WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN

WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN

NOVEMBER 2006

Abonnementen, bestellingen en mutaties Mirjam Worst, Drukkerij Giethoorn Ten Brink, Postbus 41, 7940 AA Meppel. Telefoon 0522 855 175, fax 0522 855 176 E-mail [email protected] 46ste jaargang nummer 2 ISSN 0033 4766 Pythagoras wordt uitgegeven onder auspiciën van de Nederlandse Onderwijs-commissie voor Wiskunde en richt zich tot alle leerlingen van vwo en havo. Pythagoras stelt zich ten doel jongeren kennis te laten maken met de leuke en uitdagende kanten van wiskunde. E-mail [email protected] Internet www.pythagoras.nu Hoofdredacteur Marco Swaen Eindredacteur Alex van den Brandhof Redactie Matthijs Coster, Dion Gijswijt, Jan Guichelaar, Klaas Pieter Hart, Arnout Jaspers, René Swarttouw, Chris Zaal Bladmanager Chris Zaal Vormgeving Sonja en Esther, Amsterdam Druk Giethoorn Ten Brink, Meppel Uitgever Koninklijk Wiskundig Genootschap Verantwoordelijk uitgever Chris Zaal Redactiesecretariaat Chris Zaal, Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde, Universiteit van Amsterdam, Plantage Muidergracht 24, 1018 TV Amsterdam Lezersreacties en kopij René Swarttouw, Faculteit der Exacte Wetenschappen, Vrije Universiteit, De Boelelaan 1081a, 1081 HV Amsterdam. E-mail [email protected]

Abonnementsprijs (6 nummers per jaargang) %20,35 (Nederland), % 22,95 (België), % 26,00 (overig buitenland), % 17,25 (leerlingabonnement Nederland), % 20,00 (leerlingabonnement België), % 10,00 (bulkabonnement Nederland), % 12,00 (bulkabonnement België). Zie www.pythagoras.nu voor toelichtingen. Aan dit nummer werkten mee ir. D. Beekman, auteur van diverse breinbrekerboeken ([email protected]), drs. A.J. van den Brandhof, docent wiskunde op het Vossiusgymnasium te Amsterdam ([email protected]), E.C. Buissant des Amorie, voormalig docent wiskunde in Amstelveen (ecbuissantdesamorie@ ncrvnet.nl), dr. M.J. Coster, wetenschappelijk onderzoeker bij het Ministerie van Defensie ([email protected]), dr. D.C. Gijswijt, postdoc combinatorische optimalisering aan de UvA ([email protected]), dr. J. Guichelaar, voormalig directeur van Interconfessionele Scholengroep Amsterdam ([email protected]), A. de Haan, student wiskunde aan de UvA ([email protected]), dr. K.P. Hart, docent topologie aan de TU Delft (kp@pythagoras. nu), J. Haubrich, docent wiskunde aan de Fontys Hogeschool te Eindhoven ([email protected]), drs. A. Jaspers, wetenschapsjournalist ([email protected]), A. Kret, student wiskunde aan de UL ([email protected]), drs. T. Notenboom, voormalig docent wiskunde op de Hogeschool van Utrecht ([email protected]), F. Roos, docent natuurkunde te Tolbert ([email protected]), I. Smit, student wiskunde aan de UvA ([email protected]), dr. M.D.G. Swaen, docent wiskunde op het Calandlyceum, de UvA en de HvA te Amsterdam ([email protected]), dr.ir. R.F. Swarttouw, docent wiskunde aan de VU (rene@ pythagoras.nu), dr. C.G. Zaal, docent en onderwijsontwikkelaar aan de UvA ([email protected]) Op het omslag Patronen gemaakt met de vierkanten en ruiten van de krans van vierkanten, zie het artikel op pagina 4. Niveausybooltjes Artikelen in Pythagoras waarvoor bovenbouwkennis van de wiskunde nodig is om te kunnen volgen, worden bij de titel voorzien van een symbool dat de moeilijkheidsgraad aangeeft. Artikelen voorzien van zijn meestal vanaf de vierde klas te begrijpen. Voor artikelen met heb je kennis uit de vijfde of zesde klas nodig. Artikelen met gaan net iets verder dan de middelbare-schoolstof. Sponsors Pythagoras wordt mede mogelijk gemaakt door de bijdragen van de onderstaande instituten en instellingen:

i ÌÊ ÊÊ Êi ˜Ê… ˆ iÊÃ Ì i À Ž i ˆ à ˆ Û ` Ê i  ˜ «Ê i Ìi Ì ˆ }ʜ Ži ˜ ˜ Ê` iÊ i Ê ˆ À i Ü } Ê ` Ê ÌÊ>  à Ê⠈ V … Î՘ ˜ÊÜ ˆ ˜Êi ˜ ˆ iʘ i i i `  Ê i  Ê ˜ Õ Ž > Ãʈ ˜Û iʜ œ iÃ Ì > œŽÕ½ i ˜Êâ i ˜ÊL Ì i ÀÊ ÊÊ ` } i Õ ˜ à œ ˆ } Ê œÛ > Ži ˜ > Ê ʓ >Û > ] > … “ > ˜ à V Ê À à i à i Û ®° iÊL i Êˆ ÃÊÌ Ž Ê “ > i ˜¶ ۜ ˜ ` «Àˆ Ã > À`à ˆ Ì }i ÊrÊ  iʜ œ ˜ â iÊ }i Ì > Ì > À  â Õ À œ Ê Ê Ê Ê ˜ i œ q Ì ˜ ˜ Ì Ê Ì i à i à i à ˆÌ L Ê œ ÕÈ> œÕ` Ê ³ Ê  â i  ÃÊ ÀÊL Õ Ê… i L  ˆ ˜ iÊ °Ê i ˜ Ê Ê Ý Ê ˜Ì …œ > > ÀÊ⠜ â iÊ« Õ â à i `
 ÃÊi  ˆ i } Ì Õ ˆ } ˆ Ê  Ê  >ʜ ˜ Ê i i ˜ ° ˜ i œ Ì °Ê Ê Ã i  À … L ˜ } i > Ê Û À  Ì Ì œ ˜ > ˆi ˜Ê Ü> …ii v ÕÌ œœ Û> Ê Ê â > ] Û ˜ Ì Ê Ã  Ê Û ˆ « ˜ i Ê Ã ` Ã Ì À>   L œ œ Ê i ˜ Ê ˆ i ˜Ê Ê­ Ê> Ã “ i ÀÊ Êœ œ Ž œ «Ê` Ì ˆ}i à  > Ûi viÀà `i À` Ê œ «Ê> } À ˆ “ Ê ˜ V > i Õ i Ê  œ > Û ˜ Ê i Ê À  … À  ˆ  Ž ÌÊ ÊiÛi ˜Ê ˆ à Li ÌÊL ˆ  œÃà ˆ } iÊ Êˆ i Ì Ã Àˆ ÃÛ ÃÕÀ` iˆ «Ìi“ ÊÛ> ˜Êâ ½˜Ê ˜Êi ˜ ʎœ “ ` iÊ« ˜Ê> L > i˜ i Ê > ½ } Ì Ã Êˆ Ã¶Ê Û â > Ê > iÀ i “ Ê Ê Ì > > ˜ } Ç `i À ½ iÀ Ê˜ ÊÛ À i ՈŽ ʅ i ää Ì ˜ À > ˜ ˜ ˜ Ó Ã ½ ° ˆ Ì Ê œ L Ê ˆ à œ œ â i À i ˜  i  ÊÊÊÊ< Ì iÊ

ÌiÀ} Ì Ê ¼L ˆ Ì> i >˜Õ> L i Ê} ` i “ i ˆ à ÀÊ} À œ ˜Ê> Ê œ à °Ê7> Ê£xʍ i À } i \Êi ˜Ê` Õ L ˜ > Ì ˜ Ì Õ > œ à i Ž Ì ˜ À œ Ê Ê Ã > iÌ ° Ì ˆ ˜

ÌÕ ]Ê Ü°Ü ÃÊÃ Ì > ̜V … i i ÊÛ ˜ ÕÊà ˜ ]ʎ > ] q ]ÊÝ À ° i Ü `  i à ³ Õ À Ã Ê > ˆ } Ü i Ì œ Ê À > i « “i i“ > }œ ˆ ÊÜ Ži Ê œ Lœ} ` iÊà `i  ˆ  ŽÕ˜` ˜ ÃÊÜ «Þ Ì … iÊÜ i i À `Ê` > ÌÊ Ã ˜ > ˆ J Ž œ Ê Ê i À Ü Ê Ê Ê ˜ ˜ Ê ÊÜ Ê` i œœÀ} }Êi i > ÀÊÀ i iˆŽ ÊÛ > ˜ ʜ ˜ ` ˆ iʘ œ >   i ˜Ê˜ > ˜ ½ ` ` Õ ˆ ` Üi L à ˆ Ì i Ê â Ê ˜ Þ iÊ i Àii À }i Ì iʍ Õ À " «Ê`  > ˜ } °Ê i ` À iÊ œ Ã Ì i ˜ >Ê` À > > À ÃÊ ˜ `i  v]ÊÜ Vˆvi L ˆ  ⠜ Ü œ œ ˜Êâ i Ê v œ Ê i Ê} i }ÀœÌ ˆ ˜Ê i â À i Û > ÌÊ

Ê Ê Ê œ

˜} ˆ Û >  Àà i Û À à Ìi

 "1 ÓÊqÊÎÊÊ

iˆ˜iʘœœÌiÃ

£nÊqÊ£™

*Þ̅>}œÀ>ÃÊ"Þ“«ˆ>`i

{ÊqÊx

À>˜ÃÊÛ>˜Ê>V…ÌÊۈiÀŽ>˜Ìi˜

ÓäÊqÊÓ£

œÕÀ˜>>

ÈÊqÊÇ

,ˆ˜}i˜Êœ«ÊëÀˆ˜}i˜

ÓÓÊqÊÓx

*iÀviV̈iÊ`œœÀÊ«ÀiVˆÃˆi

iÊ܈Î՘`iÊÛ>˜Ê ,>ˆ“œ˜`Ê*ÕÌÃ

ÓÈÊqÊÓÇ

*ÀœLi“i˜ÊqÊ"«œÃȘ}i˜

ÓnÊqÊΣ

i˜Ê>>«Êi˜Êii˜ÊÌÞ«i“>V…ˆ˜i

nÊqÊ££

£ÓÊqÊ£È

iÀˆŽÊ`ii˜ ÎÎ

£È

*Þ̅>}œÀ>ÃÊ>>˜Ê¼ÌÊ

£Ç

6iÀ܈ÃÃiÃœ““i˜

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

"«œÃȘ}i˜Ê œÕ܎>“«Vœ`i]Ê i˜ÊLÀˆivÊ Û>˜Êii˜ÊÜ>˜…œ«ˆ}iʏiâiÀ]Ê iˆ˜iʘœœÌiÃʘÀ°Ê£

£

`œœÀÊ ˆVŽÊ iiŽ“>˜Êi˜Ê>˜ÊՈV…i>>À iˆ˜iʘœœÌiÃÊ∍˜Ê«ÕââiÌiÃÊ `ˆiÊÜiˆ˜ˆ}ʜvÊ}ii˜Ê܈Î՘`ˆ}iÊ ÛœœÀŽi˜˜ˆÃÊÛiÀiˆÃi˜Êœ“Êœ«}iœÃÌÊ Ìiʎ՘˜i˜ÊܜÀ`i˜°Ê iÊ>˜ÌܜœÀ`i˜Êۈ˜`ʍiʈ˜Ê…iÌÊ Ûœ}i˜`iʘՓ“iÀÊÛ>˜Ê*Þ̅>}œÀ>ðÊ

iˆ˜i ˜œœÌiÃ

՘ÌÊÀՈi˜

ÀÊLiÃÌ>>˜Ê“Õ˜Ìi˜ÊÛ>˜ÊÓÊi˜Ê Û>˜Ê£ÊiÕÀœ]Êi˜ÊÛ>˜Êxä]ÊÓä]Ê£ä]Êx]Ê ÓÊi˜Ê£ÊVi˜Ì°Ê->>ÀÊi˜Ê-ÕÕÃʅiLLi˜Ê Ã>“i˜Ê̈i˜Ê“Õ˜Ìi˜°Ê Žiʓ՘ÌܜÀÌÊ Žœ“ÌÊÌi˜Ê“ˆ˜ÃÌiÊii˜“>>ÊۜœÀ°Ê->>ÀÊ …iivÌÊۈiÀʎiiÀÊâœÊÛiiÊ}i`Ê>ÃÊ-ÕÕÃ°Ê ˜Ê…iivÌÊ->>ÀÊ Ìˆi˜ÊŽiiÀÊâœÊÛiiÊ}i`Ê>ÃÊ-ÕÕÃ°Ê iÌÊÜiŽiʓ՘Ìi˜ÊLi}œ˜‡ ˜i˜Êâi¶

Ó

7ii}«ÀœLii“ iʅiLÌÊ`ÀˆiÊ}i܈V…̍iÃÊ­iÀʎ՘˜i˜Ê }iˆŽiÊÌÕÃÃi˜ÊâˆÌÌi˜®°ÊiÊ܈ÌÊâiʈ˜Ê ii˜ÊÀˆÌiʏi}}i˜]ÊÛ>˜ÊˆV…Ìʘ>>ÀÊâÜ>>À°Ê ՎÌÊ`ˆÌʓiÌʓˆ˜`iÀÊ`>˜Ê`ÀˆiʎiiÀÊ Üi}i˜Êœ«Êii˜ÊL>>˜Ã¶Ê

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

iʏiÌÌiÀʼi½ 6Տʈ˜\ʼ˜Ê`iâiÊ∘ÊâˆiʍiÊ°°°ÊŽiiÀÊ `iʏiÌÌiÀʼi½ÊÃÌ>>˜°½ÊÊ

>Žœâi˜ŽÀ>˜Ì

i˜ÊÛiÀŽœ«iÀÊÛ>˜Ê`iÊ`>Žœâi˜‡ ŽÀ>˜Ìʎœœ«ÌÊii˜Ê`>Žœâi˜ŽÀ>˜Ìʈ˜Ê ۜœÀÊ£ÊiÕÀœÊi˜ÊÛiÀŽœœ«Ìʅi“ÊۜœÀÊÊ ÓÊiÕÀœ°Ê7>ÌiÀʎœœ«ÌÊ`iʎÀ>˜ÌÊi˜ÊÊ }iivÌÊ`>>À˜>Ê`iʎÀ>˜ÌÊÜiiÀÊÌiÀÕ}ÊÊ >>˜Ê`iÊ`>Žœâi°Ê7>ÌʅiivÌÊ7>ÌiÀÊÊ `iÊ`>Žœâiʜ«Ê`ˆiʓ>˜ˆiÀÊÊ }i}iÛi˜\ÊÓ]ÊÎʜvÊ{ÊiÕÀœ¶ÊÊ

Ûi˜Êi˜Êœ˜iÛi˜Ê`>Ì> iÊ`>ÌՓʣ™°££°£™™™ÊLiÃÌ>>ÌÊ >ii˜Ê“>>ÀÊՈÌʜ˜iÛi˜ÊVˆviÀÃÊi˜Ê ˜œi“i˜ÊÜiÊ`>>Àœ“Êœ˜iÛi˜°Ê iÊ `>ÌՓÊäÓ°äÓ°ÓäääÊLiÃÌ>>ÌÊ>ii˜Ê “>>ÀÊՈÌÊiÛi˜ÊVˆviÀÃÊi˜Ê˜œi“i˜ÊÜiÊ `>>Àœ“ÊiÛi˜°Ê7>ÌʈÃÊ`iÊiiÀÃÌiÊ œ˜iÛi˜Ê`>ÌՓʘ>ÊäÓ°äÓ°ÓäääÊi˜Ê `iʏ>>ÌÃÌiÊiÛi˜Ê`>ÌՓÊۜœÀÊ £™°££°£™™™¶Ê

