11
BAB III UJI STATISTIK DAN SIMULASI
3.1 Interval Kepercayaan Sebuah interval kepercayaan terdiri dari berbagai nilai-nilai bersama-sama dengan persentase yang menentukan seberapa yakin bahwa parameter populasi terletak dalam interval. Estimasi parameter dengan interval menggunakan distribusi sampling dari titik perkiraan. Misalnya, untuk membangun perkiraan digunakan distribusi sampling ̅ (penduga takbias).
interval mengandung
Menggunakan karakteristik dari distribusi tersebut dan transformasi
̅
kita
dapat menyatakan .
̅
√
√
/=(
)
(3.1.1)
dengan aljabar sederhana, pernyataan tersebut dapat disusun ulang menjadi: .̅
̅
√
sehingga interval penduga ̅
√
/=(
)
(3.1.2)
adalah √
sampai ̅
√
(3.1.3)
yang biasa disebut interval kepercayaan. Nilai batas bawah dan atas dari interval disebut limit kepercayaan. Peluang yang digunakan untuk membentuk interval disebut tingkat kepercayaan atau koefisien kepercayaan. Sehingga dapat dinyatakan kita (
) percaya bahwa interval tersebut mengandung true mean
atau rerata populasi. Koefisien kepercayaan biasanya dinyatakan dalam persentase (Freund & Wilson 2003). Teorema 3.1.4 Untuk peubah acak ̅ dan ̅ yang saling bebas dan terdefinisi pada ruang contoh yang sama, jika ̅ (̅
̅ )
.
.
/ dan ̅ /.
.
/ maka
12
Bukti: Misalnya ( ̅ ) (̅
̅ )
(̅ ) (̅ )
(̅
(̅ )
(̅ )
̅ )
(( ̅
̅ ) )
( (̅
.̅
̅ ̅
.̅ /
( ( ̅ ))
̅ /
( (̅ )
( ̅ )) ( ( ̅ ))
( ̅ ) ( ̅ )) (̅ )
karena ̅ dan ̅ saling bebas maka
(̅ ̅ )
(̅ )
̅ ))
.̅ /
(̅ )
̅ )
.
.
( (̅ ̅ )
(̅
(̅ )
dan
(̅ ̅ ) , sehingga
(̅ )
Kita sering tertarik mencari nila dari
untuk nilai peluang yang diberikan
ketika menggunakan sebaran normal untuk statistika inferensia. Untuk mempermudah bentuk penulisan, diadopsi notasi
yang merupakan nilai dari
sedemikian sehingga (
)
atau ekivalen dengan (
)
Karena sebaran normal berbentuk simetris maka dapat ditulis pernyataan (
)
(3.1.5)
(Freund & Wilson 2003). Dengan menggunakan Teorema 3.1.4, untuk kasus selisih nilai tengah dua populasi dapat digunakan transformasi (̅
̅ )
(
√ sehingga (
)
)
13
(̅
(
)
√
( (
̅ )
(̅
√
̅ )
) (
√
)
)
Dengan cara yang sama, bila ̅ dan ̅ masing-masing adalah nilai tengah dan
contoh acak bebas berukuran kecil
yang diambil dari dua populasi yang
hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, dan transformasi (̅
̅ )
(
)
√ maka interval kepercayaan ( (̅
̅ )
)
sedangkan dalam hal ini
diberikan oleh rumus
(̅
√ (
populasi, dan
bagi
)
(
̅ )
√
(3.1.6)
)
adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku
adalah nilai dengan
daerah disebelah kanannya sebesar
derajat bebas yang luas (Walpole 1993).
3.2 Margin of Error Definisi 3.2.1 (Margin of Error) (Freund & Wilson 2003) Margin of Error atau biasa disebut batas galat adalah indikator dari ketepatan pendugaan yang didefinisikan sebagai setengah panjang interval kepercayaan. Margin of Error dapat dinyatakan secara mutlak ataupun secara relatif dan dapat didefinisikan untuk tingkat kepercayaan yang diinginkan. Misalkan diketahui true value adalah 50 satuan dan panjang interval kepercayaan adalah 20 satuan dengan tingkat kepercayaan 95%, maka margin of error jika dinyatakan secara mutlak adalah 10 satuan dan jika dinyatakan secara relatif adalah 20%
14
karena 10 satuan adalah 20% dari 50 satuan. Dengan kata lain, kita percaya 95% bahwa interval 40 sampai 60 satuan mengandung true value. Dalam persamaan (3.1.6) yang disebut margin of error adalah
√ Jika ukuran contoh
)
(
)
maka persamaan (3.1.7) menjadi
√ Hubungan antara
(
dan
adalah sebagai berikut
1. Jika tingkat kepercayaan meningkat (
menurun) dan ukuran contoh tetap,
margin of error akan meningkat (interval kepercayaan akan semakin panjang). Dengan kata lain, semakin tinggi tingkat kepercayaan yang diperlukan, semakin kurang akurat pernyataan yang dapat dibuat, dan sebaliknya. 2. Jika ukuran contoh diperbesar dan tingkat kepercayaan tetap, maka margin of error akan menurun (interval kepercayaan akan semakin pendek). Dengan kata lain, peningkatan ukuran contoh akan meningkatkan keakuratan tanpa mengurangi tingkat kepercayaan, atau sebaliknya. 3. Menurunkan simpangan baku memiliki efek yang sama dengan meningkatkan ukuran contoh. 3.3 Uji Hipotesis Dalam statistika, hipotesis adalah ide, asumsi, atau teori tentang karakteristik dari satu atau lebih variabel dalam satu atau lebih populasi. Uji hipotesis adalah prosedur statistika yang melibatkan formulasi hipotesis menggunakan contoh data untuk memutuskan validitas dari hipotesis (Pelosi & Sandifer 2003). 3.3.1 Uji Dua-Arah Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti
15
disebut uji dua-arah, karena wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor sebaran statistik ujinya. Hipotesis alternatif menyatakan bahwa
atau
(Walpole 1993).
