Vzorové příklady - 5.cvičení

Vzorové příklady - 5.cvičení Vzorový příklad 5.1. Voda teplá 12°C je vypouštěna z velké nádrže A soustavou potrubí s výtokem do volna B. Určete délku potrubí L2 = ? průměru D2 (2 = 0,6 mm, ocelové, svařované po použití), při níž bude protékat průtok Q = 18,9 ls1. Je dáno: potrubí D1 je litinové po použití s drsností 1 = 0,8 mm, délky potrubí L1 = 10,5m a L3 = 5,6m, dvě kolena 30° na potrubí D1. Součinitelé místních ztrát vtokem, kolen, ventilu, zúžením a rozšířením, viz Tab. 7 až 11. Vykreslete čáru energie ČE a čáru tlakovou ČT. [Výsledek: 291,09 m]

Obrázek 1 Řešení Z rovnice Q = v.S se určí průřezové rychlosti v potrubí s průměry D1 a D2 :

Q  18,9 l .s 1  0,0189m 3 .s 1 Q 4.Q 4.0,0189 v1     0,119 m . s 1 2 2 S1 .D1 .0,45 v2 

Q  1,54 m . s 1 S2

v 3  v1 Nyní je potřeba napsat Bernoulliho rovnici (hladina nádrže A a výtok do volna B): paA v A2 paB v 32 hA    hB    Z , g 2g g 2g kde Z jsou ztrátové výšky (třením a místní ztráty)

K141 HYA

1

cvičení 5

Z  Z

m1

 Zt 1  Zm2  Zt 2  Zm3  Zt 3

U výtoku B je srovnávací rovina, tedy , hB  0 m , na hladinu nádrže A a i u výtoku působí atmosférický tlak, hodnota je stejná, vyruší se nám tlakové výšky na obou p p stranách Bernoulliho rovnice ( tj. aA  aB ). Dále platí, že nádrž A je velká, možno . g . g 2 v A uvažovat vA = 0 a tedy  0. 2g Potom rovnice přejde na tvar: v 32 hA   Z 2g Určení ztrátových výšek: je nutno určit součinitele místní ztrát (Tab. 7, 8, 10 a 11): vtok vtok  0,5 koleno  koleno30  0,17 ventilu ventil  4,95 zúžení  zuzeni  0,41 vztaženo k průměru D2 rozšíření  rozsireni  143 vztaženo k průměru D3 = D1 výtok do volna  vytok  0

Z m1

v 12 0,1192    0,5  2.0,17  4,95  0,00418 m 2g 2g

Zm2

v 22 1,54 2    0,41  0,0496 m 2g 2g

Z m3

v 12 0,1192    143  0   0,1032m 2g 2g

a dále součinitele ztrát třením litinového a ocelového potrubí: absolutní drsnosti Δ1 = 0,8 mm, Δ2 = 0,6 mm z Tab. 4. Z Moodyho diagramu (Tab.5) se pro Reynoldsovo číslo Re a relativní drsnost odečtou hodnoty součinitelů ztrát třením λ1, λ2, λ3 potrubí:

1 v .D 0,119.0,45  0,00177  Re  1 1   43185,5 D1  1,24.10 6 přechodná oblast proudění, dle Moodyho diagramu (MD, Tab.5.) 1  0,027 a  3  1  0,027 zároveň litina  1  0,8mm 

2 v .D 1,54.0,125  0,004  Re  2 2   155242 D2  1,24.10 6 přechodná oblast proudění, dle MD  2  0,03 . ocel

  2  0,6mm 

K141 HYA

2

cvičení 5

Zt1  1

L1 v 12 10,5 0,1192  0,027  0,00045 m D1 2g 0,45 2g

Zt 2   2

L2 v 22 L 1,54 2  0,03 2  0,029. L2 D2 2g 0,125 2g

Zt 3  1

L3 v 12 5,6 0,1192  0,027  0,00024 m D1 2g 0,45 2g

m

Pro celkovou ztrátovou výšku platí:

Z  Z

m1

 Zt 1  Z m2  Zt 2  Z m3  Zt 3  0,15767  0,029. L2

Dosazením do upravené Bernoulliho rovnice dostaneme hledanou délku L2 potrubí. hA 

v 32  Z 2g

8,6 

0,1192  0,15767  0,029. L2 2g



L2  291,09 m

Schematické vykreslení čar (viz.obrázek 2):

Obrázek 2

K141 HYA

3

cvičení 5

Vzorový příklad 5.2. Dvě velké nádrže A, B s hladinami na kótě 12,5 m, resp. 10 m jsou spojeny starším litinovým potrubím průměru D = 0,1 m a délky L = 20 m (obrázek 3). Nádrž A je uzavřena a na její hladinu působí přetlak vzduchu ppA = 9805 Pa. Výtok z nádrže A i vtok do nádrže B jsou ostrohranné, dvě kolena spojovacího potrubí mají zakřivení s poloměrem rs/D = 1,5. Voda má teplotu T = 12 oC. Vypočítejte průtok mezi nádržemi a vykreslete čáry energie ČE a čáru tlakovou ČT. [Výsledek: 0,02 m3.s-1]

Obrázek 3 Řešení Základem řešení proudění v potrubí je aplikace Bernoulliho rovnice a rovnice spojitosti, spolu s rovnicí ztrát. Pro profily dané hladinami v horní a dolní nádrži: HA 

p sA αv 2A p αv 2   HB  sB  B   Z , kde psB  pa . ρg 2g ρg 2g

Celkové ztráty se vyjádří za pomoci rovnic pro místní ztráty a Darcy-Weisbachovy rovnice pro ztrátu třením 2  L v Z  λ  ζ  2ζ  ζ     D v s n  2g . Protože A i B jsou velké nádrže, je možno uvažovat v A  0, v B  0 a tedy

αv 2A αv B2  0. 2g 2g Rovnici Bernoulliho pak lze upravit na tvar

HA 

2 p sA p  L v  HB  a   λ  ζ v  2ζ s  ζ n  ρg ρg  D  2g

a případně

HA  K141 HYA

p pA

2  L v  HB   λ  ζ v  2ζ s  ζ n  , ρg  D  2g

4

cvičení 5

kde

p pA . g



psA  pa 9805   1,0 m v .sl . . g 999,5.9,81

Jelikož zatím neznáme průtok, a tudíž nemůžeme určit hodnotu Reynoldsova čísla Re pro přesné určení hodnoty součinitele ztrát třením,  , budeme předpokládat proudění v kvadratické oblasti ztrát třením, kde  není funkcí Re, ale pouze relativní hydraulické drsnosti. Z tabulky 4 se pro litinové potrubí (uvažuje se potrubí po použití) odečte hodnota hydraulické drsnosti   0,0015m . Relativní drsnost je Δ 0,0015 tedy   0,015 . Dle Moodyho diagramu (tabulka 5) nabývá součinitel ztrát D 0,1 třením pro tuto relativní drsnost v kvadratické oblasti hodnoty  = 0,044. Součinitel místní ztráty ostrohranným vtokem a výtokem do velké nádrže viz. tab. 7 resp. součinitel místní ztráty obloukem se určí z tab. A (viz níže): ξv = 0,5; ξn = 1,0; resp. ξs = 0,34. Dosazením do Bernoulliho rovnice: 2 p pA  L v HA  HB    λ  ζ v  2ζ s  ζ n  ρg  D  2g

20   v2 12,5 - 10,0  1   0,044  0,5  2  0,34  1,0  0,1   19,62 a jednoduchou matematickou úpravou dostaneme rychlost prodění v potrubí: v