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

Î

`œœÀÊÊÀ>˜ŽÊ,œœÃ

/ÕÃÃi˜Ê`iÊVˆ«>À̇«>>̍iÃÊÛ>˜Ê7œÀ`ʎ՘ʍiÊ`ˆÌÊw}ÕÕÀ̍iÊۈ˜`i˜]Ê ii˜ÊŽÀ>˜ÃÊÛ>˜Ê>V…ÌÊۈiÀŽ>˜ÌiðÊÀ>˜ŽÊ,œœÃʎiiŽÊœ«ÊÛiÀÃV…ˆi˜`iÊ “>˜ˆiÀi˜Ê˜>>ÀÊ`iâiʎÀ>˜Ã°Ê

À>˜ÃÊÛ>˜Ê>V…ÌÊۈiÀŽ>˜Ìi˜

{


ÃʍiÊ`iʎÀ>˜ÃÊÌÕÃÃi˜Êiʜœ}…>Ài˜ÊLiŽˆŽÌ]Ê `>˜ÊˆŽÌʅiÌʘiÌÊ>ÃœvÊiÀÊÌÜiiÊ}ÀœÌi]ʓ>>ÀÊ ˜ˆiÌÊ}iÌiŽi˜`i]ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊœÛiÀÊiŽ>>Àʅii˜Ê ˆ}}i˜Ê“iÌÊii˜Ê…œiŽÊÛ>˜Ê{x¨ÊiÀÌÕÃÃi˜° ÊÊÊÊ iʅœiŽ«Õ˜Ìi˜ÊÛ>˜Ê`iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊۜÀ“i˜Ê `ÀˆiÊÀi}i“>̈}iÊ>V…Ì…œiŽi˜\Êii˜ÊŽiˆ˜iÊ`ˆiÊ `iÊLˆ˜˜i˜ÃÌiʅœiŽ«Õ˜Ìi˜ÊÛ>˜Ê`iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê ÛiÀLˆ˜`Ì]Êii˜ÊÌÜii`iÊ`œœÀÊ`iÊÃV…>À˜ˆiÀ‡ *9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

«Õ˜Ìi˜Êi˜Êii˜Ê`iÀ`iÊ`œœÀÊ`iÊLՈÌi˜ÃÌiÊ …œiŽ«Õ˜Ìi˜°ÊŽÊÃÌi`iʓˆÊ`iʜ«`À>V…ÌÊ`iÊ œ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Ê`ˆiÊ`ÀˆiÊ>V…Ì…œiŽi˜ÊÌiÊLi‡ ÀiŽi˜i˜°Ê>Ìi˜ÊÜiÊâi}}i˜Ê`>ÌÊ`iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê ii˜Ê∍`iÊÛ>˜ÊʅiLLi˜°Ê >˜ÊŽÕ˜ÊiʓiÌÊ`iÊ ÃÌiˆ˜}ÊÛ>˜Ê*Þ̅>}œÀ>ÃÊՈÌÀiŽi˜i˜ÊÜ>ÌÊ`iÊ ÛiÀÃV…ˆi˜`iʓ>Ìi˜Ê∍˜°Ê*ÀœLiiÀʅiÌʓ>>À]Ê ÛœœÀʍiÊÛiÀ`iÀʏiiÃÌ°Ê

iŽˆŽÊiÊ`iÊw}ÕÕÀÊ}œi`]Ê`>˜ÊâˆiʍiÊ`>ÌʅˆÊœ«Ê ii˜Ê“œœˆiʓ>˜ˆiÀʎ>˜ÊܜÀ`i˜Êœ«}i돈ÌÃÌ°Ê
ÃʍiÊii˜Ê>>˜Ì>ÊÛ>˜Ê`iÊ`ˆ>}œ˜>i˜ÊÌÀiŽÌ]Ê œ˜ÌÃÌ>>˜ÊiÀÊ>V…ÌÊÀՈÌi˜Ê`ˆiÊÃ>“i˜Ê`iÊ܈ÌÌiÊ ÃÌiÀÊۜÀ“i˜°Ê >ÌÊ`ˆÌʈ˜`iÀ`>>`ÊÀՈÌi˜Ê∍˜]Ê LˆŽÌÊÜ>˜˜iiÀʍiÊ`iʅœiŽi˜ÊLiÀiŽi˜Ì°Ê iÊ ÃV…iÀ«iʅœiŽÊLˆÊ…iÌÊVi˜ÌÀՓÊÛ>˜Ê`iÊw}ÕÕÀʈÃÊ ˜>“iˆŽªª °Ê iÊÃ̜“«iʅœiŽi˜Ê ∍˜Êˆi`iÀʪ]ÊÜ>˜ÌÊ∍Ê∍˜Êœ˜`iÀˆ˜}Ê}iˆŽÊ i˜ÊÃ>“i˜Ê“iÌÊii˜ÊÀiV…ÌiʅœiŽÊÛ>˜Ê…iÌÊۈiÀ‡ Ž>˜ÌÊ∍˜Êâiʪ°Ê >˜ÊˆÃÊ`iÊ>˜`iÀiÊÃV…iÀ«iÊ …œiŽÊªnªnݪ]Ê`ÕÃʜœŽÊªÊ

ՈÌi˜œ“ʏˆ}}i˜ÊœœŽÊÜiiÀÊ`iâiv`iÊÀՈÌi˜]Ê âœ>ÃʍiÊ}i“>ŽŽiˆŽÊŽÕ˜ÌÊÛ>ÃÌÃÌii˜Ê`œœÀÊ œœŽÊ`>>ÀÊ`iÊÛiÀÃV…ˆi˜`iʅœiŽi˜ÊÌiÊLiÀi‡ Ži˜i˜°Ê ÊÊÊÊ iʎÀ>˜ÃÊÛ>˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊŽÕ˜ÊiÊ`ÕÃʜ«‡ LœÕÜi˜Ê“iÌÊÌÜiiÊÌi}iÃ\Ê`iÊ܈ÌÌiÊÀՈÌÊi˜Ê`iÊ Lˆ«>ÃÃi˜`iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°ÊiÌÊ`iâiÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê i˜ÊÀՈÌi˜ÊŽÕ˜ÊiʜœŽÊÛiiÊ>˜`iÀiʈ˜ÌiÀiÇ Ã>˜ÌiÊ«>ÌÀœ˜i˜Êi}}i˜°Ê˜ˆ«ÊiÀÊii˜ÊÃÌiÊi˜Ê «ÀœLiiÀʅiÌʓ>>À°Ê"«Ê…iÌʜ“Ï>}ÊÛ>˜Ê`ˆÌÊ ˜Õ““iÀÊâˆiʍiÊi˜ŽiiÊ«>ÌÀœ˜i˜°Ê x

7>ÌʈÃÊ`iʜ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Ê✽˜ÊÀÕˆÌ¶Ê Õˆ`i‡ ˆŽÊˆÃÊ`>ÌÊ`iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê∍`iÊʅiLLi˜°Ê i˜Ê `ˆ>}œ˜>>ÊÛ>˜Ê✽˜ÊۈiÀŽ>˜ÌʈÃÊ`ÕÃÊ ° iʜ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Ê`iÊÀՈÌi˜ÊŽÕ˜ÊiʘÕÊ LiÀiŽi˜i˜Ê`œœÀÊÌiʎˆŽi˜Ê˜>>ÀʅiÌÊ}ÀœÌiÊ ÛˆiÀŽ>˜Ì°Ê iÊ∍`iÊ`>>ÀÛ>˜ÊLiÃÌ>>ÌÊՈÌÊÌÜiiÊ âˆ`i˜Êi˜Êii˜Ê`ˆ>}œ˜>>ÊÛ>˜Ê`iÊL>ÈÃۈiÀŽ>˜‡
Ìi˜]Êi˜ÊˆÃÊ`ÕÃÊ
°ÊiÌÊ}ÀœÌiÊۈiÀŽ>˜ÌÊ LiÃÌ>>ÌÊՈÌÊ>V…ÌÊÀՈÌi˜]ÊۈiÀʅiiÊi˜ÊۈiÀÊ …>ÛiÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°Ê ˆiÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê∍˜ÊÃ>“i˜Ê °Ê ÕÃÊ`iÊ>V…ÌÊÀՈÌi˜Ê∍˜ÊÃ>“i˜ÊÊ 



°Ê,iŽi˜ÊiÊ`œœÀʓiÌÊ`iÊܜÀ‡ *9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

ÌiÃ]Ê`>˜Êۈ˜`ʍiÊ`>ÌÊ`iʜ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Êjj˜Ê ÀՈÌÊ ˆÃ°Ê ÊÊÊÊÊ Õʎ՘ʍiÊ`iʜ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Ê`iÊ`ÀˆiÊ >V…Ì…œiŽi˜ÊLiÀiŽi˜i˜Ê`œœÀÊ}iܜœ˜ÊÌiÊ Ìii˜°Ê >ÌʏiÛiÀÌÊ
ۜœÀÊ`iʎiˆ˜ÃÌi]Ê


 ÊۜœÀÊ`iʓˆ``iÃÌiÊi˜Ê 
Ê ÛœœÀÊ`iÊ}ÀœœÌÃÌi°ÊiÀŽÊœ«Ê`>ÌÊ`iʓˆ``iÃÌiÊ >V…Ì…œiŽÊÜ>Ìʜ««iÀۏ>ŽÌiÊLiÌÀivÌÊ«ÀiVˆiÃÊ …iÌʓˆ``i˜Ê…œÕ`ÌÊÌÕÃÃi˜Ê`iÊ}ÀœÌiÊi˜Ê`iÊ Žiˆ˜i°Ê iŽˆŽÊœœŽÊii˜ÃʎÀ>˜Ãi˜ÊÛ>˜Ê>˜`iÀiÊ >>˜Ì>i˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°ÊœiÊâˆÌʅiÌÊ`>>ÀʓiÌÊ `iʜ««iÀۏ>ŽÌiÊÛ>˜Ê`iÊ`ÀˆiÊÛii…œiŽi˜¶Ê

door Marco Swaen

o o op o o Ringen o springen

1

6

Voor de eerste opdracht heb je genoeg aan een paar strookjes papier en wat lijm. Voor de opdrachten op de rechter bladzijde moet je lange stroken gebruiken en papier dat niet snel scheurt. Beter lukt het met vier stukken touw van verschillende kleur zodat je ze goed uit elkaar kunt houden.

3 Hier zie je weer drie ringen door elkaar. Nu hangt het er maar vanaf welke je doorknipt. Knip je de middelste door, dan zijn de andere twee vrij. Knip je een van de buitenste ringen door, dan blijven de overgebleven twee aan elkaar zitten.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

2 Hier zie je drie ringen stevig door elkaar. Als je één ring doorknipt, blijven de andere nog aan elkaar.

4 Opdracht 1 Maak 'drie ringen op springen', dat wil zeggen: welke van de drie je ook doorknipt, de andere twee zijn dan ook meteen los. De oplossing staat meteen al op de volgende bladzijde (foto 5).

5 Drie ringen op springen. 7

Er zijn meer manieren om ringen te laten springen.

Het is niet moeilijk vier ringen aan elkaar te zetten zodat de overgebleven ringen altijd vast blijven zitten, welke je ook weghaalt. Zorg dat je elke volgende ring door alle voorgaande haalt. Opdracht 2 Zet vier ringen zo aan elkaar dat welke je ook weghaalt, de drie overgebleven ringen los van elkaar zullen zijn. Opdracht 3 Zet vier ringen zo aan elkaar dat: - als je er willekeurig één doorknipt, de overige drie aan elkaar vast blijven zitten; - als je er vervolgens nog één doorknipt, de overgebleven twee los zijn. De oplossing van opdracht 2 en 3 vind je in het volgende nummer van Pythagoras.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

6

Figuur 1 Raimond Puts met een van zijn lampen in de vorm van een geodetische koepel (foto: Alexandra Rouppe van der Voort)

8

door Marco Swaen

De wiskunde van Raimond Puts Op de technische school kreeg Raimond Puts veel goniometrische formules voorgeschoteld. Ze leken vooral bedacht om er eindeloos veel opgaven mee te maken. Wat je er later mee zou kunnen doen, kwam niet ter sprake. Net als zijn vader ging hij werken in de metaalindustrie, en de gonio-formules kwam hij nooit meer tegen. Maar nu hij eenmaal met pensioen is, heeft hij de oude goniometrieboeken weer opengeslagen omdat hij alles wil begrijpen van geodetische bollen, een speciaal soort veelvlakken dat hem mateloos fascineert.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

Na militaire dienst werd Raimond Puts machineconstructeur, een beroep waar zeker emplooi voor was in de jaren van grootschalige mechanisatie. Lange tijd werkte hij bij Philips in Hilversum en Zurich. De jaren zestig stonden in het teken van de opbouw. Opbouw van de welvaartstaat, waarin materiële voorspoed eindelijk voor iedereen bereikbaar werd. De armoede, werkeloosheid en politieke tegenstellingen van voor de oorlog leken voorbij. De voortschrijdende welvaart bracht echter nieuwe problemen, zoals ernstige milieuvervuiling en uitputting van grondstoffen. De jaren van opbouw werden gevolgd door jaren van protest. Mensen gingen op zoek naar een andere manier van leven, die minder beslag zou leggen op het milieu. Zo werd begin jaren zeventig in Boxtel, in de buurt van Eindhoven, de 'Kleine Aarde' opgericht, een soort proefboerderij voor alternatieve landbouw. Raimond Puts kwam vaak op de Kleine Aarde en bouwde daar mee aan een bolwoning volgens een uit Amerika overgewaaide constructie: een geodetische koepel. Zo'n koepel bestaat uit een groot aantal driehoeken die tezamen een bolvorm benaderen (lees pagina 10 en 11). De constructie liet Raimond niet meer los en in zijn vrije tijd maakte hij modellen van hout, karton en papier, om de structuur van geodetische bollen te doorgronden.

dus moeilijk te vervangen zijn. Zijn veertig jaren ervaring als metaalbewerker kwam bij het ontwikkelen van de lamp goed van pas. Het prototype van zijn led-lamp had maar een doorsnede van zo'n 25 cm en telde een veertigtal lampjes. Spoedig werden de constructies groter en ingewikkelder, met langere strips en meer tussenverbindingen, en honderden ledlampjes. De bouw van een lamp begint met het uitmeten van de strips. Daarin moeten gaatjes worden aangebracht voor de boutjes die de strips aan elkaar verbinden. De afstand tussen de gaatjes varieert. Dan worden de strips met boutjes aan elkaar gezet en worden de lampjes op het raamwerk gesoldeerd. De afstanden tussen de gaatjes op de strips moeten heel precies kloppen, elke afwijking breidt zich in de constructie uit tot een storende oneffenheid. Pas als de lamp helemaal in elkaar zit, blijkt of alles past en, wat belangrijker is, of de constructie de schoonheid heeft waar het Raimond om te doen is. In de lampen komen voor Raimond twee werelden bij elkaar. Aan de ene kant de mogelijkheden van het materiaal, die hij na veertig jaar werken in de metaal kent als geen ander. Aan de andere kant de prachtige meetkunde van de veelvlakken waar hij meer en meer door gegrepen wordt.

