Zadání příkladů Zadání: 1) Popište oblasti využití plánovaných experimentů 2) Uveďte kritéria optimality plánů 3) Co jsou Hadamardovy matice a jaké mají vlastnosti? 4) Co jsou 2. faktorové plány a jak je lze využít? 5) Bloky a čtverce - oblasti jejich využití 6) Co vyplývá z ortogonality 2. vektorů?
Příklad 1 Oblasti využití plánovaných experimentů a)
V off-line řízení jakosti tj. řízení zasahující do optimalizace technologického procesu. Zde se hledají významné řiditelné faktory.
b)
Při hledání optima v kombinaci více proměnných při počtu pokusů omezeném jejich dostupností, pracností nebo cenou.
c)
Při konstrukci modelů
Příklad 2 Kritéria optimality plánů a)
D – optimalita: Minimalizuje se objem elipsoidu spolehlivosti odhadů a to buď parametrů nebo predikcí. Minimalizuje se tedy determinant projekční matice P
b)
A – optimalita: Minimalizuje se stopa matice P a tedy průměrný rozptyl vektoru parametrů b
c)
E – optimalita: Minimalizuje se nejdelší osa elipsoidu spolehlivosti, tedy maximální vlastní
číslo matice P d)
G – optimalita: Minimalizuje se maximální diagonální prvek H matice (H=X (XT X)-1 XT). Většina plánů D-optimálních je i G-optimální.
Je-li rozptyl predikce (vše po standardizaci) roven počtu parametrů je splněna G i D-optimalita
Příklad 3 Hadamardovy matice Využívají se k sestavování ortogonálních plánů.. Nejjednodušší Hadamardova matice je matice: 1 1 1 −1 Hadamardovy matice vyšších stupňů se sestavují podle vzorce:
M
M
1
2
=
n +1 2
n
1
= M2⊗M 2
Tedy například:
1 1 1 1 1 1 2 1 1 M 2 = M 2 ⊗ M 2 = 1 −1 ⊗ 1 −1 = 1 1 Hadamardovy matice mají tyto vlastnosti:
T
M M M
−1
=
1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1
= n⋅E
1 T ⋅M n
Je-li matice M Hadamardova matice, je MT rovněž Hadamardova matice. Plány sestavené na základě Hadamardových matic mají maximálně redukovaný rozptyl a jsou D i G-optimální. U takto sestavených plánů dochází ke snížení počtu pokusů. Dále jsou zde odstraněny závislosti mezi sloupci matice vysvětlujících proměnných, které jsou ortogonální.
Příklad 5 2k-faktorové plány Před výpočtem se provede kódovaní proměnných podle vzorce:
A=
2 A* − ( AU* + AL* )
AU* − AL* Kde A je kódovaná proměnná,horní index* označuje původní proměnnou, dolní indexy U a L znamenají horní a dolní úroveň proměnné. Z kódovaných hodnot všech kombinací úrovní se pak sestaví matice plánu. Sloupce této matice představují faktory a řádky pak jednotlivé pokusy Plány
2k jsou sestaveny ze dvou úrovní pokusu pro k faktorů. Měří se všechny kombinace faktorů na dvou úrovních. Vyhodnocují se analýzou rozptylu. Pro experimentální bod yi,j plánu se 2. faktory platí vztah: y i , j = µ + τ i + γ i + λi , j + ε i , j
Kde τi je efekt prvního faktoru, γi je efekt druhého faktoru, λi,j je interakce mezi faktory 1 a 2, a
εi,j je příslušné reziduum. Pro nasycený regresní plán sestavený na základě. Hadamardovy matice pro 2 úrovně faktorů a 3 faktory.se zahrnutím parametru a0 platí pro výpočet vektoru parametrů a: 1
a
=M
(M
T
M)
−1
T
M y
=
1 T ⋅M N
y
=
1
1
1
1 −1
1
1
1
−1 −1
1
1 −1 −1 −1
×
y! y2 y3 y4
Kde M je Hadamardova matice druhého stupně a N je počet pokusů. Když pro kódované matice platí: T
M M
= n⋅E
Pro výpočet konkrétních parametrů pak platí:
åy 4
aˆ 0 =
i
i =1
4 y − y 2 + y3 − y 4 aˆ1 = 1 4 y + y 2 − y3 − y 4 aˆ 2 = 1 4 y − y2 − y3 + y 4 aˆ 3 = 1 4
