– 7. cvičení –
ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: – mezní plastifikací (nadměrnou plastickou deformací), – místní ztrátou stability (lokálním boulením) nebo – kombinací obou způsobů. Zavádí se tzv. klasifikace průřezů, v závislosti od ní se únosnosti počítají pomocí průřezových charakteristik – plastických (s indexem pl), – pružných (s indexem el), – efektivních (s indexem eff). K porušení materiálu v tažených částech průřezu dochází: – mezní plastifikací (nadměrnou plastickou deformací) v plném průřezu nebo – houževnatým lomem (přetržením) v místě oslabení dírami pro šrouby. Je třeba počítat s oslabením průřezu, únosnosti se stanovují pomocí průřezových charakteristik – plného průřezu (bez zvláštního indexu), – účinného průřezu (s indexem net). Klasifikace průřezů Definují se 4 třídy průřezů: (1) Průřezy, ve kterých lze předpokládat úplný plastický kloub s dostatečnou deformační kapacitou pro plasticitní výpočet. (2) Průřezy, ve kterých lze předpokládat plnou plastickou únosnost, avšak s omezenou deformační kapacitou. (3) Průřezy, ve kterých lze předpokládat pouze plnou pružnou únosnost definovanou dosažením návrhové pevnosti v nejvíce namáhaných tlačených vláknech. (4) Průřezy, jejichž ohybová nebo tlaková únosnost je v důsledku lokálního boulení stěn menší než jejich plná pružná únosnost. Rámcovou představu o klasifikaci poskytuje následující obr. – je třeba jej chápat jako ilustraci, ve skutečnosti může být např. válcovaný I profil třídy 1 apod.
–1–
Obr. – Klasifikace průřezů Poznámka – Průřezy tříd 1, 2 a 3 se označují jako kompaktní; průřezy třídy 4 se označují jako štíhlé. V dalším se budeme zabývat převážně kompaktními průřezy, průřezy třídy 4 se probírají až v samém závěru semestru (v tématu „Pevnost štíhlých stěn“). K definicím tříd – Pojmy „pružný“ a „plastický“ se týkají jednak průběhu napětí v průřezu, jednak průběhu vnitřních sil v konstrukci. Napětí v průřezu lze uvažovat podle teorie plasticity u průřezů tříd 1 a 2, u průřezů třídy 3 jen podle teorie pružnosti; rozdělení vnitřních sil v konstrukčním prvku lze uvažovat podle teorie plasticity pouze u průřezů třídy 1, u průřezů ostatních tříd pak podle teorie pružnosti (viz obr.).
Obr. – Napětí od ohybu
Obr. – Vnitřní síly od ohybu
–2–
–3–
–4–
Třída průřezu se stanoví podle štíhlosti tlačených a ohýbaných stěn – viz přiložený arch. Poznámka – U běžně používaných profilů mají jednotlivé stěny svoje ustálené názvy (viz obr.).
Obr. – Názvy stěn Oslabení průřezu Účinný průřez se bere jako plný průřez zmenšený vhodným způsobem o všechny díry (a jiné otvory). Jestliže jsou díry uspořádány vstřícně, potom účinná plocha (oslabeného průřezu) Anet = A − ∑ d 0t , jestliže jsou díry pro šrouby vystřídané, potom účinná plocha s 2t Anet = A − ∑ d 0t + ∑ , 4p kde A............. plná průřezová plocha, ∑ d 0t ..... součet ploch oslabení v řezu (kritické lomové čáře),
s 2t ∑ 4 p .... výraz zahrnující (všechny) šikmé části řezu, kde d0 ........ průměr díry, t .......... tloušťka, s, p...... rozteče dvou sousedních děr, viz obr.