Lampenkap Pas met zijn pensioen kreeg Raimond eindelijk de rust en de tijd zich helemaal op de geodetische bollen te storten. Zijn modellen oogden zo mooi, dat hij ze ging toepassen als kap voor lampen. Hierbij beviel het hem niet dat de bolconstructie alleen een decoratief element was, en functioneel niets toevoegde. Hij kwam op het idee het raamwerk te gebruiken als de bedrading van de lamp. Sindsdien bestaan zijn lampen uit twee bollen van metalen strips die in elkaar zitten, met daartussen kleine lampjes. Een zwakstroompje op de bollen is dan de voeding. De lampjes moeten klein zijn en duurzaam, omdat ze gesoldeerd worden op de strips en

Gezocht! De grootste lamp die Raimond Puts tot nog toe heeft gemaakt, bevat 362 led-lampjes, waarbij de ribbe van de icosaëder is onderverdeeld in zes stukken. De volgende stap is een lamp met 492 lampjes, en dus een onderverdeling in zeven, negen en elf stukken. Daarvoor heeft hij nog geen tabel kunnen vinden. Raimond Puts zoekt iemand die voor hem een tabel kan maken voor deze verdeling, na overleg over het onderliggende systeem van geodeten. Als tegenprestatie schenkt hij graag een geodetische lamp in handzaam formaat.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

9

Icosaëder Dat je met twintig gelijkzijdige driehoeken een soort bolvorm kunt maken, was al in de oudheid bekend. De Grieken gaven dit bouwwerk de naam icosaëder: (regelmatig) twintigvlak, zie figuur 2. Als raamwerk voor een koepel is de icosaëder niet geschikt. Het aantal zijvlakken is klein, waardoor hij de vorm van een bol maar heel slecht benadert. Bovendien zijn de ribben te lang als je de koepel enige omvang wil geven. Bij de icosaëder komen in elk hoekpunt vijf gelijkzijdige driehoeken samen. Worden dat er meer, dan vallen er hoekpunten plat. Met gelijkzijdige driehoeken kun je dus geen grotere bolvorm maken. Er zijn al lang veelvlakken bekend die meer zijvlakken hebben dan de icosaëder, maar die bevatten zijvlakken die niet driehoekig zijn, waardoor ze als stangenconstructie niet stijf zijn.

10

Buckminster Fuller Vooral in Duitsland werden aan het begin van de twintigste eeuw glazen koepels gebouwd van staal en glas gebaseerd op veelvlakken. Heel beroemd is de koepel van het Glaspaviljoen van Bruno Taut uit 1914. De echte doorbraak in de toepassing van veelvlakken in koepels kwam in de jaren vijftig. Toen ging de Amerikaan R. Buckminster Fuller (1897-1985) gericht op zoek naar nieuwe constructies, die minder materiaal kosten en energiezuinigere gebouwen opleveren. Hij bedacht in 1947 dat je van de icosaëder koepels met eindeloos veel driehoekige zijvlakjes kunt maken, mits je bereid bent de afmetingen van de ribben te variëren. Alle zijvlakken worden dan driehoekig, maar zijn niet meer gelijkzijdig. De eerste koepel die hij bouwde, stortte weinig hoopvol na enkele minuten al in. Buckminster Fuller liet zich echter niet uit het veld slaan, en in 1967 was zijn enorme geodetische koepel het pronkstuk op de wereldtentoonstelling in Montreal. Constructie Buckminster Fuller noemde zijn constructies 'geodesic domes', geodetische koepels, omdat de ribben zoveel mogelijk grootcir-

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

Figuur 2 Icosaëder

kels (geodeten) volgen. Het uitgangspunt voor de constructie is een icosaëder. De driehoekige zijvlakken deel je op in kleinere driehoekjes volgens een vast patroon, zie figuur 4. Daarbij heb je twee basispatronen, hetzij met ribben evenwijdig met die van de driehoek, hetzij met middellijnen. Vervolgens druk je de hoekpunten die daarbij ontstaan naar buiten, tot ze op de bol komen te liggen die de icosaëder omhult. Dat naar buiten drukken kun je meetkundig op verschillende manieren doen. Je kunt ervoor zorgen dat de oorspronkelijke ribben in gelijke stukken worden verdeeld. Het gevolg is dan dat aansluitende ribben steeds knikken maken waardoor het geheel nogal rommelig oogt. Een mooier resultaat krijg je door te projecteren vanuit het midden van de bol. Er zijn dan meer ketens van ribben die een geodeet volgen. En je kunt vervolgens ook nog schuiven met hoekpunten, zodat er nog meer geodeten in het patroon komen. Maar welk principe je ook volgt, helemaal perfect wordt het nooit. Heb je veel geodeten, dan zullen de driehoekjes in het patroon qua vorm en afmeting sterk van elkaar verschillen. Zijn alle driehoekjes ongeveer even groot, dan zitten er veel knikken in de doorgaande ketens van ribben. Sinds de jaren zestig bestaan er tabellen voor de lengtes van de ribben in geodetische bolverdelingen. De samenstellers van de tabellen geven vaak niet duidelijk aan volgens welk principe zij de icosaëder opdelen, en vrijwel nooit leveren zij de precieze formules erbij waarmee zij de lengtes vonden. Literatuur Hugh Kenner, Geodesic Math and How to Use It (1976). Hermann Rühle, Räumliche Dachtragwerke - Konstruktion und Ausführung. Band 2 (1970).

Figuur 3 Een vroeg voorbeeld van een constructie met een geodetische koepel

Figuur 4 Verdeling van de driehoek volgens klasse 1 en klasse 2 met ν = 3 en 4

11

Figuur 5 Schema uit een Duits ingenieursboek uit beginjaren ‘70 met lengtes en hoeken voor een verdeling volgens klasse 1 met ν = 5.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

`œœÀÊÊ>ÀVœÊ-Ü>i˜

iLʍiÊ>ÊiÀi˜Ê`ˆvviÀi˜ÌˆlÀi˜]Ê`>˜ÊŽi˜ÊiÊ`ˆÌÊܜÀÌʜ«}>Ûi˜Ê Üi\ʼiÌʫ՘Ì0  ˆ}Ìʜ«Ê`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜ÊFX XnX° -ÌiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʜ«ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜Êˆ˜Ê0>>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊ Û>˜ÊF°½ÊiiÊ}iÃV…ˆŽÌʜ“Ê…iÌÊ`ˆvviÀi˜ÌˆlÀi˜ÊÌiʜivi˜i˜°Ê>>ÀÊ ÕˆÃÌÊLˆÊ✽˜ÊŽÜ>`À>̈ÃV…iÊv՘V̈iʈÃÊiÀÊii˜ÊÛiiÊØiiÀiÊÊ “i̅œ`i\ʼiiÀˆŽÊ`ii˜½°Ê Ê

£Ó

Ê

iÀˆŽ `i‡i˜ ˆÊ¼iiÀˆŽÊ`ii˜½Ê…>>ÊiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê `iÊÀ>>Žˆ˜Ê`ˆÀiVÌÊՈÌÊ`ˆiÊÛ>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊ`œœÀÊ `iÊVœŸÀ`ˆ˜>Ìi˜ÊÛ>˜Ê0ʼۜœÀÊ`iʅiv̽ʈ˜ÊÌiÊ ÛՏi˜°Ê iÀÃÌÊ돈ÌÃʍiÊXʈ˜Ê
x
x °Ê˜Êjj˜ÊÛ>˜Ê `iâiÊÌiÀ“i˜ÊÛiÀÛ>˜}ʍiÊX`œœÀÊ`iÊX‡VœŸÀ`ˆ‡ ˜>>ÌÊÛ>˜Ê0°Ê ÕÃÊXÊܜÀ`ÌÊ
x
°ÊiÌÊYÊi˜Ê XÊ`œiʍiʈiÌÃÊÛiÀ}iˆŽL>>ÀÃ]Êi˜ÊiʅiLÌÊ`iÊ ÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜°Ê"«Ê`iÊۜ}i˜`iÊ ÌÜiiÊ«>}ˆ˜>½ÃÊ`œi˜ÊÜiʅiÌÊՈÌ}iLÀiˆ`ÊۜœÀ°Ê

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

¼ iÀˆŽÊ`ii˜½ÊÜiÀŽÌÊ>ÃÊ`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜ÊFÊii˜Ê ŽÜ>`À>̈ÃV…iʎÀœ““iʈÃ]Ê`>ÌÊ܈Êâi}}i˜Êii˜Ê ÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʅiivÌÊ`ˆiʍiʎ՘ÌÊÃV…ÀˆÛi˜Êˆ˜Ê`iÊ ÛœÀ“Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ax Bx y C y Dx E y F

iÊv՘V̈iFX Ê y 
x
x
ʈÃÊii˜ÊۜœÀ‡ Lii`ÊÛ>˜Êii˜ÊŽÜ>`À>̈ÃV…iʎÀœ““i]ÊÜ>˜ÌÊ âˆ˜ÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}Ê y 
x
x
ʎ՘ʍiʜœŽÊ ÃV…ÀˆÛi˜Ê>ÃÊ
x
y x
 °Ê

-ÌiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʜ«ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜Ê ˆ˜Ê­ ®Ê>>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜Ê`iÊv՘V̈i Ê FX XnXÊ Ê iÊ}À>wiŽÊÛ>˜FʈÃÊii˜ÊŽÜ>`À>̈ÃV…iÊ ŽÀœ““i°Ê iÀˆŽÊ`ii˜Ê“iÌÊ­ ®ÊiÛiÀÌÊ

-ÌiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʜ«ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜Ê ˆ˜Ê­ ®Ê>>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜Ê`iÊv՘V̈iÊ ÊÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

x

 x

iÀÃÌÊÜiÀŽi˜ÊÜiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iÊ }À>wiŽÊœ“\Ê YXn X Ê >>ŽiÃÊՈÌÜiÀŽi˜Êi˜ÊiiÀˆŽÊ`ii˜Ê iÛiÀÌÊ

1ˆÌÜiÀŽi˜Ê}iivÌÊ
y

 x x 
Ê] œvÜiÊ
y
x 
°Ê ÕÃÊii˜ÊÛiÀ}iˆ‡ Žˆ˜}ÊۜœÀÊ`iÊÀ>>Žˆ˜ÊˆÃYXn°Ê

ˆÌʎ՘˜i˜ÊÜiʅiÀiˆ`i˜Ê̜ÌÊ ]ʜvÜiÊ

i˜ÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊۜœÀÊ `iÊÀ>>Žˆ˜ÊˆÃÊ`ÕÃÊYnX

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

£Î

-ÌiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʜ«ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜Ê ˆ˜Ê­ ®Ê>>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜Ê`iÊv՘V̈iÊ  Ê f x

x x Ê ÊÊÊ

iÀÃÌʜ“ÜiÀŽi˜\Ê yx




x

Ê ÊÊÊ Ü>`À>ÌiiÀʏˆ˜ŽÃÊi˜ÊÀiV…ÌÃ\Ê

£{

Ê ÊÊÊ y x

x iÊ}À>wiŽÊÛ>˜FˆÃʓ>>ÀÊii˜Ê}i`iiÌiÊ Û>˜Ê`iâiʎÀœ““i]ʓ>>ÀÊۜœÀʅiÌʫ՘ÌÊ ­ ®Ê`iiÀÌÊ`>ÌʘˆiÌ°Ê>>ŽiÃÊՈÌÜiÀŽi˜Ê i˜ÊiiÀˆŽÊ`ii˜ÊiÛiÀÌÊ

6iÀii˜ÛœÕ`ˆ}i˜Ê}iivÌÊ y x 
x



i˜ÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊۜœÀÊ`iÊÀ>>Žˆ˜ÊˆÃÊ`ÕÃÊ y

x
°

Ü>`À>̈ÃV…iʎÀœ““i˜ 7iʅiLLi˜Ê>Êii˜Ê«>>ÀʎÀœ““i˜Ê“iÌÊii˜Ê ÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iÊۜÀ“Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ax Bx y C y Dx E y F

}iâˆi˜Êˆ˜Ê`iÊۜœÀLii`i˜\Ê UÊ
x
x y
  \Ê«>À>LœœÊ­ÀiV…Ìœ«®ÆÊ UÊ x x y
y

  \ʅޫiÀLœœÆÊ UÊ x x y
y x 
\Ê«>À>LœœÊ­ÃV…iiv®ÆÊ UÊ x

y
   \Êiˆ«Ã°Ê *9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

-ÌiÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ʜ«ÊÛ>˜Ê`iÊÀ>>Žˆ˜Ê ˆ˜Ê­ ®Ê>>˜Ê`iÊ}À>wiŽÊÛ>˜Ê`iÊv՘V̈iÊ Ê f x


x  Ê ÊÊÊ 7iʎÜ>`À>ÌiÀi˜Ê`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iÊ }À>wiŽ\Ê y

 x
° iÊ}À>wiŽÊÛ>˜ÊFˆÃÊii˜Ê}i`iiÌiÊÛ>˜Ê ii˜Êiˆ«Ã]ʅiÌʫ՘ÌÊ­ ®Êˆ}Ìʜ«Ê`>ÌÊ }i`iiÌi°Ê>>ŽiÃÊՈÌÜiÀŽi˜Êi˜ÊiiÀˆŽÊ `ii˜ÊiÛiÀÌÊ

i˜ÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊۜœÀÊ`iÊÀ>>Žˆ˜ÊˆÃÊ`ÕÃÊÊ Ê

˜Ê…iÌÊ>}i“ii˜ÊˆÃÊii˜ÊŽÜ>`À>̈ÃV…iÊ ŽÀœ““iÊii˜ÊŽi}iÃ˜i`i]Ê`>ÌÊ܈Êâi}}i˜\Ê ii˜ÊŽÀœ““iÊ`ˆiʍiʎ՘ÌʎÀˆ}i˜Ê`œœÀÊii˜Ê Ži}iÊÌiÊ`œœÀ؈`i˜Ê“iÌÊii˜Ê«>ÌÊۏ>Ž°Ê˜Ê …iÌÊÃV…i“>ʜ«Ê«>}ˆ˜>Ê£xÊâˆiʍiÊâՏŽiÊ`œœÀ‡ ؈`ˆ˜}i˜Êi˜Ê`iʎÀœ““i˜Ê`ˆiÊâiʜ«iÛiÀi˜°Ê
v…>˜ŽiˆŽÊÛ>˜Ê`iʅœiŽÊ`ˆiʅiÌÊ؈Û>ŽÊ “>>ŽÌʓiÌÊ`iÊ>ÃÊÛ>˜Ê`iʎi}iÊŽÀˆ}ʍiÊVˆÀŽiÃ]Ê iˆ«Ãi˜]Ê«>À>Lœi˜Êi˜Ê…Þ«iÀLœi˜°Ê7>˜˜iiÀÊ …iÌÊ؈Û>ŽÊ`œœÀÊ`iÊ̜«ÊÛ>˜Ê`iʎi}iÊ}>>Ì]Ê œ˜ÌÃÌ>>˜ÊiÀÊâœ}i…iÌi˜Êœ˜Ì>>À`iʎi}i‡