Příklad 5 Pro přesycený 2k regresní plán pro 2 úrovně faktorů a 2 faktory se zahrnutím absolutního členu platí pro výpočet vektoru parametrů a:
aˆ = X (X X T
)
−1
T
X y
1 T = ⋅X N
y
1
1
1
= 1
1
− 1 − 1 × y2
−1
1
1
1 −1
y1 y3
Když pro kódované matice platí: T
X X
= n⋅E
T
Pro výpočet konkrétních parametrů pak platí:
åy 4
aˆ 0 =
i
i =1
4 y + y 2 − y3 − y 4 aˆ1 = 1 4 y − y 2 + y3 − y 4 aˆ 2 = 1 4 Při zahrnutí interakce mezi faktorem 1 a 2 jde pak o nasycený 2k regresní plán pro 2 úrovně faktorů a 2 faktory se zahrnutím absolutního členu je výpočet vektoru parametrů a postaven na ortogonální matici, která není maticí Hadamardovou. Pro výpočet vektoru parametrů a platí:
a = X (X X T
)
−1
T
X y
=
1 T ⋅X N
y
=
1
1
1
1
1
−1 −1
1 −1
1
1 −1 −1
Když pro kódované matice platí: T
X X
= n⋅E
T
Pro výpočet konkrétních parametrů pak platí:
1 −1 1
×
y! y2 y3 y4
Příklad 5
åy 4
aˆ 0 =
i
i =1
4 y + y 2 − y3 − y 4 aˆ1 = 1 4 y − y 2 + y3 − y 4 aˆ 2 = 1 4 y − y2 − y3 + y 4 aˆ 3 = 1 4
Příklad 5 Bloky a čtverce
Tyto návrhy experimentů se používají se k redukci vnějších zdrojů variability. Bloky a čtverce: Používají se k redukci jednoho vnějšího zdroje variability. Hodnota jednotlivého experimentu je pak dána rovnicí yi , j (k ) = µ + α i + β j + ε i, j
Kde µ je střední hodnota, αi je efekt příslušející experimentu a βj je pak efekt příslušející vnějšímu zdroji variability. V případě nekonzistentních podmínek se vybírají bloky tj. celkem homogenní části (balení, pytel, paleta, vagón,…). Tyto časti pak tvoří bloky, z nichž se náhodným výběrem a v náhodném pořadí (losování, náhodná čísla) vybere m bloků v každém bloku se sleduje vliv jen jednoho faktoru na n úrovních. K vyhodnocení se použije ANOVA s dvojným tříděním, kdy prvním faktorem je faktor sledovaný a druhým faktorem je faktor bloku. Latinské čtverce: Slouží k nalezení všech hlavních efektů několika faktorů na stejném počtu úrovní (model 3k bez interakcí). Pořadí úrovní faktorů se postupně kombinuje podle schématu: A
B
C
D
B
C
D
A
C
D
A
B
D
A
B
C
Kde A, B, C… jsou jednotlivé experimenty a stany čtverce reprezentují 1 resp. 2. zdroj variability. Jednotlivá měření pak lze vyjádřit rovnicí: y i , j ( k ) = µ + α i + β j + γ k + ρ l + ε i , j , ( k ),l
Kde µ je střední hodnota, αι a βj jsou efekty příslušející vnějším faktorům, γk je efekt příslušející experimentu, ρl je efekt l-tého replikátu uvnitř experimentu a εi,j,(k),l jsou rezidua.
Příklad 5 Ortogonalita 2 vektorů
Jsou-li skalární součiny vektorů tvořící matici nulové, pak jsou vektory na sebe kolmé a nejsou tedy ani korelované. Aby bylo dosaženo ortogonality vektorů v matici volí se: a)
vhodné polohy experimentálních bodů
b)
Pro již dané rozložení experimentálních bodů se volí vhodná funkce (např. ortogonální polynomy)
Název souboru: Adresář: Šablona: Název: Předmět: Autor: Klíčová slova: Komentáře: Datum vytvoření: Číslo revize: Poslední uložení: Uložil: Celková doba úprav: Poslední tisk: Jako poslední úplný tisk Počet stránek: Počet slov: Počet znaků:
plexp3 E:\Pom\Planovani D:\Program Files\Microsoft Office\Sablony\Normal.dot Písemná zkouška z chemometrie Autorizovaný uivatel
20.01.99 11:52 2 20.01.99 11:52 Kocour 1 minuta 15.09.00 09:19 9 727 (přibližně) 4 149 (přibližně)