3.3.2 Uji Mengenai Nilai Tengah Misalkan diberikan suatu populasi yang ragamnya ingin diuji hipotesis bahwa nilai tengah populasinya
diketahui. Sekarang
sama dengan nilai tertentu
lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi itu tidak sama dengan
; artinya ingin diuji
Statistik yang dapat digunakan bagi kriterium uji dalam hal ini adalah peubah acak ̅ . Telah diketahui bahwa sebaran penarikan contoh bagi ̅ menghampiri suatu sebaran normal dengan nilai tengah sedangkan
dan
induknya, dan
̅
dan ragam
,
̅
masing-masing adalah nilai tengah dan ragam populasi
adalah ukuran contohnya. Dengan mengambil taraf nyata sebesar
, kita dapat menemukan dua nilai kritik ̅ dan ̅ sedemikian sehingga ̅ ̅
̅ merupakan wilayah penerimaan, dan kedua ekor sebarannya ̅ ̅
̅ dan
̅ , menyusun wilayah kritiknya. Nilai kritik itu dapat diucapkan dalam nilai
melalui transformasi
̅ √ Dengan demikian, untuk taraf nyata sebesar , kedua nilai kritik padanan bagi ̅ dan ̅ , ditunjukkan dalam Gambar 1 sebagai ̅ √
dan
̅ √
16
̅ z
̅ z
0
2
̅ ̅
2
Gambar 1 Wilayah kritik bagi hipotesis alternatif
.
Dari populasi tersebut diambil sebuah contoh acak berukuran n dan dihitung nilai tengah contohnya ̅ . Bila ̅ jatuh dalam wilayah penerimaan ̅
̅
̅ , maka
̅
disimpulkan bahwa
√
akan jatuh dalam wilayah
; bila
dan
jatuh di luar wilayah itu maka tolak
terima hipotesis alternatifnya bahwa
dan
. Wilayah kritik biasanya diucapkan
dalam dan bukan dalam ̅ . 3.4 Hubungan Antara Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis Prosedur uji dua-arah yang diuraikan di atas ekivalen dengan mencari selang kepercayaan ( dalam selang tersebut. Bila
)
bagi
, dan menerima
terletak di luar selang itu, tolak
Akibatnya bila ditarik kesimpulan mengenai nilai tengah ragamnya
bila
terletak
dan terima
.
dari populasi yang
diketahui, apakah dengan menggunakan selang kepercayaan ataupun
melalui pengujian hipotesis, maka kita gunakan nilai Secara umum, bila digunakan nilai
atau
yang sama. yang tepat untuk membuat
selang kepercayaan bagi nilai tengah , suatu populasi, atau mungkin selisih nilai tengah kedua populasi
, maka kita dapat juga menggunakan nilai
yang sama untuk menguji hipotesis
atau
atau
lawan alternatif
yang sesuai. Ini berarti bahwa contoh harus diambil dari populasi normal atau ukurannya
, dalam hal yang terakhir ini kita dapat menggunakan Dalil
Limit Pusat untuk membenarkan digunakannya statistik uji normal (Walpole 1993).
17
Dalam Tabel 1 dicantumkan nilai statistik yang biasa digunakan untuk menguji hipotesis
mengenai beda nilai tengah dari dua populasi terkait dengan
sebaran , berikut wilayah kritiknya untuk hipotesis alternatif
yang bersifat
dua-arah. Tabel 1 Rumus uji
mengenai beda nilai tengah dua populasi (Walpole 1993) Nilai Statistik Uji ( ̅
Wilayah Kritik
̅ )
√.
/
(
)
dan tetapi tidak diketahui (
)
(
)
3.5 Simulasi Simulasi komputer adalah proses mendesain model logika matematika dari sistem nyata dan bereksperimen dengan model tersebut menggunakan komputer. Dengan demikian simulasi meliputi proses pembentukan model serta desain dan implementasi sebuah eksperimen yang sesuai yang melibatkan model tersebut. Percobaan atau simulasi tersebut mengizinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang sistem:
Tanpa membuatnya, jika sistem tersebut hanya sistem yang baru diusulkan.
Tanpa mengganggunya jika sistem tersebut adalah sistem operasi yang mahal atau tidak aman untuk bereksperimen dengannya.
Tanpa menghancurkan mereka jika objek dari eksperimen adalah untuk menentukan batas-batas dari tekanan.
Dengan cara ini model simulasi dapat digunakan untuk desain, analisis prosedural dan penilaian kinerja (Pritsker & O’Reilly 1999).
