WAVELET ÉS ENTRÓPIA ALAPÚ ALGORITMUSOK FIZIKAI PROBLÉMÁK MODELLEZÉSÉRE HABILITÁCIÓS TÉZISEK
NAGY SZILVIA PH.D. EGYETEMI DOCENS
GYŐR 2011.
Előzetes kutatások 1) A wavelet analízist Haar Alfrédnak az 1910-es években készített lépcsős bázisfüggvényeiből és a Gábor-transzformációtól szokták eredeztetni. Az 1980-as évek elején Alexander Grossmann és Jean Morlet bevezette az „ondelette” kifejezést a rövid, hullámcsomagszerű transzformációjuk bázisfüggvényére, s e név angol tükörfordításából keletkezett a „wavelet” elnevezés. Ronald Coifmann, Stéphane Mallat, Yves Meyer, Ingrid Daubechies [1] vezetésével hamarosan elméletileg is megalapozták a wavelet-analízist, avagy változó felbontású analízist (multiresolution analysis, MRA), ami napjainkra az egyik leggyorsabban fejlődő alkalmazott matematikai tudományterületté nőtte ki magát, alapvetően a kép- és adatfeldolgozási potenciálja miatt. Az MRA alkalmazásával ugyanis lehetőség nyílik arra, hogy – a Fourier-transzformációval ellentétben – a rendelkezésre álló adatfolyam különböző finomságú részleteket tartalmazó komponenseit lokálisan eltérő módon kezeljék, ezzel hatékony tömörítési eljárások hozhatók létre, ha csak ott tartják meg, illetve kvantálják nagy pontossággal a nagyfrekvenciás tagokat, ahol azokra valóban szükség van. A wavelet alapú bázisokat azonban nemcsak analízisre használják, hanem a végeselem-módszerek lehetséges alternatívájaként differenciálegyenlet-rendszerek megoldására is [2]. Rendkívül előnyös tulajdonsága ugyanis a diszkrét MRA bázisfüggvényinek – a végeselem módszerekkel, illetve a hagyományos, atomi, illetve gaussi bázist használó kvantummechanikai számításokkal szemben – az, hogy a konkrét rendszertől független, univerzális függvények. A skálázófüggvények, a waveletek mellett a változó felbontású analízis bázisfüggvényei, különböző felbontási szintek egymásba ágyazott, hierarchikus rendszerét alkotják, így alkalmasak arra, hogy tetszőleges négyzetesen integrálható függvényekből álló Hilbert-tér elemeit a kívánt pontossággal közelítsék, vagy a megfelelő hosszskálán analizálják. A felbontási szintek között mintegy átjárást biztosítanak a waveletek, így az esetlegesen már meglevő, durvább felbontású számolási eredmények a bázisrendszer eredendő tulajdonságaiból fakadóan egyszerűen és szisztematikusan finomíthatók. Mind a waveletek, mind pedig a skálázófüggvények előállíthatók egy-egy – igen speciális alakú – függvényből egyszerű nyújtások és egy megfelelő rácson való eltolások segítségével. Mindkét bázisfüggvényből létezik véges tartójú, akár többször deriválható típus is. Ez a tulajdonság kiválóan alkalmassá teszi őket az elektronfizikában vagy elektromágneses terek modellezésében való alkalmazásra, ugyanis, mivel véges intervallumba lokalizáltak – végtelen lecsengési farkak nélkül –, az átfedési integráljaik a legtöbb esetben nullát adnak, s az állandó alak miatt a nem nulla integrálok is csak néhány, magától a rendszertől független, csak a wavelet típusától függő, a felbontással triviálisan skálázódó értéket vehetnek föl [3]. Az atomi rendszerek elektronszerkezetének leírását szolgáló sűrűségfunkcionálelméleten (density functional theory, DFT) alapul napjaink néhány igen nagy hatékonyságú kvantumfizikai számítási módszere [4], többek között a waveleteket is alkalmazó BigDFT programcsomag is [5]. A sűrűségfunkcionál-elemélet szerint az atomi rendszerek alapállapoti energiája kiszámítható tisztán az elektronsűrűség-függvény funkcionáljaként, az N-részecskés hullámfüggvény mellőzésével. Mivel az elektronsűrűség matematikai szempontból pusztán egy helytől függő valós eloszlásfüggvény, míg a teljes, esetleg komplex értékű hullámfüggvény változói az N darab elektron koordinátái és 2
