Význam ekonomického modelování

Základy ekonomického modelování Ing. Jan Vlachý, Ph.D. [email protected] Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Vlachý, J. Řízení finančních rizik

Význam ekonomického modelování • Ekonomické modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů. – Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. – Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek při existenci rizika.

• Ekonomické modelování řeší především tyto úlohy: – Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) – Hodnotovou analýzu • Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) • Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů)

Ekonomické modelování

Praxe ekonomického modelování • Základní metody řešení modelů – Analytické řešení ... někdy složité, případně neexistuje (ale mnohé známé vzorce jsou ve skutečnosti analytická řešení modelů - úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, oceňovací model diskontovaných peněžních toků atd.) – Numerické řešení ... roste na významu díky dostupnosti a výkonu výpočetní techniky (např. bootstrap, rekurze, iterace, simulace)

• Riziko modelu a jeho řízení – Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (špatně zvolený model). – Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. – Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem. Ekonomické modelování

Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. • Obecně nelze říci, jestli je riziko „dobré“ nebo „špatné“ – záleží na kvalitativní analýze („co se stane když“), a – subjektivním vnímání užitku (ze subjekt. pohledu lze ale riziko definovat i jen vzhledem k nepříznivým událostem).

• Jednotlivci mohou – být rizikově neutrální – vyhledávat riziko – mít averzi (odpor) k riziku

• Pokud se s rizikem obchoduje (úplné efektivní trhy), vznikne rovnovážná cena rizika; trh se pak chová, jako by měl odpor k riziku a vyšší riziko musí být kompenzováno vyšším očekávaným výnosem. Ekonomické modelování

Kvantifikace rizika • Používají se nástroje statistiky, vycházející z empiricky nebo teoreticky zjištěných statistických rozdělení náhodných jevů (= které nemůžeme s jistotou předvídat). • Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení (jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů). • Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: – Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) – Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí)


Riziková analýza hazardní hry • Pravidla: Výsledek hodu mincí určí, který z hráčů zaplatí druhému stanovenou částku. • Z kolektivního pohledu hra s nulovým součtem – Očekávaný výnos je nulový (není-li daň ani krupiér) – Riziko je nulové (co jeden prodělá, to druhý vydělá)

• Kvalitativní (citlivostní) analýza (libov. hráče) – Kolik prohraju, když prohraju? Záleží na vsazené částce (10 Kč, 1 mil. Kč...) a pravidlu pro výplaty

• Kvantitativní analýza – Jak je pravděpodobné, že se výsledek bude lišit od očekávaného? Ekonomické modelování

Kvantitativní analýza (1 hod) • Analýzou teoretického statistického rozdělení (výčtem všech možných scénářů a přiřazením pravděpodobností) RA= 100 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 50%, P(B)= 50% E(R)= P(A) RA + P(B) RB = 0 Kč Existuje-li bezplatné právo volby („efektivní trh“), lze totéž odvodit i z rovnovážného argumentu: „Proč by měl být můj očekávaný výnos horší než očekávaný výnos protihráče nebo výsledek rozhodnutí ‚nehraju‘?“

σ(R)=

2 2 = =100 Kč ( ) ( ) 50 % 100 − 0 + 50 % − 100 − 0 ∑ Ρ(i )(R(i ) − Ε(R ))

2

P(R) 50%

A

B

-100

+100 Ekonomické modelování

R

Kvantitativní analýza (více hodů) • Doplnění pravidel: Vítěze určí větší počet hodů (nezávislých náhodných jevů). • U malého počtu hodů lze spočítat; pro 2 hody: RA= 100 Kč, RB= 0 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 25%, P(B)= 50%, P(C)= 25% => 2E(R)= 0 Kč, 2σ(R)= 70,7 Kč (očekávaná hodnota se nemění+riziko klesá) • Statistickou analýzou lze odvodit NE(R)= E(R), Nσ(R)= σ(R)/√N (tzn. např. 25E(R)= 0 Kč, 25σ(R)= 20 Kč). • Alternativou statistické analýzy je numerický experiment (simulace) (cvič.) Měli by skuteční hráči zájem o takové doplnění pravidel? Ekonomické modelování

Princip simulačních experimentů • Numerické experimentální metody využívají zákona velkých čísel (při velkém počtu nezávislých pokusů se relativní četnosti a jejich charakteristiky blíží teoretickému rozdělení). – Při neparametrické simulaci (historická či experimentální simulace) se vychází přímo z empirického pozorování daného jevu (předpoklad, že se výběrové rozdělení rovná skutečnému). – Při parametrické simulaci (statistická simulace, „Monte Carlo“) se mnohokrát opakuje experiment s využitím generátoru náhodných čísel se zvoleným rozdělením (předpoklad, že se teoretické rozdělení rovná skutečnému).

