WISKUNDE B HAVO CONCEPTSYLLABUS CENTRAAL EXAMEN 2017 (BIJ HET NIEUWE EXAMENPROGRAMMA)

WISKUNDE B HAVO

CONCEPTSYLLABUS CENTRAAL EXAMEN 2017 (BIJ HET NIEUWE EXAMENPROGRAMMA)

Versie: concept t.b.v. veldraadpleging, februari 2013

WISKUNDE B HAVO | CONCEPTSyllabus centraal examen 2017 Versie concept t.b.v. veldraadpleging | februari 2013

(bij het nieuwe examenprogramma)

Inhoud

Voorwoord

5

1

Inleiding

6

2 2.1 2.2 2.3

Het centraal examen en het schoolexamen Verdeling van de examenstof Hulpmiddelen Vakspecifieke regels correctievoorschrift

7 7 7 7

3

Specificaties van de globale eindtermen voor het CE

8

4

Voorbeeld(examen)opgaven

17

5 5.1 5.2 5.3

Algebraïsche vaardigheden Specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden Algebraïsche vaardigheden, een overzicht Voorbeeldvragen algebraïsche vaardigheden wiskunde B havo

22 22 23 29

Bijlage 1

Examenprogramma

34

Bijlage 2

Examenwerkwoorden

36

pagina 3 van 37



Verantwoording: © 2013 College voor Examens vwo, havo, vmbo, Utrecht. Alle rechten voorbehouden. Alles uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enige andere manier zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.

pagina 4 van 37



Voorwoord In januari 2013 heeft de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO) een voorstel ingediend voor het vernieuwde examenprogramma wiskunde B havo. In het examenprogramma zijn de exameneenheden aangewezen waarover het centraal examen (CE) zich uitstrekt: het CE-deel van het examenprogramma. Het College voor Examens (CvE) geeft in een syllabus een toelichting op het CE-deel van het examenprogramma. Behalve een beschrijving van de exameneisen voor een centraal examen kan de syllabus verdere informatie over het centraal examen bevatten, bijvoorbeeld over een of meer van de volgende onderwerpen: specificaties van examenstof, begrippenlijsten, bekend veronderstelde onderdelen van domeinen of exameneenheden die verplicht zijn op het schoolexamen, bekend veronderstelde voorkennis uit de onderbouw, bijzondere vormen van examinering (zoals computerexamens), voorbeeldopgaven, toelichting op de vraagstelling, toegestane hulpmiddelen. Ten aanzien van de syllabus is nog het volgende op te merken. De functie ervan is een leraar in staat te stellen zich een goed beeld te vormen van wat in het centraal examen wel en niet gevraagd kan worden. Naar zijn aard is een syllabus dus niet een volledig gesloten en afgebakende beschrijving van alles wat op een examen zou kunnen voorkomen. Het is mogelijk, al zal dat maar in beperkte mate voorkomen, dat op een centraal examen ook iets aan de orde komt dat niet met zo veel woorden in deze syllabus staat, maar dat naar het algemeen gevoelen in het verlengde daarvan ligt. Een syllabus is zodoende een hulpmiddel voor degenen die anderen of zichzelf op een centraal examen voorbereiden. Een syllabus kan ook behulpzaam zijn voor de producenten van leermiddelen en voor nascholingsinstanties. De syllabus is niet van belang voor het schoolexamen. Daarvoor worden door de SLO handreikingen geproduceerd die niet in deze uitgave zijn opgenomen. Deze conceptsyllabus geldt voor het examenjaar 2017.1 Dit concept leggen we voor aan het veld om te achterhalen of de syllabus duidelijk genoeg is, de benodigde informatie bevat ter voorbereiding op de centrale examens en een adequate uitwerking geeft van het CE-deel van het examenprogramma. De resultaten van deze veldraadpleging worden verwerkt in de definitieve syllabus die volgens planning gepubliceerd zal worden in het najaar van 2013. Heeft u opmerkingen over deze syllabus, dan verwijs ik u naar de veldraadpleging. Aanmelden daarvoor kan via www.cve.nl in de periode 4 maart 2013 tot en met 14 april 2013. Daarna is de veldraadpleging gesloten. Drs. A. H. Gieske Projectmedewerker havo/vwo College voor Examens

1

Definitief besluit hierover wordt gelijktijdig met het vaststellen van het examenprogramma genomen.

pagina 5 van 37


1


Inleiding Deze conceptsyllabus geeft informatie ten behoeve van de voorbereiding op het centraal examen wiskunde B havo. De conceptsyllabus richt zich name op het nader specificeren van de globale eindtermen van het examenprogramma (hoofdstuk 3). Bij de geformuleerde specificaties zijn voorbeeld(examen)opgaven opgenomen ter verduidelijking van de specificaties en om een indicatie te geven van het niveau dat van de kandidaten bij die specificaties wordt verwacht (hoofdstuk 4). Bij de specificaties is er vanuit gegaan dat de kandidaten bekend zijn met de algebraïsche vaardigheden (hoofdstuk 5) en examenwerkwoorden (bijlage 2). De syllabuscommissie heeft bij het opstellen van deze specificaties de uitgangspunten van de vernieuwingscommissie cTWO en de uitvoerbaarheid van het programma als leidraad genomen. CTWO heeft de volgende uitgangspunten geformuleerd voor het examenprogramma wiskunde B havo: – De doelgroep van wiskunde B havo wordt gevormd door leerlingen die het profiel NT volgen en leerlingen in de profielen EM en NG die wiskunde B kiezen in plaats van wiskunde A. – Het vak bereidt voor op vervolgopleidingen met een sterk kwantitatieve en exacte component, zoals de technische sector van het hbo. Inhoudelijk ligt de nadruk op analyse en meetkunde, met ruime aandacht voor algebraïsche vaardigheden, formulevaardigheden en de inzichtelijke toepassingen daarvan. – Wiskunde B is een sterk en wiskundig samenhangend programma dat past in het NT-profiel. Door ruimte te creëren voor toepassingen en contexten uit bètavakken, onder meer natuurkunde, wordt daarnaast samenhang met andere exacte vakken gerealiseerd. – In wiskunde B komt een aantal wiskundige kernconcepten aan de orde en wordt aandacht besteed aan begripsvorming en aan redeneren. Een smal en diep programma verdient dan ook de voorkeur boven een breed en oppervlakkig curriculum. – De samenhang met andere exacte vakken, zoals wiskunde D, NLT, natuurkunde, scheikunde en biologie, is een punt van aandacht. Het modelleren van natuurwetenschappelijke verschijnselen speelt hierbij een grote rol. Het rapport van de werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde (zie www.ctwo.nl) bevat voor wat betreft de samenhang met natuurkunde een aantal concrete voorstellen. De specificaties voor wiskunde B havo in deze conceptsyllabus zijn opgesteld door de syllabuscommissie wiskunde B2.