spinjei, az előbbi használata számítástechnikailag határozott könnyebbséget jelent. További, fizikai szempontból fontos előnye az elméletnek, hogy nem független részecske közelítés, azaz az elektronok közötti kölcsönhatást és korrelációt – elviekben legalábbis – figyelembe veszi. A gyakorlati megvalósulások során ezt úgy oldják meg, hogy bevezetnek egy kicserélődési-korrelációs energiatagot, ami azonban sajnos ismeretlen alakú, bár elég jó eredményeket adó közelítései ismertek, s ma is foglalkoznak ezen energiatag közelítésének tökéletesítésén. A sűrűségfunkcionál formalizmusban a kinetikus energia, az elektron–elektron-, valamint a külső potenciállal való kölcsönhatási energia mind olyan formába önthető, ahol egy integrálban redukált egy-, illetve kétrészecske-sűrűségmátrixok szerepelnek egy kifejezés elemeként. Az egy- és kételektron-sűrűségmátrixok eredeztethetők az Nrészecskés mátrixból, s így közvetve az elektronok hullámfüggvényéből; illetve belőlük egyszerűen számítható a sűrűség (sajnos fordítva nem egyértelmű a helyzet, fontos a sűrűség, illetve a sűrűségmátrixok N-reprezentálhatósága, azaz az, hogy egy fizikailag lehetséges N-elektron rendszert írjanak le). Korábban kifejtettük sűrűségfunkcionál formalizmus alapvető mennyiségeit a változó felbontású analízis bázisfüggvényeivel [6], s beláttuk, hogy a számítási és tárolási igények sokkal kisebbek lehetnek a hagyományos bázisfüggvényekhez képest. Ennek az egyik oka a következő. Egy viszonylag durva (0,5 atomi egységes) felbontási szint már kellően jól leírja az atomoktól távolabbi tartományok viselkedését. Négy-öt waveletekkel történő finomítás már a molekulák hullámfüggvényének, illetve sűrűségének nagy részét képes hűen visszaadni, csak az atommagok helyén fellépő, kis helyre lokalizált nukleáris csúcsok reprodukálásához kell tíz, vagy annál kicsivel több finomítás [7]. A waveletskálázófüggvény rendszerekből így lényegesen kevesebb bázisfüggvény kell, mint például síkhullámból (természetesen több, mint atomi bázisfüggvényekből, de míg a waveletek alakja független az aktuális rendszertől, az atomi bázisfüggvények rendszerről rendszerre változnak, s alkalmazásuk nehezen algoritmizálható emberi intuíciót igényel). A másik alapvető oka annak, hogy a számításigény waveletekkel sokkal kevesebb lehet, mint hagyományos bázisfüggvényekkel az, hogy az energia-várhatóértékek számítása nagyban egyszerűsödik. Az energia-várhatóértékek MRA-kifejtésében olyan integrálok szerepelnek, amelyekben kettő, illetve négy, egymáshoz képest eltolt skálázófüggvény vagy wavelet, illetve azok deriváltjainak szorzata szerepel, viszont mivel ezek a bázisfüggvények kompakt tartójúak, az integrálok nagy részében a függvények, amelyeket összeszorzunk, nem fednek át, így az integrálok a legtöbb esetben nullát adnak [7]. A skálázófüggvények és azok deriváltjainak szorzata ráadásul igen egyszerűen, egy kisméretű mátrix-sajátértékegyenlet megoldásával kiszámítható numerikus integrálás helyett. Ezekből könnyen algoritmizálható lineáris kombinációval létrehozhatók a vegyes, különböző szintű waveleteket is tartalmazó integrálok [3]. Az MRA bázisrendszer univerzális abban az értelemben, hogy nem függ az elektronrendszer paramétereitől, így még a fenti integrálokat sem kell minden rendszerre újra kiszámolni. A kétrészecskés sűrűségoperátor régóta ismert, nehezen kezelhető szingularitása a Kato-féle elektron–elektron csúcs (electron–electron cusp) [8]. Kifejtve a csúcsfeltételt különböző felbontási szintű skálázófüggvény-bázisban, kiderült, hogy a nehezen detektálható csúcs az offdiagonális kifejtési együtthatókat igen jellegzetesen befolyásolja [9]. Az elektron–elektron csúcsfeltétel különböző felbontási szinteken vett kifejtéseit vizsgálva olyan skálatulajdonságot tudtunk felírni, melynek segítségével a felbontás