Obr. – Oslabení průřezu –5–
Prostý tah
Obr. – Prostý tah Prvky namáhané prostým tahem (viz obr.) se posuzují podle podmínky
N Sd ≤ N t , Rd
,
kde NSd ...... návrhová tahová síla, Nt,Rd .... únosnost v (prostém) tahu, která se vypočte A⋅ fy ⎧ = , N ⎪ pl , Rd γ M0 ⎪ N t , Rd = min ⎨ 0,9 Anet ⋅ f u ⎪N , u , Rd = ⎪⎩ γM2 kde A, Anet ..... plná a účinná plocha průřezu, fy, fu......... mez kluzu a mez pevnosti, γM0, γM2 ... dílčí součinitele spolehlivosti materiálu. Připomeneme, že γM0 = 1,15, γM2 = 1,30.
Poznámka – V uvedené podmínce spolehlivosti, jakož i ve všech dalších se návrhové účinky zatížení (tj. vnitřní síly a napětí) dosazují v absolutních hodnotách (nikoliv podle konvence teorie pružnosti). Příklad – oslabení průřezu + prostý tah
Zadání. Posuďte tažený plech tloušťky t = 10 mm z oceli S 235 oslabený dírami pro šrouby o průměru d0 = 18 mm podle obr. Návrhová tahová síla je NSd = 300 kN.
–6–
Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 235) následující materiálové charakteristiky: fy = 235 MPa, γM0 = 1,15, fu = 360 MPa, γM2 = 1,30. Jak bylo uvedeno, v plechu působí tahová síla NSd = 300 kN – máme prokázat podmínku spolehlivosti N Sd ≤ N t , Rd . Řešíme prvek oslabený dírami vystřídaného uspořádání – únosnost v tahu Nt,Rd stanovíme jednak na základě plné průřezové plochy A, jednak na základě účinné plochy oslabeného průřezu Anet, jež je dána vztahem s 2t . Anet = A − ∑ d 0t + ∑ 4p Plnou průřezovou plochu stanovíme (podle kót v obr.) jednoduchými počty A = b ⋅ t = 180 ⋅ 10 = 1800 mm 2 , účinné plochy je třeba stanovit pro všechny reálné způsoby přetržení – viz obr. (jednotlivé řezy a příslušné účinné plochy tedy očíslujeme).
Nejprve vypočteme – plochu jednoho oslabení d 0t = 18 ⋅ 10 = 180 mm 2 , – hodnotu výrazu pro jednu šikmou část řezu s 2 t 40 2 ⋅ 10 = = 67 mm 2 . 4p 4 ⋅ 60 Potom účinné plochy v závislosti od počtu oslabení a počtu šikmých částí řezu jsou dány hodnotami: s 2t Anet ,1 = A − 1 ⋅ d 0 t + 0 ⋅ = 1800 − 1 ⋅ 180 = 1620 mm 2 , 4p Anet , 2
s 2t = A − 2 ⋅ d 0t + 0 ⋅ = 1800 − 2 ⋅ 180 = 1440 mm 2 , 4p
–7–
Anet ,3 = A − 2 ⋅ d 0 t + 1 ⋅
Anet , 4
s 2t = 1800 − 2 ⋅ 180 + 1 ⋅ 67 = 1507 mm 2 , 4p
s 2t = A − 3 ⋅ d 0t + 2 ⋅ = 1800 − 3 ⋅ 180 + 2 ⋅ 67 = 1394 mm 2 . 4p
Posouzení se provede na základě nejmenší účinné plochy Anet = min Anet ,i = 1394 mm 2 . i
Únosnost v tahu A ⋅ f y 1800 ⋅ 235 ⎫ ⎧ = = 368 kN ⎪ ⎪ N pl , Rd = γ M0 1,15 ⎪ ⎪ N t , Rd = min ⎨ ⎬ = 347 kN ≥ A f 0 , 9 ⋅ 0 , 9 ⋅ 1394 ⋅ 360 net u ⎪N = = 347 kN ⎪ u , Rd = ⎪⎭ ⎪⎩ γ M2 1,30 ≥ N Sd = 300 kN ⇒ vyhovuje.