• Žádný experiment nikdy nedává přesný výsledek, je nutné stanovit chybu odhadu (ta se snižuje s počtem pokusů, ne však lineárně). Ekonomické modelování

Realizace statistických simulací • Generátory náhodných čísel – Tabulky náhodných čísel – Mechanické, fyzikální, chemické generátory – Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti)

• Využití výpočetní techniky – Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) – Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) – Běžný tabulkový procesor (např. Excel) Ekonomické modelování

Statistické simulace v Excelu • Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> • Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0) ... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand()×6)+1 ... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6}

• Transformace na běžná spojitá rozdělení (analyticky nebo pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =rand()×6 – 3 ... spojité rovnoměrné 〈-3; 〈 3〉〉 =norminv(rand(); µ; σ) ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv() Do v. Excel 2002 se vestavěny generátor nedoporučuje pro velké modely (lze použít generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček). Ekonomické modelování

Cvičení (hody mincí) • Zadání: Ověřte statistickou simulací analytický výpočet očekávaného výnosu a směrodatné odchylky hry o 100 Kč, rozdělené na 25 hodů mincí. Stanovte chybu odhadu. • Nápověda: V jednom řádku Excelové tabulky generujte scénář s využitím 25 nezávislých náhodných čísel, transformovaných na diskrétní rovnoměrné rozdělení {-4; 4}. V sousedním sloupci na tomtéž řádku spočítejte výsledek hry (sečtěte celkovou výhru nebo prohru). Na dalších řádcích scénář mnohokrát opakujte. Ze souboru všech výsledků simulovaných her spočítejte průměrnou hodnotu a směrodatnou odchylku výplaty. • Chybu zjištěné průměrné hodnoty odhadnete tak, že celý experiment opakujete 10× (klávesa F9) a odečtete druhý nejnižší od druhého nejvyššího výsledku. Porovnejte chybu pro experimenty s 50, 100 a 1000 simulačními scénáři. Ekonomické modelování

Hazardní hra 2 (kostky) • Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. – Výčtem scénářů (kombinační tabulka) ... P(<8) = N(<8)/N = 21/36 = 58,3%

– Statistickou (Monte Carlo) simulací (cvič.) x\y

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12


Cvičení (hody kostkou) • Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. • Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padnou při hodu dvou kostek čísla 2, 3, 4, ..., 12. Pro daný počet experimentů vždy stanovte chybu odhadu.


Spotřebitelské úvěry (diverzifikace) • Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. • Analytické řešení je analogické jako u mincí, tzn. výčtem scénářů nebo E(r) σ podle analytického vzorce N 1 6,4% 24,41% (viz Vlachý:40-41) 2 6,4% 17,26% • Numerické řešení 4 6,4% 12,20% statistickou simulací 10 6,4% 7,72% (cvič.) 100 6,4% 2,45% 10 000 Ekonomické modelování

6,4%

0,25%

Komentář k aplikaci • Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací. • Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, segmentu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. • Z pojistně-matematického principu (Bernoulli 1713, σ Poisson 1835) se vychází u nezávislých rizik (pojišťovnictví, Specifické riziko spotřebitelské úvěry) • Chování závislých rizik (tržní rizika) popisuje Systematické riziko Moderní portfoliová teorie (Markowitz 1952) N Ekonomické modelování

Kvantily statistických rozdělení • Jaké minimální (maximální) hodnoty může nabýt určitý náhodný jev při určité požadované míře spolehlivosti odhadu. • U finančních aplikací zkoumáme zpravidla maximální možnou ztrátu v určitém časovém horizontu a nejčastěji se používá 95. nebo 99. percentil (u normálního rozdělení ≈ 1,65σ, resp. 2σ).


Kvantily normálního rozdělení Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (běžně tabelováno, funkce =normsdist()) u50% = 0 (medián) u90% = 1,28 (9. decil) P(x) u95% = 1,65 (95. percentil) u99% = 2,33 (99. percentil) 99% x > xmin = µ - u σ 2,33σ µ x < xmax = µ + u σ Ekonomické modelování

x

Cvičení (spotřebitelské úvěry) • Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. • Zadání: Banka poskytuje roční 12% úvěry po 20000 Kč klientům, u nichž je (nezávislá) pravděpodobnost nesplacení 5% a náklady (fin., provoz.) činí 4%. – Jaké rezervy má tvořit, předpokládá-li že získá 75 klientů a požaduje-li dostatečnost rezervy se spolehlivostí 95%? – Jakou očekává banka výnosnost kapitálu (ROE), bude-li kapitál udržován ve výši trojnásobku dostatečných rezerv? – Jakou má banka účtovat klientům úrokovou sazbu, pokud její majitel požaduje minimální výnosnost kapitálu 10%? Ekonomické modelování

Význam ekonomického modelování

Recommend Documents