu memprediksi berat badan bayi lahir. Penelitian ini menghasilkan model pohon regresi karena variabel terikatnyanya bersifat kontinu. Pratiwi dan Zain [2] meneliti tentang klasifikasi pengangguran terbuka menggunakan CART di Provinsi Sulawesi Utara. Salah satu kasus yang terkait dengan metode CART adalah karakteristik kecelakaan lalu lintas. Pihak kepolisian telah mengumpulkan data kecelakaan lalu lintas setiap harinya sehingga menghasilkan data dalam jumlah yang besar untuk setiap bulannya. Data tersebut berupa data bertipe kategorik. Penelitian tentang kecelakaan lalu lintas pernah dilakukan oleh Afidah [3]. Masalah yang muncul dalam kecelakaan lalu lintas ini adalah pada karakteristik kecelakaan lalu lintas. Karakteristik kecelakaan lalu lintas ini dibagi menjadi tiga kelompok yaitu ringan, sedang, dan berat. Ketiga kelompok tersebut dipengaruhi oleh empat faktor yaitu faktor manusia, kendaraan, jalan, dan alam (lingkungan) (Afidah [3]). Perlu cara untuk mengetahui faktor-faktor apakah yang dapat memengaruhi karakteristik kecelakaan lalu lintas tersebut, sehingga pihak kepolisian dapat mengambil tindakan yang dapat mengurangi kondisi korban. Penelitian tentang kecelakaan lalu lintas pernah dilakukan oleh Afidah [3], meneliti pola tingkat keparahan korban lalu lintas dengan menggunakan regresi logistik multinomial. Permasalahan dalam penelitian adalah bagaimana klasifikasi karakteristik dan variabel apa yang mejadi pemilah utama dalam penentuan klasifikasi karakteristik kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai Juli 2014? Tujuan penelitian adalah untuk mengetahui klasifikasi karakteristik dan variabel yang mejadi pemilah utama dalam penentuan klasifikasi karakteristik kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai Juli 2014.

Klasifikasi Karakteristik Kecelakaan Lalu Lintas…

2. METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari POLRESTA (Kepolisian Resor Kota) tentang data Kecelakaan Lalu Lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai bulan Juli 2014. Gambaran umum variabel terikat dan variabel bebas dalam penelitian dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Gambaran Umum Variabel Terikat dan Variabel Bebas No

Peubah Karakteristik kecelakaan lalu lintas (variabel terikat) Jenis kecelakaan lalu lintas (variabel bebas)

Jenis Diskrit

Kategori 1. Ringan 2. Sedang 3. Berat

Diskrit

3

Waktu (variabel bebas)

Diskrit

4

Lokasi Status jalan (variabel bebas)

Diskrit

5

Jenis kelamin (variabel bebas) Umur(variabel bebas)

Diskrit

1. Tunggal 2. Sampingsamping 3. Depan-samping 4. Depan-depan 5. Depan-belakang 6. Pejalan kaki 1. Lalu lintas padat (antara pukul 06.00 WITA – 08.00 WITA, antara pukul 12.00 WITA – 13.30 WITA, antara pukul 16.00 WITA – 18.00 WITA) 2. Lalu lintas sepi (selain waktu padat) 1. Nasional 2. Provinsi 3. Kabupaten 4. Kodya 5. Kecamatan 1. Laki-laki 2. Perempuan

1

2

6

Kontinu

Penelitian ini dilaksanakan dengan metode studi kasus, yaitu dilakukan dengan menerapkan teori untuk menganalisis data dengan menggunakan program CART Pro EX V6.0.

147


Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1) Penentuan pemilah dan pemilahan secara rekursif pada simpul dengan menggunakan pemilah Indeks Gini yaitu:

it    p j | t  pi | t  j i

i t  adalah nilai indeks gini,

dengan

p j | t  adalah proporsi kelas j pada simpul

t, dan pi | t  adalah proporsi kelas i pada simpul t (Timofeev [4]). Penetapan sebuah simpul sebagai simpul terminal, jika banyak data pada simpul tersebut kurang atau sama dengan 5. 2) Penandaan label kelas simpul yang ditentukan berdasarkan jumlah kelas terbanyak pada simpul. 3) Pemangkasan CART yang dilakukan untuk mendapatkan pohon yang minimum dengan menggunakan persamaan berikut:

R T   RT    T (Proporsi kesalahan pada sub pohon T, 

T

adalah kompleksitas parameter, dan

adalah jumlah simpul terminal pada pohon T (Breimen [5]). 4) Pemilihan CART optimal dengan menggunakan Cross Validation V-Fold Estimate. Amatan dalam L dibagi menjadi V bagian yang saling lepas dengan ukuran kurang lebih sama besar ditiap kelasnya. Learning sample ke-v dengan v=1,2,...,V digunakan untuk membentuk pohon Tk

v 

.

adalah hasil d x  pengklasifikasian, maka penduga sampel uji v 

  adalah: T     N1  X d   x ts

untuk R Tk

R ts

v 

v

v

 xn , jn Lv

n



 jn 

dengan R 3

cv

Tk *   min R cv Tk  . k

HASIL DAN PEMBAHASAN

Objek orang pada penelitian ini adalah data kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari Bulan Januari sampai Bulan Juli 2014. Variabel terikat pada penelitian ini adalah karakteristik kecelakaan lalu lintas, sedangkan variabel bebasnya adalah jenis laka (kecelakaan lalu lintas), waktu, lokasi laka, jenis kelamin, dan umur. Dari 371 data kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar selama tahun 2014, diperoleh gambaran karakteristik kecelakaan lalu lintas yaitu kecelakaan ringan 24% atau 87 orang, kecelakaan sedang sebesar 53% atau 198 orang, dan kecelakaan berat sebesar 23% atau 86 orang.

CART awal dibentuk dengan menggunakan metode pemilahan Indeks Gini. Metode ini memisahkan kelas yang anggota kelasnya terbesar lebih dahulu atau yang merupakan kelas terpenting dalam simpul tersebut. Berikut ini, diberikan kemungkinan pemilah pada masingmasing variabel bebas: 1) Jenis laka  x1  dengan 6 kategori nominal, kemungkinan pemilah 2 61  1  31 2) Waktu  x 2  dengan 2 kategori nominal, mempunyai

2

21

penduga validasi silang lipat V untuk Tk

kemungkinan

pemilah

1  1

3) Lokasi status jalan  x3  dengan 5 kategori nominal, mempunyai kemungkinan pemilah

251  1  15

x4 

dengan 2 kategori

nominal, mempunyai kemungkinan pemilah

Dengan menggunakan amatan induk L untuk membentuk deretan pohon Tk , maka

adalah:

 

1 V ts v   R Tk V v 1

Pohon klasifikasi optimum dipilih Tk *

4) Jenis kelamin

v

k

R cv Tk  

3.1 Pembentukan CART Awal

dengan RT  adalah Resubtitution Estimate

Misal

ISSN: 2303-1751

v 

2 21  1  1 Umur  x5  merupakan data kontinu. Dari 371 orang, terdapat n nilai amatan berbeda, maka terdapat n-1 kemungkinan pemilah. Pemilah yang memberikan nilai indeks gini tertinggi adalah pemilah terbaik yang digunakan

148



sebagai pemilah pertama dalam pembentukan pohon. Dari lima variabel bebas, pemilahan pertama kali dilakukan terhadap simpul akar/utama yang didasarkan pada jenis laka dengan nilai indeks gini 0,03252. Nilai indeks gini masing-masing variabel ditampilkan dalam Tabel 2.

Tabel 2. Nilai Indeks Gini Variabel Pemisah bebas Jenis depan1 Laka belakang, depan-depan, depansamping, pejalan kaki, sampingsamping Lokasi Jalan 2 Laka Kabupaten, Jalan Kecamatan, Jalan Kodya Jenis 3 Perempuan Kelamin 4 Umur 39.50000 5 Waktu Padat

Indeks gini

N kiri

0,03252 359

N kanan 12

orang. Sedangkan dari 12 orang pada simpul kanan tersebut hanya terdapat 12 orang dengan karakteristik kecelakaan berat. Selanjutnya simpul dua dipilah berdasarkan lokasi laka, dan seterusnya muncul variabel-variabel bebas jenis kelamin, umur, dan waktu laka. Secara umum semua variabel bebas muncul sebagai pemilah. Penghentian pembentukan CART dilakukan ketika banyaknya amatan pada simpul kurang dari 5 atau dalam simpul terdapat amatan yang homogen. Maka didapatkan CART awal dengan 42 simpul terminal. 3.2 Pemangkasan Pohon

0,02304 277

94

0,01267 123

248

0,00566 270 0,00554 97

101 274

Peubah jenis laka terpilih sebagai pemilah utama karena memberikan nilai indeks gini tertinggi dari variabel lain. Dengan kata lain bahwa, variabel bebas jenis laka merupakan peubah utama yang berperan penting dalam pembentukan CART. Pemilahan ini memisahkan simpul utama menjadi kelompok jenis kecelakaan depanbelakang, depan-depan, depan-samping, pejalankaki, samping-samping, dan kelompok jenis kecelakaan tunggal. Hasil pemilahan pada simpul ini, jumlah objek sebelah kiri sebanyak 359 orang dan sebelah kanan sebanyak 12 orang. Dari 359 orang tersebut, terdapat karakteristik kecelakaan berat sebesar 74 orang, kecelakaan ringan 87 orang, dan kecelakaan sedang 198

Hasil dari pembentukan CART dengan metode pemilahan Indeks Gini berukuran sangat besar yaitu 42 simpul. Ukuran pohon yang besar ini dapat menimbulkan overfitting. Untuk mengatasinya maka dicari pohon dugaan yang yang layak dengan memangkas pohon tersebut. Pemangkasan CART merupakan suatu upaya untuk menentukan ukuran CART yang terbaik bagi CART yang terbentuk. Proses pemangkasan pohon dilakukan apabila memenuhi persamaan Rt   R t left  R t right ,

  



maka t right dan t left dipangkas. Berdasarkan perhitungan program yang digunakan diperoleh 18 sub pohon yang dihasilkan dari proses pemangkasan. Setelah CART dipangkas, ditentukan CART optimum menggunakan penduga silang lipat V (Cross Validation V-Fold Estimate). CART optimum didapatkan berdasarkan nilai R cv minimum yaitu 0,83540+/-0,03440 atau 0,80100≤ R cv ≤0,86980 dengan parameter   0,020682. Berdasarkan kompleksitas kriteria ini, didapatkan CART optimum dengan tiga simpul akhir. Letak pemangkasan CART tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.

149


ISSN: 2303-1751

Tabel 3. Letak Pemangkasan CART Pohon

Jumlah simpul terminal

Cross-Validated Relative Cost (biaya kesalahan)

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19** 20

42 15 14 13 9 8 7 6 5 3 1

0,91886 +/- 0,04079 0,87560 +/- 0,04126 0,89038 +/- 0,04101 0,89474 +/- 0,04107 0,85753 +/- 0,04151 0,85646 +/- 0,04143 0,85240 +/- 0,04070 0,85310 +/- 0,04058 0,84997 +/- 0,03953 0,83540 +/- 0,03440 1,00000 +/- 0,00003

Berdasarkan minimum sebesar R cv 0,83540+/-0,03440 diperoleh CART optimum dari proses pemangkasan dengan simpul-simpul terminal yang dihasilkan dan digambarkan pada Gambar 1. Node 1 Kelas = sedang N = 371

Node 2 Kelas = sedang N = 359

Node 1 Kelas = ringan N = 68

Node 3 Kelas = berat N = 12

Node 2 Kelas = sedang N = 291

Resubtitution Relative Cost (penduga pengganti) 0,48357 0,59757 0,60893 0,62069 0,67477 0,68998 0,71065 0,73220 0,75824 0,82025 1,00000

komplesitas parameter 0,000000 0,005648 0,007584 0,007851 0,009023 0,010150 0,013791 0,014379 0,017367 0,020682 0,059926

1. Simpul terminal pertama, terdiri dari 12 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas berat dengan jenis laka tunggal. 2. Simpul terminal kedua, terdiri dari 68 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas ringan dengan jenis laka depan-belakang, depandepan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kabupaten, jalan Kecamatan. 3. Simpul terminal ketiga, terdiri dari 291 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas sedang dengan jenis laka depan-belakang, depandepan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kodya. 4. KESIMPULAN

Gambar 1. CART Optimum dengan Tiga Simpul Terminal Dalam proses pemangkasan berdasarkan

R

cv

minimum, didapatkan CART dengan tiga simpul terminal. Dengan peubah yang masuk dalam CART tersebut adalah jenis laka dan lokasi laka. Jenis laka menjadi pemilah utama dalam pembentukan CART. Ketiga simpul terminal yang dihasilkan dapat diuraikan sebagai berikut:

Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa CART optimum yang terbentuk menghasilkan tiga simpul terminal yaitu simpul terminal pertama, terdiri dari 12 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas berat dengan jenis laka tunggal, simpul terminal kedua, terdiri dari 68 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas ringan dengan jenis laka depan-belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kabupaten, jalan Kecamatan, serta Simpul

150


terminal ketiga, terdiri dari 291 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas sedang dengan jenis laka depanbelakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan kodya dan variabel bebas yang menjadi pemilah utama dalam pembentukan CART adalah jenis laka dengan nilai indeks gini 0,03252. Daftar Pustaka [1] Lusyanti, Merlina. 2010. Perbandingan Metode Regresi Logistik Dengan Metode Pohon Klasifikasi Pada Data Polikotomus (Studi Kasus Pada Faktor Yang Berpengaruh Terhadap Keberhasilan Pengobatan Akupuntur Pada Penderita Obesitas Di LP3A Surabaya). Skripsi. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember (tidak dipublikasikan).


[2] Pratiwi, F. E., dan Zain, I. 2014. Klasifikasi Pengangguran Terbuka Menggunakan CART (Classification and Regression Tree) di Provinsi Sulawesi Utara. Sains dan Seni Pomit, Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [3] Afidah, L. N. 2011. Pola Tingkat Keparahan Korban Kecelakaan Lalu Lintas dengan Menggunakan Regresi Logistik Multinomial (Studi Kasus Kecelakaan Lalu Lintas di Surabaya). Skripsi. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember (tidak dipublikasikan). [4] Timofeev, R. 2004. Classification and Regression Trees (CART) Theory and Applications. Berlin: Center of Applied Statistics and Economics Humboldt University. [5] Breimen, L. F. 1984. Classification and Regression Tree. New York: Chapman And Hall.

151


ISSN: 2303-1751

MENENTUKAN FORMULA PREMI TAHUNAN TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI JOINT LIFE I Gede Bagus Pasek Subadra§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT The aim of this research was to determine the annual premium formula that turns on the joint life insurance. This formula uses the reference insurance contracts of the previous research Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefits. The first step is to determine the value of mortality tables by using the Table Helligman-pollard. Furthermore, determining the value of a life annuity and single premium. The results of this research was formula to be affected by the changing premium ( ) with the increase and decrease in constant interest. Keywords: The Annual Premium, The Annual Premium Turned, Joint Life Insurance, α. 1. PENDAHULUAN Pada kebutuhan hidup berkeluarga tentunya sebagai seorang kepala keluarga ingin sekali berusaha untuk menjamin kesejahteraan keluarganya. Kesejahteraan tersebut akan terganggu apabila kepala keluarga jatuh sakit, cacat ataupun meninggal dunia. Sebagian dari jaminan kesejahteraan dapat diperoleh apabila kepala keluarga mengasuransikan dirinya agar kesejahteraan hidup keluarga dapat terpenuhi (Sembiring [5]). Kesejahteraan tersebut dapat terpenuhi apabila kepala keluarga tersebut mengikuti asuransi. Sampai saat ini ada berbagai jenis kontrak asuransi, yaitu asuransi individu atau asuransi untuk satu orang dan asuransi bersama atau asuransi minimal dua orang. Asuransi jiwa merupakan salah satu instrumen yang dapat digunakan untuk memindahkan resiko, dimana apabila terjadi resiko kematian pada seseorang maka ahli warisnya akan memperoleh sejumlah dana yang disebut uang pertanggungan atau santunan. Sebagai konsekuensinya peserta asuransi diwajibkan untuk membayar sejumlah uang

kepada perusahaan asuransi jiwa setiap jangka waktu tertentu, yang biasa disebut premi. Perusahaan asuransi jiwa merupakan perusahaan yang memberikan jasa dalam penanggulangan risiko yang dikaitkan dengan hidup atau meninggalnya seseorang yang dipertanggungkan. Suatu perusahaan asuransi jiwa tidak menutup kemungkinan untuk menawarkan produk asuransi kepada peserta yang ingin melakukan asuransi jiwa secara bersama atau asuransi joint life. Asuransi joint life adalah suatu keadaan di mana aturan hidup dan matinya merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya suami-istri, orangtuaanak, suami-istri-anak, dan lain sebagainya (Futami [3]). Peserta yang mengikuti asuransi joint life wajib membayar suatu kewajiban (premi) setiap tahunnya sesuai dengan kontrak. Dilihat dari besarnya pembayaran premi, ada dua jenis pembayaran premi, yaitu pembayaran premi standar/konstan dan pembayaran premi yang berubah atau premi tidak konstan. Untuk pembayaran premi standar/konstan setiap tahun besar pembayarannya selalu sama sedangkan jika setiap tahun besar pembayaran preminya berubah maka disebut asuransi dengan 152

Subadra, I G.B.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.

pembayaran premi yang berubah atau premi tidak konstan. Hal ini juga perlu dilakukan mengingat besarnya penghasilan masyarakat tidak selalu tetap. Pada penelitian ini akan dilakukan bagaimana menentukan formula premi tahunan tidak konstan pada asuransi joint life.

Menentukan Formula Premi Tahunan Tidak Konstan pada…

pembayarannya ada yang dilakukan di awal tahun (Futami [2]) dapat dirumuskan sebagai | ̈

Tabel 2.1. Nilai Konstan dari Formula Helligman-Pollard

2. METODE PENELITIAN Pada penelitian ini digunakan kontrak asuransi yang terdiri dari pasangan suami-istri, apabila peserta berusia x tahun dan y tahun tetap hidup mencapai kontrak asuransi berakhir atau dengan kata lain peserta mencapai usia dan , maka peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q. Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak misalnya apabila y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka x mulai tahun ke-n selama seumur hidup setiap tahunnya mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar , demikian juga sebaliknya apabila x meninggal dunia maka y akan mendapat uang pertanggungan (benefit) sebesar . Apabila kematian dari pasangan juga terjadi (x dan y meninggal) sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematiannya (Futami [2]). Perbandingan antara peluang meninggalnya peserta x tahun sebelum mencapai usia tahun dengan peluang peserta x tahun tetap bertahan hidup selama 1 tahun (Matvejevs & Matvejevs [4]) dapat dirumuskan sebagai (

)

*

(

) +

dengan merupakan nilai kostanta dari Tabel 2.1. Peluang orang berusia x tahun akan tetap hidup selama n tahun dan y tahun akan tetap hidup selama n tahun dinotasikan dengan (Futami, [3]) dirumuskan sebagai Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan dilakukan selang beberapa waktu kemudian disebut anuitas tunda. Anuitas yang ditunda

Konstan A B

Pria 0.00194 0.05093

Wanita 0.00115 0.03310

C

0.14249

0.12811

D

0.00607

0.00029

E

1.61992

23.44606

F

57.83349

21.11713

G

0.00005

0.00006

H

1.10715

1.09116 , -).

(

Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap hidup (Matvejevs & Matvejevs [4]) dirumuskan sebagai ̈

⌉

Besar premi ditentukan dengan prinsip ekuivalensi dan mempunyai persamaan ( ) dengan L menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung yang didefinisikan sebagai variabel random dari nilai tunai benefit yang dibayarkan pihak penanggung. Premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang dilakukan pada waktu kontrak asuransi disetujui, selanjutnya tidak ada pembayaran lagi. Premi tunggal pure endowment adalah pembayaran premi pada suatu kontrak asuransi jiwa yang dibayarkan pemegang polis, mulai dari saat kontrak dimulai sampai dengan jangka waktu tertentu (Eric V. Slud [1]). Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung n tahun (Futami [3]) dirumuskan sebagai ̅̅̅|

Asuransi berjangka adalah suatu asuransi apabila pemegang polis mulai disetujuinya kontrak asuransi sampai dengan jangka waktu tertentu (meninggal) sebelum masa kontrak selesai maka akan dibayarkan uang

153


pertanggungannya (Matvejevs & Matvejevs [4]). Premi tunggal asuransi berjangka joint life dirumuskan sebagai ∑

⌉

(

ISSN: 2303-1751

Sehingga besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi adalah

)

| ̈

̅̅̅|

̈

Usia tertanggung x tahun dan y tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan 1, meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan 2, dan seterusnya. Setiap tahun apabila meninggal besarnya uang pertanggungan selalu bertambah 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menaik. Untuk masa pertanggungan selama n tahun, uang pertanggungan dibayarkan pada akhir masa pertanggungan, single preminya dinotasikan dengan ( ) ⌉ (Futami [3]) dan dirumuskan sebagai (

)

⌉

∑

(

)

(

)

2. Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai ∑∑

|

|

(

∑∑ | ̈

̅̅̅|

)

⌉

| ̈ (

⌉

)

3. Dengan menggunakan prinsip ekuivalensi, besar preminya adalah ̈

⌉

)

(

⌉

HASIL PENELITIAN DAN DISKUSI

3.1 Premi Konstan Nilai premi tahunan konstan pada asuransi joint life sudah dicari dengan menggunakan rumus persamaan (2.3). dengan menggunakan

Sehingga diperoleh

3.2 Formula Premi Tahunan Tidak Konstan

(

)

(

)

Sehubungan dengan asuransi tersebut maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat (Matvejevs & Matvejevs [4]) dirumuskan sebagai 1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai

(

3.