2

De leden van deze commissie zijn: Juan Dominguez, Frank van den Heuvel, Marianne Lambriex, Alma Taal, Kees Rijke, Peter van Wijk (cTWO), Ruud Stolwijk (Cito), Jos Tolboom (secretaris, SLO) en Bert Zwaneveld (voorzitter, Open Universiteit)

pagina 6 van 37



2

Het centraal examen en het schoolexamen

2.1

Verdeling van de examenstof Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de domeinen B, C en D in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het CvE stelt het aantal en de tijdsduur van de zittingen van het centraal examen vast. Na vaststelling van de definitieve syllabus zal een voorbeeldexamen beschikbaar worden gesteld. Daarnaast kunnen eerder afgenomen pilotexamens een goed beeld geven van de te verwachten centrale examens vanaf 2017. Pilotexamens zijn de examens die op de pilotscholen van het nieuwe wiskunde B programma zijn/worden afgenomen. Deze examens zijn geconstrueerd aan de hand van de werkversies van de syllabus bij het experimentele examenprogramma wiskunde B. De pilotexamens zijn te vinden op www.cito.nl via Examenkandidaten - Centrale Examens – Schriftelijke examens havo/vwo. De werkversies van de syllabus (die ten grondslag liggen aan de pilotexamens) zijn te vinden op www.cve.nl via Onderwerpen – Centrale examens VO – Vakvernieuwingen – Wiskunde havo/vwo. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A en – domein D; – indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal examen betrekking heeft; – indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. In schema: Domein

in CE

moet in SE

A Vaardigheden

X

X

mag in SE

B Functies, grafieken en vergelijkingen

X

X

C Meetkundige berekeningen

X

X

D Toegepaste analyse 1 X X De formulering van de eindtermen van alle (sub)domeinen (het examenprogramma) staat in bijlage 1. Van de (sub)domeinen die in het centraal examen worden getoetst staat een gedetailleerdere beschrijving in hoofdstuk 3. 2.2

Hulpmiddelen Bij het centraal examen havo wiskunde B worden geen formules beschikbaar gesteld. De overige toegestane hulpmiddelen worden bekendgemaakt via www.examenblad.nl. In februari 2015 wordt een vooruitblik gegeven op de toegestane hulpmiddelen.

2.3

Vakspecifieke regels correctievoorschrift Significantie Pro memorie. Basiskennis Het examenprogramma bouwt voort op de veronderstelde basiskennis van de onderbouw havo.

pagina 7 van 37


3


Specificaties van de globale eindtermen voor het CE Domein A

Vaardigheden

Subdomein A1 Algemene vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die van belang zijn voor alle examenvakken, de wiskunde in het bijzonder. 1 De kandidaat heeft kennis van de rol van wiskunde in de maatschappij, kan hierover gericht informatie verzamelen en de resultaten communiceren met anderen. De kandidaat kan 1.1 doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken; 1.2 adequaat schriftelijk rapporteren over onderwerpen uit de wiskunde. Subdomein A2 Profielspecifieke vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die van belang zijn voor de profielvakken waarin de kandidaat examen doet, de wiskunde in het bijzonder. 2 De kandidaat kan profielspecifieke probleemsituaties in wiskundige termen analyseren, oplossen en het resultaat naar de betrokken context terugvertalen De kandidaat kan 2.1 een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of maatschappelijke context analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken; 2.2 een realistisch probleem in een context analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een wiskundig model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen; 2.3 met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten. Subdomein A3 Wiskundige vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die specifiek van belang zijn voor het programma wiskunde havo B 3 De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende wiskundige vaardigheden  te weten modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen  en kan daarbij ICT functioneel gebruiken. De kandidaat 3.1 beheerst de rekenregels; 3.2 beheerst de specifieke algebraïsche vaardigheden; 3.3 heeft inzicht in wiskundige notaties en formules en kan daarmee kwalitatief redeneren; 3.4 kan wiskundige informatie ordenen en in probleemsituaties de wiskundige structuur onderkennen; 3.5 kan bij een gegeven probleemsituatie een model opstellen in wiskundige termen; 3.6 kan op basis van een gegeven probleemsituatie een schatting maken van de uitkomst zonder deze uitkomst exact te berekenen;

pagina 8 van 37


3.7 3.8 3.9 3.10 3.11


kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en de gevonden oplossing controleren binnen de context; kan vakspecifieke taal interpreteren en gebruiken; kan de correctheid van wiskundige redeneringen verifiëren; kan eenvoudige wiskundige redeneringen correct onder woorden brengen; kan bij het raadplegen van wiskundige informatie, bij het verkennen van wiskundige situaties, bij het geven van wiskundige redeneringen en bij het uitvoeren van wiskundige berekeningen gebruik maken van geschikte ICTmiddelen.

Domein B

Functies, grafieken en vergelijkingen

Subdomein B1 Standaardfuncties 4 De kandidaat kan standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële en logaritmische functies en goniometrische functies) hanteren, interpreteren binnen een context, de grafieken beschrijven en in een functievoorschrift vastleggen en werken met eenvoudige transformaties. Parate kennis De kandidaat kent:  de lineaire of eerstegraadsfunctie f ( x )  a x  b , evenals de naam rechte lijn voor de grafiek ervan; 

de kwadratische of tweedegraadsfunctie f ( x )  a x  b x  c of 2

f ( x )  a ( x – p )( x – q ) of f ( x )  a ( x  r )  s evenals de naam parabool voor 2

de grafiek ervan; p



de machtsfunctie f ( x )  x



de exponentiële functie f ( x )  a en de logaritmische functie f ( x ) 



evenals de begrippen grondtal en exponent en de rekenregels voor machten en logaritmen; de goniometrische functies f ( x )  s in x en f ( x )  c o s x , evenals de begrippen



   

, p is een rationaal getal; x

a

lo g x ,

radiaal, periode, amplitude en evenwichtsstand; ax  b de gebroken lineaire functie f ( x )  , evenals de naam hyperbool voor de cx  d grafiek ervan; de karakteristieke eigenschappen van functies: domein, bereik, extreem, minimum, maximum, stijgen, dalen, toenemend of afnemend stijgen of dalen; de karakteristieke eigenschappen van grafieken: snijpunt met de -as, snijpunt met de -as, top, symmetrie en asymptotisch gedrag; de transformaties lijnvermenigvuldiging en translatie; het begrip inverse functie.

Reproductie De kandidaat kan: 4.1 van de standaardfuncties en hun grafieken de karakteristieke eigenschappen bepalen; 4.2 van de standaardfuncties de grafiek tekenen en daarbij gebruik maken van de karakteristieke eigenschappen;

pagina 9 van 37


4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

4.9 4.10 4.11


de verschillende schrijfwijzen van tweedegraads functies hanteren en interpreteren; bij een grafiek van een standaardfunctie het functievoorschrift opstellen; de grafiek van een functie beschrijven door middel van de karakteristieke eigenschappen; karakteristieke eigenschappen van de standaardfuncties en grafieken gebruiken bij het oplossen van problemen; een exponentiële functie beschrijven met behulp van de termen beginwaarde en groeifactor; de inverse functie van een exponentiële functie schrijven als een logaritmische functie en omgekeerd en bij machtsfuncties schrijven als functie van (op domein ℝ+); op een grafiek een translatie en/of lijnvermenigvuldiging ten opzichte van - of -as uitvoeren; het functievoorschrift opstellen dat hoort bij de nieuwe grafiek die is ontstaan na transformatie van een gegeven grafiek het functievoorschrift opstellen van de somfunctie of de verschilfunctie van twee functies.

Productie De kandidaat kan: 4.12 twee functies samenstellen door middel van een ketting en het functievoorschrift opstellen van de samengestelde functie; 4.13 van een samengestelde functie de karakteristieke eigenschappen bepalen; 4.14 op een grafiek een combinatie van een lijnvermenigvuldiging en een translatie toepassen; 4.15 in een gegeven probleemsituatie een formule opstellen of, als de formule is gegeven, de karakteristieke eigenschappen van de bijbehorende grafiek bepalen en de resultaten ervan terugvertalen naar de probleemsituatie. 4.16 de inverse functie bepalen van een samengestelde functie als bedoeld in 4.12. Subdomein B2 Vergelijkingen en ongelijkheden 5 De kandidaat kan eenvoudige vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels van twee lineaire vergelijkingen oplossen, in voorkomende gevallen grafisch oplossen of de oplossingen numeriek benaderen en de oplossingen interpreteren in de context. Parate kennis De kandidaat kent:  de begrippen lineaire en eerstegraads vergelijking;  de begrippen kwadratische en tweedegraads vergelijking;  het begrip stelsel van vergelijkingen;  de abc-formule. Reproductie De kandidaat kan: 5.1 een vergelijking die te herleiden is tot een lineaire vergelijking oplossen; 5.2 een vergelijking die te herleiden is tot een kwadratische vergelijking oplossen; 5.3

een vergelijking die te herleiden is tot het type x

n

 c;

pagina 10 van 37



x

 c of

a

lo g x  c ;

5.4

een vergelijking, die te herleiden is tot het type a

5.5

een vergelijking oplossen van het type f ( x )  g ( x ) waarbij f en g functies zijn

5.6 5.7

zoals genoemd in subdomein B1; een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen; een ongelijkheid oplossen van het type f ( x )  g ( x ), f ( x )  g ( x ) of f ( x )  g ( x ), f ( x )  g ( x ) waarbij f en g standaardfuncties zijn.

