Optimasi Dalam Rancangan Teknik
- Optimisasi Suatu proses untuk memaksimumkan suatu nilai yang diinginkan atau meminimumkan suatu nilai yang tidak diinginkan.
Fungsi tujuan : biaya, keuntungan, berat, dsb
Fungsi kendala : fungsional hubungan antar variabel
,
regional spesifikasi
Cara ? * Evolusi * Intuisi * Trial & error modeling * Algoritma numerikal
1
Metoda Optimisasi Secara Numerik 1. Dengan Kalkulus Differensial (a) Melibatkan 1 Peubah (satu var bebas) Contoh:
U=f(x) dU dx d2U dx2 d2U
dx2
=0
Titik ekstrim
<0
Ekstrim maksimum
>0
Ekstrim minimum
Kasus optimisasi ketebalan insulasi Minimisasi biaya ( insulator & bahan bakar ) C = K1 1/X + K2 X
C K1 K2
: biaya per tahun : biaya bahan bakar ( per tahun ) : biaya insulator ( per tahun )
Tidak ada kendala fungsional Kendala regional 25 mm x 100 mm biaya tersedia (M) 1 dC + K2 (min) = 0 = -K1 dx X2 X=
√
K1 K2
=> pertimbangkan kendala regional
2
(b) Melibatkan2 Peubah (dua var bebas)
Contoh: U
U = f(x,y)
=0
x U
=0
}
titik ekstrim
}
Ekstrim maks
y 2U
<0
x2 >0
D 2U
}
>0
x2 D
>0
Ekstrim min
2U
2U
x2
x y
2U
2U
y x
y2
D=
=
2U
2U
x2
y2
-
2U
2U
x y y x
3
Kasus Optimisasi bahan =>Minimisasi bahan Akan dibuat kotak tanpa tutup yang volumenya 4 liter . Berapa ukuran kotak agar luas bahan pembuatnya minimum ?
z y
x
L = xy + 2 xz + 2 yz Kendala fungsional : xyz =
4
=> (3 var 2 var)
4
Z =
x,y,z >= 0
xy
8
L = xy +
L x L y
X
8
= Y-
X2 8
= X-
(1) Y -
8
+
y
y2
8
=
X2
=
0
=
0
0
(1)
(2)
Y=
8 X2
substitusikan (1) ke (2) X -
8 82
=
0
X4 X -
X (
1
X4 =
0
X4 - 8X =
0
8
X3-
8)
X ( X - 2 ) ( X2 + 2X + 4 )
=
0
4
Rancangan Teknik
X positif X2 + 2x + 4 definit positif X = 2 => y = 2 z=1 L ( x,y,z ) = L ( 2,2,1 )
x=2
min ?
2L 16 = 3= 2 x2 x 2L 16 = =2 y2 y3 2L = 1 xy 2L yx = 1
D=
2 1 1 2
= 4-1 = 3>0 min.
Rancangan Teknik
Great Mathematician Joseph Louis Lagrange (1736-1813) was born in Turin-French, got his first professorship when he was 19, became director of the mathematical section of The Berlin Academy in 1766. His important major work was in the calculus of variation, differential equation, approximation theory etc.