Øi`i˜]Êâœ>ÃÊii˜Ê«Õ˜Ì]Êii˜ÊÀiV…Ìiʏˆ˜]ÊÌÜiiÊ Ã˜ˆ`i˜`iʏˆ˜i˜°Ê ÊÊÊÊ Žiʎi}iÃ˜i`i]ʈ˜ÊiŽiÊ>v“ï˜}]ÊÛiÀ‡ …œÕ`ˆ˜}Êi˜ÊÃÌ>˜`]ʎœ“ÌʜÛiÀii˜Ê“iÌÊii˜Ê ŽÜ>`À>̈ÃV…iʎÀœ““i°Ê"œŽÊ`iʜ˜Ì>>À`iÊ Ži}iÃ˜i`i˜Ê∍˜ÊŽÜ>`À>̈ÃV…]ÊLˆÛœœÀLii`\Ê UÊXʳÊYÊrÊ\ʫ՘ÌÆÊ UÊXʳÊXYʳÊYÊrÊ\ÊÀiV…Ìiʏˆ˜ÆÊ UÊXÊqÊYÊrÊ\ÊÌÜiiÊ؈`i˜`iʏˆ˜i˜°Ê ˆÊ`iʎÜ>`À>̈ÃV…iʎÀœ““i˜ÊŽœ“i˜ÊÜiʜœŽÊ ˜œ}ÊÌÜiiÊLˆâœ˜`iÀiÊ}iÛ>i˜ÊÌi}i˜]Ê`ˆiʍiÊ ˜ˆiÌÊ`ˆÀiVÌÊ>Ãʎi}iÃ˜i`i˜ÊâՏÌʅiÀŽi˜˜i˜\Ê UÊXÊqÊXYʳÊYÊqÊXqÊYrÊ\ÊÌÜiiÊiÛi˜Üˆ`ˆ}iÊ ˆ˜i˜ÆÊ UÊXʳÊYÊrÊn\ʘˆiÌðÊ

«>ÌÌiÊۏ>ŽÊ…iLLi˜ÊâiÊÜiˆÃÜ>>ÀÊ}ii˜Ê «Õ˜Ìi˜]ʓ>>ÀÊLiŽˆŽÊiÊâiʈ˜Ê`iÊÌÜii`ˆ“i˜Ãˆ‡ œ˜>iÊVœ“«iÝiÊÀՈ“Ìi]Ê`>˜Ê∍˜Ê…iÌÊiˆ«Ãi˜Ê `ˆiÊ`Ü>ÀÃʜ«Êœ˜âiÊLiŽi˜`iÊiˆ«Ãi˜ÊÃÌ>>˜°Ê ÊÊÊÊ>˜`ˆ}ʜ“ÊÌiÊÜiÌi˜ÊˆÃÊ`>ÌʍiÊ>>˜Ê`iÊ ÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iʎÀœ““iÊLiÌÀiŽŽiˆŽÊ ii˜ÛœÕ`ˆ}ʎ՘ÌÊâˆi˜Ê“iÌÊÜiŽÊÌÞ«iʎi}i‡ Øi`iʍiÊÌiʓ>Ži˜Ê…iLÌ°Ê iÀiŽi˜Ê…iÌÊ}iÌ>Ê D"n!#Ê­…iÌʏˆŽÌÊÜiÊ`iÊ`ˆÃVÀˆ“ˆ˜>˜Ìt®]Ê `>˜Ê}i`Ì\Ê UÊD\Êiˆ«ÃÆÊ UÊDrÊ\Ê«>À>LœœÆÊ UÊD€Ê\ʅޫiÀLœœ°Ê

ÀʈÃʜœŽÊii˜Ê}iÌ>ÊHÊ`>ÌÊÛiÀÌiÌʜvÊ`iÊ ŽÀœ““iʜ˜Ì>>À`ÊˆÃ°Ê iÊՈÌ`ÀՎŽˆ˜}ÊۜœÀÊHÊ âˆiÌÊiÀÊiV…ÌiÀÊÜ>Ìʈ˜}i܈ŽŽi`ÊՈÌ\Ê

Àœ““i˜Êâœ>ÃÊ`iʏ>>ÌÃÌiʅiLLi˜Ê…ii“>>Ê }ii˜Ê«Õ˜Ìi˜°Ê/œV…ÊܜÀ`i˜ÊâiʘˆiÌÊ>Ãʜ˜Ì‡ >>À`ÊLiÃV…œÕÜ`]ʓ>>ÀÊ>ÃÊVˆÀŽiÃÊ­iˆ«Ãi˜®Ê “iÌÊii˜Êˆ“>}ˆ˜>ˆÀiÊÃÌÀ>>°Ê˜Êœ˜ÃÊ}iܜ˜iÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ h 
AC F
B D E AE


C D B F
B D


ÃÊHÊr]ʈÃÊ`iʎÀœ““iʜ˜Ì>>À`]Ê>˜`iÀÃʘˆiÌ°Ê

£x

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

7>>Àœ“Ê“>}ʍiÊiiÀˆŽÊ`ii˜¶ >ÌÊiiÀˆŽÊ`ii˜Ê`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iÊ À>>Žˆ˜Êœ«iÛiÀÌʈÃʘˆiÌʓœiˆˆŽÊ>>˜ÊÌiÊ̜˜i˜]Ê Ìi˜“ˆ˜ÃÌiÊ>ÃʍiÊÜ>ÌÊÛ>˜ÊŽÀœ““i˜ÊÜiiÌ]Ê i˜ÊiʍiʘˆiÌÊ>ÊÌiÊÛiiÊâœÀ}i˜Ê“>>ŽÌʜÛiÀÊ ÕˆÌ✘`iÀˆ˜}Ã}iÛ>i˜°Ê ˆvviÀi˜ÌˆiiÀÊ`iʅiiÊ ÛiÀ}iˆŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê`iʎÜ>`À>̈ÃV…iʎÀœ““i]Ê `>˜ÊŽÀˆ}ʍiÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

Axdx Bxdy Bydx C ydy Ddx Edy




˜Êœ˜ÃÊ}iÛ>ÊŽÀˆ}ʍi]ʘ>Êii˜ÊLii̍iʜ“ÜiÀ‡ Ži˜]Ê`iÊۜ}i˜`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}\ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

iiÊ`ˆÌÊ`œœÀÊ]ÊÛiÀ“i˜ˆ}ÛՏ`ˆ}Ê>iÃÊՈÌÊ i˜Ê}iLÀՈŽÊ`>ÌÊ­X0]ÊY0 ®Êœ«Ê`iʎÜ>`À>̈ÃV…iÊ ŽÀœ““iʏˆ}Ì]Ê`>˜ÊŽÀˆ}ʍiÊ Ax P x




>ÌÊ}iivÌʍiÊ`iÊÀ>>Žˆ˜ÀˆV…̈˜}ʈ˜Ê…iÌʫ՘ÌÊ0\Ê Ax P x By P x Bx P y C y P y
ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ dy dx

x P y P




Ax P
By P
D
x x P


C y P
Bx P
E
y y P



Ax P
By P
D  C y P
Bx P
E

iʏˆ˜Ê`œœÀÊii˜Ê}i}iÛi˜Ê«Õ˜ÌÊ­A]ÊB®Ê“iÌÊ ÀˆV…̈˜}ÃVœlvwÊVˆl˜ÌÊ Ê…iivÌÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}

By P x Bx P y C y P y Dx Dx P E y E y P







Dx Dx P E y E y P F






i˜Ê`>ÌʈÃÊ«ÀiVˆiÃÊ`iÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}Ê`ˆiʍiʎÀˆ}ÌÊ ˜>ʼiiÀˆŽÊ`ii˜½° 6À>>}\Ê7>ÌʏiÛiÀÌʼiiÀˆŽÊ`ii˜½Êœ«Êˆ˜`ˆi˜Ê0Ê ˜ˆiÌʜ«Ê`iʎÀœ““i˜Êˆ}̶

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ y b
x a
°

£È

*Þ̅>}œÀ>ÃÊ>>˜Ê¼ÌÊ <œ˜`iÀÊÜiÌi˜ÃV…>«Ê}ii˜ÊÌiV…˜ˆÃV…iÊۜœÀՈÌ}>˜}]Êi˜Ê`ÕÃʜœŽÊ }ii˜Ê뜜ÀÜi}i˜°Ê >ÌÊLiÃivÊ܈`iÊ`iÊ>ÀV…ˆÌiVÌÊ*°°°Ê ÕÞ«iÀÃÊ`iÊ ÌÀiˆ˜Àiˆâˆ}iÀÃʓii}iÛi˜]Ê̜i˜Ê…iÌÊ`iVœÀ>̈i«Àœ}À>““>ÊۜœÀÊ∍˜Ê

i˜ÌÀ>>Ê-Ì>̈œ˜Êˆ˜Ê
“ÃÌiÀ`>“ÊÜiÀ`ʜ«}iÃÌi`°Ê-ˆ˜`ÃÊ£nn™ÊÃÌ>>˜Ê `>>Àœ“ÊLœÛi˜Ê`iÊÜiÃÌiˆŽiÊ}iÛiÊ`ÀˆiÊLii`i˜Ê`ˆiʼ`iÊ*…ÞÈV>]Ê `iÊ>̅iÈÃÊi˜Ê`iÊiV…>˜ˆV>½ÊۜœÀÃÌii˜°Ê"«Ê…iÌÊÜ>«i˜ÃV…ˆ`Ê LœÛi˜Ê∍˜Ê…œœv`ÊÛ>˜Ê`iʓˆ``iÃÌiÊwÊ}ÕÕÀÊÃÌ>>ÌÊii˜ÊÀiV…Ì…œiŽˆ}iÊ `Àˆi…œiŽÊ“iÌÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Êœ«Ê`iÊ∍`i˜°Êii˜ÊÌ܈viÊ`ÕÃÊ`>ÌÊÜiÊ …ˆiÀÊÌiʓ>Ži˜Ê…iLLi˜Ê“iÌÊii˜ÊLii`ÊÛ>˜Ê*Þ̅>}œÀ>ð

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

`œœÀÊ ˆ>ÃÊ °Ê ՈÃÃ>˜ÌÊ`iÃÊ
“œÀˆi



6iÀ܈ÃÃiÃœ““i˜ i`iÀii˜Ê ÜiiÌÊ `>Ì   °Ê ˆiÀÊ ˆÃÊ …iÌÊ œ«“iÀŽiˆŽÊ `>ÌÊ ˆ˜ŽÃÊ i˜Ê ÀiV…ÌÃÊ Û>˜Ê …iÌÊ r‡ÌiŽi˜Ê `iâiv`iÊ VˆviÀÃÊ ÃÌ>>˜°Ê ÕÊ ŽÕ˜Ê iÊ `>Ìʘ>ÌÕÕÀˆŽÊœ«ÊÛiiÊ“>˜ˆiÀi˜ÊۜœÀÊiŽ>>ÀʎÀˆ}i˜]Ê`œœÀÊVˆ‡ viÀÃÊ ÌiÊ ÛiÀ܈ÃÃii˜]Ê “>>ÀÊ “iiÃÌ>Ê ˆÃÊ `>ÌÊ iÀ}Ê y>ÕÜ]Ê âœ>ÃÊ LˆÊ Ê ÊrÊÊi˜Ê°Ê ÀÊ∍˜ÊœœŽÊ>>À`ˆ}iÀÊۜ˜`ÃÌi˜°ÊÊ 7>ÌÊ`>V…ÌʍiÊÛ>˜Ê`iâiÊVœiV̈i\






 

 

   





 

                  
 


 


    
        
   
  
   

  


£Ç





7ˆiÊۈ˜`Ìʘœ}ʓiiÀÊÛiÀ܈ÃÃiÃœ““i˜¶Ê -ÌÕÕÀÊâiʜ«Ê˜>>ÀÊÀi˜iJ«Þ̅>}œÀ>ð˜Õ°Ê iʓœœˆÃÌiʈ˜âi˜`ˆ˜}i˜Ê«>>ÌÃi˜ÊÜiʈ˜Ê*Þ̅>}œÀ>ðÊ

 

  *9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

Pythagoras Olympiade door Anne de Haan, Arno Kret, Thijs Notenboom en Iris Smit

18

Uitdagende opgaven die je doorgaans niet in de schoolboeken tegenkomt: dat is de Pythagoras Olympiade. In elk nummer tref je twee opgaven aan, en twee oplossingen van de opgaven uit twee afleveringen terug. Ga de uitdaging aan en stuur ons je oplossing! Onder de goede leerling-inzenders wordt per opgave een boekenbon van 20 euro verloot. Aan het eind van de jaargang wordt gekeken wie in totaal de meeste opgaven heeft opgelost. Deze persoon, die geen leerling hoeft te zijn, wint een boekenbon van 100 euro.

Hoe in te zenden Insturen kan per e-mail: [email protected] of op papier naar het volgende adres: Pythagoras Olympiade Mathematisch Instituut Universiteit Leiden Postbus 9512 2300 RA Leiden Voorzie het antwoord van een duidelijke toelichting (dat wil zeggen: een berekening of een bewijs). Vermeld behalve je naam, ook je adres, school en klas. Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór 31 december 2006.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

OPGAVE

136 Gegeven een gelijkbenige driehoek ABC met |AC| = |BC|. Punt D is het midden van AB. Laat nu P een punt zijn op CD en Q Q
B een punt op BC, met Q B, zodanig dat |AP| = |PQ|. Bewijs dat vierhoek APQC een koordenvierhoek is.

OPGAVE

137 Bewijs dat 2 i
6 2i i
0

OPLOSSING

OPLOSSING

132 133 Allard tekent op een vel papier een cirkelschijf met straal 1. Hij markeert n punten binnen de cirkel. Bewijs dat er een punt P op de cirkel is waarvoor geldt dat de som van de afstanden van P tot de gemarkeerde punten groter dan of gelijk aan n is.

Gegeven is een geheel getal k > 3. De oplossingen van de vergelijking x2 – kx + 1 = 0 zijn a en b. Bewijs dat voor ieder geheel getal n 0 geldt: a. an + bn is geheel. b. an + bn is niet deelbaar door k – 1.

Oplossing. We tekenen een rechte lijn door het middelpunt van de cirkel en noemen de punten waar de lijn de cirkel snijdt P1 en P2 . De punten binnen de cirkel noemen we A1, A2 , ..., An. Nu volgt uit de driehoeksongelijkheid dat voor alle i geldt:

Oplossing. De oplossingen van de vergelijking x2 – kx + 1 = 0 zijn 12 k
12 k 2 4 . Hierdoor weten we dat a + b = k en ab = 1. a. Noem rn = an + bn, dan r0 = a0 + b0 = 2, dus geheel, en r1 = a1 + b1 = k, wat ook geheel is. We passen nu inductie toe. Stel dat voor alle elementen ri met i m geldt dat ri geheel is, voor zekere m. Bekijk dan rm+1 = am+1 + bm+1 = (a + b)(am + bm) – ab(am–1 + bm–1) = k . rm – rm–1. Dus ook rm+1 is dan geheel. Hieruit volgt dat an + bn geheel is voor alle n. b. Stel dat m het kleinste gehele getal is waarvoor geldt dat rm = am + bm deelbaar is door k – 1 en m 2. Omdat rm = k . rm–1 – rm–2 = (k2 – 1)rm–2 – k . rm–3 = (k – 1)(k + 1). rm–2 – k . rm–3 , moet ook k . rm–3 deelbaar zijn door k – 1. Omdat k – 1 geen deler kan zijn van k, moet k – 1 een deler zijn van rm–3 . Dit is alleen mogelijk als m – 3 < 3, maar r0 = 2, r1 = k en r2 = k2 – 2 = (k – 1)(k + 1) – 1: alledrie niet deelbaar door k – 1. Conclusie: er is geen enkele n waarvoor an + bn deelbaar is door k – 1.

d(P1, Ai) + d(Ai, P2)

d(P1, P2) = 2.