⌉

| ̈

̅̅̅|

| ̈

| ̈ (

)

⌉

Kontrak asuransi melibatkan pasangan suami-istri dengan usia berturut-turut x tahun dan y tahun. Pembayaran premi dilakukan n tahun selama keduanya masih hidup. Besarnya pembayaran premi selalu berubah setiap tahunnya tergantung tingkat bunga menurun atau menaik yang digunakan ( ). Misalkan P pembayaran yang dilakukan di tahun pertama, merupakan pembayaran di tahun kedua, dan seterusnya sampai tahun ke-n yang pembayarannya adalah ( ) . Rincian dari uang pertanggungan (benefit) adalah 1. Setelah n tahun apabila kedua peserta (x dan y) masih tetap hidup mereka akan mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q rupiah. Dengan demikian kontrak asuransi ini berakhir. 2. Jika salah satu dari pasangan ini meninggal dunia, misalkan y meninggal dunia, maka ada dua kemungkinan untuk pembayaran benefitnya, yaitu : a. Di akhir tahun dari kematian pasangannya (di awal tahun berikutnya) dengan benefit sejumlah premi yang dibayarkan atau dengan kata lain semua 154

)


premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan. b. Setelah berakhirnya masa pembayaran premi yaitu setelah pasangannya mencapai usia tahun. Maka setiap tahunnya peserta x memperoleh uang pertanggungannya sebesar rupiah selama seumur hidup (selama x masih tetap hidup) demikian juga sebaliknya jika peserta x yang meninggal dunia maka peserta y akan memperoleh sebesar rupiah. 3. Jika pasangan yang keduanya meninggal dunia sebelum kontrak selesai dengan kata lain x dan y meninggal maka kontrak berakhir dan tidak ada lagi pembayaran. Sehubungan dengan kontrak asuransi tersebut maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai 1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan tidak konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai (

(

(

) )


∑∑ (

∑

(

)

∑(

(

(

))

)

(

)

∑(

3. Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah (

̈

⌉)

∑ | ̈

̅̅̅|

(

∑

2. Nilai tunai dari pengembalian premi yang dibayarkan oleh pihak penanggung dinyatakan sebagai (

(

)

))

(

̈

)

Sehingga nilai tunai yang diharapkan dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung adalah ∑∑

))

(

)

∑

⌉

Dengan demikian dapat ditentukan formula premi tahunan tidak konstan yang harus dibayarkan peserta asuransi joint life, yaitu:

[ ∑(

| ̈

) ̈

∑

| ̈

∑

∑( )

(

) | ̈

̅̅̅|

(

))

⌉

.∑

( | ̈

̅̅̅|

∑( ∑( )

)/

)

(

| ̈ )

]

Berikut diberikan contoh perhitungan (ilustrasi kasus) perhitungan premi tahunan tidak konstan. 1. Usia mulai asuransi Usia mulai asuransi adalah usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta (suamiistri) mengikuti asuransi. Dalam kasus ini,

155


usia suami (x) adalah 50 tahun dan usia istri (y) adalah 45 tahun. 2. Masa pertanggungan asuransi Masa pertanggungan asuransi adalah lamanya peserta melakukan kontrak asuransi. Dalam kasus ini, ditetapkan untuk masa pertanggungan asuransi . 3. Tingkat bunga Besarnya tingkat bunga yang digunakan adalah konstan yaitu 4. Santunan Besarnya santunan setelah masa pertanggungan berakhir apabila kedua peserta masih hidup, maka mereka akan diberikan uang sejumlah 1 rupiah ( rupiah) demikian juga apabila (y) meninggal dan (x) tetap hidup diakhir kontrak, maka (x) akan memperoleh 1 rupiah ( rupiah) setiap tahunnya selama seumur hidup. Hal yang sama juga berlaku apabila (x) meninggal dan (y) tetap hidup, maka akan dibayar sebesar 1 rupiah ( rupiah). Tetapi apabila (x) dan (y) meninggal dunia sebelum kontrak berakhir, maka semua pembayaran premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan. Berdasarkan rumus yang diperoleh, besarnya pembayaran premi tahunan tidak konstan sangat dipengaruhi oleh besarnya nilai yang digunakan. Misalkan dipilih bernilai negatif maka ini berarti besar pembayaran preminya selalu menurun setiap tahun. Demikian pula sebaliknya jika dipilih bernilai positif maka preminya selalu meningkat sebesar setiap tahun. Pada penelitian ini mula-mula besarnya nilai yang digunakan adalah dari premi konstan atau dengan kata lain premi menurun sebesar dan premi meningkat sebesar Sedangkan konstanta- konstanta yang lain nilainya sama dengan konstanta pada perhitungan premi konstan. Jika diperoleh besar premi tahun pertamanya adalah

ISSN: 2303-1751

Sedangkan jika pertamanya adalah

( ) besar premi tahun

Dan premi pada pada tahun ke-t adalah (

)

Setelah mendapatkan hasil dari premi tahunan tidak konstan maka dapat dibandingkan hasilnya dengan premi tahunan konstan, dapat dilihat pada Tabel 3.1. Tabel 3.1. Premi Kostan dan Premi Tidak Konstan Tahun Premi Premi Premi Konstan menurun meningkat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah Premi

0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753 0.34753

0.46914 0.43439 0.39964 0.36489 0.33014 0.29539 0.26064 0.22589 0.19114 0.15639

0.22592 0.26067 0.29542 0.33017 0.36492 0.39967 0.43442 0.46917 0.50392 0.53867

3.4753

3.12765

3.82295

Perbandingan antara premi menurun dengan premi meningkat terlihat pada Tabel 3.1. Pada pembayaran tahun pertama premi menurun dengan premi meningkat adalah 2 : 1 dan setelah pembayaran di akhir tahun terlihat bahwa perbandingannya adalah 1 : 3. Tetapi untuk besarnya uang pertanggungan yang didapatkan jauh berbeda antara premi menurun dengan meningkat. Pada premi menurun sebesar 3.12765 sedangkan premi meningkat sebesar 3.82295. Apabila Tabel 3.1 disajikan dalam bentuk grafik, untuk pembayaran premi konstan dan premi yang menurun disajikan pada Gambar 3.1.

Akibatnya besar premi pada tahun ke-t untuk t=1,2,3,…10 adalah 156



4. KESIMPULAN DAN SARAN

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

Berdasarkan pembahasan dan hasil penelitian yang diperoleh, maka dapat disimpulkan, bahwa: Rumusan/formula penentuan premi tahunan tidak konstan pada asuransi joint life adalah ̈

⌉

(

)

| ̈

1

2

3

4

5

6

7

8

,

| ̈

̅̅̅|

⌉

∑( )

(

)

9 10 ∑( )

Gambar 3.1. Premi Konstan dan Premi Menurun Sedangkan grafik untuk premi konstan dan premi meningkat dapat dilihat pada Gambar 3.2. 0.6 0.5 0.4

-

untuk masa pertanggungan n tahun. Beberapa saran untuk penelitian selanjutnya, yaitu: (1) Peneliti dapat melanjutkan penelitian tentang bagaimana menentukan formula premi tahunan pada asuransi joint life untuk tertanggung lebih dari 2 orang dan (2) Peneliti dapat juga melanjutkan penelitian dalam menentukan formula dari cadangan premi pada asuransi joint life.

0.3 0.2

DAFTAR PUSTAKA

0.1

[1] Eric V. Slud, 2001. Actuarial Mathematics. College Park.

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Gambar 3.2 Premi Konstan dan Premi Meningkat Untuk pembayaran premi yang menurun (PT) , dari Gambar 3.1 terlihat bahwa Selain itu, perlu dicatat bahwa mulai di tahun ke-5 peserta asuransi joint life akan membayar premi yang lebih kecil daripada peserta dengan model pembayaran premi konstan. Hal yang sebaliknya berlaku untuk pembayaran premi yang selalu meningkat.

[2] Futami, T., 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center. [3]

_________. 1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center

[4] Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001. Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefit, Informatica, 12(4), pp. 547-58. [5] Sembiring, R.K., 1986. Asuransi I. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud.

dan ditahun ke-5 peserta asuransi joint life ini akan membayar premi yang lebih besar daripada dengan model pembayaran premi konstan.

157


ISSN: 2303-1751

OPTIMALISASI PENJUALAN KAIN ENDEK DENGAN METODE KARUSH-KUHN-TUCKER (KKT) I Gede Aris Janova Putra§1, Ni Made Asih2, I Nyoman Widana3 1

Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT This study is conducted to determine the optimal sales value of endek mastuli, endek rangrang, endek saraswati, endek gradasi, and endek alam in Novala Busana Shop and Trans Collection Shop in order to reache maximum advantage by using Karush-Kuhn-Tucker (KKT) method. Karush-Khun-Tucker method can be used to find the optimum solution of the function regardless of whether linear or nonlinear. In the workmanship is KKT method essentially involves the same steps as Lagrange method, from a Lagrangean to be able to calculate the critical points, finding all solutions , and calculate of the value . In this study, most of quarterly show that which must be sold are kind of endek mastuli in reaching the maximum benefit. For other kinds of endek is constantly provided but it is not as much as before. Suggested to the next research could involve more variated variable with more interesting cases. Keywords: Karush-Khun-Tucker (KKT) method, Lagrangean, Optimization, Constraint, Endek

1. PENDAHULUAN Setiap suatu usaha dagang, tentu hal yang ingin dicapai adalah memperoleh keuntungan yang maksimum. Pencapaian keuntungan maksimum dapat dicapai dengan suatu strategi penjualan. Salah satunya dalam ilmu matematika dapat diselesaikan dengan metode optimasi. Contoh kasus optimasi berkendala yaitu mengetahui jenis kain endek yang akan dijual untuk mencapai keuntungan yang maksimum. Penelitian ini merupakan studi kasus penjualan kain endek pada dua toko yaitu toko Novala Busana dan toko Trans Collection. Adapun tujuan penelitian adalah mengetahui bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala yang diperoleh dari penjualan kain endek pada masing-masing toko, dan menentukan nilai optimal penjualan (proporsi suatu item yang dijual untuk mencapai keuntungan yang maksimum) yang diperoleh dengan metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT).

Karush-Kuhn-Tucker pada tahun 1951 mengemukakan teknik optimasi yang dapat digunakan dalam pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala tanpa memandang linier maupun nonlinier. Misalkan menghadapi masalah optimasi dalam bentuk: Maksimumkan/Minimumkan: ) dengan (1) dengan kendala atau 0 dengan

(banyak kendala lebih kecil atau sama dengan banyak variabel) Pertama tuliskan kembali persyaratan yang tak negatif menjadi sehingga himpunan kendalanya adalah persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel ,…, berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan

158

Putra, I G.A.J., Asih, N.M., Widana, I N.

Optimalisasi Penjualan Kain Endek dengan Metode Karush-Kuhn-Tucker

demikian merubah setiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel slack yang ditambahkan berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif [1]. Kemudian bentuk fungsi Lagrange: ∑

[

∑

] [

]

(2)

Fungsi Lagrange yang dibentuk adalah fungsi tujuan ditambahkan dengan total kendala. Untuk adalah pengali-pengali Lagrange [2]. Langkah terakhir selesaikan sistem persamaan: (3) (4) (5) Persamaan-persamaan (3), (4), dan (5) membentuk persyaratan Karush-Kuhn-Tucker (KKT) untuk maksimasi/minimasi program linier dan nonlinier [3]. Sehingga syarat Karush-Kuhn-Tucker (KKT) untuk kasus: Minimumkan: ) dengan (6)

ditemukan dalam teori maksimum dan minimum yang terdapat dalam kalkulus. Adapun metode matematika yang dapat digunakan untuk kasus tersebut adalah metode pengali Lagrange [4]. Sedangkan untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi matematika multi variabel dengan kendala berupa suatu pertidaksamaan adalah suatu hal yang perlu dipelajari lebih lanjut dalam teori optimasi. Metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT) adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala berupa pertidaksamaan [5]. Prosedur menggunakan metode KarushKuhn-Tucker (KKT) dalam memecahkan suatu masalah optimasi dengan kendala berupa pertidaksamaan, langkahnya sama halnya dengan menggunakan metode Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi dengan kendala berupa suatu persamaan yaitu: 1. Membentuk suatu fungsi ‘Lagrangian’ L, maka dapat menghitung titik-titik kritisnya dan menguji nilai fungsi objektif pada setiap titik kritis yang memuat fungsi objektif optimal. Jadi dalam hal ini dibentuk suatu fungsi Lagrange yang didefinisikan dengan:

dengan kendala dengan dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: (7)

∑ 2. Mencari semua solusi persamaan berikut:

dalam himpunan

∑

dengan

Catatan: (i) Jika permasalahannya adalah memaksimumkan, maka . (ii) Jika kendalanya adalah , maka . (iii) Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah , maka . Nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi multi variabel dengan kendala (constrains) berupa suatu persamaan adalah suatu kasus optimasi yang sering

Penyelesaian dari setiap sistem persamaan ini, selanjutnya disebut titik kritis dari L. Selanjutnya misalkan M menotasikan himpunan titik-titik kritis yaitu M ={(x, λ)|(x, λ) adalah titik kritis dari L}. 3. Langkah terakhir yaitu menghitung nilai dari f untuk setiap titik kritis yang merupakan himpunan bagian dari M, yang memuat fungsi tujuan menjadi optimum.

159


2. METODE PENELITIAN Sumber data dalam penelitian ini diperoleh dari data sekunder, yaitu melalui dokumendokumen yang terdapat pada toko Novala Busana dan toko Trans Collection periode 1 tahun (1 April 2014 – 31 Maret 2015). Dalam penelitian ini, variabel yang digunakan adalah jenis kain endek dan harga kain endek. Untuk variabel jenis kain endek yaitu kain endek mastuli ( ), kain endek rangrang kain endek saraswati ( ), kain endek gradasi ( ), dan kain endek alam ( ). Sedangkan untuk variabel harga kain endek yaitu harga modal kain endek dan harga jual kepada konsumen. Langkah-langkah yang digunakan dalam metode penelitian ini adalah: 1. Penyajian data penjualan masing-masing toko. 2. Menentukan variabel keputusan 3. Menentukan fungsi tujuan 4. Menentukan fungsi batasan 5. Mempartisi menjadi 4 bagian (Triwulan) 6. Optimalisasi KKT dengan bantuan software Matlab 3.

ISSN: 2303-1751

Fungsi tujuan Toko Novala Busana

Fungsi tujuan Toko Trans Collection

Selanjutnya adalah menentukan fungsi batasan. Fungsi batasan dibentuk berdasarkan peluang masing-masing produk yang terjual terhadap total produk yang disediakan pada masing-masing toko. Periode waktu yang digunakan selama 1 tahun yang dipartisi menjadi 4 bagian, setiap bagian terdiri dari 3 bulan (triwulan). Bentuk baku fungsi batasannya yaitu: Fungsi Batasan Toko Novala Busana Triwulan I (April, Mei, Juni)

Triwulan II (Juli, Agustus, September)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan jenis-jenis kain endek yang diteliti penjualannya pada toko Novala Busana dan toko Trans Collection, dapat ditentukan variabel keputusan, yaitu: = Jumlah penjualan kain endek mastuli (pcs) = Jumlah penjualan kain endek rangrang (pcs) = Jumlah penjualan kain endek saraswati (pcs) = Jumlah penjualan kain endek gradasi (pcs) = Jumlah penjualan kain endek alam (pcs) Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk mencapai keuntungan maksimum pada setiap jenis kain endek. Keuntungan diperoleh dari selisih antara harga modal dan harga jual kepada konsumen. Koefisien dari masing-masing variabel keputusan menunjukan keuntungan dari setiap jenis kain endek.

Triwulan III (Oktober,November,Desember)

Triwulan IV (Januari, Februari, Maret)

Fungsi Batasan Toko Trans Collection Triwulan I (April, Mei, Juni)

Triwulan II (Juli, Agustus, September)

Triwulan III (Oktober,November,Desember)

160

Putra, I G.A.J., Asih, N.M., Widana, I N.

Optimalisasi Penjualan Kain Endek dengan Metode Karush-Kuhn-Tucker

Triwulan IV (Januari, Februari, Maret)

Setelah menentukan variabel keputusan, memodelkan fungsi tujuan dan fungsi batasan maka membetuk Lagrangian untuk menghitung titik-titik kritisnya, dan langkah selanjutnya memaksimumkan dengan syarat: ∑

Untuk mempermudah perhitungan dalam mencari masing-masing nilai digunakan software Matlab, diperoleh nilai 455.6098, 0.0000, 384.3902, 0.0000, 0.0000. Hasil tersebut menunjukan bahwa toko Novala Busana dalam triwulan I akan mencapai keuntungan maksimum apabila terjual kain endek mastuli sebanyak 456 pcs dan endek saraswati sebanyak 384 pcs, dengan mencapai keuntungan maksimum yaitu sebesar Rp 59.156.000. Dengan langkah yang sama seperti pada triwulan 1, maka hasil yang diperoleh untuk triwulan 2,3,4 apabila dibentuk tabel maka hasilnya: Tabel 1. Keuntungan Maksimum Triwulan Toko Novala Busana Tri Wulan

x

1

x

2

x

3

x

4

x

Keuntungan 5

(Rp)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

I

456

0

384

0

0

59.156.000

II

580

0

260

0

0

60.396.000

III

840

0

0

0

0

63.000.000

IV

840

0

0

0

0

63.000.000

Hasil tersebut menunjukan bahwa triwulan I dan triwulan II sebaiknya sebagian besar menjual kain endek mastuli dan kain endek saraswati ( ). Pada triwulan III dan

triwulan IV toko Novala Busana cukup dengan memaksimalkan penjualan kain endek mastuli maka toko telah memperoleh keuntungan maksimum. Menentukan nilai optimum pada triwulan I toko Trans Collection, untuk mencari masing-masing nilai digunakan software Matlab untuk mempermudah perhitungan, sehingga diperoleh nilai 392.6316, 0.000, 447.3684, 0.0000, 0.0000. Sehingga Toko Trans Collection dalam triwulan I akan mencapai keuntungan maksimum apabila terjual kain endek mastuli sebanyak 393 pcs dan endek saraswati sebanyak 447 pcs dengan keuntungan maksimum yaitu sebesar Rp 62.179.000. Dengan langkah yang sama seperti pada triwulan I, maka hasil yang diperoleh untuk triwulan II, III, IV apabila dibentuk tabel maka hasilnya: Tabel 2. Keuntungan Maksimum Triwulan Toko Trans Collection Tri wulan

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

Keuntungan (Rp)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

(pcs)

I

393

0

477

0

0

62.179.000

II

499

0

390

0

0

63,871.000

III

837

0

3

0

0

75.516.000

IV

840

0

0

0

0

75.600.000

Toko Trans Collection pada keempat triwulan periode 1 April 2014 sampai dengan 31 Maret 2015, hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa triwulan I, triwulan II dan triwulan III sebaiknya sebagian besar menjual kain endek mastuli ( ) dan kain endek saraswati ( ). Sedangkan pada triwulan IV toko Trans Collection cukup dengan memaksimalkan penjualan kain endek mastuli maka toko telah memperoleh keuntungan maksimum. 4. KESIMPULAN DAN SARAN Pada penelitian ini diperoleh kesimpulan yaitu, toko Novala Busana berdasarkan triwulan I dan II jenis kain endek yang dijual sebagian

161


besar adalah endek mastuli dan endek saraswati untuk mencapai keuntungan yang maksimum. Sedangkan pada triwulan III dan IV yang dijual sebagian besar adalah kain endek mastuli Keuntungan terbesar, terlihat pada triwulan III dan IV yaitu sebesar Rp. 63.000.000. Pada toko Trans Collection berdasarkan triwulan I, II, dan III jenis kain endek yang dijual sebagian besar adalah endek mastuli dan endek saraswati ( ). Sedangkan pada triwulan IV produk yang dijual sebagian besar adalah kain endek mastuli. Keuntungan terbesar, terlihat pada triwulan IV yaitu sebesar Rp. 75.600.000. Hasil penelitian menunjukan sebagian besar yang harus dijual adalah jenis kain endek mastuli untuk mencapai keuntungan yang maksimum, akan tetapi pada kasus kehidupan dunia nyata, setiap individu belum tentu menyukai satu jenis kain endek yang sama. Dengan demikian disarankan untuk masingmasing toko, bukan berarti jenis kain endek lain tidak mesti dijual melainkan tetap tersediakan walaupun tidak sebanyak sebelumnya. Pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat melibatkan variabel yang lebih bervariasi dengan kasus yang lebih menarik.