Productie De kandidaat kan: 5.8 een vergelijking dan wel een ongelijkheid opstellen aan de hand van een gegeven probleemsituatie, de vergelijking of ongelijkheid oplossen en de oplossingen van deze vergelijking of ongelijkheid interpreteren; 5.9 een vergelijking met een parameter oplossen en de oplossing schrijven als functie van de parameter; 5.10 een ongelijkheid van de vorm f ( x )  c , f ( x )  c of f ( x )  c , f ( x )  c , waarbij f een samengestelde functie is zoals bedoeld in 4.12, oplossen. Subdomein B3 Evenredigheidsverbanden 6 De kandidaat kan verbanden tussen de twee grootheden a en b van de vorm herkennen, toepassen en bijbehorende grafieken tekenen, vanuit de beschrijving van een dergelijk verband een formule opstellen, de evenredigheidsconstante bepalen en redeneren over het effect van schaalvergroting. Parate kennis De kandidaat kent:  de begrippen recht evenredig, omgekeerd evenredig, evenredig met een macht, evenredigheidsconstante;  het verschil tussen een lineair verband en een recht evenredig verband; c  formules van de vorm y  c x en y  als respectievelijk een recht evenredig en x een omgekeerd evenredig verband. Reproductie De kandidaat kan: 6.1 aan de hand van een gegeven situatie bepalen of er sprake is van een recht evenredig of een omgekeerd evenredig verband; 6.2 6.3

met de algemene vorm van het machtsverband a  c  b

d

in een concrete situatie van een machtsverband a  c  b

d

rekenen; tussen twee

grootheden a en b de exponent d en de evenredigheidsconstante c bepalen. Productie De kandidaat kan: 6.4 in een concrete situatie een vergelijking opstellen waarbij gebruik is gemaakt van het machtsverband tussen twee grootheden, de vergelijking oplossen en de oplossingen interpreteren.

pagina 11 van 37



Subdomein B4 Periodieke functies 7 De kandidaat kan periodieke verschijnselen beschrijven door middel van sinus- of cosinusfuncties, de bijbehorende sinusoïden tekenen en de karakteristieke eigenschappen ervan benoemen en alle oplossingen van een eenvoudige goniometrische vergelijking op een gegeven interval bepalen. Parate kennis De kandidaat kent: 

de exacte waarden van sin x en cos x waarbij x een veelvoud van

1 6

π of

1 4

π is.

Reproductie De kandidaat kan: 7.1 graden omrekenen in radialen en omgekeerd; 7.2 de grafiek tekenen van functies van de vorm f ( x )  d  a  s i n b ( x  c ) en

f (x)  d  a  cos b(x  c) ; 7.3 7.4 7.5 7.6

vergelijkingen van het type f

x 

c oplossen met f een functie als

hierboven genoemd; de periodiciteit gebruiken bij het vinden van alle oplossingen van een goniometrische vergelijking in een gegeven interval; aan de hand van gegevens over een periodiek verschijnsel het bijbehorende functievoorschrift opstellen; van een sinusoïde het bijbehorende functievoorschrift opstellen.

Productie De kandidaat kan: 7.7 een concrete situatie modelleren met een goniometrische functie, het functievoorschrift opstellen, daarmee berekeningen uitvoeren en de resultaten interpreteren. Domein C Meetkundige berekeningen Opmerking 1: Dit domein betreft de meetkunde in het platte vlak. De ruimte kan wel als context optreden waarin de vlakke meetkunde zich voordoet. Opmerking 2: De specificaties in dit domein gaan voor wiskundige toepassingen uit van een cartesisch assenstelsel. Subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situaties 8 De kandidaat kan afstanden en hoeken berekenen met behulp van goniometrische verhoudingen, de stelling van Pythagoras en de sinus- en cosinusregel. Parate kennis De kandidaat kent:  het begrip afstand als de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen twee meetkundige figuren.

pagina 12 van 37



Reproductie De kandidaat kan: 8.1 sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek; 8.2 de stelling van Pythagoras gebruiken om de afstand tussen twee punten te berekenen; 8.3 de sinus- en cosinusregel gebruiken voor het berekenen van de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken in een driehoek; 8.4 met gelijkvormigheid de lengte van lijnstukken berekenen. Productie De kandidaat kan: 8.5 voor het oplossen van een meetkundig probleem gebruik maken van een combinatie van gelijkvormigheid en/of de genoemde technieken voor het berekenen van afstanden en de grootte van hoeken. Subdomein C2 Analytische methoden 9 De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren aan de hand van gegeven profielspecifieke contexten en figuren. Parate kennis De kandidaat kent:  de vergelijking van een lijn in de vorm y  m x  n en in de vorm a x  b y  c ; 

de eigenschap dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee loodrecht op elkaar staande lijnen gelijk is aan –1 en omgekeerd;



van een cirkel een vergelijking in de vorm ( x  a )  ( y  b )

2

x

2

 y

2

2

 r

2

en in de vorm

 ax  by  c  0 .

Reproductie De kandidaat kan: 9.1 de hoek tussen twee lijnen berekenen; 9.2 de vergelijking van de loodlijn door een gegeven punt op een lijn opstellen; 9.3 uit een vergelijking van een cirkel de straal en de coördinaten van het middelpunt afleiden; 9.4 de vergelijking van de raaklijn opstellen in een gegeven raakpunt; 9.5 de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen berekenen; 9.6 de oplosbaarheid van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in verband brengen met de onderlinge ligging van de bijbehorende lijnen; 9.7 in een coördinatenstelsel de lengte van een lijnstuk berekenen. Productie De kandidaat kan: 9.8 de coördinaten van de snijpunten van een lijn en een cirkel berekenen; 9.9 de afstand tussen punten, lijnen en cirkels berekenen; 9.10 het aantal snijpunten van een lijn en een cirkel berekenen.

pagina 13 van 37


Domein D


Toegepaste analyse

Subdomein D1 Veranderingen 10 De kandidaat kan het veranderingsgedrag van een functie, gegeven door grafiek, tabel of formule, beschrijven door middel van toenamediagrammen en differentiequotiënten en kan differentiequotiënten berekenen en interpreteren, ook vanuit een profielspecifieke probleemsituatie. Parate kennis De kandidaat kent:  het begrip interval en de intervalnotatie;  de Δ-notatie voor een differentie. Reproductie De kandidaat kan: 10.1 vanuit een gegeven toenamediagram conclusies trekken over het verloop van een grafiek en die grafiek schetsen; 10.2 een toenamediagram bij een gegeven grafiek, tabel of formule tekenen en daaruit conclusies trekken; 10.3 differentiequotiënten berekenen in geval de functie is gegeven door een grafiek, tabel of formule; 10.4 differentiequotiënten interpreteren als maat voor de gemiddelde verandering in de waarde van een functie op een interval. Productie De kandidaat kan: 10.5 het veranderingsgedrag van variabelen beschrijven met behulp van toenamediagrammen en differentiequotiënten. Subdomein D2 Afgeleide functies 11 De kandidaat kan de afgeleide functie begripsmatig interpreteren en kan lokale veranderingen van een functie benaderen zowel met een differentiaalquotiënt als numeriek-grafisch. Parate kennis De kandidaat kent: 

de diverse notaties voor de afgeleide functie, zoals f '( x ) ,

dy dx

,

df (x) dx

,

ds

.