Hieruit volgt dat n

dP1  Ai



i 1 n
i 1

n i 1

dAi  P2


 dP1  Ai

dAi  P2
n i 1

2  2n

Nu zijn er twee mogelijkheden: n i
1

dP1  Ai
n of

n

dP1  Ai
 n < n.

i 1

In het eerste geval kunnen we punt P1 kiezen als P. In het tweede geval moet gelden n dat i
1

dAi  P2
n

en kunnen we punt P2 kiezen als P. Deze opgave werd goed opgelost door Ela Kowalczyk uit Amsterdam.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

Deze opgave werd goed opgelost door Elias C. Buissant des Amorie uit Castricum, Ela Kowalczyk uit Amsterdam en Jens Vande Cavey van het Heilige-Drievuldigheidscollege te Leuven. De boekenbon gaat naar Jens Vande Cavey.

19

*OURNAAL 0YTHAGORAS

.OVEMBER

.UMMER

DOOR!LEXVANDEN"RANDHOFEN!RNOUT*ASPERS

7ISKUNDE/LYMPIADE /P VRIJDAGMIDDAG  JANUARI  IS DE EERSTE RONDE VAN DE .EDERLANDSE7ISKUNDE/LYMPI ADE(IERBIJMOETJEINTWEEUUR TIJD ACHT VIJFKEUZE PROBLEMEN ENVIEROPENVRAGEN DIEELKEEN EXACT GETALALSANTWOORDHEB BEN PROBEREN TE KRAKEN (O GERE WISKUNDE KOMT ER NIET IN VOORMETEENGEZONDEDOSISPRO BLEEMOPLOSSENDVERMOGENMOET JE EEN EIND KUNNEN KOMEN
)N FORMEER BIJ JE WISKUNDELERAAR

Óä

HOE JE JE OPGEEFT $E BESTEN GAANDOORNAARDETWEEDERONDE ENDEBESTENDAARVANVERTEGEN WOORDIGEN.EDERLANDBIJDE)N TERNATIONALE7ISKUNDE/LYMPI ADEININ3PANJE
%ENOPGAVEUITDEEERSTERONDE VANVORIGJAAR)NEENMAGISCH VIERKANT IS DE SOM VAN DE DRIE GETALLENINELKERIJ DESOMVAN DE DRIE GETALLEN IN ELKE KOLOM ENDESOMVANDEDRIEGETALLEN IN ELK VAN DE TWEE DIAGONA

$RIEPRIJZEN ACHTERELKAAR $E  JARIGE WISKUNDIGE 4ERENCE4AOVANDE5NI VERSITEIT VAN #ALIFORNIÑ HEEFTKORTNAELKAARDRIE GROTE PRIJZEN GEWONNEN /P  AUGUSTUS WAS HIJ EENVANDEVIERWINNAARS VANDE&IELDS-EDAL HET HOOGST HAALBARE IN DE WISKUNDE /PSEPTEMBERVIEL HIJOPNIEUWINDEPRIJZEN HIJISEENVANDEWIN NAARSVANDE-AC!RTHUR &ELLOWSHIP EEN PRIJS DIE SINDS  JAARLIJKS WORDT UITGEREIKT AAN MENSEN DIE UITZONDERLIJ KEPRESTATIESINHUNWERK LEVEREN(ETWERKTERREIN DOET ER NIET TOE 7ETEN SCHAPPERS SCHRIJVERS KUNSTENAARS DOCENTEN ONDERNEMERS ALLEMAAL

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

KUNNEN ZE IN AANMER KINGKOMENVOORDE-AC !RTHUR &ELLOWSHIP EEN PRIJSVANDOLLAR %ENMAANDLATERWAS HET WEER RAAK DE 3!3 42! 2AMANUJANPRIJS EEN BEDRAG VAN  DOLLAR IS DIT JAAR TOE GEKEND AAN 4AO $EZE PRIJS DIE VORIG JAAR VOOR HET EERST WERD UITGE REIKT IS BEDOELD VOOR WISKUNDIGEN DIE BIJDRA GEN HEBBEN GELEVERD OP HETGEBIEDWAARHETWIS KUNDIGE GENIE 3RINIVASA 2AMANUJAN AFKOMSTIG UIT :UID )NDIA ZICH MEE BEZIGHIELD $E LEEFTIJDS GRENS VOOR DE PRIJS IS  JAAR DE LEEFTIJD WAAROP 2AMANUJAN IN  STIERF

LEN STEEDS HETZELFDE 7AT IS DE WAARDE VAN . IN HET MAGISCHE VIERKANTHIERONDER

-EEROPGAVENUITDEVOORGAAN DE JAREN VIND JE OP WWWWIS KUNDE OLYMPIADENL

"IOGRAlSCH 2ECORD 7OORDEN OPZEGGEN BOEKWIS $E  JARIGE *A PANNER !KIRA (A RAGUCHI HEEFT OP  OKTOBER ZIJN EIGEN RECORDVOORHETONT HOUDEN EN VOORDRA GENVAN VERBROKEN (IJ WIST HET GETAL DAT BEGINT MET DE CIJFERS UITZIJN HOOFD TE BENOEMEN TOT  CIJFERS ACHTER DE KOMMA 4IJDENSZIJNRECORD POGING NAM HIJ IE DEREÏÏNOFTWEEUUR EEN PAUZE VAN TIEN MINUTEN :IJN OUDE RECORD STOND OP CIJFERSACHTER DEKOMMA

KUNDIGEN

/P  SEPTEMBER  WERD OP HET #ENTRUM VOOR 7ISKUNDE EN )N FORMATICA HET ONLINE "IOGRAlSCH 7OORDEN BOEK VAN .EDERLANDSE 7ISKUNDIGEN "7.7 GEOPEND $E WEBSITE BEVAT KORTE HELDERE LEMMAS$ATMAAKTDIT ONLINE NASLAGWERK TOE GANKELIJKVOOREENBREED PUBLIEK (ET "7.7 GEEFT BIBLIOGRAlSCHE VERWIJZINGEN VOOR WIE MEEROVEREENBEPAALDE WISKUNDIGE TE WETEN WIL KOMEN $E WEBSITE ISTEVINDENONDERWWW BWNWNL

+USSENINHOGEREDIMENSIES &RANK6ALLENTINVANHET#ENTRUM VOOR7ISKUNDEEN)NFORMATICAEN #HRISTINE"ACHOCVANDEUNIVERSI TEITVAN"ORDEAUXHEBBENNIEUWE BOVENGRENZEN GEVONDEN VOOR HET @KUSSENINHOGEREDIMENSIES(ET KUSGETAL IS HET GROOTSTE AANTAL EENHEIDSBOLLEN DAT TEGELIJKERTIJD EEN CENTRALE BOL KAN RAKEN ZON DERELKAARTEOVERLAPPEN )N TWEE DIMENSIES IS HET KUS GETAL$ITKUNJEGOEDZIENALSJE EUROS OM EEN CENTRALE EUROMUNT GROEPEERT )N DRIE DIMENSIES IS HETKUSGETAL )NTWEEENDRIEDIMENSIESKUN NEN WE ONS HET KUSGETAL PRIMA VOORSTELLEN 7ISKUNDIGEN WILLEN

VAAK WETEN HOE ZAKEN ZITTEN IN HOGERE DIMENSIES 0AS IN  WERD BEWEZEN DAT HET KUSGETAL INVIERDIMENSIESGELIJKISAAN )NACHTDIMENSIESISHETKUSGETAL ENINDIMENSIES)N ANDERE DIMENSIES IS HET PRECIEZE KUSGETAL ONBEKEND MAAR VOOR DIVERSEDIMENSIESZIJNWEL BOVEN GRENZENBEKENDVANHETKUSGETAL 6ALLENTIN EN "ACHOC ONTWIKKEL DENEENNIEUWEMETHODEOMZON BOVENGRENS TE BEPALEN )N VIJF DIMENSIES BRACHTEN ZE DE BOVEN GRENSVANTERUGTOT TERWIJL ER BIJVOORBEELD IN TIEN DIMENSIES  BOLLEN MINDER BLEKEN TE KUN NENKUSSENDANBEKENDWAS

(ETKUSGETALINTWEEDIMENSIESIS INDRIEDIMENSIES "RONHTTPHOMEPAGESCWINL^VALLENTI

.IEUWPRIEMRECORD (EEMSTEDEEN /P  SEPTEMBER WERD EEN NIEUW -ER SENNE PRIEMGETAL GEVONDEN  n  $IT GEBEURDE IN HET KADER VAN ')-03 'REAT )NTERNET -ERSENNE 0RIME 3EARCH EEN PROJECT WAARBIJ DE ONGEBRUIKTE REKENCAPACITEIT VAN VELE COMPUTERS WORDT INGEZET OM NIEUWE PRIEMGETALLEN VAN DE VORM N n  TE VINDEN (ET NIEUWE PRIEMGETAL IS HET GROOTSTBEKENDEPRIEMGETALTOTNUTOE MAARISMETCIJFERSNOGNETTE KLEINOMINAANMERKINGTEKOMENVOOR DE  DOLLAR DIE DE ORGANISATIE VAN ')-03 UITLOOFT VOOR DE EERSTE DIE EEN-ERSENNE PRIEMGETALVANTENMIN STETIENMILJOENCIJFERSVINDT(ETGETAL WERD GEVONDEN DOOR #URTIS #OOPER EN 3TEVEN"OONE DIEOOKALHETVORIGE-ER SENNE PRIEMGETALVONDEN INDECEMBER 

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

.IJMEGENWINNEN 7ISKUNDETOERNOOI (ONDERD TEAMS VAN SCHOLEN UIT HEEL.EDERLANDDEDENOPSEP TEMBER MEE MET HET VIJFTIENDE 7ISKUNDETOERNOOI AAN DE 2AD BOUD 5NIVERSITEIT IN .IJMEGEN 4IJDENSDE%STAFETTE SOCHTENDS MOESTEN DE TEAMS IN RAZEND TEMPOZOVERMOGELIJKKOMENIN EEN OPEENVOLGING VAN TWINTIG GEVARIEERDE OPGAVEN S -ID DAGS TIJDENSHETONDERDEEL3UM OF 5S GING HET OM HET @KRAKEN VAN TWEE LASTIGE GEHEIMSCHRIF TEN )N DE TJOKVOLLE SPORTHAL

)G.OBELPRIJS VOORWISKUNDE /MDAT ER GEEN .OBELPRIJS IS VOORWISKUNDE WORDENANDERE PRIJZENZOALSDE&IELDS-EDAL OF!BELPRIJSDE@.OBELPRIJSVOOR DE WISKUNDE GENOEMD %R IS WELEEN )G.OBELPRIJSWOORD GRAPJEMETHET%NGELSE@IGNO BLEDATHETTEGENOVERGESTELDE ISVAN@NOBEL VOORWISKUNDE %LK JAAR WORDEN DEZE PRIJZEN UITGEREIKTVOORONDERZOEKDAT OPDELACHSPIERENWERKT$E)G .OBELPRIJSVOORWISKUNDEGING DITJAARNAAR0IERS"ARNESEN .IC 3VENSON VOOR HET BEANT WOORDEN VAN DE VRAAG @(OE VEELFOTOSMOETJENEMENVAN EEN GROEP OM ER  ZEKER VAN TE ZIJN DAT NIEMAND OP DEFOTOZIJNOGENDICHTHEEFT 'EMIDDELD KNIPPERT IEMAND DIE OP DE FOTO GEZET WORDT TIENKEERPERMINUUTMETZIJN OGEN "ARNES KWAM NA ZIJN REKENWERK TOT DE VOLGENDE VUISTREGEL VOOR GROEPEN VAN MINDER DAN TWINTIG MENSEN DEEL BIJ GOED LICHT HET AANTAL MENSENDOORDRIE ENBIJSLECHT LICHTDOORTWEE OMTEVINDEN HOEVEELFOTOSJEMOETMAKEN

Ó£

WASDESPANNINGAANDEMEESTE TAFELTJES TESNIJDEN AL WAREN ER OOK WEL WAT TEAMS VOORAL VOOR DE GEZELLIGHEID GEKOMEN #OL LEGE (AGEVELD UIT (EEMSTEDE WONMETVANDEPUNTEN DE %STAFETTE TERWIJL HET 3TEDE LIJK 'YMNASIUM .IJMEGEN DE BESTEWASBIJ 3UMOF5S"EIDE TEAMS WINNEN EEN VIERDAAGSE REIS NAAR #AMBRIDGE -EER IN FORMATIE KUN JE LEZEN OP WWW RUNLWISKUNDETOERNOOI

`œœÀÊ>VµÕiÃÊ>ÕLÀˆV…

*iÀviV̈i `œœÀÊ«ÀiVˆÃˆi Ê

Ê

ÓÓ

>˜Êii˜ÊۈiÀŽ>˜ÌÊܜÀ`i˜Êœ«}i`ii`ʈ˜Ê ۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê`ˆiÊ>i“>>ÊÛiÀÃV…ˆi˜`ÊÛ>˜Ê }ÀœœÌÌiÊ∍˜¶Ê>]Ê`>Ìʎ>˜°Ê,°Ê-«À>}ÕiÊ `i“œ˜ÃÌÀiiÀ`iÊ`ˆÌʈ˜Ê£™Î™Ê“iÌÊii˜Ê ÛiÀ`iˆ˜}ÊÛ>˜Ê…iÌÊۈiÀŽ>˜Ìʈ˜ÊxxÊ`ii‡ ۈiÀŽ>˜Ìi˜°Ê
Ê}>ÕÜÊÀiiÃÊ`iÊÛÀ>>}ʜvÊiÀÊ ˜ˆiÌʓiiÀʜ«œÃȘ}i˜Ê∍˜]Êi˜ÊLˆÛœœÀLii`Ê ii˜ÛœÕ`ˆ}iÀi°Êi“>˜`Ê`ˆiÊâˆV…Ê>ÃÊ}ii˜Ê >˜`iÀʜ«Ê`ˆiÊÛÀ>}i˜Ê…iivÌÊ}iÃ̜ÀÌ]ÊÜ>ÃÊ`iÊ ˆ˜ÊÓääÎʜÛiÀi`i˜Ê«Àœv°Ê`À°Ê °°Ê œÕ܎>“«°Ê