ISSN: 2303-1751

DAFTAR PUSTAKA [1] A. Taha, H. 1996. Riset Operasi. Terjemahan Daniel Wirajaya. Jakarta: Penerbit Binarupa Aksara. [2] Amalia. 2010. Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis. Skripsi. Universitas Sumatra Utara. http://repository.usu.ac.id/bitstream/12345 6789/14099/1/10E00011.pdf. Diakses tanggal 3 Februari 2015. [3] Luknanto, D. 2000. Pengantar Optimasi Non Linier. Yogyakarta: UGM. hhtp://luk.Staff.Ugm.ac.id/Optimasi/pdf/no nlinier2003/.pdf. (Diunduh 2 Februari 2015). [4] Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2004. Kalkulus. Edisi Kedelapan Terjemahan Julian Gressando. Jakarta: Penerbit Erlangga. [5] Rao, S. S. 1984. Optimization Theory and Applications. Second Edition. USA: Dept. of Mechanical Engg. San Diego State University.

162


ISSN: 2303-1751

METODE QUEST DAN CHAID PADA KLASIFIKASI KARAKTERISTIK NASABAH KREDIT Nur Faiza§1, I Wayan Sumarjaya2, I Gusti Ayu Made Srinadi3 1

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT This aim of this research is to find out the classification results and to compare the magnitude of misclassification of QUEST and CHAID methods on the classification of customer of Adira Kredit Elektronik branch Denpasar. QUEST (Quick, Unbiased, Efficient Statistical Trees) and CHAID (Chisquared Automatic Interaction Detection) are nonparametric methods that produce tree diagram which is easy to interpret. The QUEST and CHAID classification methods conclude that: 1) QUEST method produces three groups which predict customers into the current category, whereas CHAID method produces four groups which also predict customer into the current category; 2) both methods generate the biggest classification accuracy for customers that current category which share similar characteristics; 3) both methods also have the same degree of accuracy in classifying customer data Adira Kredit Elektronik branch Denpasar. Keywords: Classification, QUEST, CHAID, customer credit status.

1. PENDAHULUAN Klasifikasi merupakan pengelompokan secara sistematis suatu objek atau benda ke dalam golongan atau pola-pola tertentu berdasarkan kesamaan ciri. Masalah klasifikasi sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik pada bidang industri, sosial, kesehatan maupun pendidikan.

Penelitian ini membahas metode klasifikasi pohon menggunakan metode QUEST dan CHAID dengan variabel berskala kategorik, dengan tujuan untuk mengetahui hasil klasifikasi dan membandingkan besarnya kesalahan klasifikasi dari metode QUEST dan CHAID pada klasifikasi data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar. Metode QUEST merupakan algoritma yang diperkenalkan oleh Loh dan Shih [3], sebagai salah satu bentuk metode pohon

klasifikasi yang menghasilkan pohon biner. QUEST diterapkan pada data dengan variabel respon kategorik dan variabel prediktor berupa variabel kategorik maupun numerik. QUEST merupakan modifikasi dari analisis diskriminan kuadratik. Analisis diskriminan kuadratik diterapkan pada proses penentuan simpul penyekat. Algoritma QUEST dibagi menjadi tiga bagian yaitu, algoritma pemilihan variabel penyekat, algoritma penentuan simpul penyekat, dan algoritma penghentian pembentukan pohon [3].

Langkah-langkah algoritma pemilihan variabel penyekat dengan variabel kategorik adalah sebagai berikut: pertama, untuk setiap variabel prediktor kategorik, lakukan uji khikuadrat dan hitung p-value. Kedua, pilih variabel prediktor yang memiliki nilai p-

163

Faiza, N., Sumarjaya, I W., Srinadi, I G.A.M.

Metode Quest dan Chaid pada Klasifikasi Karakteristik Nasabah Kredit

value terkecil atau yang paling signifikan sebagai variabel penyekat (Loh dan Shih [3]). Setelah terpilih variabel penyekat, langkah selanjutnya adalah menentukan simpul penyekat. Apabila variabel penyekat yang terpilih berupa variabel kategorik dan terdiri lebih dari dua kategori, maka dilakukan transformasi ke variabel numerik dan selanjutnya diterapkan analisis diskriminan kudratik untuk mencari akar dari persamaan kuadrat , dengan:

̅ ̅

̅

̅ (

).

dengan ̅ dan adalah rata-rata dan ragam variabel penyekat dari pengamatan variabel respon pertama, sedangkan ̅ dan adalah rata-rata dan ragam variabel penyekat dari pengamatan variabel respon kedua[3]. Jika akar yang dihasilkan adalah akar tunggal, maka akar tersebut dipilih sebagai simpul penyekat. Tetapi jika akar yang dihasilkan terdiri dari 2 akar, maka akan dipilih akar yang mendekati rata-rata dari variabel respon pertama sebagai simpul penyekat. Proses pemilihan simpul secara rekursif akan terhenti apabila salah satu dari aturan penghentian tercapai. Ada empat aturan penghentian pembentukan pohon yaitu: pertama, jika simpul penyekat menjadi murni yaitu apabila semua kasus masuk ke dalam salah satu kategori variabel respon. Kedua, jika semua kasus yang terdapat di dalam simpul memiliki nilai-nilai identik untuk tiap variabel prediktor. Kedua, jika kedalaman pohon sudah mencapai kedalaman pohon maksimum yang ditetapkan. Keempat, jika banyaknya kasus yang masuk ke dalam simpul sudah mencapai jumlah minimum yang ditetapkan. Hasil analisis dari metode QUEST akan dibandingkan dengan metode pendahulunya, yaitu metode CHAID. CHAID merupakan algoritma yang diperkenalkan oleh Kass (1980), metode klasifikasi yang lebih dulu diterapkan dan menghasilkan pohon nonbiner (Kass [2]).

CHAID diterapkan pada data dengan variabel respon dan variabel prediktor berupa variabel kategorik. CHAID membedakan variabel prediktor kategorik menjadi tiga bentuk yang berbeda, yaitu: monotonik, bebas, dan mengambang (Gallagher [1]). Algoritma CHAID secara lengkap yaitu sebagai berikut (Kass [2]): Pertama, untuk setiap variabel prediktor, buat tabulasi silang kategorikategori variabel prediktor dengan kategorikategori variabel respon. Kedua, untuk setiap tabulasi silang yang diperoleh (susun subtabel yang berukuran yang mungkin, adalah banyaknya kategori variabel respon) cari pasangan kategori variabel prediktor yang memiliki angka uji paling kecil. Jika angka uji tidak mencapai nilai kritis, gabungkan kedua kategori tersebut menjadi satu kategori campuran. Ulangi langkah ini sampai angka uji kategori campuran melampaui nilai kritis. Ketiga, untuk setiap kategori gabungan yang terbentuk dari 3 atau lebih kategori asal, temukan pemisahan biner yang memiliki angka uji yang paling besar (pemisahan berdasarkan tipe variabel prediktor). Jika angka uji ini lebih besar dari nilai kritis, buatlah pemisahan tersebut dan kembali ke langkah 2 di atas. Keempat, untuk setiap tabulasi silang variabel prediktor yang telah digabungkan secara optimal, pilih yang memiliki angka uji paling besar. Jika angka uji ini lebih besar dari nilai kritis, bagilah data menurut kategori–kategori yang telah digabungkan dari variabel prediktor yang telah dipilih. Pada tahap ini apabila terjadi pengurangan tabel kontingensi dari tabel asal maka gunakan uji koreksi Bonferoni dan jika tidak maka lakukan uji khi-kuadrat untuk uji signifikansi. Kelima, untuk setiap pembagian data yang belum dianalisis, kembali ke langkah 1. Dalam menyeleksi apakah seseorang layak mendapatkan pinjaman kredit, dibutuhkan suatu analisis statistika salah satunya dengan metode klasifikasi. Dalam hal ini, metode klasifikasi digunakan untuk membagi suatu nasabah ke dalam kelompok yang lebih kecil kelompoknya berdasarkan status pembayaran kredit lancar atau

164


macet. Kelompok-kelompok yang terbentuk tersebut akan digunakan oleh Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar sebagai acuan untuk menentukan sasaran utama pemasaran dengan mempertimbangkan status kredit. Dengan penentuan kelompok sasaran kredit yang tepat, diharapkan risiko kredit macet bisa diminimalkan. Adanya kesamaan karakteristik dari metode QUEST dan CHAID yaitu dapat diterapkan pada data variabel kategorik dan dalam pemilihan variabel penyekat menggunakan uji khi-kuadrat. Sehingga penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan metode QUEST dan CHAID yang akan diterapkan pada data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar. Penelitian ini membandingkan hasil klasifikasi dari kedua metode tersebut untuk dapat dijadikan bahan analisis perusahaan dalam menentukan calon nasabah pada masa yang akan datang. 2. METODE PENELITIAN Penelitian ini mengambil data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar sebagai study kasus. Data diperoleh dari hasil pengisian formulir aplikasi permohonan kredit nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar yang sebelumnya sudah pernah mengajukan kredit dan melakukan pengajuan kembali pada bulan September sampai dengan Oktober 2014. Adapun Variabel yang digunakan dalam penelitian ini berupa variabel kategori yaitu meliputi status kredit ( ), jenis kelamin ( ), status pernikahan ( ), jenis pekerjaan ( ), dan status tempat tinggal ( ), pendidikan terakhir ( ), jabatan nasabah ( ), lama angsuran ( ), dan pendapatan per bulan ( ). Langkah-langkah yang dilakukan dalam metode penelitian ini adalah: 1. Mengumpulkan dan menyeleksi data. 2. Meringkas dan menyajikan data. 3. Pembentukan pohon klasifikasi. 4. Menginterpretasi hasil klasifikasi. 5. Perbandingan persentase kesalahan klasifikasi.

ISSN: 2303-1751

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1. Klasifikasi dengan Metode QUEST Gambar 1 menunjukkan bahwa dari 626 sampel yang diteliti, hasil yang didapatkan adalah nasabah dengan status lancar sebanyak 550 orang (87,9%) dan nasabah dengan status macet sebanyak 76 orang (12,1%). Variabel pendapatan per bulan ( ) adalah variabel prediktor yang paling signifikan, sehingga variabel tersebut dipilih sebagai variabel penyekat. Variabel pendapatan per bulan ( ) disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-1 dengan kategori nasabah yang memiliki pendapatan per bulan Rp5.000.000 menjadi satu simpul. Pada simpul ke-1 proses penyekatan dilanjutkan dan menjadi simpul dalam, karena variabel status tempat tinggal ( ) merupakan variabel prediktor kedua yang signifikan untuk membagi kategori pada simpul ke-1. Sementara pada simpul ke-2 proses penyekatan dihentikan karena semua kasus yang terdapat di dalam simpul memiliki nilainilai identik untuk tiap variabel prediktor, sehingga simpul ke-2 menjadi simpul akhir. Variabel status tempat tinggal ( ) disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-3 dengan kategori nasabah yang status tempat tinggal milik mertua, kontrak, dan kos menjadi satu kelompok, dan simpul ke-4 dengan kategori nasabah yang status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan menjadi satu kelompok. Pada simpul ke-3 dan simpul ke-4 proses penyekatan dihentikan karena semua kasus yang terdapat di dalam simpul ke-3 dan simpul ke-4 memiliki nilai-nilai identik untuk tiap variabel prediktor, sehingga simpul ke-3 dan simpul ke-4 menjadi simpul akhir. Dengan demikian, analisis dengan metode QUEST menghasilkan tiga simpul akhir.

165



3.2. Klasifikasi dengan Metode CHAID

Gambar 1. Diagram Pohon Klasifikasi QUEST untuk Data Nasabah Hasil metode QUEST berdasarkan Gambar 1 mendapatkan 3 kelompok, yang diringkas dalam Tabel 1 dan Tabel 2 berikut: Tabel 1. Hasil Klasifikasi Dari Diagram Pohon QUEST Kelompok 1

Kelompok 2

Kelompok 3

Nasabah yang memiliki pendapatan per bulan Rp5.000.000.

Tabel 2. Status Kredit Nasabah Pada Setiap Kelompok Lancar Kelompok

N

%

1 173 75,9 2 174 92,1 3 203 97,1 Sumber: Data diolah, 2015

Macet N

%

55 15 6

24,1 7,9 2,9

Prediksi status kredit Lancar Lancar Lancar

Gambar 2 menunjukkan bahwa variabel status tempat tinggal ( ) adalah variabel prediktor yang paling signifikan terhadap variabel status kredit ( ). Setelah dikoreksi dengan pengali Bonferroni diperoleh nilai khi-kuadrat variabel status tempat tinggal ( ) sebesar 32,661, sehingga variabel tersebut dipilih sebagai variabel penyekat. Variabel status tempat tinggal ( ) disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-1 dan simpul ke-2. Pada simpul ke-1 terjadi penggabungan antara kategori status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan karena jumlah nasabah berstatus lancar dan macet pada status tempat tinggal tersebut hampir seimbang atau hal ini berarti bahwa kategori status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan memenuhi syarat kesignifikanan khikuadrat untuk bisa digabung menjadi satu simpul kategori campuran. Pada simpul ke-2 juga terjadi penggabungan antara kategori status tempat tinggal milik mertua, kos, dan kontrak menjadi satu simpul kategori campuran. Pada simpul ke-1 dan simpul ke-2 proses penyekatan dilanjutkan dan merupakan simpul dalam. Variabel pendapatan per bulan ( ) merupakan variabel prediktor kedua yang signifikan untuk menyekat kategori pada simpul ke-1 dan simpul ke-2. Variabel pendapatan per bulan ( ) pada simpul ke-1 disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-3 dan simpul ke-4. Pada simpul ke-3 terjadi penggabungan antara kategori nasabah yang memiliki pendapatan per bulan Rp5.000.000 menjadi satu simpul. Pada simpul ke-3 dan simpul ke-4 proses penyekatan dihentikan karena tidak ada lagi variabel prediktor yang signifikan untuk membagi kategori pada simpul ke-3 dan simpul ke-4, sehingga simpul ke-3 dan simpul ke4 menjadi simpul akhir. Selanjutnya untuk simpul ke-2 disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-5 dan simpul ke-6. Pada simpul ke-5 terjadi penggabungan antara kategori nasabah yang

166


memiliki pendapatan per bulan Rp5.000.000 menjadi satu simpul. Pada simpul ke-5 dan simpul ke-6 proses penyekatan dihentikan karena tidak ada lagi variabel prediktor yang signifikan untuk membagi kategori pada simpul ke-5 dan simpul ke-6, sehingga simpul ke-5 dan simpul ke-6 menjadi simpul akhir. Dengan demikian, analisis dengan metode CHAID menghasilkan empat simpul akhir.

ISSN: 2303-1751

Tabel 3. Hasil Klasifikasi Dari Diagram Pohon CHAID Kelompok 1

Nasabah yang memiliki status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua dan perusahaan dengan pendapatan per bulan Rp5.000.000. Nasabah yang memiliki status tempat tinggal milik mertua, kontrak, dan kos dengan pendapatan per bulan Rp5.000.000

Kelompok 2

Kelompok 3

Kelompok 4

Tabel 4. Status Kredit Nasabah Pada Setiap Kelompok Lancar Kelompok 1 2 3 4

Macet

N

%

N

%

174 134 173 69

92,1 99,3 75,9 93,2

15 1 55 5

7,9 0,7 24,1 6,8

Prediksi status kredit Lancar Lancar Lancar Lancar

Sumber: Data diolah, 2015 3.3. Perbandingan Klasifikasi dengan Metode QUEST dan CHAID

Gambar 2. Diagram Pohon Klasifikasi CHAID untuk Data Nasabah Hasil metode CHAID berdasarkan Gambar 2 mendapatkan 4 kelompok, yang diringkas dalam Tabel 3 dan Tabel 4.

Gambar 1 dan 2 menunjukkan bahwa metode QUEST dan CHAID memiliki kedalaman pohon yang sama yaitu sebanyak 2, namun memiliki jumlah simpul dan simpul akhir yang berbeda. Metode QUEST memiliki 5 simpul dengan 3 simpul akhir, sementara CHAID memiliki 7 simpul dengan 4 simpul akhir. Pohon yang dihasilkan metode QUEST adalah pohon biner, karena QUEST hanya menghasilkan dua ketegori baru pada tiap penyekatan. Metode CHAID juga menghasilkan pohon biner, namun dengan alasan yang berbeda. Ini karena p-value pasangan-pasangan kategori variabel prediktor selalu lebih besar dari nilai α = 0,05, sehingga pada akhirnya hanya tertinggal

167



dua ketegori baru pada tiap penyekatan. Pada metode QUEST dan CHAID persentase terbesar nasabah yang berstatus lancar memiliki karakteristik yang hampir sama. Metode QUEST dengan persentase 97,1%, yaitu nasabah dengan pendapatan per bulan >Rp5.000.000. Sementara untuk metode CHAID dengan persentase 99,3%, yaitu nasabah yang memiliki status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua dan perusahaan dengan pendapatan per bulan >Rp5.000.000. Dan kesalahan klasifikasi terbesar dari kedua metode tersebut memiliki karakteristik yang sama, yaitu nasabah yang memiliki status tempat tinggal milik mertua, kontrak, dan kos dengan pendapatan per bulan
Denpasar yang sama besar yaitu: 12,1%. Saran yang diberikan yaitu, untuk penelitian berikutnya metode QUEST dapat dikembangkan untuk variabel respon berupa variabel kategori yang memiliki lebih dari dua kategori dan untuk variabel prediktor dapat digunakan variabel numerik, serta dapat dilanjutkan dengan proses pemangkasan yang dilakukan untuk memilih pohon terbaik. DAFTAR PUSTAKA [1]

Gallagher, C.A. 2000. An Iterative Approach to Classification Analysis. www.casact.org/library/ratemaking/90dp23 7.pdf [Februari 2014].

[2]

Kass, G.V. 1980. An Exploratory Technique for Investigating Large Quantities of categorical Data. Applied Statistics, Vol. 29 (2):119-127. http://www4.stat.ncsu.edu/~dickey/Analyti cs/Datamine/Reference%20Papers/kass80.p df [Februari 2014].

[3]

Loh W.Y. dan Shih, Y.S. 1997. Split Selection Methods for Classfication Trees. Stastistica Sinica7; 815-840. http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/old pdf/A7n41.pdf [Agustus 2014].

Tabel 5. Perbandingan Kesalahan Klasifikasi Metode QUEST CHAID

Kesalahan klasifikasi 12.1% 12,1%

Keakuratan klasifikasi 87,9% 87,9%

4. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang dilakukan maka diperoleh kesimpulan: (1) Semua kelompok yang dihasilkan oleh metode QUEST dan metode CHAID menghasilkan kelompok dengan prediksi nasabah masuk ke dalam kategori lancar; (2) Pada metode QUEST dan CHAID persentase keakuratan klasifikasi terbesar nasabah yang berstatus lancar memiliki karakteristik yang hampir sama; (3) Metode QUEST dan CHAID memiliki tingkat akurasi yang sama, hal ini dilihat dari kesalahan klasifikasi dalam mengklasifikasikan data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang

168


ISSN: 2303-1751

MODEL PERSAMAAN STRUKTURAL TINGKAT KEPUASAN MASYARAKAT TERHADAP KUALITAS PELAYANAN JALAN TOL BALI MANDARA I Putu Agus Widhiantara§1, I Komang Gde Sukarsa2, I Putu Eka N. Kencana3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT The aim of this research is to determine public satisfaction level for the quality of Bali Mandara Highway service and to determine the dominant variable influencing public satisfaction level. This research implemented by using Structural Equation Modeling Partial Least Square (SEM-PLS) and Servqual model. This research was conducted in Badung Regency in the period of March to June 2015. Data were collected by using questionnaires that were distributed directly to 150 users of respondents. The result shows that the public haven’t been satisfied with service quality provided by Jasamarga. Meanwhile the empathy, responsiveness and tangible are significantly influencing public satisfaction level to Bali Mandara Highway service quality. We also showed that empathy provide a dominant influence to public satisfaction level. Keywords: Structural Equation Modeling Partial Least Square, service quality, public satisfaction level. 1.