3
fokozatos finomításakor a durvább részletekből a finomabb szerkezetre is tudtunk következtetni, mintegy megfordítva ezzel a renormalizációs csoport transzformációt. A változó felbontású analízis, tehát nagy reményekkel kecsegtető eszköz a kvantumfizikusok kezében, összhangban áll a természetes számítási alapfelfogásokkal, a részletek fokozatos, rendszeres bevezetésével; segíti a már ismert eredmények mélyebb megértését; s nem utolsó sorban esélyt ad új, kevésbé költséges számítási módok kialakítására. Ezeket a számítási módszereket pedig a fizikusokon és vegyészeken kívül a biológia és anyagtudomány szakemberei is eredménnyel alkalmazhatják mind molekulák, mind pedig szilárdtestek elektronszerkezetének feltérképezéséhez. A wavelet-alapú differenciálegyenlet-megoldó algoritmusokat az elektromágneses terek modellezésében is lehet alkalmazni [10], bár erre eddig nem sok példa akadt, valószínűleg a konkurens – például végeselem – módszerek hatékonysága és egyszerű használata miatt. 2) Az kvantummechanikában, információelméletben Neumann János, illetve Ralph Hartley és Claude Shannon által bevezetett entrópia fogalmát Rényi Alfréd általánosította. Ezek a Rényi-entrópiák szintén a rendszer valószínűség-eloszlását jellemzik, azonban a Neumann-féle entrópiával ellentétben nemcsak az eloszlás egyenletességét, hanem az egyenetlenségek egyéb paramétereit is le lehet velük írni. Két Rényi-entrópia különbsége – mint például a strukturális entrópia, vagy a betöltési arány logaritmusa [11] – általában alkalmas a valószínűség-eloszlás, ami praktikusan általában egy rács-disztribúció, lokalizációjának vizsgálatra a következőképpen. Ha a rendszer eloszlása valamilyen függvény szerint cseng le, azaz például exponenciális csúcsa, vagy gaussi dombja van, akkor függetlenül az eloszlás tényleges paramétereitől az azonos típusú lecsengések egy-egy görbét írnak le a Rényi-entrópiák különbségeinek síkján, s ezek a görbék elvileg minden lecsengéstípusra meghatározhatók [12]. Ha tehát egy rácson definiált valószínűség-eloszlás Rényi-entrópiáinak különbségét ábrázoljuk egymás függvényében – legyen szó akár elektronsűrűségről, mint a strukturális entrópia első definiálásakor, akár egy átnormált képről –, akkor megállapítható az eloszlás lecsengésének típusa úgy, hogy megvizsgáljuk, melyik típus görbéjére esik az ábrázolt pont. A mezoszkopikus mérettartományban, a mikroszkopikus és makroszkopikus világ határán az atomi rendszerek igen különlegesen viselkednek, s a strukturális entrópiát is eredetileg a kvantumfizikában használták arra, hogy megállapítsák, hogy bár az atomközi távolságokon az elektronpályák, függően az atommagoktól és a külső potenciáltól, általában kiterjedt vagy lokalizált jellegűek szoktak lenni – legalábbis független részecske közelítésben –, ám az úgynevezett köztes távolságokon (intermediate distance) már nemcsak a jól megszokott, exponenciális lecsengéssel rendelkező lokalizált pályák fordulnak elő, hanem jellemző az algebrai lokalizáció, sőt a fraktálszerű szerkezet is. Az ilyen, nagy bonyolultságú állapotok szerkezete, valamint azok energiaspektrumának nívószerkezete felépíthető egészen egyszerű, majd egyre bonyolultabb eloszlások szuperstruktúrájaként [12]. Ezek a szuperstruktúrák úgy képzelhetők el, hogy a kiterjedt rendszer elektronállapotai a különböző hosszúságskálákon más és más, viszonylag egyszerű szerkezetek kombinációjaként állnak elő. Hasonló szuperstruktúrák az élet számos területén, így pásztázó mikroszkópos felvételeken is előfordulnak. 4
