ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Fakulta elektrotechnická Katedra elektromechaniky a výkonové elektroniky
_______________________________________________________________ Podpůrný text pro výuku KEV/MPS
Modelování polí v elektrických strojích
Vladimír KINDL
PLZEŇ 2008
OBSAH OBSAH .................................................................................................................................................................. 2 1
MKP.............................................................................................................................................................. 3 1.1 ÚVOD ........................................................................................................................................................ 3 1.2 PRVOTNÍ NÁHLED NA METODU .................................................................................................................. 3 1.3 PRINCIP MKP ............................................................................................................................................ 6 1.3.1 Okrajové podmínky ......................................................................................................................... 8 1.3.2 Funkcionál ...................................................................................................................................... 9 1.3.3 Aproximační funkce ....................................................................................................................... 10 1.3.4 Sestavení matice tuhosti pro celou oblast: .................................................................................... 15 1.3.5 Minimalizace funkcionálu ............................................................................................................. 18 1.4 LITERATURA ............................................................................................................................................ 18
2
ÚVOD DO ANSYSU ................................................................................................................................. 19 2.1 ZÁKLADNÍ NABÍDKA „PRODUCT LAUNCHER“........................................................................................... 19 2.1.1 File management ........................................................................................................................... 20 2.1.2 Customatization Preferences ......................................................................................................... 20 2.1.3 High performance computing setup .............................................................................................. 22 2.2 GEOMETRICKÉ MODELY A MKP SÍTĚ V ANSYSU ....................................................................... 22 2.3 GEOMETRICKÉ ENTITY PREPROCESORU ANSYSU ................................................................................... 23 2.3.1 Topologická spojitost .................................................................................................................... 24 2.3.2 Tvorba MKP sítí v preprocesoru ANSYSu..................................................................................... 25 2.3.3 Kompatibilní a nekompatibilní sítě, rodiny elementů .................................................................... 26 2.3.4 Atributy elementů .......................................................................................................................... 30 2.3.5 Tabulka elementových typů ........................................................................................................... 31 2.3.6 Tabulka reálných konstant ............................................................................................................ 31 2.3.7 Tabulka materiálu ......................................................................................................................... 31 2.3.8 Elementový souřadný systém ......................................................................................................... 32 2.3.9 Automatické generování MKP sítí ................................................................................................. 32 2.4 VYTVÁŘENÍ GRAFICKÝCH REPREZENTACÍ V ANSYSU ............................................................................ 33 2.4.1 Metody vytváření obrázků a podporované grafické formáty ......................................................... 33 2.4.2 Doporučený postup při tvorbě obrázků ......................................................................................... 33 2.4.3 Hard copy - kopie obrazovky......................................................................................................... 33 2.4.4 Volby pro Hard Copy .................................................................................................................... 34 2.4.5 Redirect plots - přesměrování výstupu .......................................................................................... 34 2.4.6 Vytváření grafického souboru ....................................................................................................... 35 2.4.7 Capture image - sejmutí obrázku .................................................................................................. 35 2.5 DALŠÍ UŽITEČNÁ NASTAVENÍ ZOBRAZOVÁNÍ ........................................................................................... 36 2.5.1 Systémové volby ............................................................................................................................ 36 2.5.2 Stylové volby.................................................................................................................................. 36 2.5.3 Rozložení oken a legenda .............................................................................................................. 37 2.5.4 Zobrazení geometrických entit, MKP entit a výsledků .................................................................. 37 2.6 POST-PROCESSING ................................................................................................................................... 38 2.7 LITERATURA ............................................................................................................................................ 38
3
VÝBĚR TYPU METODY VÝPOČTU (NFEM/EFEM) ........................................................................ 39 3.1
4
LITERATURA ............................................................................................................................................ 43
ANSYS PŘÍKLADY .................................................................................................................................. 44 4.1 ČASTO POUŽÍVANÉ PŘÍKAZY .................................................................................................................... 44 4.2 UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ............................................................................................................................. 48 4.2.1 Vodič v prostoru 2D ...................................................................................................................... 48 4.2.2 Vodič v prostoru 3D ...................................................................................................................... 69
2
1 MKP 1.1 Úvod Již řadu let paří numerické metody k předním výpočetním nástrojům vůbec. Zpočátku nezajímavá metoda konečných prvků (MKP) se dnes stala jedním z hlavních výpočetních prostředků nejen ve strojírenství, pro kterou byla prvotně určena, ale také ve všech oblastech elektrotechnického průmyslu. Její využití se v moderním průmyslu předpokládá nejen v oblasti vývoje nových elektrotechnických zařízení, ale také v rozměrové optimalizaci stávající technologie. Hlavní přednost MKP spočívá v grafické interpretaci často velmi abstraktních fyzikálních polí, ve kterých klasická technika řešení zavádí mnohdy značná zjednodušení na úkor přesnosti. Pro výpočet fyzikálních polí existuje v současnosti řada velmi kvalitních software. Většina z nich pochází z komerční oblasti (finančně velmi nákladné). Jedním z nich je např. ANSYS Jeho struktura umožňuje simulovat nejen elektrická, magnetická, elektromagnetická, tepelná či strukturální pole, ale také proudění kapalin a plynů. Stěžejní výhoda ANSYSu spočívá v jeho schopnosti tato fyzikální pole mezi sebou vzájemně kombinovat a jednotlivé úlohy tak řešit s maximální možnou komplexností (sdružené elektro tepelné, sdružené magneto-strukturální problémy)
1.2 Prvotní náhled na metodu Metoda je založená na řešení soustavy diferenciálních rovnic, popisujících vlastnosti určitého fyzikálního problému (systému). Tak například řešením Laplaceovy rovnice získáme rozložení teplotního pole, nebo lze využít Navier-Stokesovy rovnice pro popis proudění Analytické řešení těchto diferenciálních rovnic by nepředstavovalo problém, pokud by se jednalo o základní fyzikální úlohy na geometricky jednoduchých tělesech. Pro inženýrské problémy, které jsou předmětem analýz, jsou naopak charakteristické fyzikálně komplexní, matematicky diskontinuální soustavy nad tvarově mnohdy velmi složitou geometrií. Pro řešení těchto problémů se ukázala být jako nejvhodnější numerická aproximační metoda, označovaná jako metoda konečných prvků. Princip metody je jednoduchý: Rozdělit geometricky definovaný objekt, který je předmětem výpočtu, na konečný počet částí (tzv. elementy), vyplňujících s dostatečnou přesností jeho
3
tvar (obr. 1). Všimněme si způsobu diskretizace dané oblasti, byly zvoleny dva typy elementů (3-uzlové a 4-uzlové). Z hlediska tvarové aproximace je možné tuto variantu přijmout, z hlediska matematického se však doporučuje používat pouze jeden typ elementů pro celou oblast (to by bylo splněno v případě rozdělení každé z oblastí 6 a 9 na další dvě suboblasti) . Jednotlivé elementy jsou vzájemně spojeny
v
tzv.
uzlech,
matematických bodech o známých souřadnicích
v
prostoru.
Pro
jednoduchost se dá říct, že jsou počítány
hodnoty
neznámých
parametrů právě v těchto uzlech. Jestliže jsou vlastnosti každého z těchto elementů (obr. 2) popsány jednoduchou matematickou funkcí, dostáváme pro popis vlastností celého objektu soustavu rovnic. Řešení diferenciálních rovnic je tak převedeno Obr. 1: diskretizace analyzované oblasti
na
algebraických neznámé
řešení
soustavy
rovnic,
jejichž
představují
parametry
předmětného fyzikálního problému. Soustava rovnic popisujících celý počítaný objekt potom představuje řádově tisíce až miliony rovnic. Analýza fyzikálního pole je zpravidla rozdělena do třech základních etap: Definice problému: Jde o velmi široký pojem, zahrnující činnosti od rozhodnutí o typu výpočtu (statika lineární, nebo nelineární, dynamika, statika s teplem apod.), materiálovém modelu (lineární, plastický, teplotně závislý apod.), zatížení (charakter, časová závislost apod.) či okrajové podmínce a další potřebná data. Tyto problémy, jež jsou pro kvalitu MKP výpočtu rozhodující, leží vně MKP software a nijak výrazně se neliší od úvah, které souvisejí s prováděním klasických výpočtů. •
Pre-Processing
4
V této fázi výpočtář vytváří fyzikální (geometrický) model, volí materiálové vlastnosti a generuje výpočetní sítě. Většinou se zde aplikují i okrajové podmínky (kolmost a rovnoběžnost magnetických toků, neohraničenost okolního prostoru) a zatížení (úbytek napětí, proud, proudová hustota). Tvorba modelu Model může být jedno, dvou či trojrozměrný (1D, 2D, 3D). V současných MKP programech převažuje způsob torby modelu formou přebírání geometrie součástí nebo celků určených pro výpočty z CAD systémů. Profesionální systémy jsou vybaveny širokou škálou prostředků pro tvorbu prostorových modelů a jejich úpravy, buďto formou uživatelsky přívětivou (klikáním myší v menu), nebo zadávání příkazu prostřednictvím command-line. Obě varianty mají svá pro a proti, záleží jen na zkušenosti uživatele, popř. účelu (jednorázové modelování triviální úlohy, rozměrová optimalizace, …) tvořeného modelu, který ze zmíněných nástrojů bude použit. V případě importu geometrie z externího souboru, lze použít standardní formáty (SAT, STEP, PARASOLID, IGES, VDA-FS). Před samotným modelováním je však nezbytné rozhodnout o idealizaci tvaru geometrického modelu. U součástek se tím rozumí odstranění určitých detailů, jako jsou závity, zápichy či malé rádiusy, které jsou pro výpočet nevýznamné a následně by zbytečně zvyšovaly velikost MKP modelu (hustota sítě). U větších skupin a soustav bývá nutné nahradit spojovací díly zavedením kontaktů. Zkušenější uživatel může u symetrických modelů provést výpočet na nejmenší symetrické (tvarově i materiálově) části modelu. Volba atributů úlohy Sem patří informace o materiálu, volba typu elementů a tzv. real konstanty, představující matematické vyjádření některých geometrických funkcí při volbě určitého typu elementů. Zadávání materiálových vlastností Materiálové vlastnosti u MKP systémů představují velmi široký pojem. Pro výpočty multifyzikální povahy je nutné znát nejen mechanické vlastnosti materiálu (jak v lineární, tak i nelineární oblasti), ale i jejich závislost na teplotě, elektrické vlastnosti, změny v závislosti na čase…Pro oblast elektromagnetismu jsou to především elektrická vodivost, permeabilita (lineární, nelineární), …. Volba typu elementu Úroveň a rozsah knihovny elementů je jednou z jejich nejdůležitějších vlastností MKP systémů. Například programy ANSYS Base Series nabízejí řádově přes 100 typů elementu.a jeho varianty. Typům elementů se budeme věnovat v jiném textu.
5
•
Solution
Zde probíhá volba typu analýzy (statická, harmonická, transientní), výběr "řešiče" optimalizovaného pro dané fyzikální pole a nastavení požadované přesnosti. Podle typu analýzy se pak volí výpočetní časy či frekvence, způsob zápisu a tisku výsledků atd. Ve většině výpočetních programů je tato část plně automatizována. •
Post-Processing
V této závěrečné části se provádí vyhodnocení řešené úlohy. K dispozici bývá několik možností grafické interpretace výsledků, z nichž nejpoužívanější je zobrazení mapy elektromagnetického pole, či vynesení závislosti elektromagnetických veličin (na čase, rozměru, teplotě, rychlosti a pod.)
