ZÁKLADNÍ POJMY Sdílení tepla – přenos tepelné energie mezi tělesy nebo místy o nestejných teplotách. Tepelná energie – vzniká přeměnou jiných druhů energie.
[
]
Součinitel tepelné vodivosti materiálu stěny - λ W .m −1 .K −1 -. Závisí na druhu látky a mění se s teplotou, vliv tlaku se zanedbává.
[
]
λ = (420 ÷ 2,3) W .m −1 .K −1 s rostoucí teplotou klesá;
Kovy
[ ] λ = (0,7 ÷ 0,1) [W .m .K ] s rostoucí teplotou klesá (kromě vody a glycerinu) λ = (0,2 ÷ 0,006) [W .m .K ] s rostoucí teplotou stoupá;
Stavební, izolační materiály: λ = (3 ÷ 0,03) W .m −1 .K −1 s rostoucí teplotou stoupá; −1
Kapaliny
−1
−1 −1 Plyny Vyšší součinitel mají lehké plyny; směsy plynu se exp. Měří neplatí jednoduchý aditivní zákon.
[
]
Součinitel přestupu tepla α W .m −2 .K −1 - charakterizuje přenos tepla mezi tekutinou a pevným povrchem při jejich přímém styku. Závisí na fyzikálních charakteristikách, tzn. na teplotě stěny a tekutiny, tvaru obtékaného tělesa, směru proudění vzhledem k povrchu, rychlostí proudící kapaliny, velikostí a rozložením teplot v mezní vrstvě. Nejnižší hodnota je u volné (přirozené) konvekce tzn. k přestupu dochází pouze rozdílem teplot. Vynucená konvekce – pohyb vzdušiny je způsoben vnějším zdrojem (ventilátor, čerpadlo). Nejvyšších hodnot součinitel přestupu dosahuje při změně skupenství (var, kondenzace) od 3 do 100000. Celkový součinitel přestupu tepla – použití u prostupu tepla, když stěnu obtéká vzdušina a je nutné zde kromě součinitele přestupu tepla konvekcí počítat i se součinitelem přestupu tepla zářením. q α = α kon + α zář α zář = z q z - výsledný zářivý tok; ∆t - teplotní rozdíl (stejný jako u konvekce) ∆t
[
]
Součinitel tepelné vodivosti a m 2 .s −1 charakterizuje rychlost šíření teplotního impulsu v klidovém hmotném prostředí. Většinou se předpokládá, že je konstantní. W Součinitel prostupu tepla – k= 2 -charakterizuje přenos složenou stěnou (včetně přestupu a vedením) m .K 1 k= převrácená hodnota součinitele představuje odpor proti přestupu tepla, který klade 1m2 li 1 1 +∑ +
α1
λi
α2
Teplotní pole – udává rozložení teplot v daném časovém okamžiku v jednotlivých bodech na celém sledovaném poli. T.pole můžeme vyjádřit v pravoúhlých (kartézských) souřadnicích nebo v některých případech ve válcových (cylindrických) nebo kulových (sférických) souřadnicích. T.P. se znázorňuje pomocí izotermických ploch (skládají se z izotermických čar, které vzniknou průnikem izotermické plochy s rovinnou). Izotermické čáry se nikdy neprotnou (jeden bod nemůže mít dvě teploty) v poli se čáry stýkají v křivky nebo končí na rozhraní. Každé pole je z praktického hlediska třírozměrné a nestacionární ( f(x,y,z,t)) dá se teoretický s dostatečnou přesností nahrazovat jednoduššími poli (až jednorozměrné t.p. a stacionární ( f(x)) ). Teplotní pole stacionární – teplota se v jednotlivých bodech nemění – pole ustálené. Teplotní pole nestacionární - teplota se v jednotlivých bodech mění v závislosti na čase – neustálené pole.
[
]
∆t ∂t = - udává teplotní změnu ve směru normály k izotermickému n →0 ∆n ∂n povrchu. Kladná hodnota je ve směru vzrůstající teploty, v záporném směru je to pokles teploty.
Teplotní gradient K .m −1 – gradt = lim
.
Tepelný tok (tepelný výkon) [W ] - Q =
dQ - množství tepla přeneseného za jednotku času. Čára tepelného dτ toku jsou vytvořeny obalovými křivkami (proložení normál regresní křivkou) normál k izotermickým plochám.
[
Hustota tepelného toku W .m −2
]
.
dQ - q= - tepelný tok vztažený na jednotku povrchu. dS
DRUHY SDÍLENÍ TEPLA Sdílení tepla vedením (kondukcí) – způsobená pohybem strukturních částic hmoty (plyn: molekuly a atomy; kapaliny, pevné: pružné vlnění; kovy:difúzí volných elektronů. Základní zákon je zákon Fourierův udává vztah mezi hustotou tepelného toku a teplotním gradientem q = −λ .gradt [W ] Teplo se šíří ve směru klesající teploty a proto má tepelný tok a gradient opačný smysl (proto ve vzorci mínus). Tepelný tok dle Fourierova . t −t λ zákona: Q = λ s1 s 2 S [W ] q = ∆t l l Vedení tepla stěnou – označuje tepelný tok procházející stěnou z jednoho povrchu k druhému. Tělesa neizotropní – mají v různých směrech různou hodnotu součinitele tep. vodivosti např. dřevo. Sdílení tepla prouděním (konvekcí) – v úvahu přichází pouze u kapalin (kapaliny a vzdušiny). V čisté formě neexistuje, protože v proudící kapalině i na rozhraní kapaliny a pevného tělesa dochází také k vedení .