Prostý tlak Prvky namáhané prostým tlakem (viz obr.) se posuzují podle podmínky
N Sd ≤ N c , Rd
Obr. – Prostý tlak
,
kde NSd...... návrhová tlaková síla, Nc,Rd ... únosnost v prostém tlaku, která se pro průřezy tříd 1, 2 a 3 vypočte A⋅ fy N c , Rd = ,
γ M0
kde A ......... plná průřezová plocha, fy ......... mez kluzu, γM0 ...... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. Oslabení průřezu vyplněnými dírami se neuvažuje. Poznámka – Štíhlé pruty musí být rovněž posouzeny na vzpěr, o tom však později.
–8–
Prostý ohyb
Obr. – Prostý ohyb
Prvky namáhané prostým ohybem (viz obr.) se posuzují podle podmínky
M Sd ≤ M c , Rd
,
kde MSd ..... návrhový ohybový moment, Mc,Rd ... (prostá) momentová únosnost, která se vypočte W pl ⋅ f y M c , Rd = M pl , Rd = pro průřezy tříd 1 a 2,
γ M0
M c , Rd = M el , Rd =
Wel ⋅ f y
γ M0
pro průřezy třídy 3,
kde Wpl, Wel ... plastický a pružný průřezový modul, fy ............. mez kluzu, γM0 .......... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. Stručně připomeneme stanovení průřezových modulů – Pružný průřezový modul vychází z předpokladu pružného průběhu napětí po průřezu (viz obr.), je dán výrazem Iy Wel = , ez kde I y = ∫ z 2 dA .... moment setrvačnosti k hlavní (těžišťové) ose y, A
ez .................... vzdálenost krajních vláken od osy y. Plastický průřezový modul vychází z předpokladu plastifikace celého průřezu (viz obr.), je dán výrazem A
W pl = 2 ⋅ S y 2 , A
kde S y 2 = ∫ z dA = A
2
A ⋅ z c .. statický moment poloviny průřezu k těžišťové ose y – na 2 dvě stejně velké poloviny je průřez rozdělen plastickou neutrální osou, která je obecně různá od osy těžišťové.
–9–
Obr. – K průřezovému modulu Tak např. pro dvouose symetrický I profil (viz obr.) se průřezové moduly (k tuhé ose y) vypočtou 1 3 Wel = b h 3 − (b − t w ) (h − 2 t f ) , 6h t 2 W pl = b t f (h − t f ) + w (h − 2 t f ) . 4
(
)
Poznámka – Štíhlé pruty musí být rovněž posouzeny na klopení, o tom však později.
Obr. – I průřez
Prostý smyk Prvky namáhané prostým smykem (viz obr.) se posuzují podle podmínky
VSd ≤ V pl , Rd
kde VSd ......návrhová posouvající síla, Vpl,Rd ...smyková únosnost, která se vypočte
Obr. – Prostý smyk V pl , Rd =
Av ⋅ f y
γ M0 3
,
,
kde Av ........ smyková plocha průřezu, fy ......... mez kluzu, γM0 ...... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu.
– 10 –
Stručně připomeneme, že smyková plocha (v obecném pojetí teorie pružnosti) je dána výrazem A Av = ,
κ
kde A......................................(celková) průřezová plocha, 2 A Sy κ = 2 ∫ 2 dA > 1,0 ...smykový součinitel, Iy A t kde I y ....... moment setrvačnosti průřezu k ose y,
S y ...... statický moment části průřezu k ose y (jakožto funkce s průběhem po střednici průřezu), t .......... tloušťka stěny průřezu. U běžně používaných profilů (složených z přímých stěn – tj. průřezu I, U, L, T apod.) lze uplatnit doporučení – brát smykovou plochu Av jako plochu všech částí rovnoběžných s působící posouvající silou. Tak např. pro dvouose symetrický I profil (viz obr.) se smyková plocha (v rovině větší tuhosti) vypočte Av = h t w v případě válcovaného profilu, Av = (h − 2 t f ) t w v případě svařovaného profilu.