Obr.2: základní tvary konečných prvků
1.3 Princip MKP Jak již bylo řečeno, abychom mohli analyzovat nějaký fyzikální problém, je nutné znát jeho vlastnosti, reakce na vnější podněty, chování v daných podmínkách. Tyto informace lze obecně vyjádřit pomocí diferenciálních rovnic, které se od modelované problematiky různí.
6
Jako příklad uvažujme stacionární elektromagnetické pole. Platí zde samozřejmě 1. Maxwellova rovnice v diferenciálním tvaru: rotH = J
(1.1)
Dále platí B = rotA
(1.2)
Pokud dosadíme rovnici 1.2 do 1.1, dostaneme: rot
1
µ
rotA = J
(1.3)
Z vektorové analýzy je nám známo, že rot ( rotA) = grad (divA) − div ( gradA) , protože je ale magnetický vektorový potenciál vírový nezřídlový, první člen je roven nule. V tomto případě přechází celý vztah na Poissonovu rovnici ve tvaru: − div(
1
µ
gradA) = J
(1.4)
Zobecníme-li nyní rovnici (1.4) na obecné vektorové pole φ s uvažováním neměnného interního zdroje energie (např. koercitivní síla Hc), získáme diferenciální rovnici druhého
řádu, která popisuje rozložení pole ve 2D oblasti. − div(α ⋅ gradφ ) + β ⋅ φ = − To lze napsat jako:
Kde:
∂ ∂φ ∂ ∂φ + β ⋅φ = f α x − α y ∂x ∂x ∂y ∂y
Lφ ( x , y , t ) = f ( x , y , t )
(1.5) (1.6)
L … diferenciální operátor dané dif. Rovnice L=−
∂ ∂ ∂ ∂ α x − α y + β ∂x ∂x ∂y ∂y
(1.7)
α , β … materiálové konstanty (pro lineární systém jsou reálné funkce, nebo konstanty)
φ … analyzované vektorové pole f … externí zdroj energie (proudová hustota)
Z výše uvedené rovnice známe popis rozložení potenciálu uvnitř oblasti, nikoli na její hranici, nebo rozhraní s oblastí jinou. Je to dáno tím, že Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru platí v regulárních bodech. Kdybychom řešily problém bez znalosti poměrů na okrajích/rozhraních, získali bychom nekonečně mnoho možných řešení. Aplikací okrajových podmínek pak získáme řešení jednoznačné.
7
1.3.1 Okrajové podmínky Obecně lze okrajové podmínky rozdělit na ty, jenž určují potenciál na hranici oblasti a ty, jenž definují chování potenciálu na rozhraní dvou oblastí.
1. Dirichletova podmínka:
a)
homogenní Dirichletova podmínka (tzv. 1. druhu): φ = 0 na hranici oblasti
b)
nehomogenní Dirichletova podmínka (tzv. 2. druhu):
φ = φ f na hranici oblasti
Z pravidla využíváme skutečnosti, že siločára je křivka, na které je magnetický vektorový potenciál konstantní 2. Neumannova podmínka:
a)
homogenní Neumannova podmínka (2. druhu):
∂φ =0 ∂n
∂φ r ∂φ r r u x − α y u y n = 0 α x ∂y ∂x
b)
(1.8)
homogenní Neumannova podmínka (3. druhu):
∂φ + kφ = 0 ∂n
∂φ r ∂φ r r u x − α y u y n + kφ = 0 α x ∂y ∂x
b)
nehomogenní Neumannova podmínka:
∂φ r ∂φ r r u x − α y u y n + k ⋅ φ = φ g α x ∂y ∂x
(1.9)
∂φ + kφ = φ g ∂n
(1.10)
Nulová normálová derivace magnetického vektorového potenciálu vyjadřuje geometrickou symetrii problému
Přestože už máme vše potřebné k řešení uvedené rovnice, není možné využít analytických metod. To by přicházelo v úvahu v případě zcela triviální geometrie fyzikálního problému.
8
Naším cílem je tedy najít funkcionál s jehož pomocí převedeme diferenciální rovnici do slabě integrálního tvaru (ten je možné pohodlně numericky řešit), funkcionál dále extremalizovat,
čímž obdržíme řešení původní diferenciální rovnice. Pozn.: jelikož se jedná o energii, extremalizace znamená minimalizaci.
1.3.2 Funkcionál Funkcionál, odpovídající našemu problému lze psát takto:
F (φ ) =
1 1 1 Lφ , φ − φ , f − f ,φ 2 2 2
(1.11)
δF (φ ) =0 δφi
Jeho extremalizace pak:
(1.12)
φ … hledaná funkce f … zdrojová (pravých stran) funkce
Dříve, než začneme konstruovat funkcionál, připomeňme si operaci vnitřního součinu funkcí. Mějme funkci f a g ve vzájemném součinu, tedy: f , g = ∫ f ⋅ g~dτ
(1.13)
f1 + f 2 , g = f1 , g + f 2 , g
(1.14)
af , g = a f , g
(1.15)
τ
Pokud platí podmínka 1.14 a 1.15, lze říci, že operace 1.13 je na oblasti τ lineární Symbol ~ zde značí komplexně sdruženou hodnotu funkce. Začněme výrazem Lφ , φ , po úpravách (aplikacích Greenových vět) dostávám:
~
~
Lφ , φ = ∫ α .gradφ .grad φ dS − ∫ α φ . Γ
S
~ ∂φ dl + β ∫ φ .φ dS S ∂n
Pro homogenní okrajové podmínky: φ = 0 a 2
2
∂φ + kφ = 0 ∂n
Lφ , φ = ∫ α gradφ dS + ∫ k φ dl + β ∫ φ dS S
Γ
2
S
(1.16)
(1.17)
9
1 1 1 Lφ , φ − φ , f − f ,φ = 2 2 2 1 k 1 2 2 2 α gradφ + β φ dS + ∫ φ dl − ∫ (φ ∫ S Γ 2 2 2 2 S
F (φ ) =
F (φ ) =
~
f
~
+ f φ )dS
1 k 2 2 2 α gradφ + β φ dS + ∫ φ dl − ∫ (φf )dS ∫ S Γ 2 S 2 2
(1.18)
(1.19)
Pro extremalizace tohoto integrálu musíme vzít v úvahu, že pro Dirichletovu okrajovou podmínku 2. druhu platí, ze φ je pro danou oblast (resp. její okraj) konstantní ( φ = φ f ), tedy derivace dané části funkcionál bude nulová. Nutně proto musí být nulový i integrál na oblasti Γ . Protože ale tyto podmínky neplatí na celé oblasti současně, je nutné křivkový a plošný integrál rozdělit. Pro řešení zbývá už jen určit neznámou φ .
1.3.3 Aproximační funkce Fyzikální vlastnosti tělesa, např. teplota, rozložení pole atd. lze nahradit funkcí prostorových souřadnic. Tato funkce se nazývá aproximační funkcí nebo také funkcí tvaru. Na obr. 3 je funkce Φ, která charakterizuje rozložení potenciálu na rovinné obdélníkové desce. Tuto neznámou funkci nahradíme v jednotlivých uzlech aproximační funkcí, která musí mít tolik členů, kolik má prvek uzlů. Pro trojúhelníkový prvek tak vznikne např. polynom třetího stupně
10
Obr. 3: rozložení pole
φi = a + bxi + cyi
(1.20)
který se snaží přiblížit k funkci Φ. Koeficienty a rovnice 1.20 získáme na základě řešení polynomu pro všechny tři uzly trojúhelníkového prvku, tj. řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých:
φ1 = a + bx1 + cy1 φ 2 = a + bx 2 + cy 2 φ3 = a + bx3 + cy3
(1.21)
V maticovém tvaru
φ1 1 x1 φ = 1 x 2 2 φ 3 1 x3
y1 a y 2 b y 3 c
(1.22)
Koeficienty pak získáme
a 1 x1 b = 1 x 2 c 1 x3
y1 y 2 y 3
−1
φ1 φ 2 φ3
(1.23)
11
Po dosazení koef do předchozí rov.
φ ( x, y ) = [1 x
A11 y ] A21 A31
A12 A22 A32
A13 φ1 A23 φ2 A33 φ3
x2 y3 − x3 y 2 1 y −y Α= 2 3 − x2 y1 + x3 y1 + x1 y2 − x3 y 2 − x1 y3 + x2 y3 x3 − x2
(1.24)
x3 y1 − x1 y3 y3 − y1 x1 − x3
x1 y2 − x2 y1 y1 − y 2 x2 − x1
Když označíme AM = − x 2 y1 + x3 y1 + x1 y 2 − x3 y 2 − x1 y 3 + x 2 y 3
(1.25)
x 2 y 3 − x3 y 2 1 Α= y 2 − y3 AM x3 − x 2
(1.26)
x3 y1 − x1 y 3 y 3 − y1 x1 − x3
x1 y 2 − x 2 y1 y1 − y 2 x 2 − x1
To se také dá napsat jako: 3
φ ( x, y ) = ∑ Ν i ( x, y )φ i i =1
Ν = [N 1
N1 =
N2 =
N3 =
N2
(1.27)
N3 ]
(x3 − x2 ) y + ( y 2 − y3 )x + x 2 y3 − x3 y 2 − x 2 y1 + x3 y1 + x1 y 2 − x3 y 2 − x1 y 3 + x 2 y 3
(x1 − x3 ) y + ( y3 − y1 )x + x3 y1 − x1 y3 − x 2 y1 + x3 y1 + x1 y 2 − x3 y 2 − x1 y 3 + x 2 y 3
(1.28)
(x2 − x1 )y + ( y1 − y 2 )x + x1 y 2 − x2 y1 − x 2 y1 + x3 y1 + x1 y 2 − x3 y 2 − x1 y 3 + x 2 y 3
Funkce matice N se obecně nazývají tvarovými funkcemi, které mají následující vlastnost (Obr.4): 1, i = j Ni = 0, i ≠ j
(1.29)
12
a pokud je nám známa hodnota potenciálu v jednotlivých uzlech sítě, rovnice 1.27 nám udává (za pomocí tvarových funkcí) aproximovanou hodnotu potenciálu v kterémkoli bodě x.y. Tímto jsme určili tvar neznámé 1.27 pro dosazení do 1.19.
Vzpomeňme nyní znovu diferenciální rovnici, popisující analyzovaný fyzikální problém. K jejímu řešení potřebný funkcionál byl určen v rovnici 1.19.