2. Optimisasi
dengan Lagrange Multipliers U = U1 ( x,y,z ) fungsi tujuan kendala fungsional :
Q1 = Q1 ( x,y,z ) … Qn = Qn ( x,y,z ) LE= U1 (x,y,z) + λ1Q1 (x,y,z) + .. + λnQn (x,y,z) Lagrange Expression
Pada titik optimum harus dipenuhi : LE x LE λ1 … LE λn
=0 =0
; LE y
=0
; LE z
=0
=0
5
Rancangan Teknik
Instalasi tabung pindah panas pada heat exchanger => Minimisasi biaya (dari ukuran shell)
Untuk keperluan pindah panas , dibutuhkan tabung 300 (lineal) m pada susunan sedemikian rupa sehingga tiap 1m2 penampang shell dapat diisi 20 buah tabung (kendala fungsional)
Rancangan Teknik
Harga tabung : $ 700 Harga shell :
25 D
2.5
L
Biaya ruang : 20 DL Fungsi tujuan : C = 700 + 25 D
2.5
L + 20 DL
Kendala fungsional : πD2 L ( 20 tb/m2 ) = 300 4 5π D2 L = 300 300 Q1 = L – 5π D2 LE = 700 + 25 D
2.5
L + 20 DL + λ (L – 300 / 5π D2)
Fungsi tujuan
Kendala fungsional
6
Rancangan Teknik
LE = 700 + 25 D
LE = 62.5 D D LE = 25 D L LE = L λ (4) (3)
2.5
1.5
2.5
L + 20 DL + λ( L – 300/5πD2 ) (1)
L + 20L + 2 λ 60/ πD3 = 0
+ 20 D + λ = 0
300 5πD2
= 0
L = 60/ πD2 λ = - 25 D 2.5 – 20 D
62.5 D
(2)
(3)
(4)
} substisusikan
ke (2)
60/ πD2 + 20 60/πD2 + 2 (-25D 2.5 – 20D)60/πD3 = 0 (masing – masing dibagi dengan 60/ πD2) 62.5 D 1.5 + 20 – 50D 1.5 – 40 = 0 D 1.5 = 1.6 => D = 1.37 m (substitusi D pada kendala fungsional) L = 10.2 m C = $ 1540 1.5
Contoh soal •
•
Sebuah perkebunan besar bermaksud mengembangkan 2 blok kebun berbentuk bujur sangkar yang berukuran sama, dengan sisi sepanjang S, dan satu blok kebun lain berbentuk lingkaran dengan jari-jari R. Ukuran masing-masing blok akan ditentukan berdasarkan banyaknya bahan yang tersedia untuk pembuatan pagar di sekeliling kebun percobaan tersebut. Jika perkebunan tersebut memiliki bahan untuk pembuatan pagar besi sepanjang total 8000 m, dan manajernya bermaksud menggunakan seluruh bahan tersebut untuk memagari kebun percobaan yang akan dibuat, berapa R dan S agar pagar tersebut memagari luasan yang maksimum ?
7
Z D Y X
Rancangan Teknik 3. Optimisasi dengan Geometric Programming => jika fungsi tujuan merupakan posynomial *
U = U1 + U2 = C1 xa1 + C2 xa2 g = ( U1/W1 ) W1 ( U2/W2 ) W2 g* = U * minimum jika W1 & W2 tepat W1 & W2 pembobot atas U1 & U2 W1 + W2 = 1 a 1W 1 + a 2W 2 = 0
Penyelesaian langsung jika derajat Kesulitan, DK = 0 T : jumlah suku ruas kanan N : jumlah variabel DK : T – ( N + 1 ) Untuk DK > 0 perlu teknik kondensasi * Polimomial dengan semua suku positif
8
Rancangan Teknik
Contoh masalah insulasi ; Jika U = 120 x +
150.000 X4
total cost = biaya insulasi + biaya B.B. dengan GP DK = 2 – ( 1 + 1 ) = 0 U = U1 + U2 = C1Xa1 + C2Xa2 U1 = 120 x ; U2 = 150.000 4 X
C1 = 120
; C2 = 150.000
a1 = 1
; a2 = -4
Rancangan Teknik
g = ( 120 x / w1 )w1 ( 150000/x4w2 )w2 w1 + w2 = 1 a1w1 + a2w2 = w1 – 4w2 = 0 w1 = 4/5 w2 = 1/5 g* = U* =
120 4/5
4/5
4/5
X
150000 1/5
= ( 150 4/5 ) ( 750000 1/5 ) ( X = ( 55.06 ) ( 14.96 ) (1) = 824 W1 =
U1 * = U1*+U2*
4/5
1/5
1 X4
)(X
1/5
–4/5
)
U1 * U*
4 = 120 X => X = 5.49 5 824
9
Rancangan Teknik
Tugas Kelompok : Disain suatu kotak persegi 4 yang optimal : Fungsi tujuan : 40 U = LWH + 10 LW + 20 LH + 40 HW box
L W H
: panjang : lebar : tinggi
}
? Agar U minimum
> Pecahkan dengan Geometric Programming
10