(kondukcí) tepla. Výpočet tepelného toku dle Newtonové rovnice: Q = α (t ohř . − t chlaz. ).S
Sdílení tepla zářením (sáláním; radiací) – nevyžaduje hmotné prostředí. Uskutečňuje se pomocí elektromagnetického vlnění, vzniklého tepelným stavem tělesa. Při dopadu nebo průchodem jiným tělesem se mění část zářivé energie zpět na tepelnou. Energie vyzařovaná tělesy prudce vzrůstá s teplotou a řídí se upraveným Stefan-Boltzmanovovým zákonem s ohledem na vlastnosti skutečných těles E = ε .σ .(T 4 − T04 ) [W ] ; σ = 5,67.10-8 W .m −2 .K −4 Stefan-Bolzmannova konstanta; ε - experimentálně určený emisní součinitel, 0< ε <1. Pevná tělesa: kovy s leštěnými povrchy 0,02-0,06; drsné povrchy (cihly omítka…) 0,95-0,96. Kapaliny: voda 0,95-0,96. Plyn: pouze silnější vrstvy tří a víceatomových plynů. Výsledná tepelná bilance je dána 1) vlastním vyzařováním 2) pohlcováním záření druhých těles 3) pohlcováním odražené energie. Vzorec pro energii vyzářenou tělesy se používá pro výpočet tepelných ztrát zářením teplovodních rozvodů, pecí atd. Záření je často příčinou požárů.
[
]
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA A JEJÍ ODVOZENÍ – Fourier. Její řešení nám dá rozložení teplot v sledovaném prostoru, závisí na souřadnicích a čase. Odvození vychází ze zákonů zachování energie a principu ekvivalencí energií: Časová změna entalpie = výměna tepla vedením + přeměna formy energie (vnitřní zdroje) dI d (c p .ρ .t.dV ) dt = = c p .ρ .dV . = dQ& ved + dQ& zdr dτ dτ dτ dt dQ& x = −λ .gradt.dS = −λ . .dy.dz dx & ∂Q dt ∂ dQ& x + dx = dQ& x + x dx = dQ& x + − λ . .dx.dy.dz . dx ∂x ∂x ∂ dt ∂ dt dQ& ved = dQ& x − dQ& x + dx = . λ . .dx.dy.dz = . λ . .dV ∂x dx ∂x dx
∂ dt ∂ dt ∂ dt dQ& ved − 3 = . λ. + . λ. + . λ . .dV ∂x dx ∂y dy ∂z dz dQ& zdr = q zdr .dV
dI dt ∂ dt ∂ dt ∂ dt = dQ& ved + dQ& zdr ⇒ c p .ρ ..dV = . λ . + . λ . + . λ. .dV + q zdr .dV dτ dτ ∂x dx ∂y dy ∂z dz obecně platná : dt ∂ dt ∂ dt ∂ dt = . λ x . + . λ y . + . λ z . + q zdr dτ ∂x dx ∂y dy ∂z dz pro izotropní materiály :
c p .ρ
[W .m ] −3
q q λ ∂ dt ∂ dt ∂ dt q zdr λ dt = = ∇ 2 t + zdr = a∇ 2t + zdr . + . + . + dτ c p .ρ ∂x dx ∂y dy ∂z dz c p .ρ c p .ρ c p .ρ c p .ρ pro
proudící
[K .s ] −1
kapalinu :
Dt ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t = + . + . + . = + wx + wy + wz dτ ∂τ ∂τ ∂x ∂τ ∂y ∂τ ∂z ∂τ ∂x ∂y ∂z
Podmínky jednoznačnosti úloh vedení tepla diferenciální rovnice má nekonečně mnoho řešení a platí pro těleso libovolného tvaru a libovolnému tepelnému působení. Pro konkrétní řešení musíme znát podmínky jednoznačnosti: a) geometrický tvar b) fyzikální charakteristiky materiálu tělesa c) druh a charakter působení vnitřních zdrojů d) okrajové podmínky (- časové rozložení teplot; - prostorové tepelné působení na povrch;) O.p. prvního druhu – na povrchu je zadáno rozložení teplot jako funkce místa a času. O.p. druhého druhu – je zadána hustota tepelného toku kolmo na povrch jako funkce času a místa. O.p. třetího druhu – v tekutině obklopující těleso známe teplotu tekutiny a součinitel přestupu tepla jako funkce času a místa O.p. čtvrtého druhu – povrch je vystaven kontaktnímu tepelnému působení jiného tělesa O.p. pátého druhu – při tepelném působení dochází ke změně skupenství. Metody řešení rovnice vedení tepla Analytická metoda – lze s ní řešit pouze lineární úlohy s jednoduchými podmínkami jednoznačnosti, jinak je výpočet velmi složitý. Výhoda je, že poskytují náhled do průběhu děje. Numerická metoda – udávají průběh teplotního pole v prostoru a čase číselnými hodnotami. Používají se dvě metody konečných prvků a konečných rozdílů. Dají se zde řešit libovolné úlohy s různými o.p., ale nutné je znát číselné hodnoty vstupujících veličin. Teorie podobnosti – vhodné pro získávání výpočetních vztahů. Teorie analogie – zakládá se na shodě matematického popisu dvou fyzikálně odlišných jevů STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA - PROSTUP TEPLA STĚNOU jsou tak označovány úlohy, kdy kolem stěny proudí kapalina a v úloze je počítáno s přestupem i vedením tepla. Úlohy se zadávají okrajovými podmínkami třetího druhu. Při obtékání stěny vzdušinou počítáme s celkovým součinitelem přestupu tepla. PROSTUP TEPLA ROVINNOU STĚNOU (neomezenou) 1 1 q = α1 (t1 − t s1 ) ⇒ t1 − t s1 = q. ≈ t s3 − t 2 = q.
α1
q = λ1.