Obr. 4: tvarové funkce
Minimalizace funkcionálu lze napsat jako: ∂F (φ ) = 0 , pamatujme ale na to, že F = ∑ FM , kde FM je funkcionál aktuálního elementu, ∂φi tedy rozlišujeme oblasti dané dif. rovnicí a okrajovými podmínkami, potom:
∂F (φ ) ∂F (φ ) =∑ M =0 ∂φi ∂φ i
(1.30)
13
Pokud funkcionál v bodě M závisí pouze na potenciálu ΦM, pak jeho derivace v ostatních bodech jsou rovny nule. Zaměřme se nyní znovu na rovnici − div(α ⋅ gradφ ) + β ⋅ φ = −
∂ ∂φ ∂ ∂φ + β ⋅φ = f α x − α y ∂x ∂x ∂y ∂y
Řekněme, že β = 0 (vnitřní zdroj energie = nulový), dále že na rozhraní je pouze homogenní (2. druhu) Neumannova podmínka, kde k=0, Φg = 0
Pak rovnice F (φ ) =
1 k 2 2 2 α gradφ + β φ dS + ∫ φ dl − ∫ (φf )dS přechází do tvaru: ∫ S Γ 2 S 2 2
∂φ 1 ∂φ FM = ∫ α x M + α y M S 2 ∂x ∂y 2
Za
∂φ M můžeme psát: ∂x
2
dS − f M ∫ (φ M )dS S
3 ∂Ν ( x, y ) ∂φ M =∑ i φi = ∂x ∂x i =1 3
= ∑ A2i φi
(1.31)
(1.32)
i =1
3 3 ∂φ M = ∑∑ A2i A2 j φi φj ∂x i =1 j =1 2
Za
∂φ M můžeme psát: ∂y
3 ∂Ν ( x, y ) ∂φ M =∑ i φi = ∂y ∂y i =1 3
= ∑ A3i φi
(1.33)
(1.34)
i =1
∂φ M ∂y
2
3 3 = ∑∑ A3i A3 j φi φj i =1 i =1
(1.34)
Po dosazení do 1.40 dostáváme: FM =
3 3 3 3 3 1 α x ∑∑ φi ∫∫ A2i A2 j dxdy φ j + α y ∑∑ φi ∫∫ A3i A3 j dxdy φ j − f M ∑ ∫∫ N i dxdy φi 2 i =1 j =1 S i =1 j =1 i =1 S S
V maticovém tvaru:
14
1 FM = [φ1 2
φ2
C11 C12 φ3 ]C 21 C 22 C 31 C 32
C13 φ1 C 23 φ2 − [φ1 C 33 φ3
φ2
T11 T12 φ3 ]T21 T22 T31 T32
T13 f M 1 T23 f M 2 (1.35) T33 f M 3
Ze vztahu pro FM vidíme, že koeficienty matice tuhosti lze určit jako: 3 3 C ij = ∑∑ α x ∫∫ A2i A2 j dxdy + α y ∫∫ A3i A3 j dxdy i =1 j =1 S S
(1.36)
[
]
(1.37)
[
]
(1.38)
[
]
(1.39)
C11 =
1 α x ( y 2 − y 3 ) 2 + α y ( x 2 − x3 ) 2 AM
C 22 =
1 α x ( y 3 − y1 ) 2 + α y ( x3 − x1 ) 2 AM
C 33 =
1 α x ( y1 − y 2 ) 2 + α y ( x1 − x 2 ) 2 AM
C12 =
1 α x ( y 2 − y 3 )( y1 − y 3 ) + α y ( x 2 − x3 )( x1 − x3 ) = C 21 AM
C13 =
1 α x ( y1 − y 2 )( y 2 − y 3 ) + α y ( x1 − x 2 )( x 2 − x3 ) = C 31 AM
C 23 =
1 α x ( y1 − y 2 )( y 3 − y1 ) + α y ( x 2 − x1 )( x1 − x3 ) = C32 AM
[
]
(1.40)
[
]
(1.41)
[
]
(1.42)
Podobně bychom odvodili i matici T, která odpovídá pravé straně soustavy Pokud funkci fM aproximujeme takto: 3
f M = ∑ Ν i f Mi i =1
(1.43)
Získáme 3 3 Ti = ∑∑ ∫∫ N i N j dxdy i =1 j =1 S
(1.44)
1.3.4 Sestavení matice tuhosti pro celou oblast: Pro další odvození je nutné si uvědomit, že výše uvedená matice 1.36 platí pro M-tý prvek oblasti, chceme-li tedy sestavit matici tuhosti pro celou takovou oblast, uvažujme platnost
F = ∑ FM
(1.45)
15
F=
1 M ∑ [φ1 2 M =1
φ2
C11 . φ3 . φn ] . C n1
. . .
. . .
C1n φ1 . φ − [φ1 . 2 φ C nn 3
φ2
T11 . φ3 . φn ] . Tn1
. . .
fM1 T1n f M 2 . fM3 . . . . Tnn f Mn .
nebo přehledněji:
F=
1 M T φ C φ − φT Tf M ∑ 2 M =1
(1.46)
Kde n … počet uzlů a M … počet elementů končněprvkové sítě C … globální matice tuhosti Princip bude ukázán na příkladě viz Obr 5.
Obr. 4: příklad diskretizace analyzované oblasti
Všimněme si nyní značení prvků v síti - čísla v kroužku znamenají pořadí elementu v oblasti,
čísly vně trojúhelníků chápeme globální pořadí všech uzlů sítě a konečně čísla uvnitř značí číslování lokální(vztahujících se k danému M-tému elementu). Například, pro element č. 3 v Obr. 4. … globální číslování 3 – 5 – 4 koresponduje s 1 – 2 – 3 lokálního (uvědomme si, že lokální číslování musí být bráno proti směru hodinových ručiček). Mohli bychom také ale volit pořadí 4 – 3 – 5 globálního ku původnímu (1 – 2 – 3) lokálnímu číslování. Je vidět, že značení sice není díky naší volbě jednoznačné, však globální matice zůstává stejná. Protože máme 5 globálních uzlů sítě, její dimenze je 5:
16
C11 C12 C 21 C 22 C = C 31 C 32 C 41 C 42 C 51 C 52
C13 C 23
C14 C 24
C 33 C 43 C 53
C 34 C 44 C 54
C15 C 25 C 35 C 45 C 55
(1.47)
Uzel 1 náleží elementům 1 a 2, proto C11 = C11
(1)
+ C11
(2)
(1.48)
Uzel 2 náleží pouze elementu 1 , proto
C 22 = C 33
(1)
(1.49)
Uzel 3 náleží elementům 2 a 3 , proto
C 33 = C 22
( 2)
+ C11
( 3)
(1.50)
Uzel 4 náleží elementům 1, 2 a 3 , proto
C 44 = C 22
(1)
+ C 33
( 2)
+ C 33
( 3)
(1.51)
Uzel 1 a 4 náleží elementům 1a 2 , proto
C14 = C12
(1)
+ C13
(2)
= C 41
(1.52)
Naopak mezi uzly 2 a 3 není vazba žádná, proto C 23 = 0 = C 32
(1.53)
Pokud bychom stejným způsobem pokračovali dále a našli všechny vzájemné vztahy uzlů, vyskytujících se v síti, obdrželi bychom následující matici tuhosti:
C11(1) + C11( 2 ) (1) C31 ( 2) C= C (1) 21 ( 2) C 21 + C 31 0
C13
(1)
C33
(1)
0 C 23 0
(1)
C12
(2)
C12
0 C 22
+ C11
( 3)
C 32
( 2)
+ C 31
( 3)
C 21
+ C 23
C 32
( 2)
( 3)
(1)
C 23 C 22
(1)
( 2)
(2)
(1)
+ C13
+ C 33
(2)
C 23
( 3)
( 3)
+ C33
( 3)
0 0 ( 3) C12 ( 3) C 32 ( 3) C 22
(1.53)
Z předchozího je vidět, že matice C obsahuje pouze prvky ležící v těsné blízkosti (tj. spjaté úzkou vazbou), prvky odpovídající uzlům, jenž na sebe přímou vazbu nemají, nabývají nulových hodnot, dále, že je symetrická a singulární. Všechny uvedené vlastnosti jsou výhodou MKP.
17
1.3.5 Minimalizace funkcionálu
C11 C12 C . 21 ∂FM 1 = . ∂φ 2 . C n1 .
.
.
. .
. .
C1n φ1 T11 T12 . φ2 T21 . . . − . . . . C nn φn Tn1 .
. . .
T1n f M 1 . f M 2 . . = 0 . . . . Tnn f Mn .
Vyjde nám soustava algebraitských rovnic, ze kterých jsme schopni vypočítat potenciál v uzlech konečněprvkové sítě. Dosazením do 1.27 lze získat velikost potenciálu v libovolném bodě x,y. Samotná soustava je prosta okrajových podmínek, které by v tomto případě znepřehlednily řešení. Úplný postup bude ukázán na příkladu.
1.4 Literatura [1]
M.N.O. Sadiku, “A simple introduction to finite element analysis of electromagnetic problems,” IEEE Trans. Educ., vol. 32, no. 2, May 1989, pp. 85–93.
[2]
BIANCHI, Nikola.“Electrical machina analysis using finite elements”,ISBN 0-84933399-7
18
2 Úvod do ANSYSu 2.1 Základní nabídka „product launcher“ a. File management b. Customization preference c. High performance computing setup d. Simulation environment (výběr produktu ke spuštění) e. Licence-"License Status". Ansys je licencován síťově tak, že v každém okamžiku může být (kdekoli v síti) spuštěno současně několik procesů (z domova, resp. sítě přes VNC klienta) f. Ukončení základního menu "Quit".
Obr. 4 - a: okno product launcher
19
2.1.1 File management Ansys umožňuje plnou kontrolu nad jmény úloh, pracovních výsledkových a dalších souborů. Je však velmi výhodné použít automatického pojmenovávání souborů, které podstatně snižuje riziko omylů a překlepů. Základem je pracovní adresář (Working Directory), který je nastaven před vlastním spuštěním ANSYSu a v průběhu sezení (od spuštění ANSYSu tlačítkem "Run" až do jeho ukončení) již ho nelze měnit. Pro novou úlohu je vhodné založit nový pracovní adresář a při spuštění ANSYSu jej nastavit jako pracovní. Druhým pilířem je jméno úlohy (jobname) -
řetězec, který je nastaven před spuštěním ANSYSu. Tuto proměnnou lze v průběhu práce měnit a její aktuální hodnota je základem konstrukce jmen pracovních souborů. Posledním pilířem je systém extenzí (přípon), které rozlišují význam jednotlivých pracovních souborů. Základní extenze jsou •
db databáze úlohy (binární)
•
dbb záloha databáze úlohy
•
rst výsledky řešení (binární)
•
out protokol o sezení (ASCII)
•
emat, esav, erot, tri pracovní soubory významné pouze v průběhu řešení
•
page stránkovací soubor významný pouze v průběhu práce
Jména všech souborů pokud není explicitně zadáno jinak se konstruhují jako
<Jobname>.<Ext>. Např. pro uložení databáze existují v GUI příkazy: •
Save DB ... uloží databázi do souboru <Jobname>.<Ext> v pracovním adresáři
•
Save DB As ... nabídne uživateli možnost uložit databázi pod libovolným jménem do libovolného adresáře.
2.1.2 Customatization Preferences ANSYS není schopen dynamické alokace paměti v průběhu své práce, vyžaduje proto provést nastavení (předalokaci) volné paměti pro budoucí databázi ručně (defaultní velikost nemusí dostačovat vždy). Dále potřebuje vyčlenit určitou část paměti pro work space – jako defaultní hodnota je přednastavena 1 GB (1024 MB) pro 64-bitové procesory a 512 MB pro 32-bitové procesory (Linux a Windows). Jak je ukázáno na ilustrativním obrázku, celková velikost alokované paměti často převyšuje hodnopt, která je fyzicky k dispozici. Vzniklý rozdíl je
20
hrazen z takzvané system virtual memory (swap). V pracovním adresáři se vytvoří takzvaný page file , sloužící jako stránkovací soubor dané úloze.
Dialogové okno pro nastavení těchto parametrů je na obrázku Obr. 4 – b
Obr. 4 - a: okno product launcher
21
2.1.3 High performance computing setup Nejdůležitějšími parametry lze označit SMP a number of processors (myšleno jádra procesoru).