A Moore-törvény szerint az integrált áramkörök bonyolultsága exponenciálisan növekszik, illetve az áramköri elemek mérete exponenciálisan csökken, így a közeljövőbe elérjük a néhány tíz nanométeres tranzisztorméretet. Ilyen rendkívül kicsi eszközöknél – amellett, hogy a kvantummechanikai hatások nagyban felerősödnek a makroszkopikus tulajdonságokban is –, az ohmos kontaktusok minőségét is nagymértékben javítani kell, hiszen a kis méretek mellett igen nagy teljesítménysűrűséget kell átvezetni az integrált áramkörökhöz. A kontaktusok fejlesztése során figyelembe kellett venni, hogy a tiszta fémek nem alkalmasak erre a célra, s a folyamat során kiderült, hogy a legjobb tulajdonságokat az arany, ezüst, vagy alumínium alapú ötvözetek képesek biztosítani [13]. A kontaktusok előállításának mikéntje igen széles skálán mozog, különböző növesztési és hőkezelési technikákat felsorakoztatva. A folyamat során a rendszer többnyire nemegyensúlyi állapotban van, ezért leírására az egyensúlyi jellemzők és fázisdiagramok nem alkalmazhatók. Jellemző az illékony komponensek egy részének eltávozása [14], illetve egyes összetevők bediffundálása a félvezető rácsába. A kialakult kontaktusok jellemzésére is többféle módszert alkalmaznak, az analitikai eljárásoktól a különböző pásztázó mikroszkópos vizsgálatokon át az elektromágneses tulajdonságok méréséig. A kapott vékony fémrétegek sokszor igen jellegzetes struktúrában szilárdulnak meg, amelyek a mikroszkópos felvételeken igen jól nyomon követhetők, s fraktál jellegű tulajdonságokat mutatnak [14–16]. A vegyület-félvezető fémkontaktusok topológiájának vizsgálatára alkalmas a strukturális entrópia alapú lokalizáció analízis is. Irodalomjegyzék: [1] Daubechies, I., Ten Lectures to Wavelets, CMBF-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics (SIAM Press, Philadelphia, Pennsylvania, 1992) [2] Dahmen, W., J. Comput. Appl. Math. 128, 123 (2001) [3] Dahmen, W., Micchelli, C.A., SIAM J. Numer. Anal. 30, 507 (1993). [4] Dreizler, R. M., Gross, E. K. U., Density Functional Theory (Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1990) [5] Genovese, L., Neelov, A., Goedecker, S., Deutsch, T., Ghasemi, S.A,. Willand, A., Caliste, D., Zilberberg, O., Rayson, M., Bergman, A., Schneider, R., J. Chem. Phys. 129, 014109 (2008). [6] Nagy, Sz., Pipek, J., Int. J. Quantum Chem. 84, 523 (2001) [7] Pipek, J., Nagy, Sz., J. Chem. Phys. 123, 144107 (2005) [8] Kato, T., Commun. Pure Appl. Math. 10, 151 (1957) [9] Pipek, J., Nagy, Sz., Phys. Rev. A 64, 052506 (2001) [10] Rickard, Y., Appl. Num. Math. 58, 472–485 (2008) [11] Varga, I, Pipek, J., Phys Rev E 68, 026202 (2003) [12] Pipek, J., Varga, I., Phys. Rev. A 46, 3148 (1992) [13] D. Kumar, phys. stat. sol., 139, 433 (2006). [14] Mojzes, B. Kovács, M. Schuszter, L. Máté, I. Kun, L. Dobos, and L. Dávid, Thin Solid Films, 317, 69 (1998). [15] L. Dávid, L. Dobos, B. Kovács, I. Mojzes, and B. Pécz, J. Mater. Sci: Mater. Electron, 17, 321 (2006). [16] Mojzes, S. Kökényesi, I. A. Szabó, I. Iván, and B. Pécz, Nanopages, 1, 85 (2006).