(t s1 − t s 2 ) l ⇒ t s1 − t s 2 = q. 1 λ1 l1
1 l l 1 t1 − t 2 = q. + 1 + 2 + α1 λ1 λ2 α 2 t1 − t 2 q= = k (t1 − t 2 ) li 1 1 +∑ +
α1
λi
α2
α2
≈ t s 2 − t s 3 = q.
l2
λ2
PROSTUP TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU (NEOMEZENOU) – schéma obdobné jako u předcházejícího Zadává se okrajovými podmínkami prvního druhu, vyšší teplota je na vnitřním povrchu. 1 1 ql = α1.(t1 − t s1 ).2πr ⇒ t1 − t s1 = ql . ≈ t s 3 − t 2 = ql . 2πr.α 2 2πr.α1 ts 2 ql r2 dr q r dt ql = λ. .2πr ⇒ ∫ dt = ⇒ t s1 − t s 2 = l . ln 2 ∫ dr 2.π .λ r1 r 2.π .λ r1 ts1
q q 1 r r 1 1 1 1 . ln 2 + + l . ln 2 + ql . = l . + 2πr.α1 2.π .λ r1 2πr.α 2 π α1.d1 2λ r1 α 2 .d 2 π .(t1 − t 2 ) ql = r 1 1 1 +∑ . ln i +1 + α1.d1 2λ i ri α 2 .d n
t1 − t 2 = ql .
Výpočet teplot v jednotlivých vrstvách:
t sx = t1 − q .
Rovinná stěna:
1 1
α1 t sx = t1 − ql .
Válcová stěna:
x −1 l
+ ∑
i
i =1 λi
1 x −1
d 1 1 + ∑ . ln i +1 α1d1 i =1 λi di
Ztráty Ztráty se změnou průřezu izolačního materiálu mění. Nejprve rostou a pak klesají π .(t1 − t 2 ) ql = r r 1 1 1 1 . ln 2 + . ln 3 + + α1.d1 2λ1 r1 2λ2 r2 α 2 .d 3 Bude se měnit s tloušťkou izolace Je konstantní
1 d 1 ∂ . ln 3 + d 2 α 2 .d 3 2λ 2 ⇒ ∂d 3 Vyhledáme extrém : 1 1 .d 3−1 − =0 2λ 2 α 2 .d 2 3
1 2λ 2 1 2λ 2
.d 3−1 = =
1
α 2 .d 3− 2
1
α 2 .d
.d 3
⇒ d3 = 3
1 1 1 ∂ . ln d 3 − . ln d 2 + 2λ 2 α 2 .d 3 2λ 2 ∂d 3
Od určité tloušťky izolace nemusí snižovat ztráty, ale pořád snižuje povrchovou teplotu. (V extremních případech může ztráty i zvyšovat!)
2λ 2
α2
Válcovou stěnu můžu řešit jako rovinnou, když je průměr mnohokrát větší než tloušťka stěny. Pak q q tzn.: je-li α1 velké tak použiji d2; je-li α 2 velké tak vyjde v m2 a musím ho přepočítat na ql dle ql = π .d použiji d1; při přibližně stejných hodnotách musím vypočítat střední průměr d stř =
d1 + d 2 . 2
Ekvivalentní vodivost Počítá se jen u tenkých vrstev (plechů), neizotropních materiálu, případě střídajících se tenkých vrstev dvou různých materiálu. Střídají se ve směru kolmém, vodorovném a jejích kombinací. δ + δ2 + δ3 δ1 δ 2 δ 3 δ1 + δ 2 + δ 3 + + = ⇒ λkolm. = 1 δ1 δ 2 δ 3 λ1 λ2 λ3 λkolm. + +
λ1
∆t Q&1 = −λ1. .δ1.1; l1 Q& = Q& + Q& + Q& 1
− λrovn.
2
∆t Q& 2 = −λ2 . .δ 2 .1; l2
λ2
λ3
∆t Q& 3 = −λ3 . .δ 3 .1 l3
3
(λ .δ + λ2 .δ 2 + λ3 .δ 3 ) ∆t − ∆t .(δ1 + δ 2 + δ 3 ).1 = .(λ1.δ1 + λ2 .δ 2 + λ3 .δ 3 ) ⇒ λrovn. = 1 1 (δ1 + δ 2 + δ 3 ) l l
NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA V PEVNÝCH TĚLESECH Nestacionární děj je spojen s změnou teplotního pole a změnou tělesem akumulovaného tepla. Fourierovo kriterium – charakterizuje nestacionární vedení tepla vedením Fo =
λab .∆τ a.∆τ = 2 c p .ρ .∆x ∆x 2
Biotovo kriterium – charakterizuje vztah mezi teplotním polem a okrajovými podmínkami Bi =
λab .L a.L = λ c p .ρ .λ
NUMERICKÁ METODA KONEČNÝCH ROZDÍLŮ Podstatou je aproximace diferenciálních rovnic rovnicemi diferenčními. Nekonečně malé změny času a souřadnic se nahrazují po skocích změnami konečné velikosti. Princip řešení: stěna se rozdělí krokem ∆x na n vrstev. Hranice mezi vrstvami tvoří výpočetní roviny. Povrchy stěn jsou okrajové výpočetní roviny. Teploty se určují v n+1 rovinách. Při výpočtu jsou nutné tyto předpoklady: - při malých prostorových krocích se může uvažovat mezi výpočetními rovinami lineárními závislost teploty. - v průběhu krátkého časového kroku se mezi výpočetními rovinami velikost tepelného toku nemění a rozložení teplot je stejné jako na začátku kroku. - tepelnou kapacitu polovrstev přiléhající k výpočetním rovinám si můžeme představit soustředěnou v těchto rovinách Při výpočtu se vychází ze známých teplot v sousedních vrstvách. Výpočet se vztahuje na m2. Postup při sestavování rovnic je obdobný jako u diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice pro vnitřní výpočtovou vrstvu Změna entalpie hmotnosti je rovna rozdílu přivedeno a odvedeného tepla za daný časový krok: c p .ρ .∆x.(t á′ − t a ) λab (tb − t a ) − λac (t a − t c ) ⇒ (t a′ − t a ) = λab .∆τ 2 (tb − t a ) + λac .∆τ 2 (t c − t a ) = ∆τ ∆x ∆x c p .ρ .∆x c p .ρ .∆x t a′ = Fo.tb − Fo.t a + Fo.t c − Fo.t a + t a t a′ = t a (1 − 2.Fo) + Fo(tb + t c )
a
Fo
Diferenciální rovnice pro okrajovou výpočtovou vrstvu - podle okrajové podmínky druhého druhu ∆x .(t á′ − t a ) λ 2.α1.∆τ 2 = α1 (t o1 − t a ) − ac (t a − t c ) ⇒ (t a′ − t a ) = (t o1 − t a ) + 2.λac .∆τ2 (tc − t a ) c p .ρ .∆x ∆τ ∆x c p .ρ .∆x 2α Bi (t a′ − t a ) = 2.α1.∆τ . λ (t o1 − t a ) + Fo(t c − t a ) = 2.a.∆τ .α1 . ∆x (t o1 − t a ) + Fo(t c − t a ) = 2.Fo.Bi(to1 − t a ) + 2.Fo(t c − t a ) c p .ρ .∆x. λ ∆x.λ ∆x
c p .ρ .