° °Ê œÕ܎>“«Ê­£™£x‡Óääή

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

iʜ«`À>V…ÌÊii˜ÊۈiÀŽ>˜ÌÊÌiÊÛiÀ`ii˜Êˆ˜ÊۈiÀ‡ Ž>˜Ìi˜Ê`ˆiÊ>i“>>ÊÛiÀÃV…ˆi˜`iÊ>v“ï˜}i˜Ê …iLLi˜]ÊÃÌ>>ÌÊLiŽi˜`Ê>ÃÊ*ÀœLii“Êx™ÊÛ>˜Ê …iÌÊ-V…œÌÃiÊLœiŽ°Ê7iÊÃV…ÀiÛi˜ÊiÀœÛiÀʈ˜Ê …iÌÊ>«Àˆ˜Õ““iÀÊÛ>˜Ê`iÊۜÀˆ}iʍ>>À}>˜}°Ê iÊ iiÀÃÌiʜ«œÃȘ}]Ê>vŽœ“Ã̈}ÊÛ>˜Ê,°Ê-«À>}ÕiÊ ÕˆÌÊ£™Î™]ÊÌiÌÊÊۈiÀŽ>˜Ìi˜]ʜv]Êâœ>ÃÊ`>Ìʈ˜Ê Û>ŽÌiÀ“i˜Ê…iiÌ\ʈÃÊÛ>˜ÊœÀ`iÊ°Ê7iʘœi“i˜Ê ii˜ÊۈiÀŽ>˜ÌÊ`>ÌÊÛiÀ`ii`ʈÃʈ˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê Û>˜ÊÛiÀÃV…ˆi˜`iÊ}ÀœœÌÌiÊii˜Ê«iÀviVÌÊÛiÀ‡ `ii`ÊۈiÀŽ>˜Ì°Ê“«iÀviVÌiÊÛiÀ`iˆ˜}i˜Ê∍˜Ê ØiÊ}iۜ˜`i˜\ÊâiÌʈ˜Êii˜ÊۈiÀŽ>˜ÌÊii˜ÊŽÀՈÃ]Ê i˜ÊiʅiLÌÊiÀÊii˜ÊÛ>˜ÊœÀ`iÊ°Ê ÊÊÊʘʅiÌÊۜÀˆ}iʘՓ“iÀÊÛ>˜Ê*Þ̅>}œÀ>Ãʏˆi‡ Ìi˜ÊÜiÊ-«À>}ÕiÃÊۈiÀŽ>˜ÌÊâˆi˜°Ê<œÕÊ`ˆÌÊۈiÀ‡ Ž>˜Ì]ÊÛ>˜ÊœÀ`i]Ê`iʏ>>}ÃÌʓœ}iˆŽiʜÀ`iÊ …iLLi˜]ʜvÊâœÕ`i˜ÊiÀÊÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊLiÃÌ>>˜Ê “iÌʓˆ˜`iÀÊ`iiÛˆiÀŽ>˜Ìi˜¶Ê i…>ÛiÊ`>ÌÊ -«À>}ÕiÃÊÛiÀ`iˆ˜}Ê✽˜Ê…œ}iʜÀ`iʅiivÌ]ʈÃÊ …iÌʍ>““iÀÊ`>ÌʅˆÊÃ>“i˜}iÃÌi`ʈÃ\ʅiÌÊۈiÀ‡ Ž>˜ÌÊLiÃÌ>>ÌÊՈÌÊÌÜiiÊ}ÀœÌiÊÀiV…Ì…œiŽi˜ÊÛ>˜Ê ۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê`ˆiʓiÌÊÌÜiiÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê…>˜`ˆ}Ê >>˜ÊiŽ>>ÀÊ}iâiÌÊ∍˜°ÊœœˆiÀʈÃʅiÌÊ>ÃÊiÀʈ˜Ê `iÊÛiÀ`iˆ˜}Ê}ii˜ÊÃÕLÀiV…Ì…œiŽi˜ÊۜœÀŽœ‡ “i˜ÆÊ`iÊÛiÀ`iˆ˜}ʅiiÌÊ`>˜Êȓ«i°Ê

iÌÜiÀŽi˜ ˜Ê`iÊۜÀˆ}iÊ>yiÛiÀˆ˜}ÊÛiÀÌi`i˜Ê܈Ê…œiÊ ˆ˜Ê`iʍ>Ài˜Ê`iÀ̈}Ê ÀœœŽÃ]Ê-“ˆÌ…]Ê-̜˜iÊ i˜Ê/ÕÌÌiÊii˜Ê“i̅œ`iʜ˜Ì܈ŽŽi`i˜Êœ“Ê ÀiV…Ì…œiŽÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÌiÊLiÀiŽi˜i˜ÊÛ>˜ÕˆÌÊ iiŽÌÀˆÃV…iʘiÌÜiÀŽi˜°Ê i˜Ê˜iÌÜiÀŽÊÛ>˜Ê LˆÛœœÀLii`ÊÊÌ>ŽŽi˜ÊiÛiÀÌÊii˜ÊÛiÀ`iˆ˜}Ê Û>˜Êii˜ÊÀiV…Ì…œiŽÊˆ˜ÊÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Êœ«°Ê ÊÊÊÊiÌʈÃÊii˜Ê«ÀiVˆÃˆiÜiÀŽ]ʓ>>ÀʘˆiÌʜ˜“œ‡ }iˆŽÊ>iʘiÌÜiÀŽi˜ÊÛ>˜ÊÊÌ>ŽŽi˜Êœ«ÊÌiÊ Ãœ““i˜°Ê ˜Ê`>>À“iiʏˆ}ÌÊ`>˜Ê`iÊÜi}ʜ«i˜Ê ÃÞÃÌi“>̈ÃV…Ê>iÊÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÛ>˜ÊœÀ`iÊ >vÊÌiÊâœiŽi˜]Ê̜ÌʍiÊii˜Ê«iÀviVÌiÊÛiÀ`iˆ˜}Ê …iLÌÊÛ>˜Êii˜ÊۈiÀŽ>˜Ì°Ê ÀœœŽÃ]Ê-“ˆÌ…]Ê-̜˜iÊ i˜Ê/ÕÌÌiʅiLLi˜ÊâՏŽÃÊ}i`>>˜Ê̜ÌʜÀ`iÊ]Ê i˜Ê`>ÌʏiÛiÀ`iʘœ}Ê}ii˜Ê«iÀviVÌÊÛiÀ`ii`Ê ÛˆiÀŽ>˜Ìʜ«°Êœ}iÀʎœ˜`i˜Ê∍ʘˆiÌʎœ“i˜]Ê `>>ÀۜœÀÊÜ>ÃÊ`iÊ̜i˜“>ˆ}iÊÀiŽi˜V>«>VˆÌiˆÌÊ ÌiÊLi«iÀŽÌ°Ê

i˜Êˆ“«iÀviVÌÊۈiÀŽ>˜Ì 6>˜Üi}iÊ`iÊ/Üii`iÊ7iÀi`œœÀœ}ʎÜ>“Ê `iÊ«ÕLˆV>̈iÊÛ>˜Ê ÀœœŽÃ]Ê-“ˆÌ…]Ê-̜˜iÊi˜Ê /ÕÌÌiÊ«>ÃÊi˜Žiiʍ>Ài˜Ê>ÌiÀʈ˜Ê i`iÀ>˜`°Ê<œÊ Žœ˜Ê…iÌÊ}iLiÕÀi˜Ê`>ÌʅˆiÀʈi“>˜`ʜ«Êiˆ}i˜Ê …œÕ̍iÊ`iâiv`iʓi̅œ`iʜ˜Ì`iŽÌi°Ê >ÌÊÜ>ÃÊ

°°Ê œÕ܎>“«]Êii˜Ê`œV̜Àʈ˜Ê`iʘ>ÌÕÕÀ‡ ŽÕ˜`iʓiÌÊii˜ÊLˆâœ˜`iÀiʈ˜ÌiÀiÃÃiÊۜœÀÊ ÀiVÀi>̈iÛiÊ܈Î՘`i°Ê-ˆ˜`ÃÊ£™{£ÊÜiÀŽÌiÊ œÕ܎>“«ÊLˆÊ…iÌÊ >ÌÕÕÀŽÕ˜`ˆ}Ê>LœÀ>̜‡ ÀˆÕ“ÊÛ>˜Ê*…ˆˆ«Ã]Êi˜Ê}iLÀՈŽÌiÊii˜Ê`iiÊÛ>˜Ê ∍˜ÊÜiÀŽÌˆ`Êi˜ÊÛÀˆiÊ̈`Ê>>˜Ê…iÌÊÌiŽi˜i˜Ê Û>˜Ê˜iÌÜiÀŽi˜Êi˜Ê…iÌÊLiÀiŽi˜i˜ÊÛ>˜Ê`iÊ ÃÌÀœ“i˜°Ê6iiÊL>`∍`i˜Ê>>˜ÌiŽi˜ˆ˜}i˜]Ê ÌiŽi˜ˆ˜}i˜Êi˜ÊLiÀiŽi˜ˆ˜}i˜Ê>Ã“i`iÊii˜Ê Vœ“«iÌiʎ>>ÀÌi˜L>ŽÊ…iivÌʅˆÊˆ˜Ê`ˆiʍ>Ài˜Ê }iÛՏ`°Ê˜Ê£™{Èʏiˆ``iÊ`ˆÌÊ̜ÌÊii˜Ê`Àˆi`iˆ}iÊ «ÕLˆV>̈iʈ˜Ê`iÊ*ÀœVii`ˆ˜}ÃÊÛ>˜Ê`iÊœ˜ˆ˜Ž‡ ˆŽiÊ i`iÀ>˜`ÃiÊ
V>`i“ˆiÊÛ>˜Ê7iÌi˜‡ ÃV…>««i˜°Ê ÊÊÊÊiÌÊiˆ˜`iœœÃÊ}i`Տ`Êi˜Ê}ˆ}>˜ÌˆÃV…ÊÛiiÊ ÀiŽi˜ÜiÀŽÊ…iivÌʅˆÊ>iÊʘiÌÜiÀŽi˜Ê“iÌÊ “>݈“>>ÊÊÌ>ŽŽi˜Ê>v}iiˆ`Êi˜ÊՈÌ}iÌiŽi˜`Ê i˜Ê`>>ÀՈÌÊ>iÊÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÛ>˜ÊœÀ`iÊÊ œvʓˆ˜`iÀÊ}iۜ˜`i˜Êi˜Ê>Ãʼ˜iÛi˜«Àœ`ÕVÌ½Ê ˜œ}ʈ“«iÀviVÌiÊÛiÀ`iˆ˜}i˜]ÊÛiÀ`iˆ˜}i˜Ê Ü>>Àˆ˜Êܓ“ˆ}iÊۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊiÛi˜Ê}ÀœœÌÊ∍˜°Ê >ÌÊÜ>Ài˜Êœ«Êjj˜Ê˜>Ê>i“>>ÊÛiÀ`iˆ˜}i˜Ê Û>˜ÊÀiV…Ì…œiŽi˜°Ê ÊÊÊÊiÌÊi˜ˆ}iÊۈiÀŽ>˜ÌÊÌÕÃÃi˜Ê`iÊÊÛiÀ`i‡

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

ˆ˜}i˜ÊÜ>ÃÊ`iÊۈiÀŽ>˜ÌÛiÀ`iˆ˜}ÊÛ>˜ÊœÀ`iÊ ˆ˜Êw}ÕÕÀÊ£°Ê iâiÊÛiÀ`iˆ˜}ʈÃÊÜiÊȓ«iÊ­ˆ˜Ê `iÊÛiÀ`iˆ˜}ʎœ“i˜Ê}ii˜ÊÃÕLÀiV…Ì…œiŽi˜Ê ۜœÀ®]ʓ>>ÀÊLi«>>`ʘˆiÌÊ«iÀviVÌ\ʅiÌÊۈiÀ‡ Ž>˜ÌÊLiÛ>ÌÊÌÜiiÊۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊÛ>˜ÊÊÝÊÊi˜Ê œœŽÊi˜Žiiʎiˆ˜iÀiʓ>Ìi˜ÊŽœ“i˜ÊÌÜii“>>Ê ۜœÀ°Ê œÕ܎>“«Êۜ˜`ʘˆiÌÊ>ii˜Ê`iâiÊLˆ‡ ✘`iÀiÊÛiÀ`iˆ˜}]ʅˆÊœ˜Ì܈ŽŽi`iʜœŽÊii˜Ê Vœ`iÀˆ˜}ÊۜœÀÊÀiV…Ì…œiŽÛiÀ`iˆ˜}i˜°Ê"ÛiÀÊ `iʘ>>Àʅi“Ê}i˜œi“`iÊ œÕ܎>“«Vœ`iÊ iiÃʍiʜ«ÊL>`∍`iÊÓx°Ê ÊÊÊÊiÌʓœiÌÊii˜Ê“œ˜˜ˆŽi˜ÜiÀŽÊ}iÜiiÃÌÊ âˆ˜]Ê>Ê`iâiʘiÌÜiÀŽi˜ÊՈÌÊÌiÊÌiŽi˜i˜Êi˜Ê ÛiÀۜ}i˜ÃÊLˆÊiŽÊii˜Êyˆ˜ŽÊ>>˜Ì>ÊÃÌiÃiÃÊ Û>˜Ê“>݈“>>ÊÊ­ˆ˜i>ˆÀi®ÊÛiÀ}iˆŽˆ˜}i˜Ê“iÌÊ iÛi˜ÊâœÛiiÊœ˜LiŽi˜`i˜ÊՈÌÊÌiÊÃV…ÀˆÛi˜Êi˜Ê œ«ÊÌiʏœÃÃi˜°Ê ÀÊ∍˜ÊÜiÊ“i̅œ`iÃÊÜ>>ÀLˆÊ ii˜Ê`iiÊÛ>˜Ê…iÌÊÀiŽi˜ÜiÀŽÊÛiÀÛ>i˜ÊŽ>˜Ê œvÊii˜ÛœÕ`ˆ}iÀʎ>˜Êœ«Ê}Àœ˜`ÊÛ>˜Êii˜Ê`œÃˆÃÊ ˆ˜âˆV…Ì]ʓ>>ÀÊ̜V…°Êi>>ÃÊ`>ÌiiÀ`iÊ œÕ܇ Ž>“«Êˆ˜Ê`ˆiÊ̈`Ê∍˜Ê>>˜ÌiŽi˜ˆ˜}i˜Ê˜œ}ʘˆiÌÆÊ ÜiÊÜiÌi˜Ê`ÕÃʘˆiÌÊiÝ>VÌÊÜ>˜˜iiÀʅˆÊÜ>ÌÊ «ÀiVˆiÃÊ`ii`°Ê<ˆ˜ÊŽ>>ÀÌi˜L>ŽÊ}>>ÌʜÛiÀˆ‡ }i˜Ãʘœ}Ê`œœÀÊ̜ÌÊi˜Ê“iÌʘiÌÜiÀŽi˜ÊÛ>˜ÊÊ Ì>ŽŽi˜Ê­Ü>>ÀÛ>˜ÊiÀÊÊ∍˜®ÊÜ>>ÀՈÌÊÀiV…̇ …œiŽÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÛ>˜ÊœÀ`iÊÊÌiÊۜœÀÃV…ˆ˜Ê Žœ“i˜°ÊiiÌʜ«Ê œÕ܎>“«ÃÊÜi…>>ÃÌÊ i}i˜`>ÀˆÃV…iÊ«ÀiVˆÃˆiʏˆŽÌʅiÌʜ˜Ü>>ÀÃV…ˆ˜‡ ˆŽÊ`>ÌʅˆÊ`>>ÀLˆÊiÝi“«>Ài˜ÊœÛiÀʅiÌʅœœv`Ê …iivÌÊ}iâˆi˜°Ê<ˆ˜Ê>>˜ÌiŽi˜ˆ˜}i˜ÊÛiÀ“i`i˜Ê œÛiÀˆ}i˜ÃʘˆiÌÊ>iÊÀiV…Ì…œiŽÛiÀ`iˆ˜}i˜ÆÊ Ãœ“ÃʅiivÌʅˆÊLˆÊii˜Ê˜iÌÜiÀŽÊ“>>ÀÊjj˜ÊœvÊ i˜ŽiiÊÛ>˜Ê`iʓœ}iˆŽiÊÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊLiÀi‡ Ži˜`°Ê

ˆ}ÕÕÀÊ£ÊÊÊ i˜ÊÛiÀ`iˆ˜}ÊÛ>˜Êii˜ÊۈiÀŽ>˜Ìʈ˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°Ê iâiÊÛiÀ`iˆ˜}ʈÃÊÜiÊȓ«i]ʓ>>ÀʘˆiÌÊ«iÀviVÌt