dt

Reproductie De kandidaat kan: 11.1 een differentiaalquotiënt benaderen door differentiequotiënten met afnemende intervalgrootte; 11.2 het differentiaalquotiënt interpreteren als de helling of steilheid van een grafiek in een punt en daarmee een vergelijking van de raaklijn in dat raakpunt opstellen.

pagina 14 van 37



Productie De kandidaat kan: 11.3 de grafiek van de afgeleide functie schetsen in geval de functie is gegeven door een grafiek; 11.4 de grafiek van de functie schetsen als de grafiek van de afgeleide functie is gegeven; 11.5 conclusies trekken over (lokale) veranderingen van functiewaarden op basis van de afgeleide functie, een differentiaalquotiënt of een numeriek-grafische methode. Subdomein D3 Bepaling afgeleide functies 12 De kandidaat kan de afgeleide functie van machtsfuncties met rationale exponenten bepalen en kan voor het bepalen van de afgeleide functie gebruik maken van de som-, verschil- en kettingregel. Reproductie De kandidaat kan: 12.1 de afgeleide bepalen van machtsfuncties met rationale exponenten; 12.2 de somregel en verschilregel gebruiken bij het bepalen van de afgeleide functie; 12.3 de kettingregel gebruiken bij het bepalen van de afgeleide van samengestelde functies, waarvan de eerste functie lineair is en de tweede functie een standaardfunctie; 12.4 het verband aangeven tussen de afgeleide van een functie f ( x ) en die van

f ( x )  c , f ( x  c ) , c  f ( x ) en f ( c  x ) . Productie De kandidaat kan: 12.5 een combinatie van somregel, verschilregel en kettingregel gebruiken bij het bepalen van een afgeleide functie; Subdomein D4 Toepassing afgeleide functies 13 De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren gericht op profielspecifieke contexten. Parate kennis De kandidaat kent:  de betekenis van de afgeleide functie als de helling van de grafiek van een functie. Reproductie De kandidaat kan: 13.1 de afgeleide functie gebruiken bij het opstellen van de vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek van een functie; 13.2 de afgeleide functie gebruiken bij het verifiëren en bij het bepalen van extremen van een functie; 13.3 de afgeleide functie gebruiken bij het bepalen van een raaklijn met een gegeven helling.

pagina 15 van 37



Productie De kandidaat kan: 13.4 in een gegeven probleemsituatie de afgeleide functie gebruiken voor het bepalen van een optimale situatie; 13.5 een optimaliseringsprobleem vertalen in een formule en dit probleem vervolgens met behulp van de afgeleide functie of numeriek-grafisch oplossen.

pagina 16 van 37


4


Voorbeeld(examen)opgaven In dit hoofdstuk worden voorbeeldvragen gegeven ter verduidelijking van een aantal specificaties in de syllabus. Om ook een indicatie te geven van het niveau waarop kandidaten deze specificaties dienen te beheersen op het centraal examen, wordt zoveel mogelijk verwezen naar vragen uit opgaven afkomstig uit de reeds afgenomen pilotexamens. De pilotexamens zijn te vinden op www.cito.nl via Examenkandidaten Centrale Examens – Schriftelijke examens havo/vwo. Bij een aantal specificaties bleek het echter niet mogelijk te verwijzen naar de pilotexamens. Voor deze specificaties zijn een aantal losse vragen opgenomen. Deze vragen zijn slechts bedoeld ter verduidelijking van de specificaties. Domein B

Functies, grafieken en vergelijkingen

Specificatienummer 4.1 en 4.13 4.4 4.6 4.9 4.9 en 4.10 4.15 4.1, 4.6 en 5.8 5.1 5.1 en 5.2 5.2 5.4 5.5 5.2, 5.8 en 5.10 5.3, 5.8 en 5.10 5.5 5.4 6.4 7.3 7.6 5.3 en 7.3 Domein C

Vraag in pilotexamen pilot 2011-1 vraag 3 pilot 2011-1 vraag 5 en vraag 10 pilot 2011-1 vraag 17 pilot 2011-2 vraag 7 pilot 2012-1 vraag 6 pilot 2012-1 vraag 14 en vraag 15 pilot 2012-1 vraag 3 en vraag 5 pilot 2011-1 vraag 2 pilot 2011-1 vraag 10 pilot 2012-1 vraag 4 en pilot 2011-1 vraag 15 pilot 2012-1 vraag 16 en pilot 2011-1 vraag 18 pilot 2011-1 vraag 11 pilot 2012-1 vraag 2 pilot 2012-1 vraag 3 en vraag 15 pilot 2012-1 vraag 12 en vraag 13 pilot 2012-1 vraag 16 pilot 2012-2 vraag 16 pilot 2012-1 vraag 12 pilot 2011-1 vraag 13 pilot 2011-1 vraag 14

Meetkundige berekeningen

Specificatienummer 8.1 en 8.3 8.2 8.2, 9.3 en 9.8 8.4 9.1 9.2 9.2 9.3 9.5 9.7 9.7 9.9 8.3, 8.4 en 9.6

Vraag in pilotexamen pilot 2012-1 vraag 9 en 10 pilot 2011-2 vraag 9 en 10 pilot 2012-1 vraag 7 pilot 2012-1 vraag 17, hb pilot 2012-2 vraag 6 en vraag 9 pilot 2012-1 vraag 8, hb pilot 2011-1 vraag 8 pilot 2011-1 vraag 7 pilot 2011-2 vraag 17 Vraag C1 in de lijst hierna Vraag C2 in de lijst hierna pilot 2011-1 vraag 19 Vraag C3 in de lijst hierna Vraag C4 in de lijst hierna pilot 2011-1 vraag 19

pagina 17 van 37


Domein D


Toegepaste analyse

Specificatienummer 10.1 10.3 en 10.4 10.6 en 11.1 11.1 11.2 11.3 11.5 11.5 en 12.5 12.3 en 12.4 13.1 13.1, 13.2 en 13.3 13.3 13.4 11.5 en 13.5 12.1 en 13.2

Vraag in pilotexamen, dan wel in de lijst hierna vraag 2 in de lijst hierna vraag 4 en vraag 5 in de lijst hierna vraag 3 in de lijst hierna vraag 1a en vraag 6b in de lijst hierna pilot 2012-1 vraag 5 vraag 1b in de lijst hierna vraag 7b in de lijst hierna pilot 2011-1 vraag 4 in vraag 10 in de lijst hierna pilot 2012-1 vraag 5 en vraag 6a in de lijst hierna vraag 9 in de lijst hierna Voorbeeldexamen vraag 15 pilot 2012-1 vraag 3; vraag 8 in de lijst hierna vraag 11 in de lijst hierna vraag 7a in de lijst hierna

C1 Van een cirkel is gegeven de vergelijking x

2

 4x  y

2

 6 y  2 3 . Leid uit deze

vergelijking af wat de coördinaten van het middelpunt van de cirkel zijn en wat de straal van de cirkel is. C2 Gegeven is het stelsel lineaire vergelijkingen

y  2x 3x  ay  5

Voor welke waarde van a heeft dit stelsel geen oplossing? C3 Bereken de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de vergelijking (x  2)

2

 ( y  1)

2

 2 5 met de lijn y  4 x  1 .