Obr. 4 - a: okno product launcher
2.2 GEOMETRICKÉ MODELY A MKP SÍTĚ V ANSYSU Konečně-prvkový model je tvořen dvěma typy entit - z elementů a uzlů. Celková kompozice jednotlivých elementů představuje analyzovanou oblast v prostoru, reprezentující modelované těleso. Teoreticky nejjednodušší a zároveň přirozený způsob popisu MKP modelu vychází z toho, že geometrie elementu je zcela určena rozmístěním uzlů sítě v prostoru. Stačí tedy vypsat souřadnice takových uzlů pro každý do jednoduché tabulky jako je tomu v obrázku.
22
Takto se v minulosti skutečně často postupovalo a MKP modely vznikaly jako výkresy na rýsovacích prknech, odkud byly odměřené souřadnice a uzly zapisovány (přímo děrovány) do databáze modelu (díky bohu za výpočetní techniku). Dnešní doba nám však veškerou práci značně ulehčuje, jsou vytvářeny pokročilé metody algoritmizace generování sítí přímo do připravené geometrie modelovaného tělesa. Podstatou tohoto přístupu je využití geometrického modelu (jehož tvorba je podstatně méně pracná nežli ruční tvorba sítě ) jako šablony, s jejíž pomocí automatický generátor sítě připraví množiny uzlů a elementů, tvořící konečněprvkový model (k vlastímu výpočtu samotná geometrie dále není potřebná). Prostředky pro tvorbu nebo import a editaci takových geometrických modelů, automatické generování sítí (spíše již standardem) a využití asociativity geometrických a MKP entit pro zadání okrajových podmínek a zatížení se souhrnně nazývají preprocesory
2.3 Geometrické entity preprocesoru ANSYSu Geometrickými entitami v ANSYSu rozumíme body, čáry, plochy a objemy. Každá vyšší entita kromě bodu je ohraničena entitami nižšími. Tato hranice je z hlediska uživatele jediným rozhraním geometrické entity. Entita může mít vnitřní parametry (např. zakřivení), ale tyto parametry jsou nastaveny při jejím vzniku a nemohou být měněny jinak, nežli smazáním a znovu-vytvořením entity. Příklady geometrických entit jsou v tabulce:
23
Entita
Rozhraní
Příklady vytvoření Zadáním souřadnic ,Jako průsečík čáry s
KEYPOINT
čárou nebo rovinou
(bod)
LINE
2 keypointy počáteční a
(čára)
koncový
Spojnice dvou keypointů,spline procházející několika keypointy (po vytvoření tvoří rozhraní pouze 2) ,Průsečík ploch Výčtem hraničních čar
Neomezený počet
"Přetažením" přes skupinu křivek
AREA
křivek v rovině , 3
(skinning)
(plocha)
nebo 4 křivky
v prostoru
"Přetažením" přes existující plochu Kinematicky, jako trajektorie výtvarné čáry
Neomezený počet
VOLUME
ploch, které musí
(objem)
uzavírat oblast v
Výčtem hraničních ploch
prostoru
2.3.1 Topologická spojitost Topologická spojitost geometrického modelu má v ANSYSu velký význam při automatickém generování sítí. Je-li geometrický model, který sestává z více geometrických entit topologicky spojitý, pak je zaručena topologická spojitost (kompatibilita) automaticky generovaných sítí. Topologickou spojitostí entit se rozumí, že mají společnou hraniční entitu. Např. dvě křivky jsou topologicky spojité, mají-li společný hraniční keypoint. Problémy mohou nastat zejména tam, kde hraniční entity geometricky koincidují (vlivem tolerancí v ansysu se jeví jako by měly stejnou polohu), ale nejsou totožné. Takové případy bývá obtížné vizuálně odhalit (existují však funkce na odstranění takových defektů). Na obrázku Obr. 5 je vidět topologicky spojité křivky (a) se společným keypointem K2 a topologicky nespojité křivky (b) s koincidujícími keypointy K2 a K3. Obr. (c) ukazuje rozdíl mezi (topologicky) uzavřenou a otevřenou křivkou a vliv na možnost definovat plochu. Na obrázku Obr. 6 je vidět nespojitost geometrie vlivem tolerancí.
24
Obr. 5: entity geometrie v ANSYSu
Obr. 6: nespojitost vlivem tolerancí
2.3.2 Tvorba MKP sítí v preprocesoru ANSYSu Jak již bylo řečeno, entitami rozumíme uzly a elementy. Uzel je definován polohou (x, y, z souřadnicemi v prostoru) a nese informaci o "svém" nejbližším okolí. Uzly jsou jednoznačně identifikovány přirozenými čísly. Tato čísla budeme označovat jako globální čísla uzlů. 25
Topologie každého jednoho elementu je dána typem (vzorem) a příslušejícími uzly (jsou
číslovány lokálně).
2.3.3 Kompatibilní a nekompatibilní sítě, rodiny elementů Zjednodušeně řečeno, element má svůj prototyp (vzor), který definuje hrany a stěny jako křivky spojující uzly. Ztotožnění uzlů elementu s uzly globálními vnáší informaci o tvaru konkrétní realizace elementu v prostoru. Na Obr 6. je naznačeno zobrazení prototypu (vzoru)
čtyřuzlového rovinného elementu. Zobrazení je definováno přiřazením globálních uzlů k uzlům lokálním (zelené šipky). Hrany s1 - s4 jsou v instanci definovány jako úsečky spojující příslušné globální uzly. Tím, že sousední elementy sdílejí globální uzly na společných hranách je zajištěna tzv. topologická spojitost (kompatibilita) MKP sítě.
Obr. 6: prototyp elementu
26
Pokud by všechny elementy sítě měly stejný vzor, byla by spojitost zajištěna automaticky. Na obrázku Obr. 7 je však kromě čtyřúhelníkových elementů také element trojúhelníkový. Použití různých topologií v jedné síti značně zvyšuje možnosti modelování těles velmi obecných tvarů. Proto jsou často v MKP programech vytvářeny tzv. rodiny elementů. Rodina elementů představuje několik vzorů (topologií), jejichž instance jsou při zajištění podmínek 1 a 2 kompatibilní. Např. v ANSYSu je rodina PLANE 42, která obsahuje rovinný
čtyřúhelník a trojúhelník. Trojúhelníkový element vzniká jako degenerovaný čtyřúhelník, viz obrázek
Obr. 7: degenerace elementu
27
Rodina PLANE 82 je typická tím, že její elementy mají zakřivené hrany. Zakřivení je definováno tzv. středostrannými uzly - midsides [midsaidy]. Každá hrana takového elementu má tři uzly, a její tvar je obecně parabolický (pokud všechny tři uzly leží v jedné přímce degeneruje parabola v úsečku).
Obr. 8: kvadratický prvek rodiny PLANE82
28
Obr. 8: degenerace prvku PLANE82
Na následujícím obrázku je jako příklad naznačena nekompatibilní síť v důsledku použití elementů ze dvou rodin PLANE 42 a PLANE 82. Topologicky spojitá síť se po deformaci stává nespojitou. Takový případ je obtížné ošetřit. Poněkud složitější situace je ve 3D prostoru. Dvě typické 3D rodiny v ANSYSU představuje následující obrázek.
29
2.3.4 Atributy elementů Z předchozího odstavce vyplynulo, že geometrie sítě je dána polohou uzlů, geometrickými typy elementů a přiřazením globálních uzlů k lokálním - tzv. tabulkou incidencí uzlů. Úlohy
řešené MKP nejsou čistě geometrické, ale také fyzikální. Podle typu úlohy se elementy třídí na •
mechanické - v terminologii ANSYSu structural - pro řešení mechanické odezvy poddajných těles
•
teplotní - v terminologii ANSYSu thermal - pro řešení teplotních polí v tělesech
•
elektro-magnetické - v terminologii ANSYSu magnetic , electrostatic - pro řešení elektromagnetických polí
•
elementy pro sdružené úlohy - v terminologii ANSYSu coupled field - pro řešení např. úloh termo-elektromagnetické, kde je třeba do teplotní bilance zahrnout teplo generované jouleovými ztrátami.
Elementy lze třídit podle charakteru těles na •
kontinuální (objemové, prostorové, plošné) - v terminologii ansysu solid - elementy pro prostorovou (3D) resp. rovinnou (2D) úlohu, které diskretizují klasické Cauchyovské kontinuum.
•
skořepinové - v terminologii ansysu shell - elementy diskretizují tenké stěny
30
•
nosníkové resp. tyčové - v terminologii ansysu beam resp. link
V ansysu má každý typ elementu tzv. atributy (celkem č):
1. elementový typ - v terminologii ansysu element type 2. materiál - v terminologii ansysu material 3. obecné parametry (tzv. reálné konstanty) - v terminologii ansysu real constants 4. elementový souřadný systém - v terminologii ansysu element coordinate system
(CS) Všechny 4 atributy jsou přirozená čísla, která představují ukazatel do tabulek příslušných atributů:
2.3.5 Tabulka elementových typů Rovinné elementy ve většině MKP programů lze využít i k řešení rotačně symetrických úloh Tato a další specifikace je v tabulce elementových typů definována prostřednictvím takzvaných voleb - v terminologii ansysu options. Struktura tabulky elementových typů je následující:
Identifikátor Typ elementu Volba 1 Volba 2 1
SOLID117
...
Volba N
default ELMAG default default
2.3.6 Tabulka reálných konstant Reálné (ve smyslu reálná čísla) konstanty v ANSYSu představují parametry, které nelze zadat polohou uzlů ani prostřednictvím materiálu. V našem případě je to geometrický parametr tloušťka elementu. Filozofie reálných konstant vychází z pojmu sady reálných konstant jako uspořádané N-tice reálných čísel. Každý element definovaný typem a volbami "ví" jaké parametry potřebuje pro výpočet a má definováno jejich pořadí. Je-li hodnota atributu reálné konstanty rovna i, hledá si element příslušné parametry v i-té sadě reálných konstant.
2.3.7 Tabulka materiálu Obsahuje informaci o typu materiálového modelu a hodnoty příslušných parametrů. Např. pro izotropní materiál aplikovaný ve statické úloze bez uvažování teplotního pole má pouze dva parametry: permeabilitu a elektrickou rezistivitu
31
2.3.8 Elementový souřadný systém Ansys má tři předdefinované souřadné systémy (globální kartézký (0), globální cylindrický (1) a globální sférický (2)). Kromě toho může uživatel definovat vlastní systémy libovolně posunuté a natočené vůči globálním - kartézský, cylindrický, sférický a toroidní. Tyto systémy jsou identifikovány přirozenými čísly.
2.3.9 Automatické generování MKP sítí Jak bylo řečeno výše, je dnes nejefektivnějším způsobem vytváření 2D resp. 3D MKP modelů automatické generování sítě do ploch resp. objemů. Algoritmy generátorů jsou velmi složité a jejich vývoj není ukončen. Z hlediska topologie elementů vytvářené sítě lze provést následující dělení:
Dimenze
Topologie
2D
+
3D
+
+
+
+
+
Automaticky Kinematicky Topol. omezení
Pozn.
FREE
-
-
-
MAP
+
*
-
FREE
-
-
-
FREE
-
-
-
MAP
+
**
-
-
+
-
-
-
-
-
nekompatib.
-
+
-
-
-
-
-
ručně
-
-
-
ručně
32
Z tabulky vyplývá, že automatický generátor pracuje ve dvou režimech - MAP (generuje tzv. mapovanou síť) a FREE (generuje tzv. volnou síť). Volnou síť lze generovat do ploch (objemů) obecné topologie. Mapovanou síť lze generovat pouze do speciálních ploch či objemů - tzv. topologických obdélníků a topologických kvádrů.