PENDAHULUAN

Badung merupakan salah satu kabupaten yang memiliki jumlah penduduk cukup besar di Provinsi Bali. Kabupaten ini sebagai salah satu pusat kegiatan pemerintahan dan lokasi dari Bandara Internasional Ngurah Rai. Pesatnya perkembangan aktivitas pariwisata ini menyebabkan intensitas kegiatan masyarakat di Badung cukup tinggi, sehingga berpotensi menimbulkan kemacetan terutama di jalan menuju atau dari bandara serta obyek wisata. Kemacetan yang terjadi di beberapa tempat mengindikasikan bahwa diperlukan jaringan jalan yang baik atau jalan alternatif yaitu jalan tol. Jalan tol Nusa Dua-Ngurah Rai-Benoa yang lebih dikenal dengan nama Jalan Tol Bali Mandara merupakan jalan tol pertama yang ada di Bali dan dikelola oleh PT. Jasa Marga Bali Tol dengan panjang mencapai 12 km. Jalan tol ini telah beroperasi sejak tanggal 27 September 2013 yang perencanaan pembuatannya adalah

untuk memberikan layanan kenyamanan, efisiensi dan keamanan bagi masyarakat. Namun pada kenyataannya, masih banyak pelayanan yang belum memuaskan masyarakat pengguna jalan sehingga dalam penelitian ini akan diukur mengenai tingkat kepuasan masyarakat terhadap kualitas pelayanan Jalan Tol Bali Mandara. Terdapat beberapa metode kuantitatif yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat kepuasan masyarakat, di antaranya adalah dengan Structural Equation Modeling, Multiple Logistic Regression, Gesca, dan Generalized Maximum Entropy. Dalam penelitian ini, tingkat kepuasan masyarakat terhadap kualitas pelayanan Jalan Tol Bali Mandara akan diukur dengan Structural Equation Modeling (SEM). SEM atau model persamaan struktural merupakan analisis multivariat untuk menganalisis hubungan antara variabel secara

169

Widhiantara, I P.A., Sukarsa, I K.G., Kencana, I P.E.N.

kompleks. Alasan menggunakan SEM adalah karena metode ini memiliki beberapa keunggulan yaitu SEM mempunyai kemampuan untuk mengestimasi hubungan antar variabel yang bersifat multiple relationship, SEM cukup akurat untuk menganalisis data kuesioner yang melibatkan persepsi, dan SEM mampu menganalisis hubungan timbal balik secara serempak (Dillala [1]). Selain menggunakan SEM, dalam penelitian ini juga menggunakan metode kualitatif yaitu Servqual. Model Servqual adalah suatu metode yang digunakan untuk mengukur tingkat kepuasan layanan terhadap kualitas pelayanan. Model ini mendefinisikan atribut pengukuran kualitas pelayanan jasa yang mewakili 5 dimensi, yaitu Tangible, Reliability, Responsiveness, Assurance, dan Empathy (Parasuraman, Zeithmal, & Berry [4]). Penelitian sebelumnya mengenai tingkat kepuasan masyarakat pernah dilakukan oleh I Made Ardhika pada tahun 2007 yang mengukur tingkat kepuasan pelayanan pengguna Jalan Tol Jagorawi dengan pendekatan Servqual dan metode Important-Peformance Analyze (IPA) serta penelitian Albertin Yunita Nawangsari pada tahun 2011 yang menghitung indeks kepuasan pelanggan yaitu mahasiswa FMIPA UNY terhadap operator IM3 dengan melibatkan variabel kualitas, harga dan kepuasan dalam pengujiannya. Structural Equation Modeling (SEM) merupakan analisis multivariat yang dapat menganalisis hubungan variabel secara kompleks. SEM pertama kali dikembangkan oleh Joreskog pada tahun 1973. SEM merupakan kombinasi dari analisis jalur (path) dan analisis regresi yang memungkinkan peneliti untuk menguji rangkaian hubungan yang saling terkait antara variabel terukur dengan variabel laten (Hair, et al. [2]. SEM dapat dibedakan menjadi dua, yaitu SEM yang berbasis kovarians (covariance based SEM) dan SEM yang berbasis varians atau komponen (component based SEM). Untuk dapat menggunakan SEM berbasis varians seperti SEM PLS ini terdapat beberapa asumsi yaitu ukuran sampel yang digunakan tidak relatif

Model Persamaan Struktural Tingkat Kepuasan Masyarakat…

besar, data tidak harus menyebar normal, dan indikator yang digunakan dapat bersifat reflektif maupun formatif (Hair, et al [3]). Pengujian model persamaan struktural dilakukan untuk mencari model yang fit. Untuk memeriksa model fit digunakan uji kecocokan model. Pertama, untuk model pengukuran (outer model) meliputi: (1) Convergent validity yaitu korelasi antara skor indikator reflektif dengan skor variabel latennya dalam hal ini loading factor 0,5 sampai 0,6 dianggap cukup, pada jumlah indikator per konstruk berkisar antara 3 sampai 7 indikator; (2) Discriminant validity yaitu apabila nilai akar kuadrat Average Variance Extracted (AVE) konstruk lebih besar dari korelasi dengan seluruh konstruk lainnya maka dapat dikatakan bahwa model baik. Nilai pengukuran yang direkomendasikan adalah > 0,50 (Hair, et al [3]): √

AVE 

     var( ) 2 i

2 i

i

(1) (3) Composite reliability ( c ) yaitu kelompok indikator yang mengukur suatu variabel, nilai reliabilitas komposit baik jika c ≥ 0,7 (Hair, et al [3]).

c 

(  i ) 2

( i )  ivar( i ) 2

(2) Selanjutnya, untuk model struktural (inner model), fit model diukur menggunakan Rsquare (R2). R2 digunakan untuk mengukur seberapa baik nilai observasi dihasilkan oleh model dan juga estimasi parameternya. Besaran R2 memiliki nilai 0 < R2 < 1, nilai yang semakin mendekati 1 berarti model semakin baik (Hair, et al [3]). Model Servqual adalah suatu model yang dikembangkan oleh Parasuraman, Berry, dan Zithmal [4] yang digunakan untuk mengukur tingkat kepuasan layanan terhadap kualitas pelayanan. Model Servqual juga dikenal dengan istilah Gap Analysis. Model ini mengukur kualitas jasa secara kuantitatif dalam bentuk kuesioner dan dimensi-dimensi kualitas pelayanan. Ada beberapa keunggulan dari model

170


Servqual yang membuat model ini banyak diterapkan, yaitu model Servqual telah menjadi standar penilaian atas berbagai dimensi kualitas pelayanan, berbagai riset telah menunjukkan bahwa instrumen model Servqual valid dan handal untuk berbagai konteks layanan, dan model Servqual memiliki prosedur baku yang memudahkan interpretasi hasil. Menurut Parasuraman, Berry, dan Zithmal [4], model Servqual mempunyai 5 dimensi, yaitu: (1) Kondisi fisik (Tangible) meliputi fasilitas fisik, perlengkapan dan penampilan dari petugas; (2) Kehandalan (Reliability) meliputi kemampuan memberikan pelayanan dengan sigap dan akurat; (3) Tanggung jawab (Responsiveness) meliputi kewajiban membantu masyarakat dan melayani dengan tanggap; (4) Jaminan (Assurance) meliputi kemampuan, pengetahuan, dan sikap petugas yang dapat dipercaya; (5) Kepedulian (Empathy) meliputi hubungan komunikasi yang baik, pemberian informasi, dan pentingnya usaha untuk mengetahui kebutuhan dari masyarakat.

ISSN: 2303-1751

(4) (5) (6) (7) (8) (4) Estimasi model; (5) Evaluasi Goodness of Fit; (6) Pengujian hipotesis (H1, H2, H3, H4, dan H5) yang selanjutnya dilakukan interpretasi model.

Gambar 1. Rancangan Model Persamaan Struktural pada Penelitian 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

2. METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan di Kabupaten Badung dengan obyek Jalan Tol Bali Mandara. Waktu penelitian dilaksanakan pada periode Maret sampai Juni 2015. Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan kuesioner yang disebarkan langsung kepada 150 masyarakat pengguna Jalan Tol Bali Mandara sebagai responden. Kemudian, kuesioner yang telah dijawab oleh responden akan diuji kelayakannya dengan uji validitas dan uji reliabilitas. Kuesioner tersebut menggunakan skala Likert. Data yang diperoleh dalam penelitian ini dianalisis menggunakan metode SEM dengan software SmartPLS. Langkah-langkahnya sebagai berikut: (1) Pengembangan model teoritis; (2) Pengembangan diagram jalur; (3) Konversi diagram jalur ke dalam persamaan: (3) Misalkan, variabel laten kondisi fisik (KF) diukur dengan lima indikator X1, X2, X3, X4, dan X5 :

Tabel 1 Profil Responden Variabel Jenis Kelamin Umur

Pendidikan Terakhir

Pekerjaan

Jenis Kendaraan Tingkat Penggunaan

Kategori Laki-laki Perempuan 18-25 tahun 26-35 tahun 36-45 tahun > 45 tahun SD SMP SMA/SMK/ sederajat Diploma/ Sarjana Pelajar/ Mahasiswa PNS Swasta Lainnya Roda empat Roda dua 3 kali/ minggu 4 kali/ minggu 5 kali/ minggu 6 kali/ minggu > 6 kali/ minggu

Persentase (%) 55.3 44.7 27.3 34.7 30.7 7.3 0.7 8.7 82.6 8.0 16.0 8.0 57.3 18.7 53.3 46.7 32.7 30.7 13.3 15.3 8.0

171


Berdasarkan hasil pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa responden masyarakat yang berpartisipasi dalam pengisian kuesioner penelitian ini 55.3% berjenis kelamin laki-laki dan 44.7% berjenis kelamin perempuan. Dari 150 responden yang diambil, terdapat 34.7% masyarakat berumur 26-35 tahun, 82.6% dengan pendidikan terakhir SMA/SMK/ Sederajat, dan 57.3% berstatus swasta. Selanjutnya dilakukan uji kelayakan instrumen, yaitu uji validitas dan uji reliabilitas dari 30 item pernyataan yang digunakan pada kuesioner penelitian. Adapun hasil yang diperoleh dengan bantuan program SPSS, dapat dilihat dalam tabel 2. Tabel 2. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi Item-Total Dikoreksi dari Kondisi Fisik CorrtotalIndikator item

X1 X2 X3 X4 X5

Penampilan dan kerapian petugas Kebersihan dan penataan jalan Tanjakan, turunan, dan tikungan jalan Kualitas permukaan jalan yang rata dan tidak licin Kelengkapan fasilitas jalan tol Cronbach’s Alpha

.483 .479 .470 .398 .439 .698

Memperhatikan Tabel 2, dapat dilihat bahwa semua item pernyataan valid untuk mengukur kondisi fisik karena memiliki nilai corrtotal-item > 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.698 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur kondisi fisik dapat dipercaya. Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat bahwa semua item pernyataan valid untuk mengukur kehandalan karena memiliki nilai corrtotal-item > 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.709 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur kehandalan dapat dipercaya.


Tabel 3. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi

Item-Total Dikoreksi dari Kehandalan Indikator Petugas sigap dalam memberikan layanan transaksi X7 Kesigapan petugas saat terjadi masalah di tengah jalan tol X8 Pelayanan yang diberikan tepat sasaran atau sesuai dengan yang diminta pengguna X9 Perawatan jalan tol oleh pihak Jasa Marga X10 Kondisi arus lalu lintas jalan tol lancar Cronbach’s Alpha

Corrtotal-item

X6

.388

.511

.489

.541 .416 .709

Memperhatikan Tabel 4, dapat dilihat bahwa terdapat satu item pernyataan yaitu X13 yang tidak valid untuk mengukur tanggung jawab karena memiliki nilai corrtotal-item < 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.640 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur tanggung jawab dapat dipercaya. Tabel 4. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi Item-Total Dikoreksi dari Tanggung Jawab CorrtotalIndikator item

X11 X12

X13

X14

X15

Kejelasan fungsi ramburambu lalu lintas Petugas tidak menunjukkan kesan sibuk dalam menyambut pelanggan Perbaikan dari pihak Jasamarga ketika terjadi kerusakan jalan Pengontrolan arus lalu lintas oleh petugas patroli Pengoperasian seluruh gardu tol pada jam-jam sibuk Cronbach’s Alpha

.400

.455

.277

.335

.514 .640

172


Tabel 5. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi Item-Total Dikoreksi dari Jaminan Indikator

Corrtotal-

Tabel 7. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi Item-Total Dikoreksi Kepuasan Masyarakat

item

X16 X17

X18

X19 X20

Kondisi jalan tol yang aman Akurasi atau ketepatan pengembalian uang di gardu tol Keamanan keselamatan dalam menggunakan jalan tol Tersedianya kendaraan pengangkut dan derek Keakuratan informasi yang diberikan Cronbach’s Alpha

.461 .520

.439 .700

Tabel 6. Nilai Cronbach Alpha dan Korelasi Item-Total Dikoreksi Kepedulian

X22

X23

X24

X25

Indikator Keramahan petugas saat melayani Kemudahan mendapatkan pelayanan Perhatian petugas terhadap keluhan pengguna jalan Petugas selalu mengucapkan terima kasih di akhir pelayanan Kejujuran petugas dalam pembayaran tol Cronbach’s Alpha

Corrtotalitem

Y1 Y2 Y3

Memperhatikan Tabel 5, dapat dilihat bahwa semua item pernyataan valid untuk mengukur jaminan karena memiliki nilai corrtotal-item > 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.700 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur jaminan dapat dipercaya.

X21

Indikator

.495 .365

ISSN: 2303-1751

Y4 Y5

Perasaan senang dengan pelayanan yang diberikan Kesesuaian kondisi riil dengan harapan Adanya nilai lebih yang diperoleh ketika menggunakan jasa jalan tol Perbandingan harga dengan kualitas pelayanan Keberadaan jalan tol bermanfaat bagi pengguna Cronbach’s Alpha

.508 .439

.516

.455 .522 .724

Memperhatikan Tabel 7, dapat dilihat bahwa semua item pernyataan valid untuk mengukur kepuasan masyarakat karena memiliki nilai corrtotal-item > 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.724 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur kepuasan masyarakat dapat dipercaya.

Corrtotal-item .600 .584

.477

.578

.481 .770

Memperhatikan Tabel 6, dapat dilihat bahwa semua item pernyataan valid untuk mengukur kepedulian karena memiliki nilai corrtotal-item > 0.30. Adapun nilai Cronbach’s Alpha sebesar 0.770 > 0.60 menyatakan bahwa instrumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur kepedulian dapat dipercaya.

Gambar 2. Model Persamaan Struktural Setelah Melalui Uji Kelayakan Instrumen

Selanjutnya, dengan menggunakan program SmartPLS 3 diperoleh penduga-penduga untuk masing-masing jalur seperti pada Gambar 3.

173



(t-statistik > 1.96). Akan tetapi, di sisi lain terdapat dua hubungan kausal yang menunjukkan nilai yang tidak signifikan yaitu hubungan kausal antara variabel kehandalan dengan kepuasan masyarakat dan hubungan kausal antara variabel jaminan dengan kepuasan masyarakat. Hal ini berarti bahwa kehandalan dan jaminan tidak memberikan pengaruh yang signifikan atau nyata terhadap kepuasan masyarakat pengguna Jalan Tol Bali Mandara. Tabel 9. Nilai Original Sample dari AVE, √ dan Composite Reliability ( c )

Gambar 3. Model Persamaan Struktural yang Dianalisis dengan Penduga dari MasingMasing Jalur

Tabel 8. Nilai Path Coefficients pada Hubungan antara Variabel Laten Hubungan Original Standard Kausal Sample Error Kondisi Fisik → Kepuasan 0.190 0.072 Masyarakat Kehandalan → Kepuasan 0.027 0.075 Masyarakat Tanggung Jawab → 0.265 0.083 Kepuasan Masyarakat Jaminan → Kepuasan 0.074 0.099 Masyarakat Kepedulian → Kepuasan 0.349 0.102 Masyarakat * s = signifikan; ts = tidak signifikan

T Stat 2.637 (s) 0.354 (ts) 3.190 (s)

0.747 (ts) 3.401 (s)

Hasil pada Tabel 8 menyatakan bahwa hubungan kausal yang terjadi antara variabel kondisi fisik dengan kepuasan masyarakat, variabel tanggung jawab dengan kepuasan masyarakat, dan variabel kepedulian dengan kepuasan masyarakat memiliki nilai koefisien jalur yaitu masing-masing 0.190, 0.265, dan 0.349, namun variabel kepedulian yang lebih dominan berpengaruh terhadap kepuasan masyarakat. Ketiga hubungan kausal tersebut memiliki nilai yang signifikan pada taraf uji 5%

Var. KF KH TJ JN KP KM

AVE 0.451 0.454 0.482 0.454 0.524 0.477

√ 0.672 0.674 0.694 0.674 0.724 0.691

c 0.804 0.804 0.786 0.804 0.846 0.820

Ket. Baik Baik Baik Baik Baik Baik

Memperhatikan hasil pada Tabel 9, dapat dilihat bahwa nilai dari akar Average Variance Extracted (√ ) masing-masing sebesar 0.672, 0.674, 0.694, 0.674, 0.724 dan 0.691. Semua nilai dari √ > 0.5 dan nilai Composite Reliability ≥ 0.7. Kedua hal tersebut menunjukkan bahwa model yang dihasilkan dalam penelitian ini baik dan dapat dipercaya. Dalam model yang dianalisis, diperoleh juga nilai koefisien determinasi (R2) sebesar 0.533 atau 53.3%. Nilai R2 tersebut mengindikasikan bahwa variabel-variabel laten eksogen (kondisi fisik, kehandalan, tanggung jawab, jaminan, dan kepedulian) hanya mampu mewakili variabel laten endogennya (kepuasan masyarakat) sebesar 53.3% dan sisanya dipengaruhi oleh variabel yang lain. 4. KESIMPULAN DAN SARAN Hasil analisis SEM dalam penelitian ini menunjukkan bahwa masyarakat belum puas dengan kualitas pelayanan yang diberikan dan dari kelima variabel Servqual yang digunakan dalam model, hanya tiga variabel yaitu kepedulian, tanggung jawab, dan kondisi fisik yang berpengaruh signifikan untuk mengukur

174


tingkat kepuasan masyarakat terhadap kualitas pelayanan Jalan Tol Bali Mandara. Variabel yang dominan memengaruhi tingkat kepuasan masyarakat terhadap kualitas pelayanan Jalan Tol Bali Mandara adalah variabel kepedulian karena dari ketiga variabel yang signifikan, kepedulian memberikan pengaruh paling tinggi. Adapun saran yang dapat disampaikan penulis, yaitu pada penelitian ini interaksi dari variabel belum diperhitungkan dan pengaruh mediasi juga belum dipertimbangkan, diharapkan untuk penelitian selanjutnya agar menambahkan interaksi dan variabel mediasi untuk menyempurnakan model.

ISSN: 2303-1751

DAFTAR PUSTAKA [1]

Dillala, Lisabeth. 2000. Handbook of Multivariate Statistic and Mathematical Modelling. Illinois: Elsevier Science.

[2]

Hair, J. F., Black, W. C., Babin, B. J., & Anderson, R. E. 2010. Multivariate Data Analysis (Seventh Edition ed.). New Jersey: Pearson Prentice Hall.

[3]

Hair, J. F., M. Hult, G. T., Ringle, C. M., & Sarstedt, M. 2013. A Primer On Partial Least Squares Structural Equation Modeling (PLS-SEM). Los Angeles: SAGE Publications, Inc.

[4]

Parasuraman, A, Zeithmal, V.A., & Berry, L.L. 1988. Servqual: A Multiple-Item Scale for Measuring Consumer Perceptions of Service Quality. Journal of Retailing.

175


ISSN: 2303-1751

ESTIMASI MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK MENGGUNAKAN ESTIMATOR KERNEL UNIFORM (Studi Kasus: Pasien DBD di RS Puri Raharja) Anna Fitriani§1, I Gusti Ayu Made Srinadi2, Made Susilawati3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author

2

ABSTRACT Semiparametric regression model approach is a model approach that combines parametric regression models and nonparametric regression. On semiparametric regression, most explanatory variables are parametric and nonparametric others are. Independent variables that satisfy parametric assumptions can be predicted by linear regression analysis method, whereas that does not meet the parametric assumptions alleged by the method nonparametrik.Teknik smoothing (smoothing) nonparametric regression curve on the components used in this study using uniform kernel function. Estimation of optimal semiparametric regression curve is determined by the size of the weight or bandwidth (h) is optimal. Selection of the optimal bandwidth will produce a smooth regression curve estimation in accordance with the pattern data. Selection of the optimum bandwidth is determined based on the criteria that the minimum value of GCV. The purpose of this study was to determine the estimated regression function semiparametric dengue cases using kernel estimators uniform. The response of the data used is old data recovery of patients with Dengue Hemorrhagic Fever (DHF). There are six independent variables such as age (years), body temperature (0C), pulse (beats / min), hematocrit (%), platelets , and duration of fever (day). Age, body temperature, pulse, platelets, and duration of fever is a component of parametric and nonparametric hematocrit is a component. Bandwidth (h) the optimal minimum GCV obtained based on the criteria of 0,005. MSE value is generated using multiple linear regression analysis of 0,031. While the semiparametric regression of 0,00437119. Keywords: Semiparametric Regression, Kernel, Bandwidth, GCV

1. PENDAHULUAN Analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel bebas (prediktor) terhadap variabel terikat (respon) dengan terlebih dahulu melihat pola hubungan variabel tersebut. Pendekatan model regresi semiparametrik merupakan pendekatan model yang mengkombinasikan model regresi parametrik dan regresi nonparametrik. Pada regresi semiparametrik, sebagian variabel penjelasnya bersifat parametrik dan sebagian lain bersifat nonparametrik. Regresi semiparametrik digunakan jika pola hubungan antara sekumpulan variabel bebas dan variabel terikat

diketahui dan ada pula yang tidak diketahui. Diberikan model regresi semiparametrik: adalah variabel respon ke-i, adalah komonen parametrik, adalah fungsi regresi yang tidak diketahui, dan adalah galat acak (random error), dimana . Terdapat beberapa teknik smoothing dalam model regresi nonparametrik salah satunya adalah kernel. Penduga kernel fleksibel dan secara matematik mudah diselesaikan (H ̈ rdle [2]). Pada penduga kernel yang terpenting adalah pemilihan parameter pemulus (bandwidth) yang optimal untuk mendapatkan

176

Anna Fitriani, A., Srinadi, I G.A.M., Susilawati, M.