5
Tézisek I. Változó felbontású analízis alapú adaptív sajátértékegyenlet megoldó algoritmus kifejlesztése és alkalmazása elektronszerkezet-számításokban és elektromágneses terek számításában Kifejlesztettem egy adaptív, wavelet alapú, egydimenziós sajátérték-típusú differenciálegyenleteket megoldó algoritmust az elliptikus differenciálegyenleteket megoldó módszer [2] továbbgondolásával. Az eljárás, amennyiben a kapott megoldás nem teljesíti a kívánt pontossági feltételeket, a szükséges helyeken finomabb felbontású waveleteket vezet be, s az ezekkel kibővített bázisrendszeren újra megoldja a sajátértékproblémát. Azt, hogy melyik waveletekre lesz szükség a finomabb szintű számításokban, egy csak a már meglévő, durvább felbontási szintű megoldást felhasználó, a finomabb szintű wavelet-együtthatókra közelítést megadó rutin határozza meg, a wavelet tartóintervallumonként megadott uniform hibakorlát felhasználásával [I.1, I.2]. A módszer alkalmazhatóságát kvantummechanikai harmonikus oszcillátor és elektrodinamikai üregrezonátor rendszereken teszteltem [I.3, I.4]. A harmonikus oszcillátor tesztrendszerre a sajátenergia és a wavelet-együtthatók szintenkénti változását és a teljes, minden wavelet-együtthatót tartalmazó probléma megoldásvektorának komponenseit nyomon követő rutinokat is kifejlesztettem. Ennek segítségével be lehetett látni, hogy a teljes megoldás projekciója az egyre finomodó felbontási szintű wavelet-terekben exponenciálisan csökken, bár az adott pontossági követelménynek megfelelő megoldáshoz szükséges bázisfüggvények száma a végtelenül pontos limitben a felbontási szint hatványfüggvényével skálázódik, tetszőleges véges pontossághoz megadható egy legfeljebb szükséges felbontási szint és egy maximum a szükséges bázisfüggvények számára. Belátható volt az is, hogy az energia sajátérték hibája exponenciálisan csökken a felbontási szinttel, s a megoldás durvább szintű komponensei pár finomítási lépés után már nem változnak számottevően [I.1]. [I.1]
Pipek J, Nagy S Adaptive local refinement of the electron density, one-particle density matrices, and electron orbitals by hierarchical wavelet decomposition. JOURNAL OF CHEMICAL PHYSICS 123:(14) p. 144107 (2006) IF: 3.138 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Függő idéző: 3 Összesen: 3
[I.2]
Nagy S, Pipek J A wavelet-based adaptive method for determining eigenstates of electronic systems. THEORETICAL CHEMISTRY ACCOUNTS 125:(3-6) pp. 471-479 (2010) IF: 2.903 Folyóiratcikk/Összefoglaló cikk/Tudományos Független idéző: 1 Összesen: 1
[I.3]
Nagy Szilvia, Fehér András On wavelet based modeling of radiofrequency circuits, parts and electromagnetic fiels. 6
In: Mourad Fakhfakh (szerk.) SM2ACD 2010 - The International Workshop on Symbolic and Numerical Methods, Modeling and Applications to Circuit Design. Tunis, Tunézia, 2010.10.04-2010.10.06. Tunis: IEEE, pp. 1-4. Paper 01-16-06. Konferenciacikk/Előadás vagy poszter cikke/Tudományos [I.4]
Sz Nagy, A Fehér Developing Sample Holders for Measuring Shielding Effectiveness of Thin Layers on Compound Semiconductor Substrates. PIERS ONLINE 7:(5) pp. 446-450. (2011) Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