2.4 Vytváření grafických reprezentací v ANSYSu Výsledkem inženýrského výpočtu je obvykle zpráva o výpočtu. Součástí této zprávy je také grafická prezentace výsledků.
2.4.1 Metody vytváření obrázků a podporované grafické formáty Všechny grafické reprezentace generované systémem ANSYS jsou založeny na bodové grafice (bitmapy). Vlastní ANSYS produkuje grafické reprezentace třemi metodami: •
Hard copy - kopie obrazovky
•
Redirect plots - přesměrování výstupu
•
Capture image - sejmutí obrázku
2.4.2 Doporučený postup při tvorbě obrázků Z mnoha grafických formátů produkovaných ANSYSem mají pro nás praktický význam v podstatě pouze formáty EPS a TIFF, JPEG a PNG. Volba grafického formátu závisí především na použitém textovém procesoru. Pro psaní zprávy ve Windws programech typu MS Word je rozumné použít formát TIFF. Při použití systému TeX nebo jiného typografického systému je vhodné použít formát EPS. Pro publikaci na WWW jsou určeny formáty JPG nebo PNG. Obrázky v těchto formátech lze jednoduše získat pomocí Hardcopy obrazovky nebo Capture Image. Při tvorbě obrázků pro tisk byste vždy měli jako pozadí zvolit bílou barvu - obrázky s
černým pozadím jsou méně přehledné a při tisku se zbytečně plýtvá toner (ušetřené peníze je rozumné propít).
2.4.3 Hard copy - kopie obrazovky Při hardcopy je okno Graphics nebo celá obrazovka zkopírována do souboru. Grafické prezentace je možno ukládat do následujících formátů:
33
•
Postscript
•
tiff
•
jpeg
•
png
•
Postscript s tiff prewiev
Hardcopy obrazovky se provede pomocí příkazů "Utility Menu - PlotCtrls -> HardCopy". Po provedení příkazu se otevře okno s volbami.
2.4.4 Volby pro Hard Copy V okně pro hardcopy lze zadat následující údaje: •
Full Screeen - Graphics Window : volba mezi hardcopy celé obrazovky nebo okna Graphics
•
Monochrome - Gray Scale - Color : nastavení barev obrázku
•
Postscript - TIFF - Postscript with TIFF prewiev : nastavení výstupního formátu obrázku
•
TIFF compression - zda komprimovat formát TIFF
•
Reverse Video - prohodí černou a bílou barvu
•
Landscape - Portail : orientace na šířku - na výšku
•
print to - save to : zda tisknout na tiskárně nebo uložit do souboru. Při tiskuje třeba zadat tiskový příkaz, při uložení jméno souboru.
2.4.5 Redirect plots - přesměrování výstupu Princip metody Redirect plots spočívá v přesměrování obsahu okna Graphics do souboru. Pokud tedy přesměrujete výstup do souboru, výsledek operací pro práci s grafikou se nebude zobrazovat v okně Graphics, ale bude zapisován do souboru. V okně graphics se nemusí nic zobrazovat. Při přesměrování do souboru dojde k automatické inverzi bílé a černé barvy, tzn., že při černém pozadí okna Graphics bude pozadí obrázků bílé. Grafické prezentace je možno ukládat do následujících formátů: •
GRPH - Formát GRPH je interní formát ANSYSu. Všechny výstupy jsou ukládány do jednoho souboru. Defaultové jméno jobname.grph lze změnit. Soubor GRPH je třeba dále zpracovat pomocí programu DISPLAY.
34
•
PSCR - Poscriptový formát. Každý obrázek je uložen do nového souboru. Jméná souborů jsou tvořena jobnamenn.eps, kde nn je číslo od 00.
•
HPGL a HPGL2 - Jedná se o formát Hawlett-Packard Graphics Language. Každý obrázek je uložen do nového souboru. Jméná souborů jsou tvořena jobnamenn.hpgl.
•
VRML - Formát Virtual Reality Meta Language. Každý obrázek je uložen do nového souboru. Jméná souborů jsou tvořena jobnamenn.wrl, kde nn je číslo od 00.
2.4.6 Vytváření grafického souboru Přesměrování do souboru se provede pomocí příkazů "Utility Menu - PlotCtrls -> Redirect Plots -> To format file", kde format je jméno grafického formátu. Po provedení příkazu se otevře okno s volbami k jednotlivým formátům. Tyto volby jsou pro každý formát jiné. Jedinou společnou volbou je volba /REPLOT. Touto volbou lze nastavit dvě možnosti: •
Replot - Provede se vykreslení do souboru a další výstupy jsou opět do okna Graphics.
•
Do not replot - při této volbě jsou všechny výstupy do okna Graphics přesměrovány do souboru. V okně Graphics se nic nezobrazuje. Pro opětovné vykreslování do okna Graphics se provede přesměrování na screen pomocí "Utility Menu - PlotCtrls -> Redirect Plots -> To screen".
2.4.7 Capture image - sejmutí obrázku Při Capture image je okno Graphics zkopírováno do nového okna, které je možno uložit nebo provést jeho hardcopy. Grafické prezentace je možno ukládat do následujících formátů: •
IMG - grafický formát, který lze zpracovat například programem XV
•
Postscript
•
TIFF
•
Postscript s TIFF prewiev
Vytváření grafického souboru Hardcopy obrazovky se provede pomocí příkazů "Utility Menu - PlotCtrls -> Capture Image". Po provedení příkazu se okno Graphics zkopíruje do nového okna, v jehož menu lze zvolit: •
"File -> Save as" - možnost uložení obsahu okna do souboru IMG
•
"File -> Print" - otevře se okno HardCopy, jehož popis je uveden v sekci hardcopy
35
2.5 Další užitečná nastavení zobrazování 2.5.1 Systémové volby Nastavení typu zařízení ("Utility Menu - Plot Controls -> Device Options -> Use extra colors for ..."). Pro výstup ve 256 barvách na X-terminál i do souboru je třeba nastavit device jako "Contours X11C". Tuto volbu je možno alternativně provést i v základním menu při spouštění interaktivního sezení v okně ("Interactive") položkou "Graphics device name".
2.5.2 Stylové volby •
Solid a drátové modely: Základní volba mezi drátovým zobrazováním - " Vector mode (Wireframe)" a (solid) zobrazováním s vyplněnými plochami - "Raster ode" je v přepínači ("Utility Menu - Plot Controls -> Device Options -> Vector mode"). Přepínačem ("Utility Menu - Plot Controls -> Device Options -> Dithering") lze zapínat nebo vypínat operaci stínování při volbě viditelnosti typu Z-buffer.
•
Viditelnost je řízena z formuláře ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> Hiden Line Options") položkou ("Type of plot"). Lze zvolit: Centroid hiden ... řešení viditelnosti založeno na těžištích zobrazovaných entit
•
Face hiden ... řešení viditelnosti založeno na těžištích hraničních ploch zobrazovaných entit
•
Precis hiden ... jako Face hiden s přesnějším algoritmem
•
Z-buffered ... jako Precis hiden se softwarovým Z-bufferem
•
Capped hiden ... zobrazí řez a vše co je vidět za rovinou řezu - metoda precis (viz rovina řezu)
•
Capped Z-buffer ... zobrazí řez a vše co je vidět za rovinou řezu - metoda Z-buffer (viz rovina řezu)
•
Section ... zobrazí pouze řez (viz rovina řezu)
•
Q-slice Z-buffer ... zobrazí řez a vše co je vidět za rovinou řezu pouze v obrysech metoda Z-buffer
•
Q-slice precise ... zobrazí řez a vše co je vidět za rovinou řezu pouze v obrysech metoda precis
•
Non hiden ... neřeší viditelnost
•
Rovina řezu může být určena z formuláře ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> Hiden Line Options") položkou ("Cutting plane is") dvěma metodami:
36
•
Kolmá na směr pohledu ("Normal to view" - je kolmá na vektor pohledu (viz ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> View settings -> Viewing direction")).
•
Totožná s "Workplane" (viz ("Utility Menu -> WorkPlane")).
•
Typ stínování< se nastaví opět z formuláře ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> Hiden Line Options") položkou "Type of shading".
•
Kreslení hran elementů je nastavováno z formuláře ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> Edge Options") položkou "Element outlines for non-contour/contour plots" volbami:
•
All / Edge only ... vykreslí všechny hrany
•
Edge only / All ... vykreslí jen obrysy
•
Zobrazení barevných map výsledných polí:
•
Počet vrstevnic se nastaví z ("Utility Menu - Plot Controls -> Style -> Contours -> Uniform Contours") položkou "Number of contours". Není li device nastaveno na X11C, nelze nastavit více než 9 vrstevnic. Jinak by mělo být možno nastavit až 24 barev, ale pak se nevejde legenda. Rozumný počet vrstevnic je asi 15.
•
Zda se budou vrstevnice kreslit plochami nebo čárami závisí na modu (vector (čáry) nebo raster (plochy) plot).
2.5.3 Rozložení oken a legenda ANSYS umožňuje rozdělení kreslící plochy na 5 oken (Windows). Tato okna mají jedinečná některá nastavení (některá nastavení jsou společná). Předdefinovaný stav předpolkládá jediné aktivní okno situované na celou kreslící plochu. Případný zájemce o složitější strukturu nalezne příkazy pro rozmístění oken v ("Utility Menu->Plot Controls->Window Controls").
2.5.4 Zobrazení geometrických entit, MKP entit a výsledků V tomto odstavci jde o výkonné kreslící příkazy, které zobrazí aktuálně vybranou podmnožinu požadovaných entit na aktuální výstupní zařízení (X-okno nebo soubor). Geometrické entity lze zobrazovat pomocí "Utility Menu - Plot -> ...": •
Keypoint
•
Lines
•
Areas
•
Volumes
37
Položka "specified entities" umožní vykreslit pouze ty entity, které uživatel přímo zadá čísly.
MKP entity lze zobrazovat pomocí ("Utility Menu - Plot -> ..."): •
Nodes
•
Elements
2.6 Post-processing Výsledky se zobrazí pomocí ("Main Menu -> General Postprocessor -> Plot Results -> ..."):
Nodal solution - zobrazují se hodnoty primárně příslušející uzlům. Vektorový magnetický potenciál je dle typu metody řešení hledán buď na hranách nebo uzlech daného elementu a není tak zaručena spojitost na hranicích prvků vždy. Při zobrazení metodou "nodal solution" jsou tyto hodnoty přepočteny do uzlů, a zde zprůměrovány (operace vyhlazení) a vykresleny.
Element solution - uzlová řešení zobrazit nelze, hodnoty jsou vykreslovány v jednotlivých elementech (stupňovité zobrazení). Další způsoby vyhodnocování získaného řešení se různí dle typu analýzy a účelu, ke kterému výsledky budou sloužit (viz příklady).