19,62 . 12,5  10,0  1  2,501 m . s 1 . 20 0,044  0,5  2  0,34  1,0 0,1

Nyní je nutno posoudit platnost předpokladu kvadratické oblasti ztrát třením. Z tabulky 1 se pro vodu o teplotě T=12°C odečte hodnota kinematické viskozity   1,24  106 m2/s. Pro takto určenou kinematickou viskozitu  a spočítanou rychlost v .D 2,501.0,1 v je možno dopočítat velikost Reynoldsova čísla Re    2,02.105 . 6  1,24.10  Pro hodnoty Re  2,02  105 a  0,015 se dle Moodyho diagramu nacházíme D v kvadratické oblasti ztrát třením (předpoklad je potvrzen). V případě, že by předpoklad nebyl splněn, je nutné výpočet  zopakovat pro oblast danou hodnotou Re a  D . Z průřezové rychlosti se vypočítá průtok Q:

Q  v  S  2,501

K141 HYA

π  0,12  0,0196m3. s1 . 4

5

cvičení 5

Tab. A

Ztrátový součinitel čtvrtkruhového kolena ξs (  = 90o)

rs

  s   90  90

 V D

ξs ξs

rs / D hladká potrubí drsná potrubí

1,00 0,21

1,5 0,17

2,0 0,15

4,0 0,11

6,0 0,09

10,0 0,07

20,0 0,05

0,42

0,34

0,30

0,22

0,18

0,14

0,10

Schematické vykreslení čar viz.obrázek 4:

Obrázek 4

K141 HYA

6

cvičení 5

Vzorový příklad 5.3. Odstředivé čerpadlo zabezpečuje dodávku vody z dolní nádrže do výše položeného vodojemu (viz. Obrázek 5). Pracuje jen 10 hodin denně a během nich musí dopravit 800 m3 vody (T = 12˚C). Celková účinnost čerpadla je η = 0,6. Sací potrubí je starší ocelové, Hs = 3,5 m, Ls = 7,5 m a opatřené sací košem a čtvrtkruhovým obloukem rs = 1,4 D. Výtlačné potrubí je litinové, Lv = 800 m, Dv = 0,15 m, Hv = 20 m. Navrhněte průměr sacího potrubí a vypočítejte příkon čerpadla. [Výsledek: 0,2 m; 14,1 kW1]

Obrázek 5 Řešení Objemový průtok potrubím se spočítá za předpokladu, že daný objem 800 m3 je po dobu 10 hodin čerpán rovnoměrně: V 800 Q   22,2  103 m3s 1  22,2 l . s 1 . t 10  3600 U sacího potrubí vždy existuje riziko vzniku nadměrných podtlaků. Toto riziko se zvyšuje při vyšších rychlostech proudění. Z tohoto důvodu je za relativně bezpečné možno považovat rychlosti proudění do cca. 1 m.s-1. V každém případě je však potřeba posoudit funkčnost čerpadla z hlediska skutečných podtlaků. Průtočná plocha průřezu sacího potrubí při průtoku 22,2 l.s-1 a rychlosti proudění 1 ms-1 je: 4S Q 22,2  10 3  0,168 m . S   22,2  10 3 m 2 a tomu odpovídající průměr D  v 1  Jako průměr sacího potrubí se navrhne nejblíže vyšší vyráběný průměr Ds = 0,2 m (viz. Tab. 3 vyráběných průměrů ve "Výběru potřebných tabulek a grafů"). Průřezové rychlosti v sacím a výtlačném potrubí se určí z rovnice Q  v.S ,

vs 

Q 4.Q 4.0,0222 Q 4.Q 4.0,0222    0,707 m . s 1; vv     1,256 m . s 1 . 2 2 2 2 SS .Ds  . 0,2 Sv .Dv  . 0,15