II. A kinetikus energia, impulzus- és helyoperátor reprezentálása wavelet alapú kifejtésekben és ennek hatása a wavelet-alapú algoritmusokra Algoritmusokat fejlesztettem ki annak demonstrálására, hogy a folytonos kvantumfizikai operátorok véges griden való reprezentálása fizikai és számítási anomáliákhoz vezethet. A kinetikus energia operátor egyszerű, a wavelet-analízisben használt, belső szorzatokkal definiált reprezentációja a számítások során a kinetikus energia szisztematikus, de a finomítással szisztematikusan csökkenő túlbecslését eredményezi. Ez annak a következménye, hogy a kinetikus energia a véges rácson való ábrázolása miatt a Fourier-térben periodikussá válik, így az elméleti, négyzetes függvényétől el fog térni. Ha ez az eltérés az origó körül nagy, akkor az – a kisebb görbület miatt – fizikailag felfogható úgy, mintha a részecske tömege nőtt volna meg, ez az oka a kinetikus energia megnövekedésének. A hagyományos wavelet reprezentáció elég nagy eltérést eredményez. Többféle wavelet-családra optimalizáltam a kinetikus energia kifejtését MRA bázisrendszerben [II.2]. A wavelet-skálázófüggvény bázisrendszer eltolás-invarianciája és a végtelen tér számítástechnikai okokból való csonkolása a kinetikus energia operátorán túl a pozíció és az impulzus operátorokat reprezentálását is súlyosan befolyásolja, s ez igaz nemcsak az MRA, hanem bármely eltolásinvariáns bázisrendszerre is. Egy rutint dolgoztam ki annak belátására és demonstrálására, hogy impulzus sajátértékei és sajátvektorai a csonkolás miatt diszkrét értékekre redukálódnak, illetve hamis hullámokkal gazdagodnak s a pozíció operátor sajátértékei szintén kvantálódnak. A határozatlansági reláció az impulzus és a pozíció operátorok kommutátorához köthető, s a véges rácson reprezentált kommutátor nem az elméleti eredmény reprezentációjaként felfogható egységmátrixszal arányos értéket, hanem az impulzust reprezentáló, offdiagonális mátrixból eredeztethető eredményt ad. Annak belátására, hogy az így kapott értékek az elméleti eredménytől csak egy nulla középértékű mátrixban térnek csak el egy rutint írtam, mely néhány típusú függvényre kiszámítja a kommutátort. Demonstráltam ezzel a programmal, hogy bár az impulzus, illetve hely-sajátállapotokra nulla a kommutátor várható értéke, két általánosabb állapotra az elméletileg elvárt értéket elég pontosan megközelíti [II.1].
7
[II.1]
Pipek János, Nagy Szilvia Artifacts of grid-based electron structure calculations. CHEMICAL PHYSICS LETTERS 464:(1-3) pp. 103-106. (2008) IF: 2.169 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Függő idéző: 1 Összesen: 1
[II.2]
Pipek János, Nagy Szilvia The kinetic energy operator in the subspaces of wavelet analysis. JOURNAL OF MATHEMATICAL CHEMISTRY 46:(1) pp. 261-282. (2009) IF: 1.381 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
III. Strukturális entrópia és wavelet-analízis a szuperstruktúrák számítógépes azonosításában Algoritmust készítettem átnormált pásztázó atomerő-mikroszkópos (atomic force microscope, AFM) felvételek strukturális entrópia és betöltési arány alapú lokalizációjának vizsgálatára. A fenti Rényi-entrópia különbségeken alapuló eljárás alkalmas szuperstruktúrák – különböző hosszúságskálákon más és más jellegű lecsengéssel rendelkező komponensekből álló rendszerek komponenseinek azonosítására. Multiplikatív szuperstruktúrák azonban ritkák a mikroszkópiában [III.1]. A wavelet-analízis egymást követő lépései során létrejövő egyre durvább felbontású skálázófüggvény kifejtési együtthatók alkalmasak a különböző skálákon megjelenő mintázatok szeparálására. Kifejlesztettem és teszteltem egy olyan eljárást, amely a wavelet-analízis során keletkezett, átnormált skálázófüggvény-együtthatókból létrehozott rács-valószínűségeloszlásokat strukturális entrópia segítségével elemzi, s demonstráltam, hogy a különböző karakterisztikus hosszal rendelkező mintázatok lecsengési típusa azonosítható e módszerrel [III.2, III.3]. [III.1]