2.7 Literatura [1]
ŠTĚRBA, Pavel; MASÁK, Jan; NOVOTNÝ Ctirad,“doprovodný text ke cvičením MKP a AMKP” ČVUT 2004
[2]
ANSYS help
38
3 Výběr typu metody výpočtu (nFEM/eFEM) Ansys k řešení 3D elektromagnetických úloh nabízí dvě v podstatě odlišné metody. Jsou jimi „nodalbased finite elements metod“ (FEM se stupni volnosti v uzlech konečného prvku) a „edge-based finite elements metod“ (FEM se stupni volnosti na hranách prvku). Z hlediska geometrie jsou si obě metody rovnocenné, proto jejich výběr výsledný tvar fyzikálního modelu nijak neovlivní – je samozřejmě možné aplikovat obě metody na tentýž problém. Hlavní rozdíl spočívá v přípravě a
Obr – 3. 1 DOFs
složitosti výsledného matematického modelu (popis rovnicemi), kdy sledovanými parametry jsou především: počet neznámých, počet řešených rovnic atd. Metoda „nodal-based finite elements metod“ (dále nFEM) přiřazuje každému uzlu konečného prvku jednu tvarovou funkci a tři a více stupňů volnosti (obvykle magnetický vektorový potenciál ve třech osách souřadného systému – AX, AY, AZ, případně další). Naproti tomu metoda „edge-based finite elements metod“ (dále eFEM) uvažuje pouze jednu tvarovou funkci, a to na hraně elementu. To ovšem znamená jeden stupeň volnosti AZ vždy ve stranovém (mid-side) uzlu prvku. Jak bude ukázáno dále, eFEM v porovnání s nFEM má
řadu výhod. Nejdůležitějšími se zdají být tyto: uvažuje kontinuitu toku mezi dvěma přilehlými elementy pouze v tangenciálním, nebo normálovém směru (Obr 3.1), výkonnost metody je díky řidší matici tuhosti vyšší, klade nižší nároky na paměť řešícího HW. Hlavní nevýhodou je však pomalejší konvergence iteračního
řešiče a náchylnost na výběr tzv. gauging procedury. Níže uvedený konečný prvek obsahuje vlastní algoritmus,
který
uvažuje
vzájemné provázání uzlů a hran ve formě topologického grafu (tzv. strom). Protože každá z hran je tvořena právě dvěma uzly, Obr – 3.2 prvek SOLID117
strom je možné do jisté míry
39
redukovat (k zajištění jednoznačnosti této matice slouží zmíněný gauging algoritmus), čímž redukujeme i počet stupňů volnosti (DOFs). Prvek, o kterém byla řeč je dvaceti-uzlový kvadratický tetraheader (Obr 3.2). Jeho rohové uzly jsou určeny především pro popis tvaru prvku, orientaci hran (od uzlu s vyšším pořadovým číslem směrem k uzlu s nižším pořadovým číslem), definici stupně volnosti elektrického potenciálu (označeného VOLT – integrální veličina). Středostranné uzly slouží k definici stupně volnosti magnetického vektorového potenciálu (AZ). Jak je patrné z obrázku Obr – 3.1, vektorový magnetický potenciál A lze určit jako: A = AZ 1 N 1 + AZ 2 N 2 + AZ 3 N 3 + ... + AZ 8 N 8
(3.1)
Je to obdoba (1.27) Kde
AZi je tangenciální složka aktuální velikosti AZ ve středostranném uzlu N i je tvarová funkce dané hrany
Jak bylo řečeno dříve, každá hrana je určena dvěma rohovými uzly, ty také udávají její orientaci. Z obrázku Obr – 3.2 je vidět, že každý prvek má dva souřadné systémy (x,y,z) globální a (r, s, t) – lokální. Vztah mezi oběma systémy lze popsat:
x = (1 − r ) x I
(3.2)
y = (1 − s) y I
(3.3)
z = (1 − t ) z I
(3.4)
Kde x I , y I , z I jsou souřadnice uzlu v globálním kartézském systému Nyní si názorně a zjednodušeně předveďme odvození tvarových funkcí jednotlivých uzlů elementu. Protože jsou tyto funkce dány tvarem funkce aproximační, která je v případě eFEM pro SOLID117 lineární, lze napsat:
Ai = a1 + a 2 xi + a3 yi + a 4 z i + a5 xi yi + a6 xi z i + a7 yi z i + a8 xi yi z i
(3.5)
Což v maticovém tvaru je
Ai = [1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz ][ . ai ]
(3.6)
Z obrázku Obr – 3.2 a rov. 3.5 vychází soustava rovnic:
40
A1 1 A 1 2 A3 1 A4 = 1 A5 1 A6 1 A 1 7 A8 1
0 r r 0 0
0 0 s s 0
0 0 0 0 0 rs 0 0 t 0
r 0 t r s t 0 s t
0 0 0 0 0
0 rt rs rt 0 0
a1 a 2 a3 .a 4 a5 0 0 a6 st rst a7 st 0 a8 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(3.7)
Vyřešíme-li soustavu a výsledek dosadíme do 3.6, dostáváme:
[ai ] = [B]−1 [A] ⇒ A = [1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz ][. B]−1 [A]
(3.8)
Dále platí, že
A = [N ][. A]
(3.9)
Z předchozích rovnic, tedy 2.8 a 2.9 lze vyjádřit tvarové funkce jako:
[N ] = [1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz ][. B]−1 1 1 −r 1 − s −1 t [N ] = [1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz]. 1 rs 1 rt 1 st − 1 rst
[N ] = [N I
NJ
NK
NL
NM
NN
NO
(3.10)
0 1 r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 s
0
0
0
0
0
0
1 t
0
0
1 rs 1 − rt
1 rs
1 rs
0
0
0
1 rt
0
0
0
1 rt 1 − st 1 rst
0
0
−
1 rst NP ]
−
0
−
1 rst
0 1 st 1 rst
−
−
−
1 rst
1 rst
0 0 0 0 0 0 1 st 1 − rst
(3.11)
Po úpravě výsledku, nabývají tvarové funkce v jednotlivých uzlech těchto tvarů:
N I = (1 − r )(1 − s )(1 − t )
(3.5)
N J = r (1 − s )(1 − t )
(3.6)
N K = rs(1 − t )
(3.7)
N L = (1 − r ) s (1 − t )
(3.8)
N M = (1 − r )(1 − s)t
(3.9)
41
N N = r (1 − s)t
(3.10)
N O = rst
(3.11)
N P = (1 − r ) st
(3.12)
Tvarová funkce hrany dané uzly N1 a N2 může být popsána následovně: r N E = N N 1∇N N 2 − N N 2 ∇N N 1
(3.13)
Pro hranu Q z obrázku Obr – 3.2 pak vychází: r N EQ = N I ∇N J − N J ∇N I
(3.14)
∂N I ∂x ∂N I ∇N I = ∂y ∂N I ∂z
∂N J ∂x ∂N J ; ∇ N = ∂y J ∂N J ∂z
(3.15)
Nejprve určeme tvarové funkce patřičným uzlům, tedy NI a NJ
N I = (1 − r )(1 − s )(1 − t )
(3.16)
N J = r (1 − s )(1 − t )
(3.17)
Protože platí transformační rovnice 2.2 – 2.4 a hrana Q leží v ose x, platí: x (1 − s )(1 − t ) xI
(3.18)
x N J = 1 − (1 − s )(1 − t ) xI
(3.19)
NI =
Po aplikaci operátoru gradient
1 (1 − s)(1 − t ) x I 0 ; ∇N I = 0
1 − (1 − s )(1 − t ) x I 0 ∇N J = 0
(3.20)
42
Vychází tvarová funkce hrany následovně: r 1 1 N EQ = −(1 − r )(1 − s )(1 − t ) (1 − s )(1 − t ) − r (1 − s )(1 − t ) (1 − s )(1 − t ) xI xI
(3.21)
Pokud bychom takový výpočet provedli i pro hrany U, W, S zjistíme, že ∇N I = −∇N J = ∇r
(3.22)
Hranu Q tedy popisuje následující tvarová fce: r N EQ = (1 − s )(1 − t )∇r
(3.23)
Zbylé hrany by se popsaly analogicky Je pak možné uvést následující tvar matice tvarových funkcí hran elementu r N X QUWS r r YZAB N EI = NY r TXVR NZ
(3.24)
Z rovnice 3.24 je vidět, že vždy čtyři hrany mají stejný směr, čímž se nám výrazně daná matice zjednoduší. Zbytek výpočtů je shodný s nFEM. Bylo zjištěno, že SOLID117
umožňuje pouze symetrický výpočet (modelování za využití symetrie ¼), což značně limituje jeho využití. Je však velmi úsporný a v případě možnosti neváhejme!!! Při nesymetrii, resp. modelování komplexní úlohy (harm., tranz.) využívat výhradně SOLID97
3.1 Literatura [1]
TARVYDAS, P,“Edge Elements for 3D Electromagnetic Filed Modeling” Kaunas University of Technology, ISSN 1392 - 1215
[2]
ANSYS help
43
4 ANSYS příklady 4.1 Často používané příkazy !
komentář
!XXXXXXXXXXX !NÁZVY ENTIT !XXXXXXXXXXX keypoint (kp) line area volume node element
bod (geometrie) krivka plocha objem uzel site prvek site
!pozn: parametry prikazu se oddeluji carkami help,prikaz help,117
napoveda k elementu (SOLID117)
!XXXXXXXXX !GEOMETRIE !XXXXXXXXX a) Vykreslovani /replot prekresleni Kplot bodu (kp) lplot krivek (line) aplot ploch (area) vplot objemu (volume) nplot uzlu site (node) eplot prveku site (element) gplot soucasne vykreslovani entit !nastaveni entit pro vykreslovani:
Utility Menu>PlotCtrls>Multi-Plot Contrls 44
b) dotaz na geometrii klist,p bod (kp) llist,p alist,p
krivku (line) plochu (area)
vlist,p
objem (volume)
nlist,p elist,p
uzel site (node) prvek site (element)
kdist,p
vzdalenost 2 kp (CSYS)
ndist,p
vzdalenost 2 uzlu (CSYS)
!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX !SELEKCE ENTIT A KOMPONENT !XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX a) pikem mysi [k l a v n e]sel,[s r a u],p s (select) z plne mnoziny r (reselect) a (also select) - priber u (unselect) - odeber !priklad:lsel,u,p z aktivni mnoziny krivek odeber krivky pikle mysi b) Na zaklade atributu [k l a v n e]sel,[s r a u],[mat type real esys],,od,do,delta !priklad: esel,,mat,,2 asel,u,type,,3
vyber vsechny elementy, ktere se odvolavaji na material.c.2 odeber vsechny plochy, ktere se odvolavaji na typ elementu.c.3
c) dalsi uzitecne prikazy alls (allsel)
vyber vsechny entity (aktivovat vsechno)
alls,below,[volu area line kp elem]
vyber vsechno patrici k objemum,... 45
lsel,r,ext asel,r,ext
vyber externich krivek externich ploch
nsel,r,ext nsll,,1
externich uzlu uzly na aktivnich krivkach
nsla,,1
uzly na aktivnich plochach
d) tvorba a selekce komponent cm,jmeno,[kp area line volu node elem] tvorba komponenty cmdel,jmeno cmsel,[s r a u],jmeno
odstraneni komponenty selekce komponenty
!XXXXXXXXXXXXX !PREPROCESSING !XXXXXXXXXXXXX a) materialove vlastnosti - definice mp,cislo,[perx rsvx murx kxx],hodnota perx rsvx murx kxx mplist,od,do,delta
relativni permitivita merny odpor [Ohm.m] relativni permeabilita tepelna vodivost [W/(m.K)] vypis definovanych materialovych vlastnosti
!XXXXXXXXXXXXXXXXX !OKRAJOVE PODMINKY !XXXXXXXXXXXXXXXXX a)Zadavani na: dk,p dl,all,,volt,1.2 da,p
bod (kp) krivku (line) plochu (area)
!pres menu:
Solution>DefineLoads>Apply>Electric>Boundary>Voltage
46
b) Dotaz na okrajove podminky (OP) zadane na: dklist,p bod (kp) dllist,p dalist,p
krivku (line) plochu (area)
dlist,p
uzel site
!symboly OP: Utility Menu>PlotCtrls>Symbols dtran
prevod OP z geometrie na FE model
sftran
prevod plosneho zatizeni z geometrie na FE model
!XXXXXXXXXXXXXX !POSTPROCESSING !XXXXXXXXXXXXXX plnsol,[volt temp] plnsol,ef,[x y z sum]
zobrazeni vysledku na uzlech zobrazeni intenzity el. pole (RSYS)
FLST, NFIELD, NARG, TYPE, Otype, LENG Jedna se o prikaz zadávaný klikanim mysi v menu GUI. Uzivatel o tom samozrejme nevi (ansys ho doplnuje automaticky), je ale vypisován do logfile. NFIELD
oznacuje typ operace v menu NARG
pocet piknutych entit TYPE
typ entity 1 uzly 3 keypointy 5 plochy 7 trasované body
2 4 6 8
elementy krivky objemy souradne systemy
Otype
prikaz, vyznacny pro dany typ operace
47
4.2 Ukázkové příklady 4.2.1 Vodič v prostoru 2D Uvažujme měděný vodič daného průřezu, protékaný zadanou proudovou hustotou, procházející volně prostorem. V jeho blízkém okolí se nachází další vodič (indukt), jenž je a) nekonečný
uvažován
b) v konečné vzdálenosti spojen ve smyčku Pro J
obě
varianty
provedeme
harmonickou
analýzu (několik různých indukt
frekvencí
napájecího
proudu), sledováno bude A=0
rozložení
proudové
hustoty v obou vodičích a intenzita mag. pole. Před samotnou analýzou je ale třeba vytvořit samotný model. popsáno
Jak
již
bylo
dříve,
lze
postupovat čistě parametricky, tzn. využít interpreta implementovaného v ansysu formou příkazové řádky, nebo máme k dispozici GUI rozhraní (kontextové menu). Je na každém, která forma modelování mu bude vyhovovat více, zde si názorně předvedeme obě.