Estimasi Model Regresi Semiparametrik Menggunakan Estimator…

kurva regresi yang optimal. Kasus yang dapat menggunakan regresi semiparametrik salah satunya adalah menduga model regresi dengan respon lama kesembuhan pasien Demam Berdarah Dengue (DBD). Lama kesembuhan pasien ada kemungkinan dipengaruhi oleh nyeri demam, suhu tubuh dan tekanan darah, dehidrasi, penurunan kadar trombosit, perdarahan, shock. Sebaran data dari variabel yang diketahui bentuk kurva regresinya diduga menggunakan regresi parametrik, sedangkan peubah yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan tidak ingin terikat dengan asumsi tertentu, dapat diduga dengan regresi nonparametrik.Berdasarkan uraian tersebut, peneliti tertarik untuk menentukkan model regresi semiparametrik menggunakan penduga kernel uniform.

adalah variabel respon ke-i, adalah komponen parametrik, adalah fungsi regresi yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan adalah galat acak dengan . 2.4 Regresi Nonparametrik Kernel Regresi kernel adalah teknik statistika nonparametrik untuk menduga fungsi regresi pada model regresi nonparametrik dengan Penduga fungsi regresi semiparametrik adalah sebagai berikut: ̂

∑

dengan ∑

2. TINJAUAN PUSTAKA

(

2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupakan metode statistika yang digunakan untuk mengetahui pola hubungan antara variabel prediktor dengan variabel respon, dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. Bentuk umum regresi linier ditulis sebagai berikut

2.2 Regresi Nonparametrik Untuk n pengamatan yang independen, maka model regresi secara umum dapat ditulis dengan:

adalah variabel respon ke-i, adalah fungsi regresi yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan adalah error random atau galat acak yang diasumsikan independen dan identik dengan rataan 0 dan keragaman . 2.3 Regresi Semiparametrik Model regresi semiparametrik dapat ditulis sebagai berikut:

∑

( (

∑

) ) )

(

)

Penduga (8) diusulkan oleh Nadaraya dan Watson, sehingga penduga ini sering disebut penduga Nadaraya-Watson (H ̈ rdle [2]). Pada regresi kernel, ukuran penduganya ditentukan oleh bandwidth (h). 2.5 Pemilihan Bandwidth Optimal Bandwidth adalah parameter pemulus (smooothing) yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari kurva yang diestimasi. Proses pemilihan bandwidth yang sesuai (parameter smoothing) adalah bagian yang penting dari regresi nonparametrik. Telah diketahui secara umum, bahwa permasalahan utama pada kernel smoothing bukan terletak pada pemilihan kernel tetapi pada pemilihan bandwidth (Hastie dan Tibshirani [3]). Bandwidth yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang undersmoothing yaitu sangat kasar dan fluktuatif. Sebaliknya, bandwidth yang terlalu lebar akan menghasilkan kurva yang over-smoothing yaitu sangat mulus. (H ̈ rdle [2]). Oleh karena itu

177


perlu dipilih bandwidth yang optimal untuk menghasilkan kurva optimal Salah satu metode untuk mendapatkan optimal adalah dengan menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) (Eubank [1]), yang didefinisikan sebagai berikut:

(

(

))

dengan: ∑(

)

2.6 Koefisien Determinasi Koefisien determinasi merupakan besaran yang digunakan untuk mengukur kelayakan model regresi dan menunjukkan besar kontribusi terhadap perubahan . Semakin tinggi nilai semakin baik model regresi yang terbentuk: ∑

̂ ̅

∑

̅

Nilai terletak antara 0 dan 1. Model dikatakan lebih baik jika semakin mendekati nilai 1. 2.7 Demam Berdarah Dengue Demam berdarah dengue merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus dengue. Pada penderita demam berdarah dengue biasanya ditemukan perdarahan pada kulit, perdarahan dari gusi, hidung, usus, dan lain lain. Bila tidak ditangani segera, demam berdarah dengue dapat menyebabkan kematian. Selain menyebabkan demam berdarah dengue, inveksi virus dengue juga menyebabkan demam dengue. Setelah tergigit nyamuk pembawa virus, maka inkubasi akan berlangsung antara 3 sampai 15 hari sampai gejala demam dengue muncul. Adapun indikasi atau gejala demam berdarah adalah nyeri demam, suhu tubuh dan tekanan darah, dehidrasi, penurunan kadar trombosit, perdarahan, shock.

ISSN: 2303-1751

3. METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diambil di Rumah Sakit Puri Raharja Denpasar Bali. Populasi dari penelitian ini adalah pasien DBD yang pernah menjalani rawat inap di Rumah Sakit Puri Raharja. Sampel dari penelitian ini berasal dari data rekam medis pasien DBD periode bulan Januari sampai bulan Maret 2015. Peubah respons yaitu lama kesembuhan pasien DBD (hari) dan peubah bebas yaitu umur (U), suhu tubuh (S), nadi (N), trombosit (PLT), lama demam (LD) serta kadar hematokrit (HCT). a. Estimasi kurva regresi dengan pendekatan estimator kernel - Mendefinisikan penduga ̂ untuk dan ̂ untuk pada model regresi semiparametrik (4) - Estimator ̂ dicari dengan menggunakan persamaan (7) dan diperoleh model estimasi. - Estimator ̂ dicari dengan menggunakan meminimumkan kuadrat galat dan diperoleh model estimasi. b. Penentuan parameter pemulus menggunakan fungsi kernel uniform dan ditentukan dengan GCV pada persamaan (9) c. Menghitung penduga . d. Menerapkan pada data sekunder. e. Interpretasi model yang diperoleh. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diambil di Rumah Sakit Puri Raharja Denpasar Bali. Populasi dari penelitian ini adalah pasien DBD yang pernah menjalani rawat inap di Rumah Sakit Puri Raharja. Sampel dari penelitian ini berasal dari data rekam medis pasien DBD periode bulan Januari sampai bulan Maret 2015. Peubah respons yaitu lama kesembuhan pasien DBD (hari) dan peubah bebas yaitu umur (U), suhu tubuh (S), nadi (N), trombosit (PLT), lama demam (LD) serta kadar hematokrit (HCT).

178

Anna Fitriani, A., Srinadi, I G.A.M., Susilawati, M.

Estimasi Model Regresi Semiparametrik Menggunakan Estimator…

4.1 Penentuan Komponen Parametrik dan Komponen Nonparametrik

Scatterplot of Y vs Umur 11 10 9 8 7

Y

Apabila plot antara variabel bebas dengan variabel respon memiliki hubungan linear, maka variabel bebas tersebut merupakan komponen parametrik. Namun, apabila plot antara variabel bebas dengan variabel respon tersebut memiliki hubungan nonlinier, dan sulit untuk menduga bentuk kurva regresinya, variabel bebas tersebut dipilih sebagai komponen nonparametriknya.

6 5 4 3 2 0

10

20

30

40 Umur

50

60

70

80

Gambar 4.4. Scatter plot antara Umur (U) dengan Lama kesembuhan pasien (Y)

Scatterplot of Y vs PLT

Scatterplot of Y vs Suhu

10

12 11

8

10

7

9

6

8

Y

Y

9

5

7 6

4

5

3

4 2 0

50

100

150

200

3

250

PLT

36

Gambar 4.1 Scatter plot Trombosit (PLT) dengan Lama kesembuhan pasien (Y)

37

38 Suhu

39

40

Gambar 4.5. Scatter plot antara Suhu (S) dengan Lama kesembuhan pasien (Y)

Scatterplot of Y vs Nadi 12

Scatterplot of Y vs HCT

11

10

10

9

9

Y

8

8

7

7

Y

6

6

5 4

5

3

4 60

70

80

90

100

110

3

Nadi

Gambar 4.2 Scatter plot antara Nadi (N) dengan Lama kesembuhan pasien (Y) Scatterplot of Y vs LD 14

35

40

45

50

HCT

Gambar 4.6. Scatter plot antara Kadar hematokrit (HCT) dengan Lama kesembuhan pasien (Y)

12

4.2 Penentuan Bandwich h Optimal Y

10

Pemilihan bandwidth yang optimal ditentukan berdasarkan kriteria nilai GCV yang minimum. Bandwidth optimal pada penelitian diperoleh sebesar 0,005.

8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

LD

Gambar 4.3. Scatter plot antara Lama demam (LD) dengan Lama kesembuhan pasien (Y)

179


ISSN: 2303-1751

5. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

Pada regresi semiparametrik dengan estimator kernel uniform tidak diperoleh model estimasi secara eksplisit seperti regresi lainnya melainkan estimasi dari titik-titik amatan. Berdasarkan kriteria nilai MSE, regresi semiparametrik lebih bagus dibandingkan dengan analisis regresi linear berganda. Nilai MSE yang dihasilkan dengan regresi semiparametrik sebesar 0.00437119 sedangkan nilai MSE yang dihasilkan dengan analisis regresi linear berganda sebesar 0.031. Variabel yang signifikan dalam model regresi ini adalah suhu, umur, dan PLT sehingga dapat dikatakan bahwa dengan tingkat kepercayaan 1% variabel yang berpengaruh terhadap lama kesembuhan pasien adalah suhu, umur dan PLT. Diperoleh model regresi semiparametrik sebagai berikut: ̂ = – 0.005495777 + 0.265938992 S – 0.472707138 U – 0.330655080 PLT + ̂

[1]

Eubank, R. 1988. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. Marcel Dekker. New York.

[2]

H ̈ rdle, W. 1994. Applied Nonparametric Regression. Cambridge University Press. New York.

[3]

Hastie, T.J. and R.J. Tibshirani. 1990. Generalized Additive Models. Chapman and Hall. New York. London

180


ISSN: 2303-1751

PERBANDINGAN CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) DAN THREE FACTORS MODEL FAMA AND FRENCH (TFMFF) DALAM MENGESTIMASI RETURN SAHAM Kadek Mira Pitriyanti§1, Komang Dharmawan2, G.K. Gandhiadi3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT In 1996, Fama and French developed the CAPM in Three Factor Model Fama and French (TFMFF) to analyze the relationship between risk with rate of return by adding firm size factor that is proxied by Small Minus Big (SMB) and value factor at Book to Market Ratio that is proxied by High Minus Low (HML) on the CAPM model. The aim of this research is to compare the ability of CAPM and TFMFF in estimating the returns on six types of portfolios which are formed based on firm size and BE/ME. Selected samples are stocks of LQ-45 in period of February 2014, which have passed the selection of firm profits and ROE Warren Buffett criteria. Simple linear regression and Multiple linear regression with t test and F test statistics are used to demonstrate the influence and significance level of each variable. The results showed that TFMFF was more superior than CAPM. Market risk factor consistently affected each portfolio. SMB and HML is not always significantly effect on each portfolio, such as portfolio B/H, only market risk factor has a significant effect. However, the addition of SMB factors and HML factors could increase the coefficient of determination in each formed portfolio. Keywords: return, market risk, firm size (SMB), Book Equity to Market Equity (HML) 1. PENDAHULUAN Berinvestasi saham di pasar modal merupakan sebuah alternatif yang baik terutama bagi seseorang yang telah memiliki modal tetapi kebingungan mengelola dana tersebut atau takut merintis suatu usaha dari nol. Seseorang atau yang dikenal dengan sebutan investor ini tinggal memilih perusahaan “go-public” yang sudah memiliki prospek yang bagus kemudian membeli saham perusahaan tersebut dan memperoleh keuntungan dalam bentuk pengembalian (return) dari investasi tersebut. Secara umum ada dua hal penting yang harus diperhatikan dalam berinvestasi saham yakni return dan risiko. Return dan risiko memiliki hubungan yang linier artinya semakin tinggi return maka semakin tinggi pula risiko yang harus ditanggung investor atas investasi yang dilakukan.

Investor yang rasional tentu mengharapkan return yang tinggi. Return yang tinggi juga disertai risiko yang tinggi. Return yang diharapkan investor (expected return) seringkali berbeda dengan return kenyataan (actual return) yang diperoleh. Adanya ketidakpastian hasil pada expected return menunjukkan risiko yang harus ditanggung investor. Untuk itu investor perlu suatu model perhitungan yang dapat membantunya dalam meminimalkan ketidakpastian tersebut. Model perhitungan yang populer digunakan ialah CAPM, dalam aplikasinya CAPM menggunakan faktor risiko tunggal yaitu risiko pasar sebagai tolok ukur risiko dalam mengestimsi return. Seiring berjalannya waktu CAPM mulai menunjukkan kelemahannya yakni hasil expected return yang diberikan belum mampu menjelaskan actual return yang terjadi. Fama and French [1] menemukan bahwa

181

Pitriyanti, K.M., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K.

terdapat dua faktor risiko lain selain risiko pasar yakni firm size yang diproksi dengan SMB dan BE/ME yang diproksi dengan HML dalam modelnya yang dikenal dengan Three Factors Model Fama and French (TFMFF). Fama and French [1] dalam penelitiannya tersebut mendapatkan hasil bahwa firm size (SMB) dan BE/ME (HML) berpengaruh signifikan terhadap return dan mendapatkan hasil nilai determinasi ganda TFMFF lebih besar daripada CAPM. Beberapa peneliti setuju dengan temuan Fama and French [1] seperti penelitian yang dapat dilihat pada Nur’ainy, et al. [2], Pasaribu [3] dan Rizkiana [5]. Akan tetapi, beberapa peneliti lain tidak sependapat dengan penelitian Fama & French [1] seperti penelitian yang dapat dilihat pada Saputra dan Murtini [6] dan Sudiyatno dan Irsad [7]. Adanya ketidaksesuaian hasil penelitian sebelumnya mendorong penelitian ini dilakukan. Dalam penelitian ini peneliti menyeleksi sahamsaham yang digunakan berdasarkan kriteria laba perusahaan dan return on equity (ROE) yang ditawarkan Warren Buffett. Menurut Warren Buffett [4] dalam buku “The Guru Investor: How to Beat Market Using History’s Best Investment Strategies”, menyatakan kriteria laba perusahaan dan ROE yang baik untuk suatu perusahaan. Penelitian ini menggunakan kriteria Warren Buffett tersebut dalam menyeleksi saham-saham yang digunakan untuk membandingkan kemampuan CAPM dan TFMFF dalam mengestimasi return sahamsaham yang dikelompokkan ke dalam portofolio Fama & French.

Perbandingan Capital Asset Pricing Model (CAPM) dan…

Model regresi CAPM yakni (

)

Adanya penambahan faktor Small Minus Big (SMB) dan High Minus Low (HML) pada CAPM membuat terdapat tiga peubah bebas pada Three Factor Model Fama and French (TFMFF) dengan model TFMFF sebagai berikut. (

)

Perhitungan untuk return SMB dan HML yaitu sebagai berikut.

Langkah-langkah analisis yang digunakan meliputi pengumpulan data, perhitungan faktorfaktor yang digunakan, pengestimasian model penuh CAPM dan TFMFF dengan menggunakan software SPSS., pengujian asumsi klasik, pengujian signifikansi parameter CAPM dan TFMFF meliputi uji simultan dan uji parsial, pembentukan model regresi CAPM dan TFMFF berdasarkan variabel-variabel pembentuk masing-masing model yang signifikan, analisis perbandingan CAPM dan TFMFF dengan melihat nilai koefisien determinasi pada keenam jenis portofolio (S/L, S/M, S/H, B/L, B/M, B/H), dan langkah terakhir ialah interpretasi model terpilih.

2. METODE PENELITIAN

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Populasi dalam penelitian ini adalah sahamsaham perusahaan yang tergabung dalam indeks LQ-45 periode Pebruari 2014. Pengambilan sampel penelitian menggunakan metode purposive sampling yaitu sampel tidak diambil secara acak melainkan menggunakan kriteria laba bersih dan ROE Warren Buffett yang tertuang dalam buku [4]. Analisis CAPM menggunakan regresi linear sederhana dan TFMFF menggunakan regresi linear berganda.

Saham-saham yang lolos seleksi laba perusahaan dan ROE kriteria Warren Buffett tertuang dalam Tabel 1. Saham-saham tersebut dihitung return perbulannya lalu dikelompokkan ke dalam portofolio S/L, S/M, S/H, B/L, B/M dan B/H. Dari hasil pengelompokkan portofolio tersebut, dapat dihitung return portofolio (S/L, S/M, S/H B/L, B/M, B/H), return SMB dan return HML.

182


Tabel 1. Saham yang lolos Kriteria Warren Buffett No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Saham AALI ADHI ASII ASRI BBCA BBNI BBRI BDMN

No. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Saham BMRI BSDE CPIN GGRM INTP KLBF MAIN MNCN

No. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

[2], Pasaribu [3] dan Rizkiana [5]. Akan tetapi sebelum model-model tersebut diinterpretasikan, terlebih dahulu akan diuji dengan uji asumsi klasik dan uji signifikansi parameter (uji simultan dan uji parsial).

Saham PGAS PWON SMGR SMRA UNVR WIKA

Pengujian Asumsi Klasik

Model Penuh CAPM dan TFMFF Adapun model penuh CAPM diperoleh sebagai berikut. ̂

ISSN: 2303-1751

Asumsi pertama yang harus dipenuhi adalah galat berdistribusi normal. Dengan menggunakan software Minitab Release 14 diperoleh hasil uji normal variabel respons seperti Tabel 2. Tabel 2. Hasil Uji Normal Return portofolio

;

̂

;

̂ ̂

;

̂

;

̂

;

Adapun model penuh TFMFF diperoleh sebagai berikut. ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

p-value 0,058 0,411 0,544 0,188 0,051 0,545

Berdasarkan Tabel 2 diperoleh nilai p-value lebih besar dari taraf signifikansi alpha 0,05. Dengan demikian, asumsi normal univariat terpenuhi yang berarti galat-galat berdistribusi normal. Asumsi kedua yang harus dipenuhi pada kedua model baik CAPM maupun TFMFF adalah kekonstanan dan kehomogenan ragam galat. Salah satu indikator yang dapat menunjukkan galat bersifat konstan dan ragamnya homogen yakni plot galat (residual) dengan nilai ̂ dugaan. Hasil plot galat (residual) dengan nilai ̂ dugaan dengan menggunakan software SPSS menghasilkan sebaran titik-titik plot antara galat dengan nilai ̂ dugaan pada model CAPM dan TFMFF tidak menggambarkan pola tertentu. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa ragam suku galatnya bersifat konstan dan homogen. Uji Simultan CAPM

Mengamati nilai koefisien determinasi ganda terkoreksi ( pada estimasi model penuh, secara keseluruhan TFMFF lebih baik dari CAPM. Hal ini sesuai dengan hasil penelitian yang dapat dilihat pada Nur’ainy, et al.

Adapun hipotesis yang diuji adalah

183



Nilai Fhitung variabel bebas pada CAPM menggunakan software SPSS diperoleh seperti Tabel 3.

Berdasarkan Tabel 5 diperoleh bahwa risiko pasar yang diproksi dengan return market terbukti berpengaruh signifikan sehingga dapat digunakan untuk menjelaskan naik atau turunnya tingkat pengembalian portofolio S/L, S/M, S/H, B/L, B/M, B/H. Hasil tersebut dapat dilihat dari tingkat signifikansi dimana pada tingkat , diperoleh p-value koefisien pada keenam jenis portofolio sebesar 0,000. Dengan kata lain, variabel independen return market dalam model CAPM pada penelitian ini memiliki pengaruh yang signifikan terhadap return portofolio yang dibentuk.