László Milán Molnár, Szilvia Nagy, Imre Mojzes Structural entropy in detecting background patterns of AFM images. VACUUM 84:(1) pp. 179-183. (2010) IF: 1.048 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Függő idéző: 1 Összesen: 1
[III.2]
Sz Nagy, A Fehér, L M Molnár Structural Entropy Based Localization Study of Wavelet Transformed AFM Images for Detecting Background Patterns. PIERS ONLINE 7:(5) pp. 411-445. (2011) Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
8
[III.3]
Szilvia Nagy, András Fehér Topology analysis of scanning microscope images with structural entropy and discrete wavelet transform. In: Proceedings of the 18th International Workshop on Systems, Signals and Image Processing IWSSIP 2011. Sarajevo, Bosznia-Hercegovina, 2011.06.162011.06.18. p. 101. Paper s7-3. (ISBN:978-1-4577-0074-3) Konferenciacikk/Előadás vagy poszter cikke/Tudományos
IV. Fraktál jellegű nanofizikai rétegek pásztázó mikroszkópos felvételeinek strukturális entrópia alapú elemzésére szolgáló algoritmus fejlesztése Kifejlesztettem egy algoritmust, amely a betöltési arányt (filling factor) – aminek a logaritmusa előáll a nulladik és második rendű Rényi-entrópiák különbségeként – ábrázolja különböző levágási szintekkel fekete-fehérré alakított pásztázó elektron-, illetve atomerő mikroszkópos felvételekre a levágási szint függvényében [IV.1, IV.5]. Ez az ábrázolásmód vizuálisan is segít a kép mintázatainak lecsengési típusának beazonosításában. Fraktál jellegű mintázattal rendelkező [IV.2, IV.6], vegyület-félvezető felületekre növesztett, 60-100 nm vastagságú fémrétegek pásztázó mikroszkópos felvételeinek strukturális entrópia−betöltési arány diagramjainak automatikus elkészítésére dolgoztam ki algoritmust. A kapott diagramok elemzésével meg lehetett állapítani a minták jellemző lecsengési gyorsaságát, s az így kapott eredményeket összehasonlítva a minták fraktáldimenziójával és különböző fizikai paramétereivel – mint például kontaktusellenállás, hőkezelési körülmények, anyagösszetétel – összefüggéseket kerestem a jellemző mennyiségek között [IV.1, IV.3, IV.4]. Arany-germánium rétegek mintázata GaAs felületen az optimális – minimális – kontaktus-ellenállás kialakításához szükséges kezelési hőmérséklet közelében fraktáldimenziójukban minimumot érnek el, s az átlagos lecsengése a mintáknak is itt a leglassabb, gaussi jellegű, alacsonyabb és magasabb hőmérsékleten exponenciálissá, majd hatványfüggvény-szerűvé változik. Arany-palládium rendszerek indium-foszfidon [IV.3], illetve alumínium-(nikkel-)germánium rétegek gallium-arzenidon [IV.4] már sokkal kevésbé mutatnak rendszerességet. Az általam kifejlesztett algoritmust kémiai aranykatalizátorok vizsgálatára tovább fejlesztették, s érdekes eredményekkel alkalmazzák (Bonyár, Molnár, Harsányi BME ETT, publ.: Micron, megjelenés alatt). [IV.1]
Mojzes I, Dominkovics C, Harsányi G, Nagy S, Pipek J, Dobos L Heat treatment parameters effecting the fractal dimensions of AuGe metallization on GaAs. APPLIED PHYSICS LETTERS 91:(7) p. 073107. (2007) IF: 3.596 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Függő idéző: 2 Összesen: 2
9
[IV.2]
Schuszter M, Dobos L, Demcu K A, Nagy S, Mojzes I Analysis of morphology changes of heat treated metallization of compound semiconductors by the fast wavelet-transform based on B-Spline. JOURNAL OF OPTOELECTRONICS AND ADVANCED MATERIALS 9:(7) pp. 2241-2244. (2007) IF: 0.827 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
[IV.3]