Geometrie: šířka napájeného vodiče:
8mm
výška napájeného vodiče:
32mm
šířka induktu:
8mm
výška induktu:
16mm
vzdálenost vzuch. okolí:
40mm
J
5A/mm2
S napájeného vodiče
256 mm2
S induktu
128 mm2
Je dobré si uvědomit, že uvedená vzdálenost okolí není nikterak
optimalizována.
Chtěli
bychom
postupovat
48
korektně, bylo by nutné provést několik kontrolních výpočtů (variabilní vzdáleností okolí) a za pomocí některé z integrálních veličin (L, Wm, …) určit optimální poloměr kruhu okolí. Optimální vzdálenost odpovídá takové hodnotě, pro kterou se velikost kladné derivace sledované integrální veličiny blíží nule.
Vodiče lze vytvořit následovně v menu: Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Rectangle>By 2 Corners (pro oba obdélníky)
Okolí pak podobně: Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Circle>Solid circle V tomto okamžiku máme připraven geometrický model odpovídající řezné rovině skutečné fyzické kompozice obou vodičů. Protože se ale model sestává s jednotlivých ploch, vzájemně se překrývajících, vytvořením konečněprvkového modelu by vznikly 3 na sobě nezávislé množiny uzlů (sítě). To ovšem vede ke vzniku diskontinuální (nekompatibilní) sítě a v tomto případě ke špatným výsledkům (nikoli pádu GAUGING algoritmu). Je tedy nutné příslušné roviny vzájemně prolnout, čímž získají společné hranice (princip je vidět na obrázku).
Main Menu> Preprocessor> Modeling> Operate> Booleans> Partition> Areas Dále je třeba určit typ elementů, materiálové vlastnosti a přiřadit daným regionům. Z helpu lze vyčíst nabízené typy elementů pro cílenou analýzu. V tomto případě máme k dispozici následující
Element Dimens. PLANE13 2-D
Shape or DOFs Characteristic 4-node Up to four at each node; these quadrilateral or 3- can be magnetic vector node triangular potential (AZ), displacements, temperature, or time-integrated electric potential
Notes Supported for cyclic symmetry (periodic) analysis.
49
Element Dimens. PLANE53 2-D
Shape or DOFs Characteristic 8-node Up to four at each node; these quadrilateralor 6- can be magnetic vector node triangular potential (AZ), time-integrated electric potential, current, or electromotive force drop
Notes Supported for cyclic symmetry (periodic) analysis.
Budeme volit kvadratický prvek PLANE53. Main Menu> Preprocessor> Element Type> Add/Edit/Delete> Máme tři oblasti, proto vytvoříme tři používané typy prvků (všechny budou PLANE53). Nebyl by problém použít pouze jeden typ, ale v případě potřeby změnit typ elementu příslušející některému z regionů, museli bychom vytvářet konečněprvkový model znovu (je proto výhodné ty dvě řádky do souboru připsat).
Pokud jde o materiálové vlastnosti, význačnými jsou především: relativní permeabilita vzduchu a mědi µ r = 1 a měrný odpor mědi, tedy 1.7e-8
Main Menu> Preprocessor> Materiál Props> MaterialModels
Dále je třeba připravené atributy přiřadit příslušejícím regionům a vytvořit mesh. Main Menu> Preprocessor> Meshing> MeshTool
50
Práce se zmíněnými menu bude podrobně probrána na seminářích. Výsledný model je zobrazen na následujícím obrázku:
51
Zatížením rozumíme zadáním okrajových podmínek společně s nastavením stupňů volnosti elelementovým typům. Pro variantu a (nekonečný indukt) určíme potřevné nastavení DOFs elementu 2 z následující tabulky
KEYOPT(1) Element degrees of freedom: 0 -- AZ degree of freedom: static domain, induced eddy current domain 1 -- VOLT, AZ degrees of freedom: current-fed massive conductor 2 -- AZ, CURR degrees of freedom: voltage-fed stranded coil 3 -- AZ, CURR, EMF degrees of freedom: circuit-coupled stranded coil 4 -- AZ, CURR, EMF degrees of freedom: circuit-coupled massive conductor Je tedy vidět, že volba 1 (VOLT, AZ) splňuje zadání požadovaného chování induktu v systému. Nastavení provedeme Main Menu> Preprocesor> Element Type> Add/Edit/Delete> Type 2> Options
Obdobným způsobem se podle helpu nastaví i ostatní element types. Napájený vodič
VOLT, AZ
Indukt
VOLT, AZ
Vzduch
AZ
Proud do tyče (I=JS=1280A) můžeme zadat několika způsoby (proudovou hustotou,
proudem do uzlů sítě). Zatížení pak provedeme pomocí vazebních rovnic 52
Main Menu>Preprocessor>Coupling / Ceqn>Couple DOFs Jedná
se
o
nástroj
pro
vzájemné
provázání
DOFs
množiny
vybraných
uzlů.
Řídící uzel DOF nastavený uzlu řídícímu (ten s nejmenším globálním pořadovým číslem z výběru) se
automaticky
přiřadí
i
ostatním zúčastněným.
zatížení pak nastavíme Main Menu> Preprocessor> Loads> Define Loads> Apply> Electric>Excitation> Impressed Curr>On Nodes … do řídícího uzlu Na hranici vyduchového okolí bude homogenní Dirichletova okrajová podmínka A=0 Main Menu> Preprocessor> Loads> Define Loads> Apply> Magnetic>Boundary> Vector Poten>On Lines Metoda řešení analýzy je zadána
Main Menu> Preferences>Magnetic Nodal
53
Dalším důležitým krokem je výběr typu analýzy a provedení jejího nastavení (pro harmonickou analýzu je to frekvence proudu a volba řešiče). Main Menu> Preprocessor> Solution> Analysis Type> New Analysis>
Main Menu> Preprocessor> Solution> Analysis Type> Analysis Option>
Výběr řešiče záleží na modelované úloze, resp. její složitosti. Pro řádově menší modely (700000 uzlů) je výhodné použít velice rychlý Sparse solver, pro úlohy větší pak nezbude než se spokojit s některým z iteračních. Příkazem /SOLU solve spustíme výpočet.
54
v textovém tvaru by model vypadal takto: !PRIKLAD "VODIC" - indukt rozpojen /PREP7 !PARAMETRY a=8e-3 b=32e-3 c=8e-3 d=16e-3 e=40e-3 S=a*b J=5000000 I=S*J
!sirka vodice !vyska vodice !sirka induktu !vyska induktu !polomer okoli !plocha vodice !proudova hustota
BLC4,-a/2,-b/2,a,b BLC4,3/4*c,-5/8*d,c,d CYL4,0,0,e FLST,2,3,5,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-3 APTN,P51X
!tvorba vodice !tvorba vodice
ET,1,53 !* ET,2,53 !* ET,3,53 !*
!nastaveni typu elementu
KEYOPT,1,1,1 KEYOPT,1,2,0 KEYOPT,1,3,0 KEYOPT,1,4,0 KEYOPT,1,5,0 KEYOPT,1,7,0 !* KEYOPT,2,1,0 KEYOPT,2,2,0 KEYOPT,2,3,0 KEYOPT,2,4,0 KEYOPT,2,5,0 KEYOPT,2,7,0 !* !XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX !materialove vlastnosti
! ! ! ! ! !
MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,MURX,1,,1 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,RSVX,1,,1.7e-8 *CSET,1,2, 1,2, MPCOPY, ,1,2 TBCOPY,ALL,1,2 !* *CSET,1,2, 1,3, MPCOPY, ,1,3 TBCOPY,ALL,1,3 !* MPDE,RSVX,3
!nastaveni typu elementu !nastaveni typu elementu
! ! ! ! ! !nastaveni DOFs
!relativni permeabilita medi !merny odpor medi
55
!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX !nastaveni typu elementu pro jednotlive regiony CM,_Y,AREA ASEL, , , , CM,_Y1,AREA CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 AATT, 1, , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !* CM,_Y,AREA ASEL, , , , CM,_Y1,AREA CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 AATT, 2, , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !* CM,_Y,AREA ASEL, , , , CM,_Y1,AREA CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 AATT, 3, , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !*
1
1,
0,
2,
0,
3,
0,
2
4
!XXXXXXXXXXX !TVORBA SITE ESIZE,1e-3,0, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 !* FLST,5,2,5,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,-2 CM,_Y,AREA ASEL, , , ,P51X CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y !* AMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ESIZE,0.003,0, CM,_Y,AREA ASEL, , , , 4 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y !* AMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1
56
CMDELE,_Y2 /REP,FAST /PNUM,KP,0 /PNUM,LINE,0 /PNUM,AREA,0 /PNUM,VOLU,0 /PNUM,NODE,0 /PNUM,TABN,0 /PNUM,SVAL,0 /PNUM,DOMA,0 /NUMBER,1 !* /PNUM,MAT,1 /REPLOT !XXXXXXXXXXXXXXX !vazebne rovnice FLST,4,849,1,ORDE,2 FITEM,4,1 FITEM,4,-849 CP,1,VOLT,P51X F,1,AMPS,I,0 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,9 FITEM,2,-12 DL,P51X, ,AZ,0,0, !* !XXXXXXXXXXXXXXXXX !nastaveni analyzy /NOPR /PMETH,OFF,1 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,0 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,1 KEYW,MAGNOD,1 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO !* /COM, /COM,Preferences for GUI filtering have been set to display: /COM, Magnetic-Nodal !* !* ANTYPE,3 HARFRQ,0,1, NSUBST, , KBC,0 !*
Výsledek pro variantu a Uvažujme zde (pro indukt) platnost Amperova zákona r r ∫ Hdl = 0
(3.1)
l
57
Jelikož je indukt lineárně veden podél napájeného vodiče, nepředpokládá se jeho vykrácení v nekonečnu. Proud I bude tedy roven nule. Na následujícím obrázku jsou znázorněny siločáry reálné části intenzity magnetického pole pro f=1Hz a f=5000Hz
58
59
Na posledních obrázcích je znázorněna proudová hustota pro obě frekvence
60
Výsledek pro variantu b Uvažujme zde (pro indukt) platnost Amperova zákona
r r
∫ Hdl l
=I+
r r dψ ,ψ = ∫ DdS dt S
(3.2)
Jelikož je indukt lineárně veden podél napájeného vodiče, a nepředpokládá se jeho vykrácení v nekonečnu. Proud I už nebude roven nule (napájecí proud má harmonický průběh), v induktu budou vznikat posuvný i vířivé proudy (tvořící ztráty). Tuto skutečnost vyjadřují první dvě Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru. r r r ∂D rotH = J + ∂t r r ∂B rotE = − ∂t
(3.3)
(3.4)
Pro velmi malé frekvence pak vychází fázový posuv indukovaného proudu a proudu zdrojového blízký devadesáti stupňům( jak je zřetelné na následujících obrázcích)
61
Reálná část výsledků
62
63
64
Proudová hustota pro obě frekvence:
65
Imaginární část výsledků Intenzita mag. pole
66
67
Proudová hustota pro obě frekvence (zřetelný proximity efekt)
Indukovaný proud pro
f=1Hz
I=-2,5 – i.13,2 A
f=5000Hz
I=-821+i.22A
68
4.2.2 Vodič v prostoru 3D Zadání úlohy ponechme stejné, koncepci a chování systému taktéž. Chceme-li modelovat uzavření induktu ve smyčku (nikoli však v nekonečnu), musíme mírně modifikovat geometrii (viz obrázek).