ÓÎ

Ó{

>Ài˜ÊâiÃ̈} "«ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜}iLˆi`ÊÜiÀ`ʅiÌÊiÛi˜ÊÀÕÃ̈}]Ê ÌœÌʅiÌÊiˆ˜`iÊÛ>˜Ê`iʍ>Ài˜Êۈv̈}]Ê̜i˜ÊLˆÊ *…ˆˆ«ÃÊ`iÊiiÀÃÌiÊiV…ÌiÊVœ“«ÕÌiÀÃÊÜiÀ`i˜Ê }i«>>ÌÃÌ°Ê i˜ÊëiVˆ>iÊÀiŽi˜}Àœi«Êœ˜`iÀÊ iˆ`ˆ˜}ÊÛ>˜Ê
°°7°Ê ՈÛiÃ̈˜ÊÜiÀ`ʈ˜Ê…iÌÊ iÛi˜Ê}iÀœi«i˜Êi˜Ê œÕ܎>“«]ʈ˜“ˆ``iÃÊ œœŽÊ…œœ}iÀ>>ÀÊ>>˜ÊÜ>ÌʘÕÊ`iÊ/1ÉiʅiiÌ]Ê Ü>ÃÊiÀÊ>ÃÊ`iʎˆ««i˜ÊLˆÊœ“Ê`iÊVœ“«ÕÌiÀÊ ˜iÌÜiÀŽi˜ÊÌiʏ>Ìi˜Ê}i˜iÀiÀi˜Êi˜ÊÛiÀ`iˆ˜‡ }i˜ÊÌiʏ>Ìi˜ÊLiÀiŽi˜i˜°Ê iÊiiÀÃÌiÊ«Àœ‡ }À>““>½Ã]Êۜ}i˜ÃÊ`iÊÀiŽi˜“i̅œ`iÊ`ˆiÊ œÕ܎>“«Êˆ˜Ê`iʜœÀœ}ÊLi`>V…Ì]ÊÜiÀ`i˜Ê œ˜Ì܈ŽŽi`Êi˜ÊՈÌ}iÃV…ÀiÛi˜Ê`œœÀÊ ÕˆÛi‡ Ã̈˜Êi˜Ê*°Êi`i“>]ʈ˜Ê£™Èäʏiˆ`i˜`Ê̜ÌÊii˜Ê «ÕLˆV>̈iÊÛ>˜ÊՈÌ}iLÀiˆ`iÊÌ>Lii˜Ê“iÌÊ>iÊ }iۜ˜`i˜ÊÛiÀ`iˆ˜}i˜Êi˜Êˆ˜Ê£™È{Ê̜Ìʘœ}Ê âœ½˜ÊÌ>Li°Ê ÊÊÊÊ/œi˜Ê*…ˆˆ«ÃÊ∍˜ÊiiÀÃÌiÊiˆ}i˜ÊVœ“«ÕÌiÀ]Ê `iÊۜœÀÊ`ˆiÊ̈`ÊՈÌiÀÃÌÊØiiÊ*
-
]ʈ˜Ê £™È£Êœ«iÀ>̈œ˜iiÊ…>`]ÊÜiÀ`Ê`iÊ>>˜âˆi˜‡ ˆŽÊ}ÀœÌiÀiÊÀiŽi˜ŽÀ>V…ÌÊÛ>˜Ê`iâiʓ>V…ˆ˜iÊ ˆ˜}iâiÌʜ“Ê…iÌÊ>i“>>Ê˜œ}Êi˜ŽiiʜÀ`iÃÊ ÛiÀ`iÀÊÌiÊLÀi˜}i˜Êi˜Êœ˜`iÀÊ œÕ܎>“«ÃÊ ÃÕ«iÀۈÈiʏiˆ``iÊ`>Ìʈ˜Ê£™ÈÓÊ̜ÌÊ`iÊ«Àœ“œ‡ ̈iÊÛ>˜Ê ՈÛiÃ̈˜]Ê`ˆiÊ`>>À̜iÊ>iʘiÌÜiÀ‡ Ži˜Ê̜ÌÊi˜Ê“iÌʜÀ`iÊʅ>`Ê}i}i˜iÀiiÀ`Êi˜Ê `>>À“iiÊ`ÕÃÊ>iÊÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÛ>˜ÊÀiV…Ì…œi‡ Ži˜Êˆ˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜Ê̜ÌÊi˜Ê“iÌʜÀ`iÊʅ>`Ê œ˜`iÀâœV…Ì°Ê >>ÀLˆÊLiŽi˜Ê˜>>ÃÌʜ˜`iÀÛiÀ‡ `ii`iÊÀiV…Ì…œiŽi˜ÊՈÌÏՈÌi˜`ʈ“«iÀviVÌiÊ ÛˆiÀŽ>˜ÌÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÌiۜœÀÃV…ˆ˜ÊÌiʎœ“i˜°Ê iiÀÊ`>˜ÊœÀ`iÊÊÜ>Ãʈ˜Ê`ˆiÊ̈`ʘˆiÌÊ}œi`Ê “œ}iˆŽ\Ê`iÊLi˜œ`ˆ}`iÊÀiŽi˜Ìˆ`ʎÜ>“ʈ˜Ê `iʜÀ`iÊÛ>˜Ê`iÊ/ Ê­i>˜Ê/ˆ“iÊ iÌÜii˜Ê >ˆÕÀiîÊÛ>˜Ê`iÊVœ“«ÕÌiÀ°Ê

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

ՈÛiÃ̈˜]ʜ«Ê∍˜ÊLiÕÀÌʈ˜Ê£™È{ÊLi˜œi“`Ê ÌœÌʅœœ}iÀ>>ÀÊ>>˜Ê`iÊ1˜ˆÛiÀÈÌiˆÌÊ/Üi˜Ìi]Ê }ˆ˜}Ê`œœÀʓiÌʅiÌÊ}i˜iÀiÀi˜ÊÛ>˜Ê˜iÌÜiÀŽi˜Ê i˜Ê…iÌÊLiÀiŽi˜i˜ÊÛ>˜ÊÛiÀ`iˆ˜}i˜°Ê˜Ê“>>ÀÌÊ £™Çnʅ>`ʅˆÊÃÕVViÃʓiÌÊ`iʜ˜Ì`iŽŽˆ˜}ÊÛ>˜Ê `iʎiˆ˜ÃÌiÊ«iÀviVÌiÊۈiÀŽ>˜ÌÛiÀ`iˆ˜}ʈ˜Ê ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°Ê iÊÛiÀ`iˆ˜}ÊÛ>˜Ê ՈÛiÃ̈˜Ê ÜiÀ`ÊÜiÀi`LiÀœi“`°Ê ÊÊÊÊ1ˆÌiˆ˜`iˆŽÊŽœ˜Ê ՈÛiÃ̈˜ÊLi}ˆ˜Ê>Ài˜Ê ˜i}i˜Ìˆ}Ê`œœÀ}>>˜Ê̜ÌÊi˜Ê“iÌÊÛiÀ`iˆ˜}i˜Ê Û>˜ÊœÀ`iÊi˜Êœ˜`iÀÊ`iÊÛiiʓˆœi˜i˜Ê ÀiV…Ì…œiŽÛiÀ`iˆ˜}i˜ÊÛ>˜Ê`ˆiʜÀ`iÊۜ˜`Ê …ˆۈiÀŽ>˜ÌÛiÀ`iˆ˜}i˜°Ê iÊÀiÃՏÌ>Ìi˜Ê ۜœÀÊ`iʜÀ`iÃÊÊ̜ÌÊi˜Ê“iÌÊÜiÀ`i˜Ê `œœÀÊ œÕ܎>“«Êi˜Ê ՈÛiÃ̈˜ÊÛ>ÃÌ}ii}`Ê ˆ˜ÊÌÜiiÊ`ˆŽŽiÊ>LՓÃÊÛ>˜ÊÌiâ>“i˜Ê✽˜ÊÈääÊ L>`∍`i˜]Ê}i«ÕLˆViiÀ`ʈ˜Ê£™™ÓÊi˜Ê£™™{°Ê ˜“ˆ``iÃÊ∍˜ÊÜiÊÜiiÀÊÀՈ“Ê̈i˜Ê>>ÀÊÛiÀ`iÀÊ i˜Êœ˜`>˜ŽÃÊ`iÊiÝ«œ˜i˜ÌˆiiÊՈÌÊ`iʅ>˜`Ê œ«i˜`iʅœiÛii…iˆ`ÊÀiŽi˜ÜiÀŽÊâœÕʅiÌÊ ˜ÕʓiÌÊ`iʍՈÃÌiÊVœ“«ÕÌiÀŽÀ>V…Ìʓœ}iˆŽÊ “œiÌi˜Ê∍˜]ÊÜiiÀÊÌÜiiʜvÊ`ÀˆiʜÀ`iÃÊÛiÀ`iÀÊ Ìiʎœ“i˜°Ê>>ÀÊii˜ÊՈ̫ÕÌÌi˜`iÊLiÀiŽi˜ˆ˜}Ê Û>˜Ê>iʼۈiÀŽ>˜Ìi˜ÊÛ>˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜½ÊLˆvÌÊ ÛœœÀÊ>Ìˆ`ʜ˜`i˜ŽL>>À°Ê ˆÌiÀ>ÌÕÕÀ
°/°Ê`iÊœœ«]ʼ*>ÃÈiÊۜœÀÊ«ÀiVˆÃˆi½]Ê ˆiÕÜÊ
ÀV…ˆivÊۜœÀÊ 7ˆÃŽÕ˜`iÊxÉ{ʘÀ°ÊÎÊ­Ãi«°ÊÓääή°Ê °Ê>ÕLÀˆV…]ʼ °°Ê œÕ܎>“«Êi˜Ê`iÊ-µÕ>Ài`Ê-µÕ>Àiý]Ê ˆiÕÜÊ
ÀV…ˆivÊۜœÀÊ7ˆÃŽÕ˜`iÊxÉ{ʘÀ°Ê{Ê­`iV°ÊÓääή°

`œœÀÊ>ÀVœÊ-Ü>i˜

iÊ œÕ܎>“«Vœ`i iÊ œÕ܎>“«Vœ`iʏi}ÌʓiÌÊ}iÌ>i˜ÊÛ>ÃÌʅœiÊii˜ÊÀiV…Ì…œiŽÊÛiÀ`ii`ʈÃʈ˜ÊۈiÀŽ>˜Ìi˜°Ê7iÊ`i‡ “œ˜ÃÌÀiÀi˜Ê`iÊVœ`iÊ>>˜Ê`iʅ>˜`ÊÛ>˜Ê…iÌÊۜœÀLii`ÊÊÝÊÊÊ         

Óx

"ivi˜i˜ /iŽi˜Ê`iÊۜ}i˜`iÊÛiÀ`iˆ˜}i˜\Ê >°Ý      L°Ý         V°ÊÝ            œÃʜ«Ê✘`iÀÊÌiÊÌiŽi˜i˜\Ê `°8Ý9:             i°Ý 8         9 v°ÊÝ     8  9 :   iʜ«œÃȘ}i˜ÊÃÌ>>˜Êœ«Ê«>}ˆ˜>ÊÎΰÊ

*ÀœLi“i˜ `œœÀÊ ˆœ˜ÊˆÃ܈Ì

œiÀˆiÀ 6ˆvÊÛÀˆi˜`i˜Ê­!]"]#]Ê$Êi˜Ê%®Ê܈i˜ÊiŽ>>ÀÊ LÀˆiÛi˜ÊÃÌÕÀi˜\Ê!ÊÃV…ÀˆvÌÊ>>˜"]#Êi˜$Æ"Ê ÃV…ÀˆvÌÊ>>˜Ê#Æ#ÊÃV…ÀˆvÌÊ>>˜$ÆÊ$ÊÃV…ÀˆvÌÊ>>˜Ê "Êi˜Ê%Æ%ÃV…ÀˆvÌÊ>>˜Ê!]"Êi˜Ê#°Ê i˜ÊŽœiÀˆiÀÊ `ˆiÊ`iÊLÀˆiÛi˜Êœ«…>>ÌÊi˜ÊLiâœÀ}Ì]ʎ>˜Ê`>ÌÊ `œi˜Ê`œœÀÊ>V…ÌiÀii˜Ûœ}i˜ÃÊ!]"]#]$]%] !]"Êi˜ÊÜiiÀÊ#ÊÌiÊLiâœiŽi˜]Ê>V…ÌÊLiâœiŽiÃÊ ˆ˜Ê̜Ì>>°ÊiÌʎ>˜ÊiV…ÌiÀʜœŽÊ“iÌʓˆ˜`iÀÊLi‡ âœiŽiðÊ7>ÌʈÃʅiÌʎiˆ˜ÃÌiÊ>>˜Ì>ÊLiâœiŽiÃÊ `>ÌÊۜÃÌ>>Ìʜ“Ê>iÊLÀˆiÛi˜ÊÌiÊLiâœÀ}i˜¶Ê

ÓÈ

,i}i“>̈}iʘi}i˜…œiŽ ˜Ê`iÊw}ÕÕÀÊâˆiʍiÊii˜ÊÀi}i“>̈}iʘi}i˜‡ …œiŽÊ!"#$%&'()°Ê ÀÊ∍˜ÊœœŽÊÌÜiiÊVˆÀŽiÃÊ }iÌiŽi˜`\Ê`iÊiiÀÃÌiʓiÌʓˆ``i«Õ˜ÌÊ!Êi˜Ê ÃÌÀ>>!"]Ê`iÊÌÜii`iʓiÌʓˆ``i«Õ˜ÌÊ%Êi˜Ê ÃÌÀ>>Ê#%°ÊÃʅiÌÊÜ>>ÀÊ`>ÌÊ`iâiÊÌÜiiÊVˆÀŽiÃÊ iŽ>>ÀÊÀ>Ži˜¶Ê­
>`Êœ``ˆ˜®

(

% ! $

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

  

)

#

“i˜Êii˜ÊâiŜiŽÊ œ“ÏՈÌi˜°Ê6ˆiÀÊÛ>˜Ê`iÊ∍`i˜ÊÛ>˜Ê`iÊâiŜiŽÊ ∍˜Ê}i}iÛi˜°Êœiʏ>˜}Ê∍˜Ê`iʜÛiÀˆ}iÊÌÜiiÊ âˆ`i˜¶Ê



' &

"

՘̍ià ÀˆÃ̈˜iʅiivÌÊۈiÀʓ՘̍iÃ]Êœ˜ˆµÕiÊÏiV…ÌÃÊ `Àˆi°Ê>˜Ì>ÊŽiiÀÊ`>Ìʎœ«ÊLœÛi˜Ê Žœ“Ì°Ê7>ÌʈÃÊ`iʎ>˜ÃÊ`>ÌÊÀˆÃ̈˜iÊÛ>ŽiÀʎœ«Ê …iivÌÊ`>˜Êœ˜ˆµÕi¶ÊÊ

Ê

"«œÃȘ}i˜ ˜À°Ê8 ˜À°Ê£

˜ˆ««i˜Êi˜Ê«>ŽŽi˜

œ«ˆiiÀ“>V…ˆ˜i ˜Ê…iÌÊLi}ˆ˜ÊLiۈ˜`i˜Ê`iÊLiâiÌÌiÊVii˜ÊâˆV…Ê ˆ˜Êii˜ÊÊÝÊÊÀiV…Ì…œiŽ°Ê >ÊۈiÀÊÀœ˜`iÃÊâˆiʍiÊ `iÊLi}ˆ˜ÃˆÌÕ>̈iÊۈiÀ“>>Ê}iŽœ«ˆiiÀ`\ÊۈiÀÊ Vii˜ÊÛiÀÃV…œÛi˜Ê˜>>ÀÊLœÛi˜]ʜ˜`iÀ]ʏˆ˜ŽÃÊ i˜ÊÀiV…ÌðÊ՘ʍiʅˆiÀÊâivÊii˜ÊÛiÀŽ>Àˆ˜}Ê ÛœœÀÊۈ˜`i˜¶