Obr. – Ke smykové ploše Pro některé další průřezy je smyková plocha uvedena v tab. Tab. – Smyková plocha některých průřezů 1
)
Av
0,5 A
2
3
0,844 A
0,833 A
)
1
) Kruhová trubka konstantní tloušťky ) Plný kruhový průřez 3 ) Plný obdélníkový průřez 2
– 11 –
)
Příklad – klasifikace průřezu + prostý ohyb + prostý smyk
Zadání. Posuďte ohýbaný prostý nosník o rozpětí L = 10 m při rovnoměrném zatížení q = 120 kN/m' na prostou pevnost. Nosník je svařovaný, z oceli S 235, dvouose symetrického I průřezu (viz obr.).
Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 235) následující materiálové charakteristiky: fy = 235 MPa, γM0 = 1,15. Nejprve určíme (podle zásad stavební mechaniky) složky vnitřních sil (viz obr.). Uprostřed rozpětí působí návrhový ohybový moment 1 1 M Sd = ⋅ q ⋅ L2 = ⋅ 120 ⋅ 10 2 = 1500 kNm , 8 8 v podporovém průřezu působí návrhová posouvající síla 1 1 VSd = ⋅ q ⋅ L = ⋅ 120 ⋅ 10 = 600 kN . 2 2
– 12 –
Je zřejmé, že uprostřed rozpětí vzniká prostý ohyb – máme prokázat podmínku spolehlivosti M Sd ≤ M c , Rd , v podporovém průřezu vzniká prostý smyk – máme prokázat podmínku spolehlivosti VSd ≤ V pl , Rd . Momentová únosnost Mc,Rd se stanovuje v závislosti od klasifikace průřezu – ta se provádí podle štíhlosti tlačených a ohýbaných stěn, tj. tlačené pásnice a ohýbané stojiny. Štíhlost tlačené pásnice je dána poměrem (viz obr.) c 145 = = 5,8 , tf 25 přičemž kritéria jednotlivých tříd jsou uvedena v oddíle (c) přiloženého archu. Takže pásnice o štíhlosti c = 5,8 ≤ 9ε = 9 ⇒ spadá do třídy 1. tf Štíhlost ohýbané stojiny je dána poměrem (viz obr.) d 950 = = 95 , t w 10 přičemž kritéria jednotlivých tříd jsou uvedena v oddíle (a) přiloženého archu. Takže stojina o štíhlosti d = 95 ≤ 124ε = 124 ⇒ spadá do třídy 3. tw V obou případech jsme brali součinitel 235 235 ε= = = 1,0 . 235 fy
– 13 –
Třídu celého průřezu určuje nejnepříznivější (tj. nejvyšší) třída klasifikovaných stěn ⇒ tzn. náš průřez je třídy 3. Stanovíme tedy pružný průřezový modul 1 3 Wel = b h 3 − (b − t w ) (h − 2 t f ) = 6h 1 3 = ⋅ 300 ⋅ 1000 3 − (300 − 10 ) ⋅ (1000 − 2 ⋅ 25) = 8,56 ⋅ 10 6 mm 3 . 6 ⋅ 1000 Momentová únosnost Wel ⋅ f y 8,56 ⋅ 10 6 ⋅ 235 M c , Rd = = = 1749 kNm ≥ M Sd = 1500 kNm ⇒ vyhovuje. γ M0 1,15
(
)
(
)
Smyková únosnost Vpl,Rd se stanoví pomocí smykové plochy Av, kterou lze pro svařovaný profil brát Av = (h − 2 t f ) t w = (1000 − 2 ⋅ 25) ⋅ 10 = 9,5 ⋅ 10 3 mm 2 . Smyková únosnost Av ⋅ f y 9,5 ⋅ 10 3 ⋅ 235 V pl ,Rd = = = 1121 kN ≥ VSd = 600 kN ⇒ vyhovuje. 1,15 ⋅ 3 γ M0 3
– 14 –