Tabel 3. Nilai Fhitung setiap portofolio pada CAPM tipe Fhitung tipe Fhitung S/L 45,359 B/L 42,685 S/M 61,102 B/M 86,603 S/H 184,721 B/H 130,584 Nilai untuk setiap tipe portofolio lebih besar dari F tabel sebesar 3,98 maka keputusan adalah tolak yang berarti signifikan terhadap return portofolio S/L, S/M, S/H, B/L, B/M dan B/H pada taraf nyata 0,05. Uji Simultan TFMFF Adapun hipotesis yang diuji adalah

Uji Parsial TFMFF Adapun hipotesis yang diuji adalah : :

minimal

satu

parameter

( Nilai Fhitung variabel bebas pada TFMFF menggunakan software SPSS diperoleh seperti Tabel 4. Tabel 4. Nilai Fhitung setiap portofolio pada TFMFF tipe S/L S/M S/H

Fhitung 37,348 38,762 76,398

tipe B/L B/M B/H

Fhitung 27,312 80,051 45,511

Nilai untuk setiap tipe portofolio lebih besar dari F tabel sebesar 2,74 maka keputusan adalah tolak yang berarti signifikan terhadap return portofolio S/L, S/M, S/H, B/L, B/M dan B/H pada taraf nyata 0,05. Uji Parsial CAPM Adapun hipotesis yang diuji adalah

Tabel 5. Hasil Uji Parsial CAPM Dependen

Independen

(

;

dan

Tabel 6. Hasil Uji Parsial TFMFF Dependen

Independen

pvalue 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,014 0,000 0,000 0,511 0,001 0,27 0,002 0,005 0,28 0,073

p-value

Kesimpulan

0,000

Signifikan

0,000

Signifikan

0,000

Signifikan

0,000

Signifikan

0,000

Signifikan

0,000

Signifikan

Kesimpulan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Signifikan Tidak Signifikan Signifikan Tidak Signifikan Signifikan Signifikan Tidak Signifikan Tidak Signifikan

Berdasarkan Tabel 6 diperoleh hasil bahwa risiko pasar yang diproksi dengan return market terbukti berpengaruh signifikan sehingga dapat digunakan untuk menjelaskan naik atau turunnya tingkat pengembalian setiap jenis portofolio Fama and French (S/L, S/M, S/H, B/L, B/M dan

184


B/H). Hasil tersebut dapat dilihat dari tingkat signifikansi yaitu pada tingkat , diperoleh p-value koefisien pada keenam jenis portofolio sebesar 0,000. Dengan kata lain, variabel independen return market dalam model TFMFF memiliki pengaruh yang signifikan terhadap return portofolio yang dibentuk. Firm size yang diproksi dengan SMB terbukti berpengaruh signifikan terhadap sebagian besar return portofolio yaitu S/L, S/M, S/H, B/L, B/M akan tetapi tidak berpengaruh signifikan pada portofolio B/H. Firm size dalam penelitian ini tidak berpengaruh signifikan pada jenis portofolio yang berisi saham-saham dengan ukuran perusahaan yang besar disertai BE/ME yang tinggi. Hal ini memperlihatkan bahwa apabila ukuran perusahaan tersebut besar disertai BE/ME tinggi maka faktor risiko firm size yang diproksi dengan SMB dapat diabaikan dalam mengestimasi return. BE/ME yang diproksi dengan HML terbukti berpengaruh signifikan pada portofolio yang berisi saham-saham dengan BE/ME rendah dan juga pada saham-saham dengan BE/ME tinggi yang disertai ukuran perusahaan yang kecil (S/H). Pada kasus portofolio S/M, B/M dan B/H, BE/ME yang diproksi dengan HML tidak berpengaruh signifikan. Hasil tersebut dapat dilihat dari tingkat signifikansi dimana pada tingkat , diperoleh nilai p-value koefisien sebesar 0,27 (untuk portofolio S/M), 0,28 (untuk portofolio B/M) dan 0,073 (untuk portofolio B/H). Berdasarkan hasil pada uji parsial yang menemukan bahwa BE/ME yang diproksi dengan HML pada portofolio S/M dan portofolio B/M tidak berpengaruh signifikan maka akan dilakukan pemodelan ulang menggunakan software SPSS dengan hanya menggunakan variabel bebas yang signifikan. Perbandingan CAPM dan TFMFF Tabel 7 memperlihatkan perbandingan nilai koefisien determinasi pada model CAPM dan TFMFF dengan hanya menyertakan variabel bebas yang signifikan.

ISSN: 2303-1751

Tabel 7. Perbandingan Nilai Koefisien Determinasi Model

CAPM

TFMFF TFMFF tanpa HML

Portofolio

R2 39,7%

38,8%

47% 72,8% 38,2% 55,7% 65,4%

46,2% 72,4% 37,3% 55% 64,9%

62,6% 77,4% 55% 62,8% 76,5%

60,9% 76,4% 53% 61,7% 75,9%

Pada model tereduksi, portofolio B/H tidak dibahas pada model TFMFF dikarenakan variabel bebas SMB dan HML pada tingkat alpha 0,05 tidak berpengaruh signifikan pada model, sehingga dua variabel bebas tersebut dikeluarkan dari model. Pada kasus portofolio B/H hanya faktor risiko pasar berpengaruh positif dan signifikan sehingga CAPM lebih tepat dalam menjelaskan return portofolio B/H daripada TFMFF. Meskipun demikian penambahan dua faktor risiko Fama and French dapat menaikkan nilai determinasi pada B/H. Pada portofolio S/L, S/M, S/H, B/L dan B/M memperlihatkan TFMFF lebih baik daripada CAPM dengan melihat nilai koefisien Determinasi Ganda (R2) dan koefisien Determinasi Ganda Terkoreksi ( yang lebih besar. Pada portofolio S/M dan B/M hanya menyertakan variabel bebas SMB karena variabel bebas HML tidak berpengaruh signifikan pada tingkat alpha 0,05. Meskipun demikian penambahan variabel bebas SMB pada S/M dan B/M mampu meningkatkan kemampuan model dalam mengestimasi return dibandingkan CAPM. Perbandingan nilai determinasi dalam penelitian yang menggunakan saham-saham yang diseleksi dengan kriteria laba bersih perusahaan dan ROE Warren Buffett ini memperlihatkan bahwa model TFMFF lebih baik daripada CAPM

185



Interpretasi Model Terpilih

turun maka return portofolio juga mengalami penurunan. iii. Koefisien regresi untuk variabel SMB ( ) pada portofolio dengan small size yaitu S/L, S/M dan S/H bernilai positif artinya pada saat return SMB naik sebesar satu satuan maka return portofolio S/L, S/M dan S/H juga akan mengalami kenaikan sebesar (0,579 untuk S/L, 0,583 untuk S/M, 0,249 untuk S/H) begitu pula sebaliknya. Sedangkan koefisien regresi untuk variabel SMB ( ) pada portofolio big size yaitu B/L dan B/M bernilai negatif artinya pada saat return SMB naik sebesar satu satuan maka return portofolio B/L dan B/M akan mengalami penurunan sebesar (0,308 untuk B/L dan 0,516 untuk B/M) begitu pula sebaliknya. iv. Variabel bebas HML ) berpengaruh signifikan pada taraf nyata 0,05 hanya pada portofolio S/L, S/H dan B/L. Portofolio S/L dan B/L memberikan nilai koefisien bernilai negatif yaitu (-0,441 untuk S/L dan 0,189 untuk B/L). Sedangkan pada portofolio S/H memberikan pengaruh positif yaitu sebesar 0,313.

Model terpilih dalam penelitian ini adalah model yang lolos uji asumsi klasik, uji simultan dan uji parsial untuk masing-masing portofolio. Model yang terpilih ini adalah model yang memberikan nilai determinasi ganda yang lebih besar di antara CAPM dan TFMFF. Model yang terpilih yaitu sebagai berikut. ̂

̂

̂

̂

̂

̂ 4. Interpretasi model: i. Portofolio Fama and French sebagian besar memiliki nilai konstanta yang positif kecuali portofolio B/M. Portofolio S/L, S/M, S/H, B/L, dan B/H berturut-turut memberikan nilai konstanta sebesar 0,018; 0,009; 0,000; 0,014; dan 0,009 yang artinya jika variabel return market, SMB dan HML tidak mengalami perubahan maka pengembalian portofolio akan tetap sebesar nilai konstanta tersebut. ii. Koefisien regresi untuk variabel return market ( ) pada keenam portofolio Fama and French bernilai positif artinya pada saat return market naik sebesar satu satuan maka return portofolio juga akan mengalami kenaikan sebesar (0,781 untuk S/L, 0,744 untuk S/M, 1,306 untuk S/H, 0,589 untuk B/L, 1,0473 untuk B/M, 1,012 untuk B/H) begitu pula sebaliknya saat return market

KESIMPULAN DAN SARAN

Penelitian ini mencoba untuk membandingkan CAPM dan TFMFF dengan menggunakan saham-saham LQ-45 yang diseleksi dengan kriteria laba bersih dan ROE Warren Buffett. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil simpulan yaitu risiko pasar yang diproksi dengan return market berpengaruh signifikan sehingga dapat digunakan sebagai faktor risiko dalam menjelaskan naik turunnya tingkat pengembalian (return) pada setiap portofolio Fama and French. Sedangkan firm size dan BE/ME tidak selalu dapat digunakan pada setiap portofolio yang terbentuk. Meskipun demikian penambahan variabel bebas Fama and French selalu dapat menaikkan nilai determinasi pada setiap portofolio. Sehingga dalam penelitian ini diperoleh hasil bahwa TFMFF lebih baik daripada CAPM.

186


Penelitian yang membandingkan model CAPM dan TFMFF ini hanya menggunakan saham LQ-45 sebagai populasi, maka saran yang dapat penulis sampaikan untuk penelitian selanjutnya yaitu dilakukan perbandingan yang sama terhadap CAPM dan TFMFF dengan menambah variasi populasi. Selain itu penelitian selanjutnya juga dapat membandingkan CAPM dan TFMFF dengan Four Factor Model Carhart. DAFTAR PUSTAKA [1] Fama, E. F., and Kenneth R. French. 1996. "Multifactor Explanations of Asset Pricing Anomalies".Journal of Finance. Vol 51, No. 1, 55-84. [2] Nur'ainy,R., Budi Erianda, Bagus Nurcahyo, & Rowland Pasaribu. 2013. "Portofolio Saham Multifaktor Pendekatan Fama and French Studi Empiris Bursa Efek Indonesia. di Bursa Efek Indonesia". Simposium Nasional Akuntansi XVI. Manado: Universitas Gunadarma.

ISSN: 2303-1751

[3] Pasaribu,R.B.2010."Pemilihan Model Asset Pricing".Jurnal Akuntansi dan Manajemen (JAM),Vol 21, No. 3, 217-230. [4] Reese, J. P. and Jack M. Forehand.2009. The Guru Investor: How to Beat Market Using History’s Best Investment Strategies.Canada: John Wiley & Sons, Inc. [5] Rizkiana,Z.M.2011. Studi Pembandingan Model Penilaian Aset: Model Tiga Faktor Fama dan French dengan Capital Asset Pricing Model pada Bursa Efek Indonesia. Skripsi. Jurusan Ekonomi. Semarang: Universitas Diponegoro. [6] Saputra, D. I., dan Umi Murtini.2008. "Perbandingan Fama and French Three Factor Model dengan Capital Asset Pricing Model".Jurnal Riset Akuntansi dan Keuangan, Vol 4, No 2,132-145. [7] Sudiyatno,B. dan Moch. Irsad. 2011."Menguji Model Tiga Faktor Fama Dan French Dalam Mempengaruhi Return Saham Studi Pada Saham LQ45 Di Bursa Efek Indonesia". Jurnal Bisnis dan Ekonomi (JBE) Vol 18, No.2, 126-136.

187


ISSN: 2303-1751

ESTIMASI NILAI CONDITIONAL VALUE AT RISK MENGGUNAKAN FUNGSI GAUSSIAN COPULA Herlina Hidayati§1, Komang Dharmawan2, I Wayan Sumarjaya3 1

Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT Copula is already widely used in financial assets, especially in risk management. It is due to the ability of copula, to capture the nonlinear dependence structure on multivariate assets. In addition, using copula function doesn’t require the assumption of normal distribution. There fore it is suitable to be applied to financial data. To manage a risk the necessary measurement tools can help mitigate the risks. One measure that can be used to measure risk is Value at Risk (VaR). Although VaR is very popular, it has several weaknesses. To overcome the weakness in VaR, an alternative risk measure called CVaR can be used. The porpose of this study is to estimate CVaR using Gaussian copula. The data we used are the closing price of Facebook and Twitter stocks. The results from the calculation using 90% confidence level showed that the risk that may be experienced is at 4,7%, for 95% confidence level it is at 6,1%, and for 99% confidence level it is at 10,6%. Keywords: portfolio, copula, CVaR, Gaussian copula. 1.

PENDAHULUAN

Pada saat ini, mengukur dan mengelola risiko pada data finansial sudah menjadi hal yang lumrah dilakukan dalam manajemen risiko. Salah satu strategi yang digunakan untuk mengelola suatu risiko yaitu dengan membentuk portofolio saham. Secara umum, mengolah suatu risiko sering kali mengacu pada struktur kebergantungan dari variabel acak tingkat pengembalian (return) harus memenuhi asumsiasumsi seperti berdistribusi simetris, distribusi tingkat pengembalian (return) tidak memiliki ekor gemuk (heavy tail), serta hubungan antara variabel harus linear. Namun pada kasus finansial hal ini sangat sulit untuk dipenuhi sehingga diperlukan fungsi copula. Copula memiliki konsep sebagai alat untuk mempelajari kebergantungan tidak linear antara kejadian dalam kasus multivariat. Keluarga copula yang populer antara lain keluarga copula eliptik dan keluarga Archimedian copula. Anggota dari keluarga copula eliptik adalah

Gaussian copula dan t-Student copula. Sedangkan anggota dari keluarga Archimedian copula adalah Clayton copula, Frank copula, dan Gumbel copula. Untuk mengukur dan mengelola suatu risiko, diperlukan alat ukur yang dapat digunakan untuk mengukur risiko yang ada. Salah satu alat ukur yang dapat digunakan adalah Value at Risk (VaR). VaR merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup populer digunakan, namun VaR juga memiliki kelemahan antara lain VaR hanya mengukur persentil dari distribusi keuntungan atau kerugian tanpa memperhatikan setiap kerugian yang melebihi tingkat VaR, dan VaR tidak koheren karena tidak memiliki sifat sub-additive (Artzner, et al [1]). Untuk mengatasi kelemahan yang dimiliki VaR, maka diperlukan Conditional Value at Risk (CVaR). CVaR merupakan suatu ukuran risiko yang memiliki banyak keunggulan di antaranya yaitu CVaR merupakan ukuran risiko yang koheren

188

Estimasi Nilai Conditional Value at Risk Menggunakan Fungsi…

Hidayati, H., Dharmawan, K., Sumarjaya, I W.

serta bersifat convex dan sub-additive (Rockafellar and Uryasev [6]). Selain itu, CVaR juga mampu menghitung risiko pada data berdistribusi normal maupun tidak normal. Penelitian ini membahas estimasi nilai Conditional Value at Risk menggunakan salah satu fungsi copula dari keluarga eliptik yaitu Gaussian copula. Saham yang digunakan pada penelitian ini yaitu saham Facebook dan saham Twitter. 2.

Straumann [2]): (4) 2. t-Student Copula t-Student copula merupakan salah satu jenis copula yang menggunakan distribusi t-Student bivariat. t-Student copula dapat ditulis sebagai berikut ((Embrechts, McNeil, and Straumann [2]):

METODE PENELITIAN

Return merupakan keuntungan atau hasil yang diperoleh oleh investor dari investasi yang dilakukan. Return dirumuskan sebagai berikut: (

)

(1)

dengan menyatakan tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-t, dan menyatakan harga saham pada periode ke (Sunaryo [7]). Korelasi Kendall’s tau digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan dua variabel. Data yang digunakan berskala ordinal dan tidak harus memenuhi distribusi normal. Pada Gaussian copula, Kendall’s tau ditulis sebagai berikut:

(2) dengan adalah koefisien korelasi Gaussian copula. Copula pertama kali dipopulerkan oleh seorang matematikawan bernama Abe Sklar pada tahun 1959 yang teoremanya dikenal dengan nama Teorema Sklar. Copula memiliki beberapa keunggulan antara lain tidak memerlukan asumsi distribusi normal dan dapat menunjukkan adanya pola sebaran data pada ekor distribusi masing-masing variabel. Salah satu keluarga copula yang populer digunakan adalah keluarga copula eliptik. Anggota keluarga copula eliptik adalah Gaussian copula dan t-Student copula. 1. Gaussian Copula Gaussian copula merupakan salah satu jenis copula yang menggunakan distribusi normal standar bivariat. Gaussian copula dapat ditulis sebagai berikut (Embrechts, McNeil, and

(5) Value at Risk (VaR) merupakan suatu ukuran risiko yang menghitung besarnya kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam suatu periode tertentu. VaR dapat didefinisikan sebagai berikut [4]: (6) adalah invers suatu fungsi

dengan distribusi dari . Conditional Value at Risk (CVaR) merupakan suatu ukuran risiko yang memperhitungkan kerugian melebihi tingkat [ ] VaR. CVaR pada selang kepercayaan dapat ditulis sebagai berikut: ∫ dengan [5]).

(7)

adalah fungsi densitas (Letmark

Langkah Analisis Untuk menganalisis data portofolio, akan dilakukan langkah-langkah yaitu: (1) menghitung return saham Facebook dan saham Twitter; (2) mencari nilai statistik deskriptif dari return yang diperoleh; (3) memeriksa ada tidaknya sifat autokorelasi dan efek heteroscedasticity pada data return masingmasing saham. Jika data return memiliki sifat autokorelasi dan efek heteroscedasticity, maka perlu dilakukan penyaringan (filter) yang berguna untuk menghilangkan sifat tersebut dengan menggunakan model GARCH; (4)

189


memeriksa keberadaan nilai ekstrem dengan menggunakan Pareto tail; (5) mengestimasi parameter Gaussian copula; (6) melakukan simulasi Gaussian copula; Menggunakan Gaussian copula, selanjutnya (7) hitung nilai VaR dan (8) estimasi nilai CVaR dari saham portofolio. Setelah itu, (9) lakukan interpretasi dari hasil yang diperoleh. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Menghitung Return Pada tahap ini diperoleh nilai return saham Facebook dan saham Twitter dengan mengolah data closing price menggunakan persamaan (1). Data return yang diperoleh kemudian disajikan ke dalam grafik yang dapat dilihat pada Gambar 1.

ISSN: 2303-1751

Tabel 1. Nilai Statistik Deskriptif FB

TWTR

Mean Standard Deviation Skewness Kurtosis

Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa return saham Facebook dan saham Twitter tidak berdistribusi normal. Secara empiris, data berdistribusi normal dapat dilihat dari nilai skewness dan kurtosis. Sebagai acuan nilai skewness pada data berdistribusi normal bernilai nol, sedangkan kurtosis pada data berdistribusi normal bernilai tiga. Tabel 1 menunjukkan nilai skewness pada return saham Facebook diperoleh sebesar yang artinya skewness bernilai positif (kemiringan ekor yang lebih memanjang ke kanan). Sedangkan skewness pada return saham Twitter diperoleh sebesar yang artinya skewness bernilai negatif (kemiringan ekor yang lebih memanjang ke kiri). Selain itu, nilai kurtosis dari return saham Facebook dan saham Twitter diperoleh sebesar 8,4 dan 12,03, yang artinya kurtosis pada kedua saham memiliki keruncingan leptokurtik. Autokorelasi dan Heterokedastik Untuk mengetahui apakah data return saham Facebook dan saham Twitter memiliki autokorelasi yang signifikan, dapat dilihat menggunakan plot ACF return pada Gambar 2.

Gambar 1. Plot Return FB dan TWTR

Nilai Statistik Deskriptif Nilai statistik deskriptif dari saham Facebook dan saham Twitter dapat dilihat pada Tabel 1.

190



Selanjutnya akan diperiksa ada tidaknya efek heteroscedasticity pada return saham Facebook dan saham twitter. Heteroscedasticity dapat dilihat menggunakan plot ACF kuadrat return pada Gambar 3 dan Gambar 4.

Gambar 2. Plot ACF Return FB dan TWTR

Pada Gambar 2 terlihat sebagian besar lag pada return saham Facebook dan saham Twitter tidak keluar dari batas signifikansi. Hal ini menunjukkan bahwa return saham Facebook dan saham Twitter tidak berautokorelasi. Selain menggunakan plot ACF, ada tidaknya autokorelasi juga dapat dilihat dari hasil uji statistika Ljung-box seperti pada Tabel 2. Hipotesis uji Ljung-Box return saham Facebook dan Twitter sebagai berikut: : return saham tidak berautokorelasi. : return saham berautokorelasi.

Gambar 3. ACF Kuadrat Return FB

Tabel 2. Uji Ljung-Box Saham

FB

TWTR

Ljung-Box P-Value 0,5992 0,5584 0,3076 0,1049 0,1550 0,7727 0,6893 0,8502 0,9383

Qstat 0,2762 1,1653 3,6031 7,6587 8,0225 0,0834 0,7443 0,7971 0,8015

CV 3,8415 5,9915 7,8147 9,4877 11,0705 3,8415 5,9915 7,8147 9,4877

0,9058

1,5617

11,0705

Berdasarkan Tabel 2 dapat dilihat untuk setiap nilai P-Value lebih besar dari dan nilai Qstat lebih kecil daripada nilai CV. Hal ini menunjukkan bahwa tolak atau terima , yang artinya return dari saham Facebook dan saham Twitter tidak berautokorelasi.

Gambar 4. ACF Kuadrat Return TWTR

Pada Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan semua lag pada data kuadrat return saham Facebook maupun saham Twitter tidak keluar dari batas. Hal ini mengindikasi tidak adanya sifat heteroscedasticity pada data. Untuk memperjelas ada tidaknya efek heteroscedasticity, dapat dilihat dari hasil uji ARCH LM seperti pada Tabel 3. Hipotesis uji ARCH LM return saham Facebook dan Twitter sebagai berikut: : homoscedasticity, tidak ada efek ARCH pada return saham. : heteroscedasticity, terdapat efek ARCH pada return saham.