K141 HYA

7

cvičení 5

Je potřeba posoudit funkčnost sacího potrubí - musí se určit podtlaková výška v sacím hrdle čerpadla. Ta se vypočte z Bernoulliho rovnice zapsané pro hladinu v sací jímce (kde je srovnávací rovina) a pro příčný profil sacího potrubí při ústí do čerpadla: pa v 12 p v 2   H s  cs  s   Z s , g 2g g 2g kde pcs je statický tlak na konci sacího potrubí, rychlost na hladině nádrže A je rovno v 12 v1  0  0 2g

 pa  pcs v 2 L  H vak  H s  s   Z s  H s      K   S   s g 2g Ds 

 v s2   2g

Určíme součinitele místních ztrát sacího koše  k a kolena  s (viz. Tab.6. a Tab.9.) a součinitele ztrát třením ocelového potrubí (absolutní drsnost  Tab. 4, Moodyho diagram Tab.5). Z Moodyho diagramu se pro Reynoldsovo číslo Re a relativní drsnost odečte  s sacího potrubí: ocel MD

 

 v .D 1,256.0,2  0,0025  Re  s s   1,14.105 6 D  1,24.10  k  5,4  s  1,27

s  0,0005   s  0,026

Podtlaková výška:  L v2 7,5  0,7072  H vak  H s      K   S   s  s  3,5  1  5,4  1,27  0,026   D 2 g 0 , 2 2 . 9 , 81   s    3,5  0,220  3,720m Maximální povolené podtlakové výšky na sání čerpadla se zpravidla pohybují v rozsahu 6 až 8 metrů vodního sloupce, tzn. Hvak  3,720 m  6 až 8 m  sací potrubí je z hlediska přípustných podtlaků funkční. Pro potřeby výpočtu příkonu čerpadla je nutné spočítat i ztráty třením na výtlačném potrubí Zv. Pak můžeme vypočítat dopravní výšku čerpadla Hd. v litina   v  0,001   0,0067  Re  1,5.10 5   v  0,035 Dv Lv v v2 800 1,2562 Zv   v  0,035  15m Dv 2g 0,15 19,62

Hd  Hs  Zs  Hv  Zv  3,5  0,232  20  15  38,72m Příkon čerpadla P je potom vyjádřen následujícím vztahem: P K141 HYA

 . g.Q .H d 1000.9,81.0,0222.38,72   14 054W  14,1kW  0,6

8

cvičení 5

Vzorový příklad 5.4. Vypočítejte kapacitu (Q) násosky a určete nejvyšší možné umístění vrcholu násosky (KC = ? [m n.m.]). Násoska převádí vodu z horní nádrže A, která má hladinu na kótě HA = 326,5 m n.m. m přes zvýšené místo C a voda vytéká na konci sestupného potrubí do volna. Vtok do násosky je 1,1 m pod hladinou nádrže, výtok je 3,5 m pod úrovní hladiny. Potrubí násosky je z použitého ocelového potrubí průměru D = 0,1 m. Vtok zasahuje do nádrže, na vzestupné části je ostrohranné koleno δ = 45 º a vrchol násosky je tvořen pravoúhlým obloukem s poloměrem zakřivení r/D = 2. Délka vzestupné části potrubí (od vtoku po vrchol násosky) je LS = 3,4 m a sestupné části Lv = 7,7 m. Teplotu vody uvažujte 15C. Vykreslete průběh čáry energie a tlakové čáry. [Výsledek: 26,9 l.s-1; 331,47 m n.m. ]

Obrázek 6 Řešení Kapacita násosky (tj. velikost průtoku Q násoskou) závisí na rozdílu energetických výšek na začátku a konci násosky. Proto je nejprve třeba sestavit Bernoulliho rovnici pro profil hladiny nádrže (A) a výtoku do volna (D):

HA 

p a v A2 p v D2   HD  a   Z g 2g g 2g

Atmosférický tlak působící v obou profilech se vykrátí, rychlostní výška v profilu hladiny v nádrži se zanedbá (považujeme nádrž za velkou). Potom rovnice přejde na tvar

v D2 H A  H D  H   Z, 2g kde H je převýšení hladiny v nádrži nad výtokem z násosky. Celkové ztráty se vypočítají jako součet ztrát třením a ztrát místních:  Z  Zt   Zm K141 HYA