œâi˜ÊÃÌ>«ii˜ œi“Ê`iʎœÀÌiÊi˜Ê`iʏ>˜}iÊ∍`iÊÛ>˜Ê`iÊ ¼`œœÃ½ÊXÊi˜Y°Ê˜Ê`iÊw}ÕÕÀÊâˆiʍiÊ`ÀˆiÊ}iˆŽ‡ ۜÀ“ˆ}iÊÀœ`iÊ`Àˆi…œiŽi˜°Ê1ˆÌÊ`iâiÊ}iˆŽ‡ ۜÀ“ˆ}…iˆ`Êۜ}ÌÊ`>ÌÊ Ê Ê i˜Ê

x y yx
y x Ê

Ê Ê

x yx  y y
x

"«œÃÃi˜Ê}iivÌ x
Ê

ÊÊ

 
i˜ y

°

Ê

 X X Y

*9/
",
-Ê "6  ,ÊÓääÈ

X

Y

ÓÇ

7>˜`iˆ˜} iÌʈÃʘˆiÌʓœ}iˆŽÊ`iÊ}iÛÀ>>}`iÊÜ>˜`i‡ ˆ˜}ÊÌiʓ>Ži˜°Êi`iÀʫ՘ÌÊ­Li…>ÛiÊ`iÊÌÜiiÊ iˆ˜`«Õ˜Ìi˜ÊÛ>˜Ê`iÊÜ>˜`iˆ˜}®Ê“œiÌÊ}Ài˜âi˜Ê >>˜Ê«ÀiVˆiÃÊjj˜Ê`ˆ>}œ˜>>Êˆ˜ÃÌՎiʈ˜Ê`iÊ Ü>˜`iˆ˜}°Ê ÀÊ∍˜Ê˜ÕÊÌÜiiÊ}iÛ>i˜°Ê
ÃÊiÀÊii˜Ê∍`iʈÃÊÜ>>Àœ«Ê}ii˜Êiˆ˜`«Õ˜ÌÊ Û>˜Ê`iÊÜ>˜`iˆ˜}ʏˆ}Ì]ʎ՘˜i˜ÊۜœÀÊ`iÊâiÃÊ «Õ˜Ìi˜Ê>>˜Ê`iâiÊ∍`iÊ}ii˜Ê˜ˆi̇ŽÀՈÃi˜`iÊ `ˆ>}œ˜>i˜ÊܜÀ`i˜Ê}iŽœâi˜°Ê
ÃÊiÀʜ«Êˆi`iÀiÊ∍`iÊii˜Êiˆ˜`«Õ˜ÌÊÛ>˜Ê`iÊ Ü>˜`iˆ˜}ʏˆ}Ì]ʏˆ}}i˜Ê`iâiÊiˆ˜`«Õ˜Ìi˜Êœ«Ê ÌÜiiʅœiŽ«Õ˜Ìi˜]Êi˜Êâˆiʍiʈ˜Ê`iÊÌÜii`iÊ w}ÕÕÀÊÜ>>Àœ“Ê…iÌʓˆÃÊ}>>Ì°Ê

door Alex van den Brandhof

We zetten een aap achter een typemachine, die lukraak op de toetsen begint te slaan. Lezen of begrijpen wat hij schrijft, kan de aap niet. Hoe groot is de kans dat het woord ABRACADABRA eerder op papier verschijnt dan ABCDEFGHIJK?

Een aap en een typemachine

28

illustratie Suus van den Akker

Hoe lang duurt het gemiddeld voordat een gegeven woord op papier verschijnt, als een aap willekeurig toetsen van de typemachine aanslaat? Deze vraag stond centraal in het tweedelige artikel ‘Onverwachte verwachtingen’ uit het februari- en het aprilnummer van onze vorige jaargang. De verwachting van

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

het aantal aanslagen dat de aap moet doen, noemen we de verwachte stoptijd. In kader 1 staat de regel voor het bepalen van de verwachte stoptijd. Als we uitgaan van een toetsenbord met 26 toetsen, die de 26 letters van het alfabet bevatten, duurt het naar verwachting 2611

1 aanslagen voordat ABCDEFGHIJK op papier staat, terwijl de verwachte stoptijd voor ABRACADABRA gelijk is aan 2611 + 264 + 26. We noteren dit als volgt: t(ABCDEFGHIJK) = 2611 en t(ABRACADABRA) = 2611 + 264 + 26. Het feit dat t(ABCDEFGHIJK) kleiner is dan t(ABRACADABRA) komt doordat de eerste en de laatste letter, en ook de eerste vier en de laatste vier letters, van ABRACADABRA hetzelfde zijn; daardoor neemt de verwachte stoptijd met 264 + 26 toe. Is de kans dat ABRACADABRA eerder verschijnt dan ABCDEFGHIJK kleiner dan, gelijk aan of groter dan 12 ? In dit artikel beantwoorden we dit soort vragen, waarbij we uitgaan van een typemachine met twee letters: A en B. Elke combinatie van letters beschouwen we als woord. Aan het eind komen we terug op de typemachine met 26 letters. Notaties AA
noteren we ‘de kans dat Met PAB P(AB AA) het woord AB eerder op papier verschijnt dan het woord AA’. Als duidelijk is om welke ‘gebeurtenis’ het gaat, noteren we de kans kortweg met p. Met pA noteren we een voorwaardelijke kans; ook hier laten we de onderhavige ‘gebeurtenis’ in de notatie achterwege: in het geval van de gebeurtenis PAB AA
bedoelen we met pA ‘de kans dat ’AB AA’ AB eerder verschijnt dan AA, als er al een A op papier staat’. Tweeletterwoorden Wat is de kans dat de aap eerder AB dan AA typt? Uit de regel in kader 1 volgt dat t(AB) = 22 = 4 en t(AA) = 22 + 2 = 6. Gemiddeld genomen verschijnt AB dus eerder dan AA
dan ook groter dan 12 ? In AA. IsPAB P(AB AA) figuur 1 zie je een diagram dat de structuur in kaart brengt. De rode pijl betekent dat een A wordt getypt, de blauwe pijl een B.

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

Algemene regel voor het bepalen van verwachte stoptijden Gegeven een woord van n letters uit een alfabet van z letters. Als de eerste k letters van dit woord gelijk zijn aan de laatste k letters van dit woord, levert dat een term zk op voor de verwachte stoptijd van dat woord, voor k = 1, ..., n. Merk op dat voor k = n zowel de eerste k letters als de laatste k letters gewoon het hele woord is; de verwachte stoptijd van élk n-letterwoord bevat derhalve een term zn.

Figuur 1 De aap stopt als hij AB of AA heeft getypt

Uit dit schema volgen de volgende vergelijkingen:

p
12 pA 12 p pA
12 pAA 12 pAB Natuurlijk is pAA = 0 en pAB = 1. Vullen we deze waarden in in de onderste vergelijking, dan vinden we dat pA = 12 . Nu kunnen we deze uitkomst invullen in de bovenste vergelijking, dan volgt dat p = 12 .

2 De kans dat woord 1 eerder op papier verschijnt dan woord 2 bij tweeletterwoorden. De rode getallen zijn de verwachte stoptijden van de betreffende woorden.

29

Ondanks het feit dat de verwachte stoptijd AA
van AB kleiner is dan van AA, isPAB P(AB AA), de kans dat AB eerder verschijnt dan AA, gelijk aan 12 ! Dit kun je ook zonder figuur 1 inzien, door te bedenken dat ná het optreden van de eerste A het even waarschijnlijk is dat deze gevolgd wordt door een A als door een B. Dat de kansen niet altijd gelijk zijn, zien we bij een ander paar: BA versus AA. De verwachte stoptijden zijn natuurlijk weer 4 resAA
te berekenen, pectievelijk 6. OmPAB P(BA AA) hebben we het diagram van figuur 2 nodig.

zal BA altijd eerder op het papier verschijnen dan AA. In kader 2 staan de kansen voor combinaties van tweeletterwoorden. Omdat PAB AA
vanwege de symmetrie gelijk is P(BB BA) AA
isPAB AA
niet in het aanPAB P(AA AB), P(BB BA) kader opgenomen. Ook andere symmetrische gevallen staan niet in het kader. Behalve de kansen staan de verwachte stoptijden van de woorden vermeld (in rood). Drieletterwoorden Wat is de kans dat AAB eerder op papier verschijnt dan BAB? Bekijk hiertoe het diagram in figuur 3.

Figuur 2 De aap stopt als hij BA of AA heeft getypt

Het stelsel vergelijkingen dat hierbij hoort, is: p
12 pA 12 pB pA
12 pAA 12 pB pB
12 pBA 12 pB pAA
0 pBA
1

30

Oplossen levert p 34 . AA
en PAB AA
De kansenPAB P(BA AA) P(AA BA) zijn dus allerminst gelijk! Dit komt doordat AA alléén als eerste verschijnt indien de eerste twee aanslagen allebei A’s zijn. Zijn de eerste twee aanslagen AB, BA of BB, dan

3 De kans dat woord 1 eerder op papier verschijnt dan woord 2 bij drieletterwoorden. De rode getallen zijn de verwachte stoptijden van de betreffende woorden.

Figuur 3 De aap stopt als hij AAB of BAB heeft getypt

Het stelsel vergelijkingen dat hierbij hoort, is:

p
12 pA 12 pB pA
12 pAA 12 pB pB
12 pBA 12 pB pAA
12 pAA 12 pAAB pBA
12 pAA 12 pBAB pAAB
1 pBAB
0 Oplossen geeft p 58 . In kader 3 zie je alle mogelijke kansen bij drieletterwoorden, wederom met uitzondering van symmetrische gevallen. Ook staan de verwachte stoptijden er weer bij. Vierletterwoorden Er zijn paren van woorden met dezelfde verwachte stoptijd, maar met verschillende kansen. Zo is t(AAB) = t(ABB) = 8, maar PAAB ABB

23 . Ook zijn er paren van woorden met verschillende verwachte stoptijden, maar met gelijke kansen. Zo is t(AAA) = 14 en t(AAB) = 8, maar PAAB ABB

2312 .

PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

4

De kans dat woord 1 eerder op papier verschijnt dan woord 2 bij vierletterwoorden. De rode getallen zijn de verwachte stoptijden van de betreffende woorden.

De resultaten zijn nog verrassender bij sommige paren van vierletterwoorden. Neem de woorden ABAB en BABB, dan geldt dat t(ABAB) = 20 en t(BABB) = 18. Hoewel ABAB naar verwachting langer duurt dan PAB BABB) AA
groter dan 12 ! BABB, is P(ABAB In figuur 4 staat het bijbehorende diagram. De vergelijkingen zijn:

p
pA
pB
pAB
pBA
pABA
pBAB


1 1 2 pA 2 pB 1 1 2 pA 2 pAB 1 1 2 pBA 2 pB 1 1 2 pABA 2 pB 1 1 2 pA 2 pBAB 1 1 2 pA 2 pABAB 1 1 2 pABA 2 pBABB

pABAB
1 pBABB
0

Als we dit stelsel oplossen, krijgen we 9 . Overige resultaten vind je in kader 4. p 14 Abracadabra In dit artikel gingen we uit van een alfabet

met twee letters. Als de aap een typemachine heeft met het voltallige, 26 letters tellende, alfabet, wat is dan de kans dat ABRACADABRA eerder optreedt dan ABCDEFGHIJK? Met de methode die we in dit artikel hebben besproken, krijg je een diagram met lange takken en een stelsel met niet minder dan negentien vergelijkingen. Voor het oplossen van dit grote stelsel vergelijkingen heb ik de computer laten rekenen. De kans dat ABRACADABRA eerder optreedt dan ABCDEFGHIJK blijkt 8031810176 gelijk te zijn aan 16063620353 . In elf decimalen nauwkeurig is dit gelijk aan 0,49999999997. De intuïtie op grond van verwachte stoptijden dat ABRACADABRA met een kans kleiner dan 12 eerder optreedt dan ABCDEFGHIJK klopt dus, al is het verschil tussen PAB ABCDEFGHIJK) AA
P(ABRACADABRA PAB ABRACADABRA) AA
en P(ABCDEFGHIJK marginaal. Literatuur M. Gardner, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988)

Figuur 4 De aap stopt als hij ABAB of BABB heeft getypt PYTHAGORAS NOVEMBER 2006

31

WISKUNDE

de garantie voor een zekere toekomst “Als consulent Asset & Liability Management bij ORTEC geef ik advies aan pensioenfondsen over het beleid wat ze het beste kunnen voeren. Mijn opleiding tot wiskundige maakt het mogelijk om daarvoor de lange termijn modellen te ontwikkelen.” drs. Marnix Engels

32

Ontdek wiskunde op het Studiefestival en de Open dag. Kijk voor meer informatie op

www.science.leidenuniv.nl

Universiteit Leiden. Universiteit om te ontdekken.

Oplossingen Bouwkampcode De oplossingen van de zes vragen op pagina 25 zijn:

a.

b.

Oplossing Een brief van een wanhopige lezer 'Hoeveel rozenblaadjes tel je?' Deze vraag werd in het vorige nummer gesteld. Om het probleem op te lossen, moet je je voorstellen hoe een roos eruit ziet. En kijk dan nog eens naar de dobbelsteen met vijf ogen. Zie je de overeenkomst? Juist, de blaadjes van de roos zijn de stippen die zich bevinden op de dobbelstenen met een stip in het midden: de drie en de vijf dus, en ook de één, maar dat is een roos zonder blaadjes. Tel dus het aantal stippen exclusief de middelstip van de dobbelstenen die op een roos lijken bij elkaar op.

c.

d. X = 94, Y = 111, Z = 13 e. X = 48, Y = 25 f. X = 14, Y = 12, Z = 7

Het aantal rozenblaadjes bij de worp hierboven is vier, dat zijn de 'blaadjes' in de dobbelsteen met vijf ogen. In de overige worpen kun je geen roos zien. Op de worp met één oog na dan, maar die heeft geen blaadjes.

33

Oplossingen Kleine nootjes nr. 1

15 – 6 = 11

PYTHAGORAS MAAND JAAR

Reisportemonnee Na verdeling van de rest van de kas aan het eind van de reis krijgen ze eigenlijk ieder een fles. Els koopt die fles buiten de kas om voor 5 euro van Anja.

Ontsnappen? Ja, het kan. Afhankelijk van Piets route zwemt Anja een van de vier getekende routes.

Weging De gewichtjes zijn 5, 10, 15 en 20 gram. De evenwichten zijn 5 + 10 = 15, 5 + 15 = 20 en 5 + 20 = 10 + 15.

Waar wonen ze? Piet moet op nummer 2 wonen (er is maar één even priemgetal). Hans woont op 47 en Kees op 43 (oneven priemgetallen met verschil 4).

Op drie kalveren Een praktische methode voor de behandeling van rangtelwoorden komt van drie kalveren te Grouw waarvan door middel van een touw boven een waterput te Hierden de eerste twee de derde vierden. Kees Stip (1913-2001) / Uitgeverij Liverse

46ste JAARGANG NUMMER 2