C4 2

Gegeven zijn de cirkels Cr: ( x  5 )  ( y  8 )

2

 r

2

a. Bereken voor welke waarden van r het punt A(2, 0) binnen de cirkelboog ligt. b. Bereken voor welke waarde van r de cirkel precies één snijpunt heeft met de lijn y  x 1 De grafiek hiernaast gaat over het verloop van de temperatuur op een dag in mei. a. Bereken de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt op het moment t  1 0 . illustratie van 11.1 b. Schets de hellinggrafiek van T. illustratie van 11.3

pagina 18 van 37



3

2

Teken een grafiek die hoort bij het toenamediagram hiernaast als bovendien gegeven is dat de grafiek door het punt (3, –2) gaat. illustratie van 10.1

2 1 O

x -a s 1

2

3

4

5

-1 -2 -3

3

t

Gegeven is de formule s 

1

Hierin is

s de afgelegde afstand in meters na t

t

seconden. Benader in m/s de snelheid op

t = 4. Neem

 t  0 , 0 1 en rond af op

twee decimalen. illustratie van 11.1 en 10.6 4

Gegeven is de functie f

x 

2

 0, 5 x  4 x .

Het differentiequotiënt van f op het interval [ 2, Toon dit aan en bereken

a ] is –0,5(a – 6) .

a in het geval dit differentiequotiënt gelijk is aan – 4.

illustratie van 10.3 en 10.4 5

(naar CE havo wiskunde B1 2008-II) Nadat met een koffiezetapparaat koffie is gezet, wordt de temperatuur van de koffie in de kan enige tijd gemeten. Een formule die hierbij hoort is t

T  2 3  4 9  0 . 9 7 5 , met

t

in minuten en

T

in °C.

De snelheid (in °C per minuut) waarmee de koffie afkoelt op

t

= 5 is goed te

benaderen met een differentiequotiënt op het interval [5; 5,001]. Benader op deze manier de snelheid van afkoelen op t = 5 in °C per minuut. Rond je antwoord af op twee decimalen. illustratie van 10.3 en 10.4

6

(CE havo B1 2007-II) In onderstaande figuur zie je twee grafieken getekend. Het functievoorschrift van functievoorschrift van

g is

f is

f ( x)  0, 0 1x

g (x)  2 

3

3

 0, 2 x

2

 1, 5 5 x  2 en het

lo g ( x  3) .

pagina 19 van 37

6


a.


A is een punt op de grafiek van f en B is een punt op de grafiek van g. De xcoördinaat zowel A als B is 7. Zie de figuur. Bereken de exacte waarde van de helling van de grafiek van f in A met behulp van differentiëren. illustratie van 13.1 De helling van de grafiek van

g in punt B kan benaderd worden met een

differentiequotiënt op een voldoende klein interval. b. Bereken op deze manier de helling van de grafiek van

g in punt B. Geef je

antwoord in 2 decimalen nauwkeurig. illustratie van 11.1

7

(uit CE havo wiskunde B1 2004-II) Uit onderzoek blijkt dat het aantal bacteriën van een bepaalde bacteriecultuur onder bepaalde omstandigheden gedurende de eerste vier weken benaderd kan worden door de formule N   1 0 0t

3

 3 0 0t

2

 9 0 0t  1 0 0 0

(0 

t  4)

Hierbij is a.

N het aantal bacteriën en t de tijd in weken na t = 0. Bereken met behulp van differentiëren tot welk tijdstip t het aantal bacteriën

b.

stijgt. illustratie van 13.2, 12.4, 12.1, 11.7 Bereken met behulp van de afgeleide functie van

N op welk tijdstip t tussen 0 en 4

het aantal bacteriën het sterkst stijgt. illustratie van 11.8

pagina 20 van 37


8

Gegeven de functie f ( x )  

1 5


2

x  2 0 , met

x > 0. Tussen de y-as en het snijpunt

van de grafiek met de x-as wordt een punt

A op de grafiek gekozen. De projecties A op de x-as en y-as noemen we respectievelijk P en Q. Bereken exact hoe groot de oppervlakte van rechthoek OPAQ maximaal kan zijn. van

illustratie van 13.4 9

(uit CE vwo wiskunde B1, 2005 – I) 3

Gegeven is de functie f ( x )   0 , 0 1 x  0 , 1 x

2

De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van a.

Toon dit langs algebraïsche weg aan. illustratie van 13.2

b.

Bereken de coördinaten van het punt

 x

f gaat door een top van de grafiek van f.

P op de grafiek van f waar de raaklijn

evenwijdig is aan de raaklijn in de oorsprong. illustratie van 13.1 en 13.3 10 a.

2

Gegeven is de functie f ( x )  x . Licht elk van de volgende onderdelen toe uitgaande van het punt (2,4) op de grafiek van f . De grafiek van f wordt 3 omhoog getransleerd. Daardoor ontstaat de grafiek van functie g . Verklaar waarom g '( x )  f '( x ) .

b.

De grafiek van f wordt nu 3 naar links getransleerd. Daardoor ontstaat de grafiek van functie h . Verklaar waarom h '( x )  f '( x  3 ) .

c.

De grafiek van f wordt vermenigvuldigd met 3 t.o.v. de x-as. Daardoor ontstaat de grafiek van functie k . Verklaar waarom k '( x )  3  f '( x )

d. De grafiek van f wordt vermenigvuldigd met 3 t.o.v. de y-as. Daardoor ontstaat de grafiek van functie m . Verklaar waarom m '( x ) 

1 3

 f '( 1 x ) 3

illustratie van 12.3 en 12.4 11

De functie f is gegeven door

f(x) = log x. Onderzoek in welk punt van de grafiek

van f de helling van de raaklijn gelijk is aan 2,00. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig. Antwoordidee: Beschrijven hoe de grafiek van (log (x +0,001) – log (x))/0,001 geplot kan worden, gevold door een beschrijving hoe je kunt vinden voor welke waarde van x hier 2 uit komt; voor x = 0,217 komt er 2,00 uit. illustratie van 11.4 en 13.3

pagina 21 van 37


5


Algebraïsche vaardigheden In dit hoofdstuk worden de eisen wat betreft algebraïsche vaardigheden beschreven voor de examenkandidaten wiskunde havo en vwo, voor de programma’s wiskunde C (alleen vwo), wiskunde A en wiskunde B. De syllabuscommissies vinden het nodig voor algebra de overeenkomsten en verschillen voor deze vakken zo duidelijk mogelijk te omschrijven. Enkele argumenten hiervoor zijn:  docenten (en leerlingen) moeten een helder beeld hebben van de eisen die per vak worden gesteld aan het beheersen van algebraïsche vaardigheden,  het vervolgonderwijs moet duidelijk worden gemaakt op welke vaardigheden mag worden gerekend, gegeven de beperkte tijd die beschikbaar is voor het wiskundeonderwijs. In paragraaf 5.1 gaan we in op specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden. In paragraaf 5.2 staat de lijst van specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden. Per programma, havo A, havo B, vwo C, vwo A en vwo B, is aangegeven welke vaardigheden van toepassing zijn. In paragraaf 5.3 geven we specifiek voor wiskunde B van de havo een aantal voorbeelden van de specifieke algebraïsche vaardigheden, die in sommige gevallen ontleend zijn aan ‘oude’ examenopgaven.

