ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ
Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustavy ocelových prutů
Václav Plánička
6.1.2006
OBSAH ZADÁNÍ................................................................................................................................................................. 3 TEORETICKÁ ČÁST.......................................................................................................................................... 4 PRAKTICKÁ ČÁST............................................................................................................................................. 7 LITERATURA ...................................................................................................................................................... 9
2
Zadání Cílem práce je vytvoření matematického modelu deformace soustavy ocelových prutů konstantního průřezu (A), které jsou zatěžovány konstantní sílou F.
Zadané hodnoty: F, h, α, A
Obr. 1
V první části se zabývám odvozením vztahu deformační energie a Castiglianovy věty pro daný druh namáhání. V druhé části jsou vztahy aplikovány do řešeného modelu.
3
Teoretická část Definice materiálu: Homogenní materiál – všechny myšlené objemy mikrotělesa jsou vyplněny látkou, která má stejné fyzikálně mechanické vlastnosti. Izotropní materiál – fyzikálně mechanické vlastnosti látky jsou stejné v různých směrech, vycházejících z různých bodů. Při deformaci tělesa se vytváří tzv. přetvárná práce (je nutná pro vznik samotné deformace). Na dokonale pružném tělese je tato práce realizována prostřednictvím vnějších sil. Protože uvažujeme jen malé deformace, vnikající působením konstantní síly F, lze říci, že se pohybujeme v oblasti Hookova zákona (viz. Obr.2). Přetvárná práce = Deformační energii W=U
F = konst. F =k⋅y Obr. 2
k…..materiálová konstanta (tuhost) Přetvárná práce je rovna ploše pod závislostí F = F(y) viz. obr.3, z čehož plyne: y
We = ∫ F dy 0
y
We = ∫ k ⋅ y dy = 0
1 1 ⋅ k ⋅ y2 = ⋅ F ⋅ y 2 2
4
Deformační energie je vyjádřena tímto vztahem, platí-li Hookův zákon a je-li zatěžování statické. Je lineárně závislá na délce elementu dx a lze tedy sčítat deformační energie částí prutu. Je však kvadratickou funkcí vnitřních sil.. Nepaltí tedy, že celková energie je rovna součtu energií od jednotlivých účinků.
Obr. 3
Působí-li na elastické těleso soustava sil (viz obr.4), akumuluje se v tělese deformační energie U(F1, ....., Fn). Změní-li se některá ze sil Fi o přírůstek dFi na Fi + dFi, změní se i deformační energie z U na:
U + dU i = U +
∂U dFi ∂Fi
Podle zákona o zachování energie nemůže změna pořadí zatěžování jednotlivými silami mít vliv na velikost vykonané práce a tím i na velikost deformační energie. Zatížíme-li tedy těleso napřed přírůstkem síly dFi, vyvolá deformaci d yi ve svém směru působení a podle Hookova zákona vytvoří přírůstek deformační energie:
dW =
1 dFi dy i 2
Následnou aplikací soustavy zbývajících sil ve směru směru síly Fi vytvoří posuv yi a v tělese se akumuluje deformační energie U. Současně se ale změní působiště přírůstku síly dFi právě o posuv yi. Vznikne tak další páce velikosti dFi yi. Celkovou deformační energii pak můžeme porovnat:
1 ∂U U + dFi dyi + dFi yi =U + dFi 2 ∂Fi Za předpokladu zanedbání diferenciálů vyšších řádů po úpravě dostaneme:
dFi y i =
5
∂U dFi ∂Fi
yi =
∂U ∂Fi
Castiglianova věta tedy říká, že průhyb v i-tém místě nosníku je roven parciální derivaci deformační energie podle síly působící v i-tém místě ocelového prutu ve směru a smyslu posuvu Stanovení deformační energie: Víme, že deformační energie je rovna přetvárné práci. Tudíž lze použít vztah 1.
dU =
1 N ∆dy ………(1) 2
∆dy = ε ( y ) dy =
σ E
dy =
N dy EA
Po dosazení a integraci dostáváme deformační energii pro tahové (tlakové) namáhání.
1 N 2 dy Ut = 2 ∫ E A ( y) Obdobně bychom mohli odvodit deformační energii pro krut, ohyb a smyk (viz. níže)
OHYB
1 Uo = 2
SMYK
Us =
KRUT
2
Mo ∫ E ⋅ J ⋅ dy
β
T2 ⋅ dy 2 ∫G⋅A
1 U kr = 2
2
M ∫ G ⋅ kJ p ⋅ dy
6
Praktická část Uvažujme konstantní průřezy a modul pružnosti v tahu ( EA = konst.). Pro vyhledání svislého a horizontálního posuvu v bodě B je třeba v B připojit jednotkovou sílu a určit vnitřní síly v prutech 1 a 2 jednak od síly vnější, jednak od síly jednotkové.
1 Ut = 2
F2 ∫ E ⋅ A ⋅ dy
yi =
∂U 1 F F⋅ dy = ∫ ∂Fi E ⋅ A ∂Fi
Jelikož jsou vnitřní síly N1,2 a n1,2 po délce prutu konstantní, je možné nahradit integraci součtem. Pak je
y=
2
∑ 1
N i li ni N ln N l n = 1 1 1+ 2 2 2 EA EA EA
Stanovení délky prutů (viz obr.1):
l1 = h ⋅ cot g α l2 =
h sin α
Stanovení sil v prutech:
N1 = − F cot g α N2 =
F sinα
Obr. 4
7
Horizontální posuv (x):
n1 = 1 n2 = 0
Obr. 5
x=
− F cot g α ⋅ h cot g α EA
Znaménko mínus ukazuje, že posuv u bodu B je proti smyslu připojené jednotkové síly. Vertikální posuv (y):
n1 = − cot g α n2 =
1 sin α
Obr. 6
1 F h ⋅ ⋅ F cot g α ⋅ cot g α ⋅ h cot g α sin α sin α sin α y= + EA EA
8
Literatura Kolektiv; Pružnost a pevnost I; České vysoké učení technické; 1981 E. Hájek, P.Reif, F.Valenta; Pružnost a pevnost I; SNTL/ALFA; 1988
9