t a′ = 2.Fo.Bi.t o1 − 2.Fo.Bi.t a + 2.Fo.t c − 2.Fo.t a + t a t a′ = t a (1 − 2.Fo(1 + Bi )) + 2.Fo( Bi.t o1 + t c )
Fo
Diferenciální rovnice pro okrajovou výpočtovou vrstvu - podle okrajové podmínky třetího druhu c p .ρ .
∆x .(t á′ − t a ) λ 2.α1.∆τ 2 = q − ac (t a − t c ) ⇒ (t a′ − t a ) = (t o1 − t a ) + 2.λac .∆τ2 (t c − t a ) c p .ρ .∆x ∆τ ∆x c p .ρ .∆x
(t a′ − t a ) = 2.α1.∆τ . λ (t o1 − t a ) + Fo(t c − t a ) = 2.Fo. ∆x .q + Fo(t c − t a ) c p .ρ .∆x. λ
t a′ = 2.Fo.
∆x
λ
λ
.q + Fo(t c − t a ) + t a
Diferenciální rovnice pro rovinu mezi stýkajícími se stěnami ∆x ∆x c p1.ρ1. 1 + c p 2 .ρ 2 . 2 .(t á′ − t a ) λ λ 2 2 = ab1 (t b − t a ) − ac 2 (t a − t c ) ∆τ ∆x1 ∆x2
t a′ =
2.∆τ c p1.ρ1.∆x1 + c p 2 .ρ 2 .∆x2
(
)
λ λ . ab1 (t b − t a ) + ac 2 (t c + t a ) ∆x2 ∆x1
Konvergence a stabilita výpočtu V závorce u t a nesmí být záporné. U (tb − t a ) a (to1 − t a ) bude vždy kladné znaménko. Takže:
2.λac .∆τ c p .ρ .∆x 2
z toho vyplývá, že podmínka pro stabilitu je: ∆τ max
≤1
2.a.∆τ α .∆x + 1 ≤ 1 ∆x 2 λ
z toho vyplývá ∆τ max ≤
∆x 2 ≤ pro OP 1.a 2. druhu 2.a
∆x 2 pro OP 3.druhu α .∆x 2.a. + 1 λ
NUMERICKÁ METODA KONEČNÝCH ROZDÍLŮ, dvou(více)rozměrného vedení Rovina se rozdělí pravoúhlou sítí na stejné obdélníky. Výpočetními body jsou prostorové kroky sítě ve směru jednotlivých os (uzly, hrany obdélníky). Předpoklady při sestavování rovnic: - malé prostorové kroky mezi jednotlivými body – lineární změna teploty - malé časové kroky mezi jednotlivými body – konstantní tepelný tok lineární změna teploty - plocha pro určení velikosti tepelných toků ve směru os je úměrná délce strany kontrolního obrazce - tepelnou kapacitu přiléhajících obdélníků můžeme soustředit do příslušných bodů Diferenciální rovnice pro vnitřní výpočtový bod (4 obdélníky okolo) c p .ρ .∆x.∆y λ λ (t á′ − t a ) = λ xab (t xb − t xa ) − λ xac (t xa − t xc ).∆y + yab t yb − t ya − yac t ya − t yc .∆x ∆τ ∆x ∆y ∆x ∆y λ .∆τ λ yac .∆τ (t a′ − t a ) = λ xab .∆τ (t xb − t xa ) − λ xac .∆τ (t xa − t xc ). ∆y + yab t yb − t ya − t ya − t yc c p .ρ .∆x.∆y c p .ρ .∆x.∆y c p .ρ .∆x.∆y ∆x c p .ρ .∆x.∆y když ∆x = ∆y : t a′ = t a (1 − 4.Fo ) + Fo t xb + t xc + t yb + t yc
(
(
)
(
(
)
)
(
)
Diferenciální rovnice pro výpočtový bod na povrchu který neleží na hraně (2 obdélníky okolo) c p .ρ .∆x.∆y t −t t −t (t á′ − t a ) = α . t xf − t xa + λ xab t xc − t xa .∆y + λ yab yb ya + λ yac yc ya ∆x 2.∆τ ∆x ∆y ∆y
(
)
). ∆∆yx
Obdobně určujeme i výpočtové boby které leží na povrchu na vnější či vnitřní hraně. Principem je, že časová změna entalpie je rovna součtu prostupu tepla v jednotlivých osách. Konvergence a stabilita výpočtu Odvození obdobné jak u předcházejícího případu. V závorce u t a nesmí být záporné znaménko. Takže:
∆τ max ≤
∆x 2 .∆y 2
(
2.a. ∆x 2 + ∆y 2
∆τ max ≤
) pro OP 1.a 2. druhu
∆x 2 .∆y 2 α .∆y α .∆x 2.a.∆x 2 + 1 + ∆y 2 + 1 λ λ
pro OP 3.druhu
SDÍLENÍ TEPLA KONVEKCÍ (V KAPALINÁCH) Newtonova-Fourierova rovnice [ 1 rovnice pro st. v.] ∂t α .∆t = −λ - vznikne porovnáním Newtonovy a Fourierovy rovnice ∂n Proudění – přenos tepla mezi pevnou látkou a (proudící) kapalinou. Laminární proudění – rychlostní profil má tvar paraboloidu Turbulentní proudění – rozkládá se z proudění v ose x a fluktuační složky (do všech směrů). Výsledný turbulentní profil má tvar jako při přestupu tepla a stěnu ve sdílení Teplotní profil proudící látky je ovlivněn rychlostním profilem. Popisuje to:
Navier-Stockesova rovnice [ 2 rovnice pro st. v.] Setrvačné = tlakové + třecí + gravitační ∂w 1 + w.gradw = − .gradp + ν .∇ 2 .w + g ρ ∂τ
síly
Stacionární proudění Nestacionární proudění Rozepsáno:
∂ 2 wx ∂wx ∂wx ∂wx ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂w 1 ∂p + wx + wy + wz = − . +ν . + wy + wz ∂x 2 ρ ∂x ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂y 2 ∂z 2 Pro jednorozměrné stacionární vedení tepla: wx
+ g
∂wx ∂2w 1 ∂p = − . + ν . 2x + g ∂x ρ ∂x ∂x
Stacionérní Furierova rovnice pro vedení tepla [ 3 rovnice pro st. v.] ∂wx ∂ 2t wx = a 2 + dq zdroj ∂x ∂x Neuvažujeme Rovnice kontinuity [ 4 rovnice pro st. v.] S 1-3. rovnicí souvisí součinitel přestupu tepla ( a ) a jelikož neumíme jednoduše řešit, proto součinitel řešíme na základě podobnosti (geometrické a fyzikální) Podmínky podobnosti fyzikálních dějů:
-
fyzikální děje musí být stejného druhu a musí být popsány rovnicemi stejného tvaru porovnáváme pouze veličiny o stejném fyzikálním významu v odpovídajících si bodech a časech podobné musí být všechny veličiny tzn. existuji konstantami podobnosti l ′ = c L .l
KRITERIA PODOBNOSTI: Nusseltovo kriterium (1. rovnice st.v.) ∂t ∂t ′ α .∆t = −λ (1) α ′.∆t ′ = −λ ′ ∂n ∂n′
α′ = cα α
∆t ′ ∂t ′ x′ y ′ z ′ = = ct = = = cL ∆t ∂t x y z c c c .c c α .L ∂t cα .ct .α .∆t = −cλ t .λ (2 )... porovnáním.1.a.2 ⇒ cα .ct = cλ t ⇒ α L = t = 1 ⇒ Nu = = konst. c L ∂n cL cλ ct λ
Pecletovo kriterium (3. rovnice st.v.) c c c .c w.L c w t = ca t ⇒ w L = 1 ⇒ Pe = = konst . cL c 2 ca a L
Reynoldsovo kriterium (2. rovnice – síla setrvačná a třecí) c c c .c w.L c w w = cν w ⇒ w L = 1 ⇒ Re = = konst . cL c 2 cν ν L
Galileovo kriterium (2. rovnice – síla setrvačné a tíhové)
c cw w = c g cL
c g .c 3 c L c w = ν (Re kriterium ) ⇒ =1 cL c 2
⇒ Ga =
ν
g .L3
ν2
= konst.
Archimédovo kriterium (2. rovnice – síla tlakové a tíhové(vztlakové))
cw
c 3 cw 1 cp 1 c ρ o .c g .c x = cg − ⇒ L = cg − ⇒ cL cρ cx c 2 cρ cx ν
c c
L3
ν2
c ρ .c g − (c g o cρ
=1
Ar =
g .L3 ρ − ρ o . ν2 ρ
= konst .
Grashofovo kriterium (Archimédovo kriterium – hustota nahrazena objemovou roztažností) g.L3 Gr = 2 γ .∆t = konst.
ν
Prandlovo kriterium (Kombinace kriterií) Pe w.L ν ν Pr = = . = = konst. Re a w.L a výhody: - obsahuje pouze fyzikální charakteristiky (Hodnoty jsou v závislosti na teplotě (tlaku) tabelovány) - pro plyny stejné atomičnosti má přibližně stejnou hodnotu (vliv na zjednodušení kriteriálních rovnic) Při změně skupenství je nutné zavést další kriteria. Rovnice pro výpočet se s jednotlivými případy mění, způsob obtékání, tvaru tělesa, proudění atd.
PŘESTUP TEPLA PŘI ZMĚNĚ SKUPENSTVÍ Přestup tepla při kondenzaci čisté páry ke kondenzaci dochází ochlazováním par na povrchu pevných stěn nebo v objemu, podmínka je oby teplota ochlazení byla níž než teplota nasycení a výše než teplota trojného bodu. Při kondenzaci na povrchu vzniká kondenzace kapková nebo blánová, rozhoduje o tom smáčivost stěny. Teorie blánové kondenzace – teorii odvodil Nusselt. Předpokládá, že vrstva kondenzátu stéká laminárně po hladkém a čistém povrchu, přitom uvolněné teplo se přenáší na chladný povrch vedením. Povrchové teploty stěny ani kondenzátu se nemění a rozložení teplot ve vrstvě je lineární. V tenké vrstvě kondenzátu se gravitační síly zanedbávají a vliv přemísťování tekutiny v příčném směru se zanedbává. Pohybový impuls mírně proudící páry na povrch kondenzátu se zanedbává.
Hustota tepelného toku ve vzdálenosti x od horního okraje chladné stěny může být vyjádřena základním zákonem vedení tepla tak i přestupu:
qx =
porovnáním obdržíme
αx =
α x místní součinitel přestupu tepla λ součinitel tepelné vodivosti kondenzátu
λ
∂x
(t kond . − t s ) = α x (t kond . − t s ) ;
[W .m ∂x λ
−2
.K −1
]
∂ x tloušťka vrstvy kondenzátu ve vzdálenosti x
Při odvozování tloušťky vrstvy ze Stoklas-Navierovy rovnice a předpokládaných zjednodušených
4.ν .λ .(t nas − t s ).x [m] dostaneme: g + ν . 2 = 0 ⇒ δx = g.ρ .lv ∂y Dosazením do rovnice pro místní součinitel přestupu tepla dostaneme střední hodnotu součinitele, kterou je 0, 25
∂ 2 wx
lν α .L možno zapsat do kriteriálního tvaru: Nu = = c. Ga. Pr . c p .(t nas − t s ) λ
0, 25
Přestup tepla při varu jednosložkových kapalin rozlišuje se var na pevném povrchu nebo v objemu. Nejčastěji na pevném povrchu, zde může dojít k varu buď bublinkovém nebo blánovém. Bublinkový var – bublinky vznikají bezprostředně u zahřívaného povrchu na parních zárodcích (nerovnosti, příměsi plynu...) pak se pulzačně (turbulentně) přemisťují v mezní vrstvě, což má příznivý vliv na přestup tepla. Blánový var – vzniká souvislá parní vrstva, která odděluje kapalinu od zahřívaného povrchu. Zvyšuje se tepelný odpor a součinitel přestupu tepla prudce klesá – zvyšuje se teplota pracovní stěny. (vysoký počet parních bublinek se spojí, posléze se oddělí ve formě velkých bublin). SDÍLENÍ TEPLA ZÁŘENÍM Vyzářená energie (Intenzita vyzařování) – E W .m −2 intenzita zářivého toku – energie vyzářená jednotkou
[
]
plochy za jednotku času. E = m.c 2 = h. f f – frekvence; h – Plancova konstanta 6,6.1034 J.s Monochromatický zářivý tok – Eλ energie byla vyzářená v úzkém, ale konečném intervalu vlnových délek
Vlastní zářivý tok – vyjadřuje energii vyzářenou na všech vlnových délkách Q& = E.S = ε .σ .T 4 .S Bilance zářivého toku: Q& = Q& R + Q& A + Q& D : Q& Zářivý tok který projde materiálem Zářivý tok pohlcený Zářivý tok odražený 1= R + A+ D R – součinitel reflexivity – množství odražené energie. Je-li odrazivost nulová jedná se o absolutně černá tělesa. A – součinitel absorbivity – množství pohlcené energie. Je-li odrazivost nulová jedná se o absolutně bílá tělesa (zrcadlivá, odrazivá). D – součinitel diatermity (průteplivosti) – množství energie, která projde daným tělesem. Skoro ve všech námi řešených materiálech bude nulový.
ZÁŘENÍ DOKONALE ČERNÉHO TĚLESA Intenzita záření při určité vlnové délce - I o, λ W .m −3 - záření absolutně černého tělesa při frekvenci λ. Výpočet
[
]
c1 c1 = 3,742.10 −16 W .m −2 , kde c2 c2 = 1,439m.K 5 λ . exp − 1 λ.T Z tohoto můžeme určit rozmezí, kde bude vyzářená převážná část energie. Průběh spektrální intenzity zážení má maximum a to se s rostoucí teplotou blíží k menším vlnovým délkám.
se provádí Plankovou rovnicí: I 0,λ =
[
∞
]
Integrální zářivý tok – Stefan-Boltzmannův zákon: E0 = ∫ I λ ,0 .dλ = σ .T 4 W .m − 2 , a σ = 5,67.108 W .m −2 0
ZÁKLADNÍ ZÁKONY ZÁŘENÍ Wienův posouvající zákon – dle něj můžeme vypočítat maximum intenzity záření(tzn. při které vlnové délce dopadne nejvíce záření) λmax .T = 2898 [µm.K ] Lambertův zákon – vztahuje se pro záření zdroje do poloprostoru ve směru, který svýrá s normálou plochy úhel ϕ a platí v rozmezí 0 < ϕ < π / 2 a zni: E0,ϕ = E0, n . cos ϕ π /2
integrujeme:
E0 = ∫ E0, n . cos ϕ .dΩ ,
kde dΩ =
0
dS r2
=
2.π .r. sin ϕ .r.dϕ r2
= 2.π .sin ϕ .dϕ tzv. zářivý úhel
π /2
π /2
1 E0 = 2π .ρ .E0, n . ∫ cos ϕ .sin ϕ .dϕ = 2π .ρ .E0, n . sin 2 ϕ energie vyz. v půlkulové polše 2 0 0 E E0, n = 0 W .m − 2 energie vyzářená tělesem ve směru normály
π
[
]