191


Tabel 3. Uji ARCH LM ARCH LM Saham P-Value Qstat 0,5073 0,4397 0,7811 0,4940 0,9002 0,5837 FB 0,6247 2,6122 0,7442 2,7127 0,4689 0,5245 0,7604 0,5478 0,9090 0,5445 TWTR 0,9394 0,7926 0,9779 0,7859

ISSN: 2303-1751

CV 3,8415 5,9915 7,8147 9,4877 11,0705 3,8415 5,9915 7,8147 9,4877 11,0705

Berdasarkan Tabel 3 dapat dilihat untuk setiap nilai P-Value lebih besar dari dan nilai Qstat lebih kecil daripada nilai CV. Hal ini menunjukkan bahwa tolak atau terima , yang artinya return saham Facebook dan saham Twitter bersifat homoscedasticity, tidak ada efek ARCH pada return masingmasing saham.

Pareto tail Pada data finansial sering kali terjadi kasus ekor gemuk (heavy tail) yang mengindikasi adanya nilai ekstrem. Untuk melihat adanya indikasi nilai ekstrem tersebut dapat digunakan plot Pareto tail seperti pada Gambar 5.

Gambar 5 Plot Pareto Tail FB dan TWTR

Pada Gambar 5 terlihat adanya indikasi nilai ekstrem pada return saham Facebook dan saham Twitter. Nilai ekstrem tersebut dapat dilihat pada ekor Pareto bagian bawah maupun ekor Pareto bagian atas pada masing-masing saham. Adanya nilai ekstrem tersebut, mempengaruhi tingkat risiko yang mungkin ditanggung ke depannya. Dengan kata lain, semakin banyak data yang mengumpul pada ekor Pareto akan menyebabkan tingkat risiko yang ditanggung juga semakin besar. Estimasi Parameter Gaussian Copula Pada tahap ini akan dilakukan estimasi parameter Gaussian copula. Adapun parameternya adalah rho . Pada tahap ini akan digunakan Kendall’s tau yang dianggap cocok pada kasus bivariat. Sebelum mengestimasi parameter, hal yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah mencari nilai tau dari saham Facebook dan saham Twitter. Selanjutnya dari nilai yang telah diperoleh tersebut, digunakan untuk mengestimasi parameter Gaussian copula. Dengan menggunakan software MATLAB 2013 diperoleh parameter Gaussian copula sebagai berikut: [

].

Dari hasil estimasi parameter, diperoleh koefisien korelasi dari saham Facebook dan saham Twitter sebesar . Nilai koefisien korelasi tersebut menunjukkan bahwa saham

192



Facebook dan saham Twitter berkorelasi positif sempurna, yang artinya kedua saham dalam portofolio bergerak searah. Simulasi Gaussian Copula Pada tahap ini dilakukan simulasi data dengan membangkitkan sejumlah bilangan acak berbasis Gaussian copula menggunakan parameter yang telah diperoleh sebelumnya. Simulasi dapat dilakukan sebanyak kali (sejumlah yang diinginkan). Pada penelitian ini digunakan simulasi sejumlah Setelah memperoleh hasil simulasi data return, selanjutnya ditentukan bobot (proporsi) dana yang ingin diinvestasikan guna memperoleh return portofolio. Bobot yang digunakan sebesar 0,5 pada masing-masing saham. Selanjutnya dihitung nilai VaR portofolio menggunakan fungsi Gaussian copula sebesar tingkat kepercayaan yang telah ditentukan. Setelah memperoleh nilai VaR, kemudian dihitung estimasi nilai CVaR sebesar tingkat kepercayaan yang telah ditentukan. Pada penelitian ini digunakan tingkat kepercayaan sebesar 90%, 95%, dan 99%. Menghitung Nilai VaR Menggunakan Fungsi Gaussian Copula Pada tahap ini akan dihitung nilai VaR dari return saham Facebook dan saham Twitter menggunakan fungsi Gaussian Copula. Tingkat kepercayaan yang digunakan pada penelitian ini yaitu 90%, 95%, dan 99%. Nilai VaR dari return saham Facebook dan saham Twitter dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4. Nilai VaR

VaR

90% 2,7%

Tingkat Kepercayaan 95% 99% 3,86% 7,6%

Pada Tabel 4 diperoleh nilai VaR pada tingkat kepercayaan 90% sebesar 2,7% atau sebesar 0,027. Sedangkan pada tingkat kepercayaan 95% diperoleh nilai VaR sebesar 3,86% atau sebesar 0,0386, dan pada tingkat kepercayaan 99% diperoleh nilai VaR sebesar 7,6% atau sebesar 0,076. Hasil yang diperoleh

tersebut menunjukkan kerugian yang mungkin dialami untuk satu hari ke depan. Estimasi Nilai CVaR Menggunakan Fungsi Gaussian Copula Pada tahap ini akan diestimasi nilai CVaR menggunakan fungsi Gaussian copula pada tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%. Hasil estimasi dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5. Estimasi Nilai CVaR

CVaR

Tingkat Kepercayaan 90% 95% 99% 4,7% 6,1% 10,6%

Interpretasi Hasil Hasil perhitungan estimasi nilai CVaR dapat dilihat pada Tabel 5. Pada tingkat kepercayaan 90% diperoleh nilai CVaR sebesar 4,7% atau sebesar 0,047. Hal ini berarti pada tingkat kepercayaan 90% menunjukkan besarnya risiko kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan sebesar 4,7% dari aset saat ini. Sedangkan pada tingkat kepercayaan 95% diperoleh nilai CVaR sebesar 6,1% atau sebesar 0,061. Hal ini berarti pada tingkat kepercayaan 95% menunjukkan besarnya risiko kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan sebesar 6,1% dari aset saat ini. Pada tingkat kepercayaan 99% diperoleh nilai CVaR sebesar 10,6% atau sebesar 0,106. Hal ini berarti pada tingkat kepercayaan 99% menunjukkan besarnya risiko kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan sebesar 10,6% dari aset saat ini. Misalnya dengan memiliki modal sebesar $1000.000, maka kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan dengan tingkat kepercayaan 90% yaitu sebesar $47.000. Sedangkan pada tingkat kepercayaan 95% kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan yaitu sebesar $61.000, dan pada tingkat kepercayaan 99% kerugian yang mungkin dialami pada satu hari ke depan yaitu sebesar $106.000.

193


4. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan perhitungan dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa estimasi nilai CVaR portofolio yang terdiri dari saham Facebook dan saham Twitter menggunakan fungsi Gaussian copula pada tingkat kepercayaan 90% yaitu sebesar 4,7%. Sedangkan pada tingkat kepercayaan 95% diperoleh sebesar 6,1%, dan pada tingkat kepercayaan 99% diperoleh sebesar 10,6%. Hasil yang diperoleh tersebut menunjukkan kerugian yang mungkin dialami untuk satu hari ke depan. Adapun saran yang diberikan yaitu penelitian ini dapat dikembangkan menggunakan fungsi Archimedian copula. Adapun anggota keluarga dari Archimedian copula yang dapat digunakan yaitu Clayton copula, Frank copula, dan Gumbel copula.

ISSN: 2303-1751

DAFTAR PUSTAKA [1] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J-M., Heath, D. 1999. Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, Vol. 9, No. 3, pp 203-228. [2] Embrechts, P., McNeil, A., and Straumann, D. 2001. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls, In Risk Management: Value at Risk and Beyond, ed. by M. Dempster and H. K. Moffatt, Cambridge University Press. [3] Franke, J., Härdle, W. K., & Hafner, C. M. 2008. Statistics of Financial Markets: An Introduction (second edition ed.). Berlin: Springer. [5]

Letmark, M. 2010. Robustness of Conditional Value-at-Risk (CVaR) When Measuring Market Risk Across Different Assets Classes. M.S. Thesis. Royal Institute of Tekhnology. Swedia.

[6] Rockafellar, R.T., Uryasev, S. 2000. Optimization of Conditional Value-at-Risk. Journal of Risk, Vol. 2, No. 3, pp 21-41. [7] Sunaryo, T. 2007. Manajemen Risiko Finansial. Jakarta: Salemba Empat.

194


ISSN: 2303-1751

MENENTUKAN PREMI TAHUNAN UNTUK TIGA ORANG PADA ASURANSI JIWA HIDUP GABUNGAN (JOINT LIFE) Tri Yana Bhuana§1, I Nyoman Widana2, Luh Putu Ida Harini3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT Life insurance products consist of a single life insurance and joint life insurance. Joint life is a state where the rule die life is a combination of two or more factors, such as the husband-wife, parentchild. The research is to obtain the formula of the annual premium of joint life insurance with the age of x, y, and z. By using formula and constants Helligmann-Pollard will be determined value of mortality tables, life annuity and single premium to get the formula annual premium joint life insurance for three persons. In addition, this study also aims to get the number of annual premium joint life insurance for a household of three consisting of a married couple and one son with the ages of 50, 45, dan 15 years old, with the interest rate of 5% used. For the contract terms of one and two years, the annual premium of joint life for two persons respectively and greater than the joint life insurance of three persons. While for three to ten years contract, the annual premium of joint life insurance three person is bigger than the joint life insurance for two persons. Keywords: Joint Life Insurance, Annual Premium Two Person, Annual Premium Three Person

1.

PENDAHULUAN

Kejadian seperti kecelakaan, sakit, kerusakan atau kehilangan harta benda adalah sebuah kejadian yang tidak terduga yang dapat dialami oleh siapapun. Ini menyebabkan masyarakat harus lebih menyiapkan diri dalam mengatasi resiko kejadian yang akan dialami. Salah satu cara untuk mengurangi resiko yang tidak pasti adalah dengan mengikuti asuransi. Menurut Sembiring [5] asuransi adalah jaminan atau pertanggungan terhadap kejadian yang tidak pasti. Terdapat banyak jenis-jenis asuransi yaitu asuransi pendidikan, asuransi kesehatan, asuransi dana pensiun, asuransi jiwa dan lainlain. Asuransi jiwa merupakan program asuransi yang memberikan proteksi terhadap resiko pada jiwa seseorang yang menjadi tertanggung. Manfaat proteksi jiwa ini adalah jaminan kepastian terhadap tertanggung dan keluarga dalam menghadapi berbagai resiko kehidupan.

Ketika dalam resiko, maka manfaat asuransi pasti akan tetap memberikan seluruh manfaat dana pendidikan, dana pensiun maupun santunan meninggal yang direncanakan tanpa harus melanjutkan pembayaran preminya terhadap perusahaan asuransi jiwa. Perusahaan asuransi jiwa merupakan perusahaan yang memberikan jasa dalam penanggulangan resiko yang dikaitkan dengan hidup dan meninggalnya seseorang yang dipertanggungkan. Suatu perusahaan asuransi jiwa tidak menutup kemungkinan untuk menawarkan produk asuransi kepada peserta yang ingin melakukan asuransi jiwa secara bersama atau asuransi jiwa hidup gabungan (Joint Life). Joint Life adalah suatu keadaan dimana aturan mati hidupnya merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya suami-istri, orang tua-anak (Futami [3]). Melihat hasil penelitian Matvejevs & Matvejevs [4] dan menggunakan arti dari Joint

195

Bhuana, T.Y., Widana, I N., Harini, L.P.I.

Life yang dijelaskan oleh Futami [3], maka pada tulisan ini akan dikaji besarnya premi yang harus dibayarkan pada asuransi jiwa hidup gabungan untuk tiga orang, selain itu penelitian ini juga bermaksud melihat apakah asuransi Joint Life untuk tiga orang juga memiliki kesimpulan yang sama dengan asuransi Joint Life untuk dua orang yang telah dibahas pada jurnal (Matvejevs & Matvejevs [4]). Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan rumusan premi dari asuransi jiwa joint life untuk tiga orang dan membandingkan nilai premi dari asuransi jiwa joint life untuk dua orang dengan tiga orang. 2. METODE PENELITIAN Kontrak asuransi untuk dua orang yang terdiri dari pasangan suami-istri, apabila peserta berusia x tahun dan y tahun tetap hidup mencapai kontrak asuransi berakhir atau dengan kata lain peserta mencapai usia dan , maka peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q. Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak misalnya apabila y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka x mulai tahun ke-n selama seumur hidup setiap tahunnya mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar , demikian juga sebaliknya apabila x meninggal dunia maka y akan mendapat uang pertanggungan (benefit) sebesar . Apabila kematian dari pasangan juga terjadi (x dan y meninggal) sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematiannya (Futami [2]). Perbandingan antara peluang meninggalnya peserta x tahun sebelum mencapai usia tahun dengan peluang peserta x tahun tetap bertahan hidup selama 1 tahun dapat dirumuskan sebagai (Matvejevs & Matvejevs [4]): qx  A( x B )  D  exp  E  (ln x  ln F ) 2  G  H x (1) c

px

dengan merupakan nilai kostanta, disajikan pada Tabel 2.1 dibawah ini

Menentukan Premi Tahunan untuk 3 Orang pada Asuransi...

Tabel 2.1. Nilai Konstanta dari Formula Helligman-Pollard Konstan A B C D E F G H

Pria 0.00194 0.05093 0.14249 0.00607 1.61992 57.83349 0.00005 1.10715

Wanita 0.00115 0.03310 0.12811 0.00029 23.44606 21.11713 0.00006 1.09116 .

Peluang orang berusia x1 , x2 ,..., xm , 1 tahun kemudian akan tetap hidup dinotasikan dengan p x1x2 ...xm dan dirumuskan sebagai: n

p x1x2 ...xm  n p x1 n p x2  ...n p xm

(2)

Dan Peluang orang berusia x1 , x2 ,..., xm dalam jangka waktu n tahun akan meninggal semua dinotasikan dengan n q x x ...x dan dirumuskan 1 2

m

sebagai (Futami [3]): n

qx x ...x  n qx1 n qx2  ...n qxm 1 2

m

(3)

Anuitas hidup adalah suatu rangkaian pembayaran yang dilakukan apabila orang yang membayarnya masih hidup (Bowers [1]). Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan dilakukan selang beberapa waktu kemudian disebut anuitas tunda (Futami [2]). Anuitas yang ditunda pembayarannya ada yang dilakukan di awal tahun dapat dirumuskan sebagai 



t n

t n

ax   v t t p x   n

Dx  t N x  n  Dx Dx

(4)

Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life untuk dua orang atau lebih tetap hidup dirumuskan sebagai (Futami

[3]): ax x ...x 1 2

m :n|

 1  v  p x1x2 ...xm  v 2 2 p x1x2 ...xm  ...  v n1 n1 p x1x2 ...xm

(5)

196


Besar premi ditentukan dengan prinsip ekivalensi dan mempunyai persamaan ( ) (6) Dengan L menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung yang didefinisikan sebagai variabel random dari nilai tunai benefit yang dibayarkan pihak penanggung. Premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang dilakukan pada waktu kontrak asuransi disetujui, selanjutnya tidak ada pembayaran lagi. Menurut Futami [2] premi tunggal pure endowment adalah pembayaran premi pada suatu kontrak asuransi jiwa yang dibayarkan pemegang polis, mulai dari saat kontrak dimulai sampai dengan jangka waktu tertentu. Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung n tahun dan besar uang pertanggungan adalah Rp. 1 dirumuskan sebagai: (7)

̅̅̅|

Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x, y, dan z tahun dirumuskan sebagai berikut (Futami [3]): 1 xyz: n|

A

 v n p xyz n

(8)

Asuransi berjangka adalah suatu asuransi apabila pemegang polis mulai disetujuinya kontrak asuransi sampai dengan jangka waktu tertentu (meninggal) sebelum masa kontrak selesai maka akan dibayarkan uang pertanggungannya . Premi tunggal asuransi berjangka joint life dengan usia peserta x tahun dan y tahun dirumuskan sebagai

  v t  t 1 p xy  t p xy  n

1 xy:n|

A

ISSN: 2303-1751

meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan 2, dan seterusnya. Setiap tahun apabila meninggal besarnya uang pertanggungan selalu bertambah 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menaik. Untuk masa pertanggungan selama n tahun dan peserta x dan y tahun, uang pertanggungan dibayarkan pada akhir masa pertanggungan, single preminya dinotasikan 1

dengan ( IA) xy:n| dan dirumuskan sebagai

( IA)1xy:n|   t  v t  t p xy  t 1 p xy  n

(11)

t 1

Untuk peserta usia x, y, dan z tahun dirumuskan sebagai (Futami [3]):

  t  v t t 1 p xyz  t p xyz  (12) n

1 xyz:n|

( IA)

t 1

Sehubungan dengan asuransi tersebut maka menurut Futami [3] nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai: 1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai P  1  v  p xy  v 2 2 p xy  ...  v n1 n1 p xy   P  axy:n|

2. Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai n 1 

Q  v n  n p xy  Rx  v k  k p x  m q y m 0 k  n

n 1 

 R y  v m  m p y  k q x  P  IAxy:n| 1

k 0 m  n 1 xy: n|

 Q A

 Rx  n ax n q y

 R y  n ay n q x  P  IAxy:n| 1

(9)

t 1

Premi tunggal asuransi berjangka joint life untuk usia x, y, dan z tahun yang dirumuskan sebagai berikut (Futami [3]):

A1xyz:n|   v t  t 1 p xyz  t p xyz  n

(10)

t 1

Usia tertanggung x tahun, y tahun, dan z tahun meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan 1,

3. Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah

P  axy:n|  Q  Axy: n|  Rx  n ax n q y 1

 R y  n ay n q x  P  ( IA)1xy:n| Sehingga besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi adalah 197


P

1 Q  Axy: n|  Rx  n ax n q y  R y  n ay n q x 1 axy:n|  IAxy:n|


(13)

(Matvejevs & Matvejevs [4]). 3. HASIL DAN PENELITIAN Pada bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan dari masalah yang telah dijelaskan sebelumnya. 1. Premi Tahunan Dua Orang Nilai premi tahunan dua orang pada asuransi joint life sudah dicari dengan menggunakan rumus yang sudah dijelaskan di atas yaitu

Sehingga diperoleh

P  0,327517331 untuk

kontrak 10 tahun 2.