Bernadett Varga, Antal Ürmös, Szilvia Nagy, Imre Mojzes Fractal properties of gold, palladium and gold–palladium thin films on InP. VACUUM 84:(1) pp. 247-250. (2010) IF: 1.048 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Független idéző: 1 Összesen: 1
[IV.4]
Bernadett Varga, László Milán Molnár, Szilvia Nagy, Imre Mojzes Fractal properties of AlGeNi layers on GaAs surfaces. VACUUM 84:(1) pp. 251-253. (2010) IF: 1.048 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Függő idéző: 1 Összesen: 1
[IV.5]
Á Nemcsics, Sz Nagy, I Mojzes, R Schwedhelm, S Woedtke, R Adelung, L Kipp Investigation of the surface morphology on epitaxially grown fullerene structures. VACUUM 84:(1) pp. 152-154. (2010) IF: 1.048 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
[IV.6]
Schuszter Miklós, Dobos László, Demcu Anna, Nagy Szilvia, Mojzes Imre Wavelet-transzformációs fraktálanalízis B-Spline-okkal. HIRADÁSTECHNIKA LXII:(11) pp. 31-34. (2007) Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
V. Többrészecskés fermionrendszerek összefonódottságának jellemzése Tizenkét paraméterrel leírható fermionikus két-qubit rendszerek összefonódottsági mértékeinek összehasonlítására fejlesztettem ki ábrázoló algoritmust. Az ábrázolás segítségével látható, hogy az összefonódottsági mértékek terében egy kisebb térrészre tömörülnek a lehetséges értékek. Az entrópia határoló görbéjét a kvantummechanikai N-reprezentálhatóság felhasználásával elméletileg is felírták [V.1]. A Neumann- és Rényi-entrópiák, a konkurencia és annak a megkülönböztethetetlen részecskékre általánosított alakja a Schliemann-mérték között is sikerült határgörbéket definiálni [V.2]. Mindkét utóbbi mérték a rendszert leíró sűrűségmátrixból, annak komponenseiből levezethető.
10
[V.1]
Levay P, Nagy S, Pipek J Elementary formula for entanglement entropies of fermionic systems. PHYSICAL REVIEW A 72:(2) p. 022302. (2005) IF: 2.997 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos Független idéző: 23 Függő idéző: 8 Összesen: 31
[V.2]
Szalay Szilárd, Lévay Péter Pál, Nagy Szilvia, Pipek János A study of two-qubit density matrices with fermionic purifications. JOURNAL OF PHYSICS A-MATHEMATICAL AND THEORETICAL 41:(51) p. 505304. (2008) IF: 1.540 Folyóiratcikk/Szakcikk/Tudományos
Továbbfejlesztési lehetőségek Három megkülönböztethetetlen fermionból álló rendszer összefonódottságára alkalmas mértékek összehasonlítása, illetve új mérték bevezetése lehetséges. A háromfermion rendszer redukált és redukálatlan sűrűségmátrixai, illetve a sűrűségéhez tartozó tiszta, nem összefonódott, megfelelő részecskeszámhoz tartozó sűrűségmátrixok egyfajta távolságának mérésére alkalmas rutin elkészítése, s az így kapott mérték összehasonlítása a jelenleg használatos három-fermion korrelációs mértékekkel érdekes eredményeket, s hasznos eszközt eredményezhet, melyet később a kvantumszámítógépek leírásában is lehetséges használni. A Rényi-entrópiák különbségén és a wavelet-analízisen alapuló eljárást nagyobb mintaszámra alkalmazva lehetséges a szuperstruktúrák kvantitatív, nem csak kvalitatív elemzése is. Az adaptív wavelet-alapú sajátérték-differenciálegyenleteket megoldó rutin finomabb szintű wavelet-együtthatóit megjósoló rutin módosítással előreláthatólag alkalmassá tehető már létező, wavelet-alapú, de nem adaptív programok hibabecslésére. Ez különösen fontos olyan, a kvantummechanika területén működő, nagyprecíziós számítások esetén, mint például amit a BigDFT programcsomag. Ahhoz azonban, hogy ez az ötlet valódi alkalmazássá váljon, szükséges annak tesztelése, s a korábbi egydimenziós mintarendszerünk háromdimenzióssá bővítése.
11