ZÁŘENÍ SKUTEČNÝCH TĚLES Liší se od černého tělesa tím, že vyzařují a pohlcují menší množství zářivé energie, spektrální intenzita jejich záření často neodpovídá Planckovu zákonu a spektrum nemusí být spojité a neřídí se přesně Lambertovým zákonem. Pro výpočty se zavátí tzv. šedé těleso – takové těleso, které část energie pohltí a část odrazí, přičemž tato vlastnost bude pro různá tělesa různá. Aby se mohly použít wienův a lambertův zákon násobí se zářivý tok či spektrální intenzita ε - součinitel zářivosti, emisní součinitel <0;1>(pokusně určený) E = ε .E0 I λ = ε .I 0 , λ Kirchhoffův zákon – udává vztah mezi emisním a absorpčním součinitelem: Dva neomezeně dlouhé povrchy, jeden černý, druhý šedý, mají stejnou teplotu. Dle I. A II. Term. Zákona musí být přenos nulový platí, že E = A.E0 (tzn. musí pohltit své odražené záření i záření šedého tělesa) teda ε .E0 = A.Eo ⇒ ε = A . Pokud by tento zákon neplatil muselo by docházet k zahřívání jednoho tělesa. SDÍLENÍ TEPLA ZÁŘENÍM V DOKONALE PROPUSTNÉM PROSTŘEDÍ zavedena zjednodušení: - tělesa jsou nepropustná, veškerá pohlcená energie se mění na teplo - tělesa jsou šedá, povrch je stejnorodý a izotermický - Lambertův zákon se uvažuje pro záření vlastní i odražené Tělesa se můžou dělit na
zdroje záření
X
ozářená tělesa X
odrazné stěny
Postup odvozování: Vyzářená energie povrchu 1: Q&1 = ε .σ .T 4 .S Část dopadne na těleso 2: Q& dop1, 2 = Q&1.ϕ1, 2 kde ϕ1, 2 je součinitel ozáření Povrch 2 část energie odrazí: Q& odr1, 2 = (1 − A2 )Q& dop1, 2 = R2. .Q& dop1, 2 A část pohltí: Q& = A .Q& pohl1, 2
2
dop1,2
Pokud mají tělesa stejnou teplotu tak tepelný tak musí být nulový, vyplyne nám z toho, že energie dopadající z 1 na 2 je stejná jako energie dopadající 2 na 1. Tedy rovnice pro tepelný tok mezi dvěmi povrchy je: Q& = Q& − Q& = ε .σ . T 4 − T 4 S .ϕ [W ] 1, 2
pohc1, 2
pohlc 2,1
1, 2
(
1
2
)
1 1, 2
při zanedbání odrazu je stupeň černosti soustavy ε 1, 2 = ε 1 − ε 2
Uzavřená soustava tvořená dvěma povrchy Obecně: 1 ε1, 2 = 1 1 1 + ϕ1, 2 − 1 + ϕ 2,1 − 1 ε1 ε2 Dvě nekonečně velká tělesa (desky) – úhel ozáření je ϕ1,2 = ϕ 2,1 = 1 a po úpravě
ε1, 2 =
1
ε1
+
1 1
ε2
−1
Těleso 2 je obklopeno tělesem 1 – tzn. ϕ1, 2 = 1
ϕ 2,1 = S1 S 2
1 1 S1 1 + − 1 ε1 S 2 ε 2 je-li S2 >>>> S1 je ε 1, 2 = ε 1
ε1, 2 =
Zjednodušené řešení otevřené soustavy Tzn. řešené plochy netvoří uzavřenou soustavu, je vhodné pro řešení obklopit dokonale černým tělesem. Při řešení ozářeného povrchu 2, napíšeme rovnici jak pro zdroj záření a ozářený povrch tak i pro ozářený povrch a okolí. Q& = Q& + Q& = ε ε .σ . T 4 − T 4 S .ϕ + ε ε .σ . T 4 − T 4 S .ϕ z ,2
zař1, 2
ozař 2, z
S1.ϕ1, 2 = S 2 .ϕ 2,1
(
)
1 2
(
1
2
)
1 1, 2
S 0 .ϕ 0, 2 = S 2 .ϕ 2,0
(
)
0 2
ε0 = 1
(
0
2
)
0
ϕ 2,1 + ϕ 2,0 = 1
Q& z , 2 = ε1ε 2 .σ . T14 − T24 S 2 .ϕ 2,1 − ε 2 .σ . T24 − T04 S 2 .(1 − ϕ 2,1 )
0
ϕ 2,0 = 1 − ϕ 2,1
Součinitel ozáření Dle Lambertova zákona dopadá z elementární plochy dS1 na elementární plochu dS 2 : d 2 Q& dop1, 2 = E n,1.dS1 . cos ϕ1.dΩ1
kde
je : dΩ =
dS 2 . cos ϕ 2 r
2
; E n,1 =
E1
π
pak :
E dS . cos ϕ d 2 Q& dop1, 2 = 1 .dS1. cos ϕ1 . 2 2 2 π r Q&1 = E1.S1 ⇒ ϕ 2,1 =
Q& dop1, 2 cos ϕ1 . cos ϕ 2 .dS 2 1 = dS1 ∫ ∫ S1 S1 S2 Q&1 π .r 2
cos ϕ1 . cos ϕ 2 .dS1 1 Q& 2 = dS 2 ∫ ∫ S 2 S2 π .r 2 S1 Součinitel ozáření libovolné elementární plochy dS 2 plochou dS1 se odvodí obdobně: cos ϕ1 . cos ϕ 2 .dS1 .dS 2 1 cos ϕ1. cos ϕ 2 .dS1.dS 2 1 ϕ S1,dS2 = ϕ a obdobn ě naopak: = ∫ ∫ S , dS 2 1 S1 S1 S 2 S2 π .r 2 π .r 2
Sdílení tepla v pohlcujícím prostředí Pohlcující (nedokonalé, propustné, zeslabující) těleso, prostředí – označuje takové těleso, prostudí ve kterém se průchodem zářivá energie transformuje na tepelnou. Pohlcování monochromatického záření v homogenním prostředí
Vztah pro zeslabení zářivého toku při průchodu vrstvou pohlcujícího prostředí odvodíme za předpokladu, že vrstvy stejné Malé tloušťky zeslabí tok vždy stejně. TEPELNÉ STÍNĚNÍ – VÝZNAM PŘENOSU TEPLA ZÁŘENÍM PRO ÚČELY POŽÁRNÍ OCHRANY Tepelné stínění – stěny, které mají za úkol eliminovat nežádoucí vliv přenosu tepla zářením (snížení tepelných ztrát horkých povrchů nebo ochrana určitého povrchu nebo prostoru proti účinkům tepelného záření) Dle stínění rozlišujeme: - stínící plechy – stěny odrazné – jsou tenké – fólie s malou pohltivostí povrchů - stínící stěny – stěny pohlcující – jsou silnější – hořlavé materiály s velkou pohltivostí. - vodní clony – rozprášení vody stlačeným vzduchem (k vykrytí mezer v požárních clonách – při šíření požárů) Stínící plechy pro účely tepelné izolace q1,s =
1
ε1
+
1 1
εS
−1
(
.σ . T14 − TS4
)a
q s,2 =
(
1 .σ . TS′ 4 − T24 1 1 + −1 ε S′ ε 2
)
pak : 1
q *1, 2 =
1
ε1 q *1, 2 =
+
1
ε2
−1+
1 1 + −1 ε S′ ε S
(
)
.σ . T14 − TS4 ⇒
(
1 .σ . T14 − TS4 n 1 1 1 1 + −1+ ∑ + − 1 ε1 ε 2 ε S ,i i =1 ε S′ ,i
)
Zde je zanedbán vliv konvekce. Tyto vzorce se používají při vyšších teplotách, vyšších hodnotách stupně černosti soustavy u více stínících plechů s malou zdáleností. Výpočet stínících stěn V obecném případě nemá stěna nulový odpor, může být opatřena ochrannou vrstvou a může být v libovolné vzdálenosti od zdroje záření. Výpočet: 1) Výslednou hustotu zářivého toku mezi zdrojem záření a ozářenou stěnou q z . Část pohlceného záření odvádí konvekce ( q k1 ), zbývající část prostupuje stěnou ( q pr ) a je na odvráceném povrchu odváděna konvekcí a zářením ( q k 2 , q z 2 ). Chlazení odvrácené stěny je zpravidla možno vyjádřit: q z ,v = q k1 + q pr = α k1 .(t S1 − t 0 ) + q pr q pr =
1 l1
λ1
q z ,v
+
l2
λ2
+
1
.(t s1 − t 0 )
α c2
1 = α k1 + l l 1 1 2 + + λ1 λ2 α c 2
.(t s1 − t 0 )
2) Hustota toku dopadajícího na stěnu od zdroje záření je z části pohlcena
VÝMĚNÍKY TEPLA Výměník tepla – zařízení, které umožňuje výměnu tepla mezi dvěma tekutinami o nestejné teplotě. - směšovací – chladící věž, ohřívání vody párou - povrchové - regenerativní – chladnější a teplejší tekutina střídavě omývají teplosměnný povrch. - tepelná trubice – přenos tepla je uskutečňován při fázových změnách - rekuperativní – proudící tekutiny jsou odděleny stěnou (nejpoužívanější) souproudé X protiproudé X s jednoduchým křížovým proudem ZÁKLADNÍ VÝPOČETNÍ VZTAHY Rovnice tepelné bilance: Q& = m& 1.c p1.(t1′ − t1′′) = m& 2 .c p 2 .(t 2′ − t 2′′ ) [W ] Q& [´W ]
- tepelný výkon výměníku
m& kg .s −1
- hmotnostní průtok tekutiny
cp
[ ] [J .kg .K ] −1
−1
t1′ , t1′′ [°C ] t 2′ , t 2′′ [°C ]
- střední tepelná kopacita - vstupní a výstupní teplota teplejší tekutiny - vstupní a výstupní teplota chladnější tekutiny
Při změně skupenství tekutiny musíme vyjádřit tepelnou bilancí pomocí rozdílu entalpií.
Rovnice sdílení tepla: Q& = k .S .∆t s [W ]
[ [m ]
k W .m −2 .K −1 S ∆t s
2
[°C; K ]
]
- střední hodnota součinitele prostupu tepla pro celou plochu - teplosměnný povrch výměníku - střední rozdíl teplot tekutiny teplejší a chladnější
Střední rozdíl teplot tekutin
d Q& = − m& 1 .c p1 .dt 1 = m& 2 .c p 2 .dt 2 1 d (∆t ) 1 = − k .S1. + m& 1+.c p1 1 m& 2 .c p 2 ∆ t− d Q& . ∆ t1 − ∆ t 2 = m& 1 .cp1 m& 2 .c p 2 po int egraci : 1 1 1 +1 d ( ∆ t ) = − k∆ .St.1∆ t . ln = km&.S1 ..c p1 m& 2 .+c p 2 ∆t2 m& 1 .c p1 m& 2 .c p 2 po int egraci : 1 1 ∆ t1 − ∆ t 2 = Q& . + m& 1 .c p1 m& 2 .c p 2
Porovnáním pointegračních vzorců dostaneme: ∆t − ∆t 2 ∆t − ∆t 2 Q& = k .S . 1 tzn. ⇒ ∆t s = 1 ∆t ∆t ln 1 ln 1 ∆t 2 ∆t 2 Při malých změnách rozdílu teplot obou tekutin nebo při přibližně stejném teplotním rozdílu podél teplosměnného povrchu se používá střední aritmetický průměr: ∆t s = 0,5.(∆t1 + ∆t 2 )
Střední hodnota součinitele prostupu tepla
& c p než tekutina chladnější, pak Často se počítá střední teplotu tekutin, má-li teplejší tekutina větší součin m. uvažujeme pro výpočet: t1 = 0,5.(t1′ + t1′′); t 2 = t1 − ∆t s v opačném případě: t 2 = 0,5.(t 2′ + t 2′′ ); t1 = t 2 + ∆t s Někdy se součinitel tepla prostupu tepla počítá na počátku a na konci teplosměnného povrchu, vyjde-li rozdíl velký, dělí se výměník na kratší úseky, které se počítají zvlášť. Stejný postup se provádí v případech, kdy jsou jednotlivé úseky výměníku odlišně uspořádány.
Neizotermické proudění tekutin potrubím Výpočtem se určuje výstupní teplota po průtoku tekutiny potrubím o délce L[m], které se nachází v prostředí se stálou teplotou t 2 .Odvození je podobné jako u prostupu válcovou stěnou avšak teplota se mění pouze na jedné 1 straně. Výchozí rovnice pro t 2′ = t 2 jsou: d (∆t ) = − dt1 = − dQ& ; dQ& = k l .dL.∆t m& 1 .c p1 k .L Řešení těchto rovnic: t1′′ = t 2 + (t1′ − t 2 ). exp − l m& 1.c p1 Pokud je teplota na vstupu do potrubí je nižší jako teplota okolí pak dostaneme vztah pro výstupní teplotu: k .L t 2′′ = t1 + (t1 − t 2′ ). exp − l m& 2 .c p 2 Součinitel prostupu tepla je vztažen na 1 m délky potrubí. kl =
π
1
α1
n
+∑
li
i =1 λi
.
S1 S i ,i +1
S + . 1 α 2 S n+1 1
[W .m
−2
.K −1
kde S i ,i +1 - střední hodnota pro i-tou vrstvu izolace
]