Nejjednodušším způsobem jak úlohu realizovat je vytvořit tři kvádry a jednu kouli. Odečtením třetího kvádru od druhého vznikne smyčka induktu. Jako vzduchové okolí nám poslouží koule zadaného poloměru. Po prolnutí všech těles získáváme soubor objemů se společnými hranicemi (viz kompatibilita sítě).
Vodiče lze vytvořit následovně v menu: Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Volumes> Block>By Dymennsions (pro všechny obdélníky)
69
Okolí pak podobně: Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Volumes>Sphere>Solid Sphere
Vzájemné prolnutí vzniklých objemů pak vysvětluje obrázek
Main Menu> Preprocessor> Modeling> Operate> Booleans> Partition> Volumes> Pick all
70
Dále je třeba určit typ elementů, materiálové vlastnosti a přiřadit je připraveným regionům. Z helpu lze vyčíst nabídku typů elementů, příslušející cílené analýze. Máme zde k dispozici dva typy prvků, které můžeme efektivně použít (SOLID117 a SOLID97).
SOLID 97
SOLID 117
Na první pohled se zdá být výhodné použít SOLID117 (kvadratický prvek). Při větší pozornosti zjistíme, že podstata středostěnných uzlů spočívá pouze v podpoře DOFs (AZ) – více v kapitole 3 „Výběr typu metody výpočtu (nFEM/eFEM)“. Aproximační funkce tohoto prvku tedy zůstává lineární a jediná výhoda je v menší matici tuhosti. Protože se ale prvek chová symetricky (jako bychom modelovali ¼ problému), nelze použít – získali bychom chybné výsledky vlivem nereálnému rozložení proudové hustoty (symeticky k osám x a y). Zůstává tedy SOLID97(bližší popis v help) Na tomto obrázku je možné pozorovat množství volitelných nastavení, kterými lze simulovat různé fyzikální chování elementu, resp. komponenty z něho sestávající.
71
Nastavení reálných konstant je zřejmé z tabulky: Laminated iron
Classical Formulation DOF: AX, AY, AZ Material properties: MUr (MURX) Special characteristics; No eddy currents
Air
Classical Formulation DOF: AX, AY, AZ Material properties: MUr (MURX) Special characteristics; No eddy currents
Current-fed massive conductor
Classical Formulation DOFs: AX, AY, AZ, VOLT Material Properties: MUr(MURX), rho (RSVX) Special characteristics: Couple VOLT DOF in region; apply total current (F,,AMPS) to single node
Jelikož nás zajímá režim Current-fed massive conductor, dle tabulky nastavíme: DOFs: AX, AY, AZ, VOLT Material Properties: MUr(MURX), rho (RSVX) Special characteristics: Couple VOLT DOF in region; apply total current (F,AMPS) to single node Následující obrázek ilustruje způsob zatížení napájeného vodiče
Mesh: Main Menu> Preprocessor> Meshing> Mesh Tool>
72
Typ meshované oblasti
Typ materiálu
Typ elementu
73
Hotový model vypadá takto:
Stupně volnosti (DOFs) vstupní i výstupní strany napájeného vodiče byly svázány vazebními rovnicemi, do jejich řídících uzlů pak zadány okrajové podmínky: - Vstupující proud F, xxx, AMPS, I - Nulový potenciál D, xxx, VOLT, 0
74
Vzduchové okolí vypadá následovně (všimněme si kompatibility sítě)
Metoda řešení analýzy je zadána
Main Menu> Preferences>Magnetic Nodal
75
Dalším důležitým krokem je výběr typu analýzy a provedení jejího nastavení (pro harmonickou analýzu je to frekvence proudu a volba řešiče). Main Menu> Preprocessor> Solution> Analysis Type> New Analysis>
Main Menu> Preprocessor> Solution> Analysis Type> Analysis Option>
Výběr řešiče záleží na modelované úloze, resp. její složitosti. Pro řádově menší modely (700000 uzlů) je výhodné použít velice rychlý Sparse solver, pro úlohy větší pak nezbude než se spokojit s některým z iteračních. Příkazem /SOLU solve spustíme výpočet.
76
Model v textovém režimu: !PRIKLAD "VODIC" - indukt rozpojen /PREP7 !PARAMETRY a=8e-3 b=32e-3 c=8e-3 d=16e-3 e=300e-3 S=a*b J=5000000 I=S*J
!sirka vodice !vyska vodice !sirka induktu !vyska induktu !polomer okoli !plocha vodice !proudova hustota
BLOCK,-a/2,a/2,-b/2,b/2,-0.25,0.25, BLOCK,1.5*c/2,1.5*c/2+c,-18*d/2,d/2,-0.25,0.25, BLOCK,1.5*c/2,1.5*c/2+c,-16*d/2,d/2-2*d/2,-0.22,0.22, VSBV, 2, 3 SPH4,0,0,0.3 FLST,2,3,6,ORDE,3 FITEM,2,1 FITEM,2,-2 FITEM,2,4 VPTN,P51X ET,1,97 !* ET,2,97 !* ET,3,97 KEYOPT,1,1,1 KEYOPT,1,2,0 KEYOPT,1,3,0 KEYOPT,1,4,0 KEYOPT,1,5,0 KEYOPT,1,7,0 !* KEYOPT,2,1,1 KEYOPT,2,2,0 KEYOPT,2,5,0 !* KEYOPT,2,1,1 !XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX !materialove vlastnosti MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,MURX,1,,1 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,RSVX,1,,1.7e-8 *CSET,1,2, 1,2, MPCOPY, ,1,2 TBCOPY,ALL,1,2 *CSET,1,2, 1,3, MPCOPY, ,1,3 TBCOPY,ALL,1,3 MPDE,RSVX,3
!nastaveni typu elementu !nastaveni typu elementu !nastaveni typu elementu ! ! ! ! ! !
!relativni permeabilita medi !merny odpor medi
!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX !nastaveni typu elementu pro jednotlive regiony FLST,5,12,4,ORDE,6
77
FITEM,5,9 FITEM,5,-12 FITEM,5,21 FITEM,5,-24 FITEM,5,33 FITEM,5,-36 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,,_Y !* LESIZE,_Y1, , ,20, , , , ,1 !* CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 1 CM,_Y1,VOLU CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 VATT, 1, , 1, 0 CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !* CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 4 CM,_Y1,VOLU CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 VATT, 2, , 2, 0 CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !* CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 3 CM,_Y1,VOLU CMSEL,S,_Y !* CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 3 CM,_Y1,VOLU CMSEL,S,_Y !* CMSEL,S,_Y1 VATT, 3, , 3, 0 CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 !* !XXXXXXXXXXX !TVORBA SITE !* ESIZE,0.004,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VSWEEP,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !*
1
78
ESIZE,0 MSHAPE,1,3D MSHKEY,0 CM,_Y,VOLU VSEL, , , , CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !*
4
/REP,FAST /PNUM,KP,0 /PNUM,LINE,0 /PNUM,AREA,0 /PNUM,VOLU,0 /PNUM,NODE,0 /PNUM,TABN,0 /PNUM,SVAL,0 /PNUM,DOMA,0 /NUMBER,1 !* /PNUM,MAT,1 /REPLOT ESIZE,30E-3 SMRT,6 CM,_Y,VOLU VSEL, , , , CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y VMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !XXXXXXXXXXXXXXX !vazebne rovnice
3
FLST,4,27,1,ORDE,4 FITEM,4,305 FITEM,4,-313 FITEM,4,341 FITEM,4,-358 CP,1,VOLT,P51X FLST,4,27,1,ORDE,2 FITEM,4,314 FITEM,4,-340 CP,2,VOLT,P51X F,305,AMPS,I,0 D,314,VOLT,0,0 FLST,2,2,5,ORDE,2 FITEM,2,11 FITEM,2,-12 DA,P51X,ASYM !XXXXXXXXXXXXXXXXX !nastaveni analyzy /NOPR
79
/PMETH,OFF,1 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,0 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,1 KEYW,MAGNOD,1 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 KEYW,LSDYNA,0 /GO !* /COM, /COM,Preferences for GUI filtering have been set to display: /COM, Magnetic-Nodal !* !* ANTYPE,3 HARFRQ,0,500, NSUBST, , KBC,0 !*
Výsledek pro variantu a
Proudová hustota – reálná část (1Hz)
Intenzita magnetického pole – reálná část (1Hz)
80
Proudová hustota – reálná část (5000Hz)
Intenzita magnetického pole – reálná část (5000Hz)
81
Magnetický vektorový potenciál – reálná část (5000Hz)
Pro imaginární část bychom obdrželi výsledky podobné
82
Výsledek pro variantu a Proudová hustota pro reálnou a imaginární část (f=1Hz)
83
Intenzita magnetického pole pro reálnou a imaginární část (f=1Hz)
84
Vektorový magnetický potenciál pro reálnou a imaginární část (f=1Hz)
85
Proudová hustota pro reálnou a imaginární část (f=5000Hz)
86
Intenzita magnetického pole pro reálnou a imaginární část (f=5000Hz)
87
Vektorový magnetický potenciál pro reálnou a imaginární část (f=5000Hz)
88
Je možné si všimnout nepříliš spojitých výsledků (vznikajících singularit), které se objevují díky nevhodně volené velikosti elementů (řídké síti). Školní verze ANSYSu je však omezená počtem elementů/uzlů sítě a v případě optimalizace z hlediska přesnosti výpočtů by nebylo možné provést ani tuto základní ukázku 3D modelování.
89
