5.2.11
Vzdálenosti přímek
Předpoklady: 5210 Př. 1:
Rozhodni, kdy má smysl uvažovat o vzdálenosti dvou přímek a navrhni definici této vzdálenosti.
Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemají společné body ⇒ tedy pokud jsou buď rovnoběžné nebo mimoběžné. Vzdálenost rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. U mimoběžných přímek je situace složitější. Volíme různé dvojice bodů na přímkách ⇒ získáme různé vzdálenosti ⇒ hledáme takovou dvojici bodů, aby vzdálenost byla nejmenší (jako u všech ostatních definic) ⇒ body, které použijeme leží na přímce, která je k oběma mimoběžkám kolmá (a zase ta kolmost). Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délka úsečky PQ, kde body P, Q jsou po průsečíky mimoběžek p, q s jejich kolmou příčkou. Př. 2:
Je dána standardní krychle ABCDEFGH, AB = a = 4 cm . Určí vzdálenost přímek: a) AB, EF b) BC, EH c) BF, EH d) EG, S AB S BC e) AH, BF
a) vzdálenost přímek AB, EF H
F
E
a
Přímky AB a EF jsou rovnoběžné ⇒ zvolíme libovolný bod přímky EF například bod E. Přímkou kolmou na přímku AB a procházející bodem E je přímka AE ⇒ patou této kolmice je bod A ⇒ vzdálenost bodu E od přímky AB je rovna a = 4 cm . Tato vzdálenost je také vzdáleností přímek AB a EF.
G
D
A
C
B
b) vzdálenost přímek BC, EH
1
H
Přímky BC a EH jsou rovnoběžné ⇒ zvolíme bod E. Přímkou kolmou na přímku BC a procházející bodem E je přímka EB ⇒ patou této kolmice je bod B ⇒ vzdálenost bodu E od přímky BC se rovná délce úsečky BC. Z pravoúhlého trojúhelníku ABE:
G
E
F
BE = AB + AE = a 2 + a 2 = 2a 2 2
a
2
2
BE = a 2
D
C
a
A
B
Dosadíme: BE = a 2 = 4 ⋅ 2 = 5, 66 cm c) vzdálenost přímek BF, EH H
a
E
Přímky BF a EH jsou mimoběžné ⇒ hledáme jejich příčku, která bude na obě kolmá ⇒ najdeme úsečku EF, její délka je a ⇒ vzdálenost přímek BF, EH je a = 4 cm .
G
F
D
C
B
A
d) vzdálenost přímek EG, S AB S BC H
G
Přímky EG, S AB S BC jsou navzájem rovnoběžné (body E , G, S AB , S BC tvoří vrcholy rovnoramenného lichoběžníka) ⇒ hledáme vzdálenost libovolného bodu přímky EG od přímky S AB S BC (nebo naopak). Zvolíme například bod S EG , patou
SEG F
E
D
C
kolmice na přímku S AB S BC , je bod S SS
SAC SSS A
SAB
(úsečka S EG S SS je osou i výškou lichoběžníka). Její délku bychom mohli určit z lichoběžníka S AB S BC GE , jinou možností je nakreslit si obdélník BFHD, ve kterém oba body leží a vypočítat ji z něj.
SBC B
Nakreslíme obdélník BFHD: 2
B
a 2 SEG
a
a
Úsečka S EG S SS je přeponou pravoúhlého
F
trojúhelníku S EG S SS S AC . Strana S SS S AC je čtvrtinou úhlopříčky podstavy, její délka je a 2 . tedy 4
S SS S EG = S EG S AC + S AC S SS 2
a 2 4 D
SAC
S SS S EG = a 2 + 2
SSS
B
S SS S EG = Dosadíme: S SS S EG =
2
2
a 2 = a + 4 2
a 2 5a 2 = 4 4
5 a 2
5 5 a= 4 = 4, 24 cm 2 2
e) vzdálenost přímek AH, BF
H
G
E
F
D
A
Př. 3:
Přímky BF a AH jsou mimoběžné ⇒ hledáme přímku, která je k oběma kolmá, takovou přímkou je přímka AB, vzdálenost přímek BF a AH se rovná délce úsečky AB a tedy 4 cm.
C
a
B
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 4 cm , SV = v = 5cm . Urči vzdálenost přímek AD a S BCV .
3
2
Hledáme kolmou příčku přímek AD a S BCV .
V
Tato příčka určitě leží v rovině S BC S ADV (tato rovina je kolmá na přímku AD a zároveň obsahuje přímku S BCV ).
P C
D SBC
Q A
B
Nakreslíme si trojúhelník S BC S ADV . V
Délku strany S BCV určíme z pravoúhlého trojúhelníka SS BCV : 2 2 2 a S BCV = SV + SS BC = v 2 + 2 2 2 2 a 4v + a 2 S BCV = v 2 + = 4 4
v P
SAD
4v 2 + a 2 4v 2 + a 2 = 4 2
SBC
a 2
S a
S BCV =
K výpočtu délky úsečky S AD P využijeme vzorec pro obsah trojúhelníku S = a ⋅ va = b ⋅ vb . Dosadíme délky stran a výšek v trojúhelníku SS BCV :
S AD S BC ⋅ SV = S BCV ⋅ PS AD PS AD =
S AD S BC ⋅ SV
Dosazení: PS AD
=
a⋅v
=
2a ⋅ v
4v + a 4v 2 + a 2 2 2a ⋅ v 2⋅ 4⋅5 = = cm = 3, 71cm 4v 2 + a 2 4 ⋅ 52 + 4 2
S BCV
2
2
2
4
a ⋅ va b ⋅ vb = ⇒ 2 2
Př. 4:
Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD, AB = a = 6cm . Urči vzdálenost přímek AB a CD .
Hledáme kolmou příčku přímek AB a CD. Tato příčka určitě leží v rovině S AB CD (tato rovina je kolmá na přímku AB a zároveň obsahuje přímku CD).
D
P
C
A SAB
B Trojúhelník S AB CD je rovnoramenný, určíme si délku strany S AB C z trojúhelníku ABC. C Délku výšky S AB C určíme z pravoúhlého trojúhelníka S AB BC : a S AB C = BC − S AB B = a − 2 2 2 2 4a − a 3a 2 = S AB C = 4 4 a 3 S AB C = 2 2
a
a 2
SAB
A
2
2
2
2
B a Doplníme velikosti stran do trojúhelníka S AB CD . D Délku výšky S AB P určíme z pravoúhlého trojúhelníka S AB CP : 2
a 3 a 2 S AB P = S AB C − CP = − 2 2 3a a 2 2a 2 a 2 2 S AB P = − = = 4 4 4 2 a 2 S AB P = = a 2 2 2
a
a 3 2
SAB
P a 2 a 3 2
Dosazení: S AB P =
C 2 2 a= ⋅ 6 cm = 4, 24 cm 2 2
5
2
2
Př. 5:
Petáková: strana 93/cvičení 22 b) c) strana 93/cvičení 23 b) c)
Shrnutí: U rovnoběžných a různoběžných přímek postupujeme stejně jako u rovin. Vzdálenost mimoběžek určíme jako délku nejkratší (k oběma přímkám kolmé) příčky.
6