Formula Premi Tahunan Tiga Orang

Kontrak asuransi melibatkan pasangan suami, istri, dan anak laki-lakinya dengan usia berturut-turut x. y, dan z tahun. Pembayaran premi dilakukan n tahun selama peserta masih hidup. Rincian kontrak dari uang pertanggungan (benefit) adalah a. Apabila peserta berusia x tahun, y tahun, dan z tahun tetap hidup sampai kontrak asuransi berakhir maka peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q. b. Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir dan kedua peserta sisanya tetap hidup hingga akhir kontrak akan mendapatkan uang pertanggungan setiap tahunnya misalnya, apabila x meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka pembayaran premi dihentikan dan apabila z tetap hidup hingga masa kontrak berakhir maka y dan z mulai tahun ke-n akan mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar R yz seumur hidup setiap tahunnya. Begitu pula Rxz akan diberikan apabila y meninggal

dan

Rxy

akan

diberikan

apabila

z

meninggal sebelum akhir kontrak. c. Apabila dua peserta meninggal dunia sebelum kontrak berakhir dan satu peserta sisanya tetap hidup setelah kontrak berakhir misalnya, apabila x dan y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka pembayaran premi dihentikan dan apabila z tetap hidup hingga kontrak berakhir maka z mulai tahun ke-n akan mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar R z seumur hidup setiap tahunnya. Begitu pula R y akan diberikan apabila x dan z meninggal dan R x akan diberikan apabila y dan z meninggal sebelum akhir kontrak. d. Apabila ada peserta x, y, atau z meninggal dunia sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematian. Sehubungan dengan kontrak asuransi tersebut maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai 1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan tiga orang pada joint life dapat dinyatakan sebagai



P  1  v  p xyz  v 2  2 p xyz  ...  v n 1  n 1 p xyz



 P  axyz:n|

2. Nilai tunai dari pengembalian premi yang dibayarkan oleh pihak penanggung dinyatakan sebagai 1 yz  n q x  R xz  n | a xz  n q y Q  Axyz: n|  R yz  n | a  Rxy n | axy n qz  Rz n | az n qxy  Rx n | ax n qyz  Ry n | ay n qxz  P  IAxyz:n| 1

3. Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah xyz :n|  Q  Axyz :n|  Ryz n | a yz n qx  Pa 1

Rxz n | axz n q y  Rxy n | axy n qz 

198


ISSN: 2303-1751

Rz n | az n q xy  Rx n | ax n q yz 

dan

R y n | ay n q xz  P  IAxyz:n|

apabila z meninggal sebelum akhir kontrak demikian juga untuk (x) dan (y) meninggal dan (z) tetap hidup diakhir kontrak, maka

1

Dengan demikian dapat ditentukan formula premi tahunan tiga orang yang harus dibayarkan peserta asuransi joint life, yaitu:

P

1

axyz:n|  IA

Q  A

1 xyz: n|

1 xyz:n|

diberikan

rupiah). Begitu pula R y akan diberikan apabila x dan z meninggal dan R x

 R yz  n | ayz  n q x  Rxz  n | axz  n q y

x n q yz  R y n | a y n q xz  Rx  n | a

akan

(z) akan mendapatkan 1 rupiah ( Rz  1



 Rxy n | axy n q z  Rz n | az n q xy

( Rxy  1 rupiah)



(14)

Akan diberikan contoh kasus untuk memudahkan pehamaman rumusan asuransi jiwa joint life untuk tiga orang. Contoh perhitungan (ilustrasi kasus) 1. Usia mulai asuransi Usia mulai asuransi adalah usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta (suami,istri, dan anak laki-lakinya) mengikuti asuransi. Dalam kasus ini, usia suami (x) adalah 50 tahun, usia istri (y) adalah 45 tahun, dan usia anak laki-laki (z) adalah 15 tahun. 2. Masa pertanggungan asuransi Masa pertanggungan asuransi adalah lamanya peserta melakukan kontrak asuransi. Dalam kasus ini, ditetapkan masa pertanggungan asuransi . 3. Tingkat bunga Besarnya tingkat bunga yang digunakan adalah konstan yaitu 4. Santunan Besarnya santunan setelah masa pertanggungan berakhir apabila ketiga peserta masih hidup, maka mereka akan diberikan uang sejumlah 1 rupiah ( rupiah) demikian juga apabila (x) meninggal dan (y),(z) tetap hidup diakhir kontrak, maka (y) dan (z) akan memperoleh 1 rupiah ( R yz  1 rupiah) setiap tahunnya selama seumur hidup. Begitu pula ( Rxz  1 rupiah) akan diberikan apabila y meninggal

akan

diberikan apabila y dan z meninggal sebelum akhir kontrak. Tetapi apabila ada (x) ,(y), atau (z) meninggal dunia sebelum kontrak berakhir, maka semua pembayaran premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan. Berdasarkan rumus premi tahunan untuk dua orang diperoleh premi tahunan kontrak tahun pertama sebesar 1,201491031 dan pada kontrak tahun ke-10 besarnya premi yang harus dibayar sebesar 0,327517331. Untuk premi tahunan tiga orang didapatkan besarnya premi yang harus dibayar dengan menggunakan rumus/formula yang telah dicari diatas. Besarnya premi tahunan kontrak tahun pertama untuk tiga orang sebesar 1,200632037 dan pada kontrak tahun ke-10 besarnya premi yang harus dibayar sebesar 0,339401372. Setelah mendapatkan hasil dari premi tahunan dua orang dan tiga orang maka dapat dibandingkan hasilnya. Dapat dilihat pada Tabel 3.1. Tabel 3.1. Premi Tahunan untuk Dua dan Tiga Orang Premi Tahunan Premi Tahunan Kontrak Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa n Tahun Joint Life Dua Joint Life Tiga Orang Orang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,201491031 0,714018912 0,551820648 0,470958853 0,422643744 0,390608505 0,367876905 0,350954903 0,337894202 0,327517331

1,200632037 0,714000232 0,55276117 0,472987494 0,425898742 0,395238488 0,374042439 0,358830341 0,347669764 0,339401372 199



Jika dinyatakan dalam grafik nilai dari premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk dua dan tiga orang dapat dilihat pada Gambar 1. 1.5 Nilai Premi

Nilai Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Dua Orang Nilai Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Tiga Orang n (tahun)

1 0.5 0 1

3

5

7

9

Gambar 1. Premi Tahunan untuk Dua dan Tiga Orang

Terlihat berdasarkan Tabel 3.1 bahwa dengan selisih 0,000858994 pada kontrak satu tahun dan selisih 0,00001868 pada kontrak dua tahun nilai premi tahunan untuk dua orang lebih besar daripada premi tahunan tiga orang. Sedangkan pada kontrak tiga hingga sepuluh tahun dengan selisih 0,000940522, 0,002028641, 0,003254998, 0,004629983, 0,006165534, 0,007875438, 0,009775562, 0,011884041 premi tahunan untuk tiga orang lebih besar nilainya daripada nilai premi tahunan untuk dua orang. Dapat dijelaskan berdasarkan Gambar 1 terlihat bahwa nilai asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk dua dan tiga orang memiliki nilai premi yang menurun setiap tahunnya.

Melihat perbandingan besarnya nilai premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk dua orang dengan usia x = 50 tahun dan y = 45 tahun dan dengan menambahkan usia z = 15 tahun akan mempengaruhi nilai tabel mortalitas, anuitas hidup, dan premi tunggal untuk premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) tiga orang sehingga mendapatkan nilai premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk dua orang lebih besar saat kontrak asuransi satu dan dua tahun. Sedangkan pada saat kontrak tiga tahun hingga sepuluh tahun premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk tiga orang lebih besar dibandingkan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk dua orang. Saran yang penulis ingin sampaikan pada pengembangan penelitian selanjutnya adalah diharapkan dapat menggunakan joint life pada asuransi kesehatan. DAFTAR PUSTAKA [1]

Bowers, N. et al., 1997. Actuarial Mathematics. Schaumburg: The Society of Actuaries.

[2]

Futami, T., 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center.

[3]

, 1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center.

[4]

Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001. Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefit. Informatica. 12(4), pp.547-558.

[5]

Sembiring, R.K., 1986. Asuransi I. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud.

4. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan yang dijelaskan maka kesimpulan yang didapat berupa rumusan premi tahunan asuransi jiwa hidup gabungan (joint life) untuk tiga orang sebagai berikut: 1 P  1 axyz:n|  IA xyz:n|

Q  A

1 xyz: n|

 R yz  n | ayz  n q x  Rxz  n | axz  n q y

 Rxy n | axy n q z  Rz n | az n q xy

x n q yz  R y n | a y n q xz  Rx  n | a

 200


ISSN: 2303-1751

OPTIMALISASI PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN PREEMPTIVE GOAL PROGRAMMING (STUDI KASUS: UD. DODOL MADE MERTA TEJAKULA, SINGARAJA) Ni Putu Deviyanti§1, Ni Ketut Tari Tastrawati2, I Wayan Sumarjaya 3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT One of the companies in production and marketing of dodol in Singaraja area is UD. Dodol Made Merta. This company produces four variants of dodol namely dodol merah, dodol kayu sugih, dodol ketan hitam, and dodol kacang. All the four dodol variants have a different demand levels.This aim of this research is to determine the optimal prediction of the amount of production that must be produced every month so that profit can be maximized by minimizing the cost of production. This research was done using two methods ARIMA. The best model for dodol merah is ARIMA (1,0,1), dodol kayu sugihis ARIMA(1,0,0), dodol ketan hitam is ARIMA (1,0,0) and dodol kacang is ARIMA(0.01). Keywords: Time Series Stationer Model (AR, MA, ARMA), Time Series Non-Stasioner Model (ARIMA)

1. PENDAHULUAN Perencanaan dalam sebuah produksi merupakan salah satu hal yang harus diperhatikan dalam dunia usaha. Dalam dunia usaha, persaingan akan selalu dihadapi oleh pengusaha satu dengan pengusaha lainnya. Untuk dapat bertahan di tengah persaingan maka pengusaha perlu merancang dan membuat perencanaan yang matang dalam proses produksi maupun dalam proses pemasaran produk. Salah satu contoh kasus usaha yang belum merencanakan produksinya adalah usaha dagang yang bergerak dalam bidang produksi dodol di daerah Tejakula, Singaraja. Usaha ini memproduksi empat jenis varian dodol. Keempat jenis varian dodol tersebut adalah dodol merah, dodol kayu sugih, dodol ketan hitam, dan dodol kacang. Keempat varian dodol tersebut mempunyai tingkat permintaan yang berbeda-beda, dengan adanya tingkat permintaan

yang berbeda-beda ditambah dengan meningkatnya jumlah permintaan pada hari-hari tertentu maka perlu dilakukan suatu penelitian untuk memprediksi besar kecilnya jumlah produk yang harus diproduksi dalam setiap bulannya. Penelitian ini menggunakan metode peramalan ARIMA. Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimanakah model dan hasil prediksi jumlah permintaan keempat varian dodol yang harus diproduksi dalam bulan April dan Mei 2014 menggunakan metode ARIMA. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model dan hasil prediksi jumlah permintaan keempat varian dodol yang harus diproduksi dalam bulan April dan Mei 2014 menggunakan metode ARIMA.

201

Deviyanti, N.P., Tastrawati, N.K.T., Sumarjaya, I W.

2. KAJIAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peramalan Peramalan (forecasting) adalah suatu seni dan ilmu untuk memperkirakan kejadian pada masa depan. Peramalan dilakukan dengan melibatkan pengambilan data masa lalu dan merubahnya ke masa yang akan datang dengan suatu bentuk model matematis (Heizer dan Render [1]). Pada dasarnya terdapat dua metode peramalan (Hakim [2]) yaitu: 1. Metode Peramalan Kualitatif Metode peramalan kualitatif digunakan ketika data historis tidak tersedia, dengan kata lain peramalan kualitatif merupakan peramalan yang tidak berbentuk angka. Metode peramalan kualitatif disebut juga metode subjektif. 2. Metode Peramalan Kuantitatif Metode peramalan kuantitatif menggunakan data historis atau data masa lampau. Metode peramalan kuantitatif dapat dibagi menjadi dua tipe yaitu (Hakim [2]): a. Metode peramalan kausal meliputi penentuan faktor-faktor yang berhubungan dengan variabel yang diprediksi. b. Metode peramalan deret waktu meliputi proyeksi dari nilai-nilai yang akan datang dari variabel yang sepenuhnya didasarkan pada observasi masa lalu dan masa kini variabel tersebut. 2.2 Konsep Deret Waktu Data deret waktu adalah data yang disusun berdasarkan urutan terjadinya waktu. Data tersebut menggambarkan perkembangan suatu kejadian atau suatu kegiatan. Analisis deret waktu merupakan suatu metode kuantitatif yang mempelajari pola gerakan data masa lampau yang teratur (Wirawan [3]). Deret waktu mempunyai empat komponen yaitu (Heizer dan Render [1]): a. Komponen Tren adalah pergerakan data sedikit demi sedikit meningkat atau menurun, seperti perubahan pendapatan dan penyebaran umur. b. Komponen Musiman adalah pola data yang berulang pada kurun watu tertentu, seperti harian, mingguan, bulanan, atau kuartalan.

Optimalisasi Perencanaan Produksi dengan Preemptive…

c. Komponen Siklis adalah pola dalam data yang terjadi setiap beberapa tahun. d. Komponen Variasi Acak adalah satu titik khusus dalam data yang disebabkan oleh peluang dan situasi yang tidak biasa. Variasi acak tidak mempunyai pola khusus, jadi tidak dapat diprediksi.

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 1. Grafik Keempat Komponen, (a) Tren, (b) Musiman, (c) Siklis, (d) Variasi Acak

2.3 Model Deret Waktu Model deret waktu dapat dibedakan menjadi dua yaitu model deret waktu stasioner dan model deret waktu non-stasioner. Salah satu kelas proses stasioner deret waktu adalah proses ARMA (Autoregressive Moving Average). Proses ARMA ini meliputi proses AR (Autoregressive) dan proses MA (Moving Average) sebagai berikut: 1. Proses AR (Autoregressive) Proses autoregresif dengan tingkat dinotasikan , memenuhi persamaan (Wei [4]): dengan

adalah koefisien autoregresif untuk , dan adalah tingkat AR. Persamaan (1) dapat ditulis menggunakan operator backshift (B):

202


(

adalah koefisiean MA (Moving Average) dengan tingkat ,

)

dapat dinyatakan dalam operator backshift ( ) sebagai: dengan . 2. Proses MA (Moving Average) Model moving average dengan tingkat dinotasikan , adalah (Wei [4]):

dengan

adalah parameter model MA untuk , adalah tingkat MA. Persamaan (2) dapat ditulis menggunakan operator backshift B:

(

ISSN: 2303-1751

)

dapat dinyatakan dalam operator backshift ( ) sebagai: dengan

3. Proses ARMA Model autoregressive moving average dengan tingkat dan dinotasikan , adalah (Wei [4]):

dengan

adalah koefisien autoregresif unuk , adalah tingkat AR, adalah parameter MA ke- untuk , dan adalah tingkat MA. Menurut Wei [4], model rerata bergerak terintergrasi autoregresif dengan tingkat dan dinotasikan ARIMA , memenuhi persamaan: dengan adalah koefisien AR (Autoregressive) dengan tingkat ,

menyatakan proses differencing dengan tingkat , adalah koefisien AR (Autoregressive) dengan tingkat , dan adalah koefisien MA (Moving Average) dengan tingkat , dan menyatakan rata-rata (mean) pada proses ARIMA .

Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis deret waktu adalah sebagai berikut (Rosadi [5]): Langkah pertama adalah identifikasi model. Identifikasi secara sederhana dilakukan dengan cara melihat plot dari data dengan tujuan untuk mengetahui apakah data sudah stasioner atau belum. Kestasioneran data dapat dilihat dari bentuk fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial. Apabila data belum stasioner dalam varians maka dilakukan transformasi Box-Cox dan apabila data deret waktu belum stasioner dalam rata-rata (mean) maka dilakukan proses differencing. Jika data sudah stasioner maka langkah selanjutnya adalah menduga dan menentukan bentuk model ARMA sesuai dengan proses differencing sehingga bentuk model ARMA yang diduga tersebut dapat menggambarkan sifat-sifat data dengan membandingkan plot ACF atau PACF dengan sifat-sifat fungsi ACF atau PACF dari model ARMA. Setelah menduga dan menentukan bentuk model ARIMA maka, langkah selanjutnya adalah mengestimasi parameter dalam model. Untuk mengetahui apakah koefisien hasil estimasi signifikan atau tidak dapat digunakan pengujian statistik uji- . Langkah selanjutnya adalah melakukan pemeriksaan diagnostik dari model yang telah diestimasi. Untuk mengetahui apakah residual yang dihitung berdasarkan model yang telah diestimasi mengikuti galat dari model sifat white noise atau tidak, maka dilakukan pengujian sisaan white noise melalui nilai autokorelasinya. Selanjutnya adalah pemilihan model terbaik. Parameter yang dipergunakan dalam peramalan

203



haruslah optimal untuk mendapatkan suatu model terbaik. Metode yang digunakan untuk mengetahui kualitas dari model adalah Akaike’s Information Criterion (AIC). Nilai AIC terkecil dapat mewakili model tersebut merupakan model terbaik. Persamaan untuk menghitung nilai AIC adalah sebagai berikut (Wei [4]): (

(a)

(b)

)

dengan adalah banyaknya parameter dalam model, adalah jumlah kuadrat residual dan adalah banyaknya data residual. Setelah mendapatkan model terbaik dari kandidat model yang diduga maka langkah selanjutnya adalah membuat model peramalan berdasarkan model ARIMA yang terpilih. Langkah selanjutnya adalah menetukan peramalan. Setelah model peramalan ditentukan sesuai dengan model ARIMA yang terpilih, selanjutnya adalah melakukan peramalan dengan menggunakan bantuan program R.

(c)

(d)

Gambar 2. Plot Deret Waktu (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang

Langkah kedua kenormalan:

yaitu

membuat

plot

uji

3. METODE PENELITIAN Data yang digunakan adalah data sekunder diperoleh dari penjualan bulanan produksi dodol (kilogram) dari bulan Januari 2009 sampai Maret 2014. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bulanan jumlah permintaan dari keempat varian dodol, besarnya keuntungan masing-masing dari keempat varian dodol, besarnya pemakaian dan kapasitas bahan baku, besarnya upah tenaga kerja, hasil peramalan jumlah permintaan keempat varian dodol, dan tujuan-tujuan yang ingin dicapai oleh usaha dagang menjadi urutan kepentingan prioritas. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Untuk mengetahui model dan hasil prediksi pada keempat varian dodol tersebut maka dilakukan langkah-langkah berikut: i. Identifikasi Model Langkah pertama yaitu membuat plot deret waktu:

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 3. Plot Uji Kenormalan (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang

204


ISSN: 2303-1751

Langkah ketiga adalah membuat plot fungsi autokorelasi (ACF):

membuat

(a)

Langkah kelima adalah transformasi Box-Cox:

(a)

(b)

(c)

(d)

plot

(b)

(c)

(d)

Gambar 4. Plot ACF (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang

Langkah keempat adalah membuat plot fungsi autokorelasi parsial (PACF):

Gambar 6. Plot Transformasi Box-Cox (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang

Langkah keenam adalah menduga bentuk model ARMA yang sesuai untuk data aktual sehingga diperoleh kandidat model ARIMA (1,0,1), ARIMA (0,0,1), dan ARIMA (1,0,1). ii. Mengestimasi Parameter Mengestimasi parameter dalam model dilakukan dengan bantuan program R sebagai berikut:

(a)

(b)

Tabel 1. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Merah Estimasi Parameter dalam Model ARIMA(0,0,1)

(c)

(d)

Gambar 5. Plot PACF (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang

AIC 0,0486

ARIMA(1,0,0)

0,0705

ARIMA (1,0,1)

0,8423

425,88 425,78

-0,7314

425,45

Tabel 2. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Kayu Sugih Estimasi Parameter dalam Model ARIMA(0,0,1)

AIC 0,0321

ARIMA(1,0,0)

0,0464

ARIMA (1,0,1)

0,8750

431,09 431,04

-0,7869

431,28

205


Tabel 3. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Ketan Hitam Estimasi Parameter dalam Model ARIMA(0,0,1)

AIC 0,0774

ARIMA(1,0,0)

0,0857

ARIMA (1,0,1)

0,15232

411,82 411,79

-0,0673


iv. Peramalan

Langkah selanjutnya adalah peramalan dari model ARIMA terbaik. Model ARIMA terbaik untuk peramalan enam bulan kedepan yaitu dari periode April sampai dengan September 2014 dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

413,78

Tabel 4. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Kacang

Tabel 5. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Merah Bulan

Estimasi Parameter dalam Model ARIMA(0,0,1)

AIC -0,1099

ARIMA(1,0,0)

-0,0856

ARIMA (1,0,1)

0,8927

-1,000

416,99

dan

Pemilihan

Berdasarkan pada tabel estimasi parameter dalam model, maka diperoleh model terbaik untuk keempat varian dodol sebagai berikut: a. Model ARIMA (1,0,1) model terbaik untuk dodol merah, secara matematis dapat ditulis: ̂ ̂

0,0982

0,7314

b. Model ARIMA (1,0,0) model terbaik untuk dodol kayu sugih, secara matematis dapat ditulis: ̂ ̂

April

Mei

Juni

Juli

Agustus

September

23,5

23,7

23,8

24

24,1

24,3

416,53 416,66

iii. Pemeriksaan Diagnostik Model Terbaik

Nilai Peramalan

0,0464

c. Model ARIMA (1,0,0) model terbaik untuk dodol ketan hitam, secara matematis dapat ditulis:

Tabel 6. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Kayu Sugih Bulan Nilai Peramalan

April

Mei

Juni

Juli

Agustus

September

25,8

25,9

25,9

25,9

25,9

25,9

Tabel 7. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Ketan Hitam Bulan Nilai Peramalan

April

Mei

Juni

Juli

Agustus

September

27,8

28,6

28,6

28,6

28,6

28,6

Tabel 8. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Kacang Bulan Nilai Peramalan

April

Mei

Juni

Juli

Agustus

September

25,3

25,4

25,5

25,5

25,5

25,5

̂ ̂ 0,0857

d. Model ARIMA (0,0,1) model terbaik untuk dodol kacang, secara matematis dapat ditulis: ̂ ̂ 0,1099

206


ISSN: 2303-1751

5. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

Berdasarkan hasil penelitian dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Model terbaik untuk keempat varian dodol adalah sebagai berikut untuk varian dodol merah diperoleh ARIMA (1,0,1), varian dodol kayu sugih adalah ARIMA (1,0,0) varian dodol ketan hitam diperoleh ARIMA (1,0,0), dan untuk varian dodol kacang diperoleh model terbaik adalah ARIMA (0,0,1). 2. Selanjutnya, untuk hasil prediksi jumlah permintaan keempat varian dodol yang harus diproduksi dalam bulan April dan Mei 2014 adalah dodol merah sebesar 23,5 dan 23,7 kg, dodol kayu sugih adalah sebesar 25,8 dan 25,9kg, dodol ketan hitam diperoleh hasil sebesar 27,8 dan 28,6kg, dan dodol kacang sebesar 25,3 dan 25,4kg.

[1]

Heizer, Jay dan Render, Barry. 2006. Operations Management. Edisi Ketujuh.Terjemahan:Dwianoegrahwati Setyoningsih dan Indra Almahdy. Jakarta: Selemba Empat

[2]

Hakim, Abdul. 2004. Statistika Deskriptif untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia.

[3]

Wirawan, Nata. 2001. Statistik 1 (Stastistik Deskriptif). Denpasar: Keraras emas.

[4]

Wei, William W. S. 1990. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Canada.

[5]

Rosadi, Dedi. 2012. Ekonomitrika dan Analisis Runtun Waktu Terapan dengan Eviews.Yogyakarta:Andi.

207

:00 AM OPEN JOURNAL SYSTEMS. Journal Help USER. Username

Recommend Documents