5.1

Specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden Algebraïsche vaardigheden zijn geen doel in zichzelf, maar onderdeel van wiskundige activiteiten. Door algebraïsche expressies te bewerken kunnen we bijvoorbeeld de juistheid van beweringen aantonen, kunnen we het rekenwerk vaak vereenvoudigen en kunnen we vergelijkingen zo herschrijven dat ze exact zijn op te lossen. Om verder te verduidelijken wat van de examenkandidaten wordt verwacht maken we een onderscheid tussen specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden. Bij specifieke algebraïsche vaardigheden gaat het om parate kennis en het vlot kunnen toepassen van de bijbehorende vaardigheden op de voorkomende algebraïsche expressies. Deze vaardigheden hebben betrekking op algoritmisch werken en algebraïsch rekenen. Het gaat hier bijvoorbeeld om kennis en gebruik van rekenregels, inclusief het werken met haakjes, bij het invullen van getallen of variabelen in een expressie en het gebruik van algoritmen om een vergelijking op te lossen. Bij algemene algebraïsche vaardigheden spelen aspecten als aanpak, globale strategie, het herkennen van structuren en methoden, en doelgerichtheid een rol. Leerlingen moeten de structuur van een expressie kunnen herkennen, moeten kwalitatief kunnen redeneren aan de hand van een formule (zoals stijgen/dalen, symmetrie en asymptotisch gedrag), moeten een formule kunnen opstellen door het generaliseren van getallenvoorbeelden of het combineren van bekende formules, moeten verbanden zien tussen de verschillende representaties van een functie en moeten kunnen wisselen tussen ‘betekenisloos manipuleren’ en betekenis toekennen aan de variabelen en parameters. Samenvattend zijn de specifieke vaardigheden die vaardigheden waarvan wordt verwacht dat de examenkandidaat deze snel en geroutineerd kan uitvoeren, terwijl voor de algemene vaardigheden de examenkandidaat in staat moet zijn met inzicht en vooruit denkend te handelen.

pagina 22 van 37


5.2


Algebraïsche vaardigheden, een overzicht In het volgende overzicht hanteren we het in paragraaf 5.1 beschreven onderscheid in specifieke en algemene vaardigheden. De algebraïsche vaardigheden moeten in samenhang met het betreffende programma worden gelezen. De opsomming is indicatief. Vervolgens worden in paragraaf 5.3 bij een aantal categorieën korte voorbeelden gegeven waaruit valt af te lezen welke specifieke vaardigheden van een kandidaat worden verwacht. Bij de onderstaande opsomming van specifieke vaardigheden geldt zeker dat een deel (wellicht alleen in zijn grondvorm) reeds bekend verondersteld mag worden vanuit de onderbouw. Denk bijvoorbeeld aan de voorrangsregels en het werken met haakjes, eenvoudige breukvormen en wortels. Op de plaats van A , B , C en D in vergelijkingen van de volgende tabel kunnen ook eenvoudige expressies staan, zoals a x  b ,

a

en x 2 .

x

Niet aan de orde komen de regels die horen bij het differentiëren. De vaardigheden genoemd bij categorieën A t/m D moeten in beide richtingen kunnen worden uitgevoerd, tenzij anders is vermeld. Beperkende voorwaarden zoals bijvoorbeeld: noemers van breuken zijn ongelijk 0, vormen onder worteltekens zijn groter dan of gelijk aan 0, zijn niet altijd vermeld.

pagina 23 van 37



havo wiA wiB

Specifieke vaardigheden A A C AD  BC 1.   Breukvormen B

2.

D

A

A  BC

C  B

A A



AB



B Wortelvormen

1.



D

A



B C

A

B  AB

C

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

A C B D

A C B

AB 

A

2.

A 

A



B

C Bijzondere producten



C

C

B

5.

wiB

B

C

4.

vwo wiA

BD

B

3.

wiC

mits A , B  0

B

mits A  0 , B  0

B

1. haakjes wegwerken en ontbinden in factoren:

( x  a )( x  b )  x  ( a  b ) x  a b 2

havo A, vwo A en vwo C: alleen haakjes wegwerken

2. ( A  B )( C  D )  A B  A D  B C  B D 3.

A  2 AB  B

4.

A  B

2

2

2

2

 (A  B)

2

 ( A  B )( A  B )

5. kwadraat afsplitsen:

x

x

x

x

x

x

x  p x  q schrijven in de vorm 2

(x  r)  s 2

pagina 24 van 37



havo wiA wiB

Specifieke vaardigheden p q pq D 1. a  a  a Machten en p a pq logaritmen 2.  a q

wiC

vwo wiA

wiB

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

a

3.

(a )

4.

(ab)

p

1

5.

 a

p q

p

 a

p

 a

p

a

q

b

p

 p

1 p

met p positief en geheel

6.

p

7.

g

lo g ( a )  lo g ( b )  lo g ( a  b )

x

x

x

8.

g

lo g ( a )  lo g ( b )  lo g ( b )

x

x

x

9.

g

lo g ( a )  p  lo g ( a )

x

x

x

x

x

x

x

a  a

g

g

g

g

p

g

p

10.

g

a

lo g ( a ) 

p

lo g ( a )

x

lo g ( g )

x

vwo C: alleen p  1 0 11.

g

lo g ( a ) 

ln ( a ) ln ( g )

E Goniometrie F Herleidingen uitvoeren aan de hand van de elementen genoemd bij A tot en met D G Vergelijkingen oplossen met behulp van algemene vormen

x

voor formules zie betreffende domein

x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

A  B  0  A  0 of B  0

x

x

x

x

x

A  B  A  C  A  0 of B  C

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1. via substitutie van getallen 2. via substitutie van expressies 3. via het omwerken van formules

1. 2.

vwo C en havo A: A  B  A C, A  0  B  C

3.

A

 C  A  B C

B

4.

A



B

5. 6.

A

C

 A  D  B C

D 2

 B

2

x

 A  B of A   B

A  B  A  B

2

mits A , B  0

x

x

pagina 25 van 37

x



havo wiA wiB

Specifieke vaardigheden 1. eerstegraadsvergelijkingen H Vergelijkingen a x  b  0  x   ba oplossen via 2. tweedegraadsvergelijkingen algoritmen

x

x

wiC

vwo wiA

wiB

x

x

x

x

x

abc-formule

ax  bx  c  0  x  2

b 

b

2

 4ac

2a

3.

x

n

 c  x  c

1 n

als

n

x  c  x  c of x  c n

4. 5.

I Vergelijkingen oplossen met behulp van standaardfuncties K Vergelijkingen en ongelijkheden van het type f ( x )  g ( x ) resp.

g e

x

x

x

oneven is

1 n

1 n

als

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

even is

 a  x  lo g ( a ) g

 a  x  ln ( a )

6.

g

7.

ln ( x )  b  x  e

lo g ( x )  b  x  g

x

b

x

b

x

8.

x  c  x  c of x  c

1.

f ( A)  c

x

x

2.

f ( A)  f (B )

x

x

1. grafisch 2. exact, indien f en g lineair zijn 3. vergelijkingen en ongelijkheden die niet vallen onder 2. exact, indien mogelijk

x x

x x x

f (x)  g (x)

oplossen

pagina 26 van 37

x x

x x x

x x x



havo wiA wiB

Algemene vaardigheden 1. door variabelen te kiezen bij een L probleemsituatie Formules opstellen

wiC

vwo wiA

wiB

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2. van standaardfunctie a.

eerstegraads/lineaire functie

x

b. tweedegraadsfunctie c.

x

exponentiële functie

x

x

d. logaritmische functie

x

x

x

e.

goniometrische functie

x

x

x

f.

machtsfunctie

x

x

x

g. absolute waarde functie

x

3. door generaliseren via getallenvoorbeelden

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b. tweedegraadsfuncties

x

x

x

x

x

c.

x

x

x

x

x

d. logaritmische functies

x

x

x

x

e.

goniometrische functies

x

x

x

f.