9

cvičení 5

Ztráty třením se stanoví podle rovnice Darcy-Weisbachovy,

Zt  

L v2 L  Lv v D2  s D 2g D 2g

ocel svařovaná

  0,005. D

  0,0005 m

Neznáme průtok a tedy ani rychlost proudění v potrubí, nemůžeme stanovit oblast proudění. Budeme předpokládat kvadratickou oblast ztrát třením a tedy dle Moodyho diagramu (MD)  = 0,03. Pro ztráty místní platí:

 Zm    

v2 2.g

součinitel místní ztráty pro vtok do potrubí:  VT  0,9 (potrubí zasahuje do nádrže), součinitel místní ztráty pro koleno 45°: K 45  0,32 součinitel místní ztráty pro čtvrtkruhový oblouk:  O  0,30

 Zm  VT  K 45  O  

v D2 2.g

Pro hledaný průtok Q po dosazení do Bernoulliho rovnice získáme rychlost proudění: H  

2 2 v D2  L L v  v     VT   K 45  O  D  1    VT   K 45  O  D 2g D  D  2g   2g

vD 

3,5 * 2g  3,426 m . s 1 3,4  7,7 1  0,03  0,9  0,32  0,3 0,1

Pro ověření předpokladu kvadratické oblasti je nutné určit hodnotu Reynoldsova v D . D 3,426.0,1   297913  3.10 5 . čísla: Re  6  1,15.10 Dle Moodyho diagramu se nacházíme na hranici kvadratické a přechodné oblasti proudění, předpoklad je tedy splněn. V případě, že by se hledaný bod nalézal v oblasti přechodové, je třeba odečíst pro  / D a Re novou hodnotu součinitele tření  , a získat opravenou hodnotu rychlosti v. Celý postup by se měl opakovat tak dlouho až se mezi dvěma kroky hodnota  již nebude lišit. (Při výpočtu je možné použít ke stanovení hodnoty  některou z empirických rovnic.) Hledaná kapacita násosky je:

Q  v D .SD  3,426.

K141 HYA

 . 0,12  0,0269 m3.s 1  26,9 l . s 1 . 4

10

cvičení 5

Druhá část úlohy spočívá v učení umístění vrcholu násosky (tj. KC = ?) Znovu se sestaví Bernoulliho rovnice, tentokrát pro profil hladiny odběrné nádrže A a vrcholu násosky C.

KA 

pa v A2 p v C2   K C  sC    Z AC g 2g g 2g

KC  K A 

a při α =1 dále

pa psC v C2 p v2     Z A C  K A  vaC  C   Z A C . g g 2g g 2g

Hodnota podtlaku ve vrcholu násosky (tj. v místě s minimálním tlakem) v bodě C by pro bezproblémovou funkci násosky neměla být příliš velká (při velkých podtlacích hrozí nebezpečí vzniku kavitace, eventuelně až přerušení průtoku vody). Z doporučeného rozpětí maximálních podtlaků uváděných v literatuře zvolme hodnotu podtlakové výšky 7 m v. sl. (

pva g

 6  8m v .sl . max



pvaC  7 m v .sl . ). g

Ztráty se tentokrát musí stanovit pro úsek mezi počátkem násosky a jejím vrcholem. Pro určení ztrát třením je v tomto případě relevantní pouze délka vzestupné části potrubí od vtoku po vrchol násosky, místní ztráty jsou obdobné jako v předchozím případě, změna je pouze v případě čtvrtkruhového oblouku, kde uvažujeme jen polovinu ztráty ( 0,5  O ). Průřezová rychlost vC = vD je uvedena v předchozím výpočtu vypočtené dříve. 2

 L v  Z AC  Z tAC   Z mA C    Ds  VT   K 45  0,5. O  2gc  3,4   3,4262  0,9  0,32  0,5.0,3   1,4298 m  0,03 0,1   2g



pvaC v C2 3,4262 KC  K A     Z A C  326,5   7   1,4298  331,472 m n. m. g 2g 2g

K141 HYA

11

cvičení 5

Schematické vykreslení čar viz. obrázek 7:

Obrázek 7

K141 HYA

12

cvičení 5