machtsfuncties

4. door schakelen van formules M Expressies herkennen

N Karakteristieken bepalen

1. vaststellen of een (deel)expressie behoort tot een van de volgende families a.

eerstegraads/lineaire functies

exponentiële functies

x

x

x

x

x

2. structuur van een expressie vaststellen

x

x

x

x

x

3. rol van een voorkomende parameter bepalen

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

kwalitatief redeneren over expressies of delen daarvan met betrekking tot karakteristieken als a.

uiterste waarden

b. stijgen of dalen c.

x

symmetrie

d. asymptotisch gedrag

x

x

pagina 27 van 37

x


O Algebraïsche expressies reduceren en representeren


1. complexe delen van een expressie vervangen door 'plaatsvervangers' zodat herkenbare expressies ontstaan

x

x

x

2. flexibel kunnen wisselen tussen betekenis toekennen aan symbolen en betekenisloos kunnen manipuleren

3. flexibel verschillende representaties van

x

x

x

functies (formule, tabel, grafiek) kunnen inzetten en tussen deze representaties kunnen wisselen

pagina 28 van 37

x

x

x

x

x


5.3


Voorbeeldvragen algebraïsche vaardigheden wiskunde B havo De eisen die aan de wiskunde B kandidaten worden gesteld ten aanzien van algebra zijn divers. Zo moet een kandidaat in staat zijn algebra te gebruiken bij het modelleren en oplossen van een in een context gesteld probleem, maar zal hij ook in staat moeten zijn om een meer abstracte opgave op te lossen of een algebraïsch bewijs te leveren. Algebraïsche activiteit (voorbeelden van specifieke vaardigheden) 1 3 A  1. als één breuk schrijven 4 7 Breukvormen 6 1 15  7 of 2. 4 2 2 5 3.

1 x

4.

1 x

1

3

x

1

1



2

x y

xy

6.

3

y  x



2

2

x y

2

5.

3

4

2a b 10a b  5c 2c

a ab a

a



3



1

6

2a



c

a

ab

2

2

2

b

2 960

7.

37, 5 

18000

 180 x 

x

x

2 B Wortelvormen

2

A B 

2.

12 

3  3 3

3.

4x 

x  3

5

4.



9

1

2



7 1.

(2 x 

2.

x

x

2

2

A



B ( A  0)

5

5 of

3

2x

(o f

2

x

7)

( x  0)

7

7 1 2 ) 2

B  A

x

3

4x

5. C Bijzondere producten

2

1.

 180 x

2

 4x  2x 

1 4

 8 x  5  (x  4)

2

 11

 8 x  5  (x  4)

2

 11

pagina 29 van 37


D Machten en logaritmen

1.

5

(a

2

3

b )(a b c )  a


2

2

b c 

b c 2

a

2.

2

3.

3

2x

x

x

 (2 )

3

100c

5. E Goniometrie

2.

5



c

0 ,0 5 x

 4

3

 1000  g

a  sin ( 1   x )  co s( 2

1 6

x

x

lo g (5 )

2

5 12

x

m e t g  ...

  x ) . Bereken de exacte waarde van a als

. Geef alle exacte oplossingen: a. s i n ( x )  b. c o s ( 2 x 

3.

2

 (2 )

10

1 0 0 0  ( 0 , 1)

1.

x 

2x

 5 oplossen geeft x 

10c

4.

of 2

2

1 2

1 4

3

) 

1 2

Bepaal de exacte coördinaten van de top(pen) van de grafiek van a. f ( x ) 

1 2

 2 sin (2( x 

1 3

 ) ) met 0  x  2 

b. g ( x )  3 s i n ( 2 x   )  4 met 0  x   4.

(naar CE havo wiskunde B, 2009-I) Op het interval [–  ,  ] zijn gegeven de functies f ( x )  s i n ( x ) en

g ( x)  cos( x 

1 4

) .

Hiermee wordt de functie h gedefinieerd: h ( x )  s in ( x )  c o s ( x 

1 4

)

a. Maak een nette schets van de grafiek van de functie h op het gegeven interval. b. Bereken op algebraïsche wijze de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van h met de x-as. F 'Herleidingen' uitvoeren aan de hand van de elementen genoemd bij A-D

x

1. 2x

2

2

 x

3

herleiden tot

1 2 x

2.

 x  1  1 kunnen verklaren waarom:  1       y  x  y  y 

3.

a uitdrukken in b als gegeven is:

4.

Substitueer x = t – 1 in x

2

4a a b

 10  b

– 2x + 8 en schrijf zonder haakjes.

pagina 30 van 37


5.


u

Substitueer voor t de uitdrukking

 1 en schrijf als som van machten

2 4t

van u:

6.

2

2t  2

De formule lo g W  0 , 0 7 5 N  0 , 4 met behulp van algebra omwerken tot W  b  g

7.

N

T  12 .

Gegeven is D  6 , 9

Schrijf T als functie van D. 8.

CE havo wiskunde B1,2 2005-I vraag 21: 3

Gegeven is de functie f ( x )   x  2 7 x  4 4 . Een familie van functies is gegeven door h ( x )  ( x  4 ) ( p  4 x  x ) , 2

waarbij p elk reëel getal kan voorstellen. Toon aan met behulp van algebra dat er een waarde van p is waarbij de bijbehorende functie h gelijk is aan de functie f. 9.

CE havo wiskunde B1,2 2004-I vraag 17: Gegeven zijn de functies f ( x )  lo g ( 4  x ) en

g ( x )  2  lo g ( x  2 ) .

Met domein –2 < x < 4 is de functie h gegeven door h(x)  f (x)  g (x) . Het functievoorschrift van h kan geschreven worden als h ( x )  l o g (1 6  1 2 x  x ) . 3

Toon dit algebraïsch aan. G, H, K en L

1.

Los exact op

a. x  x  0 b. x ( x  2 ) ( x  2 )  x  2 3

c.

v v 1

 2

d. ( x  3 )  1 6  x  3  4 o f x  3   4 e t c . 2

e.

4

1 2

3  0

t

f. 2 x  4 

1 2

g. x  5 x  2

x 1 4

2 . De oplossing is x 

4

2 3 2



8 3



2 3

 0

1) Met kwadraatafsplitsen: ( x 

x  

5 2



6 of 

5 2



5 2 ) 2

 6  0 , dus

6

pagina 31 van 37

2



2) Met de abc-formule: x 

5 

24

2

h.

4

 x

x

i.

( p  1)  6  p

j. 2

2x

 32

x

 1 0  0 (noem 2

x

 p)

k. x  x  6  0 4

2.

2

(CE havo wiskunde B1,2 2005-I vraag 22) Gegeven is de familie functies (voor elke waarde van p) f ( x )  ( x  4)( p  4 x  x ) . 2

De grafiek van f heeft twee toppen A en B. Punt A ligt links van de y-as en punt B rechts van de y-as. Aangetoond kan worden dat de xcoördinaten van deze twee toppen (xA en xB) als volgt afhangen van de waarde van p: xA  

p  16

en x B 

3

p  16

.

3

Bereken algebraïsch voor welke waarde van p geldt dat xB = 8. 3.

x  1  x omwerken tot x  ( x  1) , met x  1 ; 2

De vergelijking

vervolgens kan deze tweedegraadsvergelijking exact worden opgelost. 4.

Gegeven zijn de lijnen l en m door de vergelijkingen l : 2 x  3 y  1 0 en m : 3 x  p y  7 . a. De lijnen l en m snijden elkaar in een punt met x-coördinaat 8. Bereken p. b. De lijnen l en m zijn evenwijdig. Bereken p.

5.

Gegeven y  x

2

 4x  p .

De grafiek van y raakt de x-as. Bereken p. 6.

Gegeven zijn de functies f ( x )  3 x  5 en g ( x )   4 x  2 x . 2

Bereken op een exacte manier de oplossingen van de ongelijkheid f (x)  g (x) . 7.

We bekijken de lijnenfamilie y  p  x  1 . Bij iedere waarde van p hoort een lijn. Elke lijn van deze familie gaat door het punt (0,1). In de figuur hieronder zie je de lijnen getekend voor p = 1, 2 en 3. Je ziet ook de grafiek van de parabool

pagina 32 van 37


y  2  (x  4)

2


1.

We bekijken nu y  p  x  1 . Bereken voor welke waarden van p de lijn de parabool raakt (en dus één snijpunt met de parabool gemeen heeft).

I Vergelijkingen oplossen met behulp van standaardfuncties

1.

s i n (3 x )  1  0 algebraïsch oplossen

2.

10

3.

2

3x5

 x 1

 6 algebraïsch oplossen

 2

2x

algebraïsch oplossen

pagina 33 van 37


Bijlage 1

Examenprogramma


3

Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen Domein C Meetkundige berekeningen Domein D Toegepaste analyse Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de domeinen B, C en D in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het CvE stelt het aantal en de tijdsduur van de zittingen van het centraal examen vast. Het CvE maakt specificaties van de examenstof van het centraal examen bekend in een syllabus. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A en  domein D;  indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal examen betrekking heeft;  indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. Domein A: Vaardigheden Subdomein A1. Algemene vaardigheden 1 De kandidaat heeft kennis van de rol van wiskunde in de maatschappij, kan hierover gericht informatie verzamelen en de resultaten communiceren met anderen. Subdomein A2: Profielspecifieke vaardigheden 2 De kandidaat kan profielspecifieke probleemsituaties in wiskundige termen analyseren, oplossen en het resultaat naar de betrokken context terugvertalen. Subdomein A3: Wiskundige vaardigheden 3 De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende wiskundige vaardigheden  te weten modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen  en kan daarbij ICT functioneel gebruiken. Domein B: Functies, grafieken en vergelijkingen Subdomein B1: Standaardfuncties 4 De kandidaat kan standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële en logaritmische functies en goniometrische functies) hanteren, interpreteren binnen een context, de grafieken beschrijven en in een functievoorschrift vastleggen en werken met eenvoudige transformaties. Subdomein B2: Vergelijkingen en ongelijkheden 5 De kandidaat kan eenvoudige vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels van twee lineaire vergelijkingen oplossen, in voorkomende gevallen grafisch oplossen of de oplossingen numeriek benaderen en de oplossingen interpreteren in de context. 3

op basis van het voorstel dat door de vernieuwingscommissie cTWO is aangeboden aan het ministerie van OCW

pagina 34 van 37



Subdomein B3: Evenredigheidsverbanden 6 De kandidaat kan verbanden tussen de twee grootheden a en b van de vorm herkennen, toepassen en bijbehorende grafieken tekenen, vanuit de beschrijving van een dergelijk verband een formule opstellen, de evenredigheidsconstante bepalen en redeneren over het effect van schaalvergroting. Subdomein B4: Periodieke functies 7 De kandidaat kan periodieke verschijnselen beschrijven door middel van sinus- of cosinusfuncties, de bijbehorende sinusoïden tekenen en de karakteristieke eigenschappen ervan benoemen en alle oplossingen van een eenvoudige goniometrische vergelijking op een gegeven interval bepalen. Domein C: Meetkundige berekeningen Subdomein C1: Afstanden en hoeken in concrete situaties 8 De kandidaat kan afstanden en hoeken berekenen met behulp van goniometrische verhoudingen, de stelling van Pythagoras en de sinus- en cosinusregel. Subdomein C2: Analytische methoden 9 De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren aan de hand van gegeven profielspecifieke contexten en figuren. Domein D: Toegepaste analyse Subdomein D1: Veranderingen 10 De kandidaat kan het veranderingsgedrag van een functie, gegeven door grafiek, tabel of formule, beschrijven door middel van toenamediagrammen en differentiequotiënten en kan differentiequotiënten berekenen en interpreteren, ook vanuit een profielspecifieke probleemsituatie. Subdomein D2: Afgeleide functies 11 De kandidaat kan de afgeleide functie begripsmatig interpreteren en kan lokale veranderingen van een functie benaderen zowel met een differentiaalquotiënt als numeriek-grafisch. Subdomein D3: Bepaling afgeleide functies 12 De kandidaat kan de afgeleide functie van machtsfuncties met rationale exponenten bepalen en kan voor het bepalen van de afgeleide functie gebruik maken van de som-, verschil- en kettingregel. Subdomein D4: Toepassing afgeleide functies 13 De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren gericht op profielspecifieke contexten.

pagina 35 van 37


Bijlage 2


Examenwerkwoorden

Inleidende opmerkingen 1 Als in een examen een van de woorden uit onderstaande lijst wordt gebruikt, geldt de betekenis die hieraan in deze lijst is gegeven. Deze lijst met mogelijke examenwoorden is niet uitputtend. 2 De kruisjes in de tabel geven aan bij welke wiskundevakken van havo en vwo het woord de aangegeven betekenis heeft. Als er geen kruisje staat, kan het woord wel in het betreffende examen worden gebruikt maar wordt ter plekke aangegeven hoe het verstaan moet worden.

woord aantonen

afleiden (van een formule)

aflezen algebraïsch

bepalen berekenen

bewijzen

exact

herleiden (van een formule) onderzoeken

oplossen

schatten

toelichting een redenering en/of berekening waaruit de juistheid van het gestelde blijkt; in het algemeen geldt dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet een redenering en/of berekening waaruit de juistheid van een formule blijkt; in het algemeen geldt dat de formule controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet het antwoord is voldoende stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; tussenantwoorden en eindantwoord mogen benaderd worden de wijze waarop het antwoord gevonden wordt is vrij; een toelichting is vereist de wijze van berekenen is vrij; een toelichting is vereist;

havo A B X X

A X

vwo B X

C X

X

X

X

X

X

X

X X

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

de toevoeging ‘algebraïsch’ of ‘exact’ legt beperkingen op aan de wijze van berekenen een redenering en/of exacte berekening waaruit de juistheid van het gestelde blijkt;

X

X

X

X

X

X

in het algemeen geldt dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; de antwoorden mogen niet benaderd worden een expressie herschrijven in een gelijkwaardige vorm

X

X

X

X

X

de aanpak is vrij; een toelichting is vereist;

X

X

X

X

X

de toevoeging ‘algebraïsch’ of ‘exact’ legt beperkingen op aan de wijze van onderzoeken de wijze van oplossen is vrij; een toelichting is vereist; de toevoeging ‘algebraïsch’ of ‘exact’ legt beperkingen op aan de wijze van oplossen de wijze van schatten is vrij; een toelichting is vereist

X

X

X

X X

X

X X

X

X

X

X

X

X

pagina 36 van 37


woord van schetsen een grafiek tekenen van een grafiek


toelichting een schets van een grafiek moet voor de situatie kenmerkende eigenschappen van de grafiek bevatten zoals asymptoten, beginpunt, periodiciteit en toppen. een tekening van een grafiek moet, naast een assenstelsel met een schaalverdeling, de voor de situatie kenmerkende eigenschappen van de grafiek bevatten zoals asymptoten, beginpunt, periodiciteit en toppen; de tekening van de grafiek moet nauwkeurig zijn

havo X X

X

vwo X

X

X

X

X

X

X

pagina 37 van 37



pagina 38 van 37

WISKUNDE B HAVO CONCEPTSYLLABUS CENTRAAL EXAMEN 2017 (BIJ HET NIEUWE EXAMENPROGRAMMA)

Recommend